Cours de Mr JULES v 1.

2 Classe de Quatrième Contrat 8 Page 1 sur 15

DISTANCES ET TANGENTES

« L'étude des Mathématiques est comme le Nil, qui

commence en modestie et finit en magnificence. »
Colton1

« En mathématiques, “évident” est le mot le plus dangereux. »

Eric Temple Bell2

I. Distance d’un point à une droite. ______________________________________________________2

II. Droite tangente à un cercle en un point. ________________________________________________4

III. Equidistance à 2 droites sécantes : bissectrices. ___________________________________________6

IV. Tableau récapitulatif sur l’équidistance. ________________________________________________9

V. Exercices récapitulatifs du contrat 8. __________________________________________________10

VI. Pour préparer le test et le contrôle. ____________________________________________________14

 Matériel usuel de géométrie : Règle, équerre, compas et rapporteur.

 Pré-requis pour prendre un bon départ :

   
Théorème de Pythagore, versions directe et réciproque.
Equidistance à 1 point fixe : …………………………
Equidistance à 2 points fixes : …………………………………….
Bissectrice : définition.
Bissectrice : construction au rapporteur ou au compas.
Bissectrice : propriété angulaire caractéristique.

1
Charles Caleb Colton (1780 – 1832) : Ecrivain anglais.
2
Eric Temple Bell (18831960) : Mathématicien écossais.

NOM et Prénom : ………………………………….. 4ème …

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I. DISTANCE D’UN POINT A UNE DROITE.

 Tracer le plus court chemin entre les 2 points M et N ci-contre. M
Définir la distance entre deux points, c’est facile ! C’est tout simplement
N
la longueur du ………………………....… joignant ces deux points.

 Mais maintenant, comment définir la distance entre un point et une droite ? Moins facile hein !
Situation :
Un sous-marinier M, perdu dans le désert, n’a qu’une idée en tête :
méga BOIRE ! Et accessoirement prendre une petite douche.
Soudain, son œil gauche encore ouvert aperçoit le fleuve (d) ! Ventre à
terre, il traîne son corps tel une pelleteuse raclant l’asphalte et plonge
enfin son cerveau en ébullition dans l’ondée fraîche mais salvatrice. Figure :
Ouf !
(d) M
1. Tracer en orange le plus court chemin de M vers la délivrance (d) !
2. Tracer en vert la perpendiculaire à (d) passant par M et placer H, le
point d’intersection de cette perpendiculaire avec (d).
Votre chemin orange et le segment vert [MH] coïncident-ils ? …….
3. Placer un autre point N sur la droite (d), distinct du point H.
Comparer les longueurs MN et MH : MN ……. MH

 Ce point H est le point3 de la droite (d) le plus proche du point M.

 Autrement dit : Quand on prend un point N sur (d), différent de H, alors MN > MH.

Preuve par Pythagore direct :

Puisque MHN est ……………………… en …., alors, d’après ………………...……………..………….,
….…… + .….…. = …………..
donc MH2 < MN2 (car HN2 est positif)
donc MH ….. MN (car on n’a que des quantités positives !) CQFD

Définition : La distance d’un point M à une droite  (delta) est la longueur MH, M
où le point H est le pied de la perpendiculaire à  passant par M.

Notation : La distance d’un point M à une droite  se note d(M ; ). H

3
Dans un langage plus mathématique, ce point H est appelé le projeté orthogonal (perpendiculairement) du point M sur la droite (d).
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 Exercices sur la distance d’un point à une droite :
  Voici une droite  (delta).

Codage !

1. Placer H, le point de la droite (BC) le plus proche de A.
1. Placer un point M tel que d(M ; ) = 1 cm.
Que représente la droite (AH) pour le triangle ABC ?
2. Combien de points se trouvent à 1 cm de la droite  ? …...
……………………………………………………….
2. Mesurer à la règle la distance du point A à la droite 3. Placer en orange tous les points situés à 1 cm de  :
(BC) puis écrire un arrondi au millimètre de cette distance : « Tous les points situés à 1 cm de la droite  forment une
d(A , (BC))  …..…….…….. cm bande ………………………....….. à la droite  et d’axe …… »

4. Hachurer en bleu tous les points situés à plus de 1 cm de .

 Exercices sur équidistance, régionnement : Traits de construction visibles ! Codages !

