Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

1/17
 EXERCICE 1
Soit n un entier naturel non nul.
On note E = R2n [X] l’espace vectoriel des polynômes de degrés inférieurs ou égaux à 2n. Pour tout
k ∈ ~0, 2n, on note ek = X k et B = (e0 , ..., e2n ) la base canoniqueZde E.
1
Pour tout couple de polynômes (P, Q) de E 2 , on pose (P|Q) = P(t) Q(t) dt et on rappelle que l’on
−1
définit ainsi un produit scalaire sur E.
Soit L l’application définie sur E par :
Z 1
∀ P ∈ E, L(P) = P(t) dt.
−1

1. Montrer que L est une forme linéaire sur E.

2. Déterminer L(ek ) pour tout k ∈ ~0, 2n.
3. Déterminer la dimension de Ker(L).
4. Prouver qu’il existe une base U , que l’on ne cherchera pas à expliciter, de Ker(L), dont le premier
vecteur est e1 .
5. Montrer que :
i) Vect(e0 ) et Ker(L) sont deux sous-espaces orthogonaux,
ii) E = Vect(e0 ) ⊕ Ker(L).
6. Soit λ un réel. On considère l’application T λ définie sur E par :

∀ P ∈ E, T λ (P) = P + λ L(P) X.

6.1. Vérifier que T λ est un endomorphisme de E.

6.2. Soit P ∈ E. Calculer (L ◦ T λ ) (P).
6.3. Déterminer la matrice de T λ dans une base de E adaptée à la décomposition obtenue aux
questions 4. et 5.
6.4. Déterminer les valeurs propres de T λ .
6.5. L’endomorphisme T λ est-il diagonalisable ?
6.6. Justifier que T λ est un automorphisme de E.
6.7. Pour tous réels α et β, préciser T α ◦ T β .
6.8. Déterminer T λ−1 .

EXERCICE 2
On considère une variable aléatoire X définie sur l’espace probabilisé (Ω, P(Ω), P) et qui suit la loi de
Poisson de paramètre λ > 0.
1. Questions de cours
1.1. Rappeler sans démonstration la loi de X, son espérance et sa variance.

2/17
 1.2. Écrire les développements en séries entières des fonctions sh et ch ainsi que leurs domaines
de validité.
1.3. Soient X1 et X2 deux variables aléatoires discrètes sur Ω.
Rappeler la définition de « X1 et X2 sont indépendantes ».
2. Soit Y une variable aléatoire définie sur le même espace probabilisé que X et définie par :

Y = 0 si X est paire et Y = 1 si X est impaire.

2.1. Exprimer les événements {Y = 0} et {Y = 1} à l’aide d’événements {X = j} où j ∈ N.

2.2. En déduire la loi de Y et son espérance.
On donnera les résultats en utilisant les fonctions exp, sh, et ch.
3. Soit Z une variable aléatoire définie sur le même espace probabilisé que X, indépendante de X et
telle que :
1
Z(Ω) = {1, 2}, avec P(Z = 1) = P(Z = 2) = .
2
On pose T = XZ.
3.1. Préciser T (Ω).
3.2. Soit k un entier naturel.
En utilisant le système complet d’événements ({Z = 1}, {Z = 2}), exprimer la probabilité P (T = k)
à l’aide de probabilités d’événements {X = j} et {2X = j} où j ∈ N.
3.3. Déterminer la loi de T .
3.4. Quelle est la probabilité que T prenne des valeurs paires ?
On donnera le résultat en utilisant les fonctions exp, sh, et ch.

EXERCICE 3
Question de cours

1. Soit x un réel positif. Comparer x et x2 .

*****

Soit α ∈]0, 1[.

sin (nα )
On se propose d’étudier la série de terme général an = , n > 1.
n
sin (tα )
2. On pose pour tout t > 1, ϕ(t) = .
t
2.1. Justifier que la fonction t 7→ sin(tα ) est dérivable sur [1, +∞[ et déterminer sa dérivée.
2.2. Justifier que ϕ est dérivable sur [1, +∞[ et déterminer ϕ0 .
1 + α tα
2.3. Montrer que l’on a : ∀t ∈ [1, +∞[, |ϕ0 (t)| 6 .
t2

