DM 15 Lie Engel

IPEST 2020=2021 MPSI 1 Gharsellaoui Zied
Devoir a la maison N 15 : Revision algebre lineaire 5

Le theoreme de Lie Engel
Notation :
| Soit E un | espace vectoriel de dimension …nie n .
| Dans tout le probléme N désigne un sous-espace vectoriel de L (E) stable par
composition et constitués d’endomorphismes tous nilpotents.
| On rappelle qu’un endomorphisme u 2 L (E) (respectivement un matrice
A 2 Mn (|)) est nilpotent (respectivement nilpotente) s’il existe un entier naturel
d 1 tel que ud = 0L(E) et ud 1
6= 0L(E) (respectivement Ad = 0Mn (|) et Ad 1
6= 0Mn (|) ).
| L’entier d est unique et s’appelle l’ordre de nilpotence de u (respectivement de A):
| Une matrice A = ( i;j )1 i;j n est dite triangulaire supérieure stricte si pour tous
1 i; j n,i j implique i;j = 0:
| On se propose de démontrer le théorème de Lie Engel : il existe une base B de
E telle que la matrice de tout élément f de N est triangulaire supérieure stricte.
Partie I : Generalites sur les endomorphismes nilpotents :
1 Soit u 2 L(E) nilpotent d’ordre d:Montrer qu’il existe un vecteur x 2 E tel que
x; u (x) ; ::::; ud 1
(x) est une famille libre.En déduire que d dim (E) :
2 Soit B = (ej )1 j n une base de E:On pose V0 = f0E g et pour tout entier 1 k n
Vk = vect (e1 ; ::; ek ) :Soit u 2 L(E) tel que u (Vk ) Vk 1 pour tout entier k tel que
1 k n. Montrer que u est nilpotent.
En déduire qu’une matrice triangulaire supérieure stricte est nilpotente.
3 Soit u 2 L(E) nilpotent d’ordre d:Montrer que :
f0g = ker (u0 ) ker (u) ker (u2 ) :::: ker ud 1
ker ud = E
où le symbole X Y veut dire que X Y et X 6= Y: (i:e l’inclusion est stricte) :
En reprenant les notations de la question précédente , montrer qu’il existe une base
1
B = (ej )1 j n de E telle que u (Vk ) Vk 1 pour tout entier k tel que 1 k n.
4 Soit B0 une base |2 et u; v 2 L(|2 ) dans les matrices respectives dans B0 sont :
0 1 0 1
0 1 0 0
@ A et @ A :Montrer qu’il n’existe pas de base dans laquelle les matrices
0 0 1 0
de u et v soient
0 simultanément
1 triangulaires supérieures strictes.
A B
5 Soit M = @ A une matrice triangulaire par blocs , où A et D sont deux
0 D
matrices carées , pas forcément de même taille.Montrer que M est nilpotente si et
seulement si A et D le sont.
6 Donner un exemple de matrice nilpotente dont aucun coe¢ cient n’est nul.
Partie II : La demonstration du theoreme :
| Soit u 2 L(E), pour f 2 L(E) , on dé…nit adu (f ) = u f f u = [u; f ] : Le
crochet de Lie de u et f:
| Une partie V de L(E) est stable pour le crochet de Lie [ ; ] si our tous u; v 2 V
on a [u; v] 2 V:
| On se propose de démontrer par récureence sur dim N le théorème :
T heoreme d0 Engel : Soit E un | espace vectoriel de dimension f inie et N un
sous espace vectoriel de L(E) stable par [ ; ] dont tous les elements sont nilpotents:
Alors il existe x 2 En f0g tel que pour tout u 2 N , u (x) = 0:
7 a Montrer que adu 2 L(L(E)):
b Montrer que si u 2 L(E) est nilpotent , alors adu est aussi nilpotent.
8 Etablir le théoréme lorsque dim N = 1:
• On suppose desormais le theoreme pour tout N de dimension d 1 ou d 2:
Soit N comme dans le theoreme et de dimension d:
9 Véri…er que pour u 2 N , adu peut être vu comme un endomorphisme de N :
10 Montrer qu’il existe un sous-espace vectoriel N1 de N stable pour [ ; ] , distinct
de N et de dimension maximale. Soit S un supplémentaire de N1 dans N .
Soit (e1 ; ::; er ) une base de N1 et (er+1 ; ::; ed ) une base de S de telle sorte B = (ej )1 j d
soit une base de N . 0 1

A B
11 Montrer que pour tout u 2 N1 , MatB (adu ) est de la forme @ A où
0 D
A 2 Mr (|) , B 2 Mr;d r (|) et D 2 Md r (|) :On note (u) la matrice D:
2
8
< N1 ! Md r (|)
12 Montrer que : est une application linéaire qui préserve
: u 7 ! (u)
le crochet de Lie [ ; ] i:e : ([u; v]) = [ (u) ; (v)] : pour tous u; v 2 N1 :
13 Montrer qu’il existe X0 2 Md r;1 (|) non-nul tel que (u) X0 = 0 pour tout
u 2 N1 :
14 En déduire qu’il existe v0 2 S non-nul tel que adu (v0 ) 2 N1 pour tout u 2 N1 :
15 En déduire que dim (N1 ) = d 1:
16 Soit E1 = fx 2 E j 8 u 2 N1 , u (x) = 0g :
Montrer que E1 est un sous-espace vectoriel de E stable par tout élément de N :
17 En déduire qu’il existe x0 2 E non-nul tel que pour tout f 2 N , f (x0 ) = 0 et
le théorème d0 Engel: 8
< N ! L(E1 )
Indication : On pourra considérer l’application linéaire r : :
: f 7! f
jE1
18 Application : Démontrer le théorème de Lie Engel : Pour tout sous-espace
vectoriel N de L (E) stable par composition et constitués d’endomorphismes tous
nilpotents , il existe une base B de E telle que la matrice de tout élément f de N est
triangulaire supérieure stricte.

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