1

Chapitre 3 : Méthode de la 1ère Harmonique

3.1. Introduction sur asservissement continu non-linéaire
Dans la littérature, on trouve également les dénominations équivalentes suivantes : méthode
de linéarisation harmonique, méthode de l’équivalent harmonique, méthode du premier
harmonique, méthode des fonctions descriptives. Les méthodes harmoniques ou méthodes
fondées sur l’utilisation de la réponse fréquentielle ont montré leur efficacité en vue de l’analyse
et de la synthèse des systèmes de commande linéaires. On substitue à la représentation
temporelle par équations différentielles linéaires à coefficients constants, une représentation
dans le domaine des fréquences. Les avantages en sont principalement les outils graphiques
disponibles, facilitant l’analyse et la synthèse ainsi que les interprétations physiques que ces
méthodes permettent de dégager. La méthode de linéarisation harmonique est une tentative de
généralisation des méthodes harmoniques classiques. Elle consiste à remplacer un élément non
linéaire par un ” équivalent” linéaire invariant qui constitue en quelque sorte une approximation
de l’élément non linéaire donné. Cette méthode est utilisée afin d’analyser et prévoir
approximativement certains comportements non linéaires. Elle permet principalement de
prévoir les cycles limites, mais également les phénomènes de saut, les sous-harmoniques ainsi
que les réponses des systèmes non linéaires à des entrées sinusoïdales. Dans le cadre de ce
cours, nous appliquerons cette méthode pour la prévision des cycles limites et afin de
déterminer approximativement leur amplitude et fréquence.
3.1.1. Généralités
Pour être tout à fait franc, les systèmes physiques réellement linéaires n’existent pas. Les
équations différentielles linéaires, donc les fonctions de transfert, ne sont que des modèles qui
correspondent plus ou moins bien à la réalité. Partant du principe que tout système qui n’est pas
linéaire doit être considéré comme non linéaire, cela revient à dire que tous les systèmes
physiques, en général, sont non linéaires.
Il nous faut donc apprécier, lors du choix d’un modèle, la pertinence de celui-ci au regard
de la précision des résultats qu’il nous permet de mettre en évidence. Il est alors nécessaire de
trouver un compromis entre la justesse (toute relative) du modèle et sa complexité. Il est en
effet logique de penser que plus un modèle doit coller à la réalité, plus il sera complexe.
Pour rassurer le lecteur, nous pouvons malgré tout signaler qu’une majorité de systèmes
physiques peuvent être appréhendé comme des systèmes linéaires, tout du moins sous certaines
conditions de fonctionnement. Ces conditions, en général, s’expriment sous la forme d’une
limitation des amplitudes des signaux ou de la restriction à un certain intervalle de fréquences.
L’ensemble de ces conditions permet de déterminer ce qu’on appelle le domaine de linéarité
d’un système.
Toutefois, lorsque la précision de l’étude le nécessite ou lorsque les phénomènes engendrés
par certains systèmes notoirement non linéaires ne peuvent être négligés, il est nécessaire
d’appréhender l’étude de modèles de fonctionnement qui en tiennent compte.
C’est ce que se propose de présenter ce chapitre.
3.1.2. Différents types de non-linéarités
On distingue en général deux types de systèmes non linéaires :
– ceux pour lesquels ces non linéarités peuvent être considérées comme gênantes ou des
parasites ;
– ceux dans lesquels un organe volontairement non linéaire est volontairement introduit pour
produire un effet particulier.
Ce dernier cas s’accommode fort mal, en général, d’une modélisation linéaire. Quant au
premier, il peut s’en accommoder à condition que l’on puisse considérer le fonctionnement du

1
 2

système dans son domaine de linéarité ou que l’on évalue comme négligeable l’influence des
non linéarités sur les prévisions tirées d’un modèle linéaire.
3.2. Étude du domaine de linéarité d’un système
3.2.1 Le phénomène de saturation
Considérons un système physique très simple, par exemple un amplificateur de gain K
(figure (3.1)).
L’une des plus fréquentes limitations de son modèle linéaire correspond à l’incapacité d’écrire
l’équation de fonctionnement 𝑠(𝑡) = 𝐾𝑒(𝑡) , notamment pour de fortes amplitudes des
signaux.
En effet, tout amplificateur possède un intervalle [𝑠𝑚𝑖𝑛 , 𝑠𝑚𝑎𝑥 ] à l’intérieur duquel évolue
obligatoirement le signal de sortie. Cette plage de variation du signal de sortie est appelée
excursion du signal de sortie et est dûe, la plupart du temps, à des limitations techniques. Dans
le cas d’un amplificateur, les bornes de l’alimentation électrique utilisée constituent, en quelque
sorte, des limites infranchissables pour le signal de sortie.

Figure 3.1 : Modèle linéaire d’un

amplificateur

Si l’on tente d’amplifier un signal d’entrée 𝑒(𝑡) possédant une amplitude telle que 𝐾𝑒(𝑡) >
𝑠𝑚𝑎𝑥 , le signal de sortie saturera à la valeur 𝑠𝑚𝑎𝑥 .
On ne peut plus écrire : 𝑠(𝑡) = 𝐾𝑒(𝑡)
La figure (3.2) illustre ce phénomène de saturation d’un signal sinusoïdal pour une entrée
𝑒(𝑡) possédant une amplitude trop importante. Le signal de sortie n’est plus sinusoïdal.

Figure 3.2 : Saturation d’un signal sinusoïdal.

La figure (3.3) présente la caractéristique entrée - sortie d’un amplificateur réel avec sa plage
de fonctionnement linéaire et ses deux plages de saturation.
Remarque 1 :
Le phénomène de saturation est souvent symétrique et l’on a :
𝑠𝑚𝑖𝑛 = −𝑠𝑚𝑎𝑥

Il est fondamental de bien comprendre que le siège du phénomène de saturation se trouve au

niveau de la sortie du système mais qu’il se traduit, en pratique, par une limitation de
l’amplitude du signal d’entrée.

2
 3

Figure 3.3 : Caractéristique réelle d’un

amplificateur avec saturation.

3.2.2. Détermination du domaine de linéarité d’un système asservi

Les amplificateurs ne sont pas les seuls organes présentant un phénomène de saturation. En
réalité, tous les systèmes physiques, qu’ils soient électriques, électroniques, mécaniques, etc.
sont caractérisés par ce phénomène. Ainsi, en mécanique, les butées qui bloquent le mouvement
d’une pièce se traduisent par une saturation.
Dans une boucle d’asservissement composée de plusieurs éléments, chacun d’entre eux
possède sa propre limitation en sortie. Dans l’exemple de la figure(3.4), les organes de fonctions
de transferts 𝐴( 𝑝), 𝐵( 𝑝) et 𝐶( 𝑝) sont ainsi caractérisés par des valeurs maximales de leurs
sorties respectives : 𝐴𝑚𝑎𝑥 , 𝐵𝑚𝑎𝑥 et 𝐶𝑚𝑎𝑥 .

Figure 3.4 : Saturations

des sorties de chaque
élément d’une boucle.

