Manuscrit

Eléments du Cours de Mécanique Analytique
Chapitre I
Mohamed EL KACIMI
Année universitaire 2013/2014

Mohamed.Elkacimi@cern.ch/elkacimi@uca.ma Laboratoire de Physique des Hautes Energies et d’Astrophysique 2013/2014
Chapitre 1
Formalisme de Lagrange
1.1 Introduction
Le formalisme de la mécanique analytique n’apporte pas de nouveauté

conceptuelle par rapport au formalisme de la dynamique Newtonienne. Tou-
tefois, l’approche de la mécanique analytique constitue la formulation la
mieux adaptée à de nombreux domaines de la physique moderne. Elle est
à l’origine de la quantification des dynamiques classiques et fournit nombre
de concepts et d’outils mathématiques pour élaborer la mécanique quantique
moderne. La mécanique analytique constitue un cadre bien adapté à la for-
mulation des modèles des intéractions fondamentales de manière intuitive
en se basant sur les théories de symétrie de Jauge , partant de l’intéraction
éléctromagnétique et passant par les intéractions faibles et fortes.
1.2 Coordonnées généralisées
L’approche standard de la mécanique newtonienne consiste à relier les

quantités de mouvement des diverses particules aux forces qui en sont à l’ori-
gine sous forme d’équations différentielles vectorielles de deuxième ordre. Les
forces mises en jeu sont décrites soit par des lois fondamentales, dont celles
de la force gravitationnelle et de la force éléctromagnétique, ..., soit par des
lois phénoménologiques qui décrivent les forces de frottement. Rappelons que
les forces de frottements consituent des effets à l’échelle macroscopique des
forces fondamentales. L’ensemble des équations différentielles dynamiques
associées aux conditions initiales permettent de prédire complètement le
mouvement. La résolution de ces équations restent en général fastidieuse
lorsque des contraintes existent entre les positions ou bien entre les posi-
3
tions et les vitesses. En effet, la présence des forces de liaison où en général

les forces de contact introduisent des dépendances entre les variables qui
décrivent le système. Aussi, si le système est formé par N particules, en rai-
son des contraintes, les 3N coordonnées qui décrivent le système ne sont
plus indépendantes entre elles. De plus, les forces à l’origine des contraintes
sont mal connues et de ce fait introduisent à leurs tours de nouvelles incon-
nues liées à leurs valeurs.
L’idée de base de la mécanique analytique est d’éliminer les forces inconnues
et de ne décrire le système que par des coordonnées qui sont indépendantes
et qui ne sont soumises à aucune contrainte. Ces coordonnées s’appellent les
coordonnées généralisées. Elles sont de nature arbitraire et peuvent être
une longeur, un angle, ... cependant ces coordonnées décrivent de manière
univoque l’état mécanique du système si l’on prend en compte les contraintes.
Pour se fixer les idées, prenons l’exemple du double pendule, figure 1.1. En
principe le système est décrit par 6 coordonnées, 3 coordonnées pour chacun
des pendules. Or,
— les fils sont de longueur fixe, ce qui engendre deux contraintes, chacune
sur les coordonnées d’un pendule
−−→ −−−→
OM1 = l1 M1 M2 = l2 ;
— le mouvement doit avoir lieu sur un plan, ce qui rajoute deux contraintes
supplémentaires, chacune sur un pendule.
θ1 l1
g
M1
l2
M2
θ2
Figure 1.1 – Deux pendules liés astreints à se déplacer sur le même plan. Les angles θ1 et θ2 suffisent
pour décrire le mouvement du système.

1.2 Coordonnées généralisées 5
D’où le mouvement du système peut être décrit seulement par deux coor-
données au lieu de six. Le choix tout à fait naturel est constitué par les deux
angles repérant les rotations des deux pendules.
L’idée est de réexprimer les lois qui régissent le mouvement du système
non pas avec les coordonnées habituelles mais en fonction des coordonnées
généralisées. Si l’on est en présence de k contraintes, le nombre de coor-
données indépendantes est égal à n = 3N − k. Ces n coordonnées, que
l’on appelle les coordonnées généralisées, sont noteés qi , i = 1, · · · , n. On
dit que le système possède n degrés de liberté. Chacune des coordonnées
généralisées est identifiée à un degré de liberté. Aussi, il s’agit d’identifier
les coordonnées généralisées, ~ri = ~ri(q1 , ..., qn , t), et de les utiliser pour la
decription du système.
Revenons aux contraintes. Rappelons que généralement quand on résoud
un problème, on est intéressé par la solution du mouvement et non par la
connaissance des forces de laison qui sont à l’origine des contraintes sur
les coordonnées. La mécanique analytique permet d’établir les équations du
mouvement en éliminant les forces de liaison, comme on le verra par la suite,
et fournit les outils nécessaires pour déterminer les forces de contact.
Nous allons donner quelques définitions des contraintes que nous utilise-
rons dans la suite de ce cours.
1.2.1 Contraintes et définitions
On appelle contrainte holonome toute contrainte vérifiant la forme
f(~r1, ..., ~rN , t) = 0
différentiable en tout point. On distingue deux classes de contraintes ho-

lonomes. Les contraintes sont dites scléronomes si elles ne dépendent pas
explicitement du temps. Dans le cas contraire, elles sont dites rhéonomes.
Notons que dans le cas du double pendule, étant donné que la longueur
des fils est constante, et comme la contrainte est imposée c’est la longueur
du fil, alors elles est cléronome.
La physique moderne est essentiellement sub-atomique et l’on est rarement
confronté aux contraintes et quand elles apparaissent dans un problème,

elles sont holonomes.
1.3 Equations de Lagrange
Comme c’est indiqué dans le paragraphe précédent, il s’agit de décrire la

dynamique du système avec les coordonnées généralisées. Pour ce faire, il
est indispensable d’établir les équations auxquelles les variables générali-
sées sont soumises et ceci est réalisé à l’aide de la fonction de Lagrange
que l’on appelle le lagrangien, notée L(qi , q̇i , t), et qui est homogène à une
énergie.
Nous allons présenter les équations de Lagrange en utilisant deux approches.
L’une d’elles est basée sur le principe de moindre action, qui est un forma-
lisme sous-tendu par les chemins d’intégrale. Une deuxième approche dérivée
des lois fondamentales de la dynamique fera l’objet de ce paragraphe.
Dans la suite, nous adopterons les indices grecs α pour énumérer les par-
ticules qui composent le système et les indices romains pour énumérer les
coordonnées généralisés. Les forces de liaison seront notées F ~l et les forces
extérieures par F~e .
1.3.1 Principe de moindre action
On postule qu’il existe une fonction L(qi , q̇i , t) telle que l’action, définie,
par
Z t2
S = L(qi , q̇i , t)dt,
t1
est extremale pour la trajectoire empruntée effectivement par le système

entre les instants t1 à t2 dont les coordonnées généralisées respectives sont
qi (t1 ) et qi (t2 ), valeurs de départ et d’arrivée de la trajectoire.
Il est très important de remarquer que ce qui est stipulé ne sont pas des
équations différentielles sur les variables dynamiques du système, comme
c’est le cas du principe fondamental de la dynamique, mais un principe va-
riationnel qui postule le caractère extrémale d’une intégrale calculée sur la
trajectoire.
1.3 Equations de Lagrange 7
Un autre exemple du principe variationnel utilisé en physique est celui

de Fermat qui sous tend les lois de l’optique géométrique et qui stipule que
le rayon lumineux emprunte toujours le trajet ayant un temps de parcours
extremal, minimal dans ce cas ci.
Notons que la fonction de Lagrange ne dépend que des coordonnées gé-
néralisées et leurs premières dérivées car les équations fondamentales de la
dynamique sont de second ordre.
1.3.2 Théorème de d’Alembert
Ce théorème permettra de déduire les équations de Lagrange à l’aide du

principe fondamental de la dynamique en introduisant la notion de déplace-
ment virtuel.
Théorème
Lors d’un déplacement virtuel, le travail des forces de

liaison est nul.
Notons qu’un déplacement virtuel correspond à un déplacement de chaque
vecteur position ~ri d’une quantité δ~ri à un instant t donné. Alors qu’un dé-
placement réel d~r met en jeu une translation correspondante dans le temps.
Ce théorème stipule donc que les déplacements virtuels sont ceux pour
lesquels les forces de liaisons n’engendrent aucun travail et n’affecte donc
pas l’énergie du système. Si les contraintes ne dépendent pas du temps alors
les déplacements virtuels coincident avec les déplacements réels.
Prenons quelques exemples :
Pendule simple : le fil est inextensible. Lors des oscillations du pendule la
tension du fil T~ ne travaille pas. Le déplacement virtuel coincide avec
le déplacement réel.
Boule : une boule qui roule sans glisser. La force de liaison qui l’empêche
de glisser est perpendiculaire au plan de roulement. Aussi, le travail de
cette force est nul.
Calculons le travail des forces le long d’un déplacement virtuel, que l’on
appelle le travail virtuel,
X X
δW = ~e,α + F
(F ~l,α ) · δ~rα = ~e,α · δ~rα .
F
α α

Or le déplacement virtuel peut s’exprimer comme suit
X ∂~rα
δ~rα = δqi
i
∂qi
sachant que δt = 0 pour un déplacement virtuel. Le travail virtuel prend

alors la forme
X
δW = ~e,α · ∂~rα δqi
F
α,i
∂qi
X
= Qi δqi
i
où Qi est la ième composante de la force généralisée telle que
N
X
Qi = ~e,α ∂~rα .
F
∂qi
α=1
Nours revenons sur ce concept pour établir l’équation de Lagrange à partir

des principes de la dynamique.
1.3.3 Principe variationnel
Cette approche est basée sur les chemins d’intégrale. Considérons deux
trajectoires entre les coordonnées q(1) et q(2), figure 1.2. L’une constitue la
trajectoire effectivement suivie et que l’on notera par qi (t). L’autre trajec-
toire, que l’on appellera la trajectoire variée, infiniment proche de la trajec-
toire effective, correspond à chaque instant à qi (t) + δqi (t), où δqi(t) est un
accroissement infinitésimal de la coordonnée
qi(t)
q (t )
i 2
δqi(t)
q (t )
i 1
t1 t2 t
Figure 1.2 – Trajectoires effective et variée. Les deux coincident aux instants t1 et t2 .
et qui s’annule aux instants t1 et t2 puisque les deux trajectoires se

confondent en ces points. Le postulat est que l’action est extremale pour
la trajectoire effective, ce qui veut dire que l’accroissement de l’action δS
autour de cette trajectoire est nul. Calculons cet accroissement
Z t2
δS = (L(qi + δqi , q̇i + δ q̇i , t) − L(qi , q̇i + t)) dt
t1
XZ t2
∂L ∂L dδqi
= δqi dt + dt
i t1 ∂qi ∂q̇i dt
nous avons utilisé δ q̇i = dδqi /dt. En intégrant par partie le deuxième terme
entre les deux instants t1 et t2 , on obtient
X Z t 2 ∂L d ∂L

∂L
t2
δS = − δqi dt + δqi
i t1
∂q i dt ∂q̇i ∂q̇i t1
Comme les deux trajectoires coincident aux instants t1 et t2 alors δqi (t1 ) =
δqi (t2 ) = 0, ce qui fait que
t2
∂L
δqi = 0
∂q̇i t1
Le terme qui reste est nul, sachant que les δqi sont arbitraires et indé-
pendants, si et seulement si les n équations suivantes sont simultanément
nulles

∂L d ∂L
− = 0
∂qi dt ∂q̇i
ce qui constitue les équations de Lagrange.

Si les coordonnées généralisées coincident avec les coordonnées carté-
siennes, les équations de Lagrange s’écrivent comme suit
∂L(ri , vi , t) d ∂L(ri , vi , t)
− = 0.
∂~r dt ∂~ v
Notons qu’à partir d’un principe variationnel, qu’est le principe de moindre
action, on aboutit à n équations différentielles du second ordre. Remarquons
aussi que
— les équations du mouvement ne changent pas si la fonction de Lagrange
est multipliée par une constante. Ceci correspond seulement au choix
de l’unité de L. Rappelons qu’elle est homogène à une énergie.
— la forme de L doit obéir aux symétries du système physique (invariance
par translation dans le temps et dans l’espace, invariance relativiste, ...).
D’ailleurs, c’est cela qui guide la construction des modèles théoriques
et plus particulièrement les théories des interactions fondamentales.
— les équations du mouvement restent inchangées si l’on rajoute au la-
grangien une dérivée totale d’une fonction des coordonées et du temps.
Posons L′ = L + df(qi , t)/dt. f ne dépend pas de q̇i car L ne dépend
que des dérivées premières par rapport au temps. En effet

∂L′ d ∂L′ ∂L d ∂L ∂ df(qi , t) d ∂ df
− = − + −
∂qi dt ∂q̇i ∂qi dt ∂q̇i ∂qi dt dt ∂q̇i dt
or
d ∂ ∂ ∂
= q̇i + q̈ +
dt ∂qi ∂q̇ ∂t
( h i
∂ df ∂2 f 2
∂2 f
∂q̇i dt
= ∂qi + ∂qi ∂q̇i + ∂q̇i ∂t = ∂qi =⇒ dt ∂q̇i dt = q̇i ∂∂2 qf i + ∂t∂q
∂f ∂ ∂f ∂f d ∂ df
=⇒ ∂ df ∂2 f ∂2 f
i
∂qi dt = q̇i ∂2 qi + ∂qi ∂t
ce qui implique que

∂L′ d ∂L′ ∂L d ∂L
− = −
∂qi dt ∂q̇i ∂qi dt ∂q̇i
et donc les équations de Lagrange restent invariantes.
— le Lagrangien de deux systèmes indépendants est égale à la somme

des lagrangiens de chacun des systèmes, L = L1 + L2 .
1.3.4 Principe de la dynamique
Reprenons le travail virtuel des forces extérieures défini auparavant. En

appliquant le principe fondamental de la dynamique, on a
X
δW = mα ¨~r · δ~rα .
α
Reexprimons le travail virtuel en utilisant l’accélération généralisée de ma-

nière à ce que
X X ∂~rα
mα ¨
~r · δ~rα = mα v˙~α · δqk
α
∂qk
α,k
X
= Ak δqk
k
l’expression des composantes de l’accélération généralisée sont

X ∂~rα
Ak = mα v˙
~α ·
α
∂qk
!
d X ∂~rα X d ∂~rα
= mα v~α · − mα v~α · .
dt α
∂qk α
dt ∂qk
De même, l’expression de la vitesse peut se mettre sus la forme

