Corrigé de la composition de physique A (X-ESPCI) 2013.

Le rayonnement solaire pour la navigation spatiale

I.1 Conservation de la charge : ∂ρ ~ ~ ~
∂t + div(j) = 0. Loi d’Ohm : j = γ E (validité aux fréquences optiques qui
font l’objet de ce problème ???). D’où, en ajoutant l’équation de Maxwell-Gauss : ∂ρ ρ
∂t + γ 0 = 0. Et donc
t 0
ρ(~r, t) = ρ(~r, t = 0) exp(− τ ) avec τ = γ .
I.2 Dans le conducteur, en supposant la densité volumique de charge nulle, et en admettant la validité de la
loi d’Ohm : 
 divB~ = 0
~ = 0

 divE

−→ ~ ~
 rotE = − ∂∂t B

 − →~
 h i
~ + 0 ∂ E~

rotB = µ0 γ E ∂t

I.3 Qualitativement, et dans un modèle classique des électrons : les électrons du métal (du moins ceux qui
sont proches de la surface) sont mis en oscillation forcée par le champ électrique de l’onde incidente. Ces
électrons rayonnent à leur tour deux OPPH, une qui forme l’onde réfléchie et va se superposer à l’onde
incidente (tout en se propageant en sens opposé), et une vers l’intérieur du métal où elle se trouve être,
au-delà d’une certaine distance (quelques épaisseurs de peau), exactement opposée à l’onde incidente, de
sorte qu’il n’y a au-delà de cette distance pas d’onde électromagnétique dans le métal. Il s’agit de l’effet
de peau.
q
2
I.4 On note δ = µ0 γω l’épaisseur de peau. Critère de validité du modèle limite du conducteur parfait :
δ  épaisseur du conducteur ? Dans ce cas, la réflexion peut être considéré comme totale ?
~ ~ dans l’équation de Maxwell-
I.5 La densité de courant de déplacement 0 ∂∂tE est négligable par rapport à γ E
−→ ~ ~
Ampère si ωτ  1, et alors rotB ' µ0 γ E.
Remarque : la condition de validité de cette approximation n’est pas équivalente à celle du modèle limite
du conducteur parfait, comme semble pourtant le suggérer l’énoncé. Toutefois, les deux sont vérifiées si
l’on considère simplement γ → ∞.
~ = 1−
I.6 Force volumique de Laplace : ~j ∧ B
→~ ~
µ0 rotB ∧ B.
Choisissons à partir de maintenant un repère orthonormal direct (O, ~ex , ~ey , ~ez ) tel que l’OPPH incidente
se propage vers +~ez et que la surface du conducteur soit le plan d’équation z = 0.
~ x , By , 0) et par ailleurs B
AlorsB(B ~ ne dépend ni de x ni de y. Alors la force volumique de Laplace vaut
  
1 ∂By ∂Bx 1 ∂ ~ 2 ~ez .
− µ0 By ∂z + Bx ∂z ~ez = − 2µ0 ∂z B

I.7 Calculons alors la force totale qui s’exerce sur un cylindre de conducteur de génératrices parallèles à ~ez ,
de section d’aire d2 S, et de longueur infinie :
Z ∞
1 ∂ ~2  1 ~
d2 F~ = − B (z, t) d2 Sdz~ez = ||B(z = 0, t)||2 d2 S~ez
z=0 2µ0 ∂z 2µ0
1 ~ = 0, t)||2 .
Et donc on a bien une pression exercée P (t) = 2µ0 ||B(z

~ r (z = 0− , t) = −E
I.8 Il convient visiblement de supposer ici que la réflexion est totale, auquel cas E ~ i (z =
− ~ ~ − ~ −
0 , t) (continuité de la composante tangentielle de E), et donc Br (z = 0 , t) = Bi (z = 0 , t), d’où
~ = 0− , t) = 2B
B(z ~ i (z = 0− , t).
E2 B2 Bi2 (z,t) ~
I.9 u = 0 2i + 2µi0 . Pour une OPPH, on a u(z, t) = µ0 . Or P (t) = 1
2µ0 ||B(z = 0− , t)||2 = 2 2 −
µ0 Bi (0 , t),
et donc P (t) = 2u(0− , t).

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I.10 Pour l’onde incidente, R ~ i (z, t) = c B 2 (z, t)~ez ; ce vecteur est toujours dirigé vers +~ez et l’on peut noter
µ0 i
~ i (z, t) = Ri (z, t)~ez en notant Ri (z, t) = c B 2 (z, t) sa norme. Alors P (t) = 2 B 2 (z = 0− , t) = 2 Ri (z =
R µ0 i µ0 i c
0− , t).
I.11 Attention l’énoncé parle ici bien évidemment de valeurs moyennes temporelles alors que jusqu’ici, il semble
qu’il était question de valeurs instantanées. On a Φ0 =< Ri (z, t) >= 1350 W.m−2 (la valeur moyenne est
indépendante de t bien sûr, mais aussi de z). Alors P0 =< P (z, t) >= 2c Φ0 , d’où P0 = 9.10−6 Pa ; soit
environ 10−10 fois la pression atmosphérique : cette pression de radiation sera totalement insensible pour
un conducteur situé dans l’atmosphère.
1
I.12 Si on note r la distance au soleil, Ri varie en r2 et donc la pression de radiation également.

