20 Cours - Correction des SLCI CPGE MP

Adapter la commande d'un système

linéaire et continu asservi pour optimiser
ses performances globales

Sommaire
Adapter la commande d'un système linéaire et continu asservi pour optimiser
ses performances globales ............................................................................................................1
1 Principe de la correction ....................................................................................................................2
1.1 Améliorer le comportement des systèmes ............................................................................................................... 2
1.2 Place du correcteur .................................................................................................................................................. 2
1.3 Différentes actions d’un correcteur : Étude de la commande de cap d'un voilier .................................................... 3
1.4 Dilemme stabilité/rapidité/précision ....................................................................................................................... 4
1.5 Critères de performances des systèmes asservis...................................................................................................... 4
2 Correcteur Proportionnel : P ..............................................................................................................5
3 Correcteur Intégral Pur : I ..................................................................................................................7
4 Correcteur Proportionnel Intégral Théorique : PI..............................................................................9
5 Correcteur Proportionnel Intégral Réel (ou à retard de phase) ........................................................11
6 Correcteurs Dérivée : D ; et Proportionnel Dérivé Théorique : PD ................................................13
7 Correcteur Proportionnel Dérivé Réel (ou à avance de phase)........................................................13
8 Bilan sur l’effet des correcteurs .......................................................................................................15

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1 Principe de la correction
1.1 Améliorer le comportement des systèmes
On considère, à titre d’exemple, le système constitué d’un véhicule automobile et de son conducteur.
Si le temps de parcours est jugé trop long, deux solutions se dessinent :
• changer de véhicule ;
• ou changer de conducteur (ou de commande).

De la même façon, si un système asservi ne satisfait pas à un cahier des charges, deux solutions
peuvent être envisagées :
• modifier le système en profondeur en améliorant notamment sa chaîne d’action ;
• modifier la façon de générer la commande du système.
C’est cette deuxième option qui est développée dans la suite de ce chapitre.
Pour un système asservi, la commande du système est élaborée de façon autonome à partir de l’image
de l’erreur entre une consigne donnée et la grandeur obtenue en sortie.
Pour améliorer ses performances, il est envisagé de modifier sa FTBO de façon à optimiser la
commande en ajoutant un élément, le correcteur, dont on choisit la fonction de transfert.

1.2 Place du correcteur

La correction est réalisée par un correcteur qui élabore le signal en entrée de la chaine d’action en
fonction de l’image de l’erreur, c’est à dire en fonction de la différence entre l’image de la consigne et
l’image de la sortie. Il est généralement positionné dans la chaîne directe entre le comparateur et la
chaîne d'action dans la partie commande du système car les énergies mises en jeu y sont faibles. On dit
dans ce cas qu’il s’agit d’un correcteur «série ».
Chaîne directe
Partie commande Perturbation

Consigne Mise en forme Image de Correcteur Chaine Sortie s(t)

Entrée e(t) du signal + l’erreur d’action
-
ε(t)

Chaîne de retour

Capteur
Partie opérative
Cette position permet :
 d’assurer une correction efficace des perturbations puisqu’il est placé avant les perturbations,
 de réaliser une correction avec les informations les plus « fraiches » puisqu’en sortie de
comparateur le signal n'a pas été modifié par les différents constituants du système.
D’autres positions sont envisageables mais non au programme.

Les caractéristiques du correcteur sont entièrement contrôlées et réglables soit par une
technologie électronique (correcteur analogique) ou informatique (correcteur numérique).

Il est à noter que les correcteurs numériques supplantent désormais complètement les
correcteurs analogiques du fait de la souplesse de leur réglage par programmation. Il est
cependant impossible en 2ème année de CPGE d’étudier ce type de correction. C’est pourquoi,
nous aborderons la correction analogique pour pouvoir par la suite « transposer » la
démarche sur les correcteurs numériques.

