Concours EPITA 2009

Epreuve de Sciences Industrielles pour l’ingénieur

La suspension anti-plongée de la
motocyclette BMW K1200S
Durée : 2h. Calculatrices autorisées.

Présentation du problème
Le problème étudie la suspension avant d’une motocyclette BMW K1200S. Cette suspension permet,
contrairement aux suspensions classiques à fourche télescopique avant, à la moto de ne pas se
pencher en avant (ou « plonger ») lors de la décélération due à un freinage. Ainsi, avec de type de
suspension les fonctions de freinage et de suspension sont découplées vues du pilote.

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Un extrait du cahier des charges de la suspension peut être formulé de la manière suivante :

Route
FP Cadre de la
moto
Suspension

FC

Milieu
extérieur

La fonction principale de la suspension peut être ainsi formulée de la manière suivante :

FP : Lier le cadre de la moto à la route.

Elle peut être décomposée en deux sous fonctions :

Fonction Formulation Critère Niveau

FP1 Ne pas plonger le cadre lors d’un Décélération du γ est à déterminer
freinage. freinage γ dans la suite
Angle de plongée 5° maximum
FP2 Absorber les irrégularités de la route Dépassement en cas 5% maximum
d’irrégularité de la
route en forme
d’échelon

Le sujet est composé de plusieurs parties :

Partie 1 : Calcul des actions de la route sur les pneus lors d’un freinage.

Partie 2 : Vérification du critère de plongée lors d’un freinage de la K1200S.

Partie 3 : Etude de la fonction « Absorber les irrégularités de la route ».

Notations :

g est l’accélération de la pesanteur. g=9,81 m/s2.

M est la masse de l’ensemble moto et conducteur. M=300kg.
f est le facteur d’adhérence du pneu sur la route.
k est la raideur des ressorts ramenée à la roue. k=10 N/mm.

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Partie 1 : Détermination des actions de la route sur les pneus en cas de
freinage.
On considère dans un premier temps que la motocyclette roule à une vitesse constante V par
rapport à la route, il n’y a pour le moment aucune action de freinage exercée. On supposera le
référentiel lié à la route galiléen.

TA 0
On note le torseur de l’action mécanique de la route sur la roue avant Fsol roueavant = N A 0
0 0   
A,(x, y,z)

TB 0
et le torseur de l’action mécanique du sol sur la roue arrière Fsol rouearrière = N B 0 .
0 0   
B,(x,y,z)

1. En vous appuyant sur le document annexe, figure 1, déterminer les actions mécaniques
qu’exerce le sol sur chacune des roues N A , TA , N B , TB en fonction de g, M, e et L (On
exprimera l’équation de moment en A). Effectuer l’application numérique (les valeurs des
différents paramètres sont données Figure 1).

On se place maintenant dans le cas d’une action de freinage, la moto est dans une phase de
décélération. On désire que la décélération à prendre en compte correspond à un passage de
ΔV=100km/h en t=2,5s .

2. Calculer la décélération γ correspondante en faisant l’hypothèse qu’elle est constante.

3. En vous appuyant sur le document annexe, figure 1, déterminer les actions mécaniques
qu’exerce le sol sur chacune des roues N A ' et N B ' en fonction de g, M, e, L, h et γ (On
exprimera l’équation de moment en A). Effectuer l’application numérique.
Déterminer aussi une relation entre TA ' , TB ' , M et γ .
4. En déduire la variation d’effort normal en A ΔN=N A '-N A . Effectuer l’application numérique.
Que constate-t-on ?
5. En se plaçant à la limite du glissement, calculer TA ' , TB ' . Effectuer l’application numérique.

On vient de constater que la composante normale de l’action du sol sur chacune des roues variait
lors d’un freinage. En principe cette variation devrait se répercuter sur les ressorts de la suspension
pour les comprimer et ainsi produire une plongée en avant de la moto.

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Partie 2 : Détermination de la plongée pour la BMW K1200S
Nous venons de voir que indépendamment de la géométrie de la suspension choisie, lors d’un
freinage, la roue avant est surchargée de ΔN et la roue arrière est déchargée de ΔN . Ce
phénomène est appelé « transfert » de poids. Pour éviter la plongée, il faut que les ressorts
constituants les suspensions avant et arrière ne subissent pas (ou peu) de variation de charge lors
d’un freinage.

La suspension de la BMW K1200S est décrite figure 2 du document annexe. Elle est constituée d’un
 
bras 2, en liaison pivot d’axe (D,z) et (E,z) et avec les biellettes 3 et 4. Ces biellettes sont en liaison
 
pivot d’axe (C,z) et (F,z) avec le châssis 1. Pour simplifier l’étude, on considère que la suspension
arrière est bloquée par rapport au châssis.
 