Chacune des valeurs maximales de sortie des différents éléments impose une valeur maximale
de son entrée. Au final, toutes ces contraintes imposent une limitation du signal d’entrée.
En supposant que e, ´, x, s et s’ représentent les amplitudes de signaux qui sont tous
sinusoïdaux, on peut ainsi, dans notre exemple, écrire les différentes contraintes liées aux
saturations éventuelles que l’on cherche, bien évidemment, à éviter :

𝐴𝑚𝑎𝑥 𝐴𝑚𝑎𝑥
𝑠 < 𝐴𝑚𝑎𝑥 𝑒𝑡 𝑠 = 𝐴(𝜔) 𝑥 → 𝑥 < 𝑒𝑡 𝑥 = 𝐶(𝜔) 𝜀 → 𝜀 <
𝐴(𝜔) 𝐶(𝜔) 𝐴(𝜔)
Par ailleurs :
𝐶𝑚𝑎𝑥
𝑥 = 𝐶(𝜔) 𝜀 𝑒𝑡 𝒙 < 𝐶𝑚𝑎𝑥 → 𝐶(𝜔) 𝜀 < 𝐶𝑚𝑎𝑥 → 𝜀 <
𝐶(𝜔)
𝐵
d’où : 𝑠 ′ < 𝐵𝑚𝑎𝑥 et 𝑠 ′ = 𝐵(𝜔) 𝑠 → 𝐵(𝜔) 𝑠 < 𝐵𝑚𝑎𝑥 𝑚𝑎𝑥
→ 𝑠 < 𝐵(𝜔) et 𝑠 = 𝐴(𝜔)𝑥

𝐵𝑚𝑎𝑥 𝐵𝑚𝑎𝑥
→ 𝑥< et 𝜀 < 𝐴(𝜔) 𝐵(𝜔)𝐶(𝜔)
𝐴(𝜔) 𝐵(𝜔)

Comme 𝜀 = 𝑒 − 𝑠′ la valeur maximale de l’écart correspond à 𝜀𝑚𝑎𝑥 = 𝑒𝑚𝑎𝑥 − 𝐵𝑚𝑖𝑛

3
 4

𝐴𝑚𝑎𝑥
On a : 𝜀𝑚𝑎𝑥 = et 𝑒 < 𝑒𝑚𝑎𝑥 , on doit avoir simultanément :
𝐶(𝜔) 𝐴(𝜔)

𝐴𝑚𝑎𝑥 𝐶𝑚𝑎𝑥 𝐵𝑚𝑎𝑥

𝑒 < 𝐴(𝜔)𝐶(𝜔) + 𝐵𝑚𝑖𝑛 ; et 𝑒< + 𝐵𝑚𝑖𝑛 𝑒 < 𝐴(𝜔) 𝐵(𝜔)𝐶(𝜔) + 𝐵𝑚𝑖𝑛
𝐶(𝜔)

Dans le cas, fréquent, 𝐵𝑚𝑖𝑛 = 0 ces inéquations deviennent :

𝐴𝑚𝑎𝑥 𝐶𝑚𝑎𝑥 𝐵
𝑚𝑎𝑥
𝑒 < 𝐴(𝜔)𝐶(𝜔) ; 𝑒< ; 𝑒 < 𝐴(𝜔) 𝐵(𝜔)𝐶(𝜔)
𝐶(𝜔)

Figure 3.5 : Définition de la

zone de linéarité d’un
système.

Il est alors possible de tracer, sur un diagramme amplitude - fréquence, les différentes
courbes ainsi mises en évidence. Pour garantir un fonctionnement linéaire à l’ensemble du
système, l’amplitude de la sinusoïde d’entrée doit se trouver obligatoirement en dessous de la
courbe la plus basse. Dans le cas d’un signal quelconque, on définit ainsi une zone de linéarité
à l’intérieur de laquelle doit se situer le spectre du signal d’entrée (figure 3.5).
Pour les mêmes raisons de commodité que dans le cas des diagrammes de Bode, on choisit
de porter en ordonnée, le logarithme de chaque expression et en abscisse, la pulsation v selon
une échelle logarithmique.
Remarque 2 :
D’une manière générale, les non linéarités peuvent apparaître en cas d’utilisation de
signaux d’amplitude trop élevées. Elles peuvent aussi être mises en évidence à cause de signaux
trop faibles. En effet, tous les systèmes génèrent des signaux parasites, plus ou moins aléatoires,
dont la résultante est appelée le bruit. Si l’amplitude des signaux utiles est largement supérieure
au niveau de bruit, ce phénomène est sans conséquence. Dans le cas contraire, le
fonctionnement des systèmes est fortement perturbé voire complètement imprévisible. On
adjoint donc souvent au diagramme de linéarité une contrainte supplémentaire qui consiste à
exiger des signaux qu’ils possèdent une amplitude nettement plus importante que le niveau de
bruit.
3.3. Caractéristiques de certains organes non linéaires
Hormis le phénomène de saturation, certains systèmes ou éléments d’un système sont
caractérisés par un fonctionnement non linéaire, de part leur conception, leurs limitations
technologiques ou, plus simplement, leur principe même de fonctionnement.
3.3.1. Systèmes tout ou rien
Les systèmes dits à fonctionnement tout ou rien sont caractérisés par une sortie ne pouvant
prendre que deux (parfois trois) valeurs distinctes. La valeur de la sortie est en général
déterminée par l’intervalle dans lequel se trouve la valeur d’entrée. En fonction de la forme de

4
 5

la caractéristique, ces systèmes peuvent être appelés plus ou moins, avec ou sans seuil (voir
figure 3.6).

Figure 3.6 :
Caractéristiques d’organes
tout ou rien.

Les relais électriques, qui sont des organes de commande fréquemment utilisés, possèdent
des caractéristiques de ce type.

3.3.2. Systèmes à hystérésis

L’hystérésis est le phénomène qui caractérise les systèmes qui possèdent deux
caractéristiques distinctes en fonction du sens de variation du signal d’entrée : lorsque le signal
croît, le point de fonctionnement du système se déplace sur une de ces courbes. Lorsqu’il
décroît, il se déplace sur l’autre. Ces courbes sont repérées, sur la caractéristique, par
l’adjonction du sens de variation (figure 3.7).
Dans les organes mécaniques, la présence de jeu dans certaines pièces, est susceptible de
générer des fonctionnements avec hystérésis.

Figure 3.7 :
Caractéristiques d’organes
avec hystérésis.

Remarque 3 :

5
 6

Les organes présentant des non linéarités qui se traduisent par la présence, en sortie, de
quelques valeurs discrètes (éléments tout ou rien ou plus ou moins) sont encore appelées non
linéarités de type relais.
3.3.3. Caractéristiques complexes
Bon nombre de dispositifs possèdent des caractéristiques complexes qui présentent à la fois
des phénomènes de seuil, de saturation ou autres singularités. Le meilleur exemple que l’on
puisse mentionner est la vanne hydraulique dont le signal d’entrée est l’angle d’ouverture et le
signal de sortie, le débit du fluide qu’elle est censée laisser passer.
Pour des angles petits (chacun en a déjà fait l’expérience), la vanne ne réagit pas : c’est le
phénomène de seuil. À partir d’un certain angle, le fluide commence à passer, mais il n’y a pas
obligatoirement proportionnalité entre l’angle et le débit : la caractéristique n’est pas une droite.
Plus l’angle augmente et plus le débit augmente ; mais à partir d’une certaine valeur de l’angle,
le débit devient maximal, même si on continue à tourner la vanne. L’élément sature.
Si on diminue à nouveau l’angle, le jeu mécanique est responsable d’un phénomène
d’hystérésis : le débit ne recommence à décroître que lorsque l’on a « rattrapé » le jeu
mécanique.
La figure (3.8) illustre le fonctionnement de cette vanne.

