Cvb1 01 Corrige
Cvb1 01 Corrige
Cvb1 01 Corrige
Conservatoire
National
Des arts et mtiers
Mr BENNABI Abdelkrim
Squence 01 - Corrig
CORRIGE DES EXERCICES DE LA SEQUENCE N1
EXERCICE N1 :
Retour au cours
1 - Vecteurs contraintes :
0 0 0 1 r
r
r
r
T (M , e1 ) = e1 = 0 0 0 0 = 0
0 0 0
0 0 0 0 r
r
r
r
T (M , e2 ) = e2 = 0 0 0 1 = 0
0 0 0
0 0 0 0
r
r
r
r
T (M , e3 ) = e3 = 0 0 0 0 = e3
0 0 1
r
2 - Vecteur contrainte relatif la facette de normale unitaire n (n1 , n2 n3 ) :
0 0 0 n1
r
r
r
r
T (M , n ) = n = 0 0 0 n2 = n3 e3
0 0 n3
La contrainte normale relative cette facette est donne par la relation suivante :
r
r r
Tn = T (M , n ) n
r
r
r
r
do : Tn = n3 e3 (n1 e1 + n2 e2 + n3 e3 ) = n32
La contrainte tangentielle relative cette facette sobtient par la relation : Tt 2 = T 2 Tn2
soit : Tt =
( n3 )2 ( n32 )2
= n3 1 n32
dn3
CNAM de Basse-Normandie
Reproduction et diffusion interdites sans laccord de lauteur
1/8
Conservatoire
National
Des arts et mtiers
soit :
CONSTRUCTIONS CIVILES B1
Mr BENNABI Abdelkrim
dTt = 1n2 n3 n3 = 0
3
dn3
1 n32
ce qui entrane :
1 n32 = n32 n3 = 1
2
(nr,er3 ) = ( 4 34 )
r
X3
Tn
r
n
Tt
r
e3
r
e2
X2
r
e1
X1
EXERCICE N2 :
1 Contraintes sexerant sur les quatre faces du carr lmentaire :
x2
A
B
x1
2/8
CONSTRUCTIONS CIVILES B1
Conservatoire
National
Des arts et mtiers
Mr BENNABI Abdelkrim
vecteur
contrainte
1
2
AB =
de
normale
extrieure
r
e2 est
donn
par :
2
0
1
0
1 2 1 1
= 2
2 0 0
BC =
r
1 2 0 2
=
2 0 1 0
CD =
Pour la face DA, le mme procd donne le vecteur contrainte de normale extrieure e1 :
DA
1
2
r r
Les contraintes sont ici exprimes dans le repre (x1 , x2 ) . Nous pouvons les reprsenter sur la figure cidessous : Le module des vecteurs contraintes reprsents en vert (les contraintes normales) est de 1 (par
exemple 1 MPa), celui des contraintes reprsentes en rouge (contraintes tangentielles) est de
2.
x2
A
x1
( , ) , nous allons commencer par placer deux points diamtralement opposs (formant
avec le centre du cercle qui se trouve sur laxe des - un angle de 180 . Ces points seront les points
reprsentatifs des contraintes agissant sur deux faces perpendiculaires, formant donc un angle moiti de
celui form, avec le centre du cercle, par les points correspondants sur le cercle de Mohr. Appelons ces
points les points I et J et les contraintes correspondantes les contraintes qui agissent respectivement sur les
faces BC et AB.
Noublions pas de prendre une convention de signe concernant le sens positif des contraintes tangentielles :
3/8
CONSTRUCTIONS CIVILES B1
Conservatoire
National
Des arts et mtiers
Mr BENNABI Abdelkrim
r
n
>0
Construction du point I :
La contrainte correspondante est :
BC = 12 .
La premire composante, de valeur 1, est une contrainte normale. La seconde composante est une
contrainte de cisaillement. Cette dernire agit dans le sens positif de la convention choisie. Le point I a par
consquent pour coordonnes 1 et
Construction du point J :
La contrainte correspondante est :
AB = 2 .