X ∂~rα ∂~rα ∂~
vα ∂~rα
v~α = ˙
~rα = q̇k + =⇒ = .
∂qk ∂t ∂q̇k ∂qk
k
Aussi nous avons

X ∂2~rα
d ∂~rα ∂2~rα
= q̇i +
dt ∂qk i
∂qi ∂qk ∂t∂qk
!
∂ X ∂~rα ∂~rα
= q̇i +
∂qk i
∂qi ∂t
∂~
vα
=
∂qk
On obtient alors
!
d X ∂~
vα X ∂~
vα
Ak = mα v~α · − mα v~α ·
dt α
∂q̇k α
∂qk
! !
d ∂ X1 ∂ X1
= mα v α 2 − mα v α 2
dt ∂q̇k α
2 ∂qk α
2
ce qui aboutit finalement à
d ∂T ∂T
Ak = −
dt ∂q̇k ∂qk
où T est l’énergie cinétique de la particule α. En combinant l’expression de
l’accélération généralisée à celle de la force généralisée on trouve
X
(Ak − Qk ) δqk
k
Cette dernière relation est vérifiée quelque soit le déplacement virtuel δqk
si et seulement si
d ∂T ∂T
Ak = Qk =⇒ − = Qk
dt ∂q̇k ∂qk
et qui traduit l’équation de Lagrange en fonction de l’énérgie cinétique et

de la force généralisée.
Rappelons que la relation précédente est établie dans un référentiel ga-
liléen. Dans le cas où le référentiel n’est pas galiléen, comme la relation
fondamentale de la dynamique dans ce référentiel est
d~p X
= ~α + ~fαin
F
dt α
où ~fin sont les forces d’inertie, l’accélération généralisée devient

Ak = Qk + Qkin
où
X
Qkin = ~fin · ∂~rα .
α
α
∂qk
Notons que l’énergie cinétique est évaluée dans le référentiel non galiléen.
1.3.5 Lagrangien d’une particule libre non relativiste
Comme il a été mentioné auparavant, le lagrangien d’un système, en l’occu-

rence une particule isolée, est guidé par les symétries du système. En raison
du principe fondamental de la dynamique, la particule est animée d’un mou-
vement uniforme, mv˙ ~ Les symétries qui vont guider la construction du
~ = 0.
lagrangien sont
— l’invariance par rapport aux translations dans le temps (conservation de
l’énergie), le lagrangien ne doit pas dépendre explicitement du temps ;
— l’invariance par rapport à l’espace (conservation de la quantité de mou-
vement), le lagrangien ne doit pas dépendre de ~r ;
— l’invariance par rapport aux rotations (conservation du moment ciné-
tique), le lagrangien ne doit pas dépendre de la direction de v~ ;
ce qui fixe la forme de la fonction de Lagrange à L = f(v 2 ). Si l’on applique
les équations de Lagrange, on obtient

d ∂L d df
= 2 v~
dt ∂~
v dt dv 2
et l’équation du mouvement de la particule isolée mv˙~ = 0, ~ est satisfaite si
df/dv 2 = constante = m/2.
Une deuxième approche consiste à utiliser le principe qui stipule que
toutes les lois physiques doivent avoir la même forme dans les référentiels
galiléens, et les équations de Lagrange n’échappent pas à cette règle.
Rappelons que nous sommes dans le cas non relativiste et la transformation
qui permet de passer d’un repère galiléen R à un autre R′ est donnée par
la transformation de Galilée :
v~(M/R) = v~(M/R′ ) + V~ (R′ /R)
−−→ −−→
OM = O ′ M + V~ (R′ /R)t
t = t′
où t et t ′ sont mesurés respectivement par des horloges liées aux repères R
et R′ .
Supposons que V~ (R′ /R) = ε~ → 0.~ La vitesse de la particule dans ce nouveau
repère est v~′ (M/R′ ) = v~(M/R) − ε~. Les équations de Lagrange conservent
la même forme dans les deux référentiels si les deux fonctions de Lagrange
respectivement dans les deux repères diffèrent par une dérivée totale par
rapport aux temps :
L′ = f(v ′2 )

= f [~ v − ε~]2
≃ f(v 2 − 2~ v · ε~)
df
= f(v 2 ) − 2 2 v~ · ε~
dv
df d~r
= f(v 2 ) − 2 2 · ε~
dv dt
le cas simple où les deux expressions du lagrangien diffèrent par une dérivée
totale par rapport au temps est lorsque df/dv 2 est constante, ce qui donne

d df
L′ = L − 2 2 ~r · ε~
dt dv
df/dv 2 = C =⇒ f = C v 2 et donc L = C v 2. Sachant que le moment conjugué
∂L 1
= 2C v~ = m~ ~ =
p
v =⇒ C = m
∂~
v 2
ce qui donne finalement pour le lagrangien d’une particule libre non relati-
viste L = 21 mv 2 .
1.3.6 Système de particules interagissant par des forces conservatives
On considère un système formé de N particules. On suppose dans ce cas

que la force extérieure qui s’exerce sur chacune des particules dérive d’un
potentiel et que le potentiel ne dépend que des coordonnées généralisées
~ ext = −∂V /∂~rα = −∇
V (qi ). Ainsi la force F ~ α V . On laissera tomber de préci-
α
ser le cartère exterieur de la force par souci d’allègement des notations. Les
composantes de la force généralisée peuvent se mettre sous la forme
N
X ∂~rα
Qk = F~α ·
∂qk
α=1
XN X
3
∂V ∂rα,i
= −
∂rα,i ∂qk
α=1 i=1
P
or ∂/∂qk = α,i ∂rα,i /∂qk ∂/∂rα,i ce qui donne
∂V
Qk = −
∂qk
ainsi L = T − V définit bien le lagrangien et satisfait les équations de
Lagrange.
Notons que le potentiel ne dépend ni explicitement du temps ni de q̇i .
Pour une particule, nous avons

∂L ∂V
= − = Qk ;
∂qk ∂qk
puisque T ne dépend que de q̇i . En comparant les équations de Lagrange au
principe fondmental de la dynamique
d ∂L d
= Qk = pk
dt ∂q̇k dt
ce qui permet de définir
∂L
pk =
∂q̇k
comme étant l’impulsion généralisée ou le moment conjugué de qk .
1.3.7 Système de particules interagissant par des forces dérivant d’un potentiel géné-
ralisé V (q, q̇)
Même si le potentiel n’est pas conservatif au sens usuel, notons qu’il dé-
pend des vitesses généralisées q̇, si la composante de la force généralisée
peut se mettre sous la forme
d ∂V ∂V
Qk = −
dt ∂q̇ ∂qk
le lagrangien L = T − V satisfait toujours les équations de Lagrange. C’est le
cas pour l’exemple de la force de Lorentz, comme cela sera traîté en travaux
dirigés.
1.3.8 Cas des forces dissipatives : fonction de Rayleigh
Si toutes les forces ne dérivent pas d’un potentiel, on peut toujours écrire
les équations de Lagrange sous la forme
d ∂L ∂L
− = Qk
dt ∂q̇ ∂qk
où les Qk sont les forces généralisées qui ne dérivent pas d’un potentiel,
même généralisé.
Le cas des forces de frottement qui s’écrivent comme Fi = −ki vi peut être
traîté en utilisant la fonction dite de dissipation de Rayleigh définie par
1X 2 2 2

F = kx vα,x + ky vα,y + kz vα,z
2 α
∂F
sachant que la force généralisée peut se mettre sous la forme Qk = − ∂q̇k
.
1.3.9 Cas de contraintes non holonomes : multiplicateurs de Lagrange
Le caractère holonome des contraintes, fl (~r1, · · · , ~rN ) = 0, l ∈ {1, m},

assure que les coordonnées généralisées (qi, i = 1, n) où n = N − m soient
idépendantes deux à deux et c’est ce qui permet d’établir les équations de
Lagrange à partir du principe de moindre action. Que se passe-t-il si les
contraintes ne sont pas holonomes ?
Méthode des multiplicateurs
Supposons que l’on a m équations de contrainte qui peuvent se mettre

sous la forme
X
alk dqk + alt dt = 0
k
où l = 1, · · · , m et k = 1, N ; alors la méthode dite des multiplicateurs de

Lagrange peut s’appliquer et apporter une réponse tout en déterminant les
forces de liaison.
Considérons un déplacement virtuel, dt = 0, les équations précédentes de-
viennent
X
alk δqk = 0.
k
On introduit m constantes indéterminées λl et les m relations suivantes sont

vérifiées
X Z t2 X X
λl alk δqk = 0 et λl alk δqk dt = 0.
k t1 l k
Le principe de moindre action s’écrit comme suit

Z t2 X
∂L d ∂L
δS = dt − δqk = 0
t1 ∂qk dt ∂q̇k
k

et la somme des deux équations précédentes donne

Z t2 X " X
#
∂L d ∂L
dt − + λl alk δqk = 0.
t1 ∂qk dt ∂q̇k
k l
Rappelons que les n coordonnées généralisées qi ne sont pas indépendantes.

On peut choisir les N − m premières Pcoordonnées comme indépendantes, et
les N − m restantes sont fixées par k alk δqk = 0. Comme les m constantes
λl introduites sont libres, on peut les choisir de manière à ce que
∂L d ∂L X
− + λl alk = 0
∂qk dt ∂q̇k
l
pour k = N − m + 1, · · · , N ainsi on obtient
∂L d ∂L X
− = λl alk pour k = 1, · · · , N
∂qk dt ∂q̇k
l
où il y a N +m inconnues : les N coordonnées qk et les m constantes λl . Pour

résoudre le système complet des inconnues, nous rajoutons les m équations
de contraintes
X
alk δqk + alt = 0
k=1,N
ce qui fait le compte, un système de N + m équations pour N + m inconnues.

Quelle est la signification physique des multiplicateurs de Lagrange λl ? On
a vu que les équations de Lagrange en présence de forces conservatives et
non conservatives s’écrivent comme suit
d ∂L ∂L
− = Qk
dt ∂q̇k ∂qk
où les Qk sont les forces généralisées associées aux forces non conserva-
tives. Les multiplicateurs de Lagrange s’identifient aux forces généralisées
de contraintes. La puissance de cette méthode réside dans la possibilité de
résoudre les équations de Lagrange sans connaître les expressions explicite
des forces de liaison ; il suffit de connaitre seulement les contraintes impo-
sées par celles-ci sur les coordonnées généralisées.

1.3.10 Lagrangien d’une particule libre relativiste
Il s’agit dans ce cas d’une particule relativiste et la transformation des

vitesses pour passer d’un repère galiléen à l’autre est donnée par la tranfor-
mation de Lorentz, que nous n’expliciterons pas ici.
Nous procédons de la même manière en se basant sur les symétries pour
construire le lagrangien d’une particule relativiste libre :
— l’action d’une particule libre relativiste doit être un invariant relativiste :
elle est invariant par rapport à la transformation de Lorentz et donc
possède la même forme quelque soit le référentiel galiléen. L’expression
la plus simple est que l’action soit l’intégrale d’un scalaire relativiste.
— L’action ne doit contenir que des termes différentiels du premier ordre,
pour que, après l’application des équations de Lagrange, on obtient des
équations différentielles du second ordre. √
— On construit alors l’action à partir du scalaire ds = c 2dt 2 − dr 2, qui
n’est d’autre qu’un intervalle infinitésimal de l’espace de Minkowski,
comme
Z t2 Z t2 r
v2
S = −a ds = −ac 1 − 2 dt
t1 t1 c
où a est une constante qui dépend de la nature de la particule et le

signe - se justifiera, comme on le verra par la suite.
— On identifie alors le lgrangien de la particule libre à
r
v2
L = −ac 1 − 2
c
— Comme celui-ci doit se confondre avec le lagrangien d’une particule
libre non relativiste lorsque v/c → 0 alors

v2 a 1 2
L = −ac 1 − 2 = −ac + v 2 ≃ v
2c 2c 2m
le premier terme est constant et n’influe pas sur les équations de la
dynamique de la particule. On a ainsi a = mc ce qui donne pour le
lagrangien d’une particule relativiste libre
r
v2
L = −mc 1 − 2 dt.
c
1.4 Quelques exemples 19
1.4 Quelques exemples
Quelques exemples sont traités dans les sous paragraphes suivants.
1.4.1 Pendule simple
Soit un pendule de longueur l avec une masse M placé dans un champ de

pésanteur g~ et astreint à se déplacer dans un plan (x, y), figure 1.3. Ce sys-
tème jouit de deux dimensions et soumis à une contrainte x 2 + y2 = l2 . Aussi,
ce système possède un seul degré de liberté. On choisit l’angle θ comme
coordonnée généralisée.
g
u2
θ l
u1
x
Figure 1.3 – Pendule de longueur l et de masse m .
Pour établir le lagrangien, nous calculons l’énergie cinétique ; ensuite nous

utiliserons deux approches pour établir l’équation du mouvement. Soit Ω ~ =
θ̇ u
~ z avec u
~z = u
~1 ∧ u~ 2.
On considère que le référentiel dans lequel on étudie le mouvement est
galiléen ; si non, il faut tenir compte des forces d’inertie.
−−→
La position de M est repérée par OM = l~ u1 ce qui donne pour la vitesse
−−→ ˙~ 1
OM = l~
u1 =⇒ v~ = lu
= lΩ~ ∧u ~1
= lθ̇ u
~2
ainsi l’énergie cinétique du pendule est
1 2 1 2 2
T = mv = ml θ̇ .
2 2
On procède par deux approches :
Méthode 1 : on ne connait pas l’expression du potentiel. Considérons un dé-

placement virtuel δ~r = lδθ u
~ 2 . La seule force qui travaille est le poids,
et le travaile est donné par
g · δ~r
δW = m~
= −mgsinθδθ = Qθ δθ
ce qui nous permet d’écrire
d ∂T ∂T
− = Qθ = −mglsinθ =⇒ θ̈ + ω2 sinθ = 0
dt ∂θ̇ ∂θ
avec ω2 = g/l.
Méthode 2 On connait l’expression du potentiel
V = mgl(1 − cosθ)
à une constante près. Alors, le lagrangien est
1
L = T − V = ml2θ̇ 2 − mgl(1 − cosθ)
2
et l’équations de Lagrange donne le résultat obtenu précédement.
1.4.2 Masse sur une tige rappelée avec un ressort
Soit une masse M astreinte à se déplacer sur une tige indéformable faisant
un angle θ avec l’axe vertical Oz, figure 1.4. La tige tourne avec un vecteur
rotation imposé Ω~ = φ̇~
uz . La masse est attachée à un ressort de constante
de raideur k et de longueur à vide l0 . La masse glisse sans frottement et est
soumise à son poids.