Figure 3.8 :
Caractéristiques
d’une vanne.

3.4. Asservissements non linéaires séparables

Considérons une boucle d’asservissement comportant plusieurs éléments dont certains
peuvent être pourvus d’un modèle de fonctionnement linéaire et dont les autres seront
considérés comme non linéaires.
Le système est considéré comme séparable s’il est possible d’isoler, dans le modèle de
fonctionnement global de la boucle, les éléments linéaires possédant une fonction de transfert,
d’une part, et les éléments possédant une caractéristique 𝑠 = 𝑓 (𝑒) non linéaire et
indépendante de la fréquence, d’autre part.
Le modèle de boucle d’asservissement non linéaire usuellement adopté consiste à isoler la
non-linéarité dans la chaîne directe, immédiatement après le soustracteur, sous la forme d’une
fonction 𝑥 = 𝑁(𝜺) correspondant à la caractéristique non linéaire identifiée. L’amplitude
du signal de sortie x ne dépend que de l’amplitude du signal d’entrée 𝜀 .
La figure (3.9) présente le modèle général de cette boucle.

6
 7

Figure 3.9 : Schéma

général d’une boucle
d’asservissement non
linéaire.

Ce système est régi par les équations suivantes :

𝑥 = 𝑁(𝜀)
𝑆(𝑝) = 𝐴(𝑝)𝑋(𝑝)
𝑆 ′ (𝑝) = 𝐵(𝑝)𝑆(𝑝)
Et : 𝜀(𝑝) = 𝐸(𝑝) − 𝐵(𝑝)𝑆(𝑝)
Si un élément non linéaire est placé en un autre endroit de la boucle, il est nécessaire, pour
que les méthodes d’étude que nous allons aborder ultérieurement soient applicables, de
transformer le schéma de la boucle pour le ramener en amont de la chaîne direct.
Considérons par exemple, la boucle représentée sur la figure (3.10).

Figure 3.10 : Schéma d’une

boucle d’asservissement
non linéaire à transformer.

La méthode consiste à transformer cette boucle en préservant d’une part l’intégrité de

l’élément non linéaire qui sera placé immédiatement derrière le soustracteur et d’autre part la
loi de fonctionnement du système, autrement dit l’expression de 𝑆(𝑝)
On commence la construction de ce nouveau schéma équivalent au premier en plaçant l’élément
𝑁(𝑥) derrière le soustracteur tout en prévoyant un retour unitaire (figure 3.11).

Figure 3.11 : Première

étape de la construction du
schéma équivalent.

À partir de ce schéma incomplet, on peut déjà écrire :

𝑋(𝑝) = 𝐸(𝑝) − 𝑆(𝑝)

7
 8

Ce qui n’est bien évidemment pas conforme au schéma initial dans lequel on avait :
𝑋(𝑝) = 𝐶(𝑝)𝜀(𝑝) = 𝐶(𝑝)[𝐸(𝑝) − 𝐵(𝑝)𝑆(𝑝)]
Soit :
𝑋(𝑝) = 𝐶(𝑝)𝐸(𝑝) − 𝐶(𝑝)𝐵(𝑝)𝑆(𝑝)

Pour que le schéma de la figure (3.11) redevienne conforme à cette équation, il faut multiplier
𝐸(𝑝) par 𝐶(𝑝) et multiplier le signal 𝑆(𝑝) par 𝐵(𝑝)𝐶(𝑝) (figure 3.12).

Figure 3.12 : Deuxième

étape de la construction du
schéma équivalent..

On complète alors le schéma avec l’élément qui lie le signal y à la sortie, élément qui lui, reste
inchangé.
La figure (3.13) correspond maintenant au schéma équivalent recherché.

Figure 3.13 : Dernière

étape de la construction du
schéma équivalent.

3.5. La méthode de linéarisation harmonique

3.5.1. Hypothèses d’application
1. On considère uniquement les systèmes asservis possédant un élément non linéaire dans la
chaîne d’asservissement (figure 3.14) qu’il est possible d’isoler ; c’est la « hypothèse de
séparabilité »
2. L’élément non linéaire sera invariant dans le temps.
3. La partie linéaire dans la chaîne d’asservissement est stable et se comporte comme un filtre
passe-bas, (hypothèse de filtrage). Notée globalement L(p), est un filtre passe-bas qui filtre les
termes en 2ω 3ω, etc. ce qui rend acceptable l’approximation au premier harmonique dans le
calcul du développement en séries de Fourier.

Figure 3.14 : Schéma bloc standard

8
 9

3.5.2 Equivalent harmonique

3.5.2.1 Rappel sur les systèmes linéaires
Soit les signaux 𝑒 𝑒𝑡 𝑠 sont respectivement l’entrée et la sortie du système linéaire (voir figure
3.15) :

Figure 3.15 : Système linéaire

𝑆
𝐴 = 𝐴(𝜔) = 𝑒0 → gain du système
L’hypothèse de linéarité  { 0
Φ = Φ(𝜔) → phase du système

Dans le cas des systèmes linéaires, l’équivalent harmonique est défini exactement.
3.5.2.2 Cas des systèmes non linéaires
Soit les signaux 𝑥 𝑒𝑡 𝑤 sont respectivement l’entrée et la sortie du système non- linéaire (voir
figure 3.16) :

Figure 3.16 : Système non-linéaire

Pour un signal d’entrée sinusoïdal 𝑥(𝑡), la réponse, dans la majorité des cas, est un signal
périodique bien que non sinusoïdal et peut donc être décomposé en séries de Fourier. La sortie
𝑤(𝑡) est une somme infinie de signaux sinusoïdaux, qui sont les harmoniques.
+∞

𝑆𝑖 𝑥(𝑡) = 𝑥1 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) alors 𝑤(𝑡) = ∑ 𝑤𝑛 𝑠𝑖𝑛(𝑛 𝜔𝑡 + 𝜑𝑛 ) + 𝑤0

𝑛=1

On ne retient que le premier harmonique (fondamentale), c.à.d. 𝑤(𝑡) ≅ 𝑤1 sin(𝜔𝑡 + 𝜑1 ).

3.5.2.3. Justification de l’approximation à travers un exemple
Cette justification repose essentiellement sur le filtrage des hautes fréquences par l’étage
linéaire en cascade, (filtrage des harmoniques supérieures). Ici, 𝐿( 𝑝) = 𝐾𝐺( 𝑝) et la non
² ²

linéarité est du type tout ou rien avec saturation représentée à la figure (3.17).

