I.

But :
 Déterminer l’accélération gravitationnelle terrestre g en
utilisant le pendule réversible.
II. Théorie :
i. Principe de l’expérience :
Il est possible, au moyen d’un pendule réversible, de
déterminer l’accélération gravitationnelle terrestre g, à
partir de la mesure de sa période d’oscillation, sans
connaitre ni sa masse ni sa moment d’inertie.
ii. Pendule simple :
O
On détermine alors l’accélération
Fil
De gravitation g en mesurant
θ
La période T des oscillations
Donne par : 𝐹

𝐿
𝑇 = 2𝜋 (1)
𝑔 𝑚𝑔
iii. Pendule réversible :

O d λ’
Y

θ G

𝑴𝒈
O’

1
 L’équation de mouvement sous la forme différentielle s’écrit
comme :

𝑑2𝜃 𝑀𝑔𝑑
+ 𝜃=0
𝑑𝑡 2 𝐼𝐺𝑧 + 𝑀𝑑 2 (2)

La période T s’écrit comme :

2𝜋 𝜆𝑟
𝑇= = 2𝜋 (3)
𝜔0 𝑔

Avec ω0 la pulsation du mouvement oscillatoire et λr la

longueur réduite définit par :

𝐼𝐺𝑧
𝜆𝑟 = +𝑑 (4)
𝑀𝑑

iv. Pendule reversible de Kater : Distance

fixe
O
𝐼𝐺𝑧 + 𝑀𝑑2
𝑇1 = 𝑇𝑜 = 2𝜋
𝑀𝑑𝑔
d

λr
et
G
𝐼𝐺𝑧 + 𝑀(𝜆𝑟 − 𝑑)2
𝑇2 = 𝑇𝑜′ = 2𝜋
𝑀 ( 𝜆𝑟 − 𝑑 ) 𝑔
O’

2
On = ′ dans les deux cas suivants :

Pendule symétrique : λr = λ’s = 2d

Pendule asymétrique : λr = λ’a. dans ce cas, on peut
montrer que :

𝐼𝐺𝑧 = 𝑀𝑑(𝜆𝑟 − 𝑑) (5)

III. Devoir :
1. Recherche bibliographique:
 Le pendule de Foucault est un
pendule inventé en 1851 par le
physicien Léon Foucault dont il
tire son nom. Il sert à
démontrer que la Terre tourne
sur elle-même.
 Historique :
La première expérience a lieu
le 3 janvier 1851 dans la cave
de sa maison située au
carrefour des rues d'Assas et
de Vaugirard (Paris). La
première démonstration
publique date de 1851, le pendule étant accroché à la voûte du
Panthéon de Paris. L'intérêt du pendule, imaginé et réalisé par
Foucault, est qu'il met en évidence la rotation de la Terre par une
expérience locale aisément reproductible et que l'on peut
également déterminer en quelques heures, par mesure de la
déviation au sol du plan d'oscillation, la latitude du lieu de
l'expérience sans aucune observation astronomique extérieure.

3
 Objectif :
L'expérience consiste, dans un
référentiel galiléen, à laisser une
masse suspendue à un long fil en
mouvement dans l'air. Tout
autour, sont disposées à
intervalles égales des pièces
d'échiquier. On peut constater
qu'au fur et à mesure du temps,
la masse ne garde pas sa trajectoire initiale car régulièrement elle
renverse une pièce d'échiquier. En vérité, la masse accrochée au
fil conserve sa trajectoire mais la Terre tourne, ce qui à nos yeux
fait dévier la masse.
 Théorie :
L’expérience met en évidence :
 que le plan d'oscillation du pendule est en rotation autour
de l'axe de la verticale du lieu,

 que ce plan d'oscillation tourne dans le sens horaire dans

l'hémisphère nord et dans le sens inverse dans
l'hémisphère sud.
 que le plan d'oscillation effectue un tour complet en un
jour sidéral aux pôles (soit 23 h 56 min 4 s), mais
qu'ailleurs la période est plus longue et doit être divisée
par le sinus de la latitude. Cette période définit le jour
pendulaire. À une latitude de 30°, le jour pendulaire est
donc de 2 jours et à 45° de latitude de 1,4 jour. À
l'équateur le pendule oscille dans un plan fixe.