 Où peut-on construire en vert l’université U qui doit :  Raplapla le chien a enterré sa laisse dans le jardin mais il ne
1. être équidistante des villes C et D. sait plus où ! Et il doit vite la retrouver avant que sa maîtresse
2. se trouver à plus de 2 km de l’autoroute (a). ne rentre, sinon ça va barder pour son matricule ! Il se souvient
3. être située à moins de 5 km de la bibliothèque B. vaguement que cette laisse se trouve :
(échelle : 4 km  2 cm) 1. plus près du chêne C que de l’acacia A.
2. plus près de la benne à ordure B que du chêne C.
3. à moins de 1 m (échelle 1 m  1 cm) de l’allée (AB).
Aidez ce pauvre chien ! Hachurer en vert la zone à fouiller.

  Pour chaque figure, hachurer la zone des points qui sont à moins de 1 cm des bords.

Méthode
 Contre chaque côté droit de la figure,
construire un rectangle de largeur la
distance demandée (ici …… cm).
Faire apparaître les angles droits !
 En chaque sommet, compléter par un
arc de cercle de centre ce sommet et de
rayon la distance demandée (ici 1 cm).
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II. DROITE TANGENTE A UN CERCLE EN UN POINT.

Voyons maintenant une importante application de la distance d’un point à une droite.
A. Positions relatives d’une droite et d’un cercle :
1. Pour chacun des 3 cas de figure suivant, placer sur la droite (d) le point H tel que OH soit la
distance du centre O du cercle à cette droite (d).
2. Puis compter le nombre de points d’intersection entre le cercle et la droite (d) puis compléter.
(d)
(d)
(d)

O
O O
rayon
rayon
rayon

 Cas sécant :  Cas tangent :  Cas distinct :

 (d) coupe le cercle.  (d) touche le cercle.  (d) ………..……..……... le cercle.
 …… points d’intersection.  ……… point d’intersection.  …….. point d’intersection.
 OH < rayon  OH ……. rayon  OH ……. rayon

Les cas  et  ont été largement vus. On va s’intéresser au cas .

Deux définitions :
 Une tangente à un cercle est une ………….………. qui …….…………….. ce cercle en 1 seul point.
 Cet unique point d’intersection s’appelle le « point de contact » de la tangente avec le cercle.

B. Propriété angulaire caractéristique de la tangente :

Soient un cercle C O de centre O et (d) une droite.
Propriété angulaire de la tangente :
(….. donnée ou hypothèse) (…… résultat ou conclusion)

 A est sur le cercle C O
Quand (d) est tangente en A au cercle C O de centre O alors 

 (d)  (OA)


Autrement dit : Lorsqu’une droite est tangente à un cercle en un point, alors cette droite est perpendiculaire au rayon reliant
ce point de contact et le centre.
Utilité : Cette propriété peut servir à montrer que 2 droites sont ………………………………
(d) (d)
Figure :
A A

C O O
O
C
O

(d) tangente en A au
cercle C de centre O.
O
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La réciproque de la propriété angulaire de la tangente (page précédente) est vraie aussi :
Soient donc un cercle C O de centre O et (d) une droite.
Réciproque : Comment montrer qu’une droite est tangente à un cercle en un point précis de ce cercle ?
(….. données ou hypothèses) (…… résultat ou conclusion)

 A est sur le cercle C O  (d) est ……………..………… en ..…

Quand   alors
 (d) ……. (OA) 
au ………………..………………….
Autrement dit : Lorsqu’en un point d’un cercle, une droite est perpendiculaire au rayon passant par ce point et le centre du
cercle, alors cette droite est tangente à ce cercle en ce point (qui sera appelé point de contact de la tangente avec le cercle).