3/17
 2.4. En déduire que pour tout entier n > 1 :
α
!
1
∀t ∈ [n, n + 1], |ϕ(t) − ϕ(n)| 6 2 + 2−α |t − n|.
n n
Z n+1
3. On pose, pour tout n > 1 : un = ϕ(t) dt.
n
1 α
Prouver que l’on a : ∀ n > 1, |un − an | 6 2 + 2−α .
Z +∞ n n
sin(t)
4. Convergence de l’intégrale dt
1 t
cos(t)
4.1. Démontrer que t 7→ 2 est intégrable sur [1, +∞[.
t Z +∞
sin(t)
4.2. À l’aide d’une intégration par parties, démontrer alors que dt converge.
1 t
Z +∞
sin (tα )
5. Démontrer, à l’aide d’un changement de variable, que l’intégrale dt converge.
1 t
6. En déduire que la série de terme général un converge.
7. Prouver que la série de terme général un − an converge absolument.
X
8. Déduire des questions précédentes que la série an converge.
n>1
X
9. On suppose que la série |an | est convergente.
n>1
X sin2 (nα )
9.1. Montrer qu’alors la série est convergente.
n>1
n
On pourra utiliser la question de cours.
Z +∞
cos(2x)
9.2. Prouver que l’intégrale dx converge.
1 x
On procédera comme à la question 4.2.
X cos(2 nα )
9.3. On admet alors, en procédant comme précédemment, que la série est conver-
n>1
n
gente. X
Conclure sur la nature de la série an .
n>1
On pourra utiliser la formule de duplication : cos(2θ) = 1 − 2 sin2 (θ).

EXERCICE 4
Soit E = R[X] l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels.
1. Soient P et Q deux éléments de E.
X p Xq
On note : P = ak X et Q =
k
bk X k , où a p , 0 et bq , 0.
k=0 X k=0
−n
Prouver que la série 2 P(n) Q(n) est absolument convergente.
n>0

4/17
 +∞
X
2. On pose pour tous P et Q dans E : (P|Q) = 2−n P(n) Q(n).
n=0

2.1. Montrer que : (S |S ) = 0 ⇐⇒ S est le polynôme nul.

2.2. Démontrer alors que l’on définit ainsi un produit scalaire sur E.
3. Quelques calculs de sommes
+∞
X
3.1. Rappeler l’ensemble de définition de la fonction f : t 7→ tn et sa somme.
n=0
X
3.2. Justifier que la série e−nx converge pour x ∈ R∗+ .
n>0
+∞
X
3.3. Exprimer g : x 7→ e−nx à l’aide de la fonction f et en déduire que g est de classe C ∞ sur
n=0
R∗+ .
3.4. Soit x > 0. Exprimer à l’aide des fonctions usuelles, g(x), g0 (x) et g00 (x).
+∞
X
3.5. Soit α un entier naturel, on pose S α = nα 2−n .
n=0
Calculer S 0 , S 1 et S 2 .
On pourra utiliser les questions précédentes avec une valeur de x bien choisie.
On admettra que S 3 = 26 et S 4 = 150.
4. On cherche à calculer la distance du vecteur X 2 au sous-espace vectoriel R1 [X] dans E muni du
produit scalaire défini dans la question 2.
4.1. Déterminer les réels a et b tels que X 2 − aX − b soit orthogonal à 1 et à X.
 +∞ 

X −n 2 
,
 2

2
4.2. Prouver que l’ensemble   2 (n − cn − d) (c, d) ∈ R 
 possède un minimum.
 
n=0
4.3. En déduire la distance recherchée.

FIN DU SUJET

ÉLÉMENTS DE CORRECTION

EXERCICE 1
5. Déjà, Im(L) ⊂ R. De plus, L est linéaire par linéarité de l’intégrale. Donc L est bien une forme
linéaire sur E.
6. Soit k ∈ ~0, 2n.

5/17
 Z 1
L(ek ) = tk dt
−1
1
= (1 − (−1)k+1 )
k+1

0 si k est impair


donc L(ek ) = 

2

 si k est pair
k+1

7. Comme L(e0 ) , 0, L est une forme linéaire non nulle. Donc Ker(L) est un hyperplan de E qui est
de dimension 2n + 1. Donc dim(Ker(L)) = 2n.
8. D’une part, le vecteur e1 est bien dans Ker(L) car 1 est impair. De plus, e1 est un vecteur non nul,
donc forme une famille libre de Ker(L) qui est de dimension finie. D’après le théorème de la base
incomplète, on peut compléter la famille (e1 ) en une base U de Ker(L).
9. i) Soit P ∈Ker(L) : Z 1
(e0 |P) = P(t)dt = L(P) = 0
−1
donc Vect(e0 ) et Ker(L) sont orthogonaux.
ii) Comme ces deux sous-espaces sont orthogonaux, ils sont en somme directe. Or, dim(Vect(e0 )) +
dim( Ker(L)) = 1 + 2n = dim(E), donc E = Vect(e0 ) ⊕ Ker(L).
10. Soit λ un réel. On considère l’application T λ définie sur E par :

∀ P ∈ E, T λ (P) = P + λ L(P) X

10.1. Soient P, Q ∈ E et µ ∈ R :

T λ (µP + Q) = (µP + Q) + λ L(µP + Q) X = µ(P + λ L(P) X) + Q + λ L(Q) X

par linéarité de L. Donc T λ est linéaire.