1.4 Quelques exemples 21
O
x
θ
y
l
g
M
φ
ur
uz
z
Figure 1.4 – Masse M glissant sur une tige en rotation imposée et soumise à une force de rappel
d’un ressort.
−−→
Le système possède un seul degré de liberté. Nous prenons r = OM
comme coordonnée généralisée.
Le référentiel R(Oxyz) est galiléen. La vitesse de M est donnée par
−−→
dOM
v~ =
dt R
d~ur
= ṙ u
~r + r
dt
= ṙ u
~r + rΩ~ ∧u ~r
ce qui donne pour l’énergie cinétique

M 2
T = (ṙ + r 2Ω2 sinθ 2 ).
2
Les équations de Lagrange s’écrivent
d ∂T ∂T
− = Qr
dt ∂ṙ ∂r
M(r̈ − rΩ2sinθ 2 ) = Qr
Qr étant la composante de la force généralisée selon r. Pour un déplacement
virtuel δ~r = δr u
~ r , le travail virtuel du poids et de la force de rappel du ressort
est
δW = m~g · δ~r − k(r − l0 )~

ur · δ~r
= [Mgcosθ − k(r − l0 )] δr = Qr δr
L’équation de Lagrange dans ce cas est
r̈ − r(Ω2sinθ 2 − ω2 ) − gcosθ − ω2 l0 = 0
1.4.3 Exemple de calcul de contrainte
Considérons un cerceau de rayon R et de masse M roulant sans glisser

sur un plan incliné d’un angle α sous l’effet de son poids, figure 1.5. L’énergie
cinétique du cerceau est égale à
1 1
T = Mẋ 2 + I θ̇ 2
2 2
où I est le moment
R 2 d’inertie
R du cerceau par rapport à l’axe de rotation passant
2 2
par G, I = r dm = R dm = MR ; vG = ẋ est la vitesse de G et θ̇ est la
vitesse angulaire de rotation du cerceau sur lui même.
θ
G
R
g
α
x
Figure 1.5 – Cerceau de masse M roulant sans glisser sur un plan incliné d’un angle α.
Ce système possède deux coordonnées généralisées reliées par la contrainte

de roulement sans glissement
ẋa = aR θ̇.
Cette contrainte peut se mettre sous une forme holonome auquel cas on
peut utiliser les équations de lagrange usuelles. Toutefois, nous utilisons la
méthode des multiplicateurs de Lagrange.
1.5 Symmétries et lois de conservation 23
Introduisons un multiplicateur de Lagrange λ et conservons les deux co-

ordonnées généralisées. L’équation de contrainte est
dx − Rdθ = a1x dx + a1θ dθ =⇒ a1x = 1 , a1θ = −R.
Ainsi les équations de Lagranges généralisées deviennent
d ∂L ∂L
− = λa1x = λ
dt ∂ẋ ∂x
d ∂L ∂L
− = λa1θ = −λR
dt ∂θ̇ ∂θ
On obtient un système de trois équations à trois inconnues (x, θ, λ) :

Mẍ − Mgsinα = λ
MR θ̈ = −λ
ẋ = R θ̇
ce qui donne finalement
gsinα
ẍ =
2
ẋ
θ̇ =
R
Mgsinα
λ = −
2
On note que le cerceau descend avec une accélération égale à la moitié s’il
n’y avait pas de frottements dus à la contrainte λ, dirigée selon x.
1.5 Symmétries et lois de conservation
Nous avons utilisé les propriétés de symmétrie pour la construction du

lagrangien. Le théorème de Nother définit un cadre mathématique rigou-
reux qui relie les symmétries du lagrangien aux lois de conservation. Avant
d’aborder le théorème, introduisons les variables cycliques
1.5.1 Variable cyclique
Une variable qk est dite cyclique si le lagrangien ne dépend pas explici-

tement de cette variable, alors
∂L
= 0
∂qk
or
∂L d ∂L
=
∂qk dt ∂q̇k
ce qui implique
d ∂L d
= 0 =⇒ pk = 0
dt ∂q̇k dt
et donc le moment conjuqué est conservé.
Le moment conjugué d’une variable cyclique est une

intégrale première du système.
1.5.2 Théorème de Noether
Ennoncé Soit un jeu de coordonnées généralisées q̃k (s) dépendant continu-

ment d’un paramètre s et tel que q̃k (0) = qk . Si le lagrangien est inva-
˙ , t) =
riant par rapport à la transformation qk → q̃k , c’est à dire L(q̃k , q̃k
L(qk , q̇k , t), alors
X ∂L dq̃k
I(qk , q̇k ) =
∂q̇k ds s=0
k
est une constante du mouvement.

Démonstration L est indépendant de s, implique
!
dL X ∂L dq̃k ˙
∂L dq̃k
= +
ds ∂q̃k ds ˙ ds
∂q̃
k k
!
X d ∂L dq̃k ∂L d dq̃k
= +
˙ ds
dt ∂q̃ ˙ dt ds
∂q̃
k k k
!
d X ∂L dq̃k
= =0
dt ˙ ds
∂q̃
k k
ce qui en évaluant l’expression obtenue en s = 0 prouve le théorème.

1.5.3 Invariance par rapport à la translation dans le temps
On considère une translation infinitésimale dans le temps, t → t + s, le

résultat reste valable pour une translation quelconque. Ainsi,
q̃k (s) = qk (t + s)
∂qk dq̃k (s)
≃ qk (t) + s =⇒ = q̇k .
∂t ds
Selon le théorème de Noether, la quantité
X ∂L dq̃k
I(qk , q̇k ) =
∂q̇k ds s=0
k
X ∂L
= q̇k
∂q̇k
k
X
= pk q̇k
k
est constante. Comme le lagrangien est indépendant du temps, on peut écrire

dL X ∂L ∂L

= q̇k + q̈k
dt ∂qk ∂q̇k
k
X d ∂L ∂L dq̇k

= q̇k +
dt ∂q̇k ∂q̇k dt
k
X d ∂L
= q̇k
dt ∂q̇k
k
X d
d X
= [pk q̇k ] =⇒ ( pk q̇k − L) = 0
dt dt
k k
P
Alors la quantité H = k pk q̇k − L, appelée intégrale de Jacobi, ou Hamil-
tonien, est une quantité conservée.
Mais quelle est sa signification ? Reprenons l’expression de l’énergie ciné-
tique,
1X
T = mα v α 2
2 α
et donnons son expression en fonction des coordonnées généralisées, dans

l’hypothèse de contraintes scléronomes, c’est à dire ∂~ri /∂t = 0, c’est à dire
que les coordonnées ne dépendent pas explicitement du temps,

vα2 = v~α · v~α
! !
X ∂~rα ∂~r X ∂~rα ∂~r
= q̇k + · q̇l +
∂qk ∂t ∂ql ∂t
k l
X ∂~rα
∂~rα
= · q̇k q̇l .
∂qk ∂ql
k,l
L’énergie cinétique peut se mettre sous la forme

1X
T = mkl (q)q̇k q̇l
2
k,l
où la matrice [m] est réelle, symétrique et définie par

X
∂~rα ∂~rα
[mkl ] = mα ·
α
∂q k ∂ql
 ∂~r ∂~r ∂~rα ∂~rα

α
· α
· · · ·
X ∂q ∂q
 1 .. 1 . .
∂q1 ∂qn
.. 
= mα  . . . .
∂~rα
α · ∂~rα · · · ∂q
∂qn ∂q1
∂~rα
n
∂~rα
· ∂q n
Notons que l’énergie cinétique est une fonction homogène d’ordre 2,

T (qk , λq̇) = λ2 T (qk , q̇)
ce qui implique que l’énergie cinétique vérifie la propriété suivante
X ∂T
q̇k = 2T (qk , q̇k ).
∂q̇k
k
Cette dernière propriété est la conséquence du théorème d’Euler. 1 Trouvons

l’expression de l’hamiltonien en fonction de l’énergie cinétique et du poteni-
tiel. Pour ce faire, nous allons considérer deux cas de figures :
Forces conservatives : le potentiel est de la forme V = V (q), alors
X
H= = pk q̇k − L
k
1. Une fonction homogène d’ordre n, tel que f(λxi , yi ) = λn f((xi , yi ) et
X ∂f
xi = nf
i
∂xi

X ∂L
= q̇k − T + V
∂q̇k
k
X ∂T
= q̇k − T + V
∂q̇k
k
car V = V (q) et donc sa dérivée par rapport à q̇k est nulle. Sachant
que T est homogène d’ordre 2, alors
X ∂T
q̇k = 2T
∂q̇k
k
grâce au thorème d’Euler, et on peut déduire finalement que

H = 2T − T + V = T + V = E
et donc la fonction de Hamilton n’est d’autre que l’énergie mécanique
du système.
Potentiel de la forme V (q, q̇) : la fonction de Hamilton s’écrit dans ce cas
comme suit
X ∂T ∂V

H = q̇k − −T +V
∂q̇k ∂q̇k
k
X ∂V
= T +V − q̇k
∂q̇k
k
C’est toujours l’énergie totale du système et c’est le cas pour l’exemple
de la force de Lorentz, H = T + qU, voir TD.
L’invariance du Lagrangien par rapport à la translation

dans le temps engendre la conservation de l’énergie
mécanique du système.
1.5.4 Invariance par rapport à la translation spatiale
Prenons les coordonnées cartésiennes comme coordonnées généralisées.

Et supposons que le lagrangien est invariant par rapport à une translation
selon les trois axes, ri → r̃i = ri + ε, i = x, y, z alors dr̃i/dε = 1 alors la
quantité
X ∂L X X
I = = pα,i
i=x,y,z
∂ṙ i i=x,y,z alpha

est conservée et qui ne sont d’autres que les composantes de l’impulsion

totale selon les trois axes.
L’invariance du lagrangien par rapport à la translation

dans l’espace engendre la conservation de la quantité de
mouvement.
1.5.5 Invariance par rapport à une rotation
Prenons une rotation infinitésimale d’un angle θ → 0 autour de l’axe Oz.

La matrice de rotation peut s’écrire comme suit
        
1 θ 0 x̃ 1 θ 0 x x + θy
O(θ) =  −θ 1 0  =⇒  ỹ  =  −θ 1 0   y  =  y − θx 
0 0 1 z̃ 0 0 1 z z
ce qui implique que ~r se transforme comme

~r̃ = ~r + ~r ∧ θ u d~r
~ z =⇒ = (~r ∧ u
~ z )i = εij3 rj
dθ i
sachant que εijk est le tenseur de Levi-Civita.
Le lagrangien est invariant par rapport à la rotation alors la quantité
X ∂L dr̃i
I =
∂˙
ri dθ
i=1,2,3
X X
= pα,i εij3 rj
α i=1,2,3
X
= pα,1 ε1j3 rj + pα,2 ε2j3 rj
α
X X
= pα,1 y − pα,2 x = Jα,3
α α
qui n’est d’autre que le moment cinétique totale selon l’axe Oz. L’invariance
par rotation donc entraine la conservation du moment cinétique. Le résultat
reste général.
Si le lagrangien est invariant par rotation, alors le moment

cinétique est conservé.

1.6 Quelques exemples simples d’application du calcul variationnel 29
1.6 Quelques exemples simples d’application du calcul variationnel
Nombreux sont les problèmes qui peuvent être resolus par le formalisme
de Lagrange, et plus particulièrement, lorsque celui-ci peut se mettre sous la
forme d’une fonctionnelle pour laquelle il faut calculer l’extremum. En général,
si la fonctionnelle, comme c’était le cas de l’action dans ce chapitre, peut
s’écrire sous la forme
Z x2
S = f(y, y′ , s)ds
x1
où y′ est la dérivée de y par rapport à x. Notons que x joue le rôle du temps

dans ce que nous avions vu auparavant. Dans ce cas la méthode variationnelle
fonctionne et les équations que l’on obtient ne sont pas les équations de
Lagrange, puisqu’il ne s’agit pas du lagrangien comme défini auparavant
c’est à dire une grandeur ayant la dimension d’une énergie, mais on peut
appliquer l’ensemble des résultats que nous avions établis.
1.6.1 Plus petite distance dans un plan
Le problème est de détérminer la distance minimale entre deux points

p A et
B dans un plan. La quantité à minimiser est donc la distance ds = x + y2 ,
2
si le plan est muni d’un repère (Oxy).

Ainsi la fonctionnelle à minimiser est
Z B Z xB q
S = ds = 1 + y′2 dx.
A xA
On note que la variable x joue le rôle du temps et le “lagrangien” est

q
′
L(y ) = 1 + y′2
qui ne dépend pas de y et donc cette dernière est une variables cyclique, ce
qui implique
∂L y′
= py = p
∂y′ 1 + y′2
est constant ce qui implique y′ = dy/dx est constant et donc y = f(x) est
une droite. La distance minimale est la longueur du segment droit qui sépare
les points A et B.

1.6.2 La brachistochrone
Considérons un point matériel de masse m glissant sans frottement sur un

plan vertical sous l’action de son poids. Quelle est l’équation de la courbe
joignant deux points O et A pour laquelle le temps mis par le point matériel
est minimum ?
La quantité à minimiser dans ce cas est le temps dt = ds/v, v étant la vitesse
du point matériel :
Z A
S = dt
O
Z A
ds
=
O v
Z xA p
1 + y′2
= p dx
0 2gy
p
où v = 2gy, déduite à partir du théorème de l’énergie cinétique. De la
même façon, x joue le rôle du temps et le “lagrangien” pour ce cas est
s
1 + y′2
L(y, y′ ) = .
2gy
Comme L ne dépend pas de x, alors ∂L/∂x = 0 et donc le hamiltonien est

une intégrale première
∂L −1
H = y′ ′
−L= p
∂y 2gy(1 + y′ )
ce qui donne finalement y(1 + y′2 ) = a, où a est une constante. La solution

de cette équation est un cycloide, comme on le verra en travaux dirigés.

