Résumé de Cours 1 Degré
Résumé de Cours 1 Degré
Résumé de Cours 1 Degré
1. Définitions générales
Oscillateur linéaire : tout système physique dont l’évolution au cours du temps de sa grandeur physique
est décrite par une fonction sinusoïdale de fréquence dépendante des caractéristiques du système.
Coordonnées généralisées : Nous définissons les coordonnées généralisées comme l’ensemble des
variables nécessaires pour décrire l’évolution dans le temps du système mécanique.
Exemple
(1) (2) (3)
B
x
k
𝐿 𝐶
m
(𝑚, 𝑙)
Coordonnée généralisée Coordonnée généralisée Coordonnée généralisée charge
𝑥 𝑡 𝜃 𝑡 𝑞 𝑡 ou tension 𝑉 𝑡
𝑖1 𝑖
l1
𝑘1
𝜃1 𝐿 𝐿
𝑚1 𝑥1 𝑚1 𝐶1 𝑉1 𝐶 𝑉 𝐶
l2 𝑖1 + 𝑖
𝑘 𝜃
𝑚
𝑚 𝑥
Coordonnée généralisées Coordonnées généralisées Coordonnées généralisées
𝑥 𝑡 et 𝑥 𝑡 𝜃1 𝑡 et 𝜃 𝑡 𝑞1 𝑡 , 𝑞 𝑡 ou 𝑉1 𝑡 , 𝑉 𝑡
Dans le cas d’un système conservatif où les forces dérivent d’un potentiel, la condition d’équilibre est :
Pour qu’un système puisse osciller, il doit satisfaire à la condition d’oscillation (Condition de stabilité) :
1
N. MAGHLAOUI
2. Oscillations de systèmes à 1 degré de liberté libre et non amortis
Soit la coordonnée généralisée décrivant le comportement d’un système physique, et sont
respectivement les énergies potentiel et cinétique de ce dernier. Un oscillateur linéaire présente les
caractéristiques suivantes :
̈+ √
avec
et sont des constantes que l’on détermine à partir des conditions initiales.
2
N. MAGHLAOUI
3. Oscillations libres de systèmes à 1 degré de liberté amortis
En plus des énergies cinétiques et potentiels décrit précédemment, nous avons la fonction de dissipation
qui est proportionnelle à ̇ . Cette fonction traduit le phénomène d’amortissement.
⃗
̇ * +
+
̇ ̇
̈+ ̇+ √ et
Cas 1
Pas d’oscillation, le mouvement est apériodique (Figure 1). Dans ce cas la solution s’écrit :
1 √
0.75
q(t)
0.5
0.25
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
temps (t)
Figure 1
Cas 2
Nous distinguons les prémisses d’une oscillation, c’est le régime critique (Figure 2). Dans ce cas la
solution s’écrit :
3
N. MAGHLAOUI
0.75
q(t)
0.5
0.25
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
temps (t)
Figure 2
Cas 3
Nous avons un mouvement oscillatoire avec une diminution d’amplitude, le mouvement est dit
pseudopériodique (Figure 3). Dans ce cas la solution s’écrit :
, et sont des constantes que l’on détermine à partir des conditions initiales.
représente la pseudo-pulsation.
représente la pseudo-période.
( )
+
est un nombre naturel qui représente le nombre de période qu’il y a entre les deux instants.
4
N. MAGHLAOUI
0.75
0.5
0.25
q(t)
0
-0.25
-0.5
-0.75
-1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
temps (t)
Figure 3
5
N. MAGHLAOUI
4. Oscillations forcées de systèmes à 1 degré de liberté
Les énergies cinétiques potentielles ainsi que la fonction de dissipation étant décrit précédemment,
l’équation de Lagrange en présence de forces extérieures sont :
+
̇ ̇
représente la somme des travaux des forces extérieures.
Exemple (Les forces sont parallèles aux déplacements à tout instant ) :
(4) (5)
l1
𝑘1
𝜃1
𝐹1 𝑡
𝐹1 𝑡 𝑚1 𝑥1 𝑚1
l2 𝐹 𝑡
𝑘 𝜃
𝑚
𝐹 𝑡 𝑚 𝑥
𝑊 𝐹1 𝑥1 + 𝐹 𝑥 𝑊 𝐹1 𝑙1 𝜃1 + 𝐹 𝑙1 𝜃1 + 𝑙 𝜃
̈+ ̇+
est une constante qui dépend des caractéristiques du système.
Dans le cas d’une force sinusoïdale
La solution générale est la somme de deux termes, une solution homogène qui tend vers zéro et une
solution particulière qui est la solution dans le régime permanent. Comme le second membre est
sinusoïdale alors la solution est sinusoïdale et de même pulsation (Figure 4).
De ce fait : .
d’où : ̇ et ̈ .
Régime transitoire Régime permanent
0.75
0.5
0.25
x(t)
-0.25
-0.5
-0.75
-1
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
temps (t)
Figure 4
6
N. MAGHLAOUI
En remplaçant dans l’équation de mouvement nous obtenons :
√ +
( )
X0(max)
Amplitude (X )
0
𝑋 X𝜔0( = 0)
Pulsation()
7
N. MAGHLAOUI
Nous définissons la puissance dissipée instantanée comme le produit de la force d’amortissement par
la vitesse de déformation de l’amortisseur
[ ]
〈 〉 ∫
représente la période.
5
Puissance (P)
𝑃𝑚𝑎𝑥
2
0
2,24 𝜔1 4,48 𝜔 6,72 8,96
Pulsation ()
Pulsation 𝜔
avec :
1
8
N. MAGHLAOUI