Pour plus de compléments, voir les deux ouvrages suivants parus Les applications linéaires 3

aux Presses Polytechniques et Universitaires Romandes (PPUR)

Plan du cours
Cours de Mathématiques - ASINSA-1 dans la collection METIS LyonTech :

Les applications linéaires www.ppur.org

 Algèbre et analyse, 2e édition revue et augmentée, Cours de

mathématiques de première année avec exercices corrigés,
S. Balac, F. Sturm, 1110 pages, paru en 2009.
1 Définitions et propriétés
Frédéric STURM
 Exercices d’algèbre et d’analyse, 154 exercices corrigés de
Pôle de Mathématiques, INSA de Lyon Cas particulier des endomorphismes
première année, S. Balac, F. Sturm, 448 pages, paru en 2011. 2

Année académique 2011-2012

3 Noyau et image

4 Rang d’une application linéaire

Document téléchargé à l’URL suivante :

http://maths.insa-lyon.fr/~sturm/
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Les applications linéaires 4 Les applications linéaires 5 Les applications linéaires 6

Définition Caractérisation
Définition 1.2 (Cas particuliers)

Définition 1.1 (Application linéaire) Soient E et F deux K-espaces vectoriels.

Proposition 1.1
Forme linéaire : application linéaire de E dans K.
Soient E et F deux espaces vectoriels sur le même corps K. Soient E et F deux espaces vectoriels sur le même corps K.
Isomorphisme : application linéaire bijective de E dans F .
On appelle application linéaire de E vers F toute Une condition nécessaire et suffisante pour qu’une application
application f : E −→ F vérifiant : f : E −→ F soit linéaire est que Endomorphisme de E : application linéaire f de E dans E.
( On note : f ∈ LK (E).
′ ′ ′ ′
f (~x +E ~x ) = f (~x ) +F f (~x ) f (α ·E ~x +E β ·E ~x ) = α ·F f (~x ) +F β ·F f (~x ) Si un endomorphisme f de E est bijectif alors on dit que
f (α ·E ~x ) = α ·F f (~x ) ′ c’est un automorphisme de E. On note : f ∈ GLK (E).
pour tout (α, β) ∈ K2 et pour tout (~x , ~x ) ∈ E 2.
′
pour tout (~x , ~x ) ∈ E 2 et pour tout α ∈ K. Exemple 1.2
Exemple 1.1
Une application linéaire est aussi appelée morphisme La dérivation des polynômes, c’est-à-dire l’application
d’espaces vectoriels et on note f ∈ LK (E, F ). L’application x ∈ K 7−→ x 2 ∈ K n’est pas linéaire.
L’application D : P ∈ K[X ] −→ P ′ ∈ K[X ] est linéaire. D : P ∈ K[X ] −→ P ′ ∈ K[X ]
Remarque
Soit a ∈ K. L’application x ∈ K 7−→ y = ax ∈ K est linéaire.
est un endomorphisme de K[X ]. On note : D ∈ LK (K[X ]).
Clairement, f (~0E ) = ~0F et f (−~x ) = −f (~x ) pour tout ~x ∈ E.
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Les applications linéaires 7 Les applications linéaires 8 Les applications linéaires 9

Isomorphisme réciproque Composition d’applications linéaires Structure d’espace vectoriel sur LK (E, F )
Proposition 1.4
Proposition 1.3
Proposition 1.2 Soient E et F deux K-espaces vectoriels. L’ensemble LK (E, F )
Soient E, F et G trois K-espaces vectoriels. Si f ∈ LK (E, F ) et
Soient E, F deux K-espaces vectoriels et f une application possède une structure d’espace vectoriel sur K.
g ∈ LK (F , G) alors g ◦ f ∈ LK (E, G). En d’autres termes, la
linéaire de E vers F . Si f est bijective alors son application
composée de deux applications linéaires est encore une Il est suffisant de vérifier que LK (E, F ) est un sous-espace du
réciproque f −1 est une application linéaire de F vers E.
application linéaire. K-espace A(E, F ). Faisons-le.
Autrement dit,
′ ′ En effet, on peut vérifier les points suivants : Soient f , g dans LK (E, F ) et (α, β) ∈ K2 .
f −1 (α ·F ~y +F β ·F ~y ) = α ·E f −1 (~y ) +E β ·E f −1 (~y ) ′ ′
Pour tout (~x , ~x ) ∈ E 2 Pour tout (~x , ~x ) ∈ E 2
′
pour tout (α, β) ∈ K2 et pour tout (~y , ~y ) ∈ F 2 .
(αf + βg)(~x +E ~x ) = (αf + βg)(~x ) +F (αf + βg)(x~′ ).
′ ′ ′
(g ◦ f )(~x +E ~x ) = (g ◦ f )(~x ) +G (g ◦ f )(~x ).
Remarque
Pour tout ~x ∈ E et pour tout α ∈ K Pour tout ~x ∈ E et pour tout γ ∈ K
Bien sûr, en plus d’être linéaire, l’application réciproque

