TD Méthodes Des Éléments
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Exercice 01 :
On considère une barre définie 1e long de l’axe x. Cette barre est maillée avec deux éléments. Le premier
élément (associé aux nœuds 1,2 et 3) est un élément lD quadratique. Le deuxième élément est un élément
1D linéaire (associé aux nœuds 3 et 4). On donne également à 1a figure suivante 1a position et la
numérotation des nœuds de chaque élément.
Les coordonnées x des nœuds sont : nœud l (x=0), nœud 2 (x=1), nœud 3 (x=2) et nœud 4 (x=3).
On cherche à interpoler un champ de déplacements u(x) 1e long de cette barre. On mesure les déplacements
u aux nœuds suivants : u1 = 0, u2 = 2, u3 = 4, u4 = 0.
Déterminer l’interpolation u(x) (pour chaque élément) en passant par l’élément de référence. Veuillez noter
u(1)(x) l’interpolation sur le premier élément et u(2)(x) l’interpolation sur le deuxième élément.
En déduire l’expression de la déformation x au milieu de la barre (pour x= 1.5).
𝑑𝑢 𝑑𝑢
Donner ensuite 1’expression de 𝑑𝑥 en fonctlon de 𝑑𝜉
(pour chaque élément ) pour l'élément de référence
associé à ces types d’éléments.
Exercice 02 :
Soit un élément triangulaire linéaire défini en 2D dans le plan (x, y). Les coordonnées des nœuds de
l’élément sont les suivantes : nœud 1 (xl,y1), nœud 2 (x2,y2), nœud 3 (x3,y3). On associe cet élément réel a
son élément de référence.
Déterminer 1a matrice Jacobienne associée à cet élément ainsi que son déterminant et sa matrice inverse.
Exercice 03 :
Soit une zone rectangulaire (figure 01) définie dans le plan (x, y) à l’intérieur de laquelle on désire interpoler
un champ de températures T(x, y) à partir de la mesure de la température aux quatre coins de la zone. On
assimile cette zone a un élément fini quadrilatéral à quatre nœuds.
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Université A.Mira Bejaia Niveau : Première année Master
Faculté de Technologie Options : CMP, FM & GM
Département de Génie mécanique Matière : MEF
Les coordonnées des nœuds de 1’élément et les températures associées sont les suivantes : nœud 1 (0,0),
nœud 2 (2,0), nœud 3 (2,1), nœud 4 (0,1) et T1= 20, T2 = 21, T3 = 18, T4 =15.
1- En passant par l’élément de référence, calculer l’expression de l’interpolation T(x, y).
2- Calculer ensuite l’expression du gradient de température.
3- Calculer et dessiner 1a courbe isovaleur correspondant à T = 20 degrés.
Exercice 04 :
Reprendre l’exercice précédent avec les mêmes données numériques pour les coordonnées des nœuds et les
valeurs de températures mais en considérant cette fois un maillage de la zone utilisant deux triangles
linéaires (figure 03). On désire toujours interpoler un champ de températures T(x, y) a partir de la mesure
de la température aux quatre coins de la zone. L’élément (1) est constitué des nœuds 1, 2 et 4. L’élément
(2) est constitué des nœuds 2, 3 et 4.
1- En passant par l’élément de référence, calculer l’expression de l’interpolation T(x, y) sous la forme de
T(1)(x, y) et T(2)(x, y).
2- Calculer ensuite l’expression du gradient de température.
3- Calculer et dessiner 1a courbe isovaleur correspondant à T = 20 degrés.
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4 3
20 mm
y
1 x 2
100 mm
Figure 04 : plaque de 100 mm de longueur et de 20 mm de largeur modélisée par un seul élément QUA4
4 3
20 mm
1 x 2
100 mm
Figure 05 : plaque de 100 mm de longueur et de 20 mm de largeur modélisée par deux éléments triangulaires TRI3