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1.3 Différentes actions d’un correcteur : Étude de la commande de cap d'un voilier
Soit un voilier de plaisance dont le barreur est un débutant dont on suit progressivement
l’apprentissage afin de suivre son évolution par rapport à la commande de cap en fonction de l’erreur
constaté entre le cap réel et celui désiré.
On considère que le barreur cherche uniquement à suivre un cap donné c (t ) , et qu'il dispose de la valeur
du cap réel (t ) donnée par un capteur (« le compas »). Il est alors apte à déterminer l'erreur
er (t)=e(t)-s(t)=c (t)-(t) .
En fonction de cette erreur, il élabore un angle de gouverne u(t ) que l'on appelle la commande.

On considère la fonction de transfert du compas unitaire, afin de poser er (t)=(t) .

On analyse alors les différentes attitudes du barreur pour en tirer des modèles de relations : u(t )  f ((t)) .

Cas 1 : barreur novice et un peu « brutal » : u(t )  Umax  signe((t))

Un barreur de ce type a tendance à réagir très brutalement à une erreur de cap. La commande de la
barre est donc le plus souvent à l'une des extrémités de la plage de variation [-Umax, +Umax], le côté
choisi est lié au signe de l'erreur. C’est une commande tout ou rien.
Cette commande est peu confortable pour les passagers. Elle est non linéaire.

Cas 2 : barreur débutant « plus calme ›› : u(t )  K p  (t)

La commande de la barre est donc proportionnelle à l’erreur. Elle est linéaire.
Suivant la valeur de K p , les performances vont varier : plus K p est élevé, plus la commande sera
rapide ; si K p est trop grand, on peut tendre vers des balancements (roulis) proches de l’instabilité.

d (t )
Cas 3 : barreur expérimenté qui prend en compte la variation de l’erreur : u(t )  K p  (t)+Kd 
dt
Ce barreur maîtrise maintenant les évolutions de son bateau, il cherche donc à anticiper les réactions
du bateau en fonction de ses choix. Il constate alors que la seule connaissance de l'erreur ne suffit plus.
Il faut aussi tenir compte de la manière dont cette erreur varie, afin de tempérer son action.
Il ajoute donc une action dérivée qui prend en compte les variations de l’erreur.
L'amplitude de la commande sera plus faible si l'erreur a tendance à diminuer et plus forte dans le cas
contraire. L'action dérivée est anticipatrice et stabilisatrice.
La commande de barre est donc proportionnelle et dérivée.

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Cas 4 : barreur expérimenté qui prend en compte la variation de l’erreur, mais également la somme des
d (t ) t
erreurs : u(t )  K p  (t)+Kd   Ki   (t )  dt
dt 0
Au bout de nombreuses sorties, le barreur s'aperçoit que, alors qu'il est proche du cap visé, tous les
petits mouvements du bateau liés aux perturbations autour du cap à suivre font que le bateau dévie
légèrement de sa direction.
Il souhaite donc connaître si au cours du temps l’erreur est plus souvent positive ou négative afin
d'améliorer la précision de sa commande. Il ajoute donc une action intégrale qui prend en compte la
somme des erreurs, c'est-à-dire la qualité du suivi depuis le début de l'expérience.
La commande est alors proportionnelle intégrale et dérivée, on dit PID.

Cas 5 : amélioration encore possible

Le barreur peut encore s'améliorer puisqu’il doit choisir le poids relatif des coefficients K p , Kd et K i
en fonction d`une foule de paramètres qui sont liés au bateau (taille, chargement, état de la voilure…)
et à l'environnement (vent, houle, courants...).
Cependant, il faut garder à l’esprit que modifier la commande ne peut résoudre tous les
problèmes et que parfois des modifications de la chaîne d’action sont indispensables.
Pour reprendre l’exemple précédent, même le meilleur skipper du monde ne pourrait rendre
acceptables les performances réalisées avec un voilier particulièrement poussif.