f −1 : F −→ E est-elle même bijective. (g ◦ f )(α ·E ~x ) = α ·G (g ◦ f )(~x ). (αf + βg)(γ ·E ~x ) = γ ·F (αf + βg)(~x ) .

On a ainsi vérifié que αf + βg ∈ LK (E, F ).

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Les applications linéaires 10 Les applications linéaires 11 Les applications linéaires 12
Exemples d’applications linéaires
Proposition 1.5
Plus généralement, soit f : Kp −→ Kn l’application qui à
Soient a ∈ K, b ∈ K et ~x = (x1 , x2 , . . . , xp ) associe ~y = (y1 , y2 , . . . , yn ) où Soient E, F deux K-espaces vectoriels et f ∈ LK (E, F ). Alors,




f : ~x = (x1 , x2 ) ∈ K2 7−→ y = ax1 + bx2 ∈ K.  y1 = a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1p xp f α1 v~ 1 + . . . + αm v
~ m = α1 f v ~m
~ 1 + . . . + αm f v


 y2 = a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2p xp
On vérifie que f ∈ LK (K2 , K). .. . ~ m dans E et tous α1 , . . . , αm dans K.
~ 1, . . . , v
pour tous v

 .
Soient a ∈ K, b ∈ K et 

yn = an1 x1 + an2 x2 + . . . + anp xp Supposons E de dimension p. Soit B = (~e 1 , ~e 2 , . . . , ~e p ) une
f : x ∈ K 7−→ ~y = (ax, bx) ∈ K2 . On peut vérifier que f ∈ LK (Kp , Kn ).
base de E. Alors,





On vérifie que f ∈ LK (K, K2 ). f ~x = x1 f ~e 1 + x2 f ~e 2 + . . . + xp f ~e p
Exemple 1.3
Soient a, b, c, d appartenant à K et
Soit f : R3 −→ R3 l’application qui au vecteur ~x = (x1 , x2 , x3 ) où x1 , x2 , . . . , xp désignent les coordonnées de ~x dans B.
f : ~x = (x1 , x2 ) ∈ K2 7−→ ~y = (ax1 + bx2 , cx1 + dx2 ) ∈ K2 . associe le vecteur ~y = (x1 + x2 , x2 + x3 , x1 + 2x2 + x3 ). C’est Ainsi, pour connaître une application linéaire, il est nécessaire
un endomorphisme de R3 . et suffisant de connaître son action sur une base (quelconque)
On vérifie que f ∈ LK (K2 , K2 ). de son ensemble de départ.

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Les applications linéaires 13 Les applications linéaires 14 Les applications linéaires 15

Plan du cours Puissance d’endomorphisme Endomorphismes particuliers
Soient E un K-espace vectoriel et f un endomorphisme de E. Définition 2.2
  Soient E un K-espace vectoriel.
∀k ∈ N∗ f k = f| ◦ f ◦{z. . . ◦ }f
not.
et f 0 = idE .
1 Définitions et propriétés Un endomorphisme p de E est un projecteur de E si
k fois p ◦ p = p. On dit aussi projection vectorielle.
Un endomorphisme s de E est une involution linéaire de E
2 Cas particulier des endomorphismes Définition 2.1 (Endomorphisme nilpotent) si s ◦ s = idE . On dit aussi symétrie vectorielle.
Soient E un K-espace et f un endomorphisme de E. On dit que Soit k ∈ K∗ . Un endomorphisme h de E est une
3 Noyau et image f est nilpotent s’il existe k ∈ N∗ tel que f k = 0. homothétie vectorielle de rapport k si h = k idE .
′
On en déduit que s’il existe k ∈ N∗ tel que f k = 0 alors f k = 0 Remarque
4 Rang d’une application linéaire pour tout entier naturel k ′ > k . Ainsi, Une involution linéaire s de E et une homothétie vectorielle h
déf. ∗ k
de rapport k ∈ K∗ constituent des bijections de E. On a :
p = min{k ∈ N | f = 0}.
1
s−1 = s et h−1 = idE .
L’entier p est appelé l’indice de nilpotence de f . k
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Les applications linéaires 16 Les applications linéaires 17 Les applications linéaires 18

