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    Exam 2012

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    ELT 405 - Traitement du signal - Examen

    Mai 2012
    Durée : 1h30, documents autorisés : formulaire et tables de références

    Questions de cours (3 points)

    1- Citer deux applications (vues en cours) de la transformée de Fourier rapide (FFT).


    2- Expliquer brièvement le lien entre la transformée de Fourier rapide (FFT), la transformée
    de Fourier discrète (TFD) et la transformée de Fourier à temps discret (TFTD)?
    3- Quelles sont les caractéristiques d’une "meilleure" approximation d’un filtre fréquentiel.

    Exercice 1 (10 points)

    Soit x(t) le signal dont la transformée de Fourier X(f )Traitement


    HEIG-Vd est représentée sur la figure 1.
    de Signal (TS)

    0.8

    0.6
    x(f)

    0.4

    0.2

    −2 −1 0 1 2 3 4
    5. f [kHz]

    Fig. 2.9 – Exercice TF7.


    Figure 1
    2.1.7 Exercice TF 7
    1- Sans calculer explicitement x(t), evaluer
    Soit X(j ·f ) la transformée de Fourier du: signal x(t) de la figure 2.9. Sans calculer
    explicitement X(j · f ), recherchez :
    a- La valeur de x(t
    R +∞ = 0).
    1. la densité spectrale de phase de X(j · f ) ;
    b- La valeur de −∞ x(t)dt.
    2. laRvaleur de X(f = 0) ;
    +∞ R +∞
    c- L’énergie du signal de −∞2X(j
    3. la valeur |x(t)|
    −∞
    dt. · f ) · df ;
    R +∞
    4. la valeur de −∞
    |X(j · f )|2 · df .

    2- On définit le signal y(t) = x(t)2cos(2πf0 t) avec f0 = 5kHz.


    Corrigé
    Exprimer Y (f ) en fonction de X(f ) puis dessiner le spectre |Y (f )| du signal y(t).
    En préparation.

    2.1.8 Exercice TF 8
    3- Soit le signal z(t) la réponse d’un système LTI à l’entrée y(t).
    Connaissant la TF d’une sinusoïde amortie x(t) = A · e−a·t · sin(2 · π · f0 · t) · (t) :
    a- Dessiner |Z(f )| 1.lecalculez
    spectre de z(t) desi Fourier
    la transformée la réponse impulsionnelle
    d’une sinusoïde du système est h(t) =
    démarrant à l’instant
    2sinc(2t)e j2πf0 t
    . zéro :
    y(t) = A · sin(2 · π · f0 · t) · (t)
    b- Quelle est la différence par rapport au spectre de y(t) ?. Qu’appel-t-on cette opération ?
    2. esquissez les spectres X(j · f ), Y (j · f ) et celui d’une sinusoïde permanente ;
    3. discutez les différences existant entre ces trois spectres.

    Corrigé des exercices, v 1.14 65 MEE \co_ts.tex\5 avril 2006


    4- On considère maintenant le signal w(t) = y(t)cos(2πf0 t).
    Exprimer W (f ) en fonction de X(f ) puis dessiner le spectre |W (f )| du signal w(t).

    5- On filtre le signal w(t) par un filtre passe-bas idéal de fréquence de coupure fc = ±4kHz.
    a- Dessiner le spectre du signal filtré. Comparer avec le spectre du signal x(t) ?
    b- Si f0 = 2kHz, quel sera l’effet sur le spectre de la sortie du filtre passe-bas idéal ?

    Exercice 2 (7 points)

    1- On considère le système LTI discret d’une intérpolation linéaire dont la réponse y(n)
    à l’éntrée x(n) est donnée par :
    (
    x(n) n pair
    y(n) = x(n−1)+x(n+1) (1)
    2
    n impair

    a- Dessiner le schéma fonctionnel du système pour n impair.


    b- Calculer la fonction de transfert H(z) pour n impair.

    2- Calculer la TZ du signal (
    an n≥0
    x(n) = (2)
    −bn n ≤ −1
    avec a, b ∈ R+ et |a| < |b|

    3- Calculer la TZ inverse de :
    z(8z − 19)
    X(z) =
    (z − 2)(z − 3)
    Indication : la TZ inverse de z
    (z−a)
    est an u(n) pour a ∈ C

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