Utilité : Cette propriété sert à démontrer qu’une droite est ……………………………… à un …………….
(d) (d)
Figure :
A A (d) tangente en A au
cercle C de centre O.
O

O O

C
O

C
O

 Applications :
 Construire en bleu la tangente au cercle,  Construire en rouge le cercle de centre O tangent à
passant par le point de contact A. Codage ! (d). Appeler H le point de contact entre le cercle et (d).

A Codage !
codage !
O

O (d)

 Sur la figure ci-contre,

1. Tracer en rouge la droite () tangente au cercle au point de contact M.
Sur cette tangente (), placer un point N distinct du point M.
2. Quelle est la nature du triangle MON ? Justifier !
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III. EQUIDISTANCE A 2 DROITES SECANTES : BISSECTRICES.

A. Bissectrice : tracé au compas (6ème) et propriété angulaire (5ème).
Le mot « bissectrice » vient du latin bis : deux fois et secare : couper.
Soit l’angle 
ABC ci-contre tel que 
ABC = 120°.
1. Au compas, construire en violet l’axe de symétrie de l’angle


ABC. Codage ! Que représente cette droite violette ?

2. Tracer [AC]. La droite violette coupe [AC] en un point P. Placer

P. P est-il le milieu de [AC] ?
Codage !

3. . En utilisant la propriété angulaire de la bissectrice, calculer la mesure de l’angle 

ABP .


Puisque (BP) est la …………….….…….….… de ....…….,alors   = ……. = ……° =……°
ABP = …….
.... …..

B. Bissectrice et équidistance :
 Puisque la symétrie axiale conserve les longueurs, alors on peut affirmer :

Propriété métrique caractéristique d’équidistance de la bissectrice :

(……. condition ou hypothèse) (…. résultat ou conclusion)

A est équidistant des 2 côtés de 

Quand un point A est sur la bissectrice de l’angle 
KOL.
KOL alors
c-à-d AM = AN.
Autrement dit : Lorsqu’un point appartient à la ……………………………………….…… d’un angle, alors ce point est
…………………………………………….. des deux côtés de cet angle.
Utilité : Cette propriété peut servir à prouver une égalité de …………………………………..
Figure : AM = AN
L L
A A

K K M
N
O A  bissectrice de 
KOL O
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 Application : Soient un angle 

ABC et (BD) sa bissectrice. Codage !
1.  Projeter perpendiculairement le point D sur le côté (BA).
Appeler M ce projeté orthogonal de D sur (BA).
 Projeter perpendiculairement le point D sur le côté (BC).
Appeler N ce projeté orthogonal de D sur (BC).
2. En utilisant la propriété page précédente, justifier que DM = DN.
3. Tracer le cercle de centre D et de rayon DM. Montrer que ce
cercle est tangent au côté (BA) puis au côté (BC) de l’angle.

 La réciproque de la propriété métrique d’équidistance de la bissectrice existe et est vraie :

Réciproque de la propriété métrique caractéristique d’équidistance de la bissectrice :

(……. condition ou hypothèse) (…. résultat ou conclusion)

un point A est équidistant des 2 côtés de 

A est sur la bissectrice de l’angle 
KOL.
Quand alors KOL
c-à-d AM = AN

Autrement dit : Lorsqu’un point est ………………………………….………….. des deux côtés d’un angle, alors ce point appartient à
la ……………………………………….…… de cet angle.
Utilité : Cette propriété peut servir à montrer qu’un point est sur une …………………………………..
Figure :
AM = AN L
L A
A

K M
A  bissectrice de 
K M N KOL
N
O
O

 Cette réciproque admet un corollaire (une conséquence) important qui permet, en utilisant
l’équidistance de points par rapport aux 2 côtés d’un angle, de montrer qu’une droite est une bissectrice.
« Lorsqu’une droite passe par deux points ……..………………………….………….. des deux côtés d’un
angle, alors cette droite est la ……………………………………….…… de cet angle. »
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 Deux remarques importantes sur le lien Bissectrice  Equidistance :