Puis, pour tout P ∈ E, deg(T λ (P)) 6 max(deg(P), 1) 6 2n, car n , 0. Donc T λ est bien un
endomorphisme de E.
10.2. Soit P ∈ E.
(L ◦ T λ ) (P) = L(P + λ L(P) X) = L(P)(1 + λ L(X)) = L(P).
car X ∈Ker(L).
10.3. Notons M la matrice de taille 2n + 1 demandée :
 
 1 0 · · · · · · 0
2λ 1 . . .
 .. 
. 
M =  0 0 . . . . . . .. 

. 
 .. ..
 
 . . 1 0
0 ··· ··· 0 1


10.4. La matrice M étant triangulaire inférieure, ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux.
Donc la seule valeur propre de T λ est 1.

6/17
 10.5. Si T λ était diagonalisable, M serait semblable à l’identité. Or, la seule matrice semblable à
l’identité est elle-même. Donc T λ est diagonalisable si et seulement si λ = 0.
10.6. La matrice M est de déterminant 1 donc inversible, donc T λ est un automorphisme de E.
10.7. Soit α et β deux réels, et P ∈ E.
T α ◦ T β (P) = T β (P) + α L(T β (P)) X = P + (β + α) L(P) X

10.8. Avec la question précédente, on remarque que T −λ ◦ T λ = IdE . Donc T λ−1 = T −λ .

EXERCICE 2
e−λ λk
1. 1.1. On a X(Ω) = N et pour tout k ∈ N, P(X = k) = . On sait que E(X) = V(X) = λ
k!
+∞ +∞
X x2n+1 X x2n
1.2. Pour tout x ∈ R, on a sh(x) = et ch(x) =
n=0
(2n + 1)! n=0
(2n)!
1.3. Deux variables aléatoires sont dites indépendantes pour tout (x, y) ∈ X1 (Ω) × X2 (Ω) on a
P ((X1 = x) ∩ (X2 = y)) = P(X1 = x)P(X2 = y). On peut aussi dire ∀(A, B) ∈ P(X1 (Ω)) ×
P(X2 (Ω)), P ((X1 ∈ A) ∩ (X2 ∈ B)) = P(X2 ∈ A)P(X2 ∈ B)
+∞
[ +∞
[
2. 2.1. On a Y(Ω) = {0, 1} et on a : [Y = 0] = [X = 2k] et [Y = 1] = [X = 2k + 1].
k=0 k=0
2.2. De la question précédente, on déduit :
+∞ +∞
X X λ2k 1 + e−2λ
P(Y = 0) = P(X = 2k) = e−λ = = e−λ ch(λ).
k=0 k=0
(2k) ! 2

1 − e−2λ
De même, P(Y = 1) = = e−λ sh(λ). On reconnaît une loi de Bernoulli, on a donc
2
E(Y) = e−λ sh(λ).
3. Étude de la variable aléatoire T .
3.1. On a T (Ω) = N.
3.2. On sait que les évènements [Z = 1], [Z = 2] forment un système complet d’évènements.
Ainsi :
P(T = k) = P([Z = 1] ∩ [T = k]) + P([Z = 2] ∩ [T = k])
1
= P([Z = 1] ∩ [X = k]) + P([Z = 2] ∩ [2X = k]) = (P(X = k) + P(2X = k))
2
par indépendance.
3.3. De la question précédente, on déduit :
1 −λ λ2p λp
" #
1
• Si k = 2p, alors P(T = 2p) = (P(X = 2p) + P(X = p)) = e +
2 2 (2p) ! (p) !
1 1
• Si k = 2p + 1, alors P(T = 2p + 1) = P(X = 2p + 1) + P(2X = 2p + 1) =
2 2
λ2p+1
" #
1 −λ
e
2 (2p + 1) !

7/17
 +∞
[
3.4. L’évènement A = [”T prend des valeurs paires”] s’écrit : [T = 2k].
k=0
On a donc (réunion d’évènements incompatibles) :
 +∞  +∞ +∞ +∞
[  X 1 −λ X λ2k 1 −λ X λk
P(A) = P  [T = 2k] =
  P(T = 2k) = e + e =
k=0 k=0
2 k=0
(2k) ! 2 k=0
(k) !
1 −2λ 3 1 −λ 
e + = e ch(λ) + eλ .

