Cours 4
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Cours 4
Ε
projection
Eϕ,3
recouvrement
Eϕ,2
Bande interdite
−π 0 π ϕ1
p1
0 h/(2l1)
Figure 6.2.6 Allure du spectre d'énergie d'un électron dans un potentiel périodique. On
a représenté seulement la dépendance en ϕ1 ∈ [−π, π].
C'est donc la base duale dans l'espace dual. Les angles de Bloch sont les composantes d'un
∗
vecteur dual ~
k ∈ (R3 ) par rapport à ce réseau réciproque :
p
~.~
x
ψ(~x) = ei ~ up~ (~x)
avec up (~x) qui est périodique (périodicité du réseau et sans phase), car :
~.~ ~.~
p
~.~
x p l1 p
~.~
x p l1
up ~x + ~l1 = ψ ~x + ~l1 e−i ~ e−i ~ = ψ (~x) eiϕ1 e−i ~ e−i ~
= up (~x)
p
~.~
x
ainsi ψ(~x) est comme une onde plane ei ~ , modulée périodiquement par up (~x). Pour ces
raisons de forte similarité avec l'impulsion, le paramètre p~ est appelée la quasi-impulsion.
6.2. GROUPE DE SYMÉTRIE DYNAMIQUE COMMUTATIF : ÉLECTRON DANS UN POTENTIEL
Remarques
◦ Eq 6.2.3 s'écrit aussi :
! !
p~ˆ.~lk p~.~lk
T̂k |ψ >= exp −i |ψ >= exp −i |ψ >, k = 1, 2, 3
~ ~
p21
En (p1 ) = E0 +
2m∗
la coecient m∗ s'appelle la masse eective de l'électron. En eet un paquet
d'onde électronique situé près du bas de la bande, aura les même propriétés dyna-
∗
miques qu'une particule libre de masse m .
∗
◦ Par exemple dans le Germanium, m = 0, 6 me .
◦ En fait, comme p~ a trois composantes, m∗ est un tenseur symétrique de rang 3. (voir
formule sur le développement limité @@).
◦ Près du maximum d'énergie d'une bande, on peut aussi approximer En (~p) par une
parabole, et écrire :
p21
En (p1 ) = E0 −
2m∗t
la coecient m∗t s'appelle la masse eective des trous. (voir cours de physique du
solide).
Résumé Il faut retenir le double aspect d'une onde de Bloch décrivant un électron dans
un cristal :
◦ nature d'électron libre car étendu sur tout le cristal, comme une onde plane, et
le spectre est continu dans une bande.
◦ nature d'électron lié : car modulation de l'onde autour de chaque atome et ca-
ractère discret de l'indice de bande n.
En d'autres termes, le spectre d'énergie en bande a une partie discrète (l'indice n), liée à
des écarts d'énergie ∆E grands, car reliés à la dynamique à une petite échelle de temps τ
au sein d'une cellule du cristal (relation d'incertitude τ ∆E ' ~), et une partie continue
(indice ϕ ou p ) lié à la dynamique balistique à plus grande échelle de temps à travers le
cristal.
En termes simples, l'aspect discret des diérentes bandes est lié au détail du potentiel
dans une cellule du cristal, alors que l'aspect continu des bandes est relié à l'invariance par
translation des cellules dans le cristal.
246 CHAPITRE 6. SYMÉTRIES ET RÈGLES DE CONSERVATION
Exercices :
◦ déterminer la densité de niveaux dans certains cas @@.
◦ Problème sur le spectre de Hofstader, voir examen novembre 2002.
◦ TD : Modèle de potentiel périodique avec faible couplages @@.
E E
Niveau de Fermi
Excitations possibles
excitation
peu probable
Isolant Conducteur
Dans ce paragraphe, on considère des problèmes qui ont une symétrie par rotation,
comme c'est la cas pour un électron en orbite autour du proton dans l'atome d'hydrogène.
On va aussi appliquer les propriétés générales énoncées ci-dessus, mais comme nous
l'avons vu en page 185, le groupe des rotations est non commutatif, et cela apporte quelque
chose de nouveau.
Supposons donc que Ĥ est invariant par rotations, ce qui se traduit par :
h i
R̂~u (α) , Ĥ = 0, ∀~u, α (6.3.1)
ou h i
R̂~u (α) , Û (t) = 0, ∀~u, α, t
où R̂~u (α) est l'opérateur de rotation d'un angle α, autour de l'axe ~u.
Exemple Un exemple simple et important est le cas d'une particule dans un potentiel
central, cad ne dépendant que de la distance r à l'origine, et non de la direction :
p~2
H = L2 R3
Ĥ = + V (r),
2m
2
C'est le cas par exemple pour l'atome d'hydrogène où V (r) = − 4πεe 0 r , mais cela peut aussi
concerner un électron libre dans une sphère métallique de rayon R, (V (r) = 0 à l'intérieur,
r < R , et V = ∞ à l'extérieur, r > R).
6.3.1 Générateurs du groupe de rotation dans Hespace = L2 R3
Réf : Sakurai p196. [J.J85].
248 CHAPITRE 6. SYMÉTRIES ET RÈGLES DE CONSERVATION
Un système quantique général peut être composé de plusieurs particules ayant des
degrés de liberté spatiaux et de spin.
Nous avons vu l'expression de l'opérateur rotation R̂~u (α) dans l'espace quantique du
spin Hspin . Ses générateurs ont été déni en eq.(187).
Intéressons nous maintenant à la partie spatiale, par exemple à une particule sans spin.
2 3
Son état quantique est donc spécié par sa fonction d'onde ψ ∈ Hespace = L (R ). On va
chercher l'expression des opérateurs rotation et de ses générateurs.
La rotation d'un angle α autour de l'axe z de la fonction d'onde ψ s'exprime en coor-
données sphériques (r, θ, ϕ) par :
ψ 0 (r, θ, ϕ) = R̂z (α) ψ (r, θ, ϕ) = ψ (r, θ, ϕ − α) (6.3.2)
ϕ y
ϕ−α
x
Figure
6.3.1
Rotation d'un angle α autour de z, montrant que ψ 0 (r, θ, ϕ) =
R̂z (α) ψ (r, θ, ϕ) = ψ (r, θ, ϕ − α).
!
L̂z
R̂z (α) = exp −i α
~
on peut trouver alors L̂z en dérivant (6.3.2) par rapport à α (et posant α = 0) :
!
L̂z ∂ψ
−i ψ =−
~ ∂ϕ
6.3. GROUPE NON COMMUTATIF : LES ROTATIONS ET LE MOMENT ANGULAIRE249
donnant :
~ ∂
L̂z =
i ∂ϕ
~ ∂
Remarquer que ce résultat est analogue à p̂x = i ∂x
obtenu gure 2.1.1, générateur des
translations.
Propriété
~ˆ =
les générateurs des rotations dans Hespace = L2 (R3 ), noté L L̂x , L̂y , L̂z est
donné par :
Lx = ypz − zpy = −i~ (y∂z − z∂y )
~ˆ = ~rˆ ∧ p~ˆ =
L Ly = zpx − xpz = −i~ (z∂x − x∂z )
Lz = xpy − ypx = −i~ (x∂y − y∂x )
L'opérateur de rotation d'une fonction d'onde d'un angle α autour de l'axe ~u, k~uk =
1, est donné par
~ˆ u
!
L.~
R̂~u (α) = exp −i α
~
Démonstration. On écrit d'après les lois de changement de variable dans les dérivées partielles
∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z ∂
Lz = −i~ = −i~ + +
∂ϕ ∂ϕ ∂x ∂ϕ ∂y ∂ϕ ∂z
∂x
or x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ, donc
∂ϕ = −r sin θ sin ϕ = −y , etc, donnant
∂ ∂
Lz = −i~ −y +x
∂x ∂y
etc.
~ˆ = ~rˆ ∧ p~ˆ = ρ.p̂ϕ ,
Preuve graphique : on vérie dans le cas particulier L̂z = L voir gure
z z
~ d ~ ∂
6.3.2, avec ρ = r sin θ, et p̂ϕ = i du , et du = ρdϕ, donnant bien L̂z = i ∂ϕ . La relation valable
pour l'axe z est en fait valable pour toute direction, car il n'y a pas de direction privilégiée.
Remarques :
◦ L'expression du générateurs des rotations ~ = ~r ∧ p~
L est identique en mécanique
classique. (Le vérier dans le cas de Lz avec les équations de Hamilton).
250 CHAPITRE 6. SYMÉTRIES ET RÈGLES DE CONSERVATION
Lz
L p
θ
r
Lz
ρ
pϕ
ϕ y
Figure 6.3.2
◦ Pour une expression en coordonnées sphériques, voir Cohen [CBF] p.667. Cette
expression montre comme attendu que la variable r n'intervient pas.
◦ Une rotation de 2π d'une fonction d'onde la laisse inchangée, donc, (contrairement
au rotations du spin 1/2 dans l'espace Hspin ), on a pour les rotation dans l'espace
R3 :
R̂~u (2π) = Id (6.3.3)
Ici pour la rotation de la fonction d'onde spatiale, une rotation dans l'espace (x, y, z)
est caractérisée par une matrice 3 × 3, Orthogonale, de déterminant 1, car conserve
l'orientation (dite Spéciale), il s'agit donc du groupe de matrices noté SO(3), voir
Sakurai p169.
Rappel : Le groupe de rotation du spin est identié au groupe SU(2), voir page
189, et vériait. R̂~u (2π) = −Id.
On a
[Ly , Lz ] = i~Lx
[Lz , Lx ] = i~Ly
preuve (TD) : ces relations ont déjà été calculées pour le groupe de rotation du spin, voir
eq.4.5.1. Elle traduisent la non commutativité du groupe de rotation. Mais on peut les calculer à
nouveau directement ici :
s
1
s1
s2
1
Rotation s
1 2 2
globale
2
Figure 6.3.3 Une rotation globale s'applique sur la position et aussi le spin de chaque
particule.
Entre le mouvement d'une particule et un spin il peut y avoir le couplage dit spin-
orbite :
~ 1 .L
Ĥspin−orbite = A S ~1
252 CHAPITRE 6. SYMÉTRIES ET RÈGLES DE CONSERVATION
~1 .S
Ĥspin−spin = B S ~2
~ˆ tot = L
L ~1 + S
~1 + L
~2 + S
~2 : moment angulaire total (6.3.5)
Montrant que le moment angulaire total (la somme des générateurs) est le
générateur des rotation globales du système.
L'invariance par rotation globale du système, s'écrit :
ˆ
h i
~
Ĥ, Ltot = 0
ou de façon équivalente :
ˆ
h i h i h i
~
Û (t) , Ltot = 0, Ĥ, R̂tot,~u (α) = 0, Û (t) , R̂tot,~u (α) = 0,
qui s'interprète en disant que les espaces propres de Ĥ sont invariants par les
rotations globales.
Remarquer nalement que les opérateurs L̂tot,x , L̂tot,y , L̂tot,z vérient les relations de
Dénition Un espace vectoriel H qui est espace de représentation d'un groupe est
dit réductible si il se décompose :
H = H1 ⊕ H 2
z axe z
rotation
Plan x,y
x
Figure 6.3.4
Nous allons voir dans la suite, page 268, que cette notion d'espace irréductible est
très importante : nous allons montrer que les espaces propres d'énergie d'un Hamiltonien
invariant par rotation sont des espaces de représentation irréductible dans le cas général.