Chapitre 2
Formalisme de Hamilton
Le formalisme de Hamilton n’apporte aucune nouveauté sur le plan du

contenu de la physique mais il définit un cadre mathématique très puissant
et bien adapté à la physique moderne. D’ailleurs, il a constitué le cadre qui
a sous tendu le développement de la mécanique quantique, la théorie des
champs,· · · .
2.1 Hamiltonien d’un système
Dans le formalisme du lagrangien, un système ayant n dégrés de liberté

est décrit par le lagrangien L(qk , q̇k , t) = T − V , lorsque les forces sont
conservatives. L’état du système dépend des conditions initiales de position
qk (0) et de vitesse q̇k (0), qui sont indépendantes les unes des autres. Le for-
malisme de Hamilton permet de décrire le système avec le jeu de variables
(qk , pk ), coordonnées généralisées et leurs moments conjugués, qui sont in-
dépendantes les unes des autres.
Adoptons l’approche suivante pour définir la fonction de Hamilton en cher-
chant à décrire le système avec une fonction g(qk , pk , t). Il suffit de chercher
une fonction h(qk , q̇k , pk , t) comme suit
g(qk , pk , t) = L(qk , q̇k , t) + h(qk , q̇k , pk , t)
En différentiant l’expression précédente, on a

X ∂g ∂g

∂g
dg = dqk + dpk + dt
∂qk ∂pk ∂t
k
X ∂L ∂L

∂L X ∂h ∂h ∂h

∂h
= dqk + dq̇k + dt + dqk + dq̇k + dpk +
∂qk ∂q̇k ∂t ∂qk ∂q̇k ∂pk ∂t
k k
31
X ∂L ∂h

∂L ∂h

∂h

∂L ∂h

= + dqk + + dq̇k + dpk + + dt
∂qk ∂qk ∂q̇k ∂q̇k ∂pk ∂t ∂t
k
en identifiant terme à terme les deux membres de l’égalité on obtient

∂g ∂L ∂h
= +
∂qk ∂qk ∂qk
∂g ∂h
=
∂pk ∂pk
∂L ∂h
0 = +
∂q̇k ∂q̇k
∂g ∂L ∂h
= +
∂t ∂t ∂t
On déduit que
∂h X
= −pk =⇒ h(qk , q̇k , pk , t) = − q̇k pk + f(qk , pk , t).
∂q̇k
k
la solution triviale pour f est de prendre f(qk , pk , t) = 0. Ce qui donne pour

la fonction g
∂g X
= −q̇k =⇒ g = − q̇k pk + f(qk , t)
∂pk
k
et
∂g ∂f ∂L X
= + =⇒ g = − q̇k pk + L
∂qk ∂qk ∂qk
k
qui n’est d’autre que la fonction de Hamilton à un signe près.

On définit alors la fonction de Hamilton par
X
H(qk , pk , t) = pl q̇k − L
k
appelée le hamiltonien du système.
2.2 Equations canoniques de Hamilton
Etant donné que ce sont les coordonnées généralisées qk et les moments

conjuqués pk qui sont utilisés pour décrire le système à l’aide de la fonction
2.2 Equations canoniques de Hamilton 33
de Hamilton, il faut retrouver les équations auxquelles le système obéillit.

Calculons la dérivée totale de H par rapport au temps
dH X ∂H ∂H

∂H
= q̇k + ṗk + .
dt ∂qk ∂pk ∂t
k
En reprenant la même dérivée, mais cette fois-ci en utilisant l’expression du
hamiltonien en fonction du lagrangien, on a
dH X ∂L ∂L

∂L
= ṗk q̇k + pk q̈k − q̇k − q̈k −
dt ∂qk ∂q̇k ∂t
k
X
∂L ∂L
= − q̇k + ṗk q̇k −
∂qk ∂t
k
en identifiant les termes des deux expressions de l’hamiltonien, on obtient

∂H
q̇k =
∂pk
∂H
ṗk = −
∂qk
et ce jeu d’équations s’appelle les équations canoniques de Hamilton. Ainsi,

la dynamique du système est régie maintenant par 2n équations différen-
tielles de premier ordre, ce qui apporte une simplification mathématique non
négligeable, au lieu de n équations différentielles dans le cas des équations
de Lagrange.
La recette à suivre est la suivante
1. Etablir l’énergie cinétique T du système et l’énergie potentiel V . En
déduire le lagrangien L ;
2. Déterminer les moments conjugés pk ;
P
3. Calculer le hamiltonien H(qk , pk , t) = k q̇k pk − L ;
4. Résoudre les 2n équations canoniques de Hamilton.
Notons que toutes les propriétés de symétrie du système se retrouvent dans
le Hamiltonien et plus particulièrement, les variables cycliques où l’on voit
directement que leurs moments conjugués sont des intégrales premières.
De même, si l’on reprend l’expression de la dérivée totale du hamiltonien, on
a
dH ∂H ∂L
= =− .
dt ∂t ∂t
Si le lagrangien ne dépend pas explicitement du temps, le hamiltonien est

une intégrale première et l’énergie mécanique est conservée.
2.3 Equations de Hamilton à partir du principe variationel
Nous allons établir cette fois-ci les équations canoniques de Hamilton à

partir du principe de moindre action. En effet, l’action s’écrit en fonction du
hamiltonien comme suit
Z
S = Ldt
Z
= (pk q̇k − H) dt
Lors d’une variation du chemin effectif du système, la variation de l’action

est, on prend le cas d’un degré de libérté pour alléger les notations
Z
δS = δ (pk q̇k − H) dt
Z
dδq ∂H ∂H
= q̇δp + p − δq − δp dt
dt ∂q ∂p
Z
∂H ∂H
= q̇ − δp − ṗ + δq dt + [pδq]21
∂p ∂q
comme δq(1) = δq(2) et les variables p et q sont indépendantes et arbi-
traires, alors δS est nulle si
(
∂H
q̇ − ∂H
∂p = 0 =⇒ q̇ = ∂p
ṗ + ∂H ∂H
∂q = 0 =⇒ ṗ = − ∂q
ce qui donne les équations canoniques.
2.4 Etude d’un pendule : Portrait de phase
Nous allons étudier le cas d’un pendule simple et introduire par la même
occasion la notion du portrait de phase d’un système.
2.4.1 Hamiltonien du système
Nous avons déjà établi que l’énergie cinétique du pendule est T = 1/2ml2 θ̇ 2 ,
l étant la longueur du pendule, m sa masse et θ est l’angle qui repère les
2.4 Etude d’un pendule : Portrait de phase 35
oscillations. Le potentiel s’écrit à une constante près comme V = −mglcosθ.

Ce qui donne pour le lagrangien L = 1/2ml2θ̇ 2 + mglcosθ. La coordonnée
généralisée est q = θ et le moment conjugué est p = ∂L/∂q̇ = ml2 θ̇ 2 , qui est
tout simplement le moment cinétique du pendule par rapport à l’origine. On
pose I = ml2 et ω2 = g/l, le hamiltonien s’écrit alors comme suit
H(p, q) = T + V = pq̇ − L
p2
= − ω2 Icosq
2I
et la dynamique du système est complètement déterminée par la résolution
des équations de Hamilton.
Toutefois, nous allons procéder par une autre approche en tirant profit de ce
formalisme.
En effet, on peut déjà d’emblée dire que l’énergie est conservée car le ha-
miltonien ne dépend pas explicitement du temps et que H est une intégrale
première. De même, le mouvement du pendule peut être étudié sans avoir
à résoudre les équations canoniques en l’étudiant dans l’espace de phase.
Rappelons que l’espace de phase est formé par (p, q). Ce n’est n’est pas
un espace vectoriel,..., ce qui constitue un autre point fort du formalisme de
Hamilton.
2.4.2 Portrait de phase
Sachant que H = E, on peut exprimer le moment conjugué en fonction de

la coordonnée généralisée comme suit
r
√ E
p = ±ωI 2 cosq + 2 .
ω I
Le mouvement du pendule va dépendre donc de la valeur de l’énergie E. On
va donc étudier l’évolution de p en fonction de q en prenant E comme un
paramètre. Comme −1 < cosq < 1 et que l’argument de la racine carrée doit
être positif, nous distinguons trois cas, en fonction de la valeur de E :
1. 0 < E < ω2 I alors la racine carrée n’est définie que si cosq ≤ E/ω2 I.
On peut donc déduire que les variations de q sont bornées : on assiste
donc à un mouvement d’oscillations libres. Ce mouvement est appelé un
mouvement de libration. Les points pour lesquels p = 0 sont appelés
les points tournants, ce sont les points ou le pendule change de sens
d’oscillation.
2. E > ω2 I, la racine carrée est toujours définie. Il y a une solution quelque

soit la valeur q, parcontre p reste toujours bornée. On en déduit que le
mouvement est un mouvement de rotation ; on dit aussi un mouvement
de circulation.
3. E = ω2 I, correspond au cas limite séparant les 2 régimes de libration et
de circulation. La courbe associée à ce régime s’appelle la séparatrice.
2.4.3 Etude aux voisinages des points d’équilibre
Reprenons le potentiel V = −Iω2 cosq, alors dV /dq = Iω2 sinq = 0 pour

qe = 0, ±π. Comme V ” = d2 V /dq2 = Iω2 cosq, ce qui donne V ”(0) > 0 et
V ”(π) < 0 et donc le point q = 0 est un point d’équilibre stable alors que
celui de q = π est un point d’équilibre instable.
Etudions le mouvement autour de ces deux points. Pour ce faire, faisons un
2
développement limité du potentiel au tour de qe = 0, V (x = q − qe ) = Iω2 x2
à une constante près, ce qui donne
p2 ω2 I 2
+ x = E
2I 2
L’équation est une ellipse et le point qe = 0 est dit un un point
√ elliptique.
On note que si l’on procède au changement de variables Q = Iωx et P =
∂L/∂Q̇, alors l’équation devient
ω 2
(P + Q 2 ) = E
2
qui est l’équation d’un cercle.
Les équations de Hamilton sont
∂H p
= ẋ =
∂p I
∂H
ṗ = − =⇒ Iẍ = −ω2 Ix
∂x
dont la solution est x(t) = x0cos (ωt + φ0), x0 et φ0 sont des réels fixés par
les conditions intiales de la position et de la vitesse.
En qe = ±π, on procède de la même manière et on trouve l’équation suivante
p2 ω2 I 2
− x = E
2I 2
ω 2
= P − Q2
2
2.4 Etude d’un pendule : Portrait de phase 37
qui est l’équation d’une hyperbole. Les points qe = ±π s’appellent les points
hyperbolique. Les axes de l’hyperbole sont les séparatrices, p = ±Ix. Les
équations de Hamilton donnent la solution x(t) = x0eωt .
La figure 2.1 récapitule les différents régimes, en faisant varier l’énergie E,
ainsi que la séparatrice.
— En rouge, on est en présence du régime de libration : ce sont des
ellipses ; ce qui confirment le comportement aux voisinages de q = 2kπ.
En fonction de la valeur de E, le domaine de variation de q est borné.
Le comportement est periodique de période 2π, qui est la période de
cosq ;
— En vert, c’est le régime circulatoire, q n’est plus bornée, c’est p qui l’est.
— La séparatrice est en bleu. Comme prévu, elle a un comportement hy-
perbolique aux voisinages de q = (2k + 1)π.
3
p(u.a)
-1
-2
-3
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
q/π
Figure 2.1 – Portrait de phase d’un pendule simple : en rouge le régime de libration, en vert celui
de la circulation et en bleu la séparatrice entre les deux régimes.
2.4.4 Remarques
Ce qu’il faut retenir de cette étude et peut être appliquer en général est :
1. Dans le cadre du formalisme hamiltonien, l’état d’un système est carac-
térisé par un point de l’espace de phases, qui pour un système ayant n
dégrés de liberté, est de dimension 2n et formé par les (qi , pi ).
2. Le tracé du portrait de phase permet de déduire des informations sur le
comportement dynamique d’un système sans avoir à résoudre les équa-
tions de Hamilton. Chaque courbe du portrait de phases correspond à la

solution de l’équation différentielle qui régit la dynamique du système.
3. On peut construire une vue globale du comportement du système en
prolongeant analytiquement les courbes aux voisinages des points sin-
guliers du système. Ce qui permet de restreindre la résolution seule-
ment aux voisinages des points singuliers et détendre continument de
manière analytique les solutions sur le reste de l’espace de phases.
4. Poincaré a introduit une classification des points singuliers :
Centre ou point elliptique : les solutions sont des courbes fermées à
ses voisinages ;
Col ou selle ou encore point hyperbolique : les solutions sont des hy-
perboles à ses voisinages ;
Noeud : lorsqu’un point est traversé par une infinité de courbes ;
Foyer : c’est un point vers lequel les courbes convergent.
2.5 Théorie de Hamilton-Jacobi
Rappelons que le principe de moindre action ou le principe variationnel est

à la base du développement du formalisme de Lagrange dont les équations
différentielles décrivent la dynamique d’un système. Ainsi, un système ayant
n degrés de liberté est décrit par n équations différentielles de second ordre
dont la solution fixe la dynamique du système en question. Le formlisme de
Hamilton permet de décrire le système avec 2n équations différentielles de
premier ordre et introduit la notion de l’espace de phases. Aussi, l’état du
système à un instant t est décrit par un point de l’espace de phases, et c’est
cela qui va être à la base du développement de la théorie de Hamilton-Jacobi.
Le principe est le suivant : soient deux états du système aux instants t et t ′ .
Ils sont décrits alors par deux points de l’espace des phases, respectivement
(p, q) et (P, Q). La résolution de l’évolution de l’un à l’autre peut se faire soit
par les équations différentielles, soit tout simplement en trouvant la fonction
qui fait changer le point de l’espace de phase (p, q) au point (P, Q). La théorie
de Hamilton Jacobi traite cette deuxième approche.
2.5.1 Transformations canoniques et fonctions génératrices
Les transformations auxquelles nous avons affaire jusqu’à maintenant sont

de la forme Qk = Qk (qi , t) et sont dites des transformations ponctuelles. C’est
2.5 Théorie de Hamilton-Jacobi 39
le cas par exemple du passage des systèmes de coordonnées cartesiennes

aux coordonnées polaires ou sphériques.
Dans ce qui suit comme on le verra, les variables qk et pk jouent un rôle
équivalent et on définit ce que l’on appelle une transformation de contact
toute transformation dans l’espace de phases de la forme

qk → Qk = Qk (qi , pi , t)
pk → Pk = Pk (qi , pi , t)
Cette transformation est dite canonique si les nouvelles coordonnées (Qk , Pk )
sont soumises à de nouvelles équations de Hamilton tels que

 ∂H ′
 Q̇k = ∂Pk

 Ṗ = − ∂H ′
k ∂Qk
où H ′ est le nouveau hamiltonien en fonction des nouvelles coordonnées qui

décrit toujours le même système.
Comme postulé dans le paragraphe précédent, H ′ est l’hamiltonien du sys-
tème avec les nouvelles variables (Qk , Pk ) et donc obéit au principe de
moindre action
Z
δS = δ Ldt
Z
= δ (pk q̇k − H) dt
Z
′
= δ Pk Q̇k − H dt
et comme les deux équations satisfont le prinicpe de moindre action, alors

elles ne diffèrent que par une dérivée totale par rapport au temps.
Définition Une transformation canonique est une transformation de contact

définie dans l’espace de phases et qui satisfait la condition
X dG
′
H = H+ (Pk Q̇k − pk q̇k ) + .
dt
k
G est dite la fonction génératrice de la transformation canonique.
Etudions le cas d’un système ayant un degré de liberté. Quatre configura-
tions de fonction génératrice se présentent.