0
contrainte de cisaillement. Elle est oriente dans le sens ngatif par rapport la convention choisie (son
signe ngatif est donc conserv). Les coordonnes du point J sont 0 et 2
I
1
-1
I = 2, II = -1
-1
J
4/8
Conservatoire
National
Des arts et mtiers
CONSTRUCTIONS CIVILES B1
Mr BENNABI Abdelkrim
Pour se confondre avec la face AB, la face BC tourne dans le sens positif (de x1 vers x2 ) de 90 . Le point I
correspondant la contrainte associe cette face tourne, lui, de 180 dans le mme sens pour se
confondre avec le point J.
Contraintes principales :
Par dfinition, les contraintes principales sont celles qui agissent sur des faces o les contraintes de
cisaillement sont nulles.
Sur le cercle de Mohr, il sagit donc des points qui ont une ordonne nulle. Ces deux points, dabcisses 1 et
2, reprsentent les deux contraintes principales ainsi que les faces sur lesquelles elles agissent. Nous
appellerons ces deux contraintes principales I et II (I = 2, II = -1).
Direction des contraintes principales :
Nous allons de nouveau utiliser la proprit de la correspondance entre la rotation dans le repre rel li la
structure et la rotation double sur le cercle de Mohr.
Sur le cercle de Mohr, langle est mesur avec un rapporteur ( = 70,5). Cet angle spare le point I du
point reprsentant la contrainte principale I (et la facette sur laquelle elle s exerce). Par consquent, dans
la structure, les facettes correspondant ces deux points font entre elles un angle de
x2
= 35,25 .
2
II = -1
/2
A
x1
/2
I = 2
Pour trouver la direction de la deuxime contrainte principale (II = -1), il suffit de partir dun point connu sur
le cercle de Mohr (un point dont on connat la contrainte et la facette associes), de mesurer langle qui le
spare du point correspondant II . La facette associe II sera celle qui fera un angle gal la moiti de
celui mesur sur le cercle de Mohr (dans le mme sens) . Nous pouvons partir du point I. Langle mesure
109, 5 . Pour obtenir la facette correspondant II , on tourne partir de la face BC, dans le repre li la
structure, de /2.
5/8
CONSTRUCTIONS CIVILES B1
Conservatoire
National
Des arts et mtiers
Mr BENNABI Abdelkrim
x2
B
30 A
BC
x1
est reprsente par le point I sur le cercle de Mohr. Le point reprsentatif de la contrainte cherche est
obtenu en tournant sur le cercle de Mohr de 60 partir du point I, cest le point K. Ses coordonnes dans le
repre (, ) donnent les valeurs des contraintes normale et tangentielle sexerant sur la facette
correspondante (point B sur la figure prcdente).
I
K
1
60
-1
-1
J
6/8
CONSTRUCTIONS CIVILES B1
Conservatoire
National
Des arts et mtiers
Mr BENNABI Abdelkrim
2 2 = 0
1 = 2 et 2 = 1
= 02 01
Nous retrouvons bien les valeurs des contraintes principales obtenues graphiquement laide de la
reprsentation de Mohr.
Directions principales :
Soient X I et X II les directions principales cherches. Leurs composantes sont donnes par la relation
matricielle :
(X i ) = 0 ,
prs. Il suffit par exemple de donner la premire ou la deuxime composante la valeur 1 et den dduire
lautre.
() ()
1 2 2 a
0
2 2 b = 0
ou :
a b 2 = 0
a 2 2 b = 0
7/8
CONSTRUCTIONS CIVILES B1
Conservatoire
National
Des arts et mtiers
Mr BENNABI Abdelkrim
1
1
On vrifie aisment que ces deux directions sont orthogonales. En effet, le produit scalaire X I X II donne :
r r
X I X II = 2
1
1
2 = 2 +1 = 0
1
2
r
Nous pouvons procder une vrification des rsultats obtenus graphiquement pour la direction X I :
II = -1
54,75
r
eI
35,25
I = 2
r
XI
r
r
cos (35,25) = 0.816 0.816 = 1,414
Le vecteur unitaire de X I est eI =
0.577
8/8