Mais avant cela, nous allons caractériser précisément ces espaces de représentation
irréductibles.
254 CHAPITRE 6. SYMÉTRIES ET RÈGLES DE CONSERVATION
Démonstration.
h i Si les opérateurs de groupes Ĝ1 , Ĝ2 . . . (ou générateurs d'un groupe commutatif )
vérient Ĝi , Ĝj = 0, alors les vecteurs propres communs (qui existent et forment un base d'après
page 231) sont une décomposition de l'espace total en espaces de dimension 1. Chacun de ces
vecteurs propres engendre un espace qui est invariant et de dimension 1 donc irréductible.
Remarques Sur un espace vectoriel réel, ce n'est pas vrai car un opérateur même sy-
métrique, n'est pas toujours diagonalisable. Il peut y avoir des espaces irréductibles de
dimension 2 comme sur la gure 6.3.4.
Nous allons voir maintenant que l'aspect non commutatif du groupe de rotation étudié
page 185, joue donc un rôle important, car il permet aux espaces irréductibles notés Dj
d'avoir une dimension supérieure à 1.
(Ce paragraphe est un peu technique. Mais on aura besoin de ses résultats dans la
suite.)
On s'intéresse ici à des opérateurs unitaires de rotations qui agissent dans un espace de
Hilbert donné H. On s'intéresse d'abord aux générateurs des rotations unitaires agissant
dans cet espace.
6.3. GROUPE NON COMMUTATIF : LES ROTATIONS ET LE MOMENT ANGULAIRE255
Propriété Soient des opérateurs autoadjoints Jˆx , Jˆy , Jˆz dans un espace de Hilbert
H, vériant l'algèbre de Lie du groupe de rotation :
h i
Jˆx , Jˆy = i~Jˆz , etc...
ˆ2
~J
alors := Jˆx2 + Jˆy2 + Jˆz2 commute avec tous les éléments de l'algèbre de Lie :
ˆ ˆ ˆ
h i h i h i
J~2 , Jˆx = J~2 , Jˆy = J~2 , Jˆz = 0
h i
Jˆ+ , Jˆ− = 2~Jˆz (6.3.8)
h i
Jˆz , Jˆ± = ±~Jˆ±
h i
Jˆ2 , Jˆ± = 0
et :
Jˆ+ |j, m >= [(j − m) (j + m + 1)]1/2 ~|j, m + 1 >
Jˆ− |j, m >= [(j + m) (j − m + 1)]1/2 ~|j, m − 1 >
Voir gure 6.3.5.
A j xé, les vecteurs |j, m >, m = −j, −j + 1, . . . + j forment donc une base ortho-
normée d'un espace noté Dj , de dimension (2j + 1). L'espace Dj est un espace de
représentation irréductible du groupe de rotation.
Tout espace de représentation du groupe des rotations peut se décomposer comme la
somme d'espaces irréductibles :
H = Dj1 ⊕ Dj2 ⊕ . . .
j
J+ J+ etc... J−
j=2 :H2
j=3/2 :H3/2
j=1 :H1
j=1/2 :H1/2
j=0 :H0
Figure 6.3.5 Schéma des vecteurs propres communs de Jˆz et Jˆ2 , notés |j, m >, et action
des opérateurs d'échelle Jˆ± . Les vecteurs |j, mi de la ligne j, avec m = −j → +j , forment
une base de l'espace Hj .
Démonstration. (*) Noter que la situation est très similaire au spectre de l'oscillateur Harmo-
+
nique, avec les opérateur a, a , N̂ , voir page 106. En général pour 3 opérateurs A, B, C on
a
Noter que
h i
[J+ , J− ] = Jˆx + iJˆy , Jˆx − iJˆy
h i h i
= −i Jˆx , Jˆy + i Jˆy , Jˆx = 2~Jˆz
et h i h i
Jˆz , Jˆ± = Jˆz , Jˆx ± iJˆy = i~Jˆy ± i −i~Jˆx = ±~Jˆ±
et h i
Jˆ2 , Jˆ± = 0
Remarque : Les trois générateurs Jˆx , Jˆy , Jˆz forment une base de l'algèbre de Lie (espace vectoriel
de dimension trois), dite algèbre de Lie so(3) ou su(2). Les trois générateurs Jˆz , Jˆ+ , Jˆ− forment une
6.3. GROUPE NON COMMUTATIF : LES ROTATIONS ET LE MOMENT ANGULAIRE257
autre base de cette même algèbre, qui est plus intéressante, pour les relations de commutations
(Cette base s'appelle la décomposition de Cartan de l'algèbre su(2) compléxiée. Voir page
103).
On a :
Jˆz Jˆ± |a, m > = ±~Jˆ± + Jˆ± Jˆz |a, m >
= ~ (±1 + m) Jˆ± |a, m >
et
Jˆ2 Jˆ± |a, m > = Jˆ± Jˆ2 |a, m >= ~2 a Jˆ± |a, m >
donc on pose :
1 ˆ
|a, m0 = m ± 1 >= J± |a, m >
c±
où c± est une constante réelle positive, de normalisation, à déterminer.
Ainsi à partir du vecteur
|a, m >, on
construit un vecteur |a, m±1 >, etc.... Cette construction
s'arrête lorsque le vecteur ˆ
J± |a, m > est nul.
On a
On a
1ˆ ˆ
Jˆ2 = Jˆx2 + Jˆy2 + Jˆz2 = Jˆz2 + J+ J− + Jˆ+ Jˆ−
2
= Jˆz2 + Jˆ+ Jˆ− − ~Jˆz
= Jˆ2 + Jˆ− Jˆ+ + ~Jˆz
z
Cette relation appliquée à |a, mmax > et |a, mmin > donne
a = m2max + mmax
a = m2min + mmin
258 CHAPITRE 6. SYMÉTRIES ET RÈGLES DE CONSERVATION
donnant :
Normalisation, choix de c± :
si |j, m > est normalisé, on a
et de même pour c− .
D'après ci-dessus, chaque espace Dj est de dimension (2j + 1), et les opérateurs Jˆ± , Jˆz
agissent a l'intérieur de chaque espace Dj . Il en est de même par conséquent, pour les opéra-
teurs Jˆx , Jˆy , Jˆz qui s'obtiennent par combinaisons linéaires, et pour les opérateurs de rotation
R̂x (α) = exp −iJˆx α/~ , R̂y , R̂z . Donc chaque espace Dj est invariant par le groupe de rotation :
c'est un espace de représentation du groupe de rotation. Chaque espace Dj ne peut se décomposer
en somme de deux espaces invariants par le groupe de rotation (i.e. Dj 6= H1 ⊕ H2 , avec H1 et H2
invariants). On le devine en eet, car à partir de tout vecteur |j, m >, on peut obtenir |j, m >
0
par actions répétées de Jˆ± . Donc Dj est un espace de représentation irréductible du groupe de
rotation.
◦ Si Dj est une représentation du groupe de rotation SO(3) , il faut que R̂(2π) = Iˆ,
(voir 6.3.3), et donc il faut que j (et donc m) soit entier. Dans ce cas, on note :
l = j = 0, 1, 2, 3, . . .
Les espaces de représentations irréductibles du groupe SO(3) sont donc seulement les
espaces Dl caractérisées par l'entier l. Remarquer que Dl est de dimension impaire
(2l + 1).
◦ Si Dj est une représentation du groupe de rotation du spin 1/2 (groupe
SU(2)) , il faut que R̂(4π) = Id, et donc toutes les valeurs de j sont permises :
1 3
j = 0, , 1, , 2 . . .
2 2
Les espaces de représentations irréductibles du groupe SU(2) sont tous les espaces
Dj , caractérisées par l'entier ou demi-entier j.
Remarques h i h i
◦ De la relation J~2 , J~ = 0, on déduit que J~2 , R̂ = 0 pour tout opérateur de rotation
R̂u,θ
~ = exp −i ~
J.~ u θ/~ . On dit alors que J~2 est un opérateur de Casimir du
groupe de rotation. Il en résulte que un espace de représentation irréductible Dj est
~ˆ
S introduit à la section 4.3, s'identie avec l'espace D1/2 pour j = 1/2, et aux
~ˆ introduits ici.
opérateurs J
cos θ − sin θ 0
(b) 1ere solution : l'expression de la matrice de rotation Rz (θ) = − sin θ cos θ 0 =
0 0 1
− iθ L
e ~ z donne
0 −1 0
dRz (θ)
Lz = i~ = i~ 1 0 0
dθ θ=0 0 0 0
Les 3 valeurs propres de cette matrice sontm~ avec m = −1, 0, +1 et les vecteurs
propres associés sont |l = 1, m = 1i = |xi+i|yi, |l = 1, m = 0i = |zi, |l = 1, m =
−1i = |xi − i|yi.
(c) Remarque : d'après l'étude des harmoniques sphériques, faite plus loin, voir ta-
bleau page 264, on retrouve ce résultat (d'après x = sin θ cos ϕ,y = sin θ sin ϕ,z =
cos θ)
|l = 1, m = 1i = Y1,1 ∝ sin θeiϕ ∝ |xi + i|yi (6.3.9)
Nous avons dit plus tôt que grâce aux symétries d'un problème, ici l'invariance par
rotation, il était plus aisé de calculer le spectre d'énergie.
Prenons dans ce paragraphe, l'exemple d'un molécule diatomique rigide, ou rota-
teur rigide . (On ignore ici les mouvement de vibrations de la molécule car on considère
qu'ils sont trop rigides). Seul le mouvement de rotation de la molécule est considéré.
axe de rotation
µ
r0
M1 G G
M2
Figure 6.3.6 Schéma d'une molécule diatomique rigide, et de l'équivalence par un masse
réduite µ = MM11+M
M2
2
. Le mouvement de la particule réduite est sur une sphère de rayon
r0 = |~r1 − ~r2 |.
Le mouvement de la particule réduite est sur la sphère S 2 , voir gure (6.3.6), et l'espace
quantique de Hilbert est donc
H = L2 S 2
constitué par les fonctions d'onde ψ (θ, ϕ) dépendant d'un point (θ, ϕ) sur la sphère. La
sphère est en eet l'espace de conguration.
On note par :
|θ, ϕ >
la fonction d'onde de position (distribution de Dirac) localisée au point (θ, ϕ). Autrement
dit pour ψ ∈ H,
ψ (θ, ϕ) = hθ, ϕ|ψi.
La relation de fermeture en position (sur la sphère) s'écrit alors :
Z π Z 2π ZZ
Iˆ = dθ sin(θ) dϕ |θ, ϕihθ, ϕ| = |θ, ϕihθ, ϕ|dΩ (6.3.10)
0 0
1 1 L2
H = µv 2 = µr02 ω 2 =
2 2 2I
6.3.6.3 Spectre de Ĥ
(cf Cohen p725 [CBF]).
On utilisera le résultat mathématiques suivant.