G1 (q, Q, t) : En utilisant l’expression précédente, on a

∂G1 ∂G1 ∂G1
H ′ = H + P Q̇ − pq̇ + q̇ + Q̇ +
∂q ∂Q ∂t

∂G 1 ∂G 1 ∂G 1
H′ = H + + − p q̇ + + P Q̇
∂t ∂q ∂Q

′ ∂G1 ∂G1 ∂G1
=⇒ (H − H − )dt = − p dq + + P dQ
∂t ∂q ∂Q
ce qui donne

 ∂G1
 p = ∂q

 P = − ∂G1
∂Q
Ainsi la donnée de G1(q, Q, t) et de ces deux dernières équations déter-

minent complètement la dynamique du système avec les nouvelles va-
riables. Si G1 (q, Q) ne dépend pas explicitement du temps, alors H ′ = H.
G2 (q, P, t) : On procède de la même manière et on a

′ ∂G2 ∂G2 ∂G2
(H − H − )dt = − p dq + PdQ + dP
∂t ∂q ∂P
or dans ce cas c’est le couple (q, P) qui est indépendant alors que Q
peut s’exprimer en fonction de ce couple. Pour pallier à cela, il suffit
de procéder au changement de Legendre G2 → G2 + PQ, ce genre de
changement est très pratiqué en thermodynamique. En fait cela revient
à ajouter une dérivée totale par rapport au temps d(PQ)/dt et ceci
n’altère en rien les équations de la dynamique. Ainsi on a :

∂G 2 ∂G 2 ∂G 2
(H ′ − H − )dt = − p dq + Q + dP
∂t ∂q ∂P
ce qui donne

 ∂G2
 p = ∂q

Q = ∂G2
∂P
Deux autres configurations sont possibles, G3 (p, Q, t) et G4 (p, P, t) et

le traitement est le même que les deux cas précédents. Et chaque fois
que c’est nécéssaire, on peut appliquer la transformation de Legendre
2.5 Théorie de Hamilton-Jacobi 41
pour se ramener aux deux variables indépendantes.

Bien que les résultats ont été obtenus pour un système de dimension
n = 1, ils sont valables pour un système ayant n degrés de libérté.
2.5.2 Quelques exemples de transformation
Identité Soit la transformation

X
G2 (q, P) = qk Pk
k
D’après les résultats précédents, on a


 ∂G
 pk = ∂qk2 = Pk

Q = ∂G2
k ∂P = qk
et H ′ = H puisque G2 ne dépend pas explicitement du temps. On voit

donc que les nouvelles variables sont identiques aux anciennes, ce qui
vaut à la transformation le nom identité.
Rôle équivalent entre les variables Cette transformation montre bien le rôle
équivalent que jouent les variables qk et pk . Soit la transformation
P
G1 = k qk Qk . En appliquant les résultats précédents, nous avons
pk = Qk et Pk = qk et on voit qu’aucune des variables n’est privilégiée
par rapport à l’autre.
Oscillateur harmonique 1D Le système a un seul degré de liberté. On prend
comme coordonnée généralisée q = x ainsi l’énergie cinétique est T =
1/2mq̇2 et l’énergie potentiel est V (q) = kq2 . On pose ω2 = k/m, ce qui
donne pour le lagrangien
m 2 mω2 2
L = T −V = q̇ + q
2 2
le moment conjugué est p = ∂L/∂q̇ = mq̇. Le hamiltonien est alors égal
à
p2 mω2 2
H = + q
2m 2
et les équations de Hamilton sont
p
q̇ = et ṗ = −mω2 q
m
Rappelons que l’intérêt d’opérer une transformation canonique est de

retrouver des équations dynamiques plus simples et même triviales et
le changement inverse permet de retrouver les équations avec les co-
ordonnées d’origine.
Considérons l’exemple de la fonction génératrice suivante
1
mωq2 cotQ
F (q, Q, t) =
2
notons que la difficulté d’une telle démarche est de trouver la bonne
génératrice, ce qui n’est pas généralement aisé à faire.
On voit que F est de la famille G1 (q, Q, t). On applique les résultats
obtenus :
∂F ∂F mωq2
p = = mωqcotQ et P = − =
∂q ∂Q 2sin2 Q
et à partir de ces deux expressions, on en déduit que
r
2P √
q = sinQ et p = 2mωPcosQ
mω
Notons que la fonction génératrice ne dépend pas explicitement du
temps, ce qui implique que H ′ = H et comme nous avons l’expression
des anciennes variables en fonction des nouvelles, on peut déduire H ′ ,
comme suit
H ′ = ωPcos2 Q + ωPsin2 Q = ωP.
On relève que la variable Q est cyclique et donc Ṗ = 0 et donc P est
une constante du mouvement. Et c’est le but recherché, de trouver un
nouvel hamiltonien avec des variables cycliques. Comme H ne dépend
pas explicitement du temps, l’énergie est conservée. Alors P peut être
exprimée comme P = E/ω, ce qui donne pour Q
∂H ′
Q̇ = =ω
∂P
et la soution est simplement
Q = ωt + φ
où φ est déterminée par les conditions initiales. Et la solution en fonc-
tion de l’ancienne variable est
r
2E
q = sin(ωt + φ)
mω2
2.6 Crochets de Poisson 43
qui est la solution que l’on connait. On remarque que Q est homogène à
un angle et P à une action. Comme on le verra par la suite les variables
conjuguées (angle,action) sont à même de bien décrire un système à
variable cyclique.
2.6 Crochets de Poisson
Les corchets de Poisson apparaissent de manière naturelle si l’on consi-

dère la dérivée par rapport au temps d’une fonction définie sur l’espace de
phases. En effet
df X ∂f ∂f

∂f
= q̇k + ṗk +
dt ∂qk ∂pk ∂t
k
Si l’on tient compte des équations de Hamilton, on obtient
df X ∂f ∂H ∂f ∂H

∂f
= − +
dt ∂qk ∂pk ∂pk ∂qk ∂t
k
ce qui donne, en notation de crochets de Poisson, comme il sera précisé plus
tard,
df ∂f
= {f, H} +
dt ∂t
et on voit bien que si f est une intégrale première, df/dt = 0, et qu’elle ne
dépend pas explicitement du temps, on peut affirmer que {f, H} = 0. Ce qui
nous donne un outil puissant pour vérifier si une grandeur est une intégrale
première.
Définition Considérons deux fonctions définies f(qk , pk , t) et g(qk , pk , t) dans

l’espace de phases. On appelle par les crochets de Poisson entre les
deux fonctions l’expression suivante
X ∂f ∂g ∂g ∂f

{f, g} = −
∂qk ∂pk ∂qk ∂pk
k
On constate que dans le cas particulier où f = qk et g = pk , on a
X ∂qi ∂pi ∂pi ∂qi

{qi , pj } = −
∂qk ∂pk ∂qk ∂pk
k
X
= δik δjk = δij
k
{qi , qj } = 0 et {pi , pj } = 0.
2.6.1 Quelques propriétés
Nous présentons quelques propriétés, qui seront démontrées en partie

aux TD,
{f, g} = −{g, f}
{f, c} = 0 (c est une constante)
{f1 + f2 , g} = {f1, g} + {f2, g}
{f1 f2 , g} = f1 {f2, g} + {f1, g}f2
∂ ∂g
∂t {f, g} = { ∂f
∂t , g} + {f, ∂t }
∂f
{f, qi } = − ∂p i
∂f
{f, pi } = − ∂q i
On donne enfin une identité dite de Jacobi
{f, {g, h}} + {h, {f, g}} + {g, {h, f}} = 1
Notons que nous avons mentioné dans les propriétés la dérivée partielle par
rapport au temps et qui à ne pas confondre avec la dérivée totale par rapport
au temps. Ainsi, l’identité de Jacobi permet de démontrer la relation suivante
d ∂
{f, g} = {{f, g}, H} + {f, g}
dt ∂t
∂
= {f, {g, H}} + {g, {H, f}} + {f, g}
∂t
dg ∂g df ∂f ∂
= {f, − } − {g, − } + {f, g}
dt ∂t dt ∂t ∂t
df dg
= { , g} + {f, }
dt dt
2.6.2 Crochets de Poisson et transformations canoniques
On opère sur le système une transformation canonique qui qk → Qk et

pk → Pk . Que deviennent les crochets de Poisson entre les nouvelles va-
riables ?
Théorème Les crochets de Poisson sont indépendants du jeu de variables
canoniques dans lequel ils sont exprimés, ainsi
{f, g}q,p = {f, g}Q,P
ce théorème ne sera pas démontré ici.

2.6 Crochets de Poisson 45
Toutefois, ce qui découle de ce théorème est que les propriétés citées pré-
cédement restent donc valables pour les nouvelles variables (Qi, Pi ), il suffit
de substituer les anciennes par les nouvelles.
Les crochets de Poisson nous permettent aussi de tester le caractère cano-
nique d’une tansformation. En effet, on a le théorème suivant, que l’on peut
utiliser mais qui ne va pas être démontré.
Théorème Une transformation est canonique si les crochets de Poisson sont
invariants par rapport à cette transformation, autrement dit, il suffit que
les nouvelles variables préservent la forme des crochets de Poisson.
2.6.3 Symétries et crochets de Poisson
Nous avons vu que le théorème de Noether permet de calculer les constantes

d’un mouvement à partir des symétries du lagrangien. Ce que nous allons
aborder dans ce paragraphe est le fait d’exprimer l’effet d’une transforma-
tion de symétrie sur une fonction g = g(qk , pk , t) définie sur l’espace de
phases. En effet, supposons que l’on a une transformation infinitésimale sur
les coordonnées, qk et pk
qk → Qk + δqk
pk → Pk + δpk
dont la fonction génératrice est G. On cherche alors à exprimer l’effet de G

sur une fonction g.
Pour ce faire, la fonction génératrice peut être écrite comme la fonction
génératrice identité augmentée d’une quantité infintésimale. On peut for-
muler la fonction génératrice, en utilisant la fonction génératrice identité,
P
G2 (q, P) = k qk Pk , comme suit
X
G( qk , Pk ) = qk Pk + εF
k
où ε → 0 et appelé le paramètre de la transformation et F une fonction

qui dépend de la nature de la transformation de la symétrie à laquelle le
lagrangien est invariant et qui est appelée le générateur infintésimal de la
transformation. Ainsi l’information complète de l’effet de G est maintenant
dans F . On applique les résultats précédents, et on a
∂G ∂F
pk = = Pk + ε
∂qk ∂qk
∂G ∂F
Qk = = qi + ε
∂Pk ∂qk
′
H = H
ainsi on peut écrire
∂F
δpk = Pk − pk = −ε
∂qk
∂F ∂F
δqk = Qk − qk = −ε ∼ε
∂Pk ∂pk
Exprimons maintenant l’accroissement de g due à cette transformation,

X ∂g ∂g

δg = δqk + δpk
∂qk ∂pk
k
X ∂g ∂F ∂g ∂F

= ε −
∂qk ∂pk ∂pk ∂qk
k
= ε{g, F }
Ainsi l’on voit que les crochets de Poisson permettent de calculer l’effet sur
une fonction définie dans l’espace de phases par une transformation cano-
nique de paramètre ε. Avant de donner un exemple, nous allons d’abord
reexprimer cette relation en fonction des invariants pour faire apparaître les
symétries du système.
2.6.4 Invariants d’un système
Nous avons établi que les intégrales premières, Ik , d’un système vérifient
{H, Ik } = 0.
Ainsi, si une transformation canonique F vérifie {H, F } = 0, alors en raison
du résultat du paragraphe précédent, δH = 0, c’est à dire que la transfor-
mation laisse invariant le hamiltonien et le générateur de la transformation
est lui même une intégrale première. Ce qui montre bien que ce résultat est
plus général que celui établi par le théorème de Nother. De plus pour une
transformation de symétrie, nous identifions le générateur de la transforma-
tion et l’on peut l’exprimer en fonction de ce dernier.
Reprenons les exemples déjà abordés dans le cadre du théorème de Noether.
Translation dans le temps Nous avons établi auparavant que l’hamiltonien
d’un système est invariant par rapport à une translation dans le temps
2.7 L’espace de phases 47
si ce dernier ne dépend pas explicitement du temps.