 Puisque la propriété métrique d’équidistance et sa réciproque sont vraies, on dit que cette propriété
métrique caractérise la bissectrice. En gros, dès que vous voyez « bissectrice », il faut penser
« équidistance entre deux droites sécantes » et inversement !
 Donc, rechercher l’ensemble des points qui sont équidistants de 2 droites sécantes, revient à tracer
les …………………………………..…….. des angles formés par ces 2 droites.

C. Concourance des 3 bissectrices d’un triangle : Cercle inscrit.

 Grâce à la propriété métrique d’équidistance de la bissectrice (p.6) et à sa réciproque (p.7), on peut
montrer les propriétés suivantes :

 Les 3 bissectrices d’un triangle ABC se ……………………….…….. (sont concourantes) en un point I.

 Ce point I est le centre d’un cercle intérieur au triangle ABC appelé cercle inscrit au triangle ABC.
 Ce cercle inscrit est tangent aux 3 côtés du triangle.
Autrement dit, le centre I du cercle inscrit à un triangle est équidistant des 3 côtés de ce triangle.
A
Autrement dit, IN = IM = IP.
P

 Figure : N
I
Placer tous les codages manquants.
 Deux remarques :
C
 2 bissectrices suffisent pour construire le cercle
……………………….. B M

 Attention : une bissectrice coupe-t-elle forcément le côté opposé en son milieu ? Oh que ……….. !

C
 Prouvons que les 3 bissectrices d’un triangle se coupent en un même point.
Soient donc un triangle ABC et deux de ses trois bissectrices.
La bissectrice de 
BAC et la bissectrice de 
ACB se coupent en le point I. Codages !
On va montrer que la troisième bissectrice (de 
CBA ) passe aussi par ce point I. I

1. Montrer que le point I est équidistant des côtés [BA] et [BC].

A
2. En déduire que la droite (BI) est une bissectrice puis conclure. B
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 Application :
1. Construire en violet, à la règle et au compas, le centre K du cercle inscrit au triangle CAT ci-dessous.
2. Projeter en bleu K perpendiculairement sur les trois côtés [AT], [AC] et [CT] du triangle
respectivement en P, en Q et en R.
C
Codages !
3. Que peut-on dire des longueurs KP, KQ et KR ? Justifier.
4. Tracer le cercle inscrit au triangle CAT.
A

IV. TABLEAU RECAPITULATIF SUR L’EQUIDISTANCE.

Récapitulons tout ce qu’on sait sur l’équidistance sous la forme d’un tableau :

Equidistance à des points (6ème)

à 1 point fixe . à 2 points fixes A et B.
Figure et codage : Figure et codages :



A

B

Objet géométrique associé : Objet géométrique associé :

Equidistance à des droites (4ème)

à 1 droite. à 2 droites sécantes.
Figure et codage : Figure et codages :

(d)

Objet géométrique associé : Objet géométrique associé :

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V. EXERCICES RECAPITULATIFS DU CONTRAT 8.

A. Bissectrices et Equidistance :
 Exercice 1 : Dans chacun des cas, tracer en violet tous les points situés à la même distance : (codages !)
des deux côtés de cet angle. de ces deux droites. de ces deux droites.

 Exercice 2 : Laisser les codages visibles mais très petits.

