Géométrie 2

TABLE DES MATIÈRES
0.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2 Prérequis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.3 Organisation du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Paramétrisation des courbes et des surfaces 3

1.1 Courbes paramétrées : généralités et étude métrique . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Définition des courbes paramétrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Courbe régulière - Tangente - Plan osculateur . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Reparamétrisation - Changement de paramètre . . . . . . . . . . . . 8
1.1.4 Longueur d’une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Étude locale des courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 Courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.2 Courbes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.3 Courbes dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3 Courbe définie par équation cartésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4 Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4.1 Surface (Nappe) paramétrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.4.2 Surfaces définies par une équation cartésienne . . . . . . . . . . . . . 40
1.4.3 Surfaces usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2 Géométrie affine 49
2.1 Espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1.2 Translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.1.3 Vectorialisé d’un espace affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
-1
TABLE DES MATIÈRES
2.1.4 Barycentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2 Variétés affines (sous espaces affines) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.2.2 Intersection - Parallélisme - Sous espace engendré . . . . . . . . . . . 59
2.3 Repères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3.1 Repère cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3.2 Changement de repère cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.3.3 Représentation paramétrique d’une variété affine . . . . . . . . . . . . 63
2.3.4 Repère affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.4 Applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.4.2 Sous espaces affines et applications affines . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.4.3 Barycentres et applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.4.4 Point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.4.5 Homothéties et translations (Applications affines particulières) . . . . 72
2.4.6 Projection et symétrie affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.4.7 Forme affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3 Espaces affines euclidiens 84

3.1 Structure d’espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.1.2 Bases orthogonales et orthonormées . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.1.3 Projections et symétries orthogonales vectorielles . . . . . . . . . . . 86
3.1.4 Isométries vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.1.5 Angle non orienté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.1.6 Produit mixte et produit vectoriel en dimension 3 . . . . . . . . . . . 88
3.2 Espaces affines euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.2.2 Orthogonalité et perpendicularité des sous espaces affines . . . . . . . 90
3.2.3 Projections et symétries affines orthogonales . . . . . . . . . . . . . . 90
3.2.4 Distance d’un point à un sous espace affine . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.2.5 Isométrie affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.2.6 Similitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
0
Introduction
0.1 Introduction
Ce cours de géométrie est le fruit de quatre années d’enseignement en licence mathé-
matique à l’université de Jijel. Il s’adresse aux étudiants de deuxième année de licence de
mathématique et il couvre le programme de géométrie selon le canevas du programme pé-
dagogique.
Le cours, consacré à la géométrie proprement dite, est présenté avec trois parties, la
paramétrisation des courbes et des surfaces, la géométrie affine et la géométrie euclidienne.
0.2 Prérequis
Ce cours supposera connues les fonctions d’une et de deux variables réelles, les notions
de base de l’algèbre linéaire (espace vectoriel, sous espace vectoriel , . . . ) et bilinéaire et un
minimum de théorie des groupes. Nous utiliserons également la théorie des espaces euclidiens,
dont nous redonnerons les résultats principaux assez rapidement.
0.3 Organisation du cours

Ce cours est découpé en trois chapitres.
Le premier chapitre porte sur les courbes et les surfaces. Il couvre
• des généralités, une étude métrique et une étude locale sur les courbes paramétrées :
reparamétrisation, tangente, longueur d’une courbe, repère de Frenet, courbure et tor-
sion ;
• des généralités sur les surfaces.
1
0.3. Organisation du cours
Dans le deuxième chapitre, la structure d’espace affine est introduite, c’est une généralisation
en dimension quelconque du plan et de l’espace déjà étudiés. Ses éléments sont des points et
un espace vectoriel lui est attaché, qui permet d’associer à tout couple de points un vecteur.
La notion de barycentre, issue de la mécanique, y joue un rôle essentiel analogue à celui que
joue la notion de combinaison linéaire dans un espace vectoriel. Nous étudierons ensuite les
applications affines, ce sont celles qui conservent les barycentres.
Le troisième chapitre importe sur la géométrie euclidienne et dans lequel, après une révision
rapide des propriétés d’un espace vectoriel euclidien, on étudie la structure affine euclidienne
et en particulier les isométries et les similitudes affines.
2
CHAPITRE 1
Paramétrisation des courbes et des surfaces
Dans ce chapitre, les concepts de base des courbes et des surfaces sont présentés et des
exemples sont donnés. Ces concepts seront décrits comme des sous ensembles de R2 et R3
avec une paramétrisation donnée, mais aussi, comme des sous ensembles définis par des
équations.
1.1 Courbes paramétrées : généralités et étude métrique

Il y a plusieurs manière pour comprendre c’est quoi une courbe. Par exemple, on peut le
comprendre comme le chemin décrit par un objet en mouvement en fonction du temps t. un
tel objet est dit unidimensionnel ou 1-dimensionnel.
Par l’association d’un paramètre (le temps) t à la position, qu’on note γ(t), on obtient
une application γ appelée courbe paramétrée et son image est la courbe, aussi dite le
support ou la courbe géométrique.
On se concentre ici sur l’étude des courbes paramétrées de R2 et de R3 . On munit R2
(resp. R3 ) du repère orthonormé direct (O,~i, ~j) (resp (O,~i, ~j, ~k)).
3
1.1. Courbes paramétrées : généralités et étude métrique
1.1.1 Définition des courbes paramétrées

Dans tout ce chapitre, n ∈ {2, 3}.
Rn est muni du produit scalaire canonique donné par
n
X
u·v = ui vi ,
i=1
pour tous u = (u1 , . . . , un ), v = (v1 , . . . , vn ) ∈ Rn , et de la norme euclidienne k · k.

Rappelons que, pour u, v ∈ Rn , u est dit unitaire ou normal si kuk = 1, et u est orthogonal
à v si u · v = 0.
Définition 1.1.1. Une courbe (ou arc ou chemin) paramétré(e) de Rn est une application
γ : I → Rn
t 7→ γ(t),
où I est un intervalle de R.
Une courbe paramétrée γ est de classe C k , k ∈ N ∪ {+∞} si elle est de classe C k sur I.
La variable t est dite le paramètre de la courbe et γ(t) est appelé le point de paramètre t.
L’ensemble Γ = γ(I) = {γ(t), t ∈ I} est appelé support géométrique ou la trace de la courbe
γ ou la courbe géométrique, paramétrée par γ et enfin, on dit que γ est une paramétrisation
de Γ.
Fig. 1.1 – Courbe paramétrée.
On appelle orientation de la courbe γ le sens du parcours déterminé par t ∈ I croissant.

Si n = 2, on dit que la courbe est plane (ou planaire) et on note γ(t) = (x(t), y(t)) et si
n = 3, on dit que la courbe est gauche si elle n’est pas plane et on note γ(t) = (x(t), y(t), z(t)).
Si la paramétrisation est suffisamment dérivable, on appelle
• point, ou position, de la courbe Γ à l’instant t le vecteur γ(t) ;
• vitesse de la courbe Γ à l’instant t le vecteur γ 0 (t) ;
• accélération de la courbe Γ à l’instant t le vecteur γ 00 (t).
Si M est un point de Γ, il existe t ∈ I tel que M = γ(t) = (x(t), y(t)) si n = 2 et M =
γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) si n = 3.
4

( 
x = x(t)  x = x(t)

Les équations , t ∈ I si n = 2 et y = y(t) , t ∈ I si n = 3 constituent une
y = y(t) 

 z = z(t)
représentation paramétrique de la courbe Γ.
Remarque 1.1.2. Il est important de remarquer que l’on distingue la courbe paramétrée et
sa trace. Physiquement, une courbe paramétrée décrit le mouvement d’une particule dans
l’espace de dimension n en fonction du temps t, et la trace est la trajectoire de la particule.
Si la particule suit la même trajectoire, mais avec une vitesse ou une direction différente, la
courbe est considérée comme différente.
Exemple 1.1.1. La droite, passant par A(x0 , y0 ) et de vecteur directeur ~u = (a, b) est le
support géométrique de la courbe paramétrée γ : R → R2 donnée par
γ(t) = (x0 + at, y0 + bt).
En général, toute droite de Rn admet une paramétrisation γ : R → Rn de la forme
γ(t) = ut + v
où u, v sont des vecteurs constants de Rn .
Exemple 1.1.2. L’application γ : R → R2 définie par
γ(t) = (cos t, sin t)
est une courbe paramétrée dans R2 qui modélise un objet qui ce déplace autour du cercle de
l’unité.
Exemple 1.1.3. L’application γ :]0, 1[→ R2 définie par

µ ¶
1 1
γ(t) = t + , t + 2
t t
est une courbe paramétrée de classe C ∞ .
Exemple 1.1.4. Le support géométrique de la courbe paramétrée γ : R → R3 donnée par
γ(t) = (R cos t, R sin t, t)
est une hélice (voir Fig.1.2). C’est une courbe gauche tracée sur le cylindre {(x, y, z) ∈
R3 , x2 + y 2 = R2 }.
5
Fig. 1.2 – Hélice.
1.1.2 Courbe régulière - Tangente - Plan osculateur

Définition 1.1.3. Soit γ : I → Rn une courbe paramétrée de classe C 1 .
1. Soit t0 ∈ I. On dit que γ(t0 ) est un point régulier si γ 0 (t0 ) 6= 0Rn , sinon, on dit que
c’est un point singulier.
2. On dit que γ est régulière si γ 0 (t) 6= 0Rn , ∀t ∈ I.
Exemple 1.1.5. La courbe paramétrée γ : R → R2 définie par γ(t) = (t3 , t2 ), t ∈ R est de

classe C ∞ . Elle n’est pas régulière car γ 0 (0) = (0, 0).
Remarque 1.1.4. Une courbe peut admettre deux paramétrisations où un point soit régulier
pour la première et singulier pour la deuxième.
Exemple 1.1.6. Les deux applications suivantes
γ : R → R2 β : R → R2
et
t 7→ (t, t2 ) t 7→ (t3 , t6 )
sont des paramétrisation du parabole.

On a γ 0 (0) = (1, 0) donc le point (0, 0) est un point régulier de γ, mais β 0 (0) = (0, 0) donc
(0, 0) est un point singulier de β.
6
Définition 1.1.5. Soit γ : I → Rn une courbe paramétrée de classe C 1 dont le support

géométrique est Γ.
1. Soit γ(t0 ) un point régulier. La tangente en γ(t0 ) à la courbe Γ est définie comme étant
la droite passant par γ(t0 ) et de vecteur directeur γ 0 (t0 ).
γ 0 (t0 ) est appelé vecteur tangent ou vecteur vitesse.
2. Soit γ(t0 ) un point singulier. On suppose qu’il existe un entier p ≥ 2 vérifiant
• ∀k < p, γ (k) (t0 ) = 0, (où γ (k) désigne la dérivée k-ième de γ).
• γ (p) (t0 ) 6= 0.
La tangente en γ(t0 ) à la courbe Γ est alors définie comme étant la droite passant par
γ(t0 ) et de vecteur directeur γ (p) (t0 ).
Remarque 1.1.6. La tangente à la courbe est dirigée par le premier vecteur dérivé non nul.
Une courbe paramétrée régulière admet une tangente en tout point. La réciproque n’est pas
vraie.
Définition 1.1.7. Soit γ : I → Rn une courbe paramétrée de classe C 2 et soit t0 ∈ I. On dit

que γ(t0 ) est un point birégulier de γ si la famille (γ 0 (t0 ), γ 00 (t0 )) est libre, sinon γ(t0 ) est un
point d’inflexion.
On dit que γ est birégulière si elle l’est en tout point t ∈ I.
Définition 1.1.8. Soit γ : I → R3 une courbe paramétrée de classe C 2 . On appelle plan

osculateur en un point birégulier γ(t0 ) le plan (γ(t0 ), γ 0 (t0 ), γ 00 (t0 )), i.e., le plan
Πt0 (γ) = γ(t0 ) + V ect{γ 0 (t0 ), γ 00 (t0 )},
où V ect{. . .} désigne le sous espace vectoriel engendré.

Une équation cartésienne de ce plan est donnée par
det(M − γ(t0 ), γ 0 (t0 ), γ 00 (t0 )) = 0,
avec M un point quelconque du plan Πt0 (γ).
Remarque 1.1.9. Une courbe est plane si et seulement si tous ses plans osculateurs coïncident.
Exemple 1.1.7. La courbe γ : R → R3 définie par γ(t) = (t, t, t2 ) avec t ∈ R est birégulière
car pour tout t ∈ R, les deux vecteurs γ 0 (t) = (1, 1, 2t) et γ 00 (t) = (0, 0, 2) sont linéairement
7
indépendants.
Une équation cartésienne du plan osculateur est donnée par
¯ ¯
¯ ¯
¯ x−t 1 0 ¯
¯ ¯
(x, y, z) ∈ Πt (γ) ⇐⇒ ¯¯ y − t 1 0 ¯¯ = 0 ⇐⇒ 2(x − t) − 2(y − t) + 0(z − t2 ) = 0
¯ ¯
¯ z − t2 2t 2 ¯
⇐⇒ x−y =0
Πt (γ) : x − y = 0 est indépendant de t, donc γ est une courbe plane.
Exemple 1.1.8. Soit la courbe γ : [0, π2 ] → R3 définie par γ(t) = (cos3 t, sin3 t, 43 cos(2t)).
√ √ √ √
2
Le point γ( π4 ) = ( , 42 , 0) est birégulier car les deux vecteurs γ 0 ( π4 ) = (− 3 4 2 , 3 4 2 , − 32 ) et
√ √ 4
γ 00 ( π4 ) = ( 3 4 2 , 3 4 2 , 0) sont linéairement indépendants. Donc, une équation cartésienne du
plan osculateur au point γ( π4 ) est donnée par
¯ √ √ ¯
¯ ¯
¯ x − 42 − 22 1 ¯
¯ √ √ ¯ √
(x, y, z) ∈ Π π4 (γ) ⇐⇒ ¯¯ y − 42 2
2
1 ¯=0
¯ ⇐⇒ x−y− 2z = 0.
¯ ¯
¯ z 1 0 ¯
√
Π π4 (γ) : x − y − 2z = 0.
Définition 1.1.10. Soit γ : I → Rn une courbe paramétrée de classe C 1 . La norme kγ 0 (t)k

est dite la vitesse scalaire de la courbe à l’instant t ∈ I.
Proposition 1.1.11. Soit f : I → Rn une fonction de classe C 1 . Si f est de norme constante,

alors f 0 (t) est orthogonale à f (t), ∀t ∈ I.
Corollaire 1.1. Si γ : I → Rn est une courbe paramétrée de classe C 1 à vitesse scalaire

constante, alors γ 0 (t) est orthogonale à γ 00 (t), ∀t ∈ I.
1.1.3 Reparamétrisation - Changement de paramètre

Définition 1.1.12. Une courbe paramétrée γ̃ : J → Rn de classe C k (k ≥ 1) est une
reparamétrisation d’une courbe paramétrée γ : J → Rn de classe C k (k ≥ 1) s’i existe
une application bijective ϕ : J → I de classe C k telle que ϕ−1 : I → J est de classe C k et
γ̃ = γ ◦ ϕ. Dans ce cas,
Γ = γ̃(J) = γ(ϕ(J)) = γ(I),
c’est à dire que γ et γ̃ ont le même support géométrique.

On dit que ϕ est un changement de paramètre.
8
Remarque 1.1.13. On note que, puisque ϕ−1 est de classe C k , γ est aussi une reparamétrisation
de γ̃.
En effet, pour tout t ∈ I, on a
γ̃(ϕ−1 (t)) = γ(ϕ(ϕ−1 (t))) = γ(t).
Exemple 1.1.9. Soit γ : R → R2 définie par γ(t) = (1 + t2 , 1 − t) et soit γ̃ :] − π2 , π2 [→ R2

¡ ¢
définie par γ̃(s) = cos12 s , 1 − tg(s) . Alors γ et γ̃ ont le même support géométrique. En effet,
si on définit ϕ :] − π2 , π2 [→ R par ϕ(s) = tg(s), on obtient, pour tout s ∈] − π2 , π2 [
γ ◦ ϕ(s) = γ(ϕ(s))
= (1 + ϕ(s)2 , 1 − ϕ(s)
= (1 + tg2 (s), 1 − tg(s))
¡ 1 ¢
= 2
, 1 − tg(s)
cos s
= γ̃(s),
et puisque ϕ est bijective de ] − π2 , π2 [ sur R, ϕ ∈ C 1 (] − π2 , π2 [) et ϕ−1 (t) = arctg(t) donc

ϕ−1 ∈ C 1 (R), on aura que γ et γ̃ ont le même support géométrique.
Proposition 1.1.14. Toute reparamétrisation d’une courbe paramétrée régulière est régu-
lière.
Preuve.
Supposons que γ : I → Rn est une courbe paramétrée régulière de classe C 1 et soit
γ̃ : J → Rn une raparamétrisation de γ, alors il existe une application bijective ϕ : J → I
de classe C 1 telle que ϕ−1 : I → J est de classe C 1 et γ̃ = γ ◦ ϕ.
On pose φ = ϕ−1 , alors φ est de classe C 1 et pour tout t ∈ I et s ∈ J
t = ϕ(s) ⇐⇒ s = φ(t).
Donc, t = ϕ(φ(t)). En dérivant par rapport à t, on obtient 1 = φ0 (t)ϕ0 (φ(t)) = φ0 (t)ϕ0 (s). Il
en résulte que ϕ0 (s) 6= 0 pour tout s ∈ J.
D’autre part, puisque γ̃(s) = γ ◦ ϕ(s) pour tout s ∈ J, en dérivant par rapport à s on obtient
γ̃ 0 (s) = ϕ0 (s)γ 0 (ϕ(s)) 6= 0, ∀s ∈ J.
¤
9
1.1.4 Longueur d’une courbe

Définition 1.1.15. Soit γ : [a, b] → Rn une courbe paramétrée de classe C 1 . Alors, la
longueur de γ est donnée par Z b
`(γ) = kγ 0 (t)kdt.
a
Exemple 1.1.10. Considérons l’arc du spirale logarithmique paramétré par γ : [0, π] → R2

définie par
γ(t) = (et cos t, et sin t).
On a
γ 0 (t) = (et (cos t − sin t), et (sin t + cos t))
et donc
p √
kγ 0 (t)k = e2t (cos t − sin t)2 + e2t (cos t + sin t)2 = 2et .
D’où Z Z
π
0
π √ √
`(γ) = kγ (t)kdt = 2et dt = 2(eπ − e).
0 0
Proposition 1.1.16. Soit γ : [a, b] → Rn une courbe paramétrée de classe C 1 et soit γ̃ = γ ◦ϕ

une reparamétrisation de γ. Alors `(γ̃) = `(γ), c’est à dire, la longueur d’une courbe ne
dépend pas de sa paramétrisation.
Preuve.
Soit γ : [a, b] → Rn et ϕ : [c, d] → [a, b] un changement de paramètre, alors on a
Z d
`(γ̃) = kγ̃ 0 (t)kdt
c
Z d
d
= k γ(ϕ(t))kdt
c dt
Z d
= |ϕ0 (t)| · kγ 0 (ϕ(t))kdt.
c
On fait un changement de variable en posant s = ϕ(t), donc ds = ϕ0 (t)dt. Puisque ϕ est bi-
jective, donc injective, et continue, elle est strictement croissante ou strictement décroissante.
Si on suppose qu’elle est strictement croissante, alors
Z d
`(γ̃) = ϕ0 (t) · kγ 0 (ϕ(t))kdt.
Zc
= kγ 0 (s)kds
ϕ−1 ([c,d])
Z b
0
= kγ (s)kds = `(γ).
a
La même chose si ϕ est strictement décroissante. ¤

10
Définition 1.1.17. Soit γ : I → Rn une courbe paramétrée de classe C 1 .

On appelle abscisse curviligne (ou fonction longueur d’arc ) de la courbe γ à partir du point de
paramètre t0 ∈ I, la fonction st0 : I → R définie par
Z t
st0 (t) = kγ 0 (u)kdu, ∀t ∈ I.
t0
S’il n’y a pas de risque de confusion, on note s au lieu de st0 .

Remarque 1.1.18. 1. On a st0 (t0 ) = 0 et st0 (t) est positive si t > t0 et négative si t < t0 .
2. La fonction st0 est de classe C 1 puisque la fonction u 7→ kγ 0 (u)k est continue sur I et
on a
s0t0 (t) = kγ 0 (t)k, ∀t ∈ I.
3. En changeant le paramètre t0 , on obtient une autre abscisse curviligne qui diffère de

st0 par une constante.
Exemple 1.1.11. Considérons la courbe paramétrée γ définie dans l’Exemple 1.1.10.

L’abscisse curviligne à partir du point γ(0) = (1, 0) est la fonction s0 : [0, π] → R définie par
Z t √ Z t u √
0
s0 (t) = kγ (u)kdu = 2 e du = 2(et − 1).
0 0
π
L’abscisse curviligne à partir du point γ( π2 ) = (0, e 2 ) est la fonction s0 : [0, π] → R définie
par Z t
0
√ Z t u √ π
s π2 (t) = kγ (u)kdu = 2 e du = 2(et − e 2 ).
π π
2 2
Définition 1.1.19. On dit paramétrisation normale (ou part longueur d’arc ou par abscisse
curviligne) toute paramétrisation régulière γ : I → Rn d’une courbe géométrique vérifiant
kγ 0 (t)k = 1, ∀t ∈ I.
Exemple 1.1.12. Soit γ : R → R3 une courbe paramétrée définie par

³1 ³ ´ √3 ´
2 t
γ(t) = sin t, sin , t .
2 2 2
Pour tout t ∈ R, on a
³1 √ ´ ³ √ ´
0 t t 3 1 1 3
γ (t) = cos t, sin cos , = cos t, sin t, .
2 2 2 2 2 2 2
D’où r
0 1 3
kγ (t)k = (cos2 t + sin2 t) + = 1.
4 4
Par conséquent, γ est normale.
11
Remarque 1.1.20. L’abscisse curviligne qu’une courbe paramétrée normale γ : [a, b] → Rn à

partir du point de paramètre a vérifie
Z t
s(t) = kγ 0 (u)kdu = t − a.
a
Ainsi, la fonction s mesure la longueur le long de γ. C’est pour cela les courbes normale sont
dite paramétrée par longueur d’arc ou par abscisse curviligne.
Théorème 1.1.21. Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle
I à valeurs réelles, alors f (I) est un intervalle, f est bijective de I sur f (I) et la fonction
inverse est continue sur f (I).
Si de plus f est dérivable et continue sur I alors f −1 est dérivable et continue sur f (I) et
1
(f −1 )0 = .
f0 ◦ f −1
Proposition 1.1.22. Soit γ : I → Rn une courbe paramétrée régulière. Alors γ admet une
reparamétrisation normale.
Preuve.
Soit t0 ∈ I, st0 est une primitive de la fonction (strictement positive) t 7→ kγ 0 (t)k, alors
st0 est continue et strictement croissante, donc bijective de I sur J = st0 (I). Par le théorème
précédent, s−1
t0 est aussi dérivable et continue sur J, donc c’est un changement de paramètre.
Posons γ̃ = γ ◦ s−1
t0 . Pour tout s ∈ J on a
1
(s−1 0
t0 ) (s) = .
s0t0 (s−1
t0 (s))
Donc
kγ 0 (s−1 (s))k
0
kγ̃ (s)k = k(γ ◦ s−1 0
t0 ) (s)k = 0 t−1 0
= 1.
st0 (st0 (s))
Par conséquent, γ̃ est une reparamétrisation normale de γ. ¤
Remarque 1.1.23. Si I = [a, b] et t0 = a, alors
Z b
sa (b) = kγ 0 (t)kdt = `(γ).
a
Donc, en posant ` = `(γ), sa ([a, b]) = [0, l], et comme conséquence de la proposition précé-
dente, la courbe γ̃ = γ ◦ s−1 n
a : [0, `] → R est une reparamétrisation normale de γ.
Exemple 1.1.13. Considérons la courbe paramétrée γ définie dans l’Exemple 1.1.8.

On a, pour tout t ∈ [0, π2 ],
3
γ 0 (t) = (−3 sin t cos2 t, 3 cos t sin2 t, − sin 2t) = (−3 sin t cos2 t, 3 cos t sin2 t, −3 sin t cos t),
2
12
1.2. Étude locale des courbes
√
d’où kγ 0 (t)k = 3 2 sin t cos t. Donc, l’abscisse curviligne à partir du point γ(0) = (1, 0, 34 )
est la fonction s0 : [0, π2 ] → R définie par
Z √ √
t
0
√ Z t 3 2 2 3 2
s0 (t) = kγ (u)kdu = 3 2 sin u cos udu = sin t = (1 − cos2 t).
0 0 2 2
√ √
On a s0 (I) = [0, 3 2 2 ] et s0 est croissante sur [0, π2 ], donc elle bijective de [0, π2 ] dans [0, 3 2 2 ]
√
et s−1 3 2 π
0 : [0, 2 ] → [0, 2 ] est donnée par
s√ s √
2 2
s−1
0 (s) = arcsin s = arccos 1− s.
3 3
√
La reparamétrisation normale γ̃ = γ ◦ s−1 3 2 3
0 : [0, 2 ] → R est donnée par
√ 3
√ 3
√
γ̃(s) = γ ◦ s−1
0 (s) = ((1 − 3
2
s) 2,(
3
2
s) 2 , 34 − 2
2
s).
Exemple 1.1.14. On considère³ la ´courbe paramétrée γ :]0, 1[→ R2 définie par γ(t) =
√ t
(t, 1 − t2 ). On a γ 0 (t) = 1, − √1−t 2 , d’où
r
t2 1
kγ 0 (t)k = 1+ 2
=√ .
1−t 1 − t2
Donc, l’abscisse curviligne à partir du point γ(0) = (0, 1) est s0 :]0, 1[→ R définie par
Z t Z t
0 1
s0 (t) = kγ (u)kdu = √ du = arcsin(t).
0 0 1 − u2
La fonction arcsin :]0, 1[→]0, π2 [ est bijective et s0−1 = sin.