Prenons, F = H et voyons ce que cela donne :
∂H
δpk = −ε ∂qk
= ε ṗk
∂H
δqk = ε ∂p k
= ε q̇k
on voit bien que ε = dt et que le hamiltonien est bien le générateur

infinitésimal des translations dans le temps faisant évoluer le système
d’un instant t à un instant t + dt.
Ainsi, le mouvement d’un système entre deux instant t1 et t2 peut être
décrit par une succession de transformations canoniques infinitési-
males dont le générateur est H.
Translation d’un qk Nous savons que si qk est une variable cyclique, alors
le hamiltonien est invariant par rapport à une translation de qk et que
le moment conjugué pk est une intégrale première. Prenons cette fois-ci
F = pk , alors
∂pi
δpi = −ε ∂q k
=0
∂pi
δqi = ε ∂p k
= εδik
on voit bien que ε = δqk et que l’impulsion est le générateur infinité-

simal des translations selon qk .
Rotation
2.7 L’espace de phases
Nous avons vu que le formalisme de Hamilton a introduit l’espace de

phases dans lequel l’état d’un système à un instant donné t est décrit par
un point x(q1, · · · , qn , p1 , · · · , pn ). La dimension de l’espace de phases pour
un système dont le nombre de degrés de liberté est n, la dimension est 2n.
Notons que cette espace n’a pas la structure d’un espace vectoriel. C’est une
variété différentiable.
2.7.1 Flot Hamiltonien
Nous avons vu aussi que la dynamique d’un système est décrite par 2n
équations différentielles de premier ordre qui peuvent se mettre sous forme
compacte comme suit

   ∂H

q1 ∂p1
 ...   .. 
   . 
 

d  qn   

∂H
∂pn


  =  − ∂H  que l’on peut écrire comme ẋ = gtH (x, t)
dt  p1   ∂q1 
 .   .. 
 ..  − . 
pn ∂H
− ∂q n
où gtH (x, t) représente le champ des vitesses au point x et appelé le flot

hamiltonien, par analogie avec la mécanique des fluides.
La détermination du champ des vitesses, résolution des équations du flot
hamiltonien, consiste à déterminer la trajectoire dans l’espace de phases.
Rappelons que l’espace de phases aussi permet d’approcher les solutions de
manière qualitative, comme on l’a vu dans le cadre des protraits de phase.
Le théorème suivant, qui n’est pas démontré, permet d’affirmer l’unicité de la
trajectoire qui correspond à la solution.
Théorème de Cauchy
Pour des conditions initiales données, la solution du flot
hamiltonien ẋ(t) existe et elle est unique.
Ce théorème est valable dans la région de l’espace des phases à l’exclu-

sion des point singuliers (point hyperbolique, · · · ).
Ce théorème permet d’affirmer que deux trajectoires ne peuvent jamais se
rencontrer, mis à part au niveau des points singuliers. En effet, si deux tra-
jectoires se coupent, cela veut dire que les deux solutions sont égales en ce
point alors qu’elles émanent de deux conditions initiales différentes, ce qui
contredit le théorème de Cauchy.
2.7.2 Incompressibilité du flot

Conservation du volume
Tout volume V de l’espace de phases n’englobant pas des

points singuliers est conservé par le flot hamiltonien
dV
dt = 0.
En effet, étant donné que les trajectoires distinctes ne se coupent jamais,

les points constituant un volume V évoluent tout en restant distincts, ce qui
implique que V ne peut que se déformer et changer de forme alors que sa

valeur reste constante au cours du temps.
L’élément infinitésimal du volume dans l’espace de phases peut s’écrire comme
dV = dq1 · dq2 · · · · · dqn · dp1 · dp2 · · · · · dpn .
Notons que si le nombre de degrés de liberté n = 1, V est une surface.

On sait que l’évolution au cours du temps des variables (qk , pk ) est décrite
par une transformation canonique, ainsi affirmer que le volume reste conservé
implique que le volume exprimé en fonction (qk , pk ) est le même que celui
exprimé en fonction de (Qk , Pk ) et on peut affirmer alors que le volume V est
un invariant canonique.
Démonstration
Partant de l’élément infinitésimal du volume
Z Z
V = · · · dq1 · dq2 · · · · · dqn · dp1 · dp2 · · · · · dpn
Z Z
= · · · dQ1 · dQ2 · · · · · dQn · dP1 · dP2 · · · · · dPn
Z Z
= · · · J dq1 · dq2 · · · · · dqn · dp1 · dp2 · · · · · dpn
où J est le jacobien du changement de variables donné par

∂Q1 · · · ∂Qn ∂P1
· · · ∂Pn
∂q1 ∂q1 ∂q1 ∂q1
. . .. .. . . . ..
.. .. . . .

∂Q1 · · · ∂Qn ∂P1 ∂Pn
∂qn ∂qn ∂qn · · · ∂qn
J = ∂Q ∂Qn ∂P1 ∂Pn .
∂p 1 · · · ∂p1 ∂p1 · · · ∂p1

.1 .. .. . . . ..
.. . . . . . .

∂Q1 ∂Qn ∂P1 ∂Pn
∂pn · · · ∂pn ∂pn
· · · ∂pn
Dans la suite on utilisera la notation

∂(Q1 , · · · , Qn , P1 , · · · , Pn )
J = .
∂(q1 , · · · , qn , p1 , · · · , pn )
qui coincide avec un changement de variable de dimension 1. Aussi, le volume
est un invariant canonique si J = 1.

Nous allons utiliser des propriétés du Jacobien 1 comme suit

∂(Q1 , · · · , Qn , P1 , · · · , Pn )
J =
∂(q1 , · · · , qn , p1 , · · · , pn )
∂(Q1 ,···,Qn ,P1 ,···,Pn )
∂(q1 ,···,qn ,P1 ,···,Pn )
= ∂(q1 ,···,qn ,p1 ,···,pn )
∂(q1 ,···,qn ,P1 ,···,Pn )
J 1
=
J 2
On calcule J1 comme suit

∂(Q1 , · · · , Qn , P1 , · · · , Pn )
J 1 =
∂(q1 , · · · , qn , P1 , · · · , Pn )
∂(Q1 , · · · , Qn )
= = det(A)
∂(q1 , · · · , qn )
avec
∂Qj ∂ ∂G2 ∂2 G2
Aij = = = .
∂qi ∂qi ∂Pj ∂qi ∂Pj
De même, en procédant de la même manière, on calcule J 2
∂(q1 , · · · , qn , p1 , · · · , pn )
J 2 =
∂(q1 , · · · , qn , P1 , · · · , Pn )
∂(p1 , · · · , pn )
= = det(B)
∂(P1 , · · · , Pn )
avec
∂pj ∂ ∂G2 ∂2 G2
Bij = = = = (t A)ij
∂Pi ∂Pi ∂qj ∂qj ∂Pi
or det(A) = det(t A) ce qui implique J 1 = J 2 et par la même occasion l’in-
variance canonique du volume est démontrée. Notons que nous avons utilisé
la fonction génératrice G2 (q, P).
1. Considérons le changement de variable x → X , y → Y et z → Z . et soient u, v et w un autre jeu de variables. Nous
pouvons écrire écrire
dX dY dZ = J dxdydz
où

∂X ∂Y ∂Z ∂(X ,Y ,Z )
∂(X , Y , Z ) ∂x
∂X
∂x
∂Y
∂x
∂Z

= ∂(u,v,w)
J = = ∂y ∂y ∂y ∂(x,y,z)
∂(x, y, z) ∂X ∂Y ∂Z ∂(u,v,w)
∂z ∂z ∂z

2.7.3 Invariants intégraux de Poincaré
La grandeur
RR P définie dans l’espace de phase par
I1 = i dqi dpi est un invariant canonique.
Pour démontrer cela, il suffit de démontrer que cette quantité ne dépend

pas du choix des variables dans lequel cette grandeur est exprimée, à condi-
tion que les jeux de variables se tranforment les uns en les autres par une
tranformation canonique. Soient (Qk , Pk ) un jeu de variables obtenu par une
transformation canonique. Considérons deux variables indépendantes avec
lesquels on peut exprimer
qi = qi (u, v) , pi = pi (u, v) , Qj = Qj (u, v) et Pj = Pj (u, v).
I1 est un invariant canonique si et seulement si
ZZ X ZZ X
I1 = dqi dpi = Ji dudv
i i
ZZ X ZZ X
= dQj dPj = J′j dudv
j j
P P ′
ce qui est vérifié si i Ji = j Jj .
Calculons Ji
∂(qi , pi )
Ji =
∂(u, v)
∂(qi ,pi )
∂(qi ,Pi )
= ∂(u,v)
∂(qi ,Pi )

1 ∂qii
∂q ∂pi
∂qi 1 ∂pi 1 ∂2 G2
= ∂qi ∂pi = =
Di ∂P ∂Pi
Di ∂Pi Di ∂Pi ∂qi
i
où nous avons utilisé une transformation canonique de classe G2 (q, P) et le

fait que qi et pi sont indépendantes. De la même manière on calcule J′j
∂(Qj , Pj )
J′j =
∂(u, v)
∂(Qj ,Pj )
∂(qj ,Pj )
= ∂(u,v)
∂(qj ,Pj )
∂Q
1 ∂qj
j ∂Pj
∂qj 1 ∂Qj 1 ∂2 G2
= j = =
Dj ∂Q∂Pj
∂Pj
∂Pj
Dj ∂qj Dj ∂Pj ∂qj

où nous avons utilisé une transformation canonique de classe G2 (q, P) et le

fait que Qj et Pj sont indépendantes. En sommant sur Ji et sur J′j , on en
déduit que le moment intégral de Poincaré est un invariant canonique.
2.7.4 Théorème de Liouville
La densité des états ρ = dN/dV d’un système mécanique aux

voisinages d’un point de l’espace de phases se conserve tout au long
de l’évolution du système au cours du temps
dρ
dt = 0.
On a vu que le volume est un invariant canonique, et donc se conserve au

cours du temps, ce qui implique que le nombre d’états dN reste constant au
cours du temps.
Le théorème de Liouville prend toute son importance en physique statistique
où le nombre de particules N est rès grand. L’évolution au cours du temps
de ρ peut se mettre sous la forme suivante et ce en utilisant les crochets de
Poisson
dρ ∂ρ ∂ρ
= + {H, ρ} =⇒ = {H, ρ}.
dt ∂t ∂t
On peut conclure qu’à l’équilibre statistique, le nombre de particules dans
un état donné est constant. Comme dV est constant alors ρ ne dépend pas
explicitement du temps, ∂ρ/∂t = 0, ce qui permet d’écrire que
{H, ρ} = 0
A l’équilibre statistique, la densité des états est une fonction des

constantes du mouvement.
2.7.5 Système intégrables
Théorème de Arnold-Liouville
On parle d’un système intégrable quand on peut décrire qualitativement

le comportement du système dans l’espace de phases. Le théorème suivant
fxe les conditions sufffisantes pour qualifier un système d’integrable.

Un système mécanique ayant n degrés de libertés est intégrable s’il

possède les trois propriétés suivantes :
1. ∃ n intégrales premières Ii ;
2. les intégrales premières Ii sont indépendantes ;
3. {Ii , Ij } = 0∀i, j ≤ n : on dit qu’elles sont en involution.
Cartes et atlas symplectiques
On appelle par carte le jeu de coordonnées de l’espace de phases choisi

pour décrire la dynamique d’un système. En général, l’exploration de l’en-
semble de l’espace de pases nécessite plusieurs choix de variables adaptés
à chacune des régions singulières de l’espace de phases. L’ensemble de ces
choix, ou cartes, constitue ce que l’on appelle un atlas.
Un atlas est dit symplectique si chacune des cartes correspond à une trans-
formation canonique.


Chapitre 3
Systèmes hamiltoniens
3.1 Introduction
Nous avons vu dans les chapitres précédents que l’objectif du formalisme

de Hamilton est de décrire le système par les variables conjuguées, les coor-
données généralisées et leurs moments conjugués. De même, cela a permis
d’introduire la notion de l’espace des phases et d’élaborer les équations ca-
noniques de Hamilton, comme description de la dynamique du système au
lieu des équations de Lagrange.
L’introduction des transformations canoniques a pour but de trouver le jeux
de variables conjuguées où l’on a le plus de variables cycliques, ce qui de loin
simplifie les équations régissant la dynamique et fait émerger les intégrales
premières du système de manière directe.
En se plaçant toujours dans cette dynamique, la situation la plus optimale
serait que toutes les variables conjuguées soient cycliques, ce qui fait que
nous nous retrouvons avec 2n intégrales premières du système et qui ne sont
que des fonctions des 2n conditions initiales et où le nouveau hamiltonien
H ′ = 0. Etudions en détail cette configuration.
3.2 L’équation de Hamilton-Jacobi
Comme nous venons de le mentioner, les nouvelles variables (Qk , Pk ) sont

cycliques, ce qui permet d’écrire
∂H ′
Q̇k = =0
∂Pk
∂H ′
Ṗk = − =0
∂Qk
55
entrainant ainsi l’existence de 2n invariants. Soit G la transformation ca-

nonique associée, que l’on cherche à déterminer. Utilisant les résultats du
chapitre précédent, et sachant que H ′ = 0, nous avons
X dG
H(qi , pi , t) − pk q̇k + = 0.
dt
k
Jusqu’alors, aucune condition sur la fonction génératrice mis à part le fait

que les nouvelles variables conjuguées soient cycliques. Si l’on prend G =
G2 (q, P, t), et dérivons par rapport au temps
dG2 X ∂G2 ∂G2

∂G2
= q̇k + Ṗk +
dt ∂qk ∂Pk ∂t
k
comme
∂G2
Ṗk = 0 et pk =
∂Qk
nous avons
∂G ∂G
H(qk , , t) + = 0
∂qk ∂t
qui constitue l’équation de Hamilton-Jacobi. Nous avons laissé tombé l’indice
de la fonction G2 , étant donné que ce résultat reste valable quelque soit la
classe de G.
On appelle l’équation de Hamilton-Jacobi, l’équation donnant la
fonction génératrice de la transformation canonique où toutes les
nouvelles variables conjuguées (Qk , Pk ) sont cycliques,
∂G
H(qk , ∂qk
, t) + ∂G
∂t
=0
G(q, t; P) fonction de n variables généralisées et du temps t est
appelée la fonction principale de Hamilton.
3.3 Fonction principale de Hamilton : Quel sens lui donner ?
Reprenons l’expression de la dérivée totale par rapport au temps de la

fonction principale de Hamilton, les nouvelles variables conjuguées étant
cycliques par construction,
dG X ∂G ∂G X
= q̇k + = pk q̇k − H = L
dt ∂qk ∂t
k k

3.3 Fonction principale de Hamilton : Quel sens lui donner ? 57
et on voit bien que cette dérivée n’est d’autre que le lagrangien du système,
lui même par définition la dérivée totale par rapport au temps de l’action S.
On peut ainsi dire que
Z t
S(q, t; P) = Ldt.
t1
Notons la différence fondamentale entre l’action définie ci-dessus et celle

définie lors de l’établissement du principe de moindre action qui a engendré
les équations de Lagrange. En effet, l’action définie dans le premier chapitre
est une fonctionnelle calculée entre deux instants fixes t1 et t2 en utilisant
le chemin q la rendant extrémale, et considérant ce chemin comme celui qui
sera emprunté par le système lors de son évolution entre ces deux instants.
Alors que l’action calculée dans ce chapitre, et que l’on appelle l’action ha-
miltonienne, est calculée en partant d’un instant fixe t1 , et donc d’un point
fixe q(1), alors que la deuxième extrémité du chemin peut prendre n’importe
quelle valeur. Ainsi la différence fondamentale est que tous les chemins suivis
pour ce cas sont des chemins qui peuvent être empruntés par le système et
par conséquent les équations de Lagrange s’appliquent à tous les chemins.
Ce qui n’est pas le cas pour l’action dans le premier chapitre où seule la
trajectoire physique obéit aux équations de Lagrange.
Ainsi, dans le premier chapitre l’on avait deux contraintes, δq(1) = δq(2) = 0
alors que dans ce cas nous avons δq(1) = 0 et que les équations de Lagrange
sont appliquées à tous les chemins. Rexprimons l’équation de Hamilton-
Jacobi à partir du prinicpe de moindre action avec ces nouvelles conditions.
3.3.1 Principe variationnel
Soit l’action hamiltonienne