262 CHAPITRE 6. SYMÉTRIES ET RÈGLES DE CONSERVATION
∞
M
2 2
H=L S = Dl
l=0
Démonstration. Voir [Fau10b] (ou[Seg95] qui montre que cela découle du théorème de
Peter-Weyl du groupe SO(3)). h i
On notera |l, mi, m = −l, . . . + l les vecteurs de base de Dl . On a Ĥ, L̂x = 0,
h i h i
Ĥ, L̂y = 0, Ĥ, L̂y = 0, mais [Lx , Ly ] = i~Lz 6= 0, donc on ne peut pas chercher les
vecteurs propres communs de Lx et Ly . Par contre [L2 , Lz ] = 0 donc Ĥ, L̂2 , L̂z sont trois
opérateurs qui commutent entre eux. On peut donc appliquer la propriété page 231, et
2
s'intéresser aux vecteurs propres communs de L̂ et Lz .
Il s'agit ici du groupe SO(3), et ces vecteurs propres communs, sont justement donnés par
la propriété page 255, avec l=j entier. Ces vecteurs sont notés :
1 2
Ĥ|l, m >= El |l, m >, El = ~ l (l + 1) , l = 0, 1, 2, . . . m = −l, . . . , +l
2I
(6.3.11)
(remarque : le théorème 6.3.1 nous garanti qu'il n'y a pas d'autres niveaux).
L'écart entre les premiers niveaux est donc de l'ordre
~2
∆E = = 1, 3 10−3 eV
2I
La valeur numérique est donnée ici pour la molécule HCl, montrant que les écarts corres-
pondent à des transitions dans l'infra-rouge. Voir gure 6.3.7.
Remarques
◦ Comme attendu dans le cas général, (gure 6.1.1), chaque espace propre d'énergie
E, est un espace invariant par le groupe de rotation, ici Dl .
◦ Le fait que le groupe de rotation soit non commutatif permet que les espaces de
représentations irréductibles soient de dimension supérieure à 1, et donc que les
espaces propres soient de dimension supérieure à 1.
6.3. GROUPE NON COMMUTATIF : LES ROTATIONS ET LE MOMENT ANGULAIRE263
E
etc...
E l=3
E l=2
E l=1
−3 −2 −1 0 1 2 3 m
E l=0
Ainsi la dégénérescence du spectre du rotateur rigide est d'une part due à la symétrie
par rotation, et d'autre part due à la non commutativité des rotations. (On verra la
propriété générale ci-dessous, page 266).
◦ Voir les conséquences expérimentales observables du spectre du rotateur rigide, cf
Cohen p728 [CBF]. (TD ?)
cf Cohen p668 [CBF]. @@ Ré-écrire ce paragraphe, voir Stenberg p.185 [Ste94] @@.
Il nous reste à déterminer la fonction d'onde de chaque état stationnaire harmonique
sphérique |l, mi.
La fonction d'onde de l'harmonique sphérique |l, mi est notée :
Leurs propriétés découlent directement de l'étude générale des vecteurs |j, m >, faite
page 255 :
Propriétés
◦ La relation de fermeture (6.3.10), donne la relation de normalisation :
Z π Z 2π
dθ sin(θ) dϕ |Yl,m (θ, ϕ)|2 = 1
0 0
◦ On a (Bransden p265)
1/2
l 2l + 1 (2l)!
Yl,m=l (θ, ϕ) = (−1) sinl (θ) eilϕ
4π 22l (l!)2
◦ L'expression analytique des autres fonctions Yl,m (θ, ϕ) s'obtient par application de
Les fonctions Yl,m (θ, ϕ),l = 0, 1 . . ., m = −l, −l + 1, . . . + l forment bien une base de
l'espace de Hilbert L2 (S 2 ).
remarquons ici une symétrie que possède les harmoniques sphériques Ylm (θ, ϕ) par
rapport à la transformation par parité ou par inversion :
P̂Ylm (θ, ϕ) = Ylm (P (θ, ϕ)) = Ylm (π − θ, ϕ + π) = (−1)l Ylm (θ, ϕ) (6.3.12)
(pour la dernière égalité, voir [BC89] p.265, par exemple. @@ faire ici @@).
l
Donc Ylm est de parité (−1) (paire ssi l est paire) .
Figure 6.3.8 Dessin en polaire des distributions de probabilités |Ylm (θ, ϕ)|2 .
266 CHAPITRE 6. SYMÉTRIES ET RÈGLES DE CONSERVATION
Le lemme de Shur a plusieurs versions. Nous donnons ici la version la plus utile en
mécanique quantique. D'autres versions sont données dans la preuve. Nous verrons ensuite
des applications directes en mécanique quantique.
H = Dj ⊕ Dk (6.4.1)
que ces représentations sont non équivalentes Dj Dk (cad j 6= k ) et que pour toute
transformation Ĝ ∈ G du groupe : h i
Â, Ĝ = 0
(cad que G est un groupe de symétrie de Â). Alors l'opérateur  s'écrit, par rapport à la
décomposition (6.4.1) :
aj Iˆ 0
 = , aj , ak ∈ C
0 ak Iˆ
(et plus généralement si H est somme de plusieurs espaces irréductibles non équivalents).
Démonstration. Nous eectuons la preuve en deux étapes. Avec deux lemmes A,B inter-
médiaires.
Â
Dj −→ Dk
↓ R̂j ↓ R̂k
Â
Dj −→ Dk
◦ Dans le cas du groupe des rotations, Dj ∼
= Dk ssi j = k ).
Démonstration. (du lemme de Schur A). Le noyau Ker ⊂ Dj est invariant par G (en
0 0
eet si ψ ∈ KerÂ, cad si Âψ = 0 alors soit ψ = Ĝψ . On a Âψ = ÂĜψ = ĜÂψ = 0 donc
ψ 0 ∈ KerÂ). Comme Dj est supposé irréductible, cela implique que Ker = 0 ( injectif )
ou Ker = Dj (⇔  = 0).
De même Im ⊂ Dk est invariant par G (en eet si ψ ∈ ImÂ, ψ = Âϕ, alors soit
ψ = Ĝψ = ĜÂϕ = ÂĜϕ = Âϕ0 . Donc ψ 0 ∈ ImÂ). Comme Dk est supposé irréductible,
0
Lemme 6.4.3. (Lemme de Schur B). Si  : Dj → Dj hest uni opérateur linéaire dans un
espace de representation irréductible du groupe G et que Â, Ĝ = 0,∀Ĝ ∈ G alors  = aIˆ
avec a ∈ C.
Démonstration. Les espace propres de Â, notés Ha ⊂ Dj sont invariants par G. Or on a
supposé Dj irréductible. Donc il n'y en a qu'un seul.
h i
Remarque : on a fait il y a la réciproque du Lemme B : si (∀Â : H →H, Â, Ĝ = 0, ∀Ĝ ⇒
 = aIˆ) alors H est irréductible. La preuve de cela est simplement que si
h H= i H1 ⊕ H 2
est réductible, on construit  = a1 IˆH1 + a2 IˆH2 avec a1 6= a2 , qui vérie Â, Ĝ = 0 mais
pas  = aIˆ.
On peut maintenant faire la preuve du Lemme de Schur initial. On suppose  :
Dj ⊕ Dk → Dj ⊕ Dk . On introduit les opérateurs de projection P̂j = Dj ⊕ Dk → Dj et
P̂k = Dj ⊕ Dk → Dk . Par rapport à cette somme directe, on peut écrire  comme une
matrice d'opérateurs en blocs :
Âj,j Âk,j
 =
Âj,k Âk,k
h i h i
avec Âj,k = P̂k ÂP̂j : Dj → Dk , etc. On a naturellement P̂j , Ĝ = 0. On suppose Â, Ĝ =
h i
0 pour tout Ĝ ∈ G. Donc Âj,k , Ĝ = 0. D'après le Lemme A, et le Lemme B, cela implique
que Âj,k = 0 si j 6= k et Âj,j = aj Iˆ avec aj ∈ C. Ainsi
aj Iˆ 0
 = .
0 ak Iˆ
268 CHAPITRE 6. SYMÉTRIES ET RÈGLES DE CONSERVATION
alors génériquement (c'est à dire résultat stable par toute perturbation respectant
cette symétrie) , les espaces propres de Ĥ sont des représentations irréduc-
tibles de G.
En particulier, si le groupe G est commutatif, ses représentations irréductibles sont
de dimension 1 (page 254), et on s'attend à aucune dégénérescence (générique) dans
le spectre, i.e. les niveaux d'énergie sont tous diérents.
Si le groupe G est non commutatif, il admet des représentation irréductibles de di-
mension d ≥ 1, et on s'attend à des dégénérescences dans le spectre , de
multiplicité d. (i.e. diérents états de même énergie).
Idée de la Preuve On a déjà montré que les espaces propres de Ĥ sont des espaces représen-
tation du groupeĜ. Considérons un tel espace propre. Si il est réductible, il
se décompose comme
E Iˆ 0
somme d'espaces de repr. irréductibles, par exemple H = Dj ⊕Dk . On a Ĥ = d'après
0 E Iˆ
E1 Iˆ 0
le Lemme de Schur. Il est aisé d'imaginer une perturbation de Ĥ de la forme Ĥ2 = ,
0 E2 Iˆ
avec E1 6= E2 , proches de E, donc respectant la symétrie. Pour cet opérateur perturbé Ĥ2 , les
espaces propres sont des espaces de représentations irréductibles. Le cas E2 = E1 est exceptionnel
(non générique).
Remarques et commentaires
◦ La propriété montre que sauf cas exceptionnel, une dégénérescence dans un
spectre traduit la présence d'une symétrie, et plus précisément la présence
d'un groupe de symétrie non commutatif.
◦ Cette propriété est très utile en physique moléculaire par exemple, car connaissant
les représentations irréductibles des diérents groupes (il y a 230 groupes nis de
l'espace tous catalogués et observés dans la nature, voir [Ste94] page 41), et observant
le spectre d'une molécule, on déduit le groupe d'invariance, et ainsi on peut déduire
la forme géométrique de la molécule :
Spectre ⇒ Groupe de symétrie ⇒ Forme de la molécule
Cela montre l'importance des représentations irréductibles de groupes en physique.
6.4. IMPORTANCE DES REPRÉSENTATIONS IRRÉDUCTIBLES EN PHYSIQUE269
Pour illustrer la propriété générale précédente, considérons le cas très connu de l'atome
d'hydrogène.
p̂2 e2 1
Ĥ = − (6.4.2)
2m 4πε0 ~rˆ
de Ĥ est :
n = 1, 2, 3 . . .
l = 0, 1, . . . , n − 1
m = −l, . . . , +l
270 CHAPITRE 6. SYMÉTRIES ET RÈGLES DE CONSERVATION
avec les vecteurs propres qui sont produit d'une harmonique sphérique et d'une fonction
radiale :
n−1
M
Hn = Dl
l=0
Pn−1
Cet espace est dimension n2 (car
2
l=0 (2l + 1) = n ).
Ce n'est pas un espace de représentation irréductible du groupe de rotation, puisqu'il
se décompose en espaces irréductibles Dl .
Voir gure 6.4.1.
ˆ
~ 1 ˆ ~ˆ ~ˆ ˆ ~xˆ
A= p~ ∧ L − L ∧ p~ − mK
2m |~x|
e2
appelé vecteur de Runge et Lenz, (où K= 4πε0
)
On peut vérier que
~ˆ Ĥ = 0
h i
A,
et que le groupe de symétrie est maintenant SO(4) qui est de dimension 6, et que chaque
espace propre Hn est irréductible pour cette symétrie.
(en particulier on obtient ainsi directement les niveaux d'énergie (6.4.3)).