La reparamétrisation normale γ̃ = γ ◦ s−1 π 2
0 ; ]0, 2 [→ R est donnée par
p
γ̃(s) = γ(sin s) = (sin s, 1 − sin2 s) = (sin s, cos s).
Remarque 1.1.24. Par construction, on note souvent s le paramètre d’une courbe paramétrée
par abscisse curviligne, et on note souvent t le paramètre dans le cas d’une paramétrisation
quelconque.
1.2 Étude locale des courbes

On associe à toute courbe de R3 deux fonctions scalaires appelées courbure et torsion.
La courbure mesure la manière dont une courbe s’éloigne localement de la tangente (de sorte
que les droites ont une courbure nulle) et la torsion mesure la manière dont une courbe
13
s’éloigne localement du plan osculateur (de sorte que les courbes planes ont une torsion
nulle).
Il se trouve que la courbure et la torsion ensemble déterminent la forme d’une courbe.
On rappelle que dans R2 , étant donné un vecteur unitaire u, il existe un seul vecteur
unitaire v tel que (u, v) soit une base orthonormée directe de R2 , c’est l’image de u par la
rotation d’angle π2 , R π2 . Donc, si u = (u1 , u2 ) alors v = R π2 (u) = (−u2 , u1 ).
Soient u et v deux vecteurs non nuls de R2 . Il existe un nombre unique θ ∈ [0, 2π] vérifiant
u·v u · R π2 (v)
cos θ = , sin θ = .
kukkvk kukkvk
On appelle θ l’angle orienté de v vers u.

R3 est muni aussi du produit vectoriel défini par, pour tous u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v2 , v2 , v3 ) ∈
R3
u ∧ v = (u2 v3 − u3 v2 , −(u1 v3 − u3 v1 ), u1 v2 − u2 v1 ).
Le produit vectoriel vérifie les propriétés suivantes
u ∧ v = −v ∧ v
(u + v) ∧ w = (u ∧ w) + (v ∧ w)
(λu) ∧ v = λ(u ∧ v) = u ∧ (λv)
det(u, v, w) = u · (v ∧ w) = v · (w ∧ u) = w · (u ∧ v)
ku ∧ vk = kukkvk sin θ
kuk2 kvk2 = (u · v)2 + ku ∧ vk2 ,
où θ est l’angle entre u et v, λ ∈ R et u, v, w ∈ R3 .

Soit u, v : I → R3 deux applications différentiables, alors pour tout t ∈ I
d
(u(t) ∧ v(t)) = u0 (t) ∧ v(t) + u(t) ∧ v 0 (t),
dt
et
d
(u(t) · v(t)) = u0 (t) · v(t) + u(t) · v 0 (t).
dt
1.2.1 Courbure
Définition 1.2.1. Soit γ : I → Rn une courbe paramétrée normale de classe C 2 .
Le nombre κγ (s) = kγ 00 (s)k est appelé la courbure de γ en s ∈ I.
La courbure donne une mesure de la rapidité avec laquelle la courbe s’éloigne de la
tangente en s au voisinage de s.
14
Exemple 1.2.1. Considérons le cercle centré en (x0 , y0 ) de rayon R. Il est paramétrée par
γ : [0, 2πR] → R2 définie par
s s
γ(s) = (x0 + R cos , y0 + R cos ).
R R
On a γ est de classe C ∞ et pour tout s ∈ [0, 2πR],
s s
γ 0 (s) = (− sin , cos ),
R R
donc kγ 0 (s)k = 1 et γ est normale. Alors
1 s 1 s
γ 00 (s) = (− cos , − sin ).
R R R R
1
D’où κγ (s) = kγ 00 (s)k = R
.
On déduit que la courbure du cercle est constante et elle est égale à l’inverse du rayon.
Remarque 1.2.2. Soit γ : I → Rn une courbe paramétrée régulière de classe C 2 . Par la
Proposition 1.1.22, γ admet une reparamétrisation normale, plus précisément, γ̃ = γ ◦ s−1
est une reparamétrisation normale de γ, avec s un abscisse curviligne. On définit donc la
courbure de γ en t ∈ I par
κγ (t) = κγ̃ (s(t)) = kγ̃ 00 (s(t))k.
Proposition 1.2.3. Soit γ : I → R3 une courbe paramétrée régulière de classe C 2 . Alors, sa

courbure est
kγ 00 (t) ∧ γ 0 (t)k
κγ (t) = . (1.1)
kγ 0 (t)k3
15
Preuve.
De la proposition 1.1.22, γ admet une reparamétrisation normale γ̃ = γ ◦ s−1 où s est un
abscisse curviligne. Donc γ = γ̃ ◦ s.
1
Par le Théorème 1.1.21, on a (s−1 )0 = . Donc, en dérivant on trouve, pour tout
s0 ◦ s−1
s ∈ s(I)
1 γ 0 (s−1 (s))
γ̃ 0 (s) = (γ ◦ s−1 )0 (s) = (s−1 )0 (s)γ 0 (s−1 (s)) = γ 0 (s−1 (s)) = . (1.2)
s0 (s−1 (s)) kγ 0 (s−1 (s))k
Or
³ ´
µ ¶ d 0 −1 0
(γ (s (s)) · γ (s (s))) −1 1
2
d 1 ds
= −
ds kγ 0 (s−1 (s))k kγ 0 (s−1 (s))k2
1 2γ 0 (s−1 (s)) · γ 00 (s−1 (s))
kγ 0 (s−1 (s))k 2(γ 0 (s−1 (s)) · γ 0 (s−1 (s))) 21
= −
kγ 0 (s−1 (s))k2
γ (s (s)) · γ 00 (s−1 (s))
0 −1
= − .
kγ 0 (s−1 (s))k4
D’où
µ ¶
00 0 −1 0 1 d 0 1
−1
γ̃ (s) = (γ ◦ s ) (s) 0 −1 + γ (s (s))
kγ (s (s))k ds kγ 0 (s−1 (s))k
γ 00 (s−1 (s))kγ 0 (s−1 (s))k2 − (γ 0 (s−1 (s)) · γ 00 (s−1 (s)))γ 0 (s−1 (s))
= . (1.3)
kγ 0 (s−1 (s))k4
Donc, pour tout t ∈ I, et puisque s−1 (s(t)) = t,
κ2γ (t) = (κγ̃ (s(t)))2

= kγ̃ 00 (s(t))k2
= γ̃ 00 (s(t)) · γ̃ 00 (s(t))
kγ 00 (t)k2 kγ 0 (t)k2 − (γ 0 (t) · γ 00 (t))2
=
kγ 0 (t)k6
kγ (t) ∧ γ (t)k2
0 00
= .
kγ 0 (t)k6
Exemple 1.2.2. Considérons l’hélice de paramétrisation γ : R → R3 définie par
γ(t) = (a cos t, a sin t, bt), t ∈ R, a, b ∈ R∗ .
γ est de classe C ∞ et on a, pour tout t ∈ R
γ 0 (t) = (−a sin t, a cos t, b)

16
√
donc kγ 0 (t)k = a2 + b2 6= 0, d’où γ est régulière. On a
γ 00 (t) = (−a cos t, −a sin t, 0).
Donc
γ 00 (t) ∧ γ 0 (t) = (−ab sin t, ab cos t, −a2 ).
Alors 1
kγ 00 (t) ∧ γ 0 (t)k (a2 b2 + a4 ) 2 |a|
κγ (t) = 0 3
= 3 = 2 .
kγ (t)k 2 2
(a + b ) 2 a + b2
Remarque 1.2.4. Puisque une courbe dans R2 peut être considérée comme une courbe dans
R3 dont la dernière coordonnée est zero, la relation (1.1) peut également être utilisée pour
calculer la courbure des courbes planes.
Exemple 1.2.3. Une paramétrisation du cercle centré en (x0 , y0 )est de rayon R est donnée
par γ : [0, 2π] → R2
γ(t) = (x0 + R cos t, x0 + R sin t).
Considérons la courbe paramétrée β : [0, 2π] → R3 définie par
β(t) = (x0 + R cos t, y0 + R sin t, 0).
Alors, pour tout t ∈ [0, 2π]

kβ 00 (t) ∧ β 0 (t)k
κγ (t) = κβ (t) = .
kβ 0 (t)k3
Or
β 0 (t) = (−R sin t, R cos t, 0), β 00 (t) = (−R cos t, −R sin t, 0)
et donc β 00 (t) ∧ β 0 (t) = (0, 0, −R2 ). D’où

1
κγ (t) = κβ (t) = .
R
Proposition 1.2.5. Soit γ : I → Rn une courbe paramétrée normale de classe C 2 . Les
propriétés suivantes sont équivalentes.
1. κγ (s) = 0, pour tout s ∈ I.
2. γ 00 (s) = 0, pour tout s ∈ I.
3. γ est la paramétrisation d’un segment d’une droite.
Preuve.
De la Définition 1.2.1, 1. et 2. sont équivalentes. Montrons que 2. et 3. sont équivalentes.
Si n = 2, alors pour tout s ∈ I, γ(s) = (x(s), y(s)) et x et y sont de classe C 2 telles que
x00 (s) = y 00 (s) = 0, pour tout s ∈ I. En intégrant, on obtient
x0 (s) = u1 , y 0 (s) = u2 , ∀s ∈ I
17
où u1 , u2 sont des constantes de R.

En intégrant une deuxième fois, on trouve
x(s) = u1 s + v1 , y(s) = u2 s + v2 , ∀s ∈ I,
où v1 , v2 sont des constantes de R.

On pose u = (u1 , u2 ) et v = (v1 , v2 ). Alors
γ(s) = us + v, ∀s ∈ I, (1.4)
et kuk = kγ 0 (t)k = 1. Même chose si n = 3. Donc (1.4) est une paramétrisation normale
d’un segment de la droite dans Rn .
Inversement, toute droite dans Rn a une paramétrisation de la forme (1.4), ce qui implique
que γ 00 (s) = 0, pour tout s ∈ I. ¤
Corollaire 1.2. Soit γ : I → Rn une courbe paramétrée normale de classe C 2 . Alors, le

point γ(s), s ∈ I est birégulier si et seulement si κγ (s) 6= 0.
Théorème 1.2.6. Soit γ : I → Rn une courbe paramétrée régulière de classe C 3 qui est
birégulière en t0 ∈ I. Alors, il existe un cercle de paramétrisation c : I → Rn tel que
c(t0 ) = γ(t0 ), c0 (t0 ) = γ 0 (t0 ) et c00 (t0 ) = γ 00 (t0 ).

1 1
Ce cercle est unique de rayon et de centre C = γ(t0 ) + γ 00 (t0 ).
κγ (t0 ) (κγ (t0 ))2
Ce cercle est appelé le cercle osculateur à γ en t0 , son centre est appelé le centre de courbure
1
et son rayon est appelé le rayon de courbure, on le note ργ (t0 ) = .
κγ (t0 )
1.2.2 Courbes planes

Soit γ : I → R2 une courbe paramétrée régulière.
γ 0 (t) γ 0 (t)
Définition 1.2.7. Le vecteur T (t) = kγ 0 (t)k
= s0 (t)
est le vecteur tangent unitaire à la courbe
au point γ(t), t ∈ I. On définit le vecteur normal unitaire par N (t) = R π2 (T (t)).
Remarque 1.2.8. Pour tout s ∈ I, kN (t)k = kT (t)k = 1.
18
Définition 1.2.9. Le repère de Frenet de γ au point γ(t), t ∈ I est le repère mobile ortho-
normé direct (γ(t), T (t), N (t)).
Remarque 1.2.10. Si γ : I → R2 est une courbe paramétrée régulière de classe C 2 , alors les
fonctions à valeurs vectorielles T, N : I → R2 sont différentiables.
Proposition 1.2.11 (et Définition). Soit γ : I → R2 une courbe paramétrée normale de

classe C 2 . Alors, pour tout s ∈ I, il existe un nombre Kγ (s) tel que T 0 (s) = Kγ (s)N (s).
Kγ (s) est appelé la courbure algébrique de γ en s et vérifie
Kγ (s) = T 0 (s) · N (s).
Preuve.
Puisque la courbe γ est normale, on a
T (s) = γ 0 (s) et kN (s)k = kT (s)k = 1.
Par la Proposition 1.1.11, le vecteur T 0 (s) = γ 00 (s) est orthogonal à T (s) pour tout s ∈ I, et
donc, parallèle à N (s). Par conséquent, il existe un nombre Kγ (s) tel que T 0 (s) = Kγ (s)N (s).
En multipliant par le vecteur N (s), on trouve
Kγ (s) = T 0 (s) · N (s).
¤
Remarque 1.2.12. Notons que, puisque T 0 (s) = Kγ (s)N (s) et kN (s)k = 1, on a
κγ (s) = kγ 00 (s)k = kT 0 (s)k = |Kγ (s)|kN (s)k = |Kγ (s)|.
La courbure mesure alors le taux de changement de la tangente par rapport à la longueur

d’arc.
Remarque 1.2.13. Si γ : I → R2 est une courbe paramétrée régulière de classe C 2 , alors elle
admet une reparamétrisation normale γ̃ = γ ◦ s−1 . On définit la courbure algébrique de γ en
t ∈ I par Kγ (t) = Kγ̃ (s(t)).
19
Proposition 1.2.14. Soit γ : I → R2 une courbe paramétrée régulière de classe C 2 alors,

pour tout t ∈ I
det(γ 0 (t), γ 00 (t))
Kγ (t) = . (1.5)
kγ 0 (t)k3
Preuve.
Supposons que γ est normale, alors, pour tout s ∈ I, en utilisant la définition de N (s),
on a
Kγ (s) = T 0 (s) · N (s) = γ 00 (s) · N (s) = det(γ 0 (s), γ 00 (s)), (1.6)
et puisque kγ 0 (s)k = 1, pour tout s ∈ I, on obtient la formule (1.5).

Supposons maintenant que γ est quelconque, alors elle admet une paramétrisation normale
γ̃ = γ ◦ s−1 . Pour tout t ∈ I, par la relation (1.3), on a
Kγ (t) = Kγ̃ (s(t)) = det(γ̃ 0 (s(t)), γ̃ 00 (s(t)))

³ γ 0 (t) γ 00 (t) γ 0 (t) · γ 00 (t) 0 ´ det(γ 0 (t), γ 00 (t))
= det , + γ (t) = .
kγ 0 (t)k kγ 0 (t) kγ 0 (t)k4 kγ 0 (t)k3
¤
Remarque 1.2.15. Le relation (1.6) montre que le signe de Kγ (s) nous indique l’orientation
de la base (γ 0 (s), γ 00 (s)), c’est à dire, si Kγ (s) < 0, alors la courbe change de direction dans le
sens des aiguilles d’une montre, et si Kγ (s) > 0, elle change de direction dans le sens inverse
(voir Fig. 1.3).
Fig. 1.3 – Courbure
Proposition 1.2.16 (Formules de Serret-Frenet). Soit γ : I → R2 une courbe paramé-

trée normale régulière de classe C 2 . Les dérivées des vecteurs N et T sont données par les
formules suivantes
T 0 (s) = κ(s)N (s) et N 0 (s) = −κ(s)T (s), ∀s ∈ I,
20
et si γ : I → R2 est une courbe paramétrée régulière de classe C 2 , elles sont données par
T 0 (t) = kγ 0 (t)kKγ (t)N (t) et N 0 (t) = kγ 0 (t)kKγ (t)N (t), ∀t ∈ I.
De plus
1 1
Kγ (t) = T 0 (t) · N (t) = − T (t) · N 0 (t)
kγ 0 (t)k kγ 0 (t)k
Preuve.
Soit γ : I → R2 une courbe paramétrée normale régulière de classe C 2 . On a déjà montré,
dans la Proposition 1.2.11, que pour tout s ∈ I on a T 0 (s) = κ(s)N (s). Montrons que
N 0 (s) = −κ(s)T (s).
Puisque, pour tout s ∈ I kN (s)k = 1, on a
N (s) · N (s) = 1.
En dérivant, on obtient
N 0 (s) · N (s) = 0. (1.7)
D’autre part, puisque pour tout s ∈ I, N (s) est orthogonal à T (s), on a
T (s) · N (s) = 0.
En dérivant, on trouve
T 0 (s) · N (s) + T (s) · N 0 (s) = 0.
Donc
Kγ (s) = T 0 (s) · N (s) = −T (s) · N 0 (s).
En multipliant par N (s) et en utilisant (1.7), on obtient N 0 (s) = −Kγ (s)T (s).
Soit Maintenant γ : I → Rn une courbe paramétrée régulière de classe C 2 , alors elle
admet une reparamétrisation normale γ̃ = γ ◦ s−1 . On a
Tγ̃ (s(t)) = γ̃ 0 (s(t)) = (γ ◦ s−1 )0 (s(t)) = (s−1 )0 (s(t))γ 0 (s−1 (s(t))).

1 1
Or, (s−1 )0 (s(t)) = = . Alors Tγ̃ (s(t)) = Tγ (t) et Nγ̃ (s(t)) = Nγ (t). D’où
s0 (t) kγ 0 (t)k
Tγ0 (t) = (Tγ̃ ◦s)0 (t) = s0 (t)Tγ̃0 (s(t)) = kγ 0 (t)kTγ̃0 (s(t)) = kγ 0 (t)kKγ̃ (s(t))Nγ̃ (s(t)) = kγ 0 (t)kKγ (t)Nγ (t)
et
Nγ0 (t) = kγ 0 (t)kNγ̃0 (s(t)) = −kγ 0 (t)kKγ̃ (s(t))Tγ̃ (s(t)) = −kγ 0 (t)kKγ (t)Tγ (t).
De plus
1
Kγ (t) = Kγ̃ (s(t)) = Tγ̃0 (s(t)) · Nγ̃ (s(t)) = 0
Tγ0 (t) · Nγ (t)
kγ (t)k
et
1
Kγ (t) = −Tγ̃ (s(t)) · Nγ̃0 (s(t)) = − Tγ (t) · Nγ0 (t).
kγ 0 (t)k
¤
21
Exemple 1.2.4. Le cercle de centre (0, 0) et de rayon R > 0 est paramétrée par l’application
γ : [0, 2πR] → R2 définie par γ(s) = (R cos Rs , R sin Rs ).
Pour tout s ∈ [0, 2πR], on a
s s
γ 0 (s) = (− sin
, cos )
R R
0
d’où kγ (s)k = 1. γ est donc une courbe paramétrée normale. Alors pour tout s ∈ I on a
s s
T (s) = γ 0 (s) = (− sin( ), cos( ))
R R
et
s s
N (s) = (− cos( ), − sin( )).
R R
Donc
1 s 1 s 1 s s
T 0 (s) = (−cos( ), − sin( )) = (− cos( ), sin( )).
R R R R R R R
0
Par la formule Kγ (s) = T (s) · N (s), on obtient
1
Kγ (s) = .
R
Exemple 1.2.5. Le cercle de centre (0, 0) et de rayon R > 0 est aussi paramétrée par
γ : [0, 2π] → R2 définie par γ(t) = (R cos t, R sin t). On a
γ 0 (t) = (−R sin t, R cos t)
D’où kγ 0 (t)k = R 6= 0, γ est donc une courbe régulière. Alors, pour tout t ∈ I, on a
γ 0 (t)
T (t) = 0 = (− sin t, cos t)
kγ (t)k
et
N (t) = (− cos t, − sin t).
Donc
T 0 (t) = (− cos t, − sin t),
1
et par la formule Kγ (t) = kγ 0 (t)k
T 0 (t) · N (t), on obtient
1
Kγ (t) = .
R
Proposition 1.2.17 (et Définition). Soit γ : I → R2 une courbe paramétrée régulière de
classe C 2 et soit t0 ∈ I.
Soit θ0 un nombre tel que T (t0 ) = (cos θ0 , sin θ0 ). Alors, il existe une fonction différentiable
unique Θγ : T → R tel que Θγ (t0 ) = θ0 et
T (t) = (cos Θγ (t), sin Θγ (t)), ∀t ∈ I. (1.8)
On appelle Θγ l’angle de rotation déterminé par θ0 .

22
Corollaire 1.3. Soit γ : I → R2 une courbe paramétrée régulière de classe C 2 . Alors
Θ0γ (t) = kγ 0 (t)kKγ (t).
Preuve.
En dérivant (1.8), on obtient
T 0 (t) = Θ0γ (t)(− sin Θγ (t), cos Θγ (t)) = Θ0γ (t)N (t), ∀t ∈ I.
D’où Θ0γ (t) = kγ 0 (t)kKγ (t). ¤
Corollaire 1.4. Soit γ : I → R2 une courbe paramétrée normale de classe C 2 . Alors
Θ0γ (s) = Kγ (s).
La courbure mesure donc le taux de changement de l’angle de rotation par rapport à la

longueur de l’arc.
Exemple 1.2.6. Soit γ : [0, π2 ] → R2 une courbe paramétrée définie par γ(t) = (cos3 t, sin3 t).
γ est de classe C ∞ et pour tout t ∈ [0, π2 ], on a
γ 0 (t) = (−3 sin t cos2 t, 3 cos t sin2 t)
et donc kγ 0 (t)k = 3 sin t cos t. D’où T (t) = (− cos t, sin t).

Pour t0 = 0 on a T (0) = (−1, 0) = (cos π, sin π). Soit Θγ l’angle de rotation déterminé par
π alors, pour tout t ∈ I
(
cos Θγ (t) = − cos t
T (t) = (cos Θγ (t), sin Θγ (t)) ⇐⇒ ⇒ Θγ (t) = π − t + 2kπ, k ∈ Z.
sin Θγ (t) = sin t
Or Θγ (0) = π, d’où k = 0 et Θγ (t) = π − t. On en déduit que, pour tout t ∈ I
Θ0 (t) 1
Kγ (t) = 0
=− .
kγ (t)k 3 sin t cos t
23
1.2.3 Courbes dans l’espace

Définition 1.2.18. Soit γ : I → R3 une courbe paramétrée régulière de classe C 2 .
γ 0 (t) γ 0 (t)
Comme dans le cas des courbes planes, le vecteur T (t) = kγ 0 (t)k
= s0 (t)
est le vecteur tangent
unitaire à la courbe au point γ(t), t ∈ I.
Si γ est normale alors T (s) = γ 0 (s) et
κγ (s) = kγ 00 (s)k = kT 0 (s)k.
Remarque 1.2.19. Si γ : I → R3 est une courbe paramétrée régulière de classe C 2 alors la

fonction T : I → R3 est différentiable, et si κγ (s) > 0, alors la fonction κγ : I → R est
différentiable.
Définition 1.2.20. Soit γ : I → R3 une courbe paramétrée régulière normale de classe C 2 . Si

γ(s), s ∈ I est un point birégulier, on définit la normale principale de γ au point γ(s) comme
étant le vecteur unitaire
1 γ 00 (s)
N (s) = T 0 (s) = 00 .
κγ (s) kγ (s)k
Par la Proposition 1.1.11, T (s) · T 0 (s) = 0 pour tout s ∈ I, d’où T (s) · N (s) = 0. Donc
N (s) est orthogonal à T (s). Il s’ensuit que la vecteur T (s) ∧ N (s) est orthogonal à T (s) et
à N (s).
Définition 1.2.21. Soit γ : I → R3 une courbe paramétrée normale de classe C 2 et γ(s) un

point birégulier.
Le vecteur unitaire B(s) = T (s) ∧ N (s) est appelé le binormale de γ au point γ(s).
Remarque 1.2.22. Si γ : I → R3 est une courbe paramétrée birégulière normale de classe C 3
alors les fonctions B, N : I → R3 sont différentiables.
Proposition 1.2.23. Soit γ : I → R3 une courbe paramétrée normale de classe C 2 et γ(s) un

point birégulier. Le triplet {T (s), N (s), B(s)} est une base orthonormée directe de R3 (i.e.,
B(s) = T (s) ∧ N (s), T (s) = N (s) ∧ B(s) et N (s) = B(s) ∧ T (s)).
Le repère (γ(s), T (s), N (s), B(s)) est donc un repère orthonormé direct appelé repère de Frenet
de γ au point γ(s).
24
Définition 1.2.24. Soit γ : I → R3 une courbe paramétrée normale de classe C 2 et γ(s) un

point birégulier.
Le triède de Frenet au point γ(s) est formé par les trois plans suivants.
• Le plan osculateur en γ(s) est le plan engendré par T (s) et N (s), i.e., le plan γ(s) +
V ect{T (s), N (s)}.
• Le plan normal en γ(s) est le plan engendré par N (s) et B(s), i.e., le plan γ(s) +
V ect{N (s), B(s)}.
• Le plan rectifiant en γ(s) est le plan engendré par T (s) et B(s), i.e., le plan γ(s) +
V ect{T (s), B(s)}.
Proposition 1.2.25 (et Définition). Soit γ : I → R3 une courbe paramétrée birégulière

normale de classe C 3 . Alors, pour tout s ∈ I, il existe un nombre τγ (s) tel que
B 0 (s) = −τγ (s)N (s).
τγ (s) est appelé la torsion de γ en s et vérifie τγ (s) = −B 0 (s).N (s).

Preuve.
Pour tout s ∈ I, on a
B(s) = T (s) ∧ N (s).
B 0 (s) = T 0 (s) ∧ N (s) + T (s) ∧ N 0 (s) = 0.
Puisque T 0 (s) et N (s) sont parallèles, on a T 0 (s) ∧ N (s) = 0, d’où
B 0 (s) = T (s) ∧ N 0 (s). (1.9)
Donc B 0 (s) est orthogonal à T (s).