1.4 Dilemme stabilité/rapidité/précision Stabilité

Un système asservi doit satisfaire à différentes exigences :
 obtention et maintien de la stabilité ;
 obtention d'un transitoire bien amorti ; Variable Antagoniste

 rapidité de la réponse dans les transitoires ;

 précision statique et dynamique ; Compatible
 effacement des effets des perturbations. Précision Rapidité

Ces exigences doivent être remplies pour respecter le C.d.C.F. mais elles ne sont pas compatibles.
C’est le dilemme stabilité/rapidité/précision.

1.5 Critères de performances des systèmes asservis

Les critères de performance demandés dans les C.d.C.F. sont généralement parmi ceux récapitulés
dans le tableau ci-dessous :
Stabilité Précision Rapidité
 1 Dépassement :
er
 Temps de réponse à 5% :
Exemples de D1 = 10 à 20% maxi  Erreur de position : t5% imposé
critères du  Surtension : Erreur nulle ou imposée  Temps de montée :
C.d.C.F sur QdB  2,3dB soit Q  1,3  Erreur de trainage : tm imposé
la FTBF  Amortissement : Erreur nulle ou imposée  Bande passante à -3dB :
z = 0,5 à 0,7 BPFTBF(-3dB) imposée
 Marge de gain :  Gain de boucle :  Gain de boucle :
MG = 10dB environ KBO à définir en fonction KBO à définir en fonction du
Conséquence
 Marge de phase : de l’erreur imposée temps de réponse imposé
des critères
Mφ = 45° environ
du C.d.C.F  Classe α :  Bande passante à 0dB :
sur la FTBO  Gain de boucle :
KBO à définir en fonction α à définir en fonction de BPFTBO(0dB) = pulsation de
des marges imposées l’erreur imposée coupure ωco(FTBO) imposée

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2 Correcteur Proportionnel : P
La fonction de transfert du correcteur P est du type : C( p)  K p .
C’est le procédé de correction le plus simple à réaliser.
Il consiste à modifier le gain global K de la FTBO initiale en le multipliant par le gain Kp.
Ainsi après correction, nous obtenons un nouveau gain statique de la FTBO corrigée : Kcorrige  K  K p .

La modification du gain de la FTBO engendrée par le correcteur proportionnel se traduit :

• sur un diagramme de BODE en gain, par la translation du lieu de transfert suivant l’axe du gain ;
• sur un diagramme de BODE en phase, par aucun changement ;
• sur un diagramme de BLACK, par la translation du lieu de transfert suivant l’axe du gain.

La translation se fait dans un sens ou dans l’autre, suivant la valeur de Kp :

• si Kp<1, la translation se fait vers le bas ;
• si Kp>1, la translation se fait vers le haut.

Influence sur la stabilité :  si Kp<1 et  si Kp>1

 Un gain Kp<1 engendre généralement une
augmentation des marges de phase et de gain. 20 log Kp
 Un gain Kp>1 engendre généralement une
diminution des marges de phase et de gain !
 Un gain Kp>>1 conduit souvent à un système
oscillant avec des dépassements importants, et dans
le cas extrême rend le système instable.

Influence d'un correcteur proportionnel sur

la stabilité (Kp>1)

Influence sur la précision :  si Kp<1 et  si Kp>1

a a
• Si la FTBO est de classe 0, l’image de l’erreur de position vaut ()   .
1  Kcorrige 1  K  K p
 Un gain Kp<1 augmente l’image de l’erreur de position.
 Un gain Kp>1 diminue l’image de l’erreur de position.

• Si la FTBO est de classe 1, l’image de l’erreur de position est nulle, l’image de l’erreur de trainage
a
vaut ()  .
Kcorrige
 Un gain Kp<1 augmente uniquement l’image de l’erreur de trainage.
 Un gain Kp>1 diminue uniquement l’image de l’erreur de trainage.

• Si la FTBO est de classe > 1, l’image de l’erreur de position et l’image de l’erreur de trainage sont
a
déjà nulles. L’image de l’erreur en accélération vaut ()  .
Kcorrige
 Un gain Kp<1 augmente uniquement l’image de l’erreur en accélération.
 Un gain Kp>1 diminue uniquement l’image de l’erreur en accélération.