4 4 2

EXERCICE 3
Soit α ∈]0, 1[.
sin nα
On se propose d’étudier la série de terme générique an = ,n>1
n
1. Soit x ∈ R+ , alors 
2
 x ≤ x si x ∈ [0, 1]


 x ≤ x2 si x ≥ 1



sin tα
2. On pose pour tout t > 1, ϕ(t) = .
t
2.1. La fonction t 7→ sin (tα ) est dérivable en tant que composée de fonctions dérivables sa dérivée
sur [1, +∞[ est t 7→ αtα−1 cos (tα ).
2.2. ϕ est dérivable en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule
1 cos(tα )
pas. Pour tout t > 1, on a ϕ0 (t) = − 2 sin(tα ) + α 2−α .
t t
1 α
2.3. Par inégalité triangulaire, pour tout t > 1, |ϕ0 (t)| 6 2 + 2−α .
t t
2.4. Soit n > 1 et soit t ∈ [n, n + 1]. On applique le théorème des accroissement finis entre t et n : Il
existe t0 ∈ [n, n + 1] tel que |ϕ(t) − ϕ(n)| = |ϕ0 (t0 )| × |t − n|. Or, d’après la question précédente,
1 + αt0α 1 α 1 α
0
on a |ϕ (t0 )| ≤ 2
= 2 + 2−α ≤ 2 + 2−α car 2 − α > 0.
t0 t0 t0 n n
Z n+1
3. On pose, pour tout n > 1 : un = ϕ(t) dt.
n
Z n+1
On a pour tout n : un − an = ϕ(t) − ϕ(n) dt
 
n
et donc, par inégalité triangulaire et d’après la question précédente :

α α
Z n+1 !
1 1
|un − an | 6 (t − n) 2 + 2−α dt 6 2 + 2−α
n n n n n

cos(t) cos(t) 1
4. 4.1. La fonction t 7→ est intégrable sur [1, +∞[ puisque 6 .
t2 t2 t2

8/17
 " #X
sin(t) cos(t)
4.2. La fonction t 7→ est continue sur [1, +∞[. Soit X ∈ [1, +∞[. Le crochet − ad-
t Z +∞ t 1
sin(t)
met une limite finie lorsque X tend vers +∞. On en déduit que les intégrales dt et
Z +∞ Z X 1 t
cos(t) cos(t)
2
dt ont même nature. Comme l’intégrale dt converge, d’après la ques-
1 t 1 t2
sin(t)
tion précédente, la fonction t 7→ est bien intégrable.
t
On peut aussi écrire : Soit X ∈ [1, +∞[.
Z X " #X Z X
sin(t) cos(t) cos(t)
Par une intégration par parties, dt = − − dt.
1 t t 1 1 t2
Le crochet possède une limite finie lorsque X tend vers l’infini. Il en résulte que l’intégrale
Z +∞
sin(t)
dt converge.
1 t
5. En effectuant Z le changement de variable u = tα (qui est C 1 et strictement croissant car α > 0)
+∞ +∞
sin(tα )
Z
1 sin(u)
les intégrales dt et du ont même nature. On en déduit que l’intégrale
Z +∞ 1 t α 1 u
sin(tα )
dt converge.
1 t
X X n Z n+1 Z +∞
6. La série un converge puisque sa somme partielle uk = ϕ(t)dt et que l’intégrale ϕ(t)dt
n>1 k=1 1 1
converge.
X
7. D’après la question 3., la série (un − an ) converge absolument car 2 − α > 1.
X X n>1 X
8. Comme les séries un et (un − an ) convergent, la série an converge en tant que différence
n>1
de deux séries convergentes.
X
9. On suppose que la série |an | est convergente.
n>1
sin2 (nα ) | sin(nα )| X sin2 (nα )
9.1. Puisque l’on a : 0 6 6 et d’après ce que l’on a supposé, la série
n n n>1
n
est convergente par le théorème de comparaison des séries à termes positifs.
9.2. Soit X ∈ [1, +∞[, par une intégration par parties, on a
Z X " #X Z X
cos(2x) sin(2x) sin(2x)
dx = + dx
1 x 2x 1 1 2x2
Comme le crochet admet une ! limite finie, on en déduit que les deux intégralesZsont de même
+∞
sin(2x) 1 cos(2x)
nature. Or 2
= o 2 donc l’intégrale est convergente. On en déduit que dx
2x x 1 x
est convergente.
sin2 (nα ) 1 cos(2 nα ) X1
9.3. En utilisant alors la formule : = − on obtient que la série est
n 2n 2n n>1
n
convergente, ce qui est faux.

9/17
 X
Conclusion : la série an n’est pas absolument convergente
n>1
.

