Traitement et analyse du Signal

TD 4 sur le chapitre 4 : Signaux et filtres discrets

Exercice 1 : Expression des signaux discrets
Exprimer en fonction de n le signal discret x[n] suivant :

𝟐𝝅 𝟐𝝅
Solution : 𝒙[𝒏] = 𝒄𝒐𝒔 (𝒏 − 𝟐) ou bien 𝒙[𝒏] = 𝒔𝒊𝒏( (𝒏 + 𝟐))
𝟏𝟔 𝟏𝟔

Exercice 2: Traçage des signaux

a)Donner l'expression x(t) du signal suivant et tracer le signal échantillonné xe(t) obtenu en
échantillonnant x(t) avec une période d'échantillonnage Te=5 s.

b)Pour un temps t compris entre 0 et 3 s, tracer le signal suivant x(t)= 3cos(4 t  0.5) ainsi que sa
version échantillonnée xe(t) avec une période d'échantillonnage Te=0.3 s.
c)Donner l'expression du signal discret suivant x[n]

1
Solution :

Exercice 3: Spectres discrets

Précisez lesquelles parmi les 4 expressions suivantes peuvent être une Transformée de Fourier d'un signal
à temps discret:
a X(w)  ei2w  2wei2w

b- Y ( w)  2   (w  w
k 
0  2k  )


c- Z ( w)     (w  w
k 
0  k )

d- L(w)  1
1 e2w

Solution: Il faut qu’il soit périodique de période 2 

X ( w)  e i 2 w  2w e i 2 w  non car X n'est pas périodique de période 2 

2
 
Y ( w)  2  ( w  w0  2k )  oui car Y est périodique de période 2 
k  


Z (w )  (  w w 0  k )  oui car Y est périodique de période  donc 2 
k 

1
L( w)   non car L n'est pas périodique de période 2 
1  e 2 w

Exercice 4: Convolution discrète :

Calculer et tracer la réponse impulsionnelle du système suivant d'entrée x et de sortie y en sachant que :

a[n]= 2  [n-1]- 0.5  [n-3]

b[n]= 2  [n]+  [n-1]
c[n]= 5  [n-5]+4  [n-3] -  [n-4]

y=a*(b+c)

X de size N, H de size M, X*H est de size N+M-1

Solution :

an  2 n  1  0.5 n  3  an  0 2 0  12

|
bn  2 n   n  1  bn  2 1
cn  5 n  5  4 n  3   n  4  cn  0 0 0 4  1 5 

Appelons h[n] la réponse impulsionnelle du système d'entrée x et de sortie y:

hn  an  bn  cn

Soit : d n  bn  cn  2 1 0  1 5 donc hn  an  d n

Méthode de calcul analytique :

3
hn  2 n  1  0.5 n  3 2 n   n  1  4 n  3   n  4  5 n  5
On a :  n  n0    n  n1    n  n0  n1 

 h  n   4  n  1  2  n  2  8  n  4  2  n  5  10  n  6    n  3  0.5  n  4
2  n  6  0.5  n  7   2.5  n  8

 
 h n  0 4 2 1 7.5  2 8 0.5  2.5
 
 

On trouve aussi le même résultat avec la méthode graphique :

h0  0 ; h1  4 ; h2  2 ; h3  1; h4  7.5 ; h5  2 ; h6  8 ; h7  0.5 ; h8  2.5

Exercice 5 : Convolution discrète :

Soit le signal x(t) suivant:

t (min)

a)Trouver son expression x(t) sachant qu'il a la forme d'un sinus cardinal.
Le signal x(t) est échantillonné avec une période d'échantillonnage de 3 min pour générer la valeur
numérique de x notée x[n], obtenue en divisant x(t) par 10, seulement pour n=0 à n=4.
b)Calculer les 5 premières valeurs de x[n] pour n=0 à n=4. Pour n<0, on suppose x[n]=0

c)Calculer le produit de convolution y[n] entre de x[n] et h[n] donné par h[ n]   2 0 3



d)Calculer les séquences suivantes: s[n]=2x[n-1]-3h[n-2] et w[n]=x[n-1].h[n-3]

4
Solution :

Exercice 6 : Filtres :
Soit un filtre discret de réponse fréquentielle en amplitude donnée en partie par la figure suivante. En
supposant qu'il est à réponse impulsionelle infinie et de second ordre, estimer graphiquement ces
fréquences de coupures et sa bande passante.