Etude de l’organe non linéaire :

La réponse harmonique est donnée par le développement en séries de Fourier :
+∞

𝑤(𝑡) = ∑ 𝑤𝑛 𝑠𝑖𝑛(𝑛𝜔 𝑡 + 𝜑𝑛 ) + 𝑤0
𝑛=1
= 𝑤0 + 𝑤1 𝑠𝑖𝑛(𝑤 𝑡 + 𝜑1 ) + ⋯ + 𝑤𝑘 𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑤 𝑡 + 𝜑𝑘 + ⋯ )

Dans ce cas, du fait de la symétrie du signal 𝑤(𝑡) sa valeur moyenne est nulle 𝑤0 = 0.
L’amplitude des différents harmoniques est alors donnée par :

9
 10

4𝑀
- Harmonique 1 : 𝑤1 = 𝜋𝑥1
- Harmonique 2 : 𝑤2 = 0 ´

4𝑀
- Harmonique 3 : 𝑤3 = 3𝜋𝑥
1

Figure 3.17 : non-

linéarité avec saturation

Etude de l’élément linéaire :

On a choisi un élément linéaire composé d’un intégrateur et d’un premier ordre donné par
sa constante de temps 𝜏.
𝐾 𝐾
𝐾 𝐺(𝑝) = → |𝐾𝐺(𝑗𝜔)| =
𝑝(1 + 𝜏𝑝) 𝜔√1 + 𝜏 2 𝜔 2
𝐾
En dB : |𝐾𝐺(𝑗𝜔)|𝑑𝐵 = 20log ( ) = 20𝑙𝑜𝑔𝑘 − 20𝑙𝑜𝑔𝜔 − 20𝑙𝑜𝑔(√1 + 𝜏 2 𝜔 2 )
𝜔√1+𝜏2 𝜔2

𝑆(𝑝)
= 𝐿(𝑝)
𝑤(𝑝)
D’après le principe de superposition, on peut écrire :
+∞

𝑠(𝑡) = ∑ 𝑆𝑛 (𝑡) = 𝑆1 (𝑡) + ⋯ + 𝑆𝑘 (𝑡) + ⋯

𝑛=1

D’où :
|𝑆1 | 𝐾 |𝑆3 | 𝐾
= et =
|𝑤1 | 𝜔√1+𝜏2 𝜔2 |𝑤3 | 3𝜔√1+9 𝜏2 𝜔2

|𝑆3 | √1+𝜏2 𝜔2 𝑆3 1 1
= pour 𝜔 ≫ 𝜔𝑐 ⟹ = = = 11%
|𝑆1 | 3√1+9 𝜏2 𝜔2 𝑆1 3√9 9

La contribution de l’harmonique immédiatement supérieure au fondamental peut donc être

négligée.

10
 11

Figure 3.18 : Diagramme de

Bode de l’élément linéaire

𝐾
|𝐾𝐺(𝑗𝜔)|𝑑𝐵 = 20log ( )
𝜔√1 + 𝜏 2 𝜔 2

|𝑲𝑮(𝒋𝝎)|𝒅𝑩 = 𝟐𝟎𝒍𝒐𝒈𝒌 − 𝟐𝟎𝒍𝒐𝒈𝝎 − 𝟐𝟎𝒍𝒐𝒈 (√𝟏 + 𝝉𝟐 𝝎𝟐 )

3.5.3. Fonction de transfert généralisée

On considère un organe non linéaire quelconque à l’entrée duquel on applique un signal
sinusoïdal d’amplitude 𝑥1 et de fréquence 𝜔 = 2𝜋𝑓 , 𝑥( (𝑡) = 𝑥1 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) . Comme nous
2

³3´ ²³

l’avons vu précédemment, une fois le régime transitoire achevée, le signal de sortie de l’élément
non linéaire est en général une fonction périodique symétrique pouvant être décomposée en
série de Fourier :
+∞

𝑤(𝑡) = ∑ 𝑤𝑛 𝑠𝑖𝑛(𝑛𝜔 𝑡 + 𝜑𝑛 ) + 𝑤0
𝑛=1
= 𝑤0 + 𝑤1 𝑠𝑖𝑛(𝑤 𝑡 + 𝜑1 ) + ⋯ + 𝑤𝑘 𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑤 𝑡 + 𝜑𝑘 + ⋯ )

Où les coefficients de Fourier sont donnés par :

𝜔 𝑇
𝑤0 = ∫ 𝑤(𝑡) 𝑑𝑡
𝜋 0
𝜔 𝑇
𝑎𝑛 = ∫ 𝑤(𝑡) 𝑠𝑖𝑛(𝑛𝜔𝑡)𝑑𝑡
𝜋 0
𝜔 𝑇
𝑏𝑛 = ∫ 𝑤(𝑡) 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜔𝑡)𝑑𝑡
{ 𝜋 0
Remarque 4 :
1- Pour 𝑛 = 1, le signal sinusoïdale est appelé signal fondamental, alors que pour 𝑛 > 1,
´ Å

on parlera harmoniques supérieures.

2- En général, le signal de sortie est périodique de même période que le signal d’entrée sauf
dans certains cas, (résonance sous-harmonique, oscillations propres, non périodicité).
3) Pour les non linéarités impaires, (𝑤(𝑡) = −𝑤(𝑡) ∀𝑡), 𝑏𝑛 = 0 alors que pour les non
linéarités paires, (𝑤(𝑡) = 𝑤(−𝑡) ∀𝑡), 𝑎𝑛 = 0 ²

3.5.3.1. Approximation du premier harmonique

L’hypothèse de l’équivalent harmonique permet de substituer au signal global 𝑤(𝑡) , un
signal équivalent composé uniquement du signal fondamental ou premier harmonique.
11
 12

Cette approximation de l’équivalent harmonique est appelée également approximation de

Dutilh.

𝑤(𝑡) ≅ 𝑎1 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) + 𝑏1 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)

𝜔 𝑇
𝑎1 = ∫ 𝑤(𝑡) 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)𝑑𝑡
𝜋 0
𝜔 𝑇
𝑏1 = ∫ 𝑤(𝑡) 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)𝑑𝑡
{ 𝜋 0

Ce qui permet d’écrire :

𝑞(𝑥1 ,𝜔) 𝑞 ′ ((𝑥1 ,𝜔))

𝑎⏞1 𝑏⏞1
𝑤(𝑡) = 𝑎1 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) + 𝑏1 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) = 𝑥1 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) + 𝑥1 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)
𝑥1 𝑥1
1 𝑑𝑥(𝑡)
𝑤(𝑡) = 𝑞(𝑥1 , 𝜔) 𝑥(𝑡) + 𝑞 ′ (𝑥1 , 𝜔)
𝜔 𝑑𝑡
que l’on peut réécrire sous la forme :

𝑤(𝑡) = 𝑥1 𝐵(𝑥1 , 𝜔) 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑)

𝑀𝑜𝑑𝑢𝑙𝑒
⏞
𝑃ℎ𝑎𝑠𝑒 𝑞′
𝐵(𝑥1 , 𝜔) = √𝑞 2 + 𝑞 ′2 , ⏞ = 𝑎𝑟𝑡𝑔 [ ]
𝜑
𝑞

𝜔 𝑇 𝜔 𝑇
𝑞(𝑥1 , 𝜔) = ∫ 𝑤(𝑡) 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)𝑑𝑡, 𝑞 ′ (𝑥1 , 𝜔) = ∫ 𝑤(𝑡) 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)𝑑𝑡,
𝑥1 𝜋 0 𝑥1 𝜋 0