EXERCICE 4
Soit E = R[X] l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels.
1. Soient P et Q deux éléments de E.
Xp X q
On note : P = ak X et Q =
k
bk X k , où a p , 0 et bq , 0.
k=0 k=0
!
1
−n
On a |P(n)Q(n)2 | ∼ |a p bq |n p+q −n
2 et |a p bq |n p+q −n
2 = o 2 , la série est donc absolument conver-
n
gente.
+∞
X
2. On pose pour tous P et Q dans E : (P|Q) = 2−n P(n) Q(n).
n=0

+∞
X
2.1. L’implication ⇐ est claire. Soit S tel que (S |S ) = 0, alors S (n)2 2−n = 0. La suite des
X n=0
2 −n
sommes partielles de la série S (n) 2 est croissante, positive et de limite nulle, elle est
n≥0
donc nulle. On en déduit que pour tout n ∈ N, S (n)2 2−n = 0 ce qui implique S (n) = 0. Le
polynôme S admet une infinité de racines, il est donc nul.
2.2. L’application (P, Q) 7→ (P|Q) est symétrique, linéaire par rapport à la première coordonnée
donc bilinéaire. X
Pour tout S ∈ E, S (n)2 2−n est une série convergente à termes positifs, sa somme est donc
n≥0
positive. On a montré à la question précédente, que la forme était, de plus, définie positive.
On définit donc bien un produit scalaire sur E.
1
3. 3.1. La fonction f est définie sur ] − 1, 1[ et sa somme vaut t 7→ .
1−t
3.2. Soit x ∈ R, on écrit e−nx = e−x n , la série est donc convergente lorsque e−x appartient à ]−1, 1[


c’est-à-dire sur R?+ .
+∞
X
e−nx . Soit x ∈ R∗+ , on écrit e−nx = e−x n , on a alors


3.3. Soit g la fonction définie par x 7→
n=0
g(x) = f (e−x ). La fonction f est C ∞ à l’intérieur de son intervalle ouvert de convergence et
pour tout x > 0, on a e−x ∈] − 1, 1[, g est donc C ∞ sur R∗+ par composition.
1 e−x e−x + e−2x
3.4. Soit x > 0. On a g(x) = donc g 0
(x) = − et g 00
(x) = .
1 − e−x (1 − e−x )2 (1 − e−x )3
ex −e x e2x + e x
On peut aussi écrire g(x) = x , on a alors g0 (x) = x puis g 00
(x) = .
e −1 (e − 1)2 (e x − 1)3

10/17
 +∞
X
3.5. Soit α un entier naturel, on pose S α = nα 2−n .
n=0
On remarque que S 0 = g(ln 2), S 1 = −g0 (ln 2) et S 2 = g00 (ln 2). En utilisant les expressions
trouvées à la question précédente, on obtient S 0 = 2, S 1 = 2 et S 2 = 6.
! ! !
1 1 0 1 1 1
On peut aussi utiliser f . On a S 0 = f , S1 = f et S 2 = f ” + 2 = 6.
2 2 2 4 2
On admettra que S 3 = 26 et S 4 = 150.
4. On cherche à calculer la distance du vecteur X 2 au sous-espace vectoriel R1 [X] dans E muni du
produit scalaire défini dans la question 2.
4.1. On a  +∞
X n2 − an − b
=0





 2n
(X − aX − b|1) = 0 = (X − aX − b, X) ⇔ 
2 2

 n=0
+∞ 3
X n − an2 − bn
=0






 2 n
 n=0
2a + 2b = 6


⇔
6a + 2b = 26


a = 5


⇔
b = −2


X 2 − 5X + 2 est donc orthogonal à 1 et à X.

 +∞ 

X −n 2 
 n 2 o
, = ,
 2 2 2
4.2. L’ensemble  2 (n − cn − d) (c, d) ∈ R 
 ||X − P|| P ∈ R1 [X] possède un mini-
 
n=0
mum car R1 [X] est de dimension finie et ce minimum est le carré de la distance de X 2 à R1 [X].
Il est réalisé en le projeté orthogonal de X 2 sur R1 [X]. Or, on a vu à la question précédente
que le projeté orthogonal de X 2 sur R1 [X] est 5X − 2, on a donc
 +∞ 
 X 
, = ||X 2 − 5X + 2||2
 −n 2 2

2
min  2 (n − cn − d) (c, d) ∈

 R 

 
n=0

4.3. D’après Pythagore, on a

||X 2 − 5X + 2||2 + ||5X − 2||2 = ||X 2 ||2

On a donc

||X 2 − 5X + 2||2 = ||X 2 ||2 − ||5X − 2||2 = S 4 − (25S 2 − 20S 1 + 4S 0 ) = 150 − 150 + 40 − 8 = 32
√
La distance recherchée est 4 2.