Placer en vert l’aéroport V de telle sorte : Où placer la décharge D qui doit être : Où placer l’éolienne O qui doit être :
o qu’il soit équidistant des routes o équidistante des routes [AB) et o équidistante des lignes électriques
[AB) et [AC). [AC). (AB) et (EC).
o et en même temps équidistant des o située à plus de 500 m de la route o équidistante des villes B et C.
villes B et A. [AC). o et à moins de 1 km du
o et à plus de 750 m de la ville E. transformateur T.
B Repasser en vert la zone possible. (échelle 1 cm pour 1 km).
(échelle 2 cm pour 1 km) E

A
A

A E B
C
T

 Exercice 3 : Dans chacun des cas, hachurer en vert la zone pavillonnaire : (codages !)
qui est plus proche de la route [AB) que de la route [AC). qui est en même temps plus proche des rues [AB] et [BC]
B que de la rue [AC]. B

A
C

C
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B. Tangentes. A 8 B

 Contrôle 2004. 6 10

Soit A un point sur C O le cercle de centre O.

La droite (AB) est-elle tangente en A au cercle C O ? O

E
 Sur la figure ci-contre, C1 est le cercle de rayon [ZE]. C1 C2
C2 est l’autre cercle. La droite (EN) est-elle tangente à C1 ?
 Z

N
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 Loin là-bas à l’horizon ! A faire en fin de contrat, en face. Need a calculette !
Y

 Noter d’abord ici précisément votre taille en mètre : …………. P H

 Maintenant, vous êtes en bord de mer et il fait beau. Cool suprême.

Vous fixez l’horizon au loin. Sans trop réfléchir, à quelle distance situez-
vous cet horizon que vous êtes en train de contempler ? …………….. O

 La figure ci-contre modélise la situation :

Y sont vos yeux, P vos pieds, O est le centre de la Terre et H le point
« horizon ».

1. Que représente la droite (YH) pour le cercle ? …………………

2. En déduire la nature du triangle OYH, justifier. Tracer OYH. Coder.
3. On connaît le rayon de la Terre : 6 371 km pour simplifier. Toujours pour simplifier, votre taille est
assimilée à YP. Reporter sur le schéma toutes les longueurs connues (attention aux unités !).
Calculer la distance « où se situe l’horizon », arrondie au mètre.
4. Comparer le résultat obtenu avec votre voisin ou votre voisine. Pourquoi n’est-il pas le même ?

Illustration de la mesure de la largeur d'une rivière par triangulation, tirée d'un traité de Hulsius datant du 16ème siècle.
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C. Cosinus et Bissectrice : Contrôle 2008.

 Exercice n° 3 (…..……………..… / 3 pts + Bonus 1,5 points) :
Le nouveau satellite Télémaths doit arroser toute la France. On le place donc en orbite géostationnaire 4 à 35 786 km
d’altitude, à la verticale de la ville de Huriel (en Auvergne) qui est supposée être le centre de la France.
Ainsi placé, le satellite émet un faisceau d’ondes qui recouvre tout le pays jusque dans sa plus grande longueur (environ 970 km)
entre les villes de Bray-Dunes (Nord Pas de Calais) et de Cerbère (Pyrénées Orientales).
Le but de l’exercice est de trouver l’angle de diffusion du satellite. T
1. Reporter sur le schéma ci-contre les données. Codage sur [CB] ?
2. Justifier rapidement que (TH)  (CB). (……..……...….. / 0,5 pts)
3. Calculer la longueur TC, arrondie au dixième de kilomètre. (……...…….…. / 1 pt)
4. Calculer la mesure de 
CTH arrondie au centième de degré. (………..…….. / 1 pt)
5. En déduire la mesure de l’angle de diffusion (arrondi au centième) qui permet au
satellite Télémaths d’arroser toute la France. (…………...…….. / 0,5 pts)
6. Bonus : Calculer la vitesse moyenne d’un satellite géostationnaire en km/h,
arrondie à l’unité. Rayon terrestre = 6 371 km. (…………... / Bonus 1,5 pts) H
C B