6. Sur le document réponse figure DR1, déterminer les directions des vitesses VE ,4/1 et VD,3/1 .
7. En déduire le centre instantané de rotation I du mouvement de la pièce 2 par rapport à la
pièce 1, le positionner sur le document réponse figure DR1.
8. En déduire que l’on peut considérer le châssis 1 et le bras 2 en liaison pivot autour d’un axe
que l’on précisera.

Nous allons maintenant déterminer la surcharge qui va s’exercer sur les ressorts pour le freinage.
Pour cela, nous allons raisonner sur une géométrie simplifiée de la moto et la considérer comme sur
la figure 3 du document annexe. Le châssis est modélisé par le solide Ch. L’ensemble constitué par la

roue avant et les pièces 2, 3 et 4 est en liaison ponctuelle avec le sol, et en liaison pivot d’axe ( I , z)
avec le châssis, on peut donc remplacer cet ensemble par une pièce S en liaison avec le sol et en

liaison pivot d’axe ( I , z) avec le châssis Ch. Le ressort de suspension avant de raideur k exerce une

force suivant y sur le châssis Ch en A’ (à la verticale du point A) et le ressort de suspension arrière

aussi de raideur k exerce une force suivant y sur le châssis Ch en B’ (à la verticale du point B). Les
hypothèses simplificatrices sont les suivantes :

Les débattements sont faibles devant les dimensions de la moto, on peut donc confondre la
configuration ou les ressorts sont déformés par rapport à la position d’équilibre avec la
configuration où la moto est en équilibre (ce qui justifie que le fait que l’on considère I fixe
par rapport au châssis Ch).
On négligera TB ' devant TA ' .
Le solide S est considérés sans masse, le châssis Ch a une masse M.
Lorsque la moto roule à vitesse constante, les ressorts avant et arrière subissent une charge
N A et N B calculées en parte 1. Lorsque la moto est en décélération, le ressort avant subit
une charge N A +R (le ressort est surchargé) et le ressort arrière subit une charge N B -R (le
ressort est déchargé).
9. Déterminer TA ' en fonction de M et γ .
10. Isoler la suspension S. Déterminer la direction des efforts exercés sur ce solide.
11. Déterminer les efforts appliqués sur S en fonction de b, L, M et γ .

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 12. Isoler l’ensemble constitué par le châssis Ch et la suspension S. Ecrire l’équation de moments
en G. Déterminer R en fonction de a, e, M et γ . Effectuer l’application numérique (on pourra
mesurer la cote a sur le document réponse DR1 à l’échelle).
13. En comparant R et ΔN , expliquer l’effet anti-plongée de la suspension.
14. Déterminer l’angle de plongée du châssis de la moto. Conclure sur le respect du cahier des
charges.

Partie 3 : Etude de la fonction « Absorber les irrégularités de la route »

On considère dans cette partie la suspension lors du déplacement horizontal de la moto sur la route.

L’équation de la dynamique de la moto linéarisée autour d’un point de fonctionnement est :

•• • •
M x =-2k(x-y)-υ(x - y) où x(t) est la position du centre d’inertie de la moto par rapport à sa
position d’équilibre et y(t) est le profil de la route ressenti par la moto.

On rappelle :

M=300 kg est la masse de l’ensemble moto et pilote.

k=10 N/mm est la raideur d’un ressort.
υ=1N.s/mm est le coefficient de frottement visqueux ramené à l’axe des roues.

15. Transformer cette équation dans le domaine de Laplace (on considérera les conditions
initiales nulles).
X(p)
16. En déduire la fonction de transfert H(p)= . La mettre sous forme canonique.
Y(p)
17. Tracer le diagramme asymptotique de Bode en gain et en phase de la fonction de transfert
X(p)
H(p)= sur le document réponse DR2. Tracer l’allure du diagramme réel.
Y(p)
18. On modélise la route comme ayant un profil de la forme y(t)=Y0 cos(ωt) . Déterminer la
forme de x(t) , ainsi que son amplitude et le déphasage par rapport à y(t) .
19. Quelle est l’influence de la vitesse de déplacement de la moto sur la pulsation ω ?
Déterminer la vitesse idéale de déplacement pour que le pilote ressente au minimum les
vibrations de la route.

On désire améliorer les performances de la suspension. Pour cela, on va modifier le coefficient

d’amortissement υ pour que le dépassement lors d’un échelon unitaire de y(t) soit inférieur à 5%.

20. Déterminer le nouveau coefficient υ correspondant à ce critère. Pour simplifier les calculs,
on négligera le terme d’ordre 1 (en p) au numérateur.

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Documents annexes
Figure 1 :

L’empattement e est égal à 1571 mm. Les distances sont les suivantes : L=750 mm et h=550 mm.

Figure 2 :

Biellette 4

Bras 2 E Ressort et amortisseur

F
Biellette 3

D
C Châssis 1

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Figure 3 :

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Document Réponse

Figure DR1 :

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Figure DR2 :
Gain (dB)

Pulsation (rad/s)
Phase (°)

Pulsation (rad/s)

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