LMAT1121

Synthèse LMAT1121 Calcul différentiel et intégral.
Lucie Chartreau
LPHYS1BA
1
TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES
Table des matières

1 Fonctions 1
2 Limites, continuité et intégration simple 1
3 Fonctions vectorielles 1
4 Fonctions à plusieurs variables 1
5 Intégration multiple 2
6 Séries de puissance 2
7 Équations différentielles 2
1
4 FONCTIONS À PLUSIEURS VARIABLES
1 Fonctions
— Représenter les fonctions :
Mettre à l’échelle : b·f(x).
Déplacer : f(x) + b (axe y) ou f(x + b) (axe x).
— Fonction inverse : f −1 (f (x)) = x ↔ f (f −1 (y)) = y.
— Symétries usuelles : axe x/y ou origine.
2 Limites, continuité et intégration simple

— Continuité : f continue ssi limx→a f (x) = f (a).
f (x+h)−f (x)
— Dérivée : limh→0 h
— Si f est différentiable en a alors elle est continue. f n’est pas différentiable en a si une de ces
conditions sont remplies :
f n’est pas continue en a
f a un coin en a
f a une tangente en a
3 Fonctions vectorielles
— Produit vectoriel : (~u|~v ) = ||~u||.||~v ||cosθ
— proj~v ~u = ||~u||cosθ ||~~vv||
— Évaluation du produit vectoriel : v~3 = v~1 × v~2 (en terme de calcul des composantes cela revient
à cacher la ligne de la composante qu’on cherche et faire le déterminant des deux autres, et
répéter l’opération pour les deux autres lignes)
— Longueur d’arc pour des fonctions vectorielles telles que r(t) = f (t)Iˆ1 + g(t)Iˆi + h(t)Iˆ2 L =
Rbp
a
f 0 (t)2 + g 0 (t)2 + h0 (t)2 ).
4 Fonctions à plusieurs variables

— Trace d’une fonction : trace de f(x,y,z) sur le plan xy est le graphe de la fonction pour f(x,y, 0)
(etc).
— Une région est ouverte si elle ne contient que des points intérieurs ; si elle contient au moins
un point au bord alors elle est fermée.
δ f (a+h,b)−f (a,b)
— Dérivée partielle : δx f (a, b) = limh→0 h .
δz δz δx δz δy
— Chain rule : δs = δx δs + δy δs
δy
— Différentiation implicite : F(x,y) = 0 ; Fy 6= 0 → δx = −F
Fy
x
f (a+hu1 ,b+hu2 )−f (a,b)

— Dérivée directionnelle : pour f(x,y) et u=<u1 , u2 > vecteur unitaire on a Du f (a, b) = limh→0 h .
1
7 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
— Gradient : ∆f (x, y) =< δf (x,y))

δx , δf (x,y))
δy > a point critique ssi ∆f (x, y) = (0, 0). Ce point a est
minimum local si le déterminant de la Hessienne associée à f(x,y) estpositif, estun maximum
δx2 δxy
local si il est négatif et un point de selle si il est nul. H(f (x, y)) = .
δxy δy 2
5 Intégration multiple
— Conditions d’intégration multiple (à deux variables) :
RR RbRd
Région rectangulaire (f continue) R
f (x, y)dA = a c f (x, y)dydx.
RR R b R h(x)
Région quelconque (g,f,h continues et a ≤ x ≤ b) R
f (x, y)dA = a g(x) f (x, y)dydx
− −
1 1
RR RR
— Valeur moyenne d’une fonction : f = aire(R)) R
f (x, y)dA ou f = volume(R)) R
f (x, y, z)dA
— Déterminant Jacobien. On
δ(x) δ(x)
! considère une transformation T : x = g(u,v) y = h(u,v) J(u, v) =
δ(x,y) δ(u) δ(v)
δ(u,v) = det δ(y) δ(y)
δ(u) δ(v)
6 Séries de puissance
Pn k
— Forme générale(séries de Taylor-Maclaurin) : Pn (x) = f 0 (x) + ... + f n (x) = k=0 f k!(a) (x − a)k
où k ∈ IN
f k (c)
Reste : Rn (t) = f (x) − Pn (x) = (n+1)! (x − a)n+1 où k ∈ IN
P f k (a) (x−a)k+1 P f k (a)
+ C et f 0 (x) = k−1
R
— Formes différentielles : f (x)dx = k! k+1 k! k(x − a)
P∞
— Série binomiale : 1 + k=1 p((p−1)+...+(p−k)+(p−k+1))
k! xk
7 Équations différentielles
δy
La formule générale d’une équation différentielle de premier ordre est : ( δx + p(x)y = q(x)), de
la forme y’(t)=f(t,y). Ce type d’équation a une chance d’être résolue si elle peut êtreR réduite à une
0
forme
R g(y)y’(t)=h(t),
R cette
R forme est dite séparable. On résout par intégration : g(y)y (t)dt =
h(t)dt ↔ g(y)dy = h(t)dt. Graphiquement, on leur trouve une croissance exponentielle si
l’équation est de la forme p’(t) = f(p) =r p et logarithmique si elle est de la forme p’(t) = f(p) =
p
r p(i − k ).

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2 Limites, continuité et intégration simple 1

4 Fonctions à plusieurs variables 1

2 Limites, continuité et intégration simple

4 Fonctions à plusieurs variables

f (a+hu1 ,b+hu2 )−f (a,b)

— Gradient : ∆f (x, y) =< δf (x,y))

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