Cette expérience historique, répétée par la suite en de

nombreux endroits, a permis de vérifier le bien-fondé des lois
du mouvement de Newton.

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2. le pendule mathématique est une masse ponctuelle fixe à
l’extrémité d’un fil sans masse, inextensible et sans
raideur et oscillant sous l’effet de la pesanteur mais la
pendule physique est un système oscillant, qui écarte de
sa position d’équilibre, y retourne en décrivant des
oscillations, sous l’effet d’une force, par exemple le Poids
d’une masse.
3. On a :

𝑂𝑀 = 𝐿𝑒𝑟
O

𝑉 (𝑀/𝑅) = 𝐿𝜃𝑒𝜃
θ
𝛾(𝑀/𝑅) = 𝐿𝜃𝑒𝜃 − 𝐿𝜃 2 𝑒𝑟
𝐹
Les forces agissant sur M : 𝑒𝜃
M
- Le Poids .
𝑃
- La tension du fil .
D’après le P.F.D. : 𝑒𝑟
𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝑚𝛾 (𝑀/𝑅

𝑚𝑔(co 𝜃𝑒𝑟 − 𝜃𝑒𝜃 ) − 𝐹𝑒𝑟 = 𝑚 𝐿𝜃𝑒𝜃 − 𝐿𝜃 2 𝑒𝑟

Projection sur donne :

−𝑚𝑔 𝜃 = 𝑚𝐿𝜃

C.-à-d. :
𝑔
𝜃=𝜃
𝐿
Avec θ très petit implique

D’où :
𝑔
𝜃+ 𝜃=0 (A)
𝐿

5
Les solutions de l’équation (A) :

𝜃 (𝑡) = 𝜃0 co (𝜔𝑡 + 𝜑)
(B)
𝜃 (𝑡) = −𝜔2 𝜃(𝑡)

On remplace (B) dans (A) :

𝑔
−𝜔2 𝜃(𝑡) + 𝜃(𝑡)
𝐿
=𝑔 0
𝜔2 =
𝐿
2
2𝜋 𝑔
=
𝑇 𝐿
D’où :

𝐿 (1)
𝑇 = 2𝜋
𝑔

4.
 On a :
𝑑𝐸𝑚
= 𝑝(𝐹 ) (A)
𝑑𝑡
𝐸𝑚 = 𝐸𝐶 + 𝐸𝑃
1 1
𝐸𝑚 = 𝑀𝑉 2 + 𝐼𝐺𝑧 𝜃 2
2 2
Or :
𝑉 (𝐺/𝑅) = 𝑑𝜃𝑒𝑟
𝑉 2 = (𝑑𝜃)2
1
𝐸𝑚 = 𝜃 2 (𝑀𝑑2 + 𝐼𝐺𝑧 ) (B)
2
On :
𝑝(𝑃) = 𝑃. 𝑉𝐺
𝑝(𝑃) = 𝑚𝑔𝑖. 𝑑𝜃𝑒𝑟

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Avec : 𝑒𝑟 = − 𝜃 𝑖 + co 𝜃𝑗
Ce qui implique :
𝑝(𝑃) = −𝑚𝑔𝑑𝜃 𝜃 (C)

Avec θ très petit implique

On remplace (B) et (C) dans (A) :

𝑑 1 2
𝜃 (𝑀𝑑2 + 𝐼𝐺𝑧 ) = −𝑚𝑔𝑑𝜃𝜃
𝑑𝑡 2

𝑑2𝜃 𝑀𝑔𝑑
+ 𝜃=0 (2)
𝑑𝑡 2 𝐼𝐺𝑧 + 𝑀𝑑 2

 La solution générale s’écrit sous la forme :

𝜃 (𝑡) = 𝜃0 co (𝜔𝑡 + 𝜑)
𝜃 (𝑡