4
Les satellites de télédiffusion sont dits « géostationnaires ». En effet, un satellite géostationnaire, en tournant à la même vitesse que la Terre,
reste à la verticale d’un point donné de la surface terrestre et paraît ainsi immobile (stationnaire) par rapport à ce point donné sur Terre.
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 Exercice 5 : Valeur exacte du cos (45°) (……………………… / 5,5 pts).
Le but de l’exercice est de trouver la valeur exacte du cosinus d’un demi-angle droit (c-à-d cos(………°)).
Soit le carré ADOB de longueur 1 (figure non à l’échelle).
Construire au compas la bissectrice de l’angle 
O D
1. ABO. (………......... / 0,5 pts)
Que représente cette bissectrice pour le carré ADOB ? (………...….. / 0,25 pts)
2. Montrer que 
ABD = 45°. (……..…….….. / 1 pt)
3. Montrer que le triangle BAD est isocèle rectangle. (………….…….. / 1 pt)
4. En utilisant le Théorème de Pythagore, calculer la valeur exacte de la longueur BD. (………… / 1 pt)
En considérant l’angle 
B 1 A
5. ABD, calculer la valeur exacte de Cos (45°). (…….……….. / 1 pt)
6. En utilisant la calculette, donner une valeur approchée au centième de ce Cos (45°). (………..….. / 0,25 pts)
Puis donner la signification de cette valeur par rapport aux longueurs du côté adjacent [AD] et de la diagonale [BD].
(………….……. / 0,5 pts)

VI. POUR PREPARER LE TEST ET LE CONTROLE.

 Faire en temps limité les évaluations des années précédentes sur mon site (//yalamaths.free.fr,
espace 4ème, Distances-Tangentes).
 Comparer avec les corrigés. Refaire si besoin.

A. Conseils :
 Constructions :
o Laissez les traits de construction, légers et nets.
o COULEURS + CODAGES induits par l’énoncé.
 Calculs d’angles :
o Quand on fait des calculs d’angles dans un triangle, on écrit dans quel triangle on se place.
o Penser aux propriétés angulaires des triangles isocèles, équilatéraux.
o Penser à la propriété angulaire de la bissectrice.
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 Equidistances : connaître par cœur le tableau récapitulatif p.9 !
 Preuves :
o Ne pas essayer de répondre en une fois aux questions mais en plusieurs étapes.
o Etre précis : isocèle où, rectangle où, bissectrice de quel angle, hauteur issue de quel sommet etc.
o Une affirmation non justifiée soit par un raisonnement soit par l’énoncé ne vaut RIEN !

B. Erreurs fréquentes :
 Un point n’est pas une droite ; attention aux notations !
 Confusion bissectrice-médiane : une bissectrice coupe ultra rarement le côté opposé en son milieu ; et
réciproquement, une médiane partage ultra rarement l’angle en deux angles de même mesure (sauf dans les
cas des triangles isocèles ou équilatéraux).
 Inventer des hypothèses ou du codage qui nous arrangent.
 Inventer des théorèmes.
 Tangente :
o une droite passant par 2 points distincts d’un cercle ne peut pas être tangente à ce cercle !
o Propriété angulaire de la tangente non sue ou mal appliquée.

C. Remplir le tableau de compétences sur la fiche de contrat :

Quel est l’intitulé du prochain contrat ? …………………………………………………….

Avant de refermer ce beau livret, un petit bulletin qui compile de vraies appréciations de professeurs.

Matières Notes Appréciations

Anglais 2/20 Vient en touriste, mais sans connaître la langue.
Français 5/20 Occupe une chaise.
Mathématiques 3/20 A touché le fond, et pourtant creuse toujours…
Biologie 1/20 Aimable, dilettante. Si vous cherchez une sensation nouvelle, essayez le travail.

Education physique 4/20 A les prétentions d'un cheval de course mais les résultats d'un âne.

Musique 1/20 La plupart du temps dans les nuages, n'en redescend que sous forme de perturbation.
Informatique 2/20 Vous étiez au bord du gouffre, vous avez fait un grand pas en avant.

Perle du Bac 2011 « I didn't write 300 words because I'm out of encre in my stylo, please give me a good
note »
Perle du Bac 2012 : « François Hollande a été élu pour remplacer Monsieur Nicolas de la République sur le
trône de l’Elysée Française. »