D’autre part, pour tout s ∈ I, kB(s)k2 = 1, donc
B(s) · B(s) = 1.
B 0 (s) · B(s) = 0.
Alors, B 0 (s) est orthogonal à B(s) et puisque B 0 (s) est orthogonal à T (s), il est orthogonal
au plan rectifiant, d’où B 0 (s) est parallèle à N (s).
Il s’ensuit qu’il existe un nombre τγ (s) tel que
B 0 (s) = −τγ (s)N (s).
Finalement, en multipliant par N (s), et puisque kN (s)k = 1, on obtient
τγ (s) = −B 0 (s) · N (s).
¤
25
Remarque 1.2.26. Soit γ : I → R3 une courbe paramétrée birégulière de classe C 3 , de repa-

ramétrisation normale γ̃ = γ ◦ s−1 . On définit la torsion de γ en t ∈ I par
τγ (t) = τγ̃ (s(t)).
Proposition 1.2.27 (Formules de Serret-Frenet). Soit γ : I → R3 une courbe paramé-

trée birégulière normale de classe C 3 . Alors, pour tout s ∈ I, les dérivées des vecteurs T, N
et B en s sont données par les formules suivantes

 0
 T (s) = κ(s)N (s);

N 0 (s) = −κ(s)T (s) + τ (s)B(s);


 B 0 (s) = −τ (s)N (s),
ou sous forme matricielle

     
T 0 (s) 0 κ(s) 0 T (s)
     
 N 0 (s)  =  −κ(s) τ (s)   
   0  ·  N (s)  .
B 0 (s) 0 −τ (s) 0 B(s)
Preuve.
La première et la dernière formules sont déjà montrées. Il reste donc à montrer la deuxième
formule.
On a pour tout s ∈ I, N (s) = B(s) ∧ T (s). En dérivant, on obtient
N 0 (s) = B 0 (s) ∧ T (s) + B(s) ∧ T 0 (s)

= −τγ (s)(N (s) ∧ T (s)) + κγ (s)(B(s) ∧ N (s)) = τγ (s)B(s) − κγ (s)T (s).
Proposition 1.2.28. Soit γ : I → R3 une courbe birégulère de classe C 3 . Alors, pour tout
t∈I
(γ 0 (t) ∧ γ 00 (t)) · γ 000 (t)
τγ (t) = .
kγ 0 (t) ∧ γ 00 (t)k2
Preuve.
Supposons au début que γ est normale, alors pour tout s ∈ I, en utilisant (1.9), on a
τγ (s) = −B 0 (s) · N (s) = −(T (s) ∧ N 0 (s)) · N (s).
1 1
Or, pour tout s ∈ I N (s) = κγ (s)
T 0 (s) = κγ (s)
γ 00 (s). En dérivant, on obtient
1 κ0γ (s)
N 0 (s) = γ 000 (s) + 2 γ 00 (s).
κγ (s) κγ (s)
26
Donc
1 κ0γ (s) 1 κ0γ (s)
T (s)∧N 0 (s) = γ 0 (s)∧( γ 000 (s)+ 2 γ 00 (s)) = (γ 0 (s)∧γ 000 (s))+ 2 (γ 0 (s)∧γ 00 (s)).
κγ (s) κγ (s) κγ (s) κγ (s)
D’où
1 0 000 00
κ0γ (s) 0
τγ (s) = − (γ (s) ∧ γ (s)) · γ (s) − (γ (s) ∧ γ 00 (s)) · γ 00 (s).
κ2γ (s) κ3γ (s)
Puisque γ 00 (s) est orthogonale à γ 0 (s) ∧ γ 00 (s), on a (γ 0 (s) ∧ γ 00 (s)) · γ 00 (s) = 0, donc
1
τγ (s) = − (γ 0 (s) ∧ γ 000 (s)) · γ 00 (s)
κ2γ (s)
1
= (γ 000 (s) ∧ γ 0 (s)) · γ 00 (s)
κ2γ (s)
1
= (γ 0 (s) ∧ γ 00 (s)) · γ 000 (s).
κ2γ (s)
Par le Corollaire 1.1, γ 0 (s) est orthogonale à γ 00 (s), donc
kγ 0 (s) ∧ γ 00 (s)k = kγ 0 (s)kkγ 0 (s)k = kγ 00 (s)k = κγ (s).
D’où
(γ 0 (s) ∧ γ 00 (s)) · γ 000 (s)
τγ (s) = .
kγ 0 (s) ∧ γ 00 (s)k2
Supposons maintenant que γ est quelconque, alors elle admet une reparamétrisation normale
γ̃ = γ ◦ s−1 , d’où γ = γ̃ ◦ s. Donc, pour tout t ∈ I, on a
γ 0 (t) = s0 (t)γ̃ 0 (s(t))
γ 00 (t) = (s0 (t))2 γ̃ 00 (s(t)) + s00 (t)γ̃ 0 (s(t))
γ 000 (t) = (s0 (t))3 γ̃ 000 (s(t)) + 3s0 (t)s00 (t)γ̃ 00 (s(t)) + s000 (t)γ̃ 0 (s(t)).
D’où
γ 0 (t) ∧ γ 00 (t) = (s0 (t))3 (γ̃ 0 (s(t)) ∧ γ̃ 00 (s(t))).
Puisque γ̃ 0 (s(t)) et γ̃ 00 (s(t)) sont orthogonaux à γ̃ 0 (s(t)) ∧ γ̃ 00 (s(t)), on a
(γ̃ 0 (s(t)) ∧ γ̃ 00 (s(t)) · γ̃ 0 (s(t)) = (γ̃ 0 (s(t)) ∧ γ̃ 00 (s(t)) · γ̃ 00 (s(t)) = 0.
d’où
(γ 0 (t) ∧ γ 00 (t)) · γ 000 (t) = (s0 (t))6 (γ̃ 0 (s(t)) ∧ γ̃ 00 (s(t))) · γ̃ 000 (s(t)).
Donc
(γ̃ 0 (s(t)) ∧ γ̃ 00 (s(t))) · γ̃ 000 (s(t)) (γ 0 (t) ∧ γ 00 (t)) · γ 000 (t)
τγ (t) = τγ̃ (s(t)) = = .
kγ̃ 0 (s(t)) ∧ γ̃ 00 (s(t))k2 kγ 0 (t) ∧ γ 00 (t)k2
¤
27
Proposition 1.2.29. Soit γ : I → R3 une courbe paramétrée birégulière normale de classe

C 3 . Alors les propriétés suivantes sont équivalentes.
1. γ est une courbe plane.
2. τγ (s) = 0, pour tout s ∈ I.
Si 1. ou 2. est vérifiée, alors le support géométrique de γ est contenu dans le plan osculateur
de γ en γ(s), pour tout s ∈ I. c’est à dire, tous les plans osculateurs de γ coïncident.
Preuve.
Si γ est une courbe plane, alors son support est contenu dans un plan Π. Soit u ∈ R3 un
vecteur non nul orthogonal à ce plan, alors, pour tout s ∈ I et M ∈ Π,
(γ(s) − M ) · u = 0.
En dérivant, on obtient γ 0 (s) · u = 0, et donc u est orthogonal à T (s). En dérivant une

deuxième fois, on trouve γ 00 (s) · u = 0, et donc u est orthogonal à N (s), d’où Π est le plan
u
osculateur et B(s) = ± kuk , pour tout s ∈ I. Alors, B 0 (s) = 0 et de la définition de la torsion,
τγ (s) = 0, pour tout s ∈ I.
Inversement, si τγ (s) = 0 pour tout s ∈ I, alors B 0 (s) = −τγ (s)N (s) = 0 pour tout s ∈ I.
Donc, il existe un vecteur unitaire u ∈ R3 tel que B(s) = u.
Soit s0 ∈ I et considérons la fonction f : I → R3 donnée par f (s) = (γ(s) − γ(s0 )) · u.
Alors f (s0 ) = 0 et f 0 (s) = γ 0 (s) · u = T (s) · B(s) = 0. Par conséquent, f = 0, et donc
(γ(s) − γ(s0 )) · u = 0. D’où, le support géométrique de γ est contenu dans le plan orthogonal
à u est passant par γ(s0 ). ¤
Exemple 1.2.7. Considérons la courbe paramétrée γ : R → R3 définie par

³1 ³ ³ s ´´2 √3 ´
γ(s) = sin s, sin , s .
2 2 2
γ est de classe C ∞ , et de l’Exemple 1.1.12, elle est normale. Pour tout s ∈ I, on a
³1 √ ´
1 3
T (s) = γ 0 (s) = cos s, sin s,
2 2 2
³ 1 1
T 0 (s) = γ 00 (s) = − sin s, cos s, 0).
2 2
D’où
1
κγ (s) = kT 0 (s)k = 6= 0.
2
Par conséquent γ est birégulière. Alors, pour tout s ∈ I, on a
1
N (s) = T 0 (s) = (− sin s, cos s, 0)
κγ (s)
28
1.3. Courbe définie par équation cartésienne
et √ √
³ 3 3 1´
B(s) = T (s) ∧ N (s) = − cos s, − sin s, .
2 2 2
D’où
³ √3 3
√ ´
0
B (s) = sin s, − cos s, 0 .
2 2
Donc √
3
τγ (s) = −B 0 (s) · N (s) = .
2
1.3 Courbe définie par équation cartésienne

Pour décrire une courbe, on peut aussi donner des contraintes aux coordonnées de ses
points. On va montrer ici comment trouver une paramétrisation locale pour toute courbe
régulière.
Définition 1.3.1. Une courbe plane est un sous ensemble de R2 de la forme
Γ = {(x, y) ∈ U, F (x, y) = 0},
où U est un ouvert de R2 et F : U → R est une fonction.

Γ est dite courbe d’équation cartésienne F (x, y) = 0.
Γ est dite de classe C k , k ∈ N ∪ {∞} si F est de classe C k sur U .
La courbe est dite régulière en un point (x0 , y0 ) ∈ Γ (ou que (x0 , y0 ) est un point régulier) si
F est différentiable en (x0 , y0 ) et
−−→ ³ dF dF ´
gradF (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ), (x0 , y0 ) 6= (0, 0).
dx dy
Remarque 1.3.2. Si F (x, y) = y − f (x), où f : I → R est une fonction de classe C k , k ≥ 1 et
I est un intervalle ouvert de R, alors U = I × f (I) et Γ est le graphe de f , c’est à dire,
Γ = {(t, f (t)), t ∈ I}
et donc, admet une paramétrisation γ : I → R2 donnée par γ(t) = (t, f (t)). Dans ce cas,
pour tout t ∈ I,
1
T (t) = p (1, f 0 (t)),
02
1 + f (t)
1
N (t) = p (−f 0 (t), 1)
1+ f 02 (t)
et
f 00 (t)
Kγ (t) = 3 .
(1 + f 02 (t)) 2
29
Théorème 1.3.3 (Théorème des fonctions implicites). Soient U une ouvert de R2 ,

F : U → R une fonction de classe C k (k ≥ 1) et (x0 , y0 ) ∈ U tel que F (x0 , y0 ) = 0.
dF
Si (x0 , y0 ) 6= 0, alors il existe deux intervalles ouverts I et J centrés respectivement en
dy
x0 et y0 , et il existe une fonction ϕ : I → J de classe C k vérifiant
I × J ⊂ U et ∀(x, y) ∈ I × J, F (x, y) = 0 ⇔ y = ϕ(x).
De plus, sur un voisinage de x0 , on a

dF
(x, y)
0
ϕ (x) = − dx .
dF
(x, y)
dy
Plus généralement, la relation F (x, ϕ(x)) = 0 permet de former un développement limité de
ϕ en x0 .
Exemple 1.3.1. Soit

Γ = {(x, y) ∈ R2 , yexy = x}.
Le point (0, 0) appartient à Γ.
dF
On introduit F (x, y) = yexy − x, alors F ∈ C ∞ (R2 ) et (0, 0) = 1 6= 0. Donc il existe deux
dy
intervalles ouverts I et J centrés en 0, et il existe une fonction unique ϕ : I → J de classe
C ∞ vérifiant
∀(x, y) ∈ I × J, F (x, y) = 0 ⇔ y = ϕ(x),
et
dF
(0, 0)
ϕ0 (0) = − dx = 1.
dF
(0, 0)
dy
Proposition 1.3.4. Soient U un ouvert de R2 , F : U → R une fonction de classe C 1 , Γ une
−−→
courbe d’équation F (x, y) = 0 et (x0 , y0 ) ∈ Γ un point régulier. Alors gradF (x0 , y0 ) est un
vecteur normal à Γ en (x0 , y0 ) et Γ admet en (x0 , y0 ) une tangente d’équation cartésienne
dF dF
(x0 , y0 )(x − x0 ) + (x0 , y0 )(y − y0 ) = 0.
dx dy
Preuve.
−−→ dF
Comme (x0 , y0 ) est un point régulier, on a gradF (x0 , y0 ) 6= 0, donc (x0 , y0 ) 6= 0 ou
dx
dF dF
bien (x0 , y0 ) 6= 0. Supposons d’abord que (x0 , y0 ) 6= 0, alors il existe deux intervalles
dy dy
ouverts I et J centrés respectivement en x0 et y0 , et il existe une fonction ϕ : I → J de
classe C k vérifiant
I × J ⊂ U et ∀(x, y) ∈ I × J, F (x, y) = 0 ⇔ y = ϕ(x).

30
De plus, sur un voisinage de x0 , on a

dF
(x, y)
ϕ0 (x) = − dx .
dF
(x, y)
dy
Au voisinage du point (x0 , y0 ) les courbes Γ et Cϕ se correspondent et donc Γ admet une
tangente en (x0 , y0 ) qui est la droite d’équation y = ϕ0 (x0 )(x−x0 )+ϕ(x0 ). Puisque ϕ(x0 ) = y0
et
dF
(x0 , y0 )
ϕ0 (x0 ) = − dx ,
dF
(x0 , y0 )
dy
on obtient
dF dF
(x0 , y0 )(x − x0 ) + (x0 , y0 )(y − y0 ) = 0.
dx dy
En permutant les rôles des variables x et y, ce dernier résultat reste valable lorsque
dF
(x0 , y0 ) 6= 0. ¤
dx
Exemple 1.3.2. Considérons le folium de Descartes
Γ = {(x, y) ∈ R2 , x3 + y 3 − 3xy = 0}.
Fig. 1.4 – Folium de Descartes
On considère la fonction F : R2 → R définie par F (x, y) = x3 + y 3 − 3xy, alors Γ est

d’équation F (x, y) = 0.
On a
−−→
gradF (x, y) = (3x2 − 3y, 3y 2 − 3x) = 0 ⇐⇒ (x, y) = (0, 0) ∨ (x, y) = (1, 1) 6∈ Γ.
Donc la courbe est non régulière à l’origine. La tangent en (x0 , y0 ) 6= (0, 0) à Γ a pour
équation cartésienne
(3x0 − 3y0 )(x − x0 ) + (3y0 − 3x0 )(y − y0 ) = 0 (1.1)

31
ou bien
(x20 − y0 )x + (y02 − x0 )y = x20 y02 − 2x0 y0 , (1.2)
mais
(x0 , y0 ) ∈ Γ ⇔ F (x0 , y0 ) = 0
⇔ x20 + y02 − 3x0 y0 = 0
⇔ x20 + y02 − 2x0 y0 = x0 y0 .
Donc (1.2) est équivalente à
(x20 − y0 )x + (y02 − x0 )y = x0 y0 .
Définition 1.3.5. Une courbe gauche est un sous ensemble de R3 de la forme
Γ = {(x, y, z) ∈ U, F (x, y, z) = 0 ∧ G(x, y, z) = 0},
où U est une ouvert de R3 et F, G : U → R3 sont deux fonctions. (

F (x, y, z) = 0
• Γ est dite courbe définie par un système d’équations cartésiennes .
G(x, y, z) = 0
• La courbe est régulière en un point (x0 , y0 , z0 ) si F et G sont différentiable en (x0 , y0 , z0 )
−−→ −−→
et les deux gradients gradF (x0 , y0 , z0 ) et gradG(x0 , y0 , z0 ) sont linéairement indépen-
dants. Dans ce cas, ils engendrent le plan normal à Γ en (x0 , y0 , z0 ).
Exemple 1.3.3. Considérons la fenêtre de Viviani
Γ = {(x, y, z) ∈ R3 , x2 + y 2 + z 2 = 1 ∧ x + z 2 = 1}.
Fig. 1.5 – Fenêtre de Viviani
32
1.4. Surfaces
On définit deux fonctions F, G : R3 → R par F (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 1 et G(x, y, z) =

x + z 2 − 1. F et G sont de classe C ∞ et on a pour tout (x, y, z) ∈ R3
−−→ −−→
gradF (x, y, z) = (2x, 2y, 2z) et gradG(x, y, z) = (1, 0, 2z).
Donc
−−→ −−→
gradF (x, y, z) ∧ gradG(x, y, z) = (2x, 2y, 2z) ∧ (1, 0, 2z) = (4yz, 2z(1 − 2x), −2y) = (0, 0, 0)
⇔ y = z = 0.
Donc, pour tout x ∈ R, (x, 0, 0) est un point singulier.
Théorème 1.3.6 (Théorème des fonctions implicites). Soient U un ouvert de R3 ,

F, G : U → R deux fonctions de classe C k sur U avec k ∈ N∗ ∪ {∞} et (x0 , y0 , z0 ) ∈ U tel
−−→
que F (x0 , y0 , z0 ) = G(x0 , y0 , z0 ) = 0. On suppose que les deux gradients grad F (x0 , y0 , z0 ) et
−−→
grad G(x0 , y0 , z0 ) sont linéairement indépendants.
Alors, il existe un intervalle ouvert I de R centré en x0 et des intervalles ouverts J1 , J2 de
R centrés en y0 , z0 respectivement et il existe un couple unique de fonctions ϕ : I → J1 et
ψ : I → J2 de classe C k sur I tels que
( (
F (x, y, z) = 0 y = ϕ(x)
I × J1 × J2 ⊂ U et ∀(x, y, z) ∈ I × J1 × J2 ⇔ .
G(x, y, z) = 0 z = ψ(x)
Corollaire 1.5. Toute courbe peut être paramétrée localement autour d’un point régulier,
c’est-à-dire dans un voisinage ouvert du point.
1.4 Surfaces
Une surface est un objet dans l’espace à deux dimension, elle ressemble localement à une
portion d’un plan.
Pour décrire une surface, comme pour les courbes, soit on donne des contraintes aux coor-
données de ses point, soit on décrit ses points comme fonction de deux paramètres.
33
1.4. Surfaces
1.4.1 Surface (Nappe) paramétrée

Définition 1.4.1. on appelle surface( ou nappe) paramétrée de classe C k , k ∈ N∗ ∪ {+∞},
toute application f de classe C k définie sur un ouvert connexe U de R2 et à valeurs dans R3 ,
i.e.,
f : U ⊂ R2 → R3
.
(u, v) 7→ f (u, v)
Les variables u et v sont dites les paramètres de la surface f et f (u, v) est appelé le point de
paramètre u et v.
L’ensemble S = f (U ) = {f (u, v), (u, v) ∈ U } est appelé le support géométrique de f ou la
surface (géométrique) paramétrée par f , et enfin, on dit que f est une paramétrisation de S.
Si (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) sont les coordonnées de f (u, v), alors le système


 x = x(u, v)

y = y(u, v) , (u, v) ∈ U


 z = z(u, v)
est dit représentation paramétrique de la surface S.
Remarque 1.4.2. De la même manière qu’on distingue une courbe paramétrée de son sup-
port, on distingue une surface paramétrée de son support. Une surface paramétrée est une
application alors que son support est un sous ensemble de R3
Exemple 1.4.1. Soient A un point de R3 et a, b deux vecteurs linéairement indépendants

de R3 .
La surface paramétrée f : R2 → R3 définie par
f (u, v) = A + ua + vb
est une paramétrisation du plan passant par A et dirigé par a et b, i.e., A + V ect{a, b}.
34
1.4. Surfaces
Exemple 1.4.2. Le Cylindre est paramétré par f : R2 → R3 définie par f (u, v) = (R cos u, R sin u, v)
avec R > 0.
Définition 1.4.3 (Reparamétrisation). Soient U et V deux ouvert connexes de R2 et soit

S la surface de paramétrisation f : U → R3 de classe C k .
On dit qu’une surface paramétrée f˜ : V → R3 de classe C k est une reparamétrisation de f s’il
existe une application bijective ϕ : V ⊂ R2 → U de classe C k telle que ϕ−1 : U → V est de
classe C k et f˜ = f ◦ ϕ. Dans ce cas,
f˜(V ) = f ◦ ϕ(V ) = f (U ) = S.
C’est à dire que f et f˜ ont le même support.

On dit que ϕ est un changement de paramètres.
Exemple 1.4.3. Considérons la surface paramétrée f : R2 → R3 définie par
f (u, v) = (ev , (u − v)e−v , u − v),
et la surface paramétrée f˜ : R × R∗+ → R3 définie par

t
f˜(t, s) = (s, , t).
s
35
1.4. Surfaces
f et f˜ ont le même support géométrique. En effet, si on définit l’application ϕ : R×R∗+ → R2

par ϕ(t, s) = (t + ln s, ln s), ϕ est bijective et de classe C 1 sur R × R∗+ , et ϕ−1 : R2 → R × R∗+ ,
définie par ϕ−1 (u, v) = (u − v, ev ) est de classe C 1 sur R2 .
De plus, pour tout (t, s) ∈ R × R∗+ , on a
t
f ◦ ϕ(t, s) = f (ϕ(t, s)) = (eln s , te− ln s , t) = (s, , t) = f˜(t, s).
s
Donc f˜ = f ◦ ϕ.
Définition 1.4.4 (Point régulier- Courbe régulière).

Soient f : U → R3 une surface paramétrée de classe C 1 et (u0 , v0 ) ∈ U .
³ df df ´
On dit qu’un point M0 = f (u0 , v0 ) est un point régulier si la famille (u0 , v0 ), (u0 , v0 )
du dv
df df
est libre, ou de manière équivalente, si le vecteur (u0 , v0 ) ∧ (u0 , v0 ) est non nul.
du dv
Dans le cas contraire, on dit que la point est stationnaire ou singulier.
On dit que f est régulière si tous ses points sont réguliers.
Exemple 1.4.4. Soit f : R2 → R3 une surface paramétrée définie par
f (u, v) = (2u2 − 3v + 1, uv + 3v, u + v − 2).

³ df df ´
Alors (u, v), (u, v) = ((4u, v, 1), (−3, u + 3, 1)) est liée si et seulement si
du dv
(4u, v, 1) ∧ (−3, u + 3, 1) = (v − u − 3, −4u − 3, 4u2 + 12u + 3v) = (0, 0, 0)
3 9
⇐⇒ u = − , v = .
4 4
Tous les points sont réguliers sauf f (− 4 , 4 ) = (− 8 , 16 , − 21 ).
3 9 37 81
Définition 1.4.5 (Plan tangent). Soient f : U → R3 une surface paramétrée de classe

C 1 et (u0 , v0 ) ∈ U tel que M0 = f (u0 , v0 ) soit un point régulier. On appelle plan tangent à
df
f en M0 le plan Πf (u0 , v0 ) passant par M0 et dirigé (engendré) par les vecteurs (u0 , v0 )
n df o du
df df
et (u0 , v0 ), c’est à dire le plan M0 + V ect (u0 , v0 ), (u0 , v0 )) . C’est aussi le plan
dv du dv
df df
passant par M0 et orthogonal à (u0 , v0 ) ∧ (u0 , v0 ).
du dv
Ce plan admet pour équation cartésienne
³−−−→ df df ´
M (x, y, z) ∈ Πf (u0 , v0 ) ⇐⇒ det M0 M , (u0 , v0 ), (u0 , v0 ) = 0.
du dv
Exemple 1.4.5. Considérons f la surface paramétrée donnée dans l’exemple 1.4.4 et consi-
dérons un point C de paramètres (0, 0)). Alors
C = f (0, 0) = (1, 0, −2) ⇒ C point régulier.

36
1.4. Surfaces
df df
On a (0, 0) = (0, 0, 1) et (0, 0) = (−3, 3, 1). Donc f admet un plan tangent Πf (1, 1) en
du dv
C d’équation cartésienne
¯ ¯
¯ ¯
¯ x − 1 0 −3 ¯
¯ ¯
M (x, y, z) ∈ Πf (1, 1) ⇐⇒ ¯¯ y 0 3 ¯¯ = 0 ⇐⇒ x + y − 1 = 0.
¯ ¯
¯ z+2 1 1 ¯
Définition 1.4.6 (Vecteur normal unitaire). Soient f : U → R3 une surface paramétrée

de classe C 1 et M0 = f (u0 , v0 ) un point régulier.
Le vecteur normal unitaire au plan tangent (ou à f ) en M0 est le vecteur
df df
(u0 , v0 ) ∧ (u0 , v0 )
N (u0 , v0 ) = ° du dv
°.
° df df °
° (u0 , v0 ) ∧ (u0 , v0 )°
du dv
Exemple 1.4.6. Le point C dans l’Exemple 1.4.5 et régulier et on a
df df ° df df ° √
° °
(0, 0) ∧ (0, 0) = (−3, −3, 0), ° (0, 0) ∧ (0, 0)° = 3 2.
du dv du dv
√ √
2 2
Donc N (0, 0) = (− 2
, − 2
, 0).
Définition 1.4.7 (Repère adapté). Soient f : U → R3 une surface paramétrée régulière.

Le repère adapté à f est le repère mobile direct donné pour tout (u, v) ∈ U par (M =
df df
f (u, v), B1 (u, v), B2 (u, v), N (u, v)), où B1 (u, v) = (u, v) et B2 (u, v) = (u, v).
du dv
Remarque 1.4.8. Ce repère est ni orthogonal ni normal
Proposition 1.4.9. Une reparamétrisation d’une surface paramétrée régulière est régulière
Preuve.
Soient U et V deux ouverts connexes de R2 . Soit f : U → R3 une surface paramétrée
régulière et soit ϕ : V → U une application bijective de classe C 1 telle
(t, s) 7→ (ϕ1 (t, s), ϕ2 (t, s))
que ϕ−1 : U → V est de classe C 1 . On pose f˜ = f ◦ ϕ. Montrons que f˜ est régulière.
37
1.4. Surfaces
f˜ est de classe C 1 comme composition de fonctions de classe C 1 .