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Influence sur la rapidité :  si Kp<1 et  si Kp>1

À la lecture d’un diagramme de BODE en gain :
 Un gain Kp<1 se traduit généralement par une diminution de la bande passante à 0dB de la FTBO,
et donc rend le système plus lent.
 Un gain Kp>1 se traduit généralement par une augmentation de la bande passante à 0dB de la
FTBO, et donc rend le système plus rapide.

Effet d’un correcteur proportionnel (avec une entrée indicielle)

Réglage d’un correcteur proportionnel vis-à-vis de marges de stabilité imposées

On trace le lieu de la FTBO pour KP = 1 puis on GdB (dB)
translate la courbe en gain verticalement de
manière à obtenir la marge de phase et/ou la
FTBO pour KP = 1
marge de gain adéquate. KpdB
La mesure de la translation donne la valeur de
KP en dB soit :
KpdB
co φ180  (rad/s)
0
KpdB  20log KP → KP  10 20
MG
Attention KpdB est une valeur
algébrique. Sur la figure de droite elle φ (°)
serait par exemple négative. 0
 (rad/s)

La correction proportionnelle seule ne permet

pas obligatoirement de satisfaire toutes les
contraintes d’un cahier des charges. Il est
souvent nécessaire de trouver un compromis Mφ
entre les différentes performances. -180°

Réglage d’un correcteur proportionnel vis-à-vis d’une précision imposée

Dans le cas où l’erreur imposée en régime permanent n’est pas nulle, cette erreur est fonction du gain
a a a a
de la FTBO (voir cours précision : ()   ou ()   ). On en déduit Kp.
1 Kcorrige 1 K  K p Kcorrige K  K p

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3 Correcteur Intégral Pur : I

K
La fonction de transfert du correcteur I est du type C( p)  1  i .
i  p p
Un correcteur intégral «pur » ne comporte qu’une action intégrale. Il augmente la classe de la FTBO.

Particularités des diagrammes de BODE d’un correcteur intégral :

Le gain est théoriquement infini pour des pulsations très basses ! Dans l’absolu, un correcteur de gain
infini n’est pas réalisable.

Influence sur la précision : 

Le principal intérêt de ce correcteur réside dans l’amélioration de la précision du système et dans
l’atténuation des effets d’éventuelles perturbations.
 En effet, une intégration dans la FTBO annule l’erreur de position.
 Une intégration, placée avant une perturbation, permet d’annuler les effets d’une perturbation
indicielle.

1 1
Influence sur la rapidité :  si  co0dB BO et  si  co0dB BO
i i
1
 Si  co0dB BO alors la pulsation de coupure à 0dB co0dB BOcorrige  co0dB BO , ce qui se traduit
i
par une augmentation de la bande passante à 0dB de la FTBO, et donc rend le système plus rapide.
1
 Si  co0dB BO alors la pulsation de coupure à 0dB co0dB BOcorrige  co0dB BO , ce qui se traduit
i
par une diminution de la bande passante à 0dB de la FTBO, et donc rend le système plus lent.

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Influence sur la stabilité 

Ce correcteur est rarement utilisable car il diminue de 90°la phase de la FTBO.
 Les marges de gain et de phase du système corrigé s’en trouvent sérieusement diminuées. Son
utilisation peut souvent engendrer une instabilité du système.

Effet d’un correcteur intégral (avec une entrée indicielle)

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4 Correcteur Proportionnel Intégral Théorique : PI

La fonction de transfert du correcteur PI est du type :
Kp Kp
K i  (1   p) K pK i  (1   p)
K K p  p  Ki Ki Ki
C( p )  K p  i  
p p p Kp  p

K p  (1  i  p) Kp
ou C( p)  avec i 
i  p Ki

Particularités des diagrammes de BODE d’un correcteur Proportionnel Intégral Théorique :

Attention : sur les diagrammes ci-dessus, la fonction Kp n’a pas été représentée. Celle-ci
entraînerait uniquement une translation verticale de 20.logKp de la courbe de gain.
Par conséquent, ce correcteur possède deux paramètres de réglage :
– Kp qui n’agit que sur le gain, la courbe de gain est translatée verticalement ;
– Ti qui agit principalement sur la phase.