I.13 ||~k|| = ωc (dans le vide). Considérons une portion d’aire élémentaire d2 S de la surface du conducteur.
Le nombre de photons qui frappent cette surface pendant l’intervalle temporel dt est d2 S c dt n. Chacun
de ces photons voit sa quantité de mouvement passer de +~ k~ez à −~k~ez , et donc varier de −2 ~k~ez ;
le conducteur a donc sa quantité de mouvement qui varie de +2 ~k~ez pour chaque photon qui le frappe.
Pendant dt, sa quantité de mouvement varie donc de d2 S c dt n 2 ~ k ~ez , ce qui correspond à une force subie
d2 S c n 2 ~ k ~ez , et donc à une pression c n 2 ~ k.
Or u = n ~ ω = n ~ k c et donc on a bien P = 2 u.
Attention toutefois ici l’énoncé suppose que “la densité n de photons par unité de volume dans l’onde
incidente est supposée uniforme”, ce qui correspondrait à une densité d’énergie u uniforme pour l’onde
incidente, ce qui n’est pas le cas à la question I.9 ; les deux se réconcilient si on passe aux moyennes
temporelles.
I.14 On reprend le raisonnement du I.13 pour un angle d’incidence α quelconque (en admettant la loi de
Descartes pour la réflexion). On a bien sûr toujours u = n ~ k c pour l’onde incidente. Mais le nombre
de photons qui frappent la surface d2 S pendant l’intervalle temporel dt vaut maintenant d2 S c dt cos α n.
Chacun de ces photons a une quantité de mouvement qui varie de −2 ~ k cos α ~ez . Le même raisonnement
qu’au I.13 mène à une expression de la pression de radiation P = 2 u cos2 α.

Figure 1: Cas d’une réflexion sous l’angle d’incidence α.

I.15 Compatibilité avec les résultats théoriques obtenus précédemment (on suppose que la voile solaire est à
la même distance du Soleil que la Terre, ce que l’énoncé ne dit pas...) : la voile subit une pression de
radiation égale au maximum (en cas d’incidence normale) à 9.10−6 Pa, et donc une force maximale égale
à 173 × 9.10−6 ' 2.10−3 N, ce qui est tout à fait compatible avec la valeur donnée de 1, 12.10−3 N.

Proposé par Anne Blelly et Paul COLIN page 2 sur 8

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Compatibilité des résultats expérimentaux entre eux : estimons l’effet d’une force de 1, 12.10−3 N, en
supposant qu’elle est constante, aussi bien en norme qu’en direction et sens, pendant une durée d’un
~ ∆t
mois. La relation F~ = m d~ v
vfinal − ~vinitial = Fm
dt , intégrée, donne ~ , soit (A.N.) une variation de vitesse
d’environ 9 m.s−1 , qui correspond tout à fait à ce qui est indiqué.
q
II.1 Question classique ; v = G M r .

2
~ D2
II.2 D’après I.12, P (r) = P0 D
r 2 . Et donc (incidence normale) la force exercée sur la voile vaut F = P0 r 2 S~
er .
2
P0 D 2
II.3 Lorsque les deux forces se compensent, G mM
r2 = P0 D
r 2 S, et donc
m
S = σc = GM . Comme, par ailleurs,
GM P0 D
v02 = D (résultat du II.1 appliqué à la Terre), il vient σc = v02
.

II.4 Avec un chiffre significatif, σc ' 2.10−3 kg.m−2 . La question portant sur l’épaisseur de la voile est
surprenante car il est vraisemblable que le satellite ne soit pas constitué que de la voile : la masse m
comprend la voile, mais aussi la ”charge utile“. Si l’on considère ”bêtement“ que la masse m est celle
de la voile seule, et en supposant une masse volumique ρ pour le matériau de la voile de l’ordre de 1000
à 2000 kg.m−3 , on arrive à une épaisseur de la voile de l’ordre du micromètre. Si le satellite n’est pas
composé que de la voile, alors l’épaisseur de cette dernière est encore plus faible.