5
Solution : C’est un filtre passe bande, de fréquences de coupures 0.97 rd/s et 1.8 rd/s (de bande passante
0.93 rd/s)

Exercice 7: Donner l’équation récurrente et le schéma bloc du Filtre MA de lissage suivant de fonction
de transfert :

Solution : TZ( x(n-m) )= X(z) z-m

TZ inverse
y[n]=a0x[n]+ a1x[n-1]+ a2x[n-2]+ a3x[n-3] équation aux différences (récurrente)
Le schéma bloc du filtre est donné par:

Exercice 8 : Donner l’équation récurrente et le schéma bloc du Filtre à réponse impulsionnelle infinie
auto régressif suivant d'ordre 3 de fonction de transfert :

Solution : ,

y[n]=x[n]+b1y[n-1]+ b2y[n-2]+ b3y[n-3]

Le schéma bloc du filtre est donné par:

6
Exercice 9: Donner l’équation récurrente et le schéma bloc du Filtre ARMA suivant d'ordre 2 de fonction
de transfert :

Solution :

y[n]=a0w[n]+ a1w[n-1]+ a2w[n-2]

avec
Le schéma bloc du filtre est donné par:

Exercice 10: Donner l’équation récurrente et le schéma bloc du Filtre ARMA suivant d'ordre 3 de
fonction de transfert :

Solutions : Ce qui donne :

Le schéma bloc du filtre est donné par:

7
Exercice 11: Filtre discret intégrateur
Donner la fonction de transfert du filtre d’entrée x[n] et de sortie y[n] dont l’équation récurrente est
donnée par :
n
y[ n]   x[i]
i  

n
Solution : y[n]  x[n]   x[i]
i 
 y[n]  x[n]  y[n  1]

X ( z)
donc Y ( z )  , et a fonction de transfert de ce filtre discret est
1  z 1
Y ( z) z
H ( z)   . C'est un intégrateur discret.
X ( z) z  1

Exercice 12: Quel est le type du filtre fréquentiel (passe bas, passe haut, passe bande ou coupe bande) qui
permet de passer du signal (a) au signal (b) de la figure suivante. Commenter votre réponse.

Solution :

8
Exercice 13: Un signal x[n] passe dans un filtre discret H de sortie y[n] et de schéma bloc suivant :

a) Donner l’équation récurrente qui décrit le filtre H en exprimant y[n] en fonction de x[n]
b) Donner la fonction de transfert du filtre H(z).

Solution :

9
Exercice 14 : Soit un filtre discret H d'entrée x[n] et de sortie y[n] donné par la figure suivante

Y ( z) Y (z) Y ( z)
a) Trouver les deux fonctions de transfert H ( z )  1 et G ( z )  et en déduire A( z )  .
X ( z) Y ( z) X ( z)
1

b) Donner l’expression du spectre d’amplitude du filtre H et de son spectre de phase

c) Calculer la pulsation de coupure  c du filtre H.

d) Déterminer les valeurs du spectre d’amplitude pour des valeurs de la pulsation  égales à (0.2,
0.8 , 1.5 et 3 rd/s). Tracer approximativement ce spectre d'amplitude et en déduire le type de ce
filtre discret (passe bas, passe haut ou passe bande).
e) Quelle est sortie y[n] de ce filtre pour l'entrée x[ n ]  cos(1.5 n ) ?

Solutions :

10
Exercice 15: Soit le filtre passe bande discret dont le spectre d’amplitude est donné par:

a) Sachant que la fonction de transfert de ce filtre est H ( z ) 


(1  a) z  1
2
 et que son spectre
2
z  b(1  a) z  a

(1  a) 1  cos(2 )
2
d’amplitude est donné par : H ( )  2 2 2 2
,
1  b (1  a)  a  2b(1  a) cos( )  2a cos(2 )

(a et b sont deux réelles positifs de module <1), et sachant que le module de H ( ) est maximum pour
 2a 
  , calculer les valeurs de a et de b et
  arccos(b) et sa bande passante est donnée par BP  arccos 
0 1  a 2 

donner la fonction de transfert H(z).

b) Donner le schéma bloc de ce filtre en appelant son entrée x[n] et sa sortie y[n].
c) En gardant la même bande passante, comment doit-on choisir la valeur de a et de b pour que le
filtre H devient un filtre passe bas discret? Dans ce cas donner sa fonction de transfert en z et l’expression
de son spectre d’amplitude et tracer approximativement son spectre d’amplitude avec une échelle linéaire.
d) En gardant la même bande passante, comment doit-on choisir la valeur de a et de b pour que le
filtre H devient un filtre passe haut discret? Dans ce cas donner sa fonction de transfert en z et
l’expression de son spectre d’amplitude et tracer approximativement son spectre d’amplitude avec une
échelle linéaire.

Solution :

11
12