Ce correcteur se comporte donc comme un correcteur intégral pour les basses fréquences et comme un
correcteur proportionnel pour les hautes fréquences.
Avec une telle combinaison, on essaie de cumuler les avantages des différentes corrections
élémentaires, en essayant de gommer leurs points faibles.

Influence sur la précision 

Comme pour la correction intégrale, la précision est améliorée par l’augmentation de la classe de la FTBO :
 Une intégration dans la FTBO annule l’erreur de position ;
 Une intégration, placée avant une perturbation, permet d’annuler l’effet d’une perturbation indicielle.

Influence sur la stabilité 

En termes de stabilité, le résultat obtenu est meilleur qu’avec le correcteur intégral pur.
Il faut veiller à choisir Ti de telle sorte que la phase de la FTBO ne soit pas diminuée au voisinage du
point critique.
L’effet du gain Kp est le même que pour le correcteur proportionnel.

Influence sur la rapidité 

L’effet du gain Kp est le même que pour le correcteur proportionnel.
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Effet d’un correcteur proportionnel intégral (avec une entrée indicielle)

Un choix judicieux du gain Kp et de la constante d’intégration Ti permet ainsi d’améliorer le
comportement du système sans trop dégrader la stabilité et la rapidité comme le montre l’exemple ci-
dessous.

Réglage d’un correcteur PI vis-à-vis de marges de stabilité imposées

On choisit le coefficient Kp de façon à GdB (dB) FTBO sans
obtenir la marge de phase désirée avec la correction
correction proportionnelle seule. La mesure FTBO avec
de la translation donne la valeur de Kp en dB correction P
soit : KpdB FTBO avec
KpdB correction PI
KpdB  20log K p → K p  10 20 co  (rad/s)
0

On met ensuite en place l’effet intégral mais

cela ne doit pas (ou peu) modifier le réglage
effectué à la pulsation ωco. φ (°)
0
 (rad/s)
Il faut donc prendre une constante de temps
1
Ti tel que << ωco. On prend en général un
Ti
1 co 10
écart d’une décade :  → Ti 
Ti 10 co -5°
Mφ
-180°

Le choix de Ti modifie légèrement la marge de phase (-5°) mais on peut éventuellement anticiper cet
inconvénient en choisissant Kp de façon à obtenir la marge de phase souhaitée +5°.

Réglage d’un correcteur PI par compensation du pôle dominant

G( p) 1
FTBO( p)  avec pôle dominant. On choisit Ti   pour éliminer le pôle le plus proche de la
1  p 
G( p) K p  (1  i  p) G( p) K p  G( p)
zone d’instabilité. Ainsi FTBOcorrige ( p)  C( p)     FTBOcorrige ( p) 
1  p i  p 1  p i  p
Cette méthode permet d’améliorer à la fois précision, stabilité et rapidité.
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5 Correcteur Proportionnel Intégral Réel (ou à retard de phase)

La fonction de transfert du correcteur à retard de phase est du type :
K p  (1  i  p) K p  (1  a  i  p)
C( p )  avec b 1 ou C( p )  avec a 1
1  b  i  p 1  i  p

Le correcteur PI défini précédemment est censé avoir un gain infini pour les basses fréquences, ce qui
est impossible.
Le correcteur PI réel est une version transformée du correcteur PI, plus facilement réalisable. Il exerce
une action intégrale limitée à une plage de fréquence.

Particularités des diagrammes de BODE d’un correcteur Proportionnel Intégral Réel :

La phase passe par un

minimum min tel que
1 b
min  Arc sin pour la
1 b
1
pulsation m 
i  b

Diagrammes de BODE d’un correcteur PI réel (avec Kp=1)

Sur les diagrammes ci-dessus, la fonction Kp n’a pas été représentée. Celle-ci entraînerait
uniquement une translation verticale de 20.logKp de la courbe de gain.