Soit (t, s) ∈ V . On a
df˜ df ◦ ϕ dϕ1 df dϕ2 df

(t, s) = (t, s) = (t, s) (ϕ(t, s)) + (t, s) (ϕ(t, s))
dt dt dt du dt dv
et
df˜ df ◦ ϕ dϕ1 df dϕ2 df
(t, s) = (t, s) = (t, s) (ϕ(t, s)) + (t, s) (ϕ(t, s)).
ds ds ds du ds dv
Donc
df˜ df˜ dϕ1 dϕ2 dϕ2 dϕ1 df df

(t, s) ∧ (t, s) = ( (t, s) (t, s) − (t, s) (t, s))( (ϕ(t, s)) ∧ (ϕ(t, s)))
dt ds dt ds dt ds du dv
df df
= detJϕ (t, s)( (ϕ(t, s)) ∧ (ϕ(t, s))), (1.1)
du dv
où Jϕ est la matrice jacobienne de la fonction ϕ. Or, Jϕ−1 = (Jϕ ◦ ϕ−1 )−1 . Donc Jϕ (t, s)
est inversible, alors sont déterminant est non nul. Par conséquent, (1.1) montre que f˜ est
régulière. ¤
Proposition 1.4.10. Soient f : U → R3 et g : V :→ R3 deux surfaces paramétrées régulières

telles que f (U ) = g(V ) = S. Alors, ϕ = f −1 ◦ g : V → U est une application bijective, de
classe C 1 sur V et ϕ−1 est de classe C 1 sur U .
Définition 1.4.11 (Courbe tracée sur une surface). Soient f : U → R3 une surface
paramétrée de classe C k et S son support.
On appelle courbe paramétrée de classe C k tracé sur S toute courbe paramétrée γ : I → S telle
que, il existe une application (courbe paramétrée plane) γ̃ : I → U de classe C k
t 7→ (u(t), v(t))
vérifiant
γ(t) = f (u(t), v(t)), ∀t ∈ I.
Exemple 1.4.7. Considérons le cylindre de paramétrisation f : R2 → R3 définie par

f (u, v) = (R cos u, R sin u, v). On définit u, v : R → R par u(t) = t, v(t) = t. On obtient une
paramétrisation d’une hélice tracée sur le cylindre (Voir Fig. 1.2).
38
1.4. Surfaces
Définition 1.4.12. Soient f : U → R3 une surface paramétrée de classe C k , (u0 , v0 ) ∈ U et

I, J deux intervalles de R tels que {u0 } × J ⊂ U et I × {v0 } ⊂ U .
Les courbes paramétrées
γ : I → R3 β : J → R3
et
u 7→ f (u, v0 ) v 7→ f (u0 , v)
sont appelées courbes coordonnées en (u0 , v0 ).
Proposition 1.4.13. Soient f : U → R3 une surface paramétrée de classe C 1 , γ : I → R3

t 7→ f (u(t), v(t))
1
une courbe paramétrée de classe C tracée sur f et M0 = γ(t0 ) = f (u(t0 ), v(t0 )) un point de
la courbe γ.
Si M0 est à la fois un point régulier de γ et un point régulier de f , alors la tangente à γ en
γ(t0 ) est contenue dans le plan tangent à f en f (u(t0 ), v(t0 )).
Preuve.
La tangente à γ en γ(t0 ) est dirigée par γ 0 (t0 ). Or,
df df df df
γ 0 (t0 ) = u0 (t0 ) (u(t0 ), v(t0 ))+v 0 (t0 ) (u(t0 ), v(t0 )) ∈ V ect{ (u(t0 ), v(t0 )), (u(t0 ), v(t0 ))},
du dv du dv
et comme γ(t0 ) = f (u(t0 ), v(t0 )), on en déduit que la tangente à γ en γ(t0 ) est contenue dans
le plan tangent à f en f (u(t0 ), v(t0 )). ¤
Définition 1.4.14 (Aire des surfaces). Soit f : U → R3 une surface paramétrée régulière
de support S. On appelle aire de S le nombre réel positif
ZZ ° °
° df df °
Aire(S) = ° (u, v) ∧ (u, v)° dudv.
° du dv °
U
π π
Exemple 1.4.8. f :] − , [×] − π, π[→
2 2
R3 , (u, v) 7→ (cos u cos v, cos u sin v, sin v) est la pa-
ramétrisation de la sphère S = {(x, y, z) ∈ R3 , k(x, y, z)k = 1}, moins l’arc semi-circulaire
2
du pôle nord (0, 0, 1) au pôle sud (0, 0, −1) qui passe par (−1, 0, 0).
L’aire de la sphère est donné par
Z πZ π ° °
2 ° df df °
2
Aire(S ) = ° (u, v) ∧ (u, v)° dudv =
π
° du dv °
−π − 2
Z π Z π
π
2
cos ududv = 2π [sin u]−2 π = 4π.
2
−π − π2
Théorème 1.4.15. Soient U et V deux ouverts de R2 . Soit f : U → R une fonction continue

sur U et soit ϕ : V → U une application bijective de classe C 1 telle que ϕ−1 est de classe C 1 .
Alors l’application (t, s) ∈ V → |det(Jϕ (t, s))|f (ϕ(t, s)) est continue sur V et on a
ZZ ZZ
f (x, y)dxdy = |det(Jϕ (t, s))|f (ϕ(t, s))dtds.
U V
39
1.4. Surfaces
Proposition 1.4.16. Soit S ⊂ R2 une surface. Alors, Aire(S) ne dépend pas de la paramé-
trisation régulière de S.
Preuve.
Soit f : U → R3 une paramétrisation régulière de S et soit f˜ : V → R3 une autre
paramétrisation régulière de S. On pose ϕ = f −1 ◦ f˜. Par la Proposition 1.4.10, ϕ est un
changement de paramètres. De plus f˜ = f ◦ ϕ. Comme dans la preuve de la Proposition
1.4.9, pour tout (t, s) ∈ V , on trouve
df˜ df˜ df df
(t, s) ∧ (t, s) = detJϕ (t, s)( (ϕ(t, s)) ∧ (ϕ(t, s))).
dt ds du dv
Donc, en utilisant le Théorème 1.4.15, on a
ZZ ° ° df˜ ˜
°
° ZZ ° °
° df ° ° df df °
° (t, s) ∧ (t, s)° dudv = |det(Jϕ (t, s))| °
° (ϕ(t, s)) ∧ (ϕ(t, s))°
° dtds
° dt ds ° du dv
V V
ZZ ° °
° df df °
= ° (u, v) ∧ (u, v)° dudv.
° du dv °
U
1.4.2 Surfaces définies par une équation cartésienne

Définition 1.4.17. On appelle surface (implicite) un sous ensemble de R3 de la forme
S = {(x, y, z) ∈ U, F (x, y, z) = 0},
où U est un ouvert de R3 et F : U → R est une fonction.

S est dite surface d’équation cartésienne F (x, y, z) = 0.
S est dite de classe C k , k ∈ N ∪ {∞} si F est de classe C k sur U .
Exemple 1.4.9. Le plan orthogonal au vecteur ~u(1, 2, 3) passant par A(1, 0, 1) admet l’équa-
tion cartésienne x + 2y + 3z = −2, donc F : R3 → R .
(x, y, z) 7→ x + 2y + 3z + 2
Définition 1.4.18. Soient U un ouvert de R3 , F : U → R une fonction de classe C k (k ≥ 1)

et S la surface d’équation cartésienne F (x, y, z) = 0.
Un point M0 = (x0 , y0 , z0 ) ∈ S est dit régulier si
−−→ dF dF dF
gradF (x0 , y0 , z0 ) = ( (x0 , y0 , z0 ), (x0 , y0 , z0 ), (x0 , y0 , z0 )) 6= (0, 0, 0).
dx dy dz
Dans le cas contraire, le point est dit singulier ou stationnaire.

S est dite régulière si tous ses points sont réguliers.
40
1.4. Surfaces
Exemple 1.4.10. Considérons la surface S d’équation cartésienne x2 + y 2 = ez . Alors S est

régulière. En effet, en définissant F : R3 → R par F (x, y, z) = x2 + y 2 − ez , on a pour tout
−−→
(x, y, z) ∈ R3 , gradF (x, y, z) = (2x, 2y, −ez ) 6= (0, 0, 0).
Théorème 1.4.19 (Théorème des fonctions implicites). Soient U un ouvert de R3 ,

F : U → R de classe C k (avec k ≥ 1 ) et (x0 , y0 , z0 ) ∈ U tel que F (x0 , y0 , z0 ) = 0.
dF
Si (x0 , y0 , z0 ) 6= 0 alors il existe une boule ouverte B centrée en (x0 , y0 ), un intervalle
dz
ouvert J centré en z0 et il existe une fonction ϕ : B → J de classe C k vérifiant
B × J ⊂ U et ∀(x, y, z) ∈ B × J, F (x, y, z) = 0 ⇔ z = ϕ(x, y).
Proposition 1.4.20 (Plan tangent). Soient U un ouvert de R3 , F : U → R une fonction

de classe C 1 , S la surface d’équation cartésienne F (x, y, z) = 0 et M0 = (x0 , y0 , z0 ) ∈ S. Si
−−→
M0 est régulier, la surface S admet en M0 un plan tangent normal au vecteur gradF (x0 , y0 , z0 )
et donc d’équation cartésienne
dF dF dF
(x0 , y0 , z0 )(x − x0 ) + (x0 , y0 , z0 )(y − y0 ) + (x0 , y0 , z0 )(z − z0 ) = 0.
dx dy dz
Preuve.
−−→ dF
Puisque M0 est régulier on a gradF (x0 , y0 , z0 ) 6= (0, 0, 0). Donc (x0 , y0 , z0 ) 6= 0 ou bien
dx
dF dF dF
(x0 , y0 , z0 ) 6= 0 ou bien (x0 , y0 , z0 ) 6= 0. Supposons d’abord que (x0 , y0 , z0 ) 6= 0,
dy dz dz
alors, par le Théorème 1.4.19, il existe une boule ouverte B centrée en (x0 , y0 ), un intervalle
ouvert J centré en z0 et il existe une fonction ϕ : B → J de classe C 1 vérifiant
B × J ⊂ U et ∀(x, y, z) ∈ B × J, F (x, y, z) = 0 ⇔ z = ϕ(x, y).
Donc la surface S admet au voisinage de M0 une paramétrisation f : B → R3

(x, y) 7→ (x, y, ϕ(x, y))
1
de classe C . Or,
df dϕ df dϕ
(x, y) = (1, 0, (x, y)) et (x, y) = (0, 1, (x, y)).
dx dx dy dy
D’où
df df dϕ dϕ
(x, y) ∧ (x, y) = (− (x, y), − (x, y), 1) 6= (0, 0, 0).
dx dy dx dy
Donc S admet en M0 un plan tangent Π d’équation cartésienne
¯ ¯
¯ ¯
¯ x − x0 1 0 ¯
¯ ¯
¯ y − y0 0 1 ¯
(x, y, z) ∈ Π ⇐⇒ ¯ ¯=0
¯ ¯
¯ z − z0 dϕ (x0 , y0 ) dϕ (x0 , y0 ) ¯
¯ dx dy ¯
dϕ dϕ
⇐⇒ − (x0 , y0 )(x − x0 ) − (x0 , y0 )(y − y0 ) + (z − z0 ) = 0. (1.2)
dx dy
41
1.4. Surfaces
D’autre part, pour tout (x, y) ∈ B, on a F (x, y, ϕ(x, y)) = 0. En dérivant par rapport à x,
on trouve
dF dF dϕ
(x, y, ϕ(x, y)) + (x, y, ϕ(x, y)) (x, y) = 0,
dx dz dx
et en dérivant par rapport à y, on obtient
dF dF dϕ
(x, y, ϕ(x, y)) + (x, y, ϕ(x, y)) (x, y) = 0.
dy dz dy
dF
Comme (x0 , y0 , z0 ) 6= 0, on aura
dz
dF
dϕ (x0 , y0 , z0 )
(x0 , y0 ) = − dx ,
dx dF
(x0 , y0 , z0 )
dz
et
dF
(x0 , y0 , z0 )
dϕ dy
(x0 , y0 ) = − dF .
dy dz
(x0 , y0 , z0 )
En remplaçant dans (1.2), on déduit que Π admet pour équation cartésienne
dF dF dF
(x0 , y0 , z0 )(x − x0 ) + (x0 , y0 , z0 )(y − y0 ) + (x0 , y0 , z0 )(z − z0 ) = 0.
dx dy dz
dF
En permutant les rôles des variables, ce dernier résultat est encore valable lorsque (x0 , y0 , z0 ) 6=
dy
dF
0 ou (x0 , y0 , z0 ) 6= 0. ¤
dz
Exemple 1.4.11. Soit S la surface d’équation cartésienne
x2 + y 2 + z 2 + 2xyz = 1.
Considérons F : R3 → R .
2 2 2
(x, y, z) 7→ x + y + z + 2xyz − 1
F est de classe C ∞ et pour tout (x, y, z) ∈ R3 , on a
−−→
gradF (x, y, z) = (2x + 2yz, 2y + 2xz, 2z + 2xy).
−−→
Puisque F (2, 1, −2) = 0, on a (2, 1, −2) ∈ S. D’autre part, gradF (2, 1, −2) = (0, −6, 0) 6=
(0, 0, 0). Donc le point (2, 1, −2) est un point régulier et S admet en ce point un plan tangent
d’équation y = 0.
Corollaire 1.6. Toute surface peut être paramétrée localement autour d’un point régulier,
c’est-à-dire dans un voisinage ouvert du point.
42
1.4. Surfaces
1.4.3 Surfaces usuelles

Cylindres généralisés
Soit Γ une courbe de l’espace et ~u un vecteur non nul de R3 . On appelle cylindre généralisé
(ou surface cylindrique) C de directrice Γ et de direction ~u le réunion des droites de direction
S
~u passant par Γ, i.e., C = (M + V ect{~u}).
M ∈Γ
Pour tout point M ∈ C , on appelle génératrice de M sur C le droite passant par M de
direction ~u.
On appelle section droite du cylindre C l’intersection de C avec un plan orthogonal à ~u, c’est
aussi une directrice du cylindre.
Supposons que Γ est de paramétrisation γ : I → R3 . Alors

t 7→ γ(t) = (x(t), y(t), z(t))
M ∈C ⇔ ∃t ∈ I, M ∈ γ(t) + V ect{~u}
⇔ ∃(t, λ) ∈ I × R, M = γ(t) + λ~u.
Donc, f : I × R → R3 est une paramétrisation du cylindre généralisé C .

(t, λ) 7→ f (t, λ) = γ(t) + λ~u
De plus, si M est de coordonnées (x, y, z) et ~u(a, b, c) alors


 X = x(t) + aλ

M ∈C ⇔ Y = y(t) + bλ , (t, λ) ∈ I × R (1.3)


 Z = z(t) + cλ
En éliminant λ et t dans le système (1.3), on obtient une équation cartésienne d’un

cylindre généralisé qui contient C .
Exemple 1.4.12. Considérons la courbe Γ de paramétrisation γ : R → R3 , γ(t) = (t, t, t2 ).

De l’Exemple 1.1.7, Γ est plane, de plus le vecteur γ 0 (t) ∧ γ 00 (t) = (2, −2, 0) est orthogonal
au plan contenant Γ.
43
1.4. Surfaces
Considérons C le cylindre généralisé de section de droite Γ, c’est à dire de directrice Γ

et de direction ~u(2, −2, 0).
Le cylindre généralisé C est de paramétrisation f : R2 → R3 .
(t, λ) →
7 f (t, λ) = (t + 2λ, t − λ, t2 )
Soit M (x, y, z) un point de C , alors il existe (t, λ) ∈ R2 tels que


 X = t + 2λ

Y = t − 2λ .


 Z = t2
En éliminant λ et t dans le système, on obtient une équation cartésienne z = (x + y)2 du

cylindre généralisé C .
Proposition 1.4.21. Soient ~u un vecteur non nul de R3 , Γ une courbe de paramétrisation
γ : I → R3 de classe C 1 et C le cylindre généralisé de directrice Γ et de direction ~u.
Si γ(t0 ) est un point régulier de Γ tel que γ 0 (t0 ) est ~u sont linéairement indépendant, alors
le point M0 = γ(t0 ) + λ~u, λ ∈ R est un point régulier de C en lequel le plan tangent est
γ(t0 ) + V ect{γ 0 (t0 ), ~u}.
Cônes généralisés
Soit Γ une courbe de l’espace et Ω un point fixe de l’espace n’appartenant pas à Γ.

On appelle cône généralisé C de directrice Γ et de sommet Ω la réunion des droites passant
S S −−→
par Ω et un point de Γ, i.e., C = (ΩM ) = (Ω + V ect{ΩM }).
M ∈Γ M ∈Γ
Pour tout point M ∈ C différent de Ω, on appelle génératrice de M sur C la droite (ΩM ).
Soit γ : I → R3 une paramétrisation de Γ. On a

t 7→ γ(t) = (x(t), y(t), z(t))
M ∈C ⇐⇒ ∃t ∈ I, M ∈ Ω + V ect{γ(t) − Ω}
⇐⇒ ∃(t, λ) ∈ I × R, M = (1 − λ)Ω + λγ(t).
44
1.5. Exercices
Donc, la surface paramétrée f : I × R → R3 est une paramétrisa-

(t, λ) 7→ f (t, λ) = (1 − λ)Ω + λΓ
tion du cône généralisé de directrice Γ et de sommet Ω.
Exemple 1.4.13. Le cône généralisé C du sommet Ω(1, 0, 1) et de directrice la courbe Γ de
paramétrisation γ : R → R3 , γ(t) = (t, t, t2 ) est paramétré par
f : R2 → R3 .
2
(t, λ) 7→ f (t, λ) = (λt − λ + 1, λt, λt − λ + 1)
Proposition 1.4.22. Soient Γ une courbe de paramétrisation γ : I → R3 de classe C 1 , Ω
un point non contenu dans Γ et C le cône généralisé de directrice Γ et de sommet Ω .
Si la famille {γ(t0 ) − Ω, Γ0 (t0 )} est libre et si λ 6= 0, alors le point M0 = λγ(t0 ) + (1 − λ)Ω
est un point régulier de C en lequel le plan tangent est
Ω + V ect{γ 0 (t0 ), γ(t0 ) − Ω}.
Surfaces de révolution
On appelle surface de revolution la surface Σ obtenue en faisant tourner une courbe Γ

autour d’une droite ∆.
On dit que ∆ est l’axe de révolution de Σ.
On appelle méridienne (ou : demi-méridienne) de Σ l’intersection de Σ avec un demi-plan
limite par ∆.
On appelle parallèles de Σ les cercles d’axe ∆ et rencontrant Γ.
1.5 Exercices
Exercice 1.1. Montrer que les deux paramétrisations suivantes
³ 1 − t2 2t ´
γ(t) = , , t ∈] − 1, 1[
1 + t2 1 + t2
45
1.5. Exercices
i π πh
γ̃(θ) = (cos θ, sin θ), θ ∈ − ,
2 2
sont l’une une reparamétrisation de l’autre.
Exercice 1.2. Soit γ : [0, 2π] → R2 la courbe paramétrée definie par
γ(t) = (3 cos t − cos 3t, 3 sin t − sin 3t), t ∈ [0, 2π]
1. Déterminer les points réguliers.

2. Déterminer le repère de Frenet à γ en tout point régulier γ(t).
3. Déterminer le rayon de courbure de γ en tout point régulier γ(t).
Exercice 1.3. Considérons la cubique gauche γ : R → R3 définie par
γ(t) = (t, t2 /2, t3 /6), t ∈ R.
1. Montrer que γ est birégulière.

2. Déterminer une abscisse curviligne.
3. Calculer la longueur de γ sur l’intervalle [0, 1].
4. Déterminer le repère de Frenet de γ.
5. Calculer la courbure et la torsion de γ.
Exercice 1.4. Considérons la courbe paramétrée γ : R → R3 définie par
γ(t) = (t cos t, t sin t, t), t ∈ R.
1. γ est-elle régulière ?
√
2. Calculer la longueur de la courbe γ sur l’intervalle [0, 2].
3. Déterminer le repère de Frenet à γ en tout point birégulier.
4. Calculer la torsion de γ.
5. Trouver l’équation du plan osculateur de la courbe γ au point γ(0).
Exercice 1.5. Une courbe plane est souvent définie en coordonnées polaires par r = r(θ),
appelée équation polaire. Autrement dit, la paramétrisation de la courbe est de la forme
γ(θ) = (r(θ) cos θ, r(θ) sin θ),
où θ appartient à un intervalle I de R.
1. Calculer la longueur d’arc en coordonnées polaires.
2. Calculer la courbure en coordonnées polaires.
46
1.5. Exercices
3. Soit Γ la courbe d’équation polaire
r = 1 + cos θ,
avec θ ∈ [0, π/2].

a. Calculer la courbure en tout point.
b. Calculer la longueur de cette courbe sur [0, π/2].
Exercice 1.6. Soit γ : I → R2 une courbe paramétrée par abscisse curviligne, régulière et
de classe C2 . On suppose qu’il existe une application ϕ : I → R telle que pour tout t ∈ I
γ(t) = (t, ϕ(t)).
1. Montrer que la courbure de la courbe est donnée par
ϕ00
κ=
(1 + ϕ02 ) 23
2. À quelle condition est-elle paramétrée par abscisse curviligne ?
Exercice 1.7. Soit la courbe plane Γ d’équation cartésienne x3 + y 3 − 3xy = 0.

1. Trouver les points non réguliers de la courbe Γ.
2. Déterminer la tangente à Γ en tout point régulier.
Exercice 1.8. A. Répondre par vrai ou faux sans justifier.

1. Toute courbe paramétrée de classe C 2 est régulière.
2. Si une courbe paramétrée admet une droite tangente en un point, alors elle est régulière
en ce point.
3. Toute courbe normale est régulière.
4. Si la courbure d’une courbe est nulle en tout point alors elle est plane.
B. Répondre par vrai ou faux et justifier.
1. La longueur de la courbe paramétrée γ : t ∈ [0, 2π] 7→ (cos3 t, sin3 t) vaut 6..
2. Considérons la parabole d’équation y 2 = 2px, avec p > 0. La courbure γ en un point
M (x, y) vaut √ −1 .
p2 +y 2
3. La surface paramétrée f : (u, v) ∈ R2 7→ (u, |u + 3| + 1, v) est régulière.

4. la torsion de l’hélice paramétrée par t ∈ R 7→ (cos t, sin t, t) est constante.
5. La courbe paramétrée γ : t 7→ (t2 , t3 , t4 ) n’admet pas de droite tangente en t = 0.
Exercice 1.9. Former une équation cartésienne du plan tangent en un point régulier quel-
conque de la surface paramétrée par
f (u, v) = (shu, shv, u + v).

47
1.5. Exercices
Exercice 1.10. Donner une équation du plan tangent à la surface (S) d’équation x2 y 3 +
y 2 z 3 − z 2 x3 − 1 = 0 au point A de coordonnées (1, 1, −1).
Exercice 1.11. On considère la nappe paramétrée f : R2 → R3 définie par
f (u, v) = (u + v, 2uv, u2 + v 2 ), (u, v) ∈ R2 .
1. Déterminer les points réguliers de f et une équation du plan tangent en un tel point.
2. Donner une équation cartésienne du support (S) de f .
3. Étudier l’intersection de (S) et de son plan tangent en un point régulier.
Exercice 1.12. (S) est la surface d’équation x2 + y 2 + z 2 + 2xyz = 1.

1. Préciser l’intersection de (S) avec le plan (xOy).
2. Quels sont les points stationnaires de (S).
3. Determiner les valeurs de α pour lesquelles (2, 1, α) appartient à (S). Etablir une équa-
tion du plan tangent à (S) en ces points.
4. Montrer que (S) contient la surface (Σ), le support de la surface paramétrée f : R2 7→
R3 définie par f (u, v) = (cos u, cos v, cos(u + v)). A-t-on (Σ) = (S) ?
Exercice 1.13. Donner une équation cartesienne du cylindre (C ) de direction ~u(1, 1, 0) et

de directrice (Γ) définie par la courbe paramétrée γ : R → R3 avec
γ(t) = (cos t, sin t, t).
48
CHAPITRE 2
Géométrie affine
Dans ce chapitre, on se concentre sur la notion d’espace affine. Un espace affine est un
ensemble de points qui généralise, en dimension quelconque, le plan et l’espace déjà étudier,
et un espace vectoriel lui est attaché, qui permet d’associer à tout couple de points un vecteur.
Donc, la géométrie affine traite les relations entre ses points, elle est l’étude des propriétés
géométriques qui sont conservées par toute transformation affine comme l’alignement, le
parallélisme et d’autres. On peut aussi parler de barycentre, d’intersection de sous espaces
(affines) et d’applications affines.
2.1 Espaces affines
2.1.1 Définitions
Soit K un corps commutatif et soit E un espace vectoriel sur K.
Définition 2.1.1. Soit E un ensemble non vide.

On dit que E est un espace affine dirigé par E s’il existe une loi de composition externe
+̇ : E × E → E
(A, ~u) 7→ A+̇~u
vérifiant les trois axiomes suivants

(i) pour tout A ∈ E , A+̇ ~0 = A ;
(ii) pour tout A ∈ E et tous ~u, ~v ∈ E, (A+̇~u)+̇~v = A+̇(~u + ~v ) ;
(iii) pour tout A ∈ E , L’application ~u 7→ A+̇~u est une bijection de E dans E , c’est à dire,
∀ A, B ∈ E , ∃!~u ∈ E tel que B = A+̇~u.
49
2.1. Espaces affines
Les éléments de E sont appelés des points, ceux de E sont des vecteurs.
La dimension de E est par définition celle de E, i.e., dim E = dim E.
Notation 2.1.1.
• Nous noterons désormais + au lieu de +̇.
−→
• Lorsque ~u est l’unique vecteur tel que B = A + ~u, on notera ~u = B − A = AB donc
−→
B = A + AB.
• On note (E , E) l’espace affine E dont la direction est E.
Exemple 2.1.1.
• La structure d’un espace vectoriel.
Tous espace vectoriel E est un espace affine dirigé par lui même. En effet, si on prend
E = E, on définit la loi externe + comme étant la loi interne de E. Il est claire que
les trois axiomes sont vérifiées, donc E est un espace affine sur E.
• Les espaces Rn , n ∈ N sont des espaces affines.
Proposition 2.1.2. Soit (E , E) un espace affine. Pour tous points A, B, C ∈ E , on a

−→ −→
1. AB = ~0 ⇐⇒ A = B, i.e., AA = ~0 ;
−→ −→
2. AB = AC ⇐⇒ B = C ;
−→ −−→ −→
3. AB + BC = AC (relation de Chasles) ;
−→ −→
4. BA = −AB.
Preuve.
−→
1. AB = ~0 ⇐⇒ B = A + ~0 = A.
−→ −→
2. On a B = A + AB et C = A + AC et donc
−→ −→
AB = AC ⇐⇒ B = C.
3. On a
−→ −−→ −→ −−→ −→ −−→
A + AC = C = B + BC = (A + AB) + BC = A + (AB + BC).
−→ −→ −−→
d’où AC = AB + BC.
−−→ −→ −→ −→ −→
4. On a ~0 = BB = BA + AB donc BA = −AB.
¤
Proposition 2.1.3. Soit E un ensemble non vide. Alors, (E , E) est un espace affine si et
seulement s’il existe une application
ψ :E ×E → E
(A, B) 7→ ψ(A, B)
telle que
50
(a) pour tous A, B, C ∈ E , ψ(A, B) + ψ(B, C) = ψ(A, C) ;

(b) pour tout point A de E , l’application
ψA : E → E
B 7→ ψ(A, B)
est bijective de E dans E.