La composante fondamentale du signal de sortie 𝑤(𝑡) correspondant à une entrée sinusoïdale

est une sinusoïde de même fréquence. En représentation complexe, cette sinusoïde peut être
représentée par :
𝑊 = 𝐵(𝑥1 , 𝜔) 𝑥1 𝑒 𝑗(𝜔𝑡+𝜑)

Ainsi, de manière équivalente au concept de réponse fréquentielle dans le cas linéaire, qui n’est
rien d’autre que le rapport fréquentiel entre l’entrée sinusoïdale et la sortie sinusoïdale du
système, il est possible de définir la fonction de transfert généralisée de l’élément non linéaire
comme étant le rapport complexe de la composante fondamentale sur l’entrée sinusoïdale:
𝑥1 𝐵(𝑥1 , 𝜔) 𝑒 𝑗(𝜔𝑡+𝜑)
𝑁(𝑥1 , 𝜔) = 𝐵(𝑥1 , 𝜔)𝑒 𝑗𝜑(𝑥1 ,𝜔) =
𝑥1 𝑒 𝑗(𝜔𝑡)

La fonction de transfert généralisée représente la réponse fréquentielle de l’élément non

Linéaire

Á l’inverse du cas linéaire, la fonction de transfert généralisée dépend conjointement de

l’amplitude et de la fréquence du signal sinusoïdal d’entrée. Le fait de passer à une telle
représentation est également appelé quasi-linéarisation de l’élément non linéaire

12
 13

Cas particulier important :

Dans le cas d’une non linéarité statique, la fonction de transfert généralisée 𝑁(𝑥1 , 𝜔) est
indépendante de la fréquence :
𝑁(𝑥1 ) = 𝐵(𝑥1 )𝑒 𝑗𝜑(𝑥1 )

Exemples :
Seuils, saturations, hystérésis, tout ou rien et combinaisons des précédentes. Dans la suite
de ce cours, nous ne considérerons que les non linéarités vérifiant cette hypothèse.

3.5.3.2. Représentation graphique : « lieu critique »

Plutôt que de tracer directement dans le plan de Nyquist ou Black, le lieu des points
𝑁 (𝑥1 ) ; on trace le lieu critique qui est le lieu des points complexes donnés par :
² ³

−1 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑒 1⁄𝐵(𝑥 )
𝐶(𝑥1 ) = { 1
𝑁(𝑥1 ) 𝑎𝑟𝑔𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡 𝜋 − 𝜑(𝑥1 )
Remarque 5 :
- En linéaire, il est nécessaire de connaître (𝐴(𝜔), 𝜑(𝜔)) c’est à dire la réponse fréquentielle
²

du système que l’on peut tracer dans Bode, Black, Nyquist, pour caractériser complétement le
système asservi.
- En non linéaire, dans le cadre de l’approximation du premier harmonique, le système asservi
est complètement caractérisé par :
- le lieu de réponse en fréquence de l’élément linéaire,
- le lieu critique de l’organe non linéaire.

3.5.4. Calcul de la fonction de transfert généralisée

Différentes méthodes peuvent être utilisées afin de déterminer la fonction de transfert
généralisée d’un élément non linéaire. Quand la caractéristique de la non linéarité 𝑤 = 𝑓(𝑥)
est connue analytiquement et si l’intégration entrant dans le calcul des coefficients de Fourier
peut être menée facilement, une évaluation analytique de la fonction de transfert généralisée
peut être calculée. C’est le cas notamment des non linéarités que nous examinerons par la suite.
Dans d’autre cas, la caractéristique de la non linéarité peut être donnée par un graphe ou une
table. La fonction de transfert généralisée peut alors être évaluée par intégration numérique.
On obtient dans ce cas directement un graphique représentant la fonction de transfert
généralisée.
Finalement, dans le cas de non linéarités complexes, il peut être nécessaire d’utiliser une
évaluation expérimentale en excitant la non linéarité par une entrée sinusoïdale d’amplitude et
de fréquence donnée. La fonction de transfert généralisée est alors obtenue en utilisant un
analyseur harmonique. Dans le cas non linéaire, il est nécessaire de faire varier non seulement
la fréquence du signal d’entrée comme en linéaire mais également l’amplitude, conduisant à un
ensemble de courbes dans le plan complexe, décrivant 𝑁(𝑥1 , 𝜔)
Nous présentons maintenant quelques calculs de fonction de transfert généralisées associées à
des non linéarités usuelles.

3.5.4.1. Tout ou rien avec saturation

- non linéarité symétrique/axe des abscisses et impaire :

13
 14

𝑤0 = 0 et 𝑞 ′ (𝑥1 , 𝜔) = 0

- non linéarité statique

𝑁(𝑥1 , 𝜔) = 𝑁(𝑥1 )
D’où l’on effectue les calculs suivants :
𝑀𝑜𝑑𝑢𝑙𝑒
⏞ 1 ) = √𝑞 2 + 𝑞 ′2 = 𝑞(𝑥1 )
𝐵(𝑥
𝑁(𝑥1 ) = 𝐵(𝑥1 )𝑒 𝑗𝜑(𝑥1 ) 𝑃ℎ𝑎𝑠𝑒 ′
⏞ 1 ) = 𝑎𝑟𝑡𝑔 [𝑞 ] = 0
𝜑(𝑥
{ 𝑞

Figure 3.19 : Non linéarité tout ou rien

Calcul de 𝑞 (𝑥1 ):
² ³

𝜔 𝑇 𝑀 𝑇/2 𝑇
𝑞(𝑥1 ) = ∫ 𝑤(𝑡) 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)𝑑𝑡 = [∫ 𝜔𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)𝑑𝑡 − ∫ 𝜔 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)𝑑𝑡]
𝑥1 𝜋 0 𝜋𝑥1 0 𝑇/2

𝑀 𝑇/2 4𝑀 2𝜋 4𝑀
𝑞(𝑥1 ) = 𝑥 {[−𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)]0 + [𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)]𝑇𝑇/2 } = 𝜋𝑥 , 𝑇 = → 𝑁(𝑥1 ) = 𝜋𝑥
1𝜋 1 𝜔 1

Figure 3.20 : Non linéarité tout ou rien

Lieu critique :

−1 −𝜋𝑥1
𝐶(𝑥1 ) = =
𝑁(𝑥1 ) 4𝑀

14
 15

3.5.4.2. Tout ou rien avec zone morte et saturation

→ La zone morte correspond à la perte de transmission entre la grandeur d’entrée 𝑥(𝑡) et
celle de la sortie 𝑤(𝑡) pour des valeurs proches de zéro et égale à zéro. Ainsi, tant que la
grandeur désirée n’a pas atteint un seuil 𝛼 , la grandeur de sortie 𝑤(𝑡) est nulle. Dès que la
grandeur d’entrée dépasse ce seuil, la sortie correspond à la différence entre l’entrée et le seuil
multiplié par un gain k.
→ La saturation correspond à une modélisation de la limitation de beaucoup d’actionneur. Tant
que l’actionneur opère dans sa plage de fonctionnement, sa sortie 𝑤(𝑡) est proportionnelle à
la valeur désirée de sa sortie 𝑥(𝑡) , c.à.d. 𝑤(𝑡) = 𝑘𝑥(𝑡). Par contre, si la valeur désirée est
irréalisable (𝑥(𝑡) > 𝑎 par exemple), l’actionneur ne peut que fournir le maximum possible
(𝑥(𝑡) = 𝑘𝑎) et il n’y a plus de proportionnalité entre la grandeur désirée et la sortie effective.