Z t
S(q, t; q1, t1 ) = L(q, q̇, t)dt
t1
comme mentionné auparavant, cette fois-ci tous les q(t) obéissent aux équa-
tions de Lagrange. Différentions S
X ∂S ∂S
dS = dqk + dt = Ldt
∂qk ∂t
k

Calculons l’accroissement de S entre deux trajectoires voisines partant du

même point q(1) :
Z t
δS = δLdt
t1
Z t X
∂L ∂L
= δqk + δ q̇k dt
t1 k ∂qk ∂q̇k
Z t X
d ∂L ∂L
= δqk + δ q̇k dt
t1 k dt ∂q̇ k ∂q̇k
Z tX
d ∂L
= δqk dt
t1 k dt ∂q̇ k
X ∂L(qk (t), q̇k (t), t) ∂L(qk (t), q̇k (t), t)

= δqk (t) − δqk (t1 )
∂q̇k (t) ∂q̇k (t) t=t1
k
X ∂L(qk (t), q̇k (t), t)
= δqk (t)
∂q̇k (t)
k
X
= pk δqk
k
ce qui permet de déduire que
∂S
= pk
∂qk
en utilisant l’expression de la dérivée totale de S et ce dernier résultat, nous
pouvons écrire
X ∂S X ∂S
pk dqk + dt = Ldt =⇒ pk q̇k + =L
∂t ∂t
k k
X ∂S
=⇒ pk q̇k − L + =0
∂t
k
∂S ∂S
=⇒ H(qi , , t) + =0
∂qi ∂t
qui n’est d’autre que l’équation de Hamilton-Jacobi.
L’action hamiltonienne est l’action calculée sur une trajectoire
physique dont le point de départ est fixé alors que le point d’arrivée
est libre.
Elle est la fonction génératrice de la transformation canonique pour
laquelle toutes les nouvelles variables conjuguées sont cycliques

3.4 Méthode générale de résolution 59
3.4 Méthode générale de résolution
L’équation de Hamilton-Jacobi (HJ ), comme c’est le cas des équations

de Lagrange ou bien les équations canoniques de Hamilton, permettent de
résoudre l’état dynamique du système.
Le point de départ est la construction du hamiltonien avec les variables
conjuguées (qk , pk ), H(qk , pk ). Généralement, le système est conservatif, alors
le hamiltonien ne dépend pas explicitement du temps, l’énergie mécanique
est une intégrale première du système, H = E. ainsi on peut d’ores et dejà
séparer la partie temporelle et écrire, en partant de HJ
∂S(q, t; P)
= −H = −E =⇒ S(qk , t; Pk ) = S0 (qk ; Pk ) − Et
∂t
où S0 (qk ; Pk ) ne dépend que de qk et paramétrée par Pk . S0 (qk ; Pk ) est appe-

lée parfois la fonction caractéristique de Hamilton. Reprenons les équations
∂S0 (qk ; Pk )
pk =
∂qk
∂S0 (qk ; Pk )
Qk =
∂Pk
et montrons que sur le plan formel, la connaissance de S permet de résoudre

le problème. En effet, les premières n équations permettent de relier les in-
tégrales premières Pk aux conditions initiales et par conséquent fixer leurs
valeurs. Ensuite, les dernières n équations permettent de déduire les rela-
tions entres les n Qk à l’instant t = 0 et les conditions initiales, étant donné
que Qk sont des intégrales premières par construction. Ainsi les pk (t) sont
résolus par les n premières équations et les qk (t) sont déduites par inversion
des n dernières équations. Ce qui montre que sur le plan formel, la connais-
sance de S0 est suffisante pour résoudre le problème.
Toutefois, il n’existe pas de recette universelle pour résoudre les équations HJ
. On va toutefois se placer dans le cas où les variables peuvent être séparées
et S0 peut se mettre sous la forme
X ∂S0i (qk ; Pk )
S0 (qi ; Pi) = S0i (qi ; Pi) =⇒ pk =
i
∂qk

et on substitue pk par ∂S∂qk dans H et on obtient une équation aux dérivées

0i
partielles que l’on cherche à mettre sous la forme

X ∂S0i (qk ; Pk ) X
+ g(qk ) = Cte = αk
∂qk
k k
où g(qk ) est une fonction de qk qui dépend du système. Ainsi l’équation

différentielle à résoudre devient
dS0i
+ g(qk ) = αk
dqk
Notons que si la variable qk est cyclique, alors q(qk ) = 0 et l’équation
précédente devient
dS0i
= αk =⇒ S0i = αk qk + Cte
dqk
3.4.1 Exemple 1 : Particule libre
Appliquons la démarche exposée dans le paragraphe précédent pour une

particule isolée de masse m et animée d’une vitesse v tel que p = mv. Soit
q sa coordonnée selon l’axe de son mouvement.
L’expression du hamiltonien est
p2
H(q, p) =
2m
ainsi on constate que q est cyclique donc p est constante comme prévu, étant
donné que la particule est isolée.
Le hamiltonien ne dépend pas explicitement du temps, donc c’est une inté-
grale première et par conséquent H = Cte = E. La fonction principale de
Hamilton peut se mettre sous la forme S(q, t; P) = S0 (q; P) − Et.
Ensuite on substitue p par ∂S0 (q; P)/∂q dans l’expression du hamiltonien et
on utilise l’équation de HJ ; ce qui donne
2
1 ∂S0 (q; P) ∂S(q, t; P)
+ = 0
2m ∂q ∂t
2
1 ∂S0 (q; P)
=⇒ −E = 0
2m ∂q
∂S0 (q; P) √
=⇒ = ± 2mE
∂q
√
=⇒ S0 = ± 2mEq
3.4 Méthode générale de résolution 61
d’où
√
S(q, t; P) = ± 2mEq − Et
La deuxième étape consiste à identifier l’intégrale première P et la substituer
dans l’expression de S. Dans notre cas, on a vu que E est constante donc on
peut prendre P = E ce qui nous permet de calculer Q, après avoir substitué
la dérivée par rapport à P par celle par rapport à E,
r
∂ √ m
Q = ± 2mEq − Et =⇒ Q = ± q−t
∂E 2E
et l’expression de q s’obtient en inversant la dernière équation
r
2E
q(t) = (t ± Q) = vt + q0
m
√ p √ √
où 2E/m = 2p2 /(2m2) = v 2 = v et x0 = ± 2E/mQ. Et on voit bien
que l’on retrouve l’équation horaire d’une particule animée d’un mouvement
rectiligne uniforme.
Notons que la solution est plus directe si l’on utilise les équations de la-
grange étant donné que le lagrangien est connu.
3.4.2 Exemple 2 : chute libre 1D
Consdérons la chute libre d’une masse m et soit q la coordonnée selon

l’axe de la chute. Le nombre de dégré de liberté est égal à 1. L’énergie ci-
nétique est T = 1/2mq̇2 et l’énergie potentielle à une constante près est
V = mgq. Le moment conjugué est égal à p = ∂L/∂q̇ = ∂T /∂q̇ = mq̇ =⇒
T = p2 /2m. Le hamiltonien est H = p2 /2m + mgq. On relève que H ne dé-
pend pas explicitement du temps donc H est une intégrale première. Soit
H = E = Cte
On suit la démarche. Comme H est conservée alors on peut séparer le para-
mètre temps comme suit S(q, t; P) = S0 (q; P) − Et.
La deuxième étape consiste à substituer p par ∂S(q, t; P)/∂q, ce qui donne
∂S ∂S
H(q, )+ = 0
∂q ∂t
2
1 ∂S0
=⇒ + mgq − E = 0
2m ∂q
s
∂S0 √ E
=⇒ = ± 2m − gq
∂q m
√ 3/2
2 2 E
=⇒ S0 = ± m − gq
3g m
La troisième étape consiste à associer P à une intégrale première. Comme
H = E est une constante, alors on peut prendre P = E et calculer Q comme
suit
√ 1/2
∂S 2 E
Q = =± − gq −t
∂E g m
ainsi par inversion, on obtient
g E
q = − (Q + t)2 +
2 gm
1 g E
= − gt 2 − gQt − Q 2 +
2 2 gm
sachant que Q est constante, par construction, et soit q(t = 0) = q0 , alors
s 1/2 1/2
2 E 1 2 E
Q = − q0 =⇒ q = − gt − − gq0 t + q0
g gm 2 m
Remarquons que l’on peut réecrire cette expression si v(t = 0) = v0, sachant
que l’énergie mécanique est une intégrale première, nous avons
1/2
1 2 E
E = mv0 + mgq0 =⇒ v0 = − gq0
2 m
ce qui donne l’expression que l’on peut déduire directement à partir du PFD
1
q = − gt 2 − v0 t + q0
2
Remarque : Notons que les équations HJ ne sont pas les plus simples et
plus faciles à appliquer pour résoudre la dynamique d’un système. Si l’on
connait le lagrangien, les équations de Lagrange et celles de Hamilton sont
généralement celles qui donnent les solutions les plus directes.
Toutefois l’intérêt des équations de HJ réside dans le fait qu’elles permettent
d’introduire de manière naturelle et intuitive la physique moderne.
3.5 Le principe de Maupertuis
Le principe de Maupertuis permet de reexprimer l’action caractéristique

de Hamilton dans une forme qui nous servira pour faire une analogie avec
3.5 Le principe de Maupertuis 63
l’optique géométrique, la mecanique ondulatoire et les équations de Schro-

dinger.
Considérons l’action hamiltonienne
Z t X !
S = S0 − Et = pk q̇k − H dt
t1 k
XZ ~
q
= pk dqk − H(t − t1 )
k ~1
q
~ 1 = (q1(t1 ), q2 (t1 ), · · · , qn (t1) et q

où q ~ = (q1(t), q2 (t), · · · , qn (t). Notons que
nous avons utilisé le fait que H est une intégrale première. Comme S(q, t; P)
est définie à une constante près, nous pouvons laisser tomber le terme
constant Ht1 et écrire
X Z q~
S0 (q; P) = pk dqk
k ~1
q
que l’on appelle couramment “action réduite”.

Principe de Maupertuis
La trajectoire d’un système conservatif est déterminée par

l’extrémisation de l’action réduite S0 .
Nous avons exprimer la loi de Maupertuis dans l’espace des configurations,

espace décrit par les coordonnées généralisées q ~ = (q1 , · · · , qn ) et dont la
2
P
norme est définie par |~q| = ij mij qi qj . Ce qui donne pour un élement de
P
distance dans cet espace ds2 = ij mij dqi dqj et
sX v
uX
ds 1 u dqi dqj
= mij dqi dqj = t mij
dt dt ij ij
dt dt
√ p
= 2T = 2(E − V )
Reprenons l’expression de la loi de Maupertuis et éliminons les moment
conjugués. Sachant que pour un système conservatif, V = V (q) et que l’éner-
P
gie cinétique, est une fonction homogène d’ordre 2 de q̇k , T = 1/2 i,j mij (q)q̇i q̇j
alors
∂L ∂T
pk = =
∂q̇k ∂q̇
 k 
1 ∂ X
= mij q̇i q̇j 
2 ∂q̇k ij
1X
= mij δik q̇j + q̇i δjk
2 ij
X
= mki q̇i
i
ce qui donne
XZ ~
q XZ ~
q
1 X q~
Z
pi dqi = mij q̇j dqi = mij dqj dqi
i ~1
q ij ~1
q dt ij q~ 1
Z ~
q
ds
= ds
~ 1 dt
q
Z q~ p
= 2 (E − V )ds
~1
q

3.6 Vers la mécanique ondulatoire 65
L’action réduite d’un système conservatif peut être

exprimée en fonction des coordonnées généralisées comme
R q~ suit
p
S0 (q; P) = q~ 1 2 (E − V (q))ds
Prenons une particule libre se déplaçant sur un axe de coordonnée q = x,

√
V (x) = 0, P = E et ds2 = mdx 2 =⇒ ds = mdx ; ce qui donne
Z x√ √
S0 (x; E) = 2Emdx = 2mE(x − x0 )
x0
que l’on peut vérifier

dS0 (x; E) √
p = mẋ = mv = = 2mE
dx
ce qui est bien confirmé puisque pour une particule libre E = p2 /2m.
3.6 Vers la mécanique ondulatoire
Les équations HJ apportent une troisième approche, en plus des équa-

tions de Lagrange et celles de Hamilton, pour résoudre un problème de la
dynamique. Toutefois, dans la plus part des cas, comme ça été mentionné
auparavant, les deux autres approches que HJ sont plus aisées et directes à
utiliser.
Néanmoins, les équations HJ permettent d’apporter une compréhension pro-
fonde de la mécanique ondulatoire et ont constitué une trame de fond à
l’élaboration de la mécanique quantique et à la physique moderne.
3.6.1 Analogie avec la construction de Huygens
Avant d’aborder l’analogie avec la mécanique ondulatoire, et plus parti-

culièrement comprendre la correspondance entre les propriétés mécaniques
d’un système et ses propriétés ondulatoires, rappelons les principes de base
de la construction de Huygens.
En effet, le comportement mécanique d’une onde lumineuse est décrit par ce
que l’on appelle la surface d’onde qui correspond aux lieux de l’espace où la
phase de l’onde est constante
φ(~r, t) = k~ · ~r − ωt = constante
où k~ = 2π ~
λ n est le vecteur d’onde sachant que λ est la longueur d’onde et
~ la direction de propagation de l’onde qui est perpendiculaire à la surface
n
d’onde ; ω = 2π
T = 2πν est la pulsation ou la vitesse angulaire avec T et ν
respectivement la période et la fréquence de l’onde.
Pour décrire les effets de la propagation de l’onde, il suffit de

considérer la surface d’onde dont le front se déplace avec la vitesse
de phase vφ = ω où α = (k, ~d~ ).
n
|k|cosα
Pour le cas d’une onde plane se propageant dans le vide dans la direction
Oz, n~=e ~ z et k~ = ωc e
~ z ce qui donne vφ = c. Dans le cas où l’onde se propage
dans un milieu d’indice de réfraction n, v = c/n. Si l’indice de réfraction n’est
pas constant, c’est à dire s’il dépend de la position de l’espace considérée,
le front d’onde est déformé.
Considérons une particule de masse m soumise à un potentiel V et dont
l’énergie mécanique est E, cette dernière étant conservée et donc le système
est conservatif. Considérons pour la simplicité des notations que le système a
un seul degré de liberté. Les résultats restent valables pour un système quel-
conque. L’état mécanique de la particule est décrit par son action S(q, t; P)
qui s’exprime en fonction de l’action réduite, puisque le système est conser-
vatif, par
S(q, t; P) = S0 (q; P) − Et.
Considérons les lieux de l’espace où l’action S(q, t; P) à l’instant t est constante ;