−→
Dans ce cas, pour tous A, B ∈ E , ψ(A, B) = AB.
Preuve.
Soit E un ensemble et supposons qu’il existe une application
ψ :E ×E → E
(A, B) 7→ ψ(A, B)
vérifiant (a) et (b) et montrons que E est un espace affine dirigé par E.
Pour tout A ∈ E , on définit
+̇ : E × E → E
(A, ~u) 7→ A+̇~u = (ψA )−1 (~u).
On doit vérifier que la définition de A+̇~u a un sens pour tout (A, ~u) ∈ E × E. Or, de
l’hypothèse (b), pour tout A ∈ E , ψA est bijective, donc (ψA )−1 est bien définie comme
application de E dans E . D’où +̇ a un sens. Donc +̇ est une loi de composition externe
associe à un couple (A, ~u) ∈ E × E un élément de E .
Montrons maintenant que +̇ vérifie les trois propriétés (i), (ii) et (iii) de la Définition 2.1.1.
(i) Pour tout A ∈ E , on a A+̇~0 = (ψA )−1 (~0). Par (b), il existe B ∈ E tel que ~0 = ψA (B) =
ψ(A, B). Or, par (a), on a aussi ψ(A, A) + ψ(A, A) = ψ(A, A), donc ψ(A, A) = ~0 =
ψA (A). D’où ψA (B) = ψA (A) = ~0. Comme ψA est bijective (d’après (b)), on conclut
que A = B et A+̇~0 = A.
(ii) Soient A ∈ E et ~u, ~v ∈ E. Posons B = A+̇~u, C = B +̇~v et D = A+̇(~u + ~v ). On
doit montrer que C = D. Or, D = (ψA )−1 (~u + ~v ), donc ψA (D) = ~u + ~v = ψ(A, D).
D’autre part, B = (ψA )−1 (~u), donc ~u = ψA (B) = ψ(A, B) et C = (ψB )−1 (~v ), donc
~v = ψB (C) = ψ(B, C). D’où ~u + ~v = ψ(A, B) + ψ(B, C) = ψ(A, C) (en appliquant
(a)). On a donc ψ(A, C) = ψ(A, D), i.e., ψA (C) = ψA (D) et puisque ψA est bijective,
C = D.
(iii) Pour tout A ∈ E , on a
∀~u ∈ E, A+̇~u = (ψA )−1 (~u),
donc, l’application ~u 7→ A+̇~u = (ψA )−1 (~u) est bijective.
51
De (i), (ii) et (iii), on conclut que (E , E) est un espace affine.

Réciproquement, supposons que (E , E) est un espace affine. Pour tout (A, B) ∈ E × E , on
−→
pose ψ(A, B) = AB. ψ est bien une application de E × E vers E et elle vérifie (a) grâce à la
relation de Charles, puisque
−→ −−→ −→
ψ(A, B) + ψ(B, C) = AB + BC = AC = ψ(A, C).
−→
Montrons (b). Soit A ∈ E , alors l’application ψA est définie par ψA (B) = ψ(A, B) = AB de
E dans E. Elle est injective car
−→ −→
ψA (B) = ψA (C) ⇔ AB = AC
= B=C (Proposition 2.1.2 2.),
−→
et surjective, puisque pour tout ~u ∈ E, il existe B = A + ~u tel que ~u = AB = ψ(A, B) =
ψA (B). Donc ψA est bijective. ¤
2.1.2 Translations
Soit (E , E) un espace affine.
Proposition 2.1.4. Pour tout ~u ∈ E, l’application A 7→ A + ~u est une bijection de E dans

lui même appelée translation de vecteur ~u. On la note t~u .
Preuve.
Soit ~u ∈ E.
• Pour tout B ∈ E , on pose A = B + (−~u), donc
(ii) (i)
A + ~u = [B + (−~u)] + ~u = B + [(−~u) + ~u] = B + ~0 = B.
D’où t~u est surjective.

• Si t~u (A) = t~u (A0 ) = B, on a A + ~u = A0 + ~u, donc
A = A + ~0 = A + (~u − ~u) = (A + ~u) + (−~u) = (A0 + ~u) + (−~u) = A0 + ~0 = A0 .
D’où t~u est injective.

¤
Proposition 2.1.5.
1. Pour tous ~u, ~v ∈ E, t~u+~v = t~u ◦ t~v = t~v ◦ t~u .
2. t~0 = IdE .
3. Pour tout ~u ∈ E, (t~u )−1 = t(−~u) .
52
Preuve.
1. Soit ~u, ~v ∈ E. Pour tout A ∈ E , on a
t~u+~v (A) = A + (~u + ~v ) = (A + ~u) + ~v = t~u (A) + ~v = t~v ◦ t~u (A).
2. Soit A ∈ E , t~0 (A) = A + ~0 = A = IdE (A).

3. Soit ~u ∈ E et soient A, B ∈ E . on a
B = t~u (A) ⇔ B = A + ~u
−→
⇔ AB = ~u
−→
⇔ BA = −~u
⇔ A = B + (−~u) = t−~u (B).
Donc, (t~u )−1 = t−~u .
¤
Remarque 2.1.6. De la proposition précédente, on déduit que l’ensemble des translations de
E , noté T (E ), muni de la composition, est un groupe commutatif. De plus, il est isomorphe
au groupe additif (E, +).
En effet, De le Définition 2.1.1 (ii) et de la Proposition 2.1.5 1., l’application
f : (E, +) → (T (E ), ◦)
~u 7→ t~u
est un isomorphisme de groupes.
Définition 2.1.7. Soit A, B deux point de E . On note

−−→ −→
[AB] = {M ∈ E , AM = λAB, λ ∈ [0, 1]}.
On dit que [AB] est le segment d’origine A et d’extrémité B. On vérifie que [AB] = [BA].
Proposition 2.1.8 (Milieu). Soit A, B ∈ E . Pour tout C ∈ E , les propriétés suivantes

sont équivalentes.
−→ −−→
1. AC = CB.
−→ −→
2. 2AC = AB.
Un tel point existe et est unique, on l’appelle le milieu de [AB].
Proposition 2.1.9 (Parallélogramme). Pour tous A, B, C, D ∈ E , les propriétés sui-

vantes sont équivalentes.
−→ −−→
1. AB = DC.
53
−−→ −−→
2. AD = BC.
−→ −−→ −→
3. AB + AD = AC.
4. Les milieux de [AC] et [BD] coïncident.
Si l’une de ces propriétés est vérifiée on dit que ABCD est un parallélogramme.
2.1.3 Vectorialisé d’un espace affine

Nous avons vu qu’un espace vectoriel est naturellement un espace affine ; un espace vec-
toriel possède un point particulier, le vecteur ~0. Au contraire, dans un espace affine, aucun
point n’est privilégié par rapport aux autres, c’est ce qui distingue la géométrie affine de la
géométrie vectorielle.
Soit E un espace affine de direction E. Fixons un point A ∈ E . On va considérer A
comme origine de E . Cela permet de vectorialiser E en A en utilisant la bijection
φA : E → E
~u 7→ A + ~u.
Proposition 2.1.10. Les lois

−→ −→ −→ −→
B +A C = φA (AB + AC) = A + AB + AC
et
−→ −→
λ ×A B = φA (λAB) = A + λAB
pour tous B, C ∈ E et λ ∈ K définissent une structure d’espace vectoriel sur E , avec A

comme vecteur nul et telle que φA : E → E est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
Définition 2.1.11. L’espace vectoriel (E , +A , ×A ) s’appelle le vectorialisé de E en A et est

noté EA .
2.1.4 Barycentre
Définition 2.1.12. Un système de points pondérés d’un espace affine E est une famille
{(Ai , λi )}1≤i≤p de couple où, pour tout i, Ai ∈ E et λi est un scalaire. λi est le poids ou la
masse du point Ai .
P
P
Le poids total (ou masse totale) du système est le réel λ = λi .
i=1
Théorème 2.1.13. Soit {(Ai , λi )}1≤i≤p un système de points pondérés de poids total λ. Soit
P
p −−→
f : E → E l’application définie par f (M ) = λi M Ai que l’on appelle la fonction vectorielle
i=1
de Leibnitz associée au système de points pondérés {(Ai , λi )}1≤i≤p .
54
1. Si λ = 0 alors f (M ) ne dépens pas du point M ; la fonction f est constante.

2. Si λ 6= 0, alors f est bijective. En particulier, il existe un unique point G de E tel que :
Pp −−→
λi GAi = ~0. De plus, pour tout point M ∈ E on a
i=1
p
X −−→ −−→
λi M Ai = λM G.
i=1
Preuve.
1. Si λ = 0, on a par la relation de Charles

³X
p ´−−−→ X p
−−−→
p
−−−→ X −−−→ X −−−→
p
f (M ) = λi M A 1 + λi A1 Ai = λM A1 + λi A1 Ai = λi A1 Ai .
i=1 i=2 i=2 i=2
Donc, f est constante.

2. Si λ 6= 0, soit M, N ∈ E . On a
p p
X −−→ X −−→ −−→
f (M ) = ( λi )M N + λi N Ai = λM N + f (N ). (2.1)
i=1 i=1
−−→
D’une part, si f (M ) = f (N ), on obtient que M N = ~0. D’où M = N , c’est à dire que
f est injective.
−−→
D’autre part, pour tout ~v ∈ E, si f (M ) = ~v , par (2.1) et pour N ∈ E fixé, λM A +
f (N ) = ~v . D’où
1
M = N + (f (N ) − ~v ) ∈ E ,
λ
ce qui prouve que f est surjective. Il résulte que f est bijective, et comme ~0 ∈ E, il
Pp −−→
existe un unique point G ∈ E tel que λi GAi = ~0. De plus, pour tout point M ∈ E ,
i=1
−−→
de la relation (2.1) et pour N = G, on a f (G) = λM G, i.e.,
p
X −−→ −−→
λi M Ai = λM G.
i=1
Définition 2.1.14. Soit {(Ai , λi )}1≤i≤p un système de points pondérés de poids total λ 6= 0.
On appelle le barycentre de ce système, et on le note Bar{(Ai , λi )}1≤i≤p , l’unique point G ∈ E
P
p −−→
vérifiant λi GAi = ~0.
i=1
Si tous les λi sont égaux, on dit que G est l’isobarycentre du système. En particulier, si
p = 2, c’est le milieu.
55
2.2. Variétés affines (sous espaces affines)
Proposition 2.1.15 (Homogénéité). Pour tout α ∈ K∗ , on a
Bar{(Ai , αλi )}1≤i≤p = Bar{(Ai , λi )}1≤i≤p ,

P
p
(on suppose donc souvent que λi = 1).
i=1
Preuve.
Soit G = Bar{(Ai , λi )}1≤i≤p . On a
p p
X −−→ X −−→
αλi GAi = α λi GAi = ~0.
i=1 i=1
Proposition 2.1.16 (Commutativité). Le barycentre d’un système de points pondérés ne

dépend pas de l’ordre des points pondérés.
Proposition 2.1.17 (Associativité). Soit (Ai , λi )I un système de points pondérés et soit

P
(Ij )j∈J une partition de I telle que, pour tout j ∈ J, µj = i∈Ij λi 6= 0. Notons Gj =
Bar{(Ai , λi )}i∈Ij , ∀j ∈ J. Alors
Bar{(Ai , λi )}i∈I = Bar{(Gj , µj )}j∈J .
Preuve.
Soit G = Bar{(Ai , λi )}i∈I . Pour tout j ∈ J, puisque Gj = Bar{(Ai , λi )}i∈Ij , on a
X −−→ −−→
λi GAi = µj GGj .
i∈Ij
Par suite, on a
X −−→ X ³ X −−→´ X −−→ ~
µj GGj = λi GAi = λi GAi = 0,
j∈J j∈J i∈Ij i∈I
ce qui prouve que Bar{(Ai , λi )}i∈I = Bar{(Gj , µj )}j∈J . ¤
2.2 Variétés affines (sous espaces affines)
2.2.1 Définitions
Définition 2.2.1. Soit (E , E) un espace affine et F une partie de E . On dit que F est un
sous espace affine (ou variété affine) s’il existe un point A ∈ F et un sous espace vectoriel F
de E tels que F = A + F . Dans ce cas, on dit que F est un sous espace affine de E passant
par A et de direction F .
On note (F , F ) le sous espace affine F de direction F .
56
Remarque 2.2.2. On a
F = A+F
= {A + ~u, ~u ∈ F }
= {M ∈ E , ∃~u ∈ F, M = A + ~u}
−−→
= {M ∈ E , AM ∈ F }.
Proposition 2.2.3. Soit F un sous espace affine de E passant par A et de direction F alors
−−→
1. F = {AM , M ∈ F } ;
2. pour tout B ∈ F , F = B + F ;
−−→
3. pour tout B ∈ F , F = {BM , M ∈ F }.
Preuve.
Il suffit de montrer 2. et 3..
−→
2. Soit B ∈ F = A + F , alors AB ∈ F .
−−→ F s.e.v −−→ −→ −−→
Soit M ∈ F ⇔ AM ∈ F ⇔ AM − AB ∈ F ⇔ BM ∈ F ⇔ M ∈ B + F .
On a bien montrer que F = A + F = B + F
3. Soit
~u ∈ F ⇔ B + ~u ∈ F
⇔ ∃M ∈ F , M = B + ~u
−−→
⇔ ∃M ∈ F , ~u = BM
−−→
⇔ u ∈ {BM , M ∈ F }.
On constate ainsi que F ne dépend pas du choix du point A de F . ¤
Corollaire 2.1 (Caractérisation d’un sous espace affine).

Soit F une partie non vide d’un espace affine E dirigé par E et A ∈ F . Alors F est un sous
−−→
espace affine si et seulement si la partie F = {AM | M ∈ F } est un sous espace vectoriel de
E.
Exemple 2.2.1. Soit

F = {(x, y) ∈ R2 | 2x + 3y = 3}.
57
F est un sous espace affine de R2 . En effet, on remarque que le point A = (0, 1) ∈ F et

−−→
F = {AM , M ∈ F }
= {M − A, M ∈ F }
= {(x, y) − (0, 1), 2x + 3y = 3}
2
= {(x, y − 1), y − 1 = − x}
3
2
= {(x, − x), x ∈ R}
3
= V ect{(3, −2)}
est un sous espace vectoriel de R2 .
Exemple 2.2.2. Soit E = Kn . On se donne une matrice A ∈ Mm×n (K) et B ∈ Km . Alors,

s’il n’est pas vide, l’ensemble F des solutions X ∈ Kn du système AX = B est le sous espace
affine passant par X0 ∈ F et dirigée par le noyau de A. En effet, si X0 ∈ F , alors on a,
pour X ∈ E
X ∈ F ⇔ AX = B ⇔ AX = AX0 ⇐⇒ A(X − X0 ) = 0 ⇔ X ∈ X0 + ker(A),
où ker(A) = {X ∈ Kn , AX = 0Km }.
Les variétés affines sont des exemples d’espaces affines. On peut alors parler de dimension
d’une variété affine.
Définition 2.2.4. On appelle dimension d’un sous espace affine F la dimension de sa

direction.
• Les singletons de E sont les sous espaces affines de dimension 0.
• On appelle droites affines les sous espaces affines de dimension 1.
• On appelle plans affines les sous espaces affines de dimension 2.
• Si dim E = n, on appelle hyperplans affines les sous espaces affines de dimension n − 1.
Proposition 2.2.5. Soit F un sous ensemble non vide d’un espace affine E .
Les propriétés suivantes sont équivalentes.
1. F est une variété affine.
2. Le barycentre de toute famille finie de points de F est dans F (stabilité par barycentre).
Preuve.
(1) ⇒ (2). Supposons que F est un sous espace affine de E .
Pn
Soit {(Ai , λi )}i=1,n un système de points pondérés de F tel que λi 6= 0.
i=1
−−→
Soit A ∈ F , alors F = {AM , M ∈ F } est la direction de F . Soit G de barycentre du
58
système {(Ai , λi )}i=1,n . On a

n
−→ 1 X −−→
AG = P
n λi AAi ∈ F
λi i=1
i=1
car F est un sous espace vectoriel, d’où G ∈ F .

−−→
(2) ⇒ (1). Soit A ∈ F et montrons que F = {AM , M ∈ F } est un sous espace vectoriel.
−→ −−→ −−→
Soient M1 , M2 ∈ F et λ, β deux scalaires. Le point G de E défini par AG = λAM1 + β AM2
est le barycentre du système pondéré {(A, 1 − λ − β), (M1 , λ), (M2 , β)} donc G ∈ F , on
−→
obtient que AG ∈ F , donc F est un sous espace vectoriel et F = A + F , alors F est un
sous espace affine. ¤
2.2.2 Intersection - Parallélisme - Sous espace engendré

Proposition 2.2.6. Soient (Fi , Fi )i∈I une famille de sous espaces affines d’un espace affine
T
(E , E). Alors Fi est ou bien vide ou bien un sous espace affine de E , dont la direction
T i∈I
est F = Fi .
i∈I
En particulier, si (F , F ) et (G , G) sont deux sous espaces affines, alors
F ⊂ G ⇔ F ∩ G 6= ∅ et F ⊂ G.
Preuve.
T T
Supposons que Fi est non vide, soit alors A ∈ Fi . On a donc A ∈ Fi , pour tout
i∈IT T i∈I
i ∈ I. Montrons que Fi = A + Fi = A + F .
i∈I i∈I
−−→ −−→ T
Si M ∈ Fi , pour tout i ∈ I, alors AM ∈ Fi pour tout i ∈ I, donc AM ∈ Fi = F et
i∈I
M ∈ A + F.
−−→ −−→
Réciproquement, si M ∈ A + F , alors AM ∈ F , donc AM ∈ Fi pour tout i ∈ I, D’où
T
M ∈ A + Fi = Fi pour tout i ∈ I, ce qui signifie que M ∈ Fi .
i∈I
Pour la dernière partie de la proposition si F ⊂ G , soit A ∈ F ⊂ G , on a donc F = A + F
et G = A + G. Pour tout ~u ∈ F , on a A + ~u ∈ F ⊂ G , donc ~u ∈ G. Réciproquement, si
F ⊂ G et F ∩ G 6= ∅, soit A ∈ F ∩ G 6= ∅, donc F = A + F et G = A + G. Pour tout
−−→
M ∈ F , on a AM ∈ F ⊂ G, donc M ∈ A + G = G . ¤
Définition 2.2.7. Soit (F , F ) et (G , G) deux variétés affines de l’espace affine (E , E).

1. On dit que F est parallèle à G si F ⊂ G.
2. On dit que F et G sont parallèles, et on note F k G , si F = G.
59
Proposition 2.2.8. Soit (F , F ) et (G , G) deux variétés affines de l’espace affine (E , E).

1. Si F k G , alors F = G ou F ∩ G = ∅.
2. Si F est parallèle à G , alors F ⊂ G ou F ∩ G = ∅.
3. F est parallèle à G si et seulement s’il existe un sous espace affine G 0 de G tel que
F k G 0.
Preuve.
1. Supposons que F ∩ G 6= ∅ et soit A ∈ F ∩ G , alors F = A + F = A + G = G .

2. Supposons que F ∩ G 6= ∅ et soit A ∈ F ∩ G , alors F = A + F ⊂ A + G = G .
3. Soit A ∈ F et B ∈ G . Si F ⊂ G alors B + F est un sous espace affine de G = B + G
et F k B + F .
Réciproquement, si G 0 est une sous espace affine de G tel que F k G 0 , alors G 0 = C +F
avec C ∈ G 0 . Donc C ∈ G et G = C + G, et comme G 0 ⊂ G alors F ⊂ G (Proposition
2.2.6).
Proposition 2.2.9 (et Définition). Soit A une partie non vide d’un espace affine E .
Alors l’intersection des sous espaces affines de E contenant A est un sous espace affine de
E , et c’est le plus petit sous espace de E contenant A . On l’appelle sous espace affine de E
engendré par A et on le note Af f (A ). A est appelée partie génératrice de ce sous espace
affine.
Proposition 2.2.10. Soit A une partie non vide d’un espace affine E et soit A ∈ A . Alors
−−→
Af f (A ) = A + V ect{AM , M ∈ A }.
Autrement dit, la direction de Af f (A ) est le sous espace vectoriel engendré par les vecteurs
−−→
AM où A est M sont des points de A .
Preuve.
−−→
Posons W = A + V ect{AM , M ∈ A }. C’est un sous espace affine qui contient A. W
contient donc aussi Af f (A ) car Af f (A ) est le plus petit sous espace affine contenant A .
On a montrer l’inclusion Af f (A ) ⊂ W .
Réciproquement, comme Af f (A ) est un sous espace affine qui contient A, on peut l’écrire
−−→
Af f (A ) = A + V où V = {AM , M ∈ Af f (A )} est un sous espace vectoriel, donc
−−→
V ect{AM , M ∈ A } ⊂ V . D’où W ⊂ Af f (A ). ¤
−−−→ −−−→ −−−→
Exemple 2.2.3. Af f {A1 , A2 , . . . , An } = A1 + V ect{A1 A2 , A1 A3 , . . . , A1 An }.
Ainsi, deux points distincts A, B engendrent une droite affine notée (AB) dont la direction
−→
est la droite vectorielle D engendrée par AB ; ce dernier vecteur, comme tout générateur de
60
2.3. Repères
D, est appelé vecteur directeur de la droite affine. Trois points non alignés A, B, C engendrent
−→ −→
un plan affine, noté (ABC), dont la direction est le plan vectoriel V ect{AB, AC}, et tout
couple de vecteurs engendrant ce dernier est appelé couple de vecteurs directeurs du plan
affine.
Proposition 2.2.11. Soient (F , F ) et (G , G) deux sous espaces affines d’un espace affine
(E , E), A un point de F et B un point de G . L’intersection F ∩ G est non vide si et
−→
seulement si le vecteur AB ∈ F + G.
En particulier, si F et G sont deux sous espaces vectoriels supplémentaires de E (F ⊕G = E),
l’intersection F ∩ G consiste en un point.
Preuve.
Supposons que F ∩ G 6= ∅, soit alors C ∈ F ∩ G et par la relation de Charles, on
−→ −→ −−→ −→
a AB = AC + CB ∈ F + G. Réciproquement, supposons que AB ∈ F + G, soit alors
−→ −→
AB = ~u + ~v une décomposition de AB dans F + G. Donc A + ~u ∈ F , d’autre part A + ~u =
−→
A + (AB − ~v ) = B + (−~v ) ∈ G , donc F ∩ G 6= ∅.
En particulier, si F est G sont supplémentaires dans E, leur intersection est réduite à {~0},
donc F ∩ G est une variété affine de direction {~0}. Si C ∈ F ∩ G , alors F ∩ G = C + {~0} =
{C}. Donc F ∩ G consiste en un point. ¤
2.3 Repères
2.3.1 Repère cartésien

Définition 2.3.1. Un repère cartésien de l’espace affine E de dimension n dirigé par E est
le couple R = (O, B) où O ∈ E et B est une base de E.
Si B = {~e1 , . . . , ~en } alors
n
X n
n −−→ X
∀M ∈ E , ∃!(a1 , . . . , an ) ∈ K tel que M = O + ai e~i ⇔ OM = ai e~i .
i=1 i=1
Le n-uplet (a1 , . . . , an ) s’appelle coordonnées cartésiennes de M dans le repère R.

Remarque 2.3.2. Les coordonnées cartésiennes d’un point varient en fonction du choix de
l’origine et de la base de E.
Règle du calcul
Soit R = (O, B) un repère cartésien de E .

1. Si A, B ∈ E de coordonnées (x1 , . . . , xn ) et (y1 , . . . , yn ) respectivement, alors, de l’éga-
−→ −−→ −→ −→
lité AB = OB − OA, on obtient le vecteur AB = (y1 − x1 , . . . , yn − xn ).
61
2.3. Repères
2. Si A ∈ E est de coordonnées (x1 , . . . , xn ) dans R et ~u est un vecteur de E de coor-

−−→ −→
données (α1 , . . . , αn ) dans B alors, de l’égalité OB = OA + ~u, on a dans R, le point
B = A + ~u est de coordonnées (x1 + α1 , . . . , xn + αn ).
Exemple 2.3.1. Si E est de dimension n et ~u ∈ E est de coordonnées (α1 , . . . , αn ) dans B,

alors, l’expression analytique de la translation t~u est


 y 1 = x1 + α 1

..
.


 y =x +α .
n n n
pour tout A = (x1 , . . . , xn ), B = (y1 , . . . , yn ) ∈ E .
2.3.2 Changement de repère cartésien

Si B = {~e1 , . . . , ~en } et B 0 = {e~0 1 , . . . , e~0 n } sont deux bases d’un même espace vectoriel, la
matrice de passage P = (pij )1≤i,j≤n est une matrice inversible formée colonne par colonne
par les coordonnées dans la base B des vecteurs de la nouvelle base B 0 , i,e,
n
X
∀j = {1, . . . , n}, e~0 j = pij ~ei .
i=1
Enparticulier,
 si un vecteur ~x a pour coordonnées dans la base B le vecteur colonne
x1
 . 
X =  .  0
 .  et s’il admet pour coordonnées dans la nouvelle base B le vecteur colonne
x
 n 
x01
 .. 
X0 =  
 .  alors la relation entre les coordonnées dans la première base et les coordonnées
x0n
dans la nouvelle base est X = P X 0 .
Proposition 2.3.3. Soit R = (O, B) = (O, ~e1 , . . . , ~en ) un repère cartésien et R0 = (O0 , B 0 ) =
(O0 , e~0 1 , . . . , e~0 n ) un autre repère cartésien dans un espace affine (E , E) de dimension n. Soit
P = (pij )1≤i,j≤n la matrice de passage de la base B à la base B 0 . Soit M un point quelconque
de E . On suppose
 queles coordonnées de M dans le repère cartésien B sont égales au vecteur
x1
 . 
colonne X =  .  0
 .  et que ses coordonnées dans le repère cartésien B sont égales au
xn
 
x01
 . 
vecteur colonne X 0 =  . 
 .  . Alors les formules de changement de repère entre le repère
x0n
62
2.3. Repères
R et le repère R0 liant X a X 0 sont


 0 0
 x1 = xO0 1 + p11 x1 + . . . + p1n xn

.. .. .. ..
X = XO0 + P X 0 = . . . .


 x = x 0 + p x0 + . . . + p x0 n
n On n1 1 nn
 
xO 0 1
 . 
avec XO0 = .  0
 .  qui sont les coordonnées de O dans le repère R.
xO 0 n
2.3.3 Représentation paramétrique d’une variété affine

Définition 2.3.4. On appelle vecteurs directeurs d’une variété affine F toute base de sa
direction F .
Proposition 2.3.5 (et Définition). Si (u~1 , . . . , u~n ) sont des vecteurs directeurs d’une va-
riété affine F et si A ∈ F alors l’application
Kn → F
Pn
(λ1 , . . . , λn ) 7→ A + i=1 λi~ui
est une application bijective appelée représentation paramétrique de F .
Exemple 2.3.2. 1. La droite (D, D) est de représentation paramétrique
K → D
où A ∈ D, ~u ∈ D.
λ 7→ A + λ~u
Dans le plan affine muni du repère R = (O, B) où B = {~e1 , ~e2 }, la droite a une
représentation paramétrique de la forme
(
x = a + λα
, λ∈K
y = b + λβ
où A = (a, b) et ~u = (α, β).