Le correcteur PI réel est souvent appelé correcteur à retard de phase pour la forme de son diagramme
de BODE en phase.
Il est utilisé lorsque l’on recherche à diminuer le gain à haute fréquence sans modifier le gain à basse
fréquence imposé par les conditions de précision.

Influence sur la stabilité, une fois le correcteur réglé 

Il peut rendre le système instable en fonction des paramètres choisis. Il faut donc l’utiliser avec
précaution. En général, après réglage il améliore la stabilité (voir exemple page suivante).

Influence sur la précision, une fois le correcteur réglé 

La précision du système est améliorée sans toutefois annuler l’écart de position (la classe du système
n’est pas augmentée comme pour un correcteur PI).

Influence sur la rapidité, une fois le correcteur réglé 

Il a tendance à diminuer la rapidité du système.

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Réglage de la correction à retard de phase

FTBO sans
GdB (dB)
correction
FT du
correcteur
FTBO avec
bdB correction
0

CO  (rad/s)

φ (°)
0  (rad/s)

-180° Mφ

Si la FTBO ne possède pas d'intégration, l'écart de position ne sera pas nul. Il faudra prévoir soit un
intégrateur dans la correction, soit un gain suffisant.

Étape 1 : réglage du gain de la FTBO à l’aide de Kp

On vérifie que le gain de la FTBO est suffisant face aux exigences de précision (écart de position, écart
de traînage, ...) et aux exigences de rapidité (temps de réponse minimal en boucle fermée). On règle œ
gain à l’aide du coefficient proportionnel Kp et on appelle ensuite « FTBO sans correction ›› la FTBO
dont le gain a été réglé par Kp.

Étape 2 : réglage de la marge de phase à l’aide de b

Le problème avec ce type de correcteur, c'est qu'il est nuisible vis-à-vis de la marge de phase. Il faut
donc limiter au maximum cet inconvénient.
On identifie la valeur de la pulsation de coupure en haute fréquences qui permet d’obtenir la marge de
phase désirée. La mesure de la translation nécessaire de la courbe de gain pour obtenir cette nouvelle
pulsation de coupure ωCO donne la valeur de b en dB soit :
bdB

bdB  20.log(b)  → b  10 20

Attention au signe « – ».

Étape 3 : détermination de Ti
Le réglage précédent ne doit être que faiblement modifié par le déphasage apporté par le correcteur.
1
On rejette donc la diminution de phase vers les basses fréquences en choisissant << ωco.
Ti
1 co 10
On prend en général un écart d’une décade :  → Ti 
Ti 10 co

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6 Correcteurs Dérivée : D ; et Proportionnel Dérivé Théorique : PD

La fonction de transfert du correcteur D est du type C( p)  Td  p .
La fonction de transfert du correcteur PD est du type C( p)  K p  Td  p .

Ces correcteurs ne respectent pas le principe de causalité. En effet, leurs fonctions de transfert ont la
particularité d’avoir un numérateur de degré supérieur au degré du dénominateur.
Pour réaliser ces correcteurs, il faut avoir une amplification très importante pour les très hautes
fréquences, ce qu’aucun système physique ne permet. Les réalisations essayant d’approcher ces
modèles théoriques amplifient tous les bruits et leurs grandeurs de sortie sont inexploitables.

Le paragraphe suivant développe la seule utilisation pratique de l’action dérivée à l’aide d’un
correcteur proportionnel dérivé réel.

7 Correcteur Proportionnel Dérivé Réel (ou à avance de phase)

La fonction de transfert du correcteur à avance de phase est du type :
K p  (1  d  p) K p  (1  a  d  p)
C( p )  avec b 1 ou C( p )  avec a 1
1  b  d  p 1  d  p

Particularités des diagrammes de BODE d’un correcteur Proportionnel Dérivé Réel :

La phase passe par un

maximum max tel que
a 1
max  Arc sin pour
a 1
1
la pulsation m 
d  a

Diagrammes de BODE d’un correcteur PD réel (avec Kp=1)

Sur les diagrammes ci-dessus, la fonction Kp n’a pas été représentée. Celle-ci entraînerait
uniquement une translation verticale de 20.logKp de la courbe de gain.