Figure 3.21 : Non linéarité

avec zone morte

- non linéarité symétrique/axe des abscisses et impaire :

𝑤0 = 0 et 𝑞 ′ (𝑥1 , 𝜔) = 0
- non linéarité statique :
𝑁(𝑥1 , 𝜔) = 𝑁(𝑥1 )
Remarque 6 :
1 𝑇 1 2𝜋
- 𝑞(𝑥1 ) = 𝑥 ∫ 𝑤(𝑡) 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)𝜔𝑑𝑡 = 𝑥 ∫ 𝑤(𝜔𝑡) 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)𝑑(𝜔𝑡)
1 𝜋 0 1 𝜋 0

1 𝑇 1 2𝜋
- 𝑞 ′ (𝑥1 ) = ∫ 𝑤(𝑡) 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)𝜔𝑑𝑡 = 𝑥 ∫ 𝑤(𝜔𝑡) 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)𝑑(𝜔𝑡)
𝑥1 𝜋 0 1 𝜋 0

D’où l’on effectue les calculs suivants :

𝑀𝑜𝑑𝑢𝑙𝑒
⏞ 1 ) = √𝑞 2 + 𝑞 ′2 = 𝑞(𝑥1 )
𝐵(𝑥
𝑁(𝑥1 ) = 𝐵(𝑥1 )𝑒 𝑗𝜑(𝑥1 ) 𝑃ℎ𝑎𝑠𝑒 ′
⏞ 1 ) = 𝑎𝑟𝑡𝑔 [𝑞 ] = 0
𝜑(𝑥
{ 𝑞
Calcul de 𝑞(𝑥1 ) :

15
 16

1 2𝜋
𝑞(𝑥1 ) = ∫ 𝑤(𝜔𝑡) 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)𝑑(𝜔𝑡)
𝑥1 𝜋 0
𝜋−𝛼 2𝜋−𝛼
𝑀
𝑞(𝑥1 ) = [∫ 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)𝑑(𝜔𝑡) − ∫ 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)𝑑(𝜔𝑡)]
𝜋𝑥1 𝛼 𝜋+𝛼

𝑀 2𝜋
𝑞(𝑥1 ) = {[−𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)]𝜋−𝛼
𝛼 + [𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)]2𝜋−𝛼
𝜋+𝛼 }, 𝑇=
𝑥1 𝜋 𝜔
4𝑀
𝑞(𝑥1 ) = cos(𝛼)
𝑥1 𝜋
Calcul de cos(𝛼) :
ℎ ℎ ℎ2
𝑥1 𝑠𝑖𝑛(𝛼) = → 𝑠𝑖𝑛(𝛼) = → 𝑐𝑜𝑠(𝛼) = √1 −
2 2𝑥1 4𝑥1 2
ℎ
Nota : cette formule est vraie pour 𝑥1 > 2.

Soit
4𝑀 ℎ2
𝑁(𝑥1 ) = √1 −
𝑥1 𝜋 4𝑥1 2
Lieu critique : figure (3.22)

Figure 3.22 : Non linéarité

avec zone morte

−1 −𝜋𝑥12
𝐶(𝑥1 ) = =
𝑁(𝑥1 ) 2𝑀√4𝑥12 − ℎ2

Qui est une fonction réelle toujours négative :

𝐶(𝑥1 ) → −∞ 𝑑𝐶(𝑥1 ) −𝜋𝑥1 (2𝑥12 − ℎ2 )

𝑥1 →0
{ 𝑙𝑎 𝑑é𝑟𝑖𝑣é𝑒 𝑝𝑎𝑟 𝑟𝑎𝑝𝑝𝑜𝑟𝑡 à 𝑥1 ∶ =
𝐶(𝑥1 ) → −∞ 𝑑𝑥1 𝑀(4𝑥12 − ℎ2 )√4𝑥12 − ℎ2
𝑥1 →+∞

ℎ −𝜋ℎ
Le point annulant cette dérivée est donné par 𝑥1 = , ce qui donne 𝐶(𝑥1 ) =
√2 4𝑀

3.5.4.3. La méthode de linéarisation harmonique :

- non linéarité ni paire ni impaire mais symétrique / axe des abscisses
𝑤0 = 0
- non linéarité statique :

16
 17

𝑀𝑜𝑑𝑢𝑙𝑒
⏞ ) = √𝑞 2 + 𝑞 ′2
𝐵(𝑥1
𝑁(𝑥1 , 𝜔) = 𝑁(𝑥1 ) = 𝐵(𝑥1 )𝑒 𝑗𝜑(𝑥1 ) 𝑃ℎ𝑎𝑠𝑒
⏞ 𝑞′
𝜑(𝑥1 ) = 𝑎𝑟𝑡𝑔 [ ]
{ 𝑞

Figure 3.23 : Non linéarité avec hystérésis

Calcul de 𝒒(𝒙𝟏 ) 𝐞𝐭 𝐝𝐞 𝒒′ (𝒙𝟏 ) :

1 2𝜋
 𝑞(𝑥1 ) = 𝜋𝑥 ∫0 𝑤(𝜔𝑡) 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)𝑑(𝜔𝑡)
1
𝛼 𝜋+𝛼 2𝜋
𝑀
𝑞(𝑥1 ) = [− ∫ 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)𝑑(𝜔𝑡) + ∫ 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)𝑑(𝜔𝑡) − ∫ 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)𝑑(𝜔𝑡)]
𝜋𝑥1 0 𝛼 𝜋+𝛼

𝑀
𝑞(𝑥1 ) = 𝑥 {[𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)]𝛼0 − [𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)]𝜋+𝛼
𝛼 + [𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)]2𝜋
𝜋+𝛼 }
1𝜋

4𝑀
𝑞(𝑥1 ) = 𝜋𝑥 cos(𝛼)
1
1 2𝜋
 𝑞 ′ (𝑥1 ) = 𝜋𝑥 ∫0 𝑤(𝜔𝑡) 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)𝑑(𝜔𝑡)
1
𝛼 𝜋+𝛼 2𝜋
′ (𝑥 )
𝑀
𝑞 1 = [− ∫ 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)𝑑(𝜔𝑡) + ∫ 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)𝑑(𝜔𝑡) − ∫ 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)𝑑(𝜔𝑡)]
𝜋𝑥1 𝛼 𝛼 𝜋+𝛼

𝑀
𝑞(𝑥1 ) = 𝜋𝑥 {[−𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)]𝛼0 + [𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)]𝜋+𝛼
𝛼 + [𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)]2𝜋
𝜋+𝛼 }
1