2. Le plan affine P est de représentation paramétrique
K2 → D
(λ, µ) 7→ A + λ~u + µ~v ,
où A ∈ P et P = V ect{~u, ~v } est la direction de P.
63
2.3. Repères
2.3.4 Repère affine

Définition 2.3.6. Soit (E , E) un espace affine et soit n ∈ N. Les n + 1 points A0 , . . . , An
sont dits affinement indépendants (ou libres) si le sous espace affine qu’ils engendrent est de
dimension n.
Proposition 2.3.7. Les n + 1 points A0 , . . . , An sont affinement libres si et seulement si les

−−−→ −−−→
vecteurs A0 A1 , . . . , A0 An forment un système libre.
Preuve.
Soit (A0 , . . . , An ) une famille de n + 1 points de E et soit F le sous espace affine
de E qu’elle engendre. Soit aussi V le sous espace vectoriel engendré par les vecteurs
−−−→ −−−→ −−−→
A0 A1 , . . . , A0 An , alors F = A0 + V ect{A0 Ai , 1 ≤ i ≤ n} = A0 + V .
Par définition, Les n+1 points A0 , . . . , An sont affinement libres si et seulement si dimF = n.
Cela est équivaut à dimV = n, d’où la proposition. ¤
Définition 2.3.8. Si E est de dimension n et si A0 . . . , An sont n + 1 points affinement

libres, on dit que (A0 , . . . , An ) est un repère affine de E.
−−−→ −−−→
Proposition 2.3.9. (A0 , . . . , An ) est un repère affine de E si et seulement si {A0 A1 , . . . , A0 An }
est une base de E.
Proposition 2.3.10. (A0 , . . . , An ) est un repère affine de E si et seulement si tout point M

de E s’écrit de manière unique comme barycentre des points A0 , . . . , An affectés de coefficients
de poids total 1.
Preuve.
Soit (A0 , . . . , An ) un repère affine de E . Soit M un point de E . Comme (A0 , . . . , An )
−−−→ −−−→
est un repère affine de E , {A0 A1 , . . . , A0 An } est une base de E, alors il existe un n-uplet
−−−→ P
n −−−→ P
n −−→
(λ1 , . . . , λn ) ∈ Kn et un seul tel que A0 M = λi A0 Ai . Donc, λi M Ai = ~0, où λ0 =
i=1 i=0
P
n
1− λi et M est le barycentre du système pondéré {(Ai , λi )}0≤i≤n de poids total 1.
i=1
Réciproquement, supposons que tout point M de E s’écrit de manière unique comme ba-
rycentre des points A0 , . . . , An affectés de coefficients de poids total 1 et montrons que
−−−→ −−−→
(A0 , . . . , An ) est un repère affine, pour cela, on montre que les vecteurs A0 A1 , . . . , A0 An
P
n −−−→
sont linéairement indépendants. Soit alors (α1 , . . . , αn ) ∈ Kn tel que αi A0 Ai = ~0 et soit
i=1
P
n −−→
M ∈ E fixé, il existe un unique (n + 1)-uplet (λ0 , λ1 , . . . , λn ) ∈ Kn+1 tel que λi M Ai = ~0
i=0
P
n
et λi = 1. Donc
i=0
n n
−−−→ X −−−→ X −−−→
A0 M = λi A0 Ai = (λi − αi )A0 Ai ,
i=1 i=1
64
2.4. Applications affines
c’est à dire que M est le barycentre du système {(Ai , µi )}0≤i≤n avec µi = λi − αi , pour tout
P
n
i ∈ {1, . . . , n} et µ0 = 1 − µi . Comme (λ0 , λ1 , . . . , λn ) ∈ Kn+1 est unique, on obtient
i=1
λi − αi = λi , pour tout i ∈ {1, . . . , n}, c’est à dire, αi = 0, pour tout i ∈ {1, . . . , n}, d’où le
résultat. ¤
Définition 2.3.11. Les coefficients définis dans la Proposition 2.3.10 sont appelés coor-
données barycentriques de M dans le repère affine (A0 , . . . , An ). Le point M s’écrit donc
Pn P
n
M= λi Ai , avec λi = 1.
i=0 i=0
Remarque 2.3.12. La preuve de la Proposition 2.3.10 montre que l’on peut passer facilement
−−−→ −−−→
des coordonnées cartésiennes dans le repère (A0 , A0 A1 , . . . , A0 An ) au coordonnées barycen-
triques dans le repère affine (A0 , . . . , An ) et l’inverse ; si (x1 , . . . , xn ) sont les coordonnées
−−−→ −−−→ Pn
cartésiennes de M dans le repère (A0 , A0 A1 , . . . , A0 An ) alors (1 − xi , x1 , . . . , xn ) sont les
i=1
coordonnées barycentriques de M dans le repère affine (A0 , . . . , An ). Réciproquement, si
(λ0 , λ1 , . . . , λn ) sont les coordonnées barycentriques de M dans le repère affine (A0 , . . . , An ),
−−−→ −−−→
des coordonnées cartésiennes de M dans le repère cartésien (A0 , A0 A1 , . . . , A0 An ) sont (λ1 , . . . , λn ).
2.4 Applications affines
2.4.1 Généralités
Soient (E1 , E1 ) et (E2 , E2 ) deux espaces affines.
Définition 2.4.1. Une application f : E1 → E2 est dite affine (ou morphisme affine) s’il
existe une application linéaire ϕ : E1 → E2 vérifiant
∀A ∈ E1 , ∀~u ∈ E1 , f (A + ~u) = f (A) + ϕ(~u), (2.1)
ϕ est l’application linéaire associée à f , on dit aussi que ϕ est la partie linéaire de f . On note
ϕ = f~.
On note A(E1 , E2 ), l’ensemble des applications affines de E1 dans E2 . Si E1 = E2 , on note
A(E ).
Proposition 2.4.2. Une application f : E1 → E2 est affine de partie linéaire ϕ si et seule-

ment si
−−−−−−→ −→
∀A, B ∈ E1 , f (A)f (B) = ϕ(AB) (i.e., f (B) − f (A) = ϕ(B − A)). (2.2)
65
Preuve.
Vérifions l’équivalence entre les deux formules (2.1) et (2.2). Soient A, B ∈ E1 , si la
formule (2.1) est vérifiée, on a
−→ −→
f (B) = f (A + AB) = f (A) + ϕ(AB),
Donc
−−−−−−→ −→
f (A)f (B) = f (B) − f (A) = ϕ(AB).
Réciproquement, soient A ∈ E1 et ~u ∈ E1 . Si la formule (2.2) est vérifiée, on pose B = A + ~u

−→
alors AB = ~u. Donc
−→
f (A + ~u) = f (B) = f (A) + ϕ(AB) = f (A) + ϕ(~u).
Proposition 2.4.3. Pour une application affine f : E1 → E2 donnée, il existe qu’une seule
partie linéaire.
Preuve.
Supposons qu’on ait à la fois, pour tout A ∈ E1 et tout ~u ∈ E1
f (A + ~u) = f (A) + ϕ1 (~u) et f (A + ~u) = f (A) + ϕ2 (~u).
Fixons alors A ∈ E1 , on a ϕ1 (~u) = f (A + ~u) − f (A) = ϕ2 (~u), d’où ϕ1 = ϕ2 . ¤

−−→
Exemple 2.4.1. 1. Soit (E , E) un espace affine, alors IdE ∈ A(E ) 6= ∅, et IdE = IdE .
En effet, pour tout A ∈ E et tout ~u ∈ E on a
IdE (A + ~u) = A + ~u = IdE (A) + IdE (~u).
2. Soient E1 et E2 deux espaces vectoriels, alors toute application linéaire f : E1 → E2

est affine et f~ = f . En effet, pour tous ~u1 , ~u2 ∈ E1 , on a f (~u1 ) − f (~u2 ) = f (~u1 − ~u2 ).
3. Soit (E , E) un espace affine, alors pour tout ~v ∈ E, t~v est une application affine. En
effet, pour tout A, B ∈ E , on a
t~v (A) − t~v (B) = A + ~v − B − ~v = A − B = IdE (A − B).
Donc, ~t~v = IdE .

4. Toute application constante f : E1 → E2 est affine et de partie linéaire f~ ≡ ~0. Réci-
proquement, si f est une application affine, alors f est constante si et seulement si
f~ ≡ ~0.
Si on vectorialise les espaces affines considérés, on peut interpréter la Définition 2.4.1
différemment.
66
Proposition 2.4.4. Une application f : E1 → E2 est affine si et seulement si, pour tout
A ∈ E1 , f est linéaire de E1 A dans E2 f (A) .
Preuve.
Supposons que f est une application affine entre (E1 , E1 ) et (E2 , E2 ). Soit A ∈ E1 et
A = f (A). L’application linéaire associée f~ vérifie, pour tout ~u ∈ E1
0
f~(~u) = f (A + ~u) − f (A) = f (A + ~u) − A0 .
Soit +A , ×A les lois du vectorialisé E1A et +A0 , ×A0 les lois du vectorialisé E2A0 . Montrons
que f est linéaire entre les vectorialisés.
Soient B, C ∈ E1 . On a
−→ −→ −→ −→
f (B +A C) = f (A + AB + AC) = A0 + f~(AB) + f~(AC),
et
−−−−→ −−−−→ −→ −→
f (B) +A0 f (C) = A0 + A0 f (B) + A0 f (C) = A0 + f~(AB) + f~(AC).
Donc
f (B +A C) = f (B) +A0 f (C).
D’autre part, soient B ∈ E1 et λ ∈ K. On a
−→ −→ −→
f (λ ×A B) = f (A + λAB) = f (A) + f~(λAB) = A0 + λf~(AB),
et
−−−−→ −→
λ ×A0 f (B) = A0 + λA0 f (B) = A0 + λf~(AB).
D’où
f (λ ×A B) = λ ×A0 f (B).
Donc f est une application linéaire entre les vectorialisés E1A et E2A0 .
Réciproquement, Soit f : E1 → E2 une application et soit A ∈ E1 et A0 = f (A). Supposons
que f est linéaire de E1A dans E2A0 .
Pour montrer que f est affine, on considère d’aboed l’application ϕ : E1 → E2 définie par
ϕ(~u) = f (A + ~u) − A0 . Montrons que ϕ est linéaire. Soient ~u, ~v ∈ E1 et posons B = A + ~u,
C = A + ~v et D = A + (~u + ~v ). On a par définition D = B +A C. D’où
ϕ(~u + ~v ) = f (A + ~u + ~v ) − A0
= f (D) − A0
= f (B +A C) − A0
= (f (B) +A0 f (C)) − A0
−−−−→ −−−−→
= (A0 + A0 f (B) + A0 f (C)) − A0
−−−−→ −−−−→
= A0 f (B) + A0 f (C)
= ϕ(~u) + ϕ(~v ).
67
D’autre part, soient ~u ∈ E1 et λ ∈ K et posons B = A + ~u et C = A + λ~u. On sait que

C = λ ×A B, d’où
ϕ(λ~u) = f (A + λ~u) − A0
= f (C) − A0
= f (λ ×A B) − A0
= λ ×A0 f (B) − A0
−−−−→
= (A0 + λA0 f (B)) − A0
−−−−→
= λA0 f (B)
= λ(f (A + ~u) − A0 )
= λϕ(~u).
On obtient que ϕ est linéaire. Montrons que f est une application affine. Pour tous B ∈ E1
et ~u ∈ E1 , on a
−→
f (B + ~u) = f (A + (AB + ~u))
−→
= f (A) + ϕ(AB + ~u)
−→
= f (A) + ϕ(AB) + ϕ(~u)
= f (A) + (f (B) − f (A)) + ϕ(~u)
= f (B) + ϕ(~u).
D’où f : E1 → E2 est une application affine. ¤
Proposition 2.4.5. Soient f ∈ A(E1 , E2 ) et g ∈ A(E2 , E3 ). Alors g ◦ f ∈ A(E1 , E3 ) et

−−→
g ◦ f = ~g ◦ f~.
Preuve.
−−−−−−→ −→
Soit A, B ∈ E1 , alors f (A), f (B) ∈ E2 et f (A)f (B) = f~(AB). Donc,
−−−−−−−−−−−−−−→ −−−−−−−−−−−→ −−−−−−→ −→
(g ◦ f )(A)(g ◦ f )(B) = g(f (A))g(f (B)) = ~g (f (A)f (B)) = (~g ◦ f~)(AB),
et puisque la composée de deux applications linéaires est linéaire, g ◦ f ∈ A(E1 , E3 ) de partie

−−→
linéaire g ◦ f = ~g ◦ f~. ¤
Proposition 2.4.6. Soit f ∈ A(E1 , E2 ). Alors f est injective (resp. surjective, bijective) si
−→
et seulement si f~ l’est. De plus, si f est bijective, alors f −1 ∈ A(E2 , E1 ) et f −1 = (f~)−1 .
Preuve.
Soit f : E1 → E2 une application affine.
Si f est injective, soit ~u, ~v ∈ E1 tels que f~(~u) = f~(~v ). Soit A ∈ E1 fixé, alors f (A) + f~(~u) =
68
f (A) + f~(~v ) implique que f (A + ~u) = f (A + ~v ), et comme f est injective A + ~u = A + ~v

et puisque l’application ~u 7→ A + ~u est bijective, on obtient ~u = ~v . D’où f~ est injective.
Réciproquement, si f~ est injective, soit A, B ∈ E1 tels que f (A) = f (B). On a f (B) =
−→ −→ −→
f (A + AB) = f (A) + f~(AB), d’où f~(AB) = ~0 = f~(~0). Comme f~ est injective, on obtient
−→ ~
AB = 0, d’où A = B. Donc f est injective.
Si f est surjective, soit ~v ∈ E2 . Fixons A ∈ E1 , alors f (A) + ~v ∈ E2 et comme f est
surjective, il existe M ∈ E1 tel que f (M ) = f (A) + ~v . Comme f est affine, on obtient
−−→ −−→
~v = f (M ) − f (A) = f~(AM ). Donc, il existe ~u = AM ∈ E1 tel que ~v = f~(~u). Par conséquent
f~ est surjective. Réciproquement, supposons que f~ est surjective. Soit M 0 ∈ E2 et fixons
−−−−−→ −−−−−→
A ∈ E1 , alors f (A)M 0 ∈ E2 . Comme f~ est surjective, il existe ~u ∈ E1 tel que f~(~u) = f (A)M 0
et puisque f est affine, M 0 = f (A) − f~(~u) = f (A + ~u). Donc, il existe M = A + ~u tel que
f (M ) = M 0 , cela veut dire que f est surjective.
De plus, si f est bijective, f~−1 est linéaire et bijective. Soient A0 , B 0 ∈ E2 , alors il existe
−−→ −−−−−−→ −→
A, B ∈ E1 tels que A0 = f (A) et B 0 = f (B). On a A0 B 0 = f (A)f (B) = f~(AB), donc
−−−1
−−−−−−−−−→ −→ −−→
f (A0 )f −1 (B 0 ) = AB = (f~)−1 (A0 B 0 ). Ce qui prouve que f~−1 est affine et que sa partie
linéaire est (f~)−1 . ¤
Définition 2.4.7. 1. Une application affine de E dans E s’appelle un endomorphisme

affine de E .
2. Une application affine bijective s’appelle un isomorphisme (transformation) affine.
3. Deux espaces affines sont dits isomorphes s’il existe un isomorphisme affine entre eux
(ils sont alors de même dimension).
4. Un endomorphisme affine bijectif s’appelle un automorphisme affine.
2.4.2 Sous espaces affines et applications affines

Soient (E1 , E1 ) et (E2 , E2 ) deux espaces affines.
Proposition 2.4.8. Soit f ∈ A(E1 , E2 ). Alors

1. Si F est un sous espace affine de E1 de direction F , alors f (F ) est un sous espace
affine de E2 de direction f~(F ).
2. Si G est un sous espace affine de E2 de direction G, alors f −1 (G ) est soit vide soit un
sous espace affine de E1 de direction f~−1 (G).
69
Preuve.
1. Soit F un sous espace affine de E2 et A ∈ F , alors F = A + F et f (A) ∈ f (F ). Donc
f (F ) = {f (M ), M ∈ F }
= {f (A + ~u), ~u ∈ F }
= {f (A) + f~(~u), ~u ∈ F }
= f (A) + {f~(~u), ~u ∈ F }
= f (A) + f~(F ).
Comme f~ est linéaire, f~(F ) est un sous espace vectoriel de E2 , donc f (F ) est un sous
espace affine de direction f~(F ).
2. Soit G un sous espace affine de E2 . Supposons que f −1 (G ) est non vide. Soit A ∈
f −1 (G ), alors f (A) ∈ G et G = f (A) + G. On a
f −1 (G ) = {M ∈ E1 , f (M ) ∈ G = f (A) + G}
= {M ∈ E1 , f (M ) − f (A) ∈ G}
−−→
= {M ∈ E1 , f~(AM ) ∈ G}
−−→
= {M ∈ E1 , AM ∈ (f~)−1 (G)}
= A + (f~)−1 (G).
Comme f~ est linéaire, (f~)−1 (G)est un sous espace vectoriel de E1 . Donc, f −1 (G ) est
un sous espace affine de E1 de direction (f~)−1 (G).
Corollaire 2.2. Toute application affine conserve l’alignement et le parallélisme.

Preuve.
−→ −→ −→ −→
Soit f ∈ A(E1 , E2 ) et soit A, B, C ∈ E1 tels que AB = AC, alors f~(AB) = f~(AC), d’où
−−−−−−→ −−−−−−→
f (A)f (B) = f (A)f (C).
D’autre part, soit F et G deux variétés affines de E1 telles que F k G alors F = G. Donc
f~(F ) = f~(G), ce qui implique que f (F ) k f (G ). ¤
2.4.3 Barycentres et applications affines

Proposition 2.4.9. Soient (E1 , E1 ) et (E2 , E2 ) deux espaces affines et soit f : E1 → E2 une
application. Alors f est affine si et seulement si elle conserve les barycentres, c’est à dire,
si G est le barycentre d’un système {(Ai , λi )}1≤i≤n , alors f (G) est le barycentre du système
{(f (Ai ), λi )}1≤i≤n .
70
Preuve.
Si f est affine et si G est le barycentre du système {(Ai , λi )}1≤i≤n , alors l’égalité
n
X −−−−−−−→ X n
−−→ ³X
n
−−→´ ~ ~
λi f (G)f (Ai ) = ~ ~
λi f (GAi ) = f λi GAi = f (0) = ~0
i=1 i=1 i=1
montre que f (G) est le barycentre du système {(f (Ai ), λi )}1≤i≤n .

Réciproquement, montrons que si f conserve les barycentres, f est affine. Fixons A ∈ E1
et soit ϕ : E1 → E2 définie par ϕ(~u) = f (A + ~u) − f (A). Montrons que ϕ est linéaire.
Soient ~u, ~v ∈ E1 et λ, β ∈ K. On pose M1 = A + ~u et M2 = A + ~v et soit G le point
−→ −−→ −−→
de E1 défini par AG = λAM1 + β AM2 . Alors G est le barycentre du système pondéré
{(A, 1−λ−β), (M1 , λ), (M2 , β)}. Il en résulte que f (G) est le barycentre du système pondéré
{(f (A), 1 − λ − β), (f (M1 ), λ), (f (M2 ), β)}. D’où,
−−−−−−→ −−−−−−−→ −−−−−−−→
f (A)f (G) = λf (A)f (M1 ) + β f (A)f (M2 ).
Mais G = A + λ~u + β~v , d’où
ϕ(λ~u + β~v ) = λϕ(~u) + βϕ(~v ).
Donc ϕ est linéaire, par conséquent f est affine. ¤
2.4.4 Point fixe

Soit (E , E) un espace affine et soit f : E → E un endomorphisme affine. Notons E1 le
sous espace propre associé à la valeur propre 1 de f~, E1 = ker(f~−IdE ) = {~u ∈ E, f~(~u) = ~u}.
Notons F l’ensemble des points fixes de f ,
F = {M ∈ E , f (M ) = M }.
Proposition 2.4.10. Si F est non vide, c’est un sous espace affine dirigé par E1 . De plus,
E1 = {~0} (c’est à dire 1 n’est pas valeur propre de f~) si et seulement si f admet un seul
point fixe.
Preuve.
Supposons que F est non vide. Soit A ∈ F et montrons que F = A + E1 . Posons
−−→
G = A + E1 . Soit M ∈ G , alors on a l’égalité f (M ) = A + f~(AM ). Or, puisque les deux
−−→ −−→ −−→
points A et M sont dans G , on aura AM ∈ E1 , donc f~(AM ) = AM , d’où f (M ) = M ,
c’est à dire, M ∈ F . On obtient l’inclusion G ⊂ F . Inversement, soit M ∈ F . On obtient
−−→ −−−−−−−→ −−→ −−→ −−→
l’égalité f~(AM ) = f (A)f (M ) = AM , donc AM ∈ E1 et le point M = A + AM ∈ G . D’où
l’inclusion F ⊂ G .
De plus, E1 = {~0} est équivaut à dimE1 = 0 = dimF , c’est à dire, F est réduit à un
singleton. ¤
71
2.4.5 Homothéties et translations (Applications affines particulières)

Soit (E , E) un espace affine.
Définition 2.4.11 (Homothétie). Soit Ω ∈ E et λ ∈ K∗ .

L’homothétie de centre Ω et de rapport λ est l’application hΩ,λ : E → E définie par
−−→
hΩ,λ (M ) = Ω + λΩM , pour tout M ∈ E .
Fig. 2.1 – Homothétie
−−→
Exemple 2.4.2. • Si λ = 1, alors hΩ,1 (M ) = Ω + ΩM = M , donc hΩ,1 = IdE .
• Si λ = −1, l’homothétie hΩ,−1 s’appelle symétrie centrale de centre Ω et se note sΩ .
Proposition 2.4.12. Soit Ω ∈ E et λ ∈ K∗ , et soit hΩ,λ l’homothétie de centre Ω et de

rapport λ. Alors
1. hΩ,λ est un automorphisme affine de partie linéaire ~hΩ,λ = λIdE (l’homothétie vectoriel
de rapport λ) ;
2. Ω est un point fixe de hΩ,λ , i. e., hΩ,λ (Ω) = Ω ;
3. Si λ 6∈ {0, 1}, alors hΩ,λ admet un seul point fixe Ω.
Preuve.
1. Soit A, B ∈ E , alors
−→
hΩ,λ (B) = Ω + λΩB
−→ −→
= Ω + λ(ΩA + AB)
−→ −→
= Ω + (λΩA + λAB)
−→ −→
= (Ω + λΩA) + λAB
−→
= hΩ,λ (A) + λAB.
D’où
−−−−−−−−−−→ −→ −→
hΩ,λ (A)hΩ,λ (B) = hΩ,λ (B) − hΩ,λ (A) = λAB = λIdE (AB),
et puisque IdE est une application linéaire et bijective, hΩ,λ est un automorphisme
affine de partie linéaire ~hΩ,λ = λIdE .
72
2. On a
−→
hΩ,λ (Ω) = Ω + λΩΩ = Ω + λ~0 = Ω + ~0 = Ω.
3. Soit λ 6∈ {0, 1}. Pour tout M ∈ E , on a

−−→
hΩ,λ (M ) = M ⇐⇒ Ω = λΩM = M
−−→
⇐⇒ (1 − λ)ΩM = ~0
⇐⇒ Ω = M.
Proposition 2.4.13. Les translations sont les automorphismes affines dont la partie linéaire
est l’identité.
Preuve.
On a déjà vu dans l’Exemple 2.4.1 3., que pour tout ~u ∈ E, t~u est une application affine
de partie linéaire IdE , et comme t~u est bijective, c’est un automorphisme affine. Donc il
suffit de montrer que tout automorphisme affine dont la partie linéaire est l’identité est une
translation.
Soit f un automorphisme affine sur E , tel que f~ = IdE . Soit A ∈ E fixé, on pose A0 = f (A)
−−→
et ~u = AA0 .
Pour tout M ∈ E on a
f (M ) − f (A) = f~(M − A),
d’où
−−→
f (M ) = f (A) + f~(AM )
−−→
= f (A) + AM
−−→ −−→
= A0 + (AA0 + A0 M )
−−→ −−→
= (A0 + AA0 ) + A0 M
= M + ~u
= t~u (M ).
Donc f = t~u . ¤
2.4.6 Projection et symétrie affines

Projection et symétrie vectorielles
Soit E un espace vectoriel et soient F, G deux sous espaces vectoriels de E tels que
F ⊕G=E
73
Définition 2.4.14. La projection vectorielle sur F dans la direction de G est l’application

π = πF,G de E dans E ainsi définie : Pour tout x ∈ E, x = y + z avec y ∈ F et z ∈ G, alors
π(x) = y.
Proposition 2.4.15. Une projection vectorielle π = πF,G est une application linéaire et elle
vérifie
• ker(π) = G ;
• Im(π) = F ;
• x = π(x) ⇐⇒ x ∈ F ;
• π ◦ π = π.
Preuve.
Montrons tout d’abord que π est linéaire. Soient x1 , x2 ∈ E et λ1 , λ2 ∈ K. Puisque
E = F ⊕ G, x1 et x2 se décomposent de manière unique ainsi, xi = yi + zi avec yi ∈ F et
zi ∈ G (i = 1, 2). On peut donc écrire λ1 x1 + λ2 x2 = (λ1 y1 + λ2 y2 ) + (λ1 z1 + λ2 z2 ).
Or, F et G étant des sous espaces vectoriels, on a Y = λ1 y1 +λ2 y2 ∈ F et Z = λ1 z1 +λ2 z2 ∈ G,
de sorte que Y + Z est la décomposition de λ1 x1 + λ2 x2 dans E = F ⊕ G. Donc,
π(λ1 x1 + λ2 x2 ) = Y = λ1 y1 + λ2 y2 = Y = λ1 π(x1 ) + λ2 π(x2 ).
Alors π est bien linéaire.