(Cette symétrie est aussi vraie en mécanique classique dans le problème de Kepler,
avec le potentiel gravitationnel en 1/r entre deux corps, et est relié au fait que les orbites
bornées de Kepler sont fermées, ce sont des ellipses, ce qui n'est pas vrai en général pour
un potentiel central).
6.4. IMPORTANCE DES REPRÉSENTATIONS IRRÉDUCTIBLES EN PHYSIQUE271
0
etc...
3s 3p 3d
n=3 −1.51
n=2 −3,4
2s 2p
1s
n=1 −13,6
m=0 m=−1 , 0 , 1 m= −2,−1,0,1,2
l=0 l=1 l=2
H0 H1 H2
La symétrie particulière de Runge et Lenz ci-dessus, est brisée par la moindre per-
turbation, qui tout en gardant l'invariance par rotation, du problème modie la forme
particulière du Hamiltonien eq.(6.4.2).
Considérons par exemple la correction relativiste. En relativité, la relation
2
E
− p~2 = (mc)2
c
donne à basse impulsion p mc :
s 2
p2 1 p4
2 p~
E = mc 1+ ' mc2 + − + o(p4 )
mc 2m 8 m3 c2
. (on a utilisé (1 + x)α = 1 + αx + 21 α (α − 1) x2 + o(x2 ) avec α = 1/2.)
2
En régime faiblement relativiste, l'énergie cinétique p /2m a donc un terme correctif :
0 p̂4
H1 = −
8m3 c2
Les niveaux d'énergie En , eq. (6.4.3) sont alors modiés de ∆E qui se calcule en théorie
des pertubations. On obtient :
α2
3 n
∆E = −En 2 −
n 4 l + 1/2
la dépendance en l montre que la dégénérescence entre diérents espaces propres
Dl est en eet levée, conformément au théorème de Wigner.
Bien sûr la dégénérescence liée à l'invariance par rotation demeure (cela se traduit par
le fait que des états avec m diérents ont la même énergie). Voir gure 6.4.2.
1s < 2s < 2p < 3s < 3p < 3d ' 4s < 4p < 5s ' 4d, etc...
3d
3s 3p
2s 2p
1s
m=0 m=−1 , 0 , 1 m= −2,−1,0,1,2
Cependant cette symétrie ne sut pas à donner des dégénérescences dans le spectre,
car les rotations autour de z forment un groupe commutatif :
Exercice 6.4.5. Calculer au premier ordre en théorie des perturbations, les modications
des niveaux d'énergie de l'atome d'Hydrogène, soumis à un faible champ magnétique B.
Structure ne :
◦ Une correction relativiste portant sur l'énergie cinétique et potentielle de l'élec-
tron (provenant de l'équation de Dirac) :
p4 π~2 e2
Ĥ10 =− 3 2 + δ(~x)
8m c 2 (mc)2 4πε0
où D1/2 ≡ Hspin ≡ C2 est l'espace quantique du spin étudié au chapitre 4, de base |+z i, |−z i.
Dans l'espace Htot on note | + +i = |+z i1 ⊗ |+z i2 , etc...Une base de Htot est formée
par les quatre vecteurs :
| + +, | + −i, | − +i, | − −i
Si le système de deux particules est isolé dans l'espace, alors il est invariant par rotation
de l'ensemble, dont le générateur est le moment angulaire total (voir (6.3.5) page 252) :
~ˆ = S
S ~ˆ1 + S
~ˆ2
ˆ
h i
~
Ĥ, S = 0
Par exemple :
~ˆ1 .S
Ĥ = K S ~ˆ2
est bien invariant par rotation globale des deux spins.
~ˆ = 0,
h i
Dans cet exemple on peut vérier directement que Ĥ, S en écrivant :
2
~ˆ2 = S~ˆ1 + S
~ˆ2 = S
~ˆ2 + S
~ˆ2 + 2S
~ˆ1 .S
~ˆ2
S 1 2
donnant :
K ~ˆ2 ~ˆ2 ~ˆ2
Ĥ = S − S1 − S2
2
6.5. COMPOSITION DES MOMENTS ANGULAIRES 275
~ˆ2 , S
~ˆ = 0.
h i
et utilisant S
De l'invariance par rotation, on déduit :
h i
2
Ĥ, Ŝ = 0
h i
Ĥ, Ŝz = 0
h i
Ŝ 2 , Ŝz = 0
Pour trouver le spectre de Ĥ , on cherche donc d'abord les vecteurs propres communs de
Ŝ 2 , Ŝz .
D'après (6.3.6), ces vecteurs propres peuvent être noté |J, M > et vérient :
et forment une base orthonormée de l'espace Htot . On veut leur expression dans la base
|±, ± >.
1
Singlet : |J = 0; M = 0 >= √ (| + − > −| − + >)
2
|J = 1; M = +1 >= |++>
Triplet : |J = 1; M = 0 >= √1 (| + − > +| − + >) (6.5.1)
2
|J = 1; M = −1 >= |−−>
Montrant que l'espace Htot = D1/2 ⊗ D1/2 se décompose en somme deux représenta-
tions irréductibles du groupe de rotation :
2×2=1+3
Démonstration. On va utiliser :
~ˆ1 .S
~ˆ2 =
S Ŝ1,x Ŝ2,x + Ŝ1,y Ŝ2,y + Ŝ1,z Ŝ2,z
1 1
= Ŝ1,+ Ŝ2,− + Ŝ1,− Ŝ2,+ + Ŝ1,z Ŝ2,z
2 2
~ˆ2 = S
S ~ˆ2 + S~ˆ2 + 2S
~ˆ1 .S
~ˆ2
1 2
~ˆ22 + Ŝ1,+ Ŝ2,− + Ŝ1,− Ŝ2,+ + 2Ŝ1,z Ŝ2,z
~ˆ12 + S
= S
on va aussi utiliser :
3
Ŝ12 |− >= ~2 |− >, Ŝ1,+ |− >= ~|+ >
4
~
Ŝ1,− |− > = 0, Ŝ1,z |± >= ± |± >
2
On calcule :
1 1
|J = 1, M = 0 >= √ Ŝ+ |J = 1; M = −1 >= √ Ŝ1,+ + Ŝ2,+ | − − >
~ 2 ~ 2
1
= √ (| + − > +| − + >)
2
et on crée |J = 1, M = 1 > Ŝ+ :
par action à nouveau de
1 1 1
|J = 1, M = 1 >= √ Ŝ+ |J = 1; M = 0 >= √ Ŝ1,+ + Ŝ2,+ √ (| + − > +| − + >)
~ 2 ~ 2 2
1
= (| + + > +| + + >) = | + + >
2
On a donc obtenu trois vecteurs |J = 1, M = −1, 0, +1 > de l'espace Htot qui lui est de dimension
4. Le complémentaire orthogonal est de dimension 1, et engendré par le vecteur :
1
|ψ >= √ (| + − > −| − + >)
2
En eet, on vérie que hψ|J = 1, M i = 0 pour M = −1, 0, 1. On calcule de même :
J=1 1 0 1
m1 m2 M=1 0 0 −1
1/2 1/2 1 p p
1/2 −1/2 p1/2 p1/2
−1/2 1/2 1/2 - 1/2
−1/2 −1/2 1
Table 6.5.1 Table des Coecients de Clebsch-Gordan, pour Dj =1/2 ⊗ Dj =1/2 = DJ=0 ⊕ 1 2
DJ=1
3
E0 = − K~2
4
1
E1 = + K~2
4
Voir gure 6.5.1. Donc dans son état d'énergie fondamentale, la particule composée est une
particule de moment angulaire intrinsèque J = 0. Dans son état excité elle a un moment
angulaire intrinsèque J = 1.
Remarquons que nous venons d'obtenir que l'opérateur Ĥ dans l'espace D1/2 ⊗ D1/2 =
E0 Iˆ 0
DJ=0 ⊕DJ=1 s'écrit comme Ĥ = . C'est tout à fait attendu d'après le Lemme
0 E1 Iˆ
de Schur page 266.
(1) (2)
Exercice 6.5.1. Montrer que dans l'espace Htot. = D1/2 ⊗D1/2 , tout opérateur autoadjoint
invariant par rotation est de la forme Ĥ = A.Iˆ+B.S~1 .S
~2 avec A, B ∈ R. Plus généralement
comment écrire un opérateur invariant par rotation dans Dj1 ⊗ Dj2 ? (Aide : Utiliser le
E1
0
E0
Dans le cas de l'atome d'hydrogène, la gure (6.5.1), montre comment l'état (1s) est
en fait formé de 4 états dus à l'interaction entre les spins 1/2 de l'électron et du proton.
L'écart en énergie est
∆E = E1 − E0 = 6.10−6 eV
et s'appelle la structure hyperne de l'état 1s.
Si un atome d'hydrogène isolé est dans un état d'énergie E1 , il n'est pas rigoureusement
stationnaire à cause du couplage avec le champ électromagnétique. Il se désexcite vers l'état
fondamental E0 , par émission spontanée avec une durée de vie moyenne très longue :
c
Le photon ainsi produit, d'énergie hν = ∆E a une longueur d'onde λ = ν
= 21 cm
(onde radio).
Dans le gaz interstellaire, constitué d'Hydrogène, les collisions entre atomes sont res-
ponsables d'une température T = 100K , soit kT = 10−2 eV . Ces collisions excitent l'état
E1 , qui se désexcite ensuite par emmission spontanée, emmettant donc des photons de
longueur d'onde λ = 21 cm. L'espace interstellaire contient beaucoup d'atome H, et ce
signal est observable. C'est la raie à 21 cm. Il permet d'ailleurs de cartographier notre
Galaxie.
Les mesures du temps les plus précises sont ainsi faites avec des Horloges atomiques.
(Pour le principe de fonctionnement, voir la page web de l'ENS. Voir aussi observatoire
de Paris, laboratoire de métrologie)
La précision relative actuelle est de 10−18 , soit 1sec/age de l'univers. cette précision
est telle que l'on vérie les eets du champ de gravitation terrestre prédits par la relativité
générale, en soulevant l'horloge de seulement h =30cm. (en eet en relativité on montre
hg 2 8
que le décalage temporel est avec g = 9, 81m/s , c = 3.10 m/s).
c2
Nombre de diviseurs de i
V[i]
12 60
48
10 36
24
8
12
6
0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
i
Figure 6.5.2 Nombre de diviseurs d'un entier i. Cette courbe justie pourquoi les
nombres 12 et 60 on été choisis pour diviser le jour (et la nuit) en 12 heures, et l'heure en
60 minutes, et la minute en 60 secondes. En eet il apparaît que 12 et 60 on beaucoup de
diviseurs. Cela ore la possibilité de diviser la journée de plusieurs manières diérentes.
J=|j1 +j2 |
M
Dj1 ⊗ Dj2 = DJ
J=|j1 −j2 |
Exemple :
D1/2 ⊗ D1/2 = DJ=0 ⊕ DJ=1
+1
J:
j1− j2 j1+j2
0 j1
On trouve ces coecients, par une technique analogue à celle utilisée pour la propriété
(6.5.1).
Voici ces coecients de Clebsch-Gordan disposés dans la table 6.5.1, ou 6.5.2.