−4𝑀
𝑞(𝑥1 ) = sin(𝛼)
𝜋𝑥1

Calcul de cos(𝛼) et de sin(𝛼) :

ℎ ℎ ℎ2
𝑥1 sin(𝛼) = ⟹ sin(𝛼) = ⟹ cos(𝛼) = √1 −
2 2𝑥1 4𝑥12
On obtient donc :
4𝑀
𝐵(𝑥1 ) =
𝜋𝑥1
ℎ
𝜑(𝑥1 ) = −𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 ( )
2𝑥1
Soit :

17
 18

4𝑀
𝑁(𝑥1 ) = [𝑐𝑜𝑠(𝛼) − 𝑗𝑠𝑖𝑛(𝛼)]
𝜋𝑥1
Lieu critique : figure (3.24)

−1 −𝜋𝑥12 ℎ2 𝜋ℎ
𝐶(𝑥1 ) = = √1 − 2 − 𝑗
𝑁(𝑥1 ) 4𝑀 4𝑥1 8𝑀

−𝜋𝑥1 𝑗𝛼 ℎ
𝐶(𝑥1 ) = 𝑒 → 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 ( )
4𝑀 2𝑥1

Figure 3.24 : Non linéarité avec hystérésis

Le lieu critique 𝐶(𝑥1 ) est défini par :

𝜋𝑥1
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑒 =
4𝑀
{ ℎ
𝑎𝑟𝑔𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 ( )+𝜋
2𝑥1

3.5.4.4 Elément linéaire saturé :

- non linéarité impaire et symétrie / axe des abscisses.
𝑤0 = 0 ; 𝑞 ′ (𝑥1 ) = 0
- non linéarité statique :

𝑁(𝑥1 , 𝜔) = 𝑁(𝑥1 ) = 𝐵(𝑥1 )

Figure 3.25 : Élément linéaire saturé.

Calcul de 𝒒(𝒙𝟏 ) :
Pour 𝑥1 > 𝑥𝑀

18
 19

4 𝜋/2
 𝑞(𝑥1 ) = ∫0 𝑤(𝜔𝑡) 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)𝑑(𝜔𝑡)
𝜋𝑥1
𝛼 𝜋/2
4𝑘 2
𝑞(𝑥1 ) = [∫ 𝑘𝑥1 𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡)𝑑(𝜔𝑡) + ∫ 𝑘𝑥𝑀 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)𝑑(𝜔𝑡)]
𝜋𝑥1 0 𝛼

4𝑀 𝜋/2 𝛼 [1−𝑐𝑜𝑠(2𝜔𝑡)]
𝑞(𝑥1 ) = {−𝑥𝑀 [𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)]𝛼 + 𝑥1 ∫0 𝑑(𝜔𝑡)}
𝜋𝑥1 2

4𝑀 𝑥𝑀 cos(𝛼) 𝑥1 𝛼
𝑞(𝑥1 ) = [ + ]
𝜋𝑥1 2 2

Calcul de cos(𝛼) et de sin(𝛼) :

2
𝑥𝑀 𝑥𝑀
𝑥1 𝑠𝑖𝑛(𝛼) = 𝑥𝑀 → 𝑠𝑖𝑛(𝛼) = → 𝑐𝑜𝑠(𝛼) = √1 −
𝑥1 𝑥12
On obtient donc :
2
2𝑘 𝑥𝑀 𝑥𝑀
𝑁(𝑥1 ) = √
[𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 ( ) + 𝑥𝑀 1 − 2 ]
𝜋𝑥1 1 𝑥1 𝑥1

Nota : pour 𝑥1 < 𝑥𝑀 ; on a 𝑁(𝑥1 ) = 𝑘.

Lieu critique : figure (3.13)
2
−1 −𝜋𝑥1 𝑥𝑀 𝑥𝑀
𝐶(𝑥1 ) = = (𝑥1 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 ( ) + 𝑥𝑀 √1 − 2 )
𝑁(𝑥1 ) 2𝑘 𝑥1 𝑥1

Nota : 𝐶(𝑥1 ) est réel et toujours négatif.

Figure 3.26 : Élément linéaire saturé.

Limite :
1
𝐶(𝑥1 ) → −
{ 𝑥1 →𝑥𝑀 𝑘
𝐶(𝑥1 ) → −∞
𝑥1 →+∞

3.6. Cycles limites et méthodes du premier harmonique :

Comme il est mentionné en introduction de ce chapitre, la méthode du premier harmonique
peut être utilisée afin de prévoir l’existence de cycles limites dans les asservissements
comportant un élément non linéaire et d’en déterminer approximativement l’amplitude et la
fréquence. Le principe est fondé sur une utilisation généralisée du critère du revers, lui-même
version simplifiée du critère de Nyquist, développé dans le cadre des asservissements linéaires.

19
 20

3.6.1. Rappels sur le critère du revers

Soit l’asservissement linéaire de la figure (3.27) où 𝐺(𝑝), est la fonction de transfert en
boucle ouverte (BO), donnée par :
𝑁(𝑝)
𝐺(𝑝) =
𝐷(𝑝)
La fonction de transfert en boucle fermée (BF), s’écrit
𝐾 𝐺(𝑝) 𝐾 𝑁(𝑝)
𝐻𝐵𝐹 (𝑝) = =
1 + 𝐾𝐺(𝑝) 𝐷(𝑝) + 𝐾𝑁(𝑝)

Figure 3.27 : Asservissement linéaire.

Définition 1 : Stabilité
L’asservissement ci-dessus est stable si le polynôme caractéristique du système asservi,
(dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée), a des racines, (pôles de la fonction
de transfert), à partie réelle négative.

Figure 3.28 : Critère du revers dans

le plan de Nyquist.

Théorème 1 : Critère du revers

Le système est stable si le lieu de Nyquist (respectivement de Black), de G j, (fonction de
² ³

transfert en boucle ouverte), parcouru dans le sens des croissants, laisse à gauche,
(respectivement à droite), le point critique −1/𝐾.
Nota :
- Ce critère ne s’applique qu’aux systèmes stables et à minimum de phase en boucle ouverte.
- Le polynôme caractéristique s’écrit 1 + 𝐾 𝐺(𝑝) = 0.
º

3.6.2. Extension au cas des asservissements non linéaires

Nous donnons tout d’abord la définition d’un cycle limite.

Définition 2 : Cycle limite

Les systèmes non linéaires peuvent être le siège d’oscillations d’amplitude et de fréquence
fixées, indépendantes des conditions initiales et sans excitation extérieure, (auto-oscillations)
dénommées cycles limites.

20
 21

Figure 3.29 : Schéma-bloc standard

en boucle fermée.