• ker(π) = G.
Soit x = y + z ∈ E = F ⊕ G. Alors on a
x ∈ ker π ⇔ π(x) = 0 ⇔ y = 0 ⇔ x = z ⇔ x ∈ G.
Donc ker(π) = G.
• Im(π) = F .
Avec les mêmes notations pour x, on a
x ∈ F ⇔ x = y = π(x) ⇒ x ∈ Im(π),
et on a ainsi la première inclusion F ⊂ Im(π). Inversement, on a
u ∈ Im(π) ⇔ ∃x = y + z ∈ E = F ⊕ G, π(x) = u ⇒ u = y ∈ F.
On obtient ainsi la deuxième inclusion Im(π) ⊂ F .

• x = π(x) ⇐⇒ x ∈ F .
On sait que si x ∈ F , alors π(x) = x. Montrons la réciproque.
Soit x = y + z ∈ E = F ⊕ G tel que x = π(x). Comme π(x) = y, on a x = y ∈ F .
• π ◦ π = π.
Soit x = y + z ∈ E = F ⊕ G. On a
π ◦ π(x) = π(π(x)) = π(y) = y = π(x).

74
D’où π ◦ π = π.
¤
Définition 2.4.16. La symétrie vectorielle par rapport à F dans la direction de G est l’appli-
cation σ = σF,G de E dans lui même ainsi définie : Pour tout x ∈ E, x = y + z avec y ∈ F
et z ∈ G, alors σ(x) = y − z
Proposition 2.4.17. Une symétrie vectorielle σ = σF,G est une application linéaire et elle
vérifie
• σ = π − π 0 avec π = πF,G et π 0 = πG,F .
• ker(σ − IdE ) = F (x = σ(x) ⇐⇒ x ∈ F ) ;
• ker(σ + IdE ) = G ;
• σ ◦ σ = IdE ;
Preuve.
• σ = π − π0.
Pour tout x = y + z ∈ E = F ⊕ G, on a σ(x) = y − z = π(x) − π 0 (x). D’où σ = π − π 0 .
Comme π et π 0 sont des endomorphismes de E, leur différence l’est aussi, donc σ est
bien linéaire.
• ker(σ − IdE ) = F .
Comme σ = π − π 0 et IdE = π + π 0 on a σ − IdE = −2π 0 . Or, un endomorphisme g a
toujours le même noyau que λg pour tout scalaire non nul λ. Alors, on a
F = ker(π 0 ) = ker(−2π 0 ) = ker(σ − IdE ).
• ker(σ + IdE ) = G.
Comme σ = π − π 0 et IdE = π + π 0 , on a σ + IdE = 2π. Alors
G = ker(π) = ker(2π) = ker(σ + IdE ).
• σ ◦ σ = IdE .
Pour tout x = y + z ∈ E = F ⊕ G, on a
σ ◦ σ(x) = σ(σ(x)) = σ(y − z) = y + z = x = IdE (x),
et donc σ ◦ σ = IdE .
¤
Remarque 2.4.18. De la preuve précédente, σ = 2π − IdE .
Projection et symétrie affines
Soit (E , E) un espace affine, et (F , F ), (G , G) deux variétés affines telles que F ⊕ G = E,

alors F ∩ G = {A} (voir Proposition 2.2.11).
75
De même, pour tout M ∈ E , M + G est une variété affine et (M + G) ∩ F est réduite à un

point.
Définition 2.4.19. On appelle projection sur F parallèlement à G (ou dans la direction de G

ou de direction G) l’application p = pF ,G de E dans E définie par M 7→ p(M ) = M 0 , avec
(M + G) ∩ F = {M 0 }.
Proposition 2.4.20. 1. F = {A ∈ E , p(A) = A}.

2. p est une application affine, sa partie linéaire est la projection vectorielle sur F de
direction G.
3. p ◦ p = p et p(E ) = F .
4. Une application affine qui admet un point fixe et dont la partie linéaire est une projec-
tion vectorielle est une projection affine.
5. Toute application affine f vérifiant f ◦ f = f est une projection affine.
Preuve.
1. Soit A ∈ F . Comme A ∈ A + G, on obtient F ∩ (A + G) = {A} et p(A) = A.

Réciproquement, si p(A) = A, alors A = p(A) = F ∩ (A + G), donc A ∈ F .
2. Soit A ∈ F et considérons l’application ϕ : E → F , définie par ϕ(~u) = p(A+~u)−p(A).
Puisque E = F ⊕ G, ~u s’écrit de façon unique ~u = ~v + w,
~ ~v ∈ F et w
~ ∈ G. Alors
ϕ(~u) = p(A + ~u) − p(A) = p(A + ~u) − A = p(A + ~v + w)

~ − A.
Or A+~v ∈ A+F = F et A+~v = (A+~u)+(−w)

~ ∈ (A+~u)+G. Donc ((A+~u)+G)∩F =
{A + ~v }. D’où p(A + ~u) = A + ~v , ce qui donne ϕ(~u) = ~v . Donc ϕ = πF,G est linéaire,
donc p est bien une application affine.
3. Pour tout M ∈ E , M 0 = p(M ) ∈ (M + G) ∩ F ⊂ F . Donc p(E ) ⊂ F . D’autre part,
on a vu que si A ∈ F , alors f (A) = A ∈ p(E ), donc F ⊂ p(E ). Par conséquent
p(E ) = F .
De plus, pour tout M ∈ E , on a
p ◦ p(M ) = p(p(M )) = p(M 0 ) = M 0 = p(M ) (car M 0 ∈ F ).
Donc p ◦ p = p.
4. Soit f : E → E une application affine qui admet un point fixe A et dont la partie
linéaire est une projection vectorielle π.
Soit F = A + Im(π) et G = A + ker(π). De la Proposition 2.4.15, on déduit que π est
la projection sur F = Im(π) de direction G = ker(π) et F et G sont supplémentaire.
Montrons que f = pF ,G . Soit M = A + ~u ∈ E , avec ~u = ~v + w
~ ∈ E = F ⊕ G.
76
On a f (M ) = f (A + ~u) = f (A) + π(~u) = A + ~v . Or, M 0 = A + ~v ∈ A + F = F

et M 0 = (A + ~u) + (−w) ~ ∈ M + G. Donc M 0 ∈ (M + G) ∩ F et
~ ∈ M + (−w)
f (M ) = pF ,G (M ). Comme M est arbitraire dans E , f = pF ,G .
5. Soit f une application affine telle que f ◦ f = f . Soit B ∈ E . En posant f (B) = A on
a f (A) = (f ◦ f )(B) = f (B) = A, donc A est une point fixe de f .
Soit ϕ la partie linéaire de f . Pour tout ~u ∈ E, soit M = A + ~u et M 0 = f (M ). On a
M 0 = f (M ) = f (A + ~u) = f (A) + f~(~u) = A + f~(~u).
D’autre part, on a
−−→ −−→
M 0 = f (M ) = (f ◦f )(M ) = f (M 0 ) = f (A+AM 0 ) = f (A)+f~(AM 0 ) = f (A)+(f~◦f~)(~u).
Donc f~ = f~ ◦ f~. Montrons que f~ est une projection vectorielle. Soit F = Im(f~) et
G = ker(f~). Puisque f~ est linéaire, on a
dim E = dim Im(f~) + dim ker(f~).
De plus, pour tout ~u ∈ F ∩ G, ~u ∈ F et ~u ∈ G. Alors, il existe ~v ∈ E tel que ~u = f~(~v )

et f~(~u) = ~0, donc
~0 = f~(~u) = f~(f~(~u)) = f~(~v ) = ~u.
D’où F ∩ G = {~0} et en déduit que F et G sont supplémentaire dans E.

D’autre part, pour tout ~u ∈ E, on a ~u = f~(~u)+(~u−f~(~u)) avec f~(~u) ∈ F et ~u−f~(~u) ∈ G.
En posant ~v = f~(~u) et w
~ = ~u − f~(~u), ~u = ~v + w
~ est l’unique décomposition de ~u selon
la somme directe E = F ⊕ G, et donc πF,G (~u) = ~v = f~(~u). Par 4., f est une projection
affine.
Définition 2.4.21. On appelle symétrie par rapport à F parallèlement à G (ou dans la direction
−−−−−→
de G) l’application s = sF ,G de E dans E définie par M 7→ s(M ) = M + 2M p(M ), où
p = pF ,G .
Proposition 2.4.22. 1. s est une application affine, sa partie linéaire est la symétrie
vectorielle σ = σF,G .
2. s(M ) est l’unique point M 0 de E tel que p(M ) est le milieu de [M M 0 ].
3. s ◦ s = IdE .
4. F = {A ∈ E , s(A) = A}.
5. Toute application affine f admettant un point fixe et dont la partie linéaire f~ vérifie
f~ ◦ f~ = IdE est une symétrie.
77
6. Toute application affine vérifiant f ◦ f = IdE est une symétrie.

Preuve.
1. Soit s = sF ,G . Pour tout M ∈ E et ~u ∈ E on a

−−−−−−−−−−−−→
s(M + ~u) = (M + ~u) + 2(M + ~u)p(M + ~u)
−−−−−−−−−−−−−−−−→
= M + ~u + 2(M + ~u)(p(M ) + π(~u))
−−−−−−−−−→
= M + ~u + 2(M + ~u)p(M ) + 2π(~u)
−−−−−→
= M + ~u + 2M p(M ) − 2~u + 2π(~u)
−−−−−→
= (M + 2M p(M )) + (2π(~u) − ~u)
= s(M ) + σ(~u).
Donc s est affine, de partie linéaire la symétrie vectorielle σ = σF,G .

−−−−−→ −−−→ −−−−−→
2. Soit M ∈ E et soit M 0 = s(M ), alors M 0 = M + 2M p(M ), c’est que M M 0 = 2M p(M ).
Donc p(M ) est le milieu de [M M 0 ].
−−→
Réciproquement, soit M ∈ E . Comme ψM : B → M B est bijective, il existe un unique
−−−→ −−−−−→ −−−−−→
point M 0 ∈ E tel que M M 0 = 2M p(M ), de plus, par définition M 0 = M + 2M p(M ) =
s(M ).
3. Soit M ∈ E . On pose M 0 = s(M ), alors on a
−−−−−→ −−−−−→
s(M ) = M 0 = M + 2M p(M ) = p(M ) + M p(M ),
−−−−−→ −−−−−→
donc p(M ) = M 0 − M p(M ) et comme {p(M )} = (M + G) ∩ F , on a M p(M ) ∈ G.
D’où p(M ) ∈ M 0 + G. Mais p(M ) ∈ F , donc {p(M )} = (M 0 + G) ∩ F , c’est à dire,
p(M ) = p(M 0 ). Donc, par 2., p(M 0 ) est le milieu de [M M 0 ] = [M 0 M ], d’où s(M 0 ) = M
et on obtient s ◦ s(M ) = s(M 0 ) = M = IdE (M ).
−−−−→
4. Soit A ∈ F , alors p(A) = A. Donc s(A) = A + 2Ap(A) = A + ~0 = A.
−−−−→
Réciproquement, si s(A) = A, alors Ap(A) = ~0, d’où p(A) = A ∈ F .
5. Soit f une application affine admettant un point fixe A et telle que f~ ◦ f~ = IdE .
Posons F = ker(f~ − IdE ) et G = ker(f~ + Id) et montrons que F ⊕ G = E. Soit
~u ∈ E, alors on peut écrire ~u = 1 (~u + f~(~u)) + 1 (~u − f~(~u)). Or ~v = 1 (~u + f~(~u)) ∈ F
2 2 2
puisque f~(~v ) = 21 (f~(~u) + f~ ◦ f~(~u)) = ~v donc (f~ − IdE )(~v ) = ~0, et de même façon,
~ = 1 (~u − f~(~u)) ∈ G puisque f~(w)
w 2
~ = 1 (f~(~u) − f~ ◦ f~(~u)) = w
2
~ donc (f~ + IdE )(w)
~ = ~0.
Par conséquent, E = F + G.
Soit ~u ∈ F ∩ G, alors ~u ∈ F et ~u ∈ G et on a (f~ − IdE )(~u) = (f~ + IdE )(~u) = ~0, donc
f~(~u) = ~u = −f~(~u), d’où ~u = 0. Ceci prouve que F ∩ G = {~0}, donc F ⊕ G = E.
Soit σ = σF,G . Pour tout ~u ∈ E on a σ(~u) = ~v + w~ ∈ E = F ⊕ G. Mais ~v = 1 (~u + f~(~u))
2
~ = 21 (~u − f~(~u)), d’où σ(~u) = f~(~u). Donc f~ = σ et f~ est une symétrie vectorielle.
et w
78
Montrons que f est une symétrie affine. On pose F = A + F et soit s = sF ,G . Puisque

A ∈ F , on a s(A) = A = f (A). Soit M ∈ E , alors on a
−−→ −−→ −−→
s(M ) = s(A) + σ(AM ) = A + f~(AM ) = f (A) + f~(AM ) = f (M ).
Donc f = s.
6. Soit f une application affine vérifiant f ◦ f = IdE . Soit M ∈ E et M 0 = f (M ). On
−−−→ −−→ −−−→
pose A = M + 12 M M 0 et A0 = f (A). Alors, A0 = f (M ) + f~(M A) = M 0 + 21 f~(M M 0 ).
−−−→
D’autre part, comme A = M 0 − 21 M M 0 , on a
1 −−−→ 1 −−−→ 1 −−−→
A0 = f (M 0 ) − f~(M M 0 ) = f ◦ f (M ) − f~(M M 0 ) = M − f~(M M 0 ).
2 2 2
−−−→ −−−→ −−−→ −−−→
On a donc M 0 + 12 f~(M M 0 ) = M − 12 f~(M M 0 ), d’où f~(M M 0 ) = −M M 0 et on obtient
1 −−−→ 1 −−−→
A0 = M − f~(M M 0 ) = M + M M 4 = A.
2 2
Donc A est bien un point fixe de f . Montrons que f~ ◦ f~ = IdE .
Soit ~u ∈ E et posons M = A + ~u et M 0 = f (M ). On a
−−−−−−−→ −−→
f~ ◦ f~(~u) = f~(f (A)f (M )) = f~(AM 0 ) =
−−→
f (A + AM 0 ) − f (A) = f (M 0 ) − A = f ◦ f (M ) − A = M − A = ~u.
D’où f~ ◦ f~ = IdE , et par 4., f est une symétrie affine. ¤
2.4.7 Forme affine

Définition 2.4.23. Une forme affine est une application affine de E dans K.
Les formes affines sont donc les applications affines dont la partie linéaire est une forme
linéaire.
Proposition 2.4.24. Soit (E , E) un espace affine de dimension finie n.

1. Soit f une forme affine sur E non constante et soit c ∈ K. Alors f −1 ({c}) est un
hyperplan H de E , de direction ker f~. On dit que l’équation f (M ) = c est une équation
de H .
2. Soit H un hyperplan de E . Alors il existe une forme affine non constante f sur E
telle que H = f −1 ({0}), i.e. telle que f (M ) = 0 soit une équation de H . En outre,
g(M ) = 0 est une autre équation de H si et seulement s’il existe λ ∈ K∗ tel que
g = λf . (Un hyperplan admet donc une infinité d’équations.)
3. Soit H un hyperplan d’équation f (M ) = 0. Alors les hyperplans parallèles à H sont
exactement ceux dont une équation est f (M ) = c, pour un c ∈ K.
79
Preuve.
1. Comme {c} est un sous espace affine de K, et comme f est affine, on sait déjà que
f −1 ({c}) est soit vide, soit un sous espace affine de E , de direction f −1 ({0}) = ker(f~).
Montrons donc que f −1 ({c}) 6= ∅. Comme f est une forme affine, Im(f ) = f (E ) est un
sous espace affine de K, c’est donc un point de K ou bien K tout entier (car dim K = 1).
Mais f est non constante, d’où Imf = K, i.e. f est surjective, alors il existe au moins
un point A ∈ E tel que f (A) = c. On a donc f −1 ({c}) 6= ∅, d’où c’est un sous espace
affine de E , de direction ker(f~). Or f~ est une forme linéaire non nulle sur E, alors
dim ker(f~) = dim E − dim Im(f~) = dim E − 1, donc, dim f −1 ({c}) = dim E − 1, c’est
à dire que f −1 ({c}) est un hyperplan affine.
2. Soit H un hyperplan de E et soit A ∈ H , alors H = A + H, où H est la direction
de H . Donc dim H = dim E − 1.
Soit {e1 , . . . , en−1 } une base de H et soit en ∈ E tel que {e1 , . . . , en } soit une base de
E. On définit une application
ϕ: E → K
Pn
x= i=1 αi ei 7→ ϕ(x) = αn .
ϕ est une forme linéaire sur E, de plus
ker(ϕ) = {x ∈ E, ϕ(x) = 0} = {x ∈ E, αn = 0} = H.
Définissons alors une forme affine f par f (A) = 0 et
f :E → K
−−→
M 7→ f (M ) = f (A) + ϕ(AM ).
Alors, pour tout B, C ∈ E on a

−−−−−−→ −→ −→ −→ −→ −−→
f (B)f (C) = f (C)−f (B) = (f (A)+ϕ(AC))−(f (A)+ϕ(AB)) = ϕ(AC)−ϕ(AB) = ϕ(BC).
Donc f est une application affine de partie linéaire ϕ. Comme ϕ est non nulle, f est
non constante et on a pour tout M ∈ H ,
−−→ −−→
f (M ) = f (A + AM ) = f (A) + ϕ(AM ) = 0 + 0 = 0.
D’où l’inclusion H ⊂ f −1 ({0}).

−−→
Inversement, pour tout M ∈ f −1 ({0}), f (M ) = 0. Donc ϕ(AM ) = 0, c’est à dire que
−−→
AM ∈ H de sorte que M ∈ A + H = H . D’où l’inclusion f −1 ({0}) ⊂ H . Donc
l’égalité.
Supposons maintenant que g(M ) = 0 soit une autre équation de H , avec g une forme
80
2.5. Exercices
affine sur E non constante. De l’égalité H = f −1 ({0}) = g −1 ({0}) on déduit que

H = ker(f~) = ker(~g ). Ainsi, il existe λ ∈ K∗ tel que ~g = λf~. Par ailleurs, pour tout
M ∈ H , on a λf (M ) = 0 = g(M ), ce qui établit l’égalité g = λf sur E .
Réciproquement, il est clair que f −1 ({0}) = g −1 ({0}) si g = λf avec λ ∈ K∗ .
3. Soient H et H 0 deux hyperplans parallèles d’équations respectives f (M ) = 0 et
g(M ) = 0. Alors on a
H k H 0 ⇔ H = H0
⇔ ker(f~) = ker(~g )
⇔ ∃λ ∈ K∗ , ~g = λf~.
Fixons un point A ∈ H , alors f (A) = 0 et g(A) ∈ K. De plus, pour tout M ∈ E , on a
g(M ) = g(A)+~g (M −A) = g(A)+λf~(M −A) = g(A)+λ(f (M )−f (A)) = λf (M )+g(A).
Alors
g(A)
M ∈ H 0 ⇔ g(M ) = 0 ⇔ f (M ) = − ,
λ
et on a donc trouvé c = − g(A)
λ
∈ K tel que f (M ) = c soit une équation de H 0 .
Réciproquement, supposons que H 0 admette pour équation f (M ) = c. Pour tout
M ∈ E , posons g(M ) = f (M ) − c. Comme f est une forme affine non constante, on
voit que g est aussi une forme affine non constante et que g(M ) = 0 est une équation
de H 0 . Ce qui précède montre alors que H 0 k H .
¤
Remarque 2.4.25. En équation, un point M de E étant de coordonnées (x1 , . . . , xn ) dans un
repère R de E , une forme linéaire f sur E s’exprime f (M ) = a0 + a1 x1 + . . . + an xn . Alors
les hyperplans affines de E sont d’équation
a1 x1 + . . . + an xn = c, où (a1 , . . . , an ) 6= 0.
Exemple 2.4.3.
• Si dim E = 2, l’hyperplan est une droite affine d’équation ax + by = c.
• Si dim E = 3, l’hyperplan est un plan affine d’équation ax + by + cz = d.
2.5 Exercices
Exercice 2.1. On note E = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 − z = 0} et E = R2 .
1. L’ensemble E est t’il un sous espace vectoriel de R3 ?
81
2.5. Exercices
2. On définit φ : E × E → R3 par
φ((x, y, z), (α, β)) = (x + α, y + β, α2 + β 2 + 2(αx + βy) + z).
- Montrer que φ(E × E) ⊂ E .

- Montrer que φ est une loi de composition externe qui définie sur E une structure
d’espace affine de direction E.
Exercice 2.2. On note E = {(x, y, z) ∈ R3 | x+y+z = 1} et E = {(x, y, z) ∈ R3 | x+y+z =

0}.
1. Vérifiez que E est un espace vectoriel sur R.
L’ensemble E est-il un sous-espace vectriel de R3 ?
2. On définit φ de E × E dans R3 par
φ((x, y, z), (x0 , y 0 , z 0 )) = (x + x0 , y + y 0 , z + z 0 ).
Montrer que φ(E × E) est inclu dans E et que φ est une loi de composition externe qui
définie sur E une structure d’espace affine de direction E.
Exercice 2.3. On considère dans l’espace affine E = R2 la partie définie par
D = {(1 + 3λ, λ), λ ∈ R}.
Montrer que D est une variété affine (en particulier droite affine). Déterminer un point et
sa direction.
Exercice 2.4. Soient E1 et E2 deux espaces vectoriels et u : E1 → E2 une application

linéaire.
Montrer que si y0 ∈ Im u, alors l’ensemble F = u−1 ({y0 }) est un sous-espace affine de E1 .
Déterminer un point de ce sous-espace affine et sa direction.
Exercice 2.5. Soit l’application
f : R3 → R2
(x, y, z) 7→ (2x − y + 3z + 4, x + 2y − z − 2).
Montrer que f est une application affine.
Exercice 2.6. Soient E un espace affine de direction E et f une application affine de E

dans E tel que f ◦ f = IdE . Soit M0 ∈ E .
−−−−−−→
Montrer que le point A = M0 + 12 M0 f (M0 ) est un point fixe de f , c’est à dire, f (A) = A.
82
2.5. Exercices
Exercice 2.7. Soient les deux sous ensembles F et G de R3 définis par
F = {(x, y, z) ∈ R3 / 7x − y − z − 13 = 0 ∧ 3x − z − 5 = 0}
et
G = {(x, y, z) ∈ R3 / 2x + y − 2z − 3 = 0}.
• Montrer que F et G sont des sous espaces affines de R3 .

• Montrer que F est parallèle à G .
Exercice 2.8. Rappelons qu’une homothétie de centre A et de rapport λ = −1 s’appelle

symétrie de centre A. On note alors sA = hA,−1 . Soient A, B deux points de E(distincts ou
non).
Montrer que sB ◦ sA = t2−→.
AB
Exercice 2.9. Soit (E , E) un espac affine.