S(q, t; P) = Cte. Ainsi S(q, t = 0; P) = S0 (q, P). Cherchons S(q′ , t + dt; P) :
S(q′ , t + dt; P) = S0 (q′ ; P) − E(t + dt)

= S0 (q + dq; P) − Et − Edt
= S0 (q; P) + dS0 − Et − Edt
= S(q, t; P) + dS0 − Edt
comme lapsurface considérée

p de l’action est constante et a la même valeur
√
et dS0 = 2(E − V )ds = 2(E − V ) mdq, alors
p dq E
2m(E − V )dq − Edt = 0 =⇒ vφ = =p
dt 2m(E − V )

La surface d’action se propage dans l’espace des configurations avec

la vitesse vφ = √ E
2m(E−V )
L’action joue dans l’espace dual, l’espace des configurations, ce que
joue la phase dans l’espace des positions,
S(q, t; P) ⇐⇒ φ(~r, t).
Notons que la vitesse de propagation de la particule,

r r
p 2T 2(E − V )
v = = = 6= vφ
m m m
est donc différente de la vitesse de propagation de la surface d’action. De
même, comme V dépend de la position, le front de la surface d’action se
déforme, ce qui implique que l’espace des configuration est un espace non
homogène. On peut établir alors la relation
E
vφ × v = .
m
3.6.2 Quelle fréquence peut-on associer à la particule ?
Nous avons constaté une dualité entre la surface de l’action dans l’espace
des configurations et la phase dans l’espace des positions

L(r)
φ(~r, t) = k~ · ~r − 2πνt = 2π − νt ⇐⇒ S(q, t; P) = S0 (q; P) − Et
λ0
où L(r) = nr étant le chemin optique et n l’indice de réfraction du milieu, λ0
est la longueur d’onde dans le vide.
En comparant terme à terme, on peut déduire :
— que l’énergie mécanique est proportionnelle à la fréquence
E = hν
et le coefficient de proportionalité h est la constante de Planck. Partant
de cette relation, on peut déduire la relation entre l’impulsion de la
particule au vecteur d’onde comme suit
2π 2πν
k = =
λ vφ
2πνmv 2π
= = p =⇒ p = h̄k
E h
— que S0 (q; P) représente pour l’espace des configurations ce que le che-

min optique représente pour l’espace des positions et de ce fait on peut
constater que le principe de Maupertuis pour la mécanique est le dual
du principe de Fermat pour l’optique géométrique. En effet, nous avons
vu que les trajectoires de la particule sont celles qui extrémisent l’ac-
tion réduite S0 , et de la même manière, les chemins optiques des rayons
lumineux sont ceux qui extrémisent le chemin optique, en l’occurence le
minimisent dans ce cas. Aussi
L’action réduite représente pour l’espace des configurations ce
que le chemin optique représente pour l’espace des positions.
Ce qui nous amène à calculer “l’indice de réfraction” de l’espace des
configurations.
3.6.3 Que peut-on dire de “l’indice de réfraction du milieu mécanique” ?
Après le parallèle établi entre le chemin optique et l’action réduite, nous

pouvons établir l’expression de l’indice de réfraction du milieu mécanique en
utilisant l’équation iconale 1 qui relie le chemin optique à l’indice de réfrac-
tion
(∇L)2 = n2 .
A partir de cette équation et en utilisant la dualité définie auparavant, L ⇐⇒
S0 , il suffit alors d’établir le gradient de l’action réduite ∇S0 et d’identifier
le résultat à l’indice. En effet, on sait que ∇S0 = p et
1 p
(∇S0 )2 + V = H = E =⇒ (∇S0 )2 = 2m (E − V ) =⇒ n = 2m (E − V )
2m
Une fois l’expression de l’indice de réfraction du milieu mécanique établi,
nous pouvons voir clairement la dualité entre le principe de Fermat et celui
de Maupertuis
Z Z p Z p Z p
√
δ ndl = δ 2m(E − V )dl = δ 2(E − V ) mdl = δ 2(E − V )ds = δS0 .
1. Lorsque le milieu est inhomogène et l’indice de réfraction dépend de la postion, l’onde plane n’est plus solution de
l’équation de propagation des ondes car le front d’onde se déforme. On cherche des solutions de la forme
φ = φ0 eA(r) e−ik0 (ct−L(r))
où A(r) est une fonction de la position qui fixe l’amplitude de l’onde. L’équation d’onde se ramène à

∇2 A + (∇A)2 + k02 n2 − (∇L)2 = 0.
L’approximation de l’optique géométrique consiste à ce que le troisième terme soit le dominant et donc (∇L)2 = n2 , ce qui
constitue l’approximation iconale.

On peut récapituler ainsi
φ(~r, t) ⇐⇒ S(q, t; P)
L(r) ⇐⇒ S0 (q; P)
E = hνp et p = h̄k
n ⇐⇒ 2m (E − V )
Principe de Fermat ⇐⇒ Principe de Maupertuis.
3.6.4 Une description ondulatoire de la particule
En partant de l’équation de propagation des ondes électromagnétiques,

n2 ∂2
∆− 2 2 Φ = 0
c ∂t
déduite des équations de Maxwell, et stipulant l’universalité de cette équa-
tion, trouvons l’équation décrivant l’évolution de la particule si elle est décrite
par une onde Ψ. En effet, sachant que la dépendance temporelle de φ est tou-
jours de la forme e−iωt , même dans le cas d’un espace inhomogène, l’équation
précédente devient

n2 ω 2
∆+ 2 Φ = 0.
c
En utilisant les relations déduites de la dualité entre l’espace des configu-
rations et l’espace des positions,
n2 ω 2 ω2 4π 2 ν 2 m2 v 2 p2
= 2 = = 2
c2 vφ E2 h̄
nous avons utilisé les relations démontrées dans le paragraphe précédent
vvφ = E/m et E = hν. Aussi, nous obtenons, en substituant Φ par Ψ

p2
∆ + 2 Ψ = 0.
h̄
On peut déjà souligner qu’à partir de cette dernière relation, étant donné
que l’équation est valable ∀ Ψ =⇒ p2 = −h̄2 ∆ = −h̄2 ∇2 = (ih̄∇)2 qui n’est
~
~ −→ ih̄∇.
d’autre que le principe de correspondance p
Continuons notre quête de l’équation de Ψ. Or nous avons
p2
H =T +V = + V =⇒ p2 = 2m (H − V )
2m
ce qui donne

1
∆ + 2 (2m(H − V )) Ψ = 0
" h̄ #
2
h̄
=⇒ ∆ + (H − V ) Ψ = 0
2m
!
2
−h̄
=⇒ HΨ = ∆+V Ψ
2m
qui n’est d’autre que l’équation de Schrodinger. Si le système est conservatif

alors, H = E et l’équation devient

−h̄2
HΨ = 2m ∆ + V Ψ = EΨ.

Table des matières
1 Formalisme de Lagrange 3
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Coordonnées généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Contraintes et définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Equations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Principe de moindre action . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2 Théorème de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.3 Principe variationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.4 Principe de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.5 Lagrangien d’une particule libre non relativiste . . . . 13
1.3.6 Système de particules interagissant par des forces conser-
vatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.7 Système de particules interagissant par des forces dé-
rivant d’un potentiel généralisé V (q, q̇) . . . . . . . . . . 15
1.3.8 Cas des forces dissipatives : fonction de Rayleigh . . . 15
1.3.9 Cas de contraintes non holonomes : multiplicateurs de
Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.10 Lagrangien d’une particule libre relativiste . . . . . . . 18
1.4 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.1 Pendule simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.2 Masse sur une tige rappelée avec un ressort . . . . . . 20
1.4.3 Exemple de calcul de contrainte . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5 Symmétries et lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.1 Variable cyclique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.2 Théorème de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.3 Invariance par rapport à la translation dans le temps . 25
1.5.4 Invariance par rapport à la translation spatiale . . . . 27
1.5.5 Invariance par rapport à une rotation . . . . . . . . . . . 28
1.6 Quelques exemples simples d’application du calcul variationnel 29
71
TABLE DES MATIÈRES
1.6.1 Plus petite distance dans un plan . . . . . . . . . . . . . 29

1.6.2 La brachistochrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 Formalisme de Hamilton 31
2.1 Hamiltonien d’un système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Equations canoniques de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Equations de Hamilton à partir du principe variationel . . . . 34
2.4 Etude d’un pendule : Portrait de phase . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.1 Hamiltonien du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.2 Portrait de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.3 Etude aux voisinages des points d’équilibre . . . . . . . 36
2.4.4 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5 Théorie de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5.1 Transformations canoniques et fonctions génératrices . 38
2.5.2 Quelques exemples de transformation . . . . . . . . . . 41
2.6 Crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6.1 Quelques propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6.2 Crochets de Poisson et transformations canoniques . . 44
2.6.3 Symétries et crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . 45
2.6.4 Invariants d’un système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.7 L’espace de phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.7.1 Flot Hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.7.2 Incompressibilité du flot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.7.3 Invariants intégraux de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . 51
2.7.4 Théorème de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.7.5 Système intégrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3 Systèmes hamiltoniens 55
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2 L’équation de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3 Fonction principale de Hamilton : Quel sens lui donner ? . . . 56
3.3.1 Principe variationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4 Méthode générale de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4.1 Exemple 1 : Particule libre . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4.2 Exemple 2 : chute libre 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5 Le principe de Maupertuis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.6 Vers la mécanique ondulatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.6.1 Analogie avec la construction de Huygens . . . . . . . . 65
TABLE DES MATIÈRES 73
3.6.2 Quelle fréquence peut-on associer à la particule ? . . . 67

3.6.3 Que peut-on dire de “l’indice de réfraction du milieu
mécanique” ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.6.4 Une description ondulatoire de la particule . . . . . . . 69

TABLE DES MATIÈRES

Table des figures
1.1 Deux pendules liés astreints à se déplacer sur le même plan.

Les angles θ1 et θ2 suffisent pour décrire le mouvement du
système. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Trajectoires effective et variée. Les deux coincident aux ins-
tants t1 et t2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Pendule de longueur l et de masse m . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Masse M glissant sur une tige en rotation imposée et soumise
à une force de rappel d’un ressort. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Cerceau de masse M roulant sans glisser sur un plan incliné
d’un angle α. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1 Portrait de phase d’un pendule simple : en rouge le régime de
libration, en vert celui de la circulation et en bleu la sépara-
trice entre les deux régimes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
75

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Eléments du Cours de Mécanique Analytique

Année universitaire 2013/2014

Le formalisme de la mécanique analytique n’apporte pas de nouveauté

1.2 Coordonnées généralisées

L’approche standard de la mécanique newtonienne consiste à relier les

tions et les vitesses. En eﬀet, la présence des forces de liaison où en général

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1.2.1 Contraintes et définitions

On appelle contrainte holonome toute contrainte vériﬁant la forme

f(~r1, ..., ~rN , t) = 0

diﬀérentiable en tout point. On distingue deux classes de contraintes ho-

confronté aux contraintes et quand elles apparaissent dans un problème,

1.3 Equations de Lagrange

Comme c’est indiqué dans le paragraphe précédent, il s’agit de décrire la

1.3.1 Principe de moindre action

est extremale pour la trajectoire empruntée eﬀectivement par le système

Un autre exemple du principe variationnel utilisé en physique est celui

1.3.2 Théorème de d’Alembert

Ce théorème permettra de déduire les équations de Lagrange à l’aide du

Lors d’un déplacement virtuel, le travail des forces de

Mohamed.Elkacimi@cern.ch/elkacimi@uca.ma Laboratoire de Physique des Hautes Energies et d’Astrophysique 2013/2014

Or le déplacement virtuel peut s’exprimer comme suit

sachant que δt = 0 pour un déplacement virtuel. Le travail virtuel prend

où Qi est la ième composante de la force généralisée telle que

Nours revenons sur ce concept pour établir l’équation de Lagrange à partir

1.3.3 Principe variationnel

et qui s’annule aux instants t1 et t2 puisque les deux trajectoires se

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ce qui constitue les équations de Lagrange.

∂qi dt = q̇i ∂2 qi + ∂qi ∂t

ce qui implique que

— le Lagrangien de deux systèmes indépendants est égale à la somme

1.3.4 Principe de la dynamique

Reprenons le travail virtuel des forces extérieures déﬁni auparavant. En

Reexprimons le travail virtuel en utilisant l’accélération généralisée de ma-

l’expression des composantes de l’accélération généralisée sont

De même, l’expression de la vitesse peut se mettre sus la forme

Aussi nous avons

et qui traduit l’équation de Lagrange en fonction de l’énérgie cinétique et

où ~fin sont les forces d’inertie, l’accélération généralisée devient

1.3.5 Lagrangien d’une particule libre non relativiste

Comme il a été mentioné auparavant, le lagrangien d’un système, en l’occu-

1.3.6 Système de particules interagissant par des forces conservatives

On considère un système formé de N particules. On suppose dans ce cas

Notons que le potentiel ne dépend ni explicitement du temps ni de q̇i .

Pour une particule, nous avons

1.3.8 Cas des forces dissipatives : fonction de Rayleigh

1.3.9 Cas de contraintes non holonomes : multiplicateurs de Lagrange

Le caractère holonome des contraintes, fl (~r1, · · · , ~rN ) = 0, l ∈ {1, m},

Méthode des multiplicateurs

Supposons que l’on a m équations de contrainte qui peuvent se mettre

où l = 1, · · · , m et k = 1, N ; alors la méthode dite des multiplicateurs de

On introduit m constantes indéterminées λl et les m relations suivantes sont

Le principe de moindre action s’écrit comme suit

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et la somme des deux équations précédentes donne

Rappelons que les n coordonnées généralisées qi ne sont pas indépendantes.

pour k = N − m + 1, · · · , N ainsi on obtient

où il y a N +m inconnues : les N coordonnées qk et les m constantes λl . Pour