Conditions d’existence :
Supposons que le système non linéaire asservi précédent soit le siège d’une oscillation
d’amplitude 𝜀1 et de pulsation 𝜔0 , avec 𝑒 = 0 et 𝜀 = 𝜀1 𝑠𝑖𝑛(𝜔0 𝑡) , alors ´ ² ³

𝜀(𝑡) = −𝑠(𝑡) 1
{ 𝑊 = 𝑁(𝜀1 ) 𝜀 2 → 𝑠[1 + 𝐿(𝑗𝜔0 )𝑁(𝜀1 )] = 0
𝑠 = 𝐿(𝑗𝜔0 ) 𝑊 3
Comme 𝑠 ≢ 0 alors 1 + 𝐿( 𝑗𝑤0 ) 𝑁(𝜀1 ) = 0 . Le cycle limite est alors caractérisé par son
º
2 3

³! ´

amplitude 𝜀1 et sa pulsation 𝜔0  qui doivent vérifier la condition d’existence :

1
𝐿(𝑗𝜔0 ) = −
𝑁(𝜀1 )

La relation précédente est équivalente à deux équations non linéaires, (une pour la partie réelle
et une pour la partie imaginaire), algébriques en les deux variables (𝜀1 , 𝜔) . Ces deux équations
³

sont généralement difficiles à résoudre analytiquement, ce qui a entraîné la recherche de

méthodes graphiques.
L’asservissement considéré a une fonction de transfert généralisée en boucle ouverte. De la
2 et la 3ème équation
ème

𝑠
= 𝑁(𝜀1 )𝐿(𝑗𝜔)
𝜀
Pour 𝜀1 fixé, 𝑁(𝜀1 ) est un nombre fixé, (qui peut être complexe dans le cas d’un cycle
« hystérésis ». L’asservissement peut donc être considéré comme linéaire de fonction de
transfert en boucle ouverte 𝑁(𝜀1 )𝐿(𝑝), (𝜀1 étant considéré comme un gain fixe), auquel on
peut appliquer le critère du revers par rapport au point critique.
−1
Quand 𝜀1  varie, parcourt le lieu critique, donc à l’amplitude 𝜀1 , la stabilité du système
𝑁(𝜀1 )
¸

va dépendre de la position de ce point par rapport au lieu 𝐿( 𝑗𝜔). Le lieu critique se trouve
²

ainsi partagé en régions d’amplitude de stabilité et en régions d’amplitude d’instabilité,

(importance des points d’intersection entre le lieu critique et le lieu de transfert).

Figure 3.30 : Lieu de Nyquist.

21
 22

Pour 𝜀1 < 𝜀𝑐′ , stabilité, les auto-oscillations vont décroitre.

Pour 𝜀𝑐′ < 𝜀1 < 𝜀𝑐′′ , instabilité, les auto-oscillations vont croitre 𝜀1 ↗ 𝜀𝑐′′ .

Pour 𝜀𝑐′′ < 𝜀1 , stabilité, les auto-oscillations vont décroitre 𝜀1 ↘ 𝜀𝑐′′ .

D’où l’on peut déduire
- la notion d’auto-oscillations stables et instables.
- la notion d’oscillations limites de stabilité.
Conclusions :
1- Une oscillation limite instable n’apparaît pas physiquement en tant qu’oscillation du système
mais constitue une frontière de stabilité.
- Pour des amplitudes supérieures, le système diverge et tend vers une oscillation limite stable
de plus grande amplitude.
- Pour des amplitudes inférieures, il revient à l’état d’équilibre ou vers une oscillation limite
stable de plus faible amplitude.
2- Une oscillation limite stable apparaît physiquement.

Il est important, afin de comprendre le fonctionnement du système de trouver ses solutions

périodiques et d’étudier leur stabilité. La méthode est donc la suivante :
1- Pour trouver les oscillations limites
Lieu critique ⋂ Lieu de transfert
2- Pour déterminer leur stabilité
Critère de Loeb
3.6.3. Etude des auto-oscillations et de leur stabilité

Théorème 2 : Critère de Loeb - algébrique

Soit une oscillation limite obtenue comme intersection du lieu de transfert 𝐿(𝑗𝜔) et du lieu
−1
critique 𝑁(𝜀 ) possédant une pulsation 𝜔 = 𝜔0 𝑟𝑑/𝑠 et une amplitude 𝜀1 = 𝜀0 , racines
1
de l’équation complexe :
𝐿(𝑗𝜔) 𝑁(𝜀1 ) + 1 = 0

Séparant les parties réelles et imaginaires dans cette équation

𝑋(𝜔, 𝜀1 ) + 𝑗 𝑌(𝜔, 𝜀1 ) = 0

L’oscillation sera stable si la condition suivante est vérifiée :

𝜕𝑋 𝜕𝑌 𝜕𝑌 𝜕𝑋
[ − ] >0
𝜕𝜀1 𝜕𝜔 𝜕𝜀1 𝜕𝜔 (𝜀0 ,𝜔0 )

22
 23

Figure 5.31 : Critère de Loeb.

Figure 3.32 : Non linéarité avec hystérésis.

Figure 3.33 : Lieu de Nyquist.

3.6.4. Exemples d’application :

Auto-oscillation stable d’un système par plus ou moins
Soit l’asservissement non linéaire donné à la figure (3.32) dont l’élément non linéaire est
constitué d’un tout ou rien avec seuil plus hystérésis.
Cet asservissement est caractérisé dans le plan de Nyquist par son lieu critique et par son lieu _

de transfert représentée à la figure (3.33), d’où l’on peut déduire par application du critère de
Loeb que l’on a une oscillation limite stable.

23
 24

Remarque 7 :
- L’augmentation de la zone morte du relais déplace le lieu critique vers la gauche, d’où la
disparition de l’oscillation libre stable.
- La présence d’hystérésis diminue la fréquence et augmente l’amplitude de l’oscillation libre.

Conclusions :
Cette oscillation libre d’un système à relais se produit ordinairement à hautes fréquences et
possède une petite amplitude. Cela entraîne une vibration du système autour de sa position
d’équilibre qui peut être gênante. Il est possible de la faire disparaître en agissant sur l’organe
non linéaire, (augmentation du seuil), ou sur l’organe linéaire par l’utilisation d’un réseau
correcteur.

Auto-oscillations stables d’un système linéaire saturé : pompage

Considérons le système asservi linéaire donné à la figure ci-dessous. Lorsque l’on augmente
le gain statique, généralement, le système se déstabilise et devient le siège d’une oscillation de
grande amplitude fixe à la fréquence telle que 𝑎𝑟𝑔(𝐾 𝐺(𝑗𝜔)) = 𝜋 c’est le phénomène de
pompage.

Figure 3.34 : système en boucle

fermée (auto-oscillations)

Ceci peut être expliqué en introduisant dans le modèle linéaire un organe non linéaire de type
saturation, conduisant à tracer un lieu critique équivalent à celui de la figure (3.11). En traçant
le lieu de transfert de l’élément linéaire, il y aura intersection entre les deux courbes pour une
valeur de 𝐾 = 𝐾𝑙𝑖𝑚 , soit en appliquant le critère de Loeb, une auto-oscillation stable. Le
système tend, en toutes circonstances vers une auto-oscillation stable. L’amplitude de cette
auto-oscillation est fixe, totalement déterminée par l’intersection entre le lieu de transfert et le
lieu critique (figure 3.35). Elle diffère ainsi d’une oscillation libre d’un système linéaire juste
oscillant, extrêmement sensible aux variations de paramètres.

Figure 3.35 : Phénomène de

pompage (auto-oscillations)

24