Chap1 Sinusoide Phaseur
Chap1 Sinusoide Phaseur
Chap1 Sinusoide Phaseur
Bibliographie :
- Régime sinusoïdal
C’est un régime permanent dans lequel le courant et la
tension dans le système évoluent dans le temps de
manière sinusoïdale alimenté par un générateur alternatif.
i1(t)
Régime sinusoïdal
A la fin de ce cours, l’étudiant devra savoir :
1
La fréquence de la tension : f = en Hz
T
2𝜋
On a également : = 2f = 𝑇
I.3 Déphasage entre deux signaux sinusoïdaux
On mesure le déphasage entre deux signaux dit synchrones (de même
fréquence). Le déphasage est la différence de phase à l’origine de deux
signaux étudiés.
Cercle trigonométrique
sin(t)
- Cos(t)
t
Cos(t+90°) Cos(t)
- sin(t)
Notion d’avance ou de retard de phase
Retard de phase: La tension V2(t) est en
retard de phase sur la tension V1(t). Dans
ce cas les signaux peuvent s’écrire : 𝑣1 t = 𝑉1𝑠𝑖𝑛𝑡
V1 V2 𝑣2 t = 𝑉2sin(𝑡 − )
La mesure de la phase :
𝑑×2𝜋
𝜙= (radian )
𝐷
Avance de phase: La tension V2(t) est
en avance de phase sur la tension V1(t).
Dans ce cas les signaux peuvent s’écrire :
𝑣1 t = 𝑉1𝑠𝑖𝑛𝑡
𝑣2 t = 𝑉2sin(𝑡 + )
Exercice d’application 1 :
Trouver l’amplitude, la fréquence , la période et la phase de la
sinusoïde v(t)
Exercice d’application 2 :
𝜙 = 𝐴𝑟𝑔(𝑉) V = Vm e j = Vm
Les formes sinusoïdales peuvent être facilement exprimées sous forme
des phaseurs qui sont plus aisées à utiliser que les sinus et les cosinus.
Les phaseurs fournissent des outils simples pour l’analyse des circuits
linéaires excités par des sources sinusoïdales ; les solutions de tels
circuits seraient très difficiles à obtenir autrement.
v(t ) = Vm cos(t + ) V = Vm
(représentation (représentation
Temporelle) phasorielle)
Un phaseur est une représentation complexe de l’amplitude
et de la phase d’une sinusoïde.
1.3 Le diagramme de Fresnel
La représentation de Fresnel ou diagramme de Fresnel est
un outil graphique dans le plan complexe permettant d'ajouter,
de soustraire, de dériver et d'intégrer des fonctions
sinusoïdales de même fréquence .
Forme rectangulaire z = x + jy
• Forme polaire z = r
• Forme exponentielle z = re j
r= x 2 + y2
Calcul de l’argument d’un nombre complexe:
= Arg( Z)
z = x + jy
Avec :
x = r cos y = r sin
Opérations sur les nombres complexes :
z1 = x1 + jy1 = r11 z 2 = x 2 + jy 2 = r2 2
z1 r
•Division : = 1 1 − 2
z2 r2
1.6 Opérations sur les sinusoïdes
𝑋𝑚 e j(t + ) x(t)
Intégrale du signal complexe : x(t)dt =
j
=
𝑗
L’intégrale d’un signal complexe est de diviser le nombre complexe par
j .
Dérivée d’une sinusoïde:
𝑑
La dérivée du signal complexe : x(t) = j 𝑋𝑚 e j(t + ) = j x(t)
𝑑𝑡
𝑋𝑇 = 44,72 33,43°
▪ Multiplication des phaseurs
On multiplie les amplitudes et on additionne les phases
I = I m V = RI
Dans le plan de Fresnel :
•Forme temporelle :
V = jL I Avec I = I m
Diagramme de FRESNEL
V = ωLIm e + j90
I
V=
jC
Diagramme de FRESNEL
I = CVm e + j90
V V = ZI
Z= ou (L’admittance Y est l’inverse
I
de l’impédance)
On a Z = R + jX : l’impédance (en Ohms)
Avec:
R = Re(Z) : la résistance (en Ohms)
X = Im(Z) : la réactance (en Ohms)
Forme phasorielle :
Avec Z = Z et Z = R2 + X 2
−1X
= Arg( Z) = tan
−
R
On a Y = G + jB : l’admittance (Siemens)
Avec :
G = Re(Y ) : la conductance (en Siemens)
B = Im(Y ) : la susceptance (en Siemens)
R X
Remarque : si Y = 1 = I alors G= B=−
Z V R 2 + X2 R 2 + X2
1
X0 G
R
1.10 Impédance et Admittance équivalente
Impédances en série
Zeq = Z1 + Z 2 + ... + Z n
Impédances en parallèle
1 I 1 1 1
= Y eq = = + + ... +
Zeq V Z1 Z2 Zn
= Y1 + Y 2 + ... + Y n
pour n=2
1 Z Z
Z eq = = 1 2
1/ Z 1 + 1/ Z 2 Z 1 + Z 2
1.11 THEORIE DES CIRCUITS EN RÉGIME SINUSOIDALES
1.11.1 LE PONT DIVISEUR DE COURANT ET LE PONT DIVISEUR DE TENSION
Z1
V1 = V
Z1 + Z 2
Z2
V2 = V
Z1 + Z 2
Z1 Z 2 + Z 2 Z3 + Z3 Z1 Za Zb
Zc = Z3 =
Z3 Za + Zb + Zc
1.11.3 Les Lois de Kirchhoff
Loi des nœuds
La somme algébrique des courants circulant I k = I l
dans les branches adjacentes à un nœud est nulle. ⎯⎯→
k
• •⎯
⎯→
l
Exemple :
ou I1 − I 2 + I3 − I 4 = 0
I1 + I3 = I 2 + I 4
Loi des mailles
La somme algébrique des tensions rencontrées en parcourant la maille
dans le sens prédéfini est nulle.
Exemple :
E1 − U1 + U 2 − E 2 = 0
Exercice d’application
𝐼= Vs/Zeq =
Et, en fonction du temps,
1.11.3 Théorème de superposition
Exemple :
E1 (Z2 + Z)
Ia = Ib =
Z1 E 2
Z1 Z2 + ZZ1 + ZZ2 Z1 Z2 + ZZ1 + ZZ2
I1 = I a + I b
Z1 E 2 + Z2 E1
=
Z1 Z2 + Z Z1 + Z Z2
Théorème de Thévenin
Un réseau compris entre deux noeuds A et B est équivalent à un
générateur indépendant de tension parfait E 0 en série avec le dipôle
composé Z0
E 0 représente la tension lorsque la portion de réseau débite dans un
circuit ouvert (tension à vide).
Z0 est l’impédance entre les points A et B lorsque toutes les sources
indépendantes sont éteintes.
Théorème de Thévenin
Exemple :
Z1 Z2
Lorsqu’on éteint les sources : Z0 =
Z1 + Z2
Z1 E 2 + Z2 E1
Sans charge, on a une tension : E0 =
Z1 + Z2
Théorème de Norton
Z1 Z2
Z0 =
Lorsqu’on éteint les sources : Z1 + Z2
E1 − E 2
I0 =
Sans charge, on a un générateur de courant : Z1 + Z2
Equivalent Norton-Thevenin
Y E i i
V= i =1
n
Y
i =1
i