Table 6.5.2 Table des Coecients de Clebsch-Gordan, pour D1 ⊗D1/2 = DJ=1/2 ⊕DJ=3/2
Remarques :
◦ Noter que expérimentalement, on peut mesurer le moment angulaire intrinsèque J
d'une particule en faisant passer un faisceau dans un appareil de Stern Gerlach. Il
y aura alors 2J + 1 faisceaux à la sortie. cf Bransden p37.
282 CHAPITRE 6. SYMÉTRIES ET RÈGLES DE CONSERVATION
4. On sait maintenant que cette symétrie reète l'existence de champs élémentaires que sont les quarks
u (up) et d (down) inventés par Gell-Mann en 1969.
6.5. COMPOSITION DES MOMENTS ANGULAIRES 283
p + π− → n + π0
La gure 6.5.4 montre les sections ecaces de diusion σ (N + π → N 0 + π 0 )pour diverses
réactions de ce type.
Section
efficace
(mb)
p + π + −−> p + π +
200
p + π − −−> n + π0
100
p + π − −−> p + π −
Figure 6.5.4 Sections ecaces de diusion pour diverses réactions. Le pic de largeur
∆E ' 100M eV correspond à une résonnance.
4. On supposera que ces amplitudes A3/2 , A1/2 , ne dépendent pas de l'énergie. Exprimer
les trois sections ecaces de la gure (6.5.4), à partir de A3/2 , A1/2 . Simplier ces
expressions dans les cas extrèmes où (a) A3/2 A1/2 , (b) A3/2 A1/2 , (c)
A3/2 = A1/2 .
5. Comme il apparait sur la gure (6.5.4), l'expérience donne (à la résonance)
σ pπ + → pπ + = 195 mb
σ pπ − → nπ 0 = 45 mb
σ pπ − → pπ − = 23 mb
(1) I
Pa→b (t) ' |Dba |2 cos2 θ F (t, ωba ± w)
2ε0 c~2
D E 2
et est proportionnelle à l'élément de matrice |Dba | = e
2 2
n0 , l0 , m0 |~xˆ| n, l, m , qui fait
Même si en général les états quantiques orbitales |n, l, mi sont diciles à calculer dans
un atome à plusieurs électrons, un simple argument de symmétrie, appelé règle de sélec-
tion montre que l'élément de matrice est nul sauf si
l0 = l + 1, ou l0 = l − 1
6.5. COMPOSITION DES MOMENTS ANGULAIRES 285
(ce résultat est aussi obtenu par un calcul direct en TD). Les transitions possibles dans
le spectre atomique sont schématisée sur la gure 6.5.5.
5d
... ...
4d
...
4s 4p 3d
3s 3p
2s
2p
1s
l=0 l=1 l=2
Figure 6.5.5 Les transitions permisent sont entre les états l0 = l ± 1, donnant des raies
~ω caractéristiques en spectroscopie.
Voici maintenant
D l'explication deE cette règle de sélection en terme de symétrie. L'élé-
ment de matrice n0 , l0 , m0 |~xˆ| n, l, m fait intervenir trois objets appartenant à des repré-
l0 = l − 1, ou l0 = l,ou l0 = l + 1
Le deuxième cas l0 = l est exclu à cause du même argument utilisé avec une autre symé-
trie : la symmétrie par inversion ~ x → (−~x), ou symétrie de parité, correspondant au groupe
Z2 = {I, −I}. (C'est une symétrie de l'atome car le potentiel vérie V (−~x) = V (~x)).
L'opérateur ~ xˆ est impair (parité −1), et |n, l, mi a la parité (−1)l , d'après eq.(6.3.12).
Donc le vecteur ~ xˆ| n, l, mi a la parité − (−1)l . Pour que l'élément de matrice soit non nul,
0 0 0 l0 l
il est nécéssaire que |n , l , m i ait la même parité, donc que (−1) = − (−1) . Cela exclue
0
le cas l = l .
Dénitions :
ˆ
◦ un ~
opérateur vectoriel est une famille d'opérateurs O = Ô1 , Ô2 , Ô3 , sur laquelle
agit le groupe de rotation SO(3), et qui sous l'eet d'une rotation, se transforme
comme un vecteur dans Dl=1 . Exemples : p~ˆ = (p̂x , p̂y , p̂z ), ou ~xˆ = (x̂, ŷ, ẑ), ou
ˆ
J~ = Jˆx, Jˆy , Jˆz sont des opérateurs vectoriels.
◦ Un opérateur scalaire est un opérateur Ô qui est invariant sous l'eet d'une
rotation (c'est à dire se transforme comme un vecteur dans Dl=0 ). Exemples : Ĥ ,
ou ~ˆ S
L. ~ˆ sont des opérateurs scalaires.
◦ Plus généralement, un opérateur
tensoriel
irréductible de rang j est une famille
de (2j + 1) opérateurs notés T̂j ≡ T̂j,m” sur laquelle agit le groupe SO(3)
m”=−j→j
de rotation (ou SU(2)), et qui sous l'eet d'une rotation se transforme comme un
vecteur (à 2j + 1 composantes) de la représentation irréductible Dj .
◦ Plus généralement un opérateur tensoriel est une famille d'opérateurs sur la-
quelle agit le groupe SO(3) de rotation (ou SU(2)), et qui sous l'eet d'une rota-
tion se transforme comme un vecteur d'une représentation du groupe de rotation,
Théorème de Wigner-Eckardt :
Pl”+l
Si Dl0 n'est pas présent dans la décomposition Dl” ⊗ Dl = k=|l”−l| Dk , alors les éléments
0 0
de matrice hl , m |T̂l”,m” |l, mi sont nuls (c'est la règle de sélection).
Si Dl0 est présent dans la décomposition, alors l'élément de matrice hl0 , m0 |T̂l”,m” |l, mi peut
être non nul et s'exprime à l'aide de Coécients de Clebsch-Gordan.
◦ Les forces élémentaires sont exprimées par les groupes de Jauges U(2) (pour la force
électro-faible) ou SU(3) pour la force nucléaire forte. Les bosons de Jauges, sont
l'expression des générateurs de ces groupes. Il en résulte des quantités conservées.
La charge électrique est l'une d'entre elles.
◦ Symétrie brisée spontanément, @@
◦ Des indices suggèrent la recherche de nouvelles symétries : exemple la super-
symétrie qui ferait un lien entre les particules de matière (les quarks et les leptons).
cf : http://public.web.cern.ch/Public/SCIENCE/grandunification_fr.html
◦ Conservation de la charge, @@
288 CHAPITRE 6. SYMÉTRIES ET RÈGLES DE CONSERVATION
Chapitre 7
Introduction à la théorie de la diusion
Ce chapitre est pour le moment très incomplet.
Références : [BC89] chap.13, [CBF] chap.8. Cours de MQ de Richard Fitzpatrick sur le
web.
Ref mathématique : R. Melrose geometric scattering theory [Mel95], sur sa page web.
Remarques
◦ Noter que en anglais la théorie de la diusion se dit scattering theory. (En
anglais, le terme diusion est réservé pour le phénomène de diusion de la chaleur,
qui est complètement autre chose).
◦ Concernant la diusion d'une onde sur un cristal (potentiel périodique), on parle
aussi de diraction . Concernant encore plus spéciquement une onde plane dif-
fusée sur un potentiel constant par morceaux (ex : lumière sur une plaque d'indice
diérent), on parle d'onde rééchie et réfractée. Réexion et réfraction . Ces
phénomènes sont des cas particuliers de la diusion présentée dans ce chapitre.
7.1 Introduction
La théorie de la diusion consiste à étudier la collision entre 2 ou plusieurs particules.
Pour le moment, nous allons étudier le cas le plus simple de la collision entre 2 parti-
cules sans spin.
On suppose que l'interaction entre les deux particules est décrite par une énergie po-
tentielle qui ne dépend que de la position relative des 2 particules ~x = ~x2 − ~x1 et est donc
notée :
V (~x2 − ~x1 )
où ~x1 , ~x2 ∈ R3 sont les positions des particules 1 et 2. On suppose que le potentiel V est à
courte portée. Ce qui signie qu'il est nul ou faible si |~x2 − ~x1 | est grand On verra que
l'hypothèse précise est
1
V (~x) = o (7.1.1)
|~x|
289
290 CHAPITRE 7. INTRODUCTION À LA THÉORIE DE LA DIFFUSION
Dans l'étude du problème à deux corps isolés, exercice 6.1.1 page 237, nous avons vu
qu'il sut de décrire le mouvement relatif
~x := ~x2 − ~x1
dans le référentiel du centre de masse et que ce mouvement relatif est aecté de la masse
m1 m2
réduite m := . Le Hamiltonien est alors
m1 +m2
p~2
Ĥ = + V (~x)
2m
Par exemple pour la diusion d'un électron (léger) sur un proton (lourd), on a m1 m2 ,
donc le centre de masse X ~ = 1 (m1~x1 + m2~x2 ) ' ~x1 est placé sur le proton ~x1 qui est
m1 +m2
quasiment immobile en ~ x1 = 0, et le mouvement relatif ~x (t) = ~x2 − ~x1 = ~x2 décrit celui de
−e2
l'électron (m ' m1 ). Dans ce cas le potentiel est V (~x) = 4πε (mais ne décroit pas assez
0 |~
x|
vite à l'inni pour satisfaire l'hypothèse (7.1.1)).
En mécanique quantique, les particules sont décrites par des ondes, donc le problème
consiste à décrire la diusion d'une onde incidente par le potentiel V (~x).
7.2. AMPLITUDE DE DIFFUSION F (K, θ, ϕ) 291
L'étude des collisions est très importante, car tout d'abord, historiquement, la décou-
verte du monde quantique et des particules s'est faite en étudiant des processus de collision.
Beaucoup d'expériences de physique sont des expériences de collision, ou plus précisément
de diusion. En cette année 2012 les physiciens des particules ont annoncé la découverte
tant attendue du Boson de Higgs dans les processus de collision au L.H.C.
La théorie qui suit est valable pour la diusion d'ondes en général. Elle s'adapte donc
pour la diusion de la lumière, ou du son par exemple.
Nous allons nous restreindre à l'étude des solutions stationnaires, appelée théorie de
la diusion stationnaire. La question essentielle sera d'exprimer la composante onde
diusée, à partir de la donnée onde incidente.