Le correcteur PD réel est souvent appelé correcteur à avance de phase pour la forme de son diagramme
de BODE en phase.

Influence sur la stabilité, une fois le correcteur réglé 

Compte tenu du déphasage positif que l’on a entre les deux pulsations de cassure, ce correcteur permet
d’augmenter la marge de phase et a une action stabilisatrice permettant d’améliorer le comportement
d’un système instable ou mal stabilisé.
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Influence sur la précision, une fois le correcteur réglé 

Il est démontré que ce correcteur dégrade faiblement la précision
Il est en général associé à un correcteur PI qui assure la précision.

Influence sur la rapidité, une fois le correcteur réglé 

Il permet aussi d’augmenter le gain à haute fréquence et donc a pour effet d’améliorer la rapidité du
système.

Compte tenu de ces particularités, le correcteur PD réel est souvent utilisé lorsqu’un système présente
une marge de phase insuffisante pour la pulsation de coupure ω0dB du système non corrigé.

Réglage de la correction à avance de phase

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Si la FTBO ne possède pas d'intégration, l'écart de position ne sera pas nul. Il faudra prévoir soit un
intégrateur dans la correction, soit un gain suffisant.

Étape 1 : réglage du gain de la FTBO, à l’aide de Kp

On vérifie que le gain de la FTBO est suffisant face aux exigences de précision (écart de position, écart
de traînage, ...) et aux exigences de rapidité (temps de réponse minimal en boucle fermée). On règle œ
gain à l’aide du coefficient proportionnel Kp et on appelle ensuite « FTBO non corrigée ›› la FTBO
dont le gain a été réglé par Kp.

Étape 2 : observation
Si le correcteur à avance de phase se justifie, c'est généralement que la M est insuffisante. L'objectif
est de placer le correcteur de telle sorte que sa pulsation m corresponde à la pulsation de coupure à
0dB de la FTBO corrigée, notée 0dBc . Le problème est qu'on ne connaît que la pulsation de coupure à
0dB de la FTBO non corrigée, notée 0dB . Imposons une valeur 0dBc  1,5  0dB .

Étape 3 : détermination de l’ordre de grandeur du coefficient a

Pour la valeur 0dBc choisie, on mesure la marge de phase M . On en déduit le déphasage max que
devra avoir le correcteur pour obtenir la marge de phase désirée (en plaçant le correcteur à son
1  sin(max )
maximum de phase). Ceci impose la valeur de a : a  .
1  sin(max )

Étape 4 : détermination de Td à partir de la valeur de a trouvée

On sait que le maximum de phase du correcteur se produit à la pulsation :
1 1
m   0dBc soit T 
T a 0dBc  a

Étape 5 : vérification
Vérifier la valeur de la marge de phase. Si elle n'est pas conforme, reprendre la détermination du
correcteur à partir de l'étape 4 en faisant légèrement varier la valeur de a. En général, cette méthode
permet d'aboutir assez vite. De plus, l'informatisation de cette recherche est aisée, même avec une
petite calculatrice programmable.

8 Bilan sur l’effet des correcteurs

Correcteur FT Stabilité Précision Rapidité
C( p)  K p  si Kp>1  si Kp>1  si Kp>1
P
 si Kp<1  si Kp<1  si Kp<1
1
 si  0db BO
1 K i
I C( p )   i  
i  p p 1
 si  0db BO
i
Ki K p  (1  i  p)  si Kp>1  si Kp>1
PI C( p )  K p   
p i  p  si Kp<1  si Kp<1
PI réel K p  (1  i  p)
C( p )    
(retard de 1  b  i  p
(une fois réglé) (une fois réglé) (une fois réglé)
phase) avec b  1
PD réel K p  (1  a  d  p)
C( p )    
(avance de 1  d  p
(une fois réglé) (une fois réglé) (une fois réglé)
phase) avec a  1
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