*****

11/17
 COMMENTAIRES

• Commentaires généraux
Tout d’abord, comme l’an dernier, les mêmes remarques générales :
- Les correcteurs ont signalé à de nombreuses reprises un nombre important de copies mal ordonnées,
mal présentées, trop lourdement raturées (la rédaction de la copie ne doit pas occasionner un jeu de piste
pour l’examinateur) : les étudiants doivent s’appliquer à présenter une copie claire et propre. Les
résultats doivent être clairement mis en évidence.
Nous nous interrogeons d’ailleurs sur l’opportunité de mettre des points de présentation.
Il semble que les recherches au brouillon ne sont pas dans la panoplie des méthodes à utiliser pour la
réalisation de la composition.
- Trop de candidats utilisent des abréviations utilisées par leurs professeurs mais qui n’ont pas toujours
de sens pour le correcteur : il vaut mieux les éviter.
- De même, il est préférable de ne pas écorcher le nom et l’orthographe des théorèmes cités : on voit par
exemple trop souvent le « le théorème spectrale », « la loi de poisson » etc.
- Il est rappelé que les copies doivent être correctement numérotées, dans un ordre cohérent.
Dans plusieurs copies les questions ne sont pas traitées dans l’ordre : il n’est pas rare de voir en fin de
copie ou en fin de feuille double, des réponses à des questions ébauchées plus haut ou qui avaient été
passées.
Parfois, on obtient des réponses à des questions d’un exercice au cours de la résolution d’un autre exer-
cice !
La double numérotation est assez souvent omise : au lieu de la question 2.4., on lit question 4., puis vient
la question 3..
- Notons que nous avons de nouveau rencontré cette année des copies quasiment illisibles et donc lour-
dement pénalisées.
- Signalons aussi que l’orthographe fantaisiste donne une très mauvaise impression à la lecture de la
copie.
- Il semble judicieux d’éviter d’utiliser des expressions telles que « il est trivial que », « par une récurrence
immédiate », « il est clair que » « forcément » etc... qui indisposent le correcteur : toute proposition
énoncée dans une copie se doit d’être démontrée.
- De la même façon, les examinateurs ne goûtent guère des arguments inventés ou fallacieux pour arriver à
toute force au résultat annoncé dans l’énoncé : la donnée d’un tel résultat permet en général de poursuivre
la résolution de l’exercice sans avoir pu le démontrer : nous apprécions le candidat qui admet clairement
le résultat en question pour continuer.
- Il ne suffit pas d’écrire « je peux utiliser le théorème car ses hypothèses sont vérifiées »... , encore faut-il
les vérifier !
- Cette année, nous avons avons particulièrement remarqué :
* un mauvais usage des parenthèses Z : 1
-> dans les calculs d’intégrales : λP(t) + Q(t) dt,
−1
+∞
X
-> dans les sommes : un + an ,
n=0

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-> dans les factorielles : 2n! au lieu de (2n)! etc.
* la fréquente absence des éléments différentiels dans les intégrales,
* l’utilisation de symboles mathématiques comme des abréviations (par exemple : Ker(L) =⇒ L(P) = 0E )
- La distinction entre « fonction » et « image d’un réel par une fonction » n’est pas souvent faite : très
souvent on rencontre des expressions du type « sin(tα ) est dérivable et sa dérivée vaut ... »
- Nous conseillons fortement aux candidats de prendre le temps de se relire car cela permet souvent
d’éviter des erreurs basiques : par exemple, dans un développement limité, les deux termes de l’égalité
ne tendent pas vers la même limite, etc...
- Enfin, un exemple même s’il permet souvent d’aider dans la perception du problème, ne permet pas de
démontrer un résultat général.
Les quatre exercices constituant le sujet permettaient de parcourir les parties les plus classiques du pro-
gramme de deuxième année de classe préparatoire PC.
- Rappelons qu’une lecture attentive de la totalité du sujet permet souvent de comprendre l’architecture
et la démarche proposée dans chaque exercice.
- Un trop grand nombre d’étudiants ne maîtrise pas les notions de base d’algèbre linéaire, même de
première année, ainsi que les théorèmes principaux d’analyse du programme de deuxième année de PC
et espèrent cependant venir à bout des questions posées en utilisant des recettes toutes faites bien souvent
mal comprises.
En exemple, le Théorème du rang appliqué à une matrice A de Mn (R) prend parfois des formes étranges :
dim(Mn (R)) = dim(Ker(A)+ dim(Im(A)) ou encore, dim(A) = dim(Ker(A)+ dim(Im(A)) !
- Nous constatons de nouveau une très grande maladresse dans les calculs (parfois très simples) qui sont
trop rapidement abandonnés :
* Les opérations sur les puissances posent encore beaucoup de problème à nombre de candidats.
* On trouve encore trop d’équivalents à 0...
- Les quantificateurs, les symboles =⇒, ⇐⇒ sont trop souvent malmenés, voire oubliés lorsqu’ils sont
fondamentaux.
- Rappelons que lorsqu’il y a plusieurs variables qui interviennent, il est judicieux de préciser pour quelle
variable on cherche un équivalent : une écriture du style t p(n+1) ∼ ... ne veut pas dire grand chose.
+∞
- Reste à signaler que les probabilités génèrent un refus de beaucoup de candidats : près de 30% des
candidats n’abordent pas cet exercice : rappelons que nous posons systématiquement un exercice de
probabilité.