~2 k2
Proposition 7.2.1. Si ψ (~x) est une onde stationnaire d'énergie E = 2m
, c'est à dire
vériant Ĥψ = Eψ , alors pour r = |~x| 1 (c'est à dire en champ lointain ), ψ s'écrit
de façon unique :
e−ikr e+ikr
1
ψ (~x) = a− (θ, ϕ) + a+ (θ, ϕ) +o , r = |~x| , (7.2.1)
| {z r } | {z r } r
Onde sphérique entrante Onde sph. sortante
Les deux premiers termes de (7.2.1) s'appellent ondes sphérique entrantes et sor-
tantes, car le courant est radial (voir (7.2.10) page 298). Nous appelerons a± (θ, ϕ) les
amplitudes asymptotiques des ondes sphériques entrantes et sortantes.
p~2 ~2
1
Ĥ ' Ĥ0 + o , Ĥ0 = =− ∆
|~x| 2m 2m
~2 ~2 k 2
1 2 1
Ĥψ = Eψ ⇔ − ∆ψ = ψ+o ψ ⇔ ∆ψ = −k ψ + o ψ (7.2.2)
2m 2m r r
1 ∂ 2 (rψ) 1 ∂ 2ψ
1 1 ∂ ∂ψ
∆ψ = + 2 sin θ +
r ∂r2 r sin θ ∂θ ∂θ sin2 θ ∂ϕ2
(voir cours de mathématiques de M1[Fau10b]). Si on écrit ψ (r, θ, ϕ) = R (r) a (θ, ϕ), (7.2.2)
donne
1 d2 (rR)
1
∆ψ = 2
a+o = −k 2 R a
r dr r
d2 (rR)
⇔ = −k 2 (rR) + o (1)
dr2
7.2. AMPLITUDE DE DIFFUSION F (K, θ, ϕ) 293
Cette équation du deuxième ordre est celle de l'oscillateur harmonique et a deux solutions
±ikr
indépendantes rR (r) = e + o (1), soit
e±ikr
1
R (r) = +o
r r
Remarque : (*)
∂2 ∂ 2 ∂2
◦ En coordonnées cartésiennes, le Laplacien s'écrit ∆= ∂x2
+ ∂y 2 + ∂z 2 , et il est naturel
p
~.~
x ~
ψp~ (~x) = ei ~ = eik~x , p~ = ~~k ∈ R3 ,
p~2 ~2 k 2
Ĥ0 ψp~ = Eψp~ , E= = : énergie
2m 2m
e+ikr e−ikr
1
eikz
= a+ (θ) + a− (θ) +o (7.2.3)
r r r
(2π)
avec a− (θ) = δ (θ − π) , (7.2.4)
k
(−2π)
a+ (θ) = δ (θ) . (7.2.5)
k
où δ est la distribution de Dirac. Plus généralement, pour le problème libre (i.e. sans
potentiel V , Ĥ = Ĥ0 ), les amplitudes asymptotiques a+ et a− sont reliées par la relation :
a+ = −P̂a− (7.2.6)
où P̂ : C (S 2 ) → C (S 2 ) est l'opérateur de parité déni par P̂a (θ, ϕ) = a (P (θ, ϕ)) avec
la transformation de parité, en coordonnées sphériques, P : (θ, ϕ) → (π − θ, ϕ + π).
7.2. AMPLITUDE DE DIFFUSION F (K, θ, ϕ) 295
Remarquer que les amplitudes a± (θ) sont indépendantes de ϕ (en eet eikz est invariant
par rotation autour de z ).
Démonstration. (*) En coordonnées sphériques z = r cos θ l'onde plane s'écrit :
1/2 1/2
ϕ = kz = k r2 − x2 − y 2 = kr 1 − x̃2 − y˜2
1 2 1 ˜2 2 2
' kr 1 − x̃ − y + o x̃ , ỹ
2 2
Les dérivées sont
∂ϕ ∂ϕ
= −krx̃, = −krỹ,
∂ x̃ ∂ ỹ
∂ 2ϕ ∂ 2ϕ
= = −kr.
∂ x̃2 ∂ x̃2
On observe en eet que la phase est stationnaire (∂ϕ = 0) en x̃ = ỹ = 0. Si f (x̃, ỹ) est une
fonction test non nulle près de ce point on a au premier ordre dΩ ' dx̃dỹ et on écrit la
formule de la phase stationnaire
1 (@@) :
Z ZZ
eiϕ f dΩ = eiϕ(x̃,ỹ) f dx̃dỹ
S2
√ √
1/2
1/2
−i 2π −i 2π
= eiϕ(0,0) f (0, 0) 2 2
∂ ϕ ∂ ϕ
∂ x̃2 ∂ ỹ 2
(−2π)
= eikr f (0, 0)
kr
√
±i 2π 1
eiλϕ(x) u (x) dx =
R
1. d2 ϕ
u (0) + O λ
dx2
(0)
296 CHAPITRE 7. INTRODUCTION À LA THÉORIE DE LA DIFFUSION
(−2π) eikr
eikz ≡ eikr δ (θ) = a+ (θ)
kr r
Remarque : dans la plupart des livres de physique on trouve l'expansion exacte de eikz
2
à l'aide des polynomes de Legendre . Il est possible de retrouver (7.2.3) à partir de cette
expansion. On n'a pas eu besoin de cela ici. Il nous semble que l'argument de la phase
staionnaire est plus adapté et plus clair.
Une onde sphérique entrante ne correspond pas à une situation expérimentale habi-
tuelle. Dans une situation expérimentale, l'onde entrante est plus souvent modélisée par
une onde plane incidente. Cela amène à la dénition suivante :
eikr
ikz 1
ψ (~x) = |{z}
e + f (k, θ, ϕ) +o (7.2.7)
r r
ψinc | {z }
ψdif f
formé d'une onde incidente et transmise selon l'axe z notée ψinc. , et d'une onde
sphérique sortante diusée, notée ψdif f. . La fonction f (k, θ, ϕ) s'appelle amplitude
de diusion et est unique.
∞ ∞
1X iX l
a+ (θ) = − (2l + 1) Pl (cos θ) , a+ (θ) = (−1) (2l + 1) Pl (cos θ) .
2 2
l=0 l=0
Remarques :
◦ on note aussi ~k 0 := k ~x le vecteur d'onde diusé dans la direction (θ, ϕ). Alors f est
r
une fonction de ~ k0 :
f ~k 0 := f (k, θ, ϕ)
◦ D'après (7.2.3), les amplitudes d'ondes sphériques de ψ, equ. (7.2.7) sont
(2π) (2π)
a− (θ) = − δ (θ − π) , a+ (θ, ϕ) = δ (θ) + f (k, θ, ϕ) . (7.2.8)
k k
Le terme δ (θ) correspond à l'onde transmise vers l'avant.
Proposition 7.2.4. Pour une onde quantique ψ (~x, t) quelconque, la densité de proba-
bilité (non normalisée) est donnée par
∂P
+ div~j = 0. (7.2.9)
∂t
où la densité de courant de probabilité est déni par
~j (~x, t) := < ψ (~x, t) ~vˆψ (~x, t)
~ˆ
et ~vˆ := p
m
i~ ~
= −m ∇ est l'opérateur vitesse.
298 CHAPITRE 7. INTRODUCTION À LA THÉORIE DE LA DIFFUSION
∂P −i −i~ 2
= 2< ψ∂t ψ = 2< ψ (~x) Ĥψ (~x) = 2< ψ (~x) −∇ ψ (~x)
∂t ~ 2m
~ −i~ ~
= −∇< ψ (~x) ∇ψ (~x) = −div~j
m
Remarques :
◦ D'après (7.2.9) le champ de vecteur ~j (~x, t) caractérise donc le déplacement de la
densité de probabilité de l'onde ψ . Si d2~s est un élement de surface alors d ~s.~j
2
Z
dQt ∂P
= + div~j d3~x
dt Vt ∂t
dQt
Ainsi 0=
dt
pour tout volume V0 est équivalent à (7.2.9).
Le résultat suivant montre un exemple de calcul de courant de probabilité.
2
f ~k 0
~jinc. (~x) = ~ ~k, ~jdif f. (~x) = ~
k~ur , (7.2.10)
m m r2
2
4πr2 jdif f. = 4π ~ f ~k 0 k
|{z} m
surf ace
Démonstration. (*) En coordonnées cartésiennes, ~ inc. =
∇ψ ∂
, ∂, ∂ eikz = (0, 0, ik) eikz
∂x ∂y ∂z
donc
~jinc (~x) = < ψ inc. − i~ ∇ψ
~ inc
m
~ ~
= (0, 0, k) = ~k
m m
En coordonnées sphériques (r, θ, ϕ), (voir cours de math [Fau10b]), le gradient est
~ dif f = ∂ψ 1 ∂ψ 1 ∂ψ
∇ψ , ,
∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ
~jdif f (~x) = < ψ dif f. − i~ ∇ψ
~ dif f
m
2
~0
~ 2 ~ f k
= k |ψdif f | , 0, 0 = k~ur
m m r2
surface r2 dΩ, normalisé par le courant de probabilité incident ~jinc. . D'après (7.2.11),
dσ
dΩ
et σtot ont l'unité d'une surface. L'interprétation est que le potentiel V a un eet diuseur
comme une objet de surface équivalente eective σtot (et de même dσ est la surface
équivalente qui ferait diuser dans l'angle solide dΩ).
300 CHAPITRE 7. INTRODUCTION À LA THÉORIE DE LA DIFFUSION
avec U (~x) = 2m
V (~x) avec ~k 0 = (k, θ, ϕ) (en coord. sphériques) le vecteur d'onde diusé.
~2
En fait f ~k 0 prend une forme encore plus simple pour des potentiel à symétrie sphé-
rique U (r), appelés potentiels centraux, voir TD. Voir aussi le TD pour le calcul explicite
de sections ecaces diérentielles et totales, pour certains potentiels à symétrie sphérique.
Ĥψ = Eψ
p2
avec Ĥ = Ĥ0 + V , Ĥ0 = 2m
. On sait que l'onde plane ψinc. = eikz est solution de Ĥ0 ψinc =
7.3. APPROXIMATION DE BORN 301
Eψinc . Alors
Ĥ − E ψ + Ĥ0 − E ψinc = 0
⇔ V ψ + Ĥ0 − E (ψ − ψinc ) = 0
−1
⇔ ψ = ψinc − Ĥ0 − E Vψ
2~x~x0 ~x02
0 2 2 0 02 2
|~x − ~x | = ~x − 2~x~x + ~x = r 1 − 2 + 2
r r
−1
la résolvante de Ĥ0 .
3. De façon générale, l'opérateur inverse Ĥ0 − E est appelé
4. Pour un opérateur Â, les éléments de matrice dans la base position forment une fonction K (~x, ~x0 ) =
0
h~x|Â|~x i appelée noyau
de
Schwartz de l'opérateur.
~2
5. Comme Ĥ0 = 2m (−∆), il s'agit de la fonction de Green G de l'opérateur Laplacien sur R3 . Ce
Remarques :
◦ Le résultat de Born (7.3.1) montre que au premier ordre, l'amplitude de diusion
f ~k 0 est directement reliée à la Transformée de Fourier du potentiel U (~x).
D'après la théorie des transformées de Fourier, on peut donc reconstruire le potentiel
par une transformée de Fourier inverse. Cela s'appelle le problème inverse.
◦ Par exemple si le potentiel est périodique, (ce qui est le cas en cristallographie, où
l'on fait diuser une onde quantique de neutron ou une onde électromagnétique de
type rayon X, sur un cristal) alors l'amplitude de diusion est la T.F. d'une fonction
périodique, et d'après la
théorie
des séries de Fourier, c'est un réseau périodique de
distributions de Dirac δ ~kn appelé réseau réciproque. (C'est en eet le réseau
dual du réseau cristallin). On retrouve ainsi la théorie de la diraction de Bragg
[AM76].