Soit h une homothétie affine de E dans lui-même et F une sous variété de E .
Montrer que h(F ) et F sont parallèles et de même dimension.
83
CHAPITRE 3
Espaces affines euclidiens
Dans ce chapitre, nous allons spécialiser notre étude aux espaces affines euclidiens. Un
espace affine euclidien est un espace affine dirigé par un espace vectoriel euclidien, c’est
un espace métrique, où la distance est associée au produit scalaire définit sur la direction.
L’existence d’un tel produit scalaire permet de définir les notions classiques d’orthogonalité
et d’angle, et d’étudier les applications affines qui préservent ces notions, les similitudes et
les isométries.
3.1 Structure d’espace euclidien

On commence par étudier les propriétés des espaces vectoriels euclidiens, c’est à dire des
espaces vectoriels réels de dimension finie munis d’un produit scalaire.
3.1.1 Définition
Soit E un espace vectoriel réel.
Définition 3.1.1. Un produit scalaire sur E est une forme bilinéaire symétrique définie
positive ϕ : E × E → R, c’est-à-dire, pour tous ∈ E et λ ∈ R,
1. • ϕ(x + y, z) = ϕ(x, z) + ϕ(y, z) ;
• ϕ(λx, y) = λϕ(x, y) ;
2. ϕ(x, y) = ϕ(y, x) ;
3. • ϕ(x, x) ≥ 0 ;
• ϕ(x, x) = 0 ⇐⇒ x = 0.
Notation 3.1.1. On note souvent hx, yi au lieu de ϕ(x, y). En géométrie, on note aussi
~x · ~y .
84
3.1. Structure d’espace euclidien
Définition 3.1.2. • Un espace vectoriel muni d’un produit scalaire est appelé espace préhil-
bertien.
• Un espace préhilbertien de dimension finie est appelé espace vectoriel euclidien.
Proposition 3.1.3. Soit E un espace vectoriel euclidien. Alors, l’application

k · k : E → R+
p
x 7→ kxk = hx, xi
est une norme sur E, elle s’appelle norme euclidienne sur E associée au produit scalaire h·, ·i.
P
n
Exemple 3.1.1. 1. L’application h·, ·i : (x, y) 7→ xi yi est un produit scalaire sur Rn
i=1
(en notant x = (x1 , . . . , xn ) et y = (y1 , . . . , yn )) : c’est le produit scalaire canonique de
Rn .
n
Dans Rr muni du produit scalaire canonique, la norme du vecteur x = (x1 , ..., xn ) est
Pn
kxk = x2i .
i=1
Rb
2. Sur l’espace vectoriel E = C([a, b], R), l’application h·, ·i : (f, g) 7→ a f (t)g(t)dt est un
produit scalaire.
Sur l’espace E = C([a,qb], R) muni du produit scalaire défini ci-dessus, la norme de la
Rb
fonction f est kf k = a
(f (t))2 dt.
Proposition 3.1.4. Soit E un espace vectoriel euclidien. Pour tous x, y ∈ E

1. 2hx, yi = kx + yk2 − kxk2 − kyk2 , kx + yk2 − kx − yk2 = 4hx, yi,
2. |hx, yi| ≤ kxk · kyk (inégalité de Cauchy- Schwarz ),
3. kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ) (Identité de parallélogramme),
4. |hx, yi| = kxk · kyk si et seulement si x et y sont colinéaires.
3.1.2 Bases orthogonales et orthonormées

Soit E un espace vectoriel euclidien muni du produit scalaire h·, ·i.
Définition 3.1.5.
1. Deux vecteurs x et y de E sont dits orthogonaux si hx, yi = 0. On note alors x⊥y.
2. Deux parties F et G de E sont dites orthogonales si tout vecteur de F est orthogonal à
tout vecteur de G. On note alors F ⊥G.
3. Si F est une partie de E, on appelle orthogonal de F la partie notée F ⊥ définie par
F ⊥ = {y ∈ E, hx, yi = 0, ∀x ∈ A}.
Proposition 3.1.6.
• Pour toute partie F de E, F ⊥ est un sous-espace vectoriel de E et F ⊥ = (V ect(F ))⊥ .
• Soient F et G deux parties de E. Si F ⊂ G alors G⊥ ⊂ F ⊥ .
85
Proposition 3.1.7. Soit F et G deux sous espaces vectoriels de E.

1. Si F ⊥ G alors F ∩ G = {0}.
2. (F ⊥ )⊥ = F , E = F ⊕ F ⊥ et dans ce cas dim E = dim F + dim F ⊥ .
Théorème 3.1.8 (Pythagore). Soit x, y ∈ E.
x ⊥ y ⇐⇒ kx − yk2 = kxk2 + kyk2 .
Définition 3.1.9. Une famille (ei )i∈I de vecteurs de E est dite orthogonale si
hei , ej i = 0, ∀i 6= j.
Si de plus kei k = 1, ∀i ∈ I, on dira qu’elle est orthonormée.
Proposition 3.1.10. Toute famille orthogonale constituée de vecteurs non nuls de E est
une famille libre.
Tout espace vectoriel euclidien possède des bases orthonormées. Plus précisément le pro-
cédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt permet de construire à partir de n’importe quelle
base d’un tel espace une base orthonormée.
Théorème 3.1.11 (Orthonormalisation de Gram-Schmidt).

Soit (xi )1≤i≤p une famille libre de vecteurs de E.
À partir de cette famille, on construit une et une seule famille orthonormée (ei )1≤i≤p de E
telle que
V ect{e1 , . . . , ei } = V ect{x1 , . . . , xi }, 1 ≤ i ≤ p.
En effet, en posant
i−1X hxi , uj i
hx2 , u1 i
u1 = x 1 , u 2 = x 2 − u 1 , . . . , u i = x i + uj ,
ku1 k2 j=1
ku j k2
d’où (ui )1≤i≤p est une famille orthogonale.

ui
En posant : ei = kui k
, 1 ≤ i ≤ p, on obtient une famille orthonormée.
Corollaire 3.1 (Théorème de la base orthonormée incomplète). Soit E un espace

euclidien. Toute famille orthonormée de E peut se compléter en une base orthonormée. En
particulier, E possède des bases orthonormées.
3.1.3 Projections et symétries orthogonales vectorielles

Soit E un espace vectoriel euclidien et F un sous espace vectoriel de E.
86
Définition 3.1.12.
• La projection orthogonale vectorielle sur F , notée πF , est la projection vectorielle sur
F dans la direction de F ⊥ , on a πF = πF,F ⊥ .
• La symétrie orthogonale vectorielle par rapport à F , notée σF , est la symétrie vectorielle
par rapport à F dans la direction de F ⊥ , on a σF = σF,F ⊥ .
3.1.4 Isométries vectorielles

Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n.
Définition 3.1.13. Soit f : E → E une application. On dit que f est une isométrie vecto-
rielle si
1. f est linéaire ;
2. ∀x ∈ E, kf (x)k = kxk.
Proposition 3.1.14. Toute isométrie vectorielle est une bijection.
Définition 3.1.15. Soit f : E → E une application.

On dit que f est orthogonale si elle conserve le produit scalaire, c’est à dire, si
∀x, y ∈ E, hf (x), f (y)i = hx, yi.
Proposition 3.1.16. Toute application orthogonale est linéaire et bijective.
Proposition 3.1.17. Soit f : E → E une application linéaire, alors les deux conditions
suivantes sont équivalentes
1. f est une isométrie vectorielle
2. f est orthogonale.
On note O(E) l’ensemble des isométries vectorielles sur E.
3.1.5 Angle non orienté

En vertu de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, si x, y ∈ E sont non nuls, on a
|hx, yi|
≤1
kxkkyk
et donc, il existe un unique nombre réel α ∈ [0, π] tel que
|hx, yi|
= cos α.
kxkkyk
Ce nombre α est appelée la mesure de l’angle non orientée entre x et y.
87
3.1.6 Produit mixte et produit vectoriel en dimension 3

Orientation
Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie. On définit une relation d’équivalence
sur la famille des bases de E en considérant que deux bases sont en relation si la matrice de
passage de l’une à l’autre a un déterminant positif (strictement).
On dit alors que deux telles bases sont de même orientation. Cette relation d’équivalence
comporte deux classes et orienter E c’est choisir l’une de ces classes dont les éléments seront
dits bases directes (les bases de l’autre classe étant dites indirectes). Dans la pratique, pour
orienter E, il suffit de se fixer une base de E (considérée alors comme directe). Dans le cas
d’un espace vectoriel euclidien, deux bases orthonormées sont de même sens si et seulement
si la matrice de passage de l’une à l’autre est de déterminant +1.
Produit vectoriel
Dans ce paragraphe, on considère un espace vectoriel euclidien E de dimension 3 muni

d’une base orthonormée B = {e1 , e2 , e3 }.
Si x, y ∈ E, le produit vectoriel x ∧ y est un vecteur z tel que
• z = 0 si x et y sont colinéaires ;
• z est orthogonal à x et y et de norme kxk·kyk sin α, où α ∈ [0, π] est l’angle non orienté
entre x et y, tel que (x, y, z) est une base directe.
Si x = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 et y = y1 e1 + y2 e2 + y3 e3 alors
x ∧ y = (x2 y3 − x3 y2 )e1 + (x1 y3 − x3 y1 )e2 + (x1 y2 − x2 y1 )e3 .
Proposition 3.1.18. On a les propriétés suivantes.

1. Bilinéarité. Pour tous x, y, z ∈ E et λ, µ ∈ R, on a
x ∧ (λy + µz) = λ(x ∧ y) + µ(x ∧ z),
(λx + µy) ∧ z = λ(x ∧ z) + µ(y ∧ z).
2. Antisymétrie. pour tous x, y ∈ E, x ∧ y = −y ∧ x.

3. Identité de Lagrange. Pour tous x, y, z, t ∈ E on a
hx ∧ y, z ∧ ti = hx, zi · hy, ti − hx, ti · hy, zi.
En particulier, on obtient en prenant x = z et y = t
kx ∧ yk = kxk2 · kyk2 − hx, yi2 .
4. Pour tous x, y, z ∈ E on a
x ∧ (y ∧ z) = hx, ziy − hx, yiz.

88
3.2. Espaces affines euclidiens
Produit mixte
Étant donnés trois vecteurs x, y, z ∈ E, on définit leur produit mixte par
[x, y, z] = hx, y ∧ zi ∈ R.
Si x = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 , y = y1 e1 + y2 e2 + y3 e3 et z = z1 e1 + z2 e2 + z3 e3 alors
¯ ¯
¯ ¯
¯ x1 y1 z1 ¯
¯ ¯
[x, y, z] = ¯¯ x2 y2 z2 ¯¯ .
¯ ¯
¯ x3 y3 z3 ¯
Proposition 3.1.19. Soient x, y, z, t ∈ E. On a les propriétés suivantes.

1. Symétries. on a [x, y, z] = hx ∧ y, zi ainsi que
[x, y, z] = [y, z, x] = [z, x, y].
2. Antisymétrie. On a [x, y, z] = −[y, x, z].

3. On a [x, y, z] = kxk · ky ∧ zk cos α, où α ∈ [0, π] désigne l’angle entre x et y ∧ z.
4. On a
(x ∧ y) ∧ (z ∧ t) = [x, y, t]z − [x, y, z]t.
3.2 Espaces affines euclidiens
3.2.1 Définitions
Définition 3.2.1. Un espace affine E est dit euclidien si sa direction est un espace vectoriel
euclidien.
Exemple 3.2.1.
• Rn est un espace affine euclidien.
• On appelle R2 le plan affine euclidien.
Définition 3.2.2. Soit (E , E) un espace affine euclidien et soit R = (O, B) un repère car-
tésien de E . On dit que R est un repère orthogonal (resp. orthonormé) si B l’est.
Proposition 3.2.3. Soit E un espace affine euclidien. Alors l’application
d:E ×E → R
−→
(A, B) 7→ d(A, B) = kABk
définit une distance sur E . On l’appelle distance sur E associée à la norme euclidienne k · k,
ou simplement, distance euclidienne sur E .
Preuve.
89
−→ −→
1. ∀A, B ∈ E , d(A, B) = kABk = 0 ⇐⇒ AB = ~0 ⇐⇒ A = B.
−→ −→ −→
2. ∀A, B ∈ E , d(A, B) = kABk = k − BAk = kBAk = d(B, A).
3. ∀A, B ∈ E ,
−→
d(A, B) = kABk
−→ −−→
= kAC + CBk
−→ −−→
≤ kACk + kCBk
= d(A, C) + d(C, B).
Corollaire 3.2. Tout espace affine euclidien est un espace métrique.
3.2.2 Orthogonalité et perpendicularité des sous espaces affines

Définition 3.2.4. Soit E un espace affine euclidien et F et G deux sous espace affine de
E.
1. On dit que F et G sont orthogonaux et on écrit F ⊥ G si F ⊥ G.
2. On dit que F et G sont supplémentaires orthogonaux si F et G le sont.
Définition 3.2.5. 1. Deux droites affines sont dites perpendiculaires si elles sont ortho-
gonales et sécantes (en un point).
2. Une droite affine et un hyperplan affine sont dits perpendiculaires s’ils sont orthogonaux
(dans ce cas ils sont sécants en un point).
3. Deux hyperplans H1 et H2 sont dits perpendiculaires si H1⊥ ⊥ H2⊥ , c’est à dire si tout
vecteur normal à H1 est orthogonal à tout vecteur normal de H2 (un vecteur normal à
un hyperplan H est un vecteur directeur de la droite H ⊥ ).
3.2.3 Projections et symétries affines orthogonales

Définition 3.2.6. Soit (E , E) un espace affine euclidien et (F , F ) et une variété affine.
– La projection affine orthogonale est la projection sur F de direction F ⊥ .
– La symétrie affine orthogonale est la symétrie par rapport à F de direction F ⊥ .
3.2.4 Distance d’un point à un sous espace affine

Définition 3.2.7. Soit E un espace affine euclidien, A un point et F est un sous espace
−−→
affine de E . On appelle distance de A à F le réel d(A, F ) = inf kAM k.
M ∈F
90
Proposition 3.2.8. Soit E un espace affine euclidien, A un point et F est un sous espace
affine de E . La distance d(A, F ) est atteinte en un unique point de F qui n’est autre que
le projeté orthogonal pF (A) de A sur F . Autrement dit, pF (A) est le point de F qui est le
plus proche de A, et cette propriété le caractérise.
Proposition 3.2.9. Soit E un espace affine euclidien.

1. Soient A ∈ E et H un hyperplan. On note A0 le projeté orthogonal de A sur H . Pour
tout vecteur normal ~n à H , on a
−−→
|hAA0 , ~ni|
d(A, H ) = .
k~nk
2. Supposons E muni d’un repère orthonormé R. Dans ce repère, soient (a1 , . . . , an ) les
coordonnées de A, et soit α0 + α1 x1 + . . . + αn xn = 0 une équation cartésienne de H .
Alors
|α0 + α1 a1 + . . . + αn an |
d(A, H ) = p .
α12 + . . . + αn2
Proposition 3.2.10. Soit E un espace affine euclidien de dimension 3.
1. Soit M ∈ E et P un plan affine passant par A de direction P = V ect{~u, ~v }. Alors
−−→ −−→
|hAM , ~u ∧ ~v i| |[~u, ~v , AM ]|
d(M, P) = = .
k~u ∧ ~v k k~u ∧ ~v k
2. Soit M ∈ E et D une droite affine passant par A de direction D = V ect{~u}. Alors

−−→
|hAM , ~ui|
d(M, D) = .
k~uk
3.2.5 Isométrie affine

Soit (E , E) un espace affine euclidien et f : E → E une application.
Définition 3.2.11. On dit que f est une isométrie affine si
∀A, B ∈ E , d(f (A), f (B)) = d(A, B),

−−−−−−→ −→
(i.e., kf (A)f (B)k = kABk).
Proposition 3.2.12. f est une isométrie affine si et seulement si f est affine et sa partie
linéaire f~ est une application orthogonale de E dans E.
Preuve.
91
⇒) Fixons un point A de E et on considère f~ : E → E, ~u 7→ f (A + ~u) − f (A).

Soit ~u, ~v ∈ E. On pose B = A + ~u et C = A + ~v . On a
2hf~(~u), f~(~v )i = kf~(~u)k2 + kf~(~v )k2 − kf~(~u) − f~(~v )k2

= kf (A + ~u) − f (A)k2 + kf (A + ~v ) − f (A)k2
−kf (A + ~u) − f (A) − f (A + ~v ) + f (A)k2
= kf (B) − f (A)k2 + kf (C) − f (A)k2 − kf (B) − f (C)k2
= kB − Ak2 + kC − Ak2 − kB − Ck
= k~uk2 + k~v k2 − k~u − ~v k2 ,
donc f~ conserve le produit scalaire, c’est donc une application linéaire et une application
orthogonale.
⇐) Puisque f~ est linéaire et orthogonale, c’est une isométrie vectorielle. Donc, pour tout
A, B ∈ E on a
−−−−−−→
d(f (A), f (B)) = kf (A)f (B)k
f af f ine −→
= kf~(AB)k
f isom −→
= kABk
= d(A, B).
Exemple 3.2.2. Les translations sont des isométries affines.

En effet, Pour tout A, B ∈ E et tout ~u ∈ E on a
−−−−−−−→
d(t~u (A), t~u (B)) = kt~u (A)t~u (B)k
tu
~ affine −→
= kABk
= d(A, B).
Proposition 3.2.13. L’ensemble des isométries affines, noté I(E ), a la structure d’un
groupe pour la composition (i.e, (I(E ), ◦) un groupe).
Définition 3.2.14. • Les isométries f ∈ I(E ) telles que det(f~) = 1 sont appelées les
déplacement, on note I + (E ) leur ensemble, c’est un sous-groupe de I(E ) appelé groupe
spécial orthogonal.
• Les isométries f ∈ I(E ) telles que det(f~) = −1 sont appelées les anti-déplacement, on
note I − (E ) leur ensemble.
On a I(E ) = I + (E ) ∪ I − (E ), c’est à dire, pour tout f ∈ I(E ), det(f~) = ±1.

92
Exemple 3.2.3. Les translations sont des déplacements car ~t~u = IdE et det(IdE ) = 1.
Proposition 3.2.15. Soit f : E → E une isométrie affine.

Il existe un unique couple (g, ~u) où ~u ∈ ker(f~ − IdE ) et où g est une isométrie affine à point
fixe, tel que
f = t~u ◦ g = g ◦ t~u .
3.2.6 Similitudes
Définition 3.2.16. On se place dans un plan affine euclidien P, d’espace directeur P , soit
α ∈ R∗+ .
Une α-similitude (ou similitude de rapport α) est une application affine s de P dans lui même
vérifiant
∀A, B ∈ P, d(s(A), s(B)) = αd(A, B).
Remarque 3.2.17. 1. Toute isométrie est une similitude de rapport α = 1.

2. Toute homothétie de rapport α est une similitude de rapport |α|.
3. Soit f : P → P une application affine. Alors f est une similitude de rapport α si et
seulement si
∀~u ∈ P, kf~(~u)k = αk~uk.
4. Une application f : P → P est une α-similitude si et seulement si
f~ = αg et g ∈ O(P ).
Proposition 3.2.18. Soit s une α-similitude. Alors s s’écrit sous forme de composition
d’une homothétie h de rapport ±α et une isométrie, de plus det(~s) = ±α2 .
Preuve.
Soit h une homothétie de rapport ±α, alors h−1 est une homothétie de rapport ± α1 .
On pose f = s ◦ h−1 .
Pour tout A, B ∈ P, on a
d(f (A), f (B)) = d(s(h−1 (A)), s(h−1 (B)))

= αd(h−1 (A), h−1 (B))
−−−−−−−−−−→
= αkh−1 (A)h−1 (B)k
1 −→
= αk ± IdP (AB)k
α
−→
= kABk
= d(A, B).
Donc f est une isométrie affine et s = f ◦ h.

D’autre part ~s = f~ ◦ ~h donc det(~s) = det(f~) · det(±kIdP ) = ±k 2 ¤
93
3.3. Exercices
Définition 3.2.19. On dit qu’une similitude s est directe si det(~s) > 0 et indirecte si det(~s) <
0.
Exemple 3.2.4. • Toute homothétie de rapport α > 0 est une similitude directe.
• Tout déplacement est une similitude directe.
• Tout anti-déplacement est une similitude indirecte.
Proposition 3.2.20. L’ensemble des similitudes, noté Sim(P), a la structure d’un groupe
pour la composition.
3.3 Exercices
Exercice 3.1. Soit E un espace affine euclidien et hΩ,λ une homothétie de centre Ω ∈ E et
de rapport λ ∈ R.
Montrer que hΩ,λ ∈ I(E ) si et seulement si λ = ±1.
Exercice 3.2. Soit f une similitude de rapport α1 et g une similitude de rapport α2 .

• Montrer que f ◦ g est une similitude. Déterminer son rapport.
• Montrer que f est bijective.
• Montrer que f −1 est une similitude et déterminer son rapport.
94
BIBLIOGRAPHIE
[1] B. Aebischer, Géométrie : géométrie affine, géométrie euclidienne et introduction à la

géométrie projective, Cours et exercices corrigés, Vuibert, Paris 2011.
[2] J.M. Arnaudiès et H. Fraysse, Algèbre bilinéaire et géométrie, BORDAS, Paris, 1990.
[3] M. Audin, Géométrie, EDP sciences, 2006.
[4] S. Balac et L. Chupin, Analyse et algèbre, Cours de mathématiques de deuxième année
avec exercices corrigés et illustrations avec Maple Press Polytechniques et Universitaires
Romandes PPUR, 2008.
[5] M. Berger et B. Gostraux, Géométrie différentielle : Variétés, courbes et surfaces, P.U.F,
1992.
[6] A. Bouchair, Cours de géométrie affine et euclidienne, Cours non publié.
[7] M. do Carmo, Differential geometry of curves and surfaces, Prentic Hall, 1976.
[8] A. Frabetti, Cours de géométrie et calcul différentiel, Université Claude Bernard Lyon
1, 2016. Polycopié disponible à l’adresse
http ://math.univ-lyon1.fr/~frabetti/GeoL2/#cours
[9] A. Gramain, Géométrie élémentaire, Hermann, Paris, 1997.
[10] A. Gray, E. Abbena et S. Salamon, Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces
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[11] Y. Ladegaillerie, Géométrie affine, projective, euclidienne et anallagmatique, Ellipses
Édition Marketing S.A., Paris, 2003.
[12] H. Ménévis, Cours de Mathématiques, Quatrième partie : géométrie, PCSI2, 2010-2011.
Polycopié disponible à l’adresse
http ://pcsi2.fermat.free.fr/cours/tome4.pdf
[13] J. M. Monier, Algèbre et géométrie PCI-PSI-PT, cours, méthodes et exercices corrigés,
Dunod, Paris, 2008.
95
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Université de Reims-Champagne Ardenne, Version du 28 novembre 2010. Polycopié
disponible à l’adresse
http ://pedon.perso.math.cnrs.fr/fichiers/enseignement/CoursGeoLicence.pdf
[16] A. Pressley, Elementary Differential Geometry , Springer-Verlag London Limited 2010,
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[17] V. A. Toponogov, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Birkhäuser Boston
2006.
[18] B. Thibert, Courbes et surfaces, Université Joseph Fourier, Grenoble I, Maths en ligne.
Polycopié disponible à l’adresse
https ://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/cs/cs.pdf
[19] M. Troyanov, Cours de Géométrie, Press Polytechniques et Universitaires Romandes
PPUR 2009.
96

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TABLE DES MATIÈRES

1 Paramétrisation des courbes et des surfaces 3

3 Espaces affines euclidiens 84

0.3 Organisation du cours

1.1 Courbes paramétrées : généralités et étude métrique

1.1.1 Définition des courbes paramétrées

pour tous u = (u1 , . . . , un ), v = (v1 , . . . , vn ) ∈ Rn , et de la norme euclidienne k · k.

Fig. 1.1 – Courbe paramétrée.

On appelle orientation de la courbe γ le sens du parcours déterminé par t ∈ I croissant.

γ(t) = (x0 + at, y0 + bt).

En général, toute droite de Rn admet une paramétrisation γ : R → Rn de la forme

où u, v sont des vecteurs constants de Rn .

Exemple 1.1.2. L’application γ : R → R2 définie par

γ(t) = (cos t, sin t)

Exemple 1.1.3. L’application γ :]0, 1[→ R2 définie par

est une courbe paramétrée de classe C ∞ .

Exemple 1.1.4. Le support géométrique de la courbe paramétrée γ : R → R3 donnée par

γ(t) = (R cos t, R sin t, t)

Fig. 1.2 – Hélice.

1.1.2 Courbe régulière - Tangente - Plan osculateur

Exemple 1.1.5. La courbe paramétrée γ : R → R2 définie par γ(t) = (t3 , t2 ), t ∈ R est de

Exemple 1.1.6. Les deux applications suivantes

sont des paramétrisation du parabole.

Définition 1.1.5. Soit γ : I → Rn une courbe paramétrée de classe C 1 dont le support

Définition 1.1.7. Soit γ : I → Rn une courbe paramétrée de classe C 2 et soit t0 ∈ I. On dit

Définition 1.1.8. Soit γ : I → R3 une courbe paramétrée de classe C 2 . On appelle plan

Πt0 (γ) = γ(t0 ) + V ect{γ 0 (t0 ), γ 00 (t0 )},

où V ect{. . .} désigne le sous espace vectoriel engendré.

det(M − γ(t0 ), γ 0 (t0 ), γ 00 (t0 )) = 0,

avec M un point quelconque du plan Πt0 (γ).

Πt (γ) : x − y = 0 est indépendant de t, donc γ est une courbe plane.

Définition 1.1.10. Soit γ : I → Rn une courbe paramétrée de classe C 1 . La norme kγ 0 (t)k

Proposition 1.1.11. Soit f : I → Rn une fonction de classe C 1 . Si f est de norme constante,

Corollaire 1.1. Si γ : I → Rn est une courbe paramétrée de classe C 1 à vitesse scalaire

1.1.3 Reparamétrisation - Changement de paramètre

c’est à dire que γ et γ̃ ont le même support géométrique.

γ̃(ϕ−1 (t)) = γ(ϕ(ϕ−1 (t))) = γ(t).

Exemple 1.1.9. Soit γ : R → R2 définie par γ(t) = (1 + t2 , 1 − t) et soit γ̃ :] − π2 , π2 [→ R2

et puisque ϕ est bijective de ] − π2 , π2 [ sur R, ϕ ∈ C 1 (] − π2 , π2 [) et ϕ−1 (t) = arctg(t) donc

γ̃ 0 (s) = ϕ0 (s)γ 0 (ϕ(s)) 6= 0, ∀s ∈ J.

1.1.4 Longueur d’une courbe

Exemple 1.1.10. Considérons l’arc du spirale logarithmique paramétré par γ : [0, π] → R2

Proposition 1.1.16. Soit γ : [a, b] → Rn une courbe paramétrée de classe C 1 et soit γ̃ = γ ◦ϕ

La même chose si ϕ est strictement décroissante. ¤

Définition 1.1.17. Soit γ : I → Rn une courbe paramétrée de classe C 1 .

S’il n’y a pas de risque de confusion, on note s au lieu de st0 .

3. En changeant le paramètre t0 , on obtient une autre abscisse curviligne qui diffère de

Exemple 1.1.11. Considérons la courbe paramétrée γ définie dans l’Exemple 1.1.10.

Exemple 1.1.12. Soit γ : R → R3 une courbe paramétrée définie par

Remarque 1.1.20. L’abscisse curviligne qu’une courbe paramétrée normale γ : [a, b] → Rn à

Exemple 1.1.13. Considérons la courbe paramétrée γ définie dans l’Exemple 1.1.8.

La fonction arcsin :]0, 1[→]0, π2 [ est bijective et s0−1 = sin.

1.2 Étude locale des courbes

On appelle θ l’angle orienté de v vers u.

Le produit vectoriel vérifie les propriétés suivantes

(λu) ∧ v = λ(u ∧ v) = u ∧ (λv)

kuk2 kvk2 = (u · v)2 + ku ∧ vk2 ,

où θ est l’angle entre u et v, λ ∈ R et u, v, w ∈ R3 .

κγ (t) = κγ̃ (s(t)) = kγ̃ 00 (s(t))k.