Conclusion : Nous souhaitons obtenir dans la résolution des exercices proposés de la rigueur, une
rédaction claire et lisible et une justification des résultats en utilisant à bon escient le cours : ainsi,
nous encourageons les candidats à rédiger le plus proprement, correctement et rigoureusement possible
leurs copies, en détaillant clairement les calculs effectués et les théorèmes utilisés à chaque étape de la
résolution, sans forcément chercher à tout traiter de façon superficielle.
Nous rappelons enfin qu’il vaut mieux admettre clairement le résultat d’une question et avancer
dans la résolution du reste de l’exercice plutôt que de donner des arguments faux qui indisposent
nécessairement le correcteur.
Nous proposons chaque année dans ce rapport une correction du sujet et invitons vivement les can-
didats à l’étudier attentivement.

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• Commentaires par exercices
Nous avons compilé un certain nombres d’erreurs constatées sur les copies qu’il nous semble important
de signaler dans ce rapport afin d’espérer ne plus les rencontrer l’an prochain.

• Exercice 1.

Thème de l’exercice : Étude d’une forme linéaire L sur R2n [X] puis d’un endomorphisme utilisant L sur
cet espace.

- Q1. : La justification de « forme » est quasiment toujours omise.

- Q2. : Le calcul de L(ek ), n’est pas toujours abouti : les cas k pair et k impair ne sont pas traités.
- Q3. : Beaucoup d’étudiants oublient qu’ils manipulent une forme linéaire ce qui les amène à effec-
tuer des calculs longs et fastidieux qui n’aboutissent pas. On voit souvent, pour ceux qui utilisent
le théorème du rang, que dim(R2n [X]) = 2n.
Le fait que la forme linéaire est non nulle est quasiment toujours oublié.
- Q4. : Le théorème de la base incomplète est rarement cité.
Il semble qu’il n’y ait dans Ker(L) que des vecteurs de la base canonique !
- Q5. : Il y a souvent une confusion entre « complémentaire » et « supplémentaire », ce qui amène
un candidat à penser qu’il y a une erreur dans l’énoncé puisque le vecteur e2 n’est ni dans Vect(e0 ),
ni dans Ker(L) et donc, on ne peut avoir Vect(e0 )⊕ Ker(L) = E.
Pour montrer que Vect(e0 ) et Ker(L) Z sont orthogonaux, certains étudiants tentent d’effectuer le
1
produit scalaire (Vect(e0 )|Ker(L)) = Vect(e0 ) Ker(L) dt = 0 puisque Vect(e0 ) = 0 !
−1
Enfin pour montrer que les sous-espaces Vect(e0 ) et Ker(L) sont en somme directe, un nombre non
négligeable de candidats tente d’établir que Vect(e0 )∩ Ker(L) = ∅
- Q6.1. : La partie « stabilité » est souvent escamotée ou simplement énoncée sans justification.
Il semble y avoir dans l’esprit de certains une confusion entre dimension et degré : deg(T λ (P) 6
2n + 1 = dim(E).
- Q6.2. : Il reste souvent un terme résiduel L2 (P) dont l’étudiant ne sait que faire.
- Q6.3. : La matrice, lorsqu’elle est proposée sans calculs justificatifs est souvent incorrecte : rappe-
lons que tout résultat énoncé dans la copie se doit d’être justifié.
On trouve aussi parfois des vecteurs e j dans la matrice.
- Q6.4. : Bien traitée pour ceux qui ont la bonne matrice.
- Q6.5. : Traitée par très peu de candidats. L’argument : « la matrice de T λ n’est pas l’identité » est
très rarement évoqué.
- Q7. et Q8. : très rarement abordées.

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• Exercice 2.

Thème de l’exercice : Exercice de probabilité à partir d’une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson.