@@ Mettre gure de réseau réciproque pour crital et quasi cristal (= par déf le réseau
réciproque est discret). @@
Proposition 7.4.1. A k > 0 xé, l'amplitude de l'onde sortante a+ (θ, ϕ) s'exprime à par-
tir de l'amplitude a− (θ, ϕ) par un opérateur unitaire appelé opérateur de diusion
ou matrice S :
( 2 2
L (S ) → L2 (S 2 )
Ŝ (k) :
a− (θ, ϕ) → a+ (θ, ϕ) = Ŝ (k) a− (θ, ϕ)
Remarques :
RR
◦ Le produit scalaire sur L2 (S 2 ) est
S2
a (θ, ϕ) b (θ, ϕ) dΩ, avec dΩ = sin θdθdϕ,
l'unitarité de l'opérateur s'écrit donc :
Ŝ (k) = −P̂
Démonstration. (*) (de la proposition 7.4.1). Par dénition même d'un opérateur unitaire,
il faut montrer la conservation de probabilité, Eq.(7.4.1). Pour cela on utilise la relation
(7.2.9) qui traduit la conservation de la probabilité. On considère la sphère Sr de rayon
r 1. On note Br la boule de rayon r. L'équation de conservation de la probabilité (7.2.9)
∂P
intégrée sur la boule Br , et tenant compte du fait que
∂t
= 0 (en régime stationnaire)
donne Z Z
0= div ~j = ~j.d2~s (7.4.3)
Br Sr
~j = ~j+ + ~j−
2
~0
~ ~ a± k
avec j± = ± k~ur
m r2
2
~j .d2~s = ± ~ k a± ~k 0
R R
On a
Sr ± m sr
dΩ donc la conservation de la probabilité (7.4.3)
donne ZZ ZZ
2
|a+ (θ, ϕ)| dΩ = |a− (θ, ϕ)|2 dΩ
S2 S2
Montrant que Ŝ (k) est unitaire. (@@ En fait il reste à montrer que Ŝ est bien une appli-
cation cad que pour toute donnée entrante a− il y a une solution, et inversement).
Rappels : D'après la théorie des harmoniques sphériques, voir Théorème 6.3.1 page
2 2
262, sous l'action du groupe des rotations, l'espace L (S ) se décompose en espaces de
représentations irréductibles :
L2 S 2 = ⊕∞
l=0 Dl
7.5. THÉORIE DES ONDES PARTIELLES POUR LES POTENTIELS CENTRAUX305
et Yl,m (θ, ϕ), m = −l . . . + l et l xé forment une base de l'espace Dl . Donc les fonctions
Yl,m (θ, ϕ) avec l = 0, 1 . . . ∞, m = −l, −l + 1, . . . + l forment une base de l'espace des
2 2
fonctions a (θ, ϕ) ∈ L (S ). Par conséquent dans cette base on peut exprimer l'opérateur
de diusion Ŝ (k) par une matrice (innie) dont les éléments sont :
Nous allons voir que pour les potentiels V à symétrie sphérique, cette matrice est très
simple : la diusion sur un potentiel central se fait de façon indépendante pour chaque
moment angulaire l , i.e. dans chaque espace Dl . On appelle cela un canal de diusion. De
plus dans chaque canal l la matrice de diusion est caractérisée par une seule phase δl .
Plus précisément,
isl (k) ˆ
Ŝ (k) = ⊕∞
l=0 e IdDl
avec l'amplitude eisl (k) qui dépend de l seulement. Dans le cas V = 0, on a eisl (k) = (−1)l+1 .
Pour cette raison, on décide d'écrire en général :
Exemple : en TD, on calcule les déphasages δl pour un potentiel central constant par
morceaux.
2 2 ∞
et d'après le Lemme de Schur page 266, sur l'espace L (S ) = ⊕l=0 Dl (formé de repres.
irreduc. non équivalentes) on déduit que Ŝ (k) = ⊕l=0 λk IˆDl avec λk ∈ C. Finalement le
∞
ˆ −1 ˆ
fait que Ŝ (k) est unitaire s'écrit Ŝ
+
= Ŝ −1 . Or Ŝ + = ⊕∞ l=0 λk IDl et Ŝ
−1
= ⊕∞
l=0 (λk ) IDl
−1 2
donc λk = λk ⇔ |λk | = 1. Donc λk est de module 1, et on peut choisir de l'écrire sous la
is (k)
forme λk = e l .
Dans le cas V = 0 (pas de potentiel), on a vu en (7.2.6) que l'opérateur de diusion
est Ŝ = −P̂ . Or P̂Ylm = (−1)l Ylm donc P̂|Dl = (−1)l Iˆ et Ŝ|Dl = (−1)l+1 Iˆ. On déduit que
eisl = (−1)l+1 .
4π (2l + 1) 2
σl = sin (δl )
k2
(2π) (2π)
f (k, θ) = − Ŝ (k) δ (θ − π) − δ (θ)
k k
(indépendante de ϕ en symétrie sphérique). Notons P̂l : L2 (S 2 ) → Dl le projecteur ortho-
gonal sur l'espace Dl (des harmoniques sphériques à l xé). La relation de fermeture s'écrit
IˆL2 (S 2 ) = ⊕l P̂l . Dans le cas de la symétrie sphérique on a P̂l Ŝ (k) = eisl (k) P̂l donc
(2π) X
f (k, θ) = − P̂l Ŝ (k) δθ=π + δθ=0
k l
(2π) X isl
=− e P̂l δθ=π + P̂l δθ=0
k l
7.5. THÉORIE DES ONDES PARTIELLES POUR LES POTENTIELS CENTRAUX307
Par parité, P̂l δθ=π (θ) = (−1)l P̂l δθ=0 (θ). Par ailleurs δθ=0 est indépendant de ϕ donc
P̂l δθ=0 (θ) = hθ, ϕ|Yl0 ihYl0 |0, 0i = Yl0 (θ, ϕ) Yl0 (0, 0)
Donc
(2π) X isl l
f (k, θ) = − e (−1) + 1 Yl0 (θ, ϕ) Yl0 (0, 0)
k l
(2π)2 X isl
Z 2
σtot = |f (k, θ)|2 dΩ = e (−1)l
+ 1 |Yl0 (0, 0)|2
S2 k2 l
P
Pour éliminer les termes non diagonaux l0 6=l , on a utilisé la relation d'orthogonalité
des harmoniques sphériques hYl0 m0 |Ylm i = δl0 ,l δm0 ,m . On utilise maintenant que |Yl0 (0)| =
2l+1 1/2
et que
4π
2 2 2
eisl (−1)l + 1 = −ei2δl + 1 = e−iδl − eiδl
= 4 sin2 δl
Alors
(2π)2 X
2
2l + 1
σtot = 4 sin δl
k2 l
4π
4π X
= 2 (2l + 1) sin2 δl
k l
308 CHAPITRE 7. INTRODUCTION À LA THÉORIE DE LA DIFFUSION
Chapitre 8
Méthodes d'approximation ; résolution
approchée
Sur l'intérêt des méthodes d'approximation :
◦ Certaines sont parfois indispensables, sans cela le problème serait insoluble.
◦ Certaines permettent de comprendre aussi le phénomène en termes simples, ou de
mettre en évidence l'essentiel d'un phénomène.
On s'eorcera de bien préciser les conditions de validité de chaque méthode.
Pour simplier la discussion, il y a deux grands types de problèmes que l'on cherche
à résoudre en mécanique quantique : étant donné un Hamiltonien Ĥ associé au système
étudié,
Remarque : Les deux problèmes ne sont pas indépendants et sont même reliés en prin-
cipe. Le problème 2 découle du problème 1, voir p.53. Le problème 1 découle du problème
2 par transformée de Fourier. Mais cela reste en principe car la solution n'est pas toujours
très explicite. De plus les relations sont moins évidentes lorsque l'on a des solutions ap-
proximatives seulement. Qualitativement, il est correct de penser, en invoquant le principe
d'incertitude ∆t∆E ' ~ (page 91) que une erreur ∆E
sur les valeurs propres permet de
connaitre l'évolution d'un état seulement pour des temps t ≤ ∆t =
~
, et inversement.
∆E
309
310 CHAPITRE 8. MÉTHODES D'APPROXIMATION ; RÉSOLUTION APPROCHÉE
que λĤ1 est considéré comme une petite correction (limite λ → 0). On appelle l'opérateur
Ĥ1 la perturbation. Ainsi on exprime les solutions du problème par un développement
limité en λ.
Plus précisément :
sachant que
Ĥ (λ) = Ĥ0 + λĤ1
où λ ∈ R, λ 1 est très petit, Ĥ0 = Ĥ (0) est un opérateur dont on connaît le spectre,
supposé discret et noté :
Ĥ0 |ni = εn |ni, n≥0
avec |ni, n ∈ N les vecteurs propres formant une base orthonormée et εn les valeurs étant
classées par ordre croissant :
ε0 ≤ ε1 ≤ ε2 ≤ . . . connues
Ĥ1 est un autre opérateur appelé perturbation que l'on connait par ses éléments de
matrice dans la base |ni :
En résumé on cherche des formules pour les valeurs propres En (λ) et les composantes des
vecteurs propres ψn (λ) dans la base |ni pour λ1 :
ε = εn = εn+1 = . . . = εn+N −1
C'est le cas bien connu du spectre de l'atome d'hydrogène, où la symétrie est l'invariance
par le groupe de rotation, voir chapitre 6.
Mais une dégénérescence dans le spectre peut aussi apparaître sans raison de symétrie.
On peut en trouver en modiant convenablement des paramètres externes à Ĥ0 .
Ε E3
E2
E1
Figure 8.1.1 Schéma des valeurs propres non dégénérées En (λ). La théorie des pertur-
bations exprime le développement limité de En (λ) en λ ' 0.
Proposition 8.1.1. Perturbation d'un niveau non dégénéré. Si εn est une valeur
propre non dégénérée de Ĥ0 (n est xé ici) alors on peut écrire pour λ1 :
Remarques :
◦ Le vecteur |ψ (1) i s'exprime donc par ses composantes :
(2)
◦ Pour le niveau fondamental ε0 alors (ε0 − εn0 ) < 0 donc E ≤ 0. Par conséquent
(1) 2 (2)
E0 (λ) = ε0 + λE + λ E est une fonction concave. Voir gure 8.1.2.
Ε 1er ordre
ε 0 +λΕ (1)
ordre 0
ε0 ε 0 +λ Ε (1) +λ 2 Ε (2)
2eme ordre
Figure 8.1.2 Pour le niveau fondamental, E0 (λ) est une fonction concave.
◦ (*) On peut calculer les termes à tout ordre. Mais cela devient compliqué. Il y a
d'autres façon d'écrire le développement, plus maniables, utilisant la résolvante de
Ĥ0 , cf méthode de Brillouin-Wigner, cf Ballentine [L.E90] p.268 ou messiah [Mes64].
On peut aussi utiliser des représentations graphiques des termes développés, appelé
diagramme de Feynman (très utiles en théorie quantique des champs).
Démonstration. On a déjà remarqué que le vecteur propre est déni à une constante près,
page 46. Comme |ψn (0)i = |ni, on peut xer ce choix en imposant :
hn|ψn (λ)i = 1
donc :
hn|ψ (i) i = 0, i = 1, 2 . . .
|ni + λ|ψ (1) i + . . . = εn + λE (1) + |ni + λ|ψ (1) i + . . .