Structure d’anneau sur LK (E) Plan du cours


ATTENTION L’anneau LK (E), +, ◦ n’est pas commu-
En plus d’être un groupe commutatif pour +, l’ensemble LK (E) tatif. En effet, il existe f et g dans LK (E) tels que
possède les propriétés suivantes : 1 Définitions et propriétés


f ◦ g 6= g ◦ f .
pour tous f , g, h dans LK (E), f ◦ g ◦ h = f ◦ g ◦ h .
pour tous f , g, h dans LK (E) Remarque 2 Cas particulier des endomorphismes
(



f ◦ g+h = f ◦g + f ◦h , La composée de deux endomorphismes peut être nulle sans



que l’un des deux le soit. En effet, il existe f et g dans LK (E)
g+h ◦f = g◦f + h◦f . 3 Noyau et image
tels que
Pour tout f ∈ LK (E), f ◦ idE = idE ◦ f = f . f 6= 0, g 6= 0 et g ◦ f = 0.

4 Rang d’une application linéaire

En ce sens, on dit que LK (E), +, ◦ n’est pas intègre.
En résumé, on dit que LK (E), +, ◦ possède une structure
d’anneau.

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Les applications linéaires 19 Les applications linéaires 20 Les applications linéaires 21
Noyau d’une application linéaire Caractérisation d’une application linéaire injective
Exemple 3.1
Définition 3.1 (Noyau d’une application linéaire) Reprenons l’application f : R3 −→ R3 qui à ~x = (x1 , x2 , x3 )
associe le vecteur ~y = (x1 + x2 , x2 + x3 , x1 + 2x2 + x3 ). Proposition 3.2
Soient E, F deux K-espaces et f ∈ LK (E, F ). On appelle noyau
Déterminons le noyau de f . Soit (x1 , x2 , x3 ) ∈ Ker f . On a :
de f et on note Ker f le sous-ensemble de E défini par Soient E, F deux K-espaces vectoriels. Pour qu’une application
 linéaire f de E dans F soit injective, il faut et il suffit que
 x1 + x2 = 0
Ker f = {~x ∈ E | f (~x ) = ~0F }.
déf.

x2 + x3 = 0 .
 Ker f = {~0E }.
Le noyau d’une application linéaire f de E dans F n’est jamais x1 + 2x2 + x3 = 0
vide puisqu’il contient le vecteur nul de E. En effet, Exemple 3.2
D’où x2 = −x3 et x1 = x3 . Ainsi,
f (~0E ) = ~0F . Reprenons l’application f : R3 −→ R3 qui à ~x = (x1 , x2 , x3 )
(x1 , x2 , x3 ) = (x3 , −x3 , x3 ) = x3 (1, −1, 1). associe le vecteur ~y = (x1 + x2 , x2 + x3 , x1 + 2x2 + x3 ). Cette
Mieux encore ! On a le résultat suivant : application linéaire f n’est pas injective car
Le noyau de f est donc la droite vectorielle engendrée par le
Proposition 3.1 (Propriété du noyau) vecteur (1, −1, 1) : Ker f 6= {(0, 0, 0)}.
Soient E, F deux K-espaces et f ∈ LK (E, F ). Alors Ker f est un
sous-espace vectoriel de l’ensemble de départ E. Ker f = Ru
~ avec u
~ = (1, −1, 1).

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Les applications linéaires 22 Les applications linéaires 23 Les applications linéaires 24

Image d’une application linéaire Cas d’une espace E de dimension finie
Proposition 3.4 (Image d’une famille génératrice)
Soient E, F deux K-espaces, f ∈ LK (E, F ) et G une famille de Soit E est de dimension finie. Supposons que dimK (E) = p.
not. déf.
Rappelons que Im f = f (E) = {f (~x ) | ~x ∈ E}. vecteurs de E. Si G engendre E alors f (G) engendre Im f .
L’espace E possède une base finie B = (~e 1 , ~e 2 , . . . , ~e p ). D’où
Proposition 3.3 Exemple 3.3

Im f = Vect (f (B)) = Vect f (~e 1 ), f (~e 2 ), . . . , f (~e p ) .
Soient E, F deux K-espaces et f ∈ LK (E, F ). Alors Im f est un Reprenons l’application f : R3 −→ R3 qui à ~x = (x1 , x2 , x3 )
sous-espace vectoriel de l’ensemble d’arrivée F . associe le vecteur ~y = (x1 + x2 , x2 + x3 , x1 + 2x2 + x3 ). Alors, On en déduit : dimK (Im f ) 6 p.