- Q1.1. : X(Ω) est régulièrement oublié et dans P(X = k) on constate souvent l’oubli d’un ou plusieurs
facteurs.
- Q1.2. : Parmi les fautes les plus courantes : présence d’un (−1)k , oubli des factorielles, interversion
entre sh et ch, domaine égal à ] − 1, 1[,...
- Q1.3. : L’indépendance de deux variables aléatoires discrètes semble très mystérieuse pour beau-
coup : « lorsqu’elles ne dépendent pas l’une de l’autre ».
Cette question de cours que nous pensions facile n’a pas permis aux étudiants de rapporter des
points.
- Q2.1. : Les réunions sont quasiment toujours absentes. Par exemple, (X pair) se traduit par X = 2k,
avec k ∈ N∗ , sans même un quelconque quantificateur.
- Q2.2. : Parmi les étudiants qui effectuent correctement les calculs, Y(Ω) est rarement rappelé.
- Q3.1. : Le produit des supports est parfois écrit, sans simplification.
- Q3.2. : Souvent l’évènement (T = k) est exprimé à l’aide d’évènements (X = j) et (2X = j) sans
expliciter de lien entre k et j.
- Q3.3. : Les cas pairs et impairs ne sont pas toujours distingués.
- Q3.4. : Confusion entre P(T prend des valeurs paires) et P(T = 2k).

• Exercice 3.

Thème de l’exercice : Étude de la convergence simple et absolue d’une série dépendant d’un paramètre.

- Q1. : Résultats décevants pour cette question : les cas x ∈ [0, 1] et x > 1 ne sont pas toujours
distingués.
Une figure permettait de voir efficacement ce qui se passait.
- Q2.1. et Q2.2. : La continuité voire la continuité par morceaux sert parfois à justifier la dérivabilité.
- Q2.3. : La majoration | cos(t)| 6 1 est rare : lui est en général préférée la double inégalité −1 6
cos(t) 6 1, ce qui entraîne de nombreuses erreurs.
On a souvent rencontré : |a − b| 6 |a| − |b| !
- Q2.4. : L’appel au théorème des accroissements finis n’est pas souvent fait : il est remplacé par la
ϕ(t) − ϕ(n)
fausse égalité = ϕ0 (n) qui permet d’obtenir l’inégalité demandée.
t−n
- Q3. : Assez bien réussie dans l’ensemble.
- Q4.1. : La valeur absolue est souvent oubliée.
On lit aussi :
1 cos(t)
* les fonctions cos et 2 sont intégrables sur [1 + ∞[ et donc, 2 est intégrable sur [1 + ∞[,
t t
cos(t) cos(t)
* lim = 0 et donc, 2 est intégrable sur [1 + ∞[.
t→+∞ t2 t

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 - Q4.2. : L’intégration par parties généralisée est souvent faite directement sans justification de
convergence.
- Q5. : Le changement de variable t = tα ne peut pas fonctionner !
X+∞ Z +∞
- Q6. : La comparaison série/intégrale est souvent évoquée mais, l’écriture = ϕ(t) dt fait
n=1 1
X
alors office de justification de la convergence de la série un .
1 α 1
- Q7. : Attention aux majorations : 2 + 2−α 6 2 !
n n n
- Q9.1. et 9.2. : Les candidats qui ont abordé cette question pensent bien à utiliser la première ques-
tion.
Par contre, souvent, ils ne voient pas de problème de convergence malgré l’apparition de la série
harmonique.

• Exercice 4.

Thème de l’exercice : Produit scalaire dans R[X] et projection orthogonale sur un sous-espace de dimen-
sion finie.

- Q1. : Question assez mal réussie.

Malgré l’énoncé qui parlait de convergence absolue, certains candidats oublient les valeurs abso-
lues.
D’autres pensent qu’il s’agit d’un produit de Cauchy !
On a noté que beaucoup de candidats ont des difficultés à calculer la valeur prise par un polynôme
m
X
en un point : si P = ak X k , le calcul de P(n) pose beaucoup de problèmes.
k=0
- Q2.1. : Rappelons que ré-écrire l’énoncé ne rapporte pas de point.
L’argument du polynôme qui possède une infinité de racines est rarement évoqué.
- Q2.2. : Le caractère positif est très souvent omis par des candidats qui pensent que cela a été
démontré dans la question précédente.
D’autre tentent en vain de prouver que : (P|P) > 0 =⇒ P > 0.
- Q3.1. : Si la somme de la série géométrique est en général sue il n’en est pas de même de l’ensemble
+∞
X
de définition de t 7→ tn .
n=0 !
1
- Q3.2. : On a remarqué dans cette question des confusions entre les variables : e −nx
= o 2 et
x
X 1 X
comme la série converge il en est de même de la série e pour tout x > 0 !
−nx
x2
- Q3.4. : On retrouve les erreurs classiques sur les puissance : e = e−n e x et donc g(x) = e−n × f (x) !
−nx

- Q3.4. -> Q4.3. : Ces questions sont très rarement abordées.

Signalons cependant que les étudiants qui s’y sont frottés ont en général bien réussi même s’ils
ne reconnaissent pas toujours l’utilisation de la projection orthogonale pour calculer la distance
demandée.

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 FIN

Luc VALETTE

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