Ĥ0 + λĤ1
8.1. THÉORIE DES PERTURBATIONS STATIONNAIRES 313
Ensuite, on projette les équations sur les vecteurs non perturbés |n0 i, (cad que l'on
0 0 0
multiplie par hn | et sachant que Ĥ0 |n i = εn0 |n i), donnant :
1
Pour λ :
εn0 hn0 |ψ (1) i + hn0 |Ĥ1 |ni = εn hn0 |ψ (1) i + E (1) hn0 |ni
en particulier pour n0 = n :
et pour n0 6= n :
εn hn|ψ (2) i + hn|Ĥ1 |ψ (1) i = εn hn|ψ (2) i + E (1) hn|ψ (1) i + E (2)
2
X hn0 |Ĥ1 |ni
E (2) = : correction 2ème ordre à l'énergie
n0 6=n
εn − εn0
1. On utilise le fait que si une série 0 = S (λ) = s0 + s1 λ + s2 λ2 + . . . est nulle alors chaque coecient
di S
si = 0 est nul. La preuve est que 0= dsi (0) = s0 , mais aussi 0 = S 0 (0) = s1 etc
314 CHAPITRE 8. MÉTHODES D'APPROXIMATION ; RÉSOLUTION APPROCHÉE
Pour simplier l'exposé, nous allons supposer que le terme suivant en x3 est nul, et ne
4
traiter que le terme en x .
La dynamique de la particule est donc décrite par le Hamiltonien :
p̂2 1
Ĥ = + kx̂2 + λx̂4 (8.1.4)
2m 2
Pour appliquer la théorie des perturbations ci-dessus, on pose
p̂2 1
Ĥ0 = + kx̂2
2m 2
dont on connaît déjà le spectre, c'est l'oscillateur Harmonique.
Le terme de perturbation est
λĤ1 = λx̂4
à condition que λ 1.
Noter que si λ < 0, le potentiel n'est pas connant, et le spectre est alors non discret.
La théorie précédente ne s'applique que pour λ ≥ 0.
On s'intéresse au niveau fondamental E0 qui est non dégénéré.
Rappels sur l'oscillateur Harmonique : on a Ĥ0 |0i = ε0 |0i avec
1
ε0 = ~ω
2
x2
1
hx|0i = exp − 2
(πσ 2 )1/4 2σ
1/2
~
σ=
mω
On déduit que la correction au premier ordre est d'après (8.1.2)
Z
(1)
E = h0|Ĥ1 |0i = dxh0|x̂4 |xihx|0i
Z Z
4 2 1 2
− x2 4 3 4
= dx x |hx|0i| = 1/2
e σ x dx = σ
(πσ 2 ) 4
(c'est une intégrale Gaussienne, cf ??).
et au deuxième ordre d'après (8.1.3) :
2
X hn0 |Ĥ1 |0i 21 σ 8
E (2) = = ... = −
n0 6=0
ε0 − εn0 8 ~ω
(Le calcul plus compliqué, se fait grâce à l'algèbre des opérateurs a, a+ . Il faut exprimer
|n0 i, Ĥ1 = x̂4 à partir de a+ et |0i).
Et l'on a au nal
E0 = ε0 + λ E (1) + λ2 E (2) + . . .
Voir gure 8.1.3, où ce résultat est comparé à un résultat exact obtenu de façon numérique.
8.1. THÉORIE DES PERTURBATIONS STATIONNAIRES 315
E
Ε(λ) Exact (numérique)
E
0.7
0.6
0.5
0.4 perturbation
2ème ordre
0.3
0.2
0.1
0
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
λ
λ
Figure 8.1.3 E0 (λ) pour eq(8.1.4). ~ = 1, m = 1, ω = 1.
(1)
En général, on s'attend à ce que les corrections à l'énergie E k ,k = 1 . . . N soient dié-
rentes c'est à dire que la perturbation enlève la dégénérescence. Lorsque la dégénérescence
est due à une symétrie, il faut pour cela que le terme Ĥ1 ne respecte pas cette symétrie.
Voir gure 8.1.4.
Remarques :
316 CHAPITRE 8. MÉTHODES D'APPROXIMATION ; RÉSOLUTION APPROCHÉE
Dégénérescence E3
Ε
E 2,3
E 2,2
E 2,1
ε
λ
E1
0
On projette la première équation (λ ) sur les états |n0 i ∈
/ Hε , εn0 6= εn , donnant :
εhn, i|ψ (1) i + hn, i|Ĥ1 |ψ (0) i = εhn, i|ψ (1) i + E (1) hn, i|ψ (0) i
8.2. THÉORIE DES PERTURBATIONS DÉPENDANT DU TEMPS 317
ainsi :
hn, i|Ĥ1 |ψ (0) i = E (1) hn, i|ψ (0) i, ∀i = 1, . . . , N
qui s'écrit
N
X
hn, i|Ĥ1 |n, jihn, j|ψ (0) i = E (1) hn, i|ψ (0) i, ∀i = 1, . . . , N
j=1
E x
charges
atomiques
Figure 8.2.1 Action d'une onde plane incidente sur un atome : il se met à osciller dans
la direction du champ électrique incident.
Une onde plane dans le vide, de vecteur d'onde ~k , de fréquence ω est décrite par les
champs électriques et magnétiques :
~ x, t) = < E
E(~ ~ ~ e−iωt ei~k~x , ~ ~ ∈ C3
E (8.2.1)
k,ω k,ω
~ x, t) = < B
B(~ ~ ~ e−iωt ei~k~x , ~ ~ ∈ C3
B
k,ω k,ω
ω
c=
~k
~ =1 E
B ~
c
~
~ = 1 k ∧E
B ~
c ~k
On remarque le facteur ~
1/c pour l'intensité du champ B par rapport au champ ~ . Cela
E
a la conséquence suivante : pour une particule de charge q , de vitesse v , l'intensité des
forces électriques et magnétiques sont respectivement : FE = qE , FB = q~v ∧ B ~ = qvB =
q vc E = FE .
v
.
c
Donc pour des vitesses non relativistes v c, la force magnétique est négligeable :
FB FE
~ x, t) ' E(~
E(~ ~ x0 , t)
Cette approximation n'est pas valable pour les longueurs d'ondes trop petites, c'est à
dire à partir des rayons X.
La force électrique dérive alors d'un potentiel scalaire H1 linéaire :
−−→
F~E = −grad (H1 ) = q E(~
~ x0 , t)
~ x0 , t) = −D.
H1 (~x, t) = −q ~x.E(~ ~ E(~
~ x0 , t)
où ~ = −q ~x
D est appelé le moment dipolaire électrique de l'atome à un électron.
avec
p̂2 Ze2
Ĥ0 = − : Hamiltonien non perturbé
2m (4πε ) ~xˆ
0
= Ŵ e + Ŵ + e−iωt
iωt
avec :
1 ~ −i~k~
Ŵ = − q~xˆ.E~k,ω e
x0
2
On a utilisé (8.2.1):
1
~ ~ ~ −iωt i~k~
x0 ~ iωt −i~k~
x0 ~ ~ ∈ C3
E (t) = E(~x0 , t) = < E~k,ω e e = E~k,ω e e + adjoint , E k,ω
2
Remarque :
◦ Dans l'expression de Ŵ ci-dessus l'opérateur est seulement ~xˆ.
◦ Une dérivation plus rigoureuse de l'expression de Ĥ à partir de l'expression eq.(3.2.4)
est donnée dans Cohen T [CBF], page.1298.
320 CHAPITRE 8. MÉTHODES D'APPROXIMATION ; RÉSOLUTION APPROCHÉE
8.2.2.1 Question :
Quelle est l'expression de l'évolution de l'état |ψ(t)i pour t > 0? (à exprimer dans
la base |ψk ik des états stationnaires de Ĥ0 ).
En particulier, quelle est la probabilité de transition vers un autre état |ψb i du spectre
discret :
Pa→b (t) = |hψb |ψ(t)i|2 =?
Eb
Pa,b (t)?
Ea
8.2.2.2 Réponse :
On a aussi : X
1 = hψ(t)|ψ(t)i = |ck (t)|2
k
et
Pa→b (t) = |hψb |ψ(t)i|2 = |cb (t)|2
!
X E t
−i ~k i dck i X Ek t
|ψk ie − Ek ck + =− Ĥ0 + λĤ1 (t) |ψk ie−i ~ ck
k
~ dt ~ k
X Ek t
−i ~ i i
= e ck − Ek |ψk i − λĤ1 (t)|ψk i
k
~ ~
dcb (t) iX Ek t Eb t
= −λ ck (t) e−i ~ ei ~ hψb |Ĥ1 (t)|ψk i (8.2.3)
dt ~ k
et la fréquence de Bohr :
Eb − Ek
ωb,k =
~
L'équation (8.2.3) est rigoureusement équivalente à l'équation de Schrödinger. On peut
la développer en puissances de λ. On pose :
Cela donne :
(0)
dcb
λ0 : dt
=0
(1)
dcb i X (0)
λ1 : =− c (t) eiωb,k t Hb,k (t)
dt
~ k k
.
.
.
(0)
cb (t) = δb,a
(1) Rt 0
cb (t) = − ~i 0
eiωb,a t Hb,a (t0 ) dt0 etc
2
(1)
donc au premier ordre |cb (t)|2 = λ2 cb (t) et la réponse à la question est :
t 2
λ2
Z
(1) 0
Pa→b (t) = 2 eiωb,a t Hb,a (t0 ) dt0 , b 6= a
~ 0
Pour l'application qui nous concerne, λH1 (t) = W eiωt + W + e−iωt . Donc pour a 6= b,
Z t Z t 2
(1) 1 iΩ+ t0 0 † 0
Pa→b (t) = 2 Wb,a e dt + Wb,a eiΩ− t dt0
~ 0 0
avec
Ω± := ωb,a ± ω : désaccord de fréquences
t
eiΩt − 1
Z
0
eiΩt dt0 = ,
0 iΩ
Soit (
2 4 sin2 ( Ωt
eiΩt − 1 2 )
: si Ω 6= 0
F (t, Ω) := = Ω2 (8.2.5)
iΩ 2
t : si Ω=0
R
On a F dΩ = 2πt et
F (t, Ω) −→ 2πtδ (Ω) , pour t→∞ (8.2.6)
eiΩ+ t − 1 iΩ− t 2
(1) 1 +e −1
Pa→b (t) = 2 Wba + Wba (8.2.7)
~ Ω+ Ω−
dont l'allure est donné sur la gure 8.2.4.
8.2. THÉORIE DES PERTURBATIONS DÉPENDANT DU TEMPS 323
F
t2
0 2π/ t Ω
Figure 8.2.2 Graphe de F (t, Ω) à t xé, voir eq(8.2.5). Noter que la largeur du pic est
de l'ordre de 1/t.
Pa,b(t)
1/t
−ω b,a 0 +ω b,a ω
Remarque 8.2.1. Dans le cas qui nous intéresse, |ωab | > 1012 Hz dans l'infrarouge, le visible
ou l'ultraviolet, et la durée t du pulse de radiation, est susamment grande pour avoir
|ωb,a t| 1, et donc une bonne séparation des deux termes de eq(8.2.7).
Remarque 8.2.2. En fait la décroissance est mauvaise (en 1/Ω2 ) et cela est dû à l'allumage
brutal du terme de perturbation (c'est le phénomène de Gibbs). La décroissance serait bien
meilleure si la perturbation apparait et disparait de façon progressive en temps (de façon
C ∞ ).
(1)
Ainsi Pa→b (t) est important que si l'un ou l'autre des dénominateurs est proche de zéro,
c'est à dire si ω ' ±ωb,a , et alors :
(1) |Wba |2
Pa→b (t) ' F (t, Ω) (8.2.8)
~2