5wa3w-Examen Special Physique3 2010 2011
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Exercice 01
1.a) Couplage Inertiel……………………………………………………….…..….0.5 point
(𝒎 +𝒎𝟐 )𝒍𝟐𝟏 𝜽̈𝟏 + 𝒈𝒍𝟏 (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 ) 𝜽𝟏 = − 𝒎𝟐 𝒍𝟏 𝒍𝟐 𝜽̈𝟐
b)� 𝟏 ………………….………01point
𝒎𝟐 𝒍𝟐𝟐 𝜽̈𝟐 + 𝒎𝟐 𝒈𝒍𝟐 . 𝜽𝟐 = −𝒎𝟐 𝒍𝟐 𝒍𝟏 𝜽̈𝟏
2.a) Couplage Elastique……………………………………………………..……0.5 point
𝒎𝟏 𝒍²𝟏 𝜽̈𝟏 + �𝒌𝒂𝟐 + 𝒎𝟏 𝒈𝒍𝟏 �𝜽𝟏 = 𝒌𝒂²𝜽𝟐
b)� ……………………………………....01point
𝒎𝟐 𝒍²𝟐 𝜽̈𝟐 + �𝒌𝒂𝟐 + 𝒎𝟐 𝒈𝒍𝟐 �𝜽𝟐 = 𝒌𝒂²𝜽𝟏
3. La mise en équation du système couplé de 2 degrés de liberté passe par la méthode à suivre suivante :
1–On écrit les 2 équations différentielles en fonction des coordonnées généralisées...0.5 point
2–On fait l’hypothèse que le système admet des solutions harmoniques…………0.5 point
3–On obtient 2 pulsations propres 𝜔1 et 𝜔2 …………………………………………0.5 point
4–On substitue 𝜔1 dans l'une des 2 équations et l’on obtient le 1er mode propre……. 0.5 point
5–On substitue 𝜔2 dans l'une des 2 équations et l’on obtient le 2ème mode propre…...0.5 point
6–On écrit les 2 solutions générales des équations différentielles du mouvement…...0.5 point
Exercice 02
1. Le système équivalent :
𝒎 𝒎
• Le ressort de masse m contribue seulement avec donc la masse totale du système est égale à : 𝑴 +
𝟑 𝟑
• Les 02 ressorts (2k) et (k) n’ont pas le même déplacement ; ils ne sont pas en parallèles donc :
𝜶 𝟐𝒌 𝜶 𝟐𝒌
𝒎
𝒚(𝐭) 𝑴 𝒚(𝐭)
𝑴+
𝟑
𝒎
𝒌
𝒌
𝐒(𝒕) 𝐒(𝒕)
𝒌 𝑩 𝒌 𝑩
𝑨 𝑨
𝜶 𝜶
𝜽 𝜽
𝑶 𝒙 𝑶
𝒙
A l’équilibre Au mouvement
• Les coordonnées des éléments du système :
• Le disque de masse M et de rayon tourne autour de O.
• Le ressort 𝒌 est attaché en un point A du disque donc : 𝒌{𝑹𝜽
𝑳 𝑳
• L’amortisseur 𝜶 est attaché en un point B donc : 𝜶 �𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝜽 → 𝟐 𝜽̇𝒄𝒐𝒔 𝜽
𝑳
• le ressort 𝒌 est attaché en un point B donc : 𝒌 �𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝜽
• L’énergie cinétique du système : 𝑇 = 𝑇𝑀
1 𝟏
o L’énergie cinétique de la masse M : 𝑇𝑀 = 2 𝑗/𝑜 𝜑̇ 2 ⟹ 𝑻𝑴 = 𝟒 𝑴 𝑹𝟐 𝜽̇𝟐
𝟏 𝟏 𝑳
L’énergie potentielle du système :𝑈 = 𝑈𝑘𝐴 + 𝑈𝑘𝐵 = 𝟐 𝒌(𝑹𝜽)𝟐 + 𝟐 𝒌(𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝜽)𝟐
1 𝑳
o La fonction de dissipation :𝐷 = 2 𝛼(𝟐 𝜽̇𝒄𝒐𝒔 𝜽)2
𝟏 𝟏 𝟏 𝑳
o La fonction de Lagrange : 𝐿 = 𝑇 − 𝑈 ⟹ 𝑳 = 𝟒 𝑴 𝑹𝟐 𝜽̇𝟐 − 𝟐 𝒌(𝑹𝜽)𝟐 − 𝟐 𝒌(𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝜽)𝟐
𝒅 𝝏𝑳 𝝏𝑳 𝝏𝑫
L’équation de Lagrange s’écrit : 𝒅𝒕 �𝝏𝜽̇� − 𝝏𝜽
= − 𝝏𝜽̇
𝒅 𝝏𝑳 𝟏 𝟐 ̈
⎧𝒅𝒕 �𝝏𝜽̇� = 𝟐 𝑴 𝑹 𝛉
⎪ 𝝏𝑳 𝑳² 𝟏 𝑳² 𝑳²
𝟐
= −𝒌(𝑹 + 𝟒 )𝜽 𝑴 𝑹𝟐 𝛉̈ + 𝜶 𝟒 𝜽̇ + 𝒌(𝑹𝟐 + 𝟒 )𝜽 = 0
⎨ 𝝏𝜽 𝟐
⎪ 𝝏𝑫 𝑳²
= 𝜶 𝟒 𝜽̇
⎩ 𝝏𝜽̇
C’est l’équation différentielle du mouvement libre amorti.
2. La pulsation propre du système 𝝎𝟎 et le facteur d’amortissement 𝜹
𝟐
𝜶𝑳² ̇ 𝒌(𝟒𝑹 +𝑳²)
𝟏 𝜶𝑳² 𝑳² 𝜽̈ + 𝜽+ 𝜽=𝟎
𝟐
𝑴𝑹 𝛉̈ +
𝟐
𝟒
𝜽̇ + 𝒌(𝑹 + 𝟒 )𝜽 = 0 ⟺ �
𝟐 𝟐𝑴𝑹𝟐 𝟐𝑴𝑹𝟐
𝜽̈ + 𝟐𝜹𝜽̇ + 𝝎𝟎 𝜽 = 𝟎
𝟐