II.5 La somme des deux
forces vaut −GM m + P0 D2 S r12 ~er et dérive donc de l’énergie potentielle Ep =

−GM m + P0 D2 S 1r (la constante additive nulle permet que l’énergie
potentielle soit nulle à l’infini).
En fonction des grandeurs demandées, cela s’écrit Ep = G m M σσc − 1 1r .
On suppose bien entendu que l’incidence sur la voile est normale à tout instant, ce qui nécessiterait de
réorienter celle-ci en permanence.
On a affaire à une force centrale ; la loi des aires est satisfaite et l’on peut poser C = r2 θ̇ = cte. La force
2
est conservative et donc Emeca = 21 mṙ2 + Ep,ef f (r) = cte avec Ep,ef f (r) = Ep (r) + m2 rC2 .
Si σ = σc , les deux forces se compensent à tout instant et la trajectoire est une droite.
Si σ > σc , la force résultante est attractive ; l’allure de Ep,ef f (r) est donnée figure 2. Les trajectoires
possibles sont des coniques dont le Soleil est un foyer (branche d’hyperbole ou parabole pour les états de
diffusion, ellipse pour les états liés, cela dépend des conditions initiales).

Figure 2: Énergie potentielle effective dans le cas attractif.

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Si σ < σc , la force résultante est répulsive ; l’allure de Ep,ef f (r) est donnée figure 3. Il n’y a que des états
de diffusion et la trajectoire est une branche d’hyperbole dont le soleil est un foyer.

Figure 3: Énergie potentielle effective dans le cas répulsif.

II.6 On dispose ici des conditions initiales applicables, et donc on va pouvoir déterminer le type de trajectoire
suivie. Attention, ce que l’énoncé note r ici, c’est le
qrayon de l’orbite circulaire initiale. La vitesse du
GM
satellite sur l’orbite circulaire initiale est v(t = t0 ) = r . Pour t > t0 , l’énergie mécanique se conserve
t+ = 21 m v 2 (t = t0 ) + G m M σσc − 1 1r = G mrM σσc − 21 .



: Emeca (t > t0 ) = Emeca (t = 0)
Et donc, si σ > 2 σc , la trajectoire sera une ellipse.
Remarque : comme l’énergie mécanique a augmenté par rapport à sa valeur sur l’orbite circulaire (elle
a augmenté de la quantité positive G m M σσc 1r ), alors l’ellipse est nécessairement extérieure à l’orbite
circulaire initiale.
Si σ < 2 σc , il s’agira d’une branche d’hyperbole.
Remarque : il conviendrait toutefois de distinguer les cas σc < σ < 2 σc (la force est attractive), σ < σc
(la force est répulsive), et σ = σc (force résultante nulle et la trajectoire est en fait une droite).
Et si σ = 2 σc , ce sera une parabole.
Les différents cas sont représentés sur la figure 4.
II.7 Le module de la force de gravitation est FG = G mr2M . La force exercée par le rayonnement vaut d’après
2
I.14 : F~R = 2 u cos2 α S~n, mais c’est aussi, en utilisant le résultat de II.2, F~R = P0 D 2
r 2 cos α S~
n. On
~ σc
arrive alors, en fonction des données demandées, à FR = β FG~n, avec β = σ cos α. 2

q
II.8 On a, d’après l’énoncé, la vitesse orthoradiale qui vaut vθ ' G M r . Le moment cinétique (perpendicu-
p
laire au plan de l’orbite) vaut Lz = m r vθ ' m G M r.
Le théorème du moment cinétique, appliqué au satellite dans le référentiel héliocentrique (galiléen), par
rapport à l’axe Oz passant par le centre O du Soleil, s’écrit dL dt = −r sin α β FG (voir la figure 5) D’où
z
√
d √ GM
l’on tire dt ( r) = −β sin α r qui est l’équation d’évolution de r recherchée.
q
GM
Elle s’écrit également 21 dr
dt = −β sin α
1
r , c’est-à-dire 2 vr = −β sin α vθ .
vr vr
vθ est donc bien une constante : vθ = −2 β sin α.

Proposé par Anne Blelly et Paul COLIN page 4 sur 8

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σ
Figure 4: Orbite circulaire initiale (en bleu) et nouvelle trajectoire en fonction du rapport σc .

Figure 5: Situation une fois que la voile a été orientée pour obtenir un angle d’incidence α. Attention, sur cette
figure, l’angle α a été choisi négatif, ce qui est nécessaire pour faire passer le satellite sur une orbite plus élevée.

vr dr
II.9 vθ = K mène à r = K dθ et donc r(θ) = r(0) exp(Kθ) Il s’agit d’une spirale logarithmique : voir la
figure 6.
vr
II.10 vθ = −2 β sin α = −2 σσc cos2 α sin α. Pour que le transfert d’orbite soit le plus rapide, il faut que vr soit
la plus grande possible (tout en restant petite devant la vitesse orthoradiale), et il faut donc
maximiser
f (α) = − cos2 α sin α par rapport à α sur l’intervalle [− π2 , π2 ]. On a f 0 (α) = cos α 2 − 3 cos2 α . L’étude
des variations de f (α) surql’intervalle d’étude montre alors qu’elle possède un maximum (strictement
2
positif) pour α = − arccos 3.

