Cours Matrices Et Systemes Ecounomie
Cours Matrices Et Systemes Ecounomie
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Chapitre6 :MATRICES ET
les systèmes
« L’homme est un cerveau, la femme est une matrice. » Jules
Michelet, 1849
Le mot « matrice » vient du latin « mater » (mère). Comme on
enregistrait les enfants à la naissance dans des registres, le mot
désigna ces registres. Cela explique les mots « matricule » ou
« immatriculation ».
Avec les mathématiciens Augustin Louis Cauchy (ci-contre) et
Arthur Cayley, vers 1845, le mot prend naturellement le sens
mathématique qu’on lui connaît aujourd’hui.
I. Matrices- Colonne :
1. Définition :
soient a b c et d des nombres réels
Les tableaux
𝑎
𝑎
𝑎 𝑏
; 𝑏 𝑒𝑡
𝑏 𝑐
𝑐
𝑑
Sont appelés les matrices -colonnes ( les réels sont placés verticalement
2. Exemple :
Les notes obtenues par kAMAL au premier semestre en mathématique sous forme d’une
matrice colonne
*somme :
2. Exemple 01:
3. Exemple 01:
Exemple :
2 3 5 −3 2 + 5 3 − 3 7 0
A= et B = alors C = A + B = =
4 −1 −3 10 4 − 3 −1 + 10 1 9
3
Remarque :
Cette définition montre qu'il n'est possible d'additionner que des matrices de même
taille.
2) Produit d'une matrice par un réel
Exemple :
−2 5,5 2 ( −2 ) 2 5,5 −4 11
A= alors B = 2 A = =
2 −4 2 2 2 ( −4 ) 4 −8
3) Produit d'une matrice carrée par une matrice colonne
Définition : Soit A une matrice carrée de taille n et B une matrice colonne à n lignes
telles que :
a11 a12 ... a1n b1
a21 a22 ... a2 n b
A= et B = 2
... ... ... ... ...
an1 an 2 ... ann bn
Exemple :
2 5 3 2 3 + 5 4 26
A= et B = alors A B = =
−3 1 4 −3 3 + 1 4 −5
Exemple :
−2 3 3 −3
A= et B = alors :
1 2 4 1
4
−2 3 3 −3 −2 3 + 3 4 −2 ( −3) + 3 1 6 9
A B = = =
1 2 4 1 1 3 + 2 4 1 ( −3) + 2 1 11 −1
et
3 −3 −2 3 3 ( −2 ) + ( −3) 1 3 3 + ( −3) 2 −9 3
B A = = =
4 1 1 2 4 ( −2 ) + 11 4 3 + 1 2 −7 14
Remarque :
La multiplication de matrices n'est pas commutative : A B B A
IV. Matrice inverse
1) Matrice unité
2c 2d 1 0
Donc : =
a + 2c b + 2d 0 1
1
c = 1
2c = 1 2 c =
2
2d = 0 d = 0
Et donc : d = 0
a + 2c = 0 a + 2 1 = 0 a = −1
b + 2d = 1 2
b + 2 0 = 1 b = 1
−1 1
D'où C = 1
−1 .
0
2
Démonstration :
A x M = N A-1 x (A x M) = A-1 x N
Comme A-1 x (A x M) = (A-1 x A) x M = In x M = M, on a :
M = A-1 x N
1 2 −1
Déterminer la matrice colonne X vérifiant AX = X + B avec A = et B = .
1 3 2
- On a : AX = X + B
AX − X = B
( A − I2 ) X = B
Ainsi, on a : X = C −1 B .
−1 1 −1 ( −1) + 1 2 3
- Ainsi, X = 1 −1 = =
1 1
0 2 ( −1) + 0 2 −
2 2 2
IV. Ecriture matricielle d'un système linéaire
5x + 2 y = 16
Exemple : On considère le système (S) suivant :
4x + 3y = 17
5 2 x 16
On pose : A = , X = et B = .
4 3 y 17
5x + 2 y
On a alors : A X = et ainsi, le système peut s'écrire A X = B .
4x + 3y
Propriété : Soit A une matrice carrée inversible de taille n et B une matrice colonne à n
lignes.
Alors le système linéaire d'écriture matricielle A X = B admet une unique solution
donnée par la matrice colonne A−1 B .
Démonstration :
A X = B alors X = A−1 B .
Remarque :
Dans le contexte de la propriété précédente, si A n'est pas inversible alors le système
correspondant possède une infinité de solutions ou aucune solution.