Remarque 


 Proposition 3.5

Im f = Vect f (1, 0, 0) , f (0, 1, 0) , f (0, 0, 1)
Rappelons que si f désigne une application de E dans F , on a   Soient E, F deux K-espaces et f ∈ LK (E, F ). Si E est de
alors l’équivalence suivante : = Vect (1, 0, 1), (1, 1, 2), (0, 1, 1) dimension finie alors Im f est de dimension finie et
 
f surjective ⇐⇒ Im f = F . = Vect (1, 0, 1), (0, 1, 1) . dimK (Im f ) 6 dimK (E).

Cette caractérisation est vraie même si f n’est pas linéaire. car (1, 1, 2) = (1, 0, 1) + (0, 1, 1). L’application (linéaire) f n’est On dit qu’une application linéaire ne peut pas « augmenter » la
pas surjective car Im f 6= R3 . dimension.
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Les applications linéaires 25 Les applications linéaires 26 Les applications linéaires 27

Image d’une famille libre Plan du cours Dans ce paragraphe, on considère que :
l’espace de départ E est de dimension finie ;
l’espace d’arrivée F est de dimension finie ou infinie.
Proposition 3.6 (Image d’une famille libre)
Définition 4.1 (Rang d’une application linéaire)
Soient E, F deux K-espaces vectoriels, f une application
1 Définitions et propriétés Soient E, F deux K-espaces vectoriels et f ∈ LK (E, F ). On
linéaire de E dans F et L une famille libre de E. Si f est
injective alors f (L) est une famille libre de F . appelle rang de f et on note rg f la dimension de l’image de f ,
2 Cas particulier des endomorphismes c’est-à-dire :
déf.
rg f = dimK (Im f ).
Proposition 3.7 (Image d’une base)
Soient E, F deux K-espaces vectoriels, f une application 3 Noyau et image Remarque
linéaire de E dans F et B une base de E. Si B = (~e 1 , ~e 2 , . . . , ~e p ) désigne une base de E alors
Une condition nécessaire et suffisante pour que f soit  
injective est que f (B) soit une base de Im f . 4 Rang d’une application linéaire Im f = Vect f (~e 1 ), f (~e 2 ), . . . , f (~e p ) .
 
En particulier, f est bijective si, et seulement si, f (B) est On en déduit : rg f = rg f (~e 1 ), f (~e 2 ), . . . , f (~e p ) 6 p. Ainsi,
une base de F .
rg f 6 dimK (E).
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Les applications linéaires 28 Les applications linéaires 29 Les applications linéaires 30

Remarque
Exemple 4.1
Si, de plus, l’espace d’arrivée F est de dimension finie alors Proposition 4.1
Reprenons l’exemple de l’application f : R3 −→ R3 qui à
(x1 , x2 , x3 ) associe (x1 + x2 , x2 + x3 , x1 + 2x2 + x3 ). Rappelons Soient E, F deux K-espaces de dimensions finies (non
dimK (Im f ) 6 dimK (F ) nécessairement identiques) et f ∈ LK (E, F ). Alors
que : dimK (Ker f ) = 1 et dimK (Im f ) = 2. On a :
puisque Im f est un sous-espace de F . On a ainsi : f est surjective si, et seulement si, rg f = dimK (F ) ;
dim (R3 ) = rg f + dimK (Ker f ) .
| K{z } |{z} | {z } f est injective si, et seulement si, rg f = dimK (E) ;
rg f 6 min {dimK (E), dimK (F )} . =3 =2 =1 f est bijective ssi rg f = dimK (E) = dimK (F ).

Le théorème suivant est. . . fondamental ! Jugez plutôt : Remarque

Corollaire 4.1
Théorème 4.1 (Théorème fondamental du rang) Soient E, F deux K-espaces et f ∈ LK (E, F ). Supposons E et Soient E, F deux K-espaces vectoriels de dimensions finies et
F de dimensions finies (non nécessairement égales). f ∈ LK (E, F ). Si dimK (E) = dimK (F ) alors
Soient E, F deux K-espaces vectoriels et f ∈ LK (E, F ). Si E
est de dimension finie alors Si f est surjective alors dimK (E) > dimK (F ).
Si f est injective alors dimK (E) 6 dimK (F ). f bijective ⇐⇒ f injective ⇐⇒ f surjective.
dimK (E) = rg f + dimK (Ker f ). Si f est bijective alors dimK (E) = dimK (F ).

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