Remarque : la condition | vvθr |  1 se traduit alors par 0, 8 σσc  1, ce qui nécessite en fait σc  σ.
III.1 Il convient de bien garder à l’esprit que, dans toute cette partie, le satellite est immobile dans le référentiel
d’étude.
La force de gravitation solaire vaut F~gravitation solaire = − G OA mM
2 ~er . La force centrifuge vaut, elle,
~ 2 2 G M
Fcentrifuge = m OA ω ~er . Comme, par ailleurs, ω = D3 , onpeut écrire la résultante recherchée sous la
D 3
forme F~gravitation solaire + F~centrifuge = G m M

D3 OA 1 − OA ~er .

Proposé par Anne Blelly et Paul COLIN page 5 sur 8

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Figure 6: Trajectoire obtenue : spirale logarithmique. Le cas dessiné correspond à α < 0, c’est-à-dire au cas de
la question II.10. La trajectoire circulaire initiale est en bleu.

Figure 7: Configuration étudiée dans la question III.1.

0
 
x0
Or, à l’ordre 1 en xD , y
D et D ,
z
on a OA ' D 1 + D . Et on arrive, tous calculs faits, à F~gravitation solaire +
x0
F~centrifuge = 3 G m M
D 2 D~ er .
III.2 Il suffit d’écrire que la somme des forces s’exerçant sur le satellite est nulle. La force d’inertie de Cori-
olis est nulle puisque le satellite est immobile. On a donc seulement F~gravitation solaire + F~centrifuge +
F~gravitation terrestre = ~0. Lorsque le satellite est sur l’axe Ox, ~er = +~ex (le satellite est supposé être à
proximité de la Terre) et les trois forces sont dirigées selon ±~ex .
3G m M
Si le satellite est situé entre le Soleil et la Terre, x0 < 0 et l’équation s’écrit D3 x0 + G m M⊕
x02 = 0, d’où
q
M⊕
l’on tire x0 = −D 3 3M .

Si le satellite est situé au-delà de la Terre, x0 > 0 et l’équation s’écrit 3G D

mM
3 x0 − G m M⊕
x02 = 0, d’où l’on
q
0 M⊕
tire x = D 3M .
3

q
M⊕
Les deux points sont donc placés à égale distance d = D 3 3M de la Terre, de part et d’autre de celle-ci.
M⊕
L’approximation faite à la question III.1 est tout à fait valable, compte tenu de la valeur du rapport M
: voir l’A.N. à la question III.3.
III.3 d = 10−2 D ' 2.106 km (soit environ 4 fois plus loin de la Terre que la Lune).

Proposé par Anne Blelly et Paul COLIN page 6 sur 8

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III.4 L’équilibre est réalisé si F~gravitation solaire + F~centrifuge + F~gravitation terrestre + F~R = ~0. En projection sur x,
ceci s’écrit
G m M x0 G m M⊕ −x0 GmM
3 2
+ +β cos α = 0
D D T A2 T A D2
en notant T le centre de la Terre.

Figure 8: Configuration étudiée dans la question III.4.


 σ
x0 D 3
Ceci mène à D 3− M
M
⊕
TA + σc cos3 α = 0.
σc
Le terme σ cos3 α = 0 est toujours positif (ou nul).
q
M⊕
Il nous faut alors nous intéresser au cercle de centre T de rayon d = D 3
(c’est le cercle centré sur
3M


D 3
T et passant par les points L1 et L2 ) ; si l’on est à l’intérieur de ce cercle, le terme 3 − M M
⊕
TA est
négatif
 et l’équilibre
 n’est possible que si x0 > 0. Inversement, si l’on est à l’extérieur de ce cercle, le terme
M⊕ 3
3 − M TDA est positif et l’équilibre n’est possible que si x0 < 0. Ces résultats sont représentés sur

la figure 9.

Figure 9: Les régions de l’espace où l’équilibre est en principe possible avec une voile solaire sont hachurées en
vert.

δ δ+D D R⊕
III.5 On a directement (voir figure 10) R⊕ = R ' R , donc δ ' R D.

Figure 10: Cône d’ombre de la Terre.

Proposé par Anne Blelly et Paul COLIN page 7 sur 8

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III.6 A.N. : δ ' 1.106 km. On peut noter que le point L2 est au-delà de cette distance.
III.7 On élimine dans le schéma du III.4 les régions contenues dans le cône d’ombre de la Terre. On obtient la
figure 11

Figure 11: Les régions de l’espace où l’équilibre est en principe possible avec une voile solaire, en tenant compte
de l’ombre de la Terre, sont hachurées en vert.

Proposé par Anne Blelly et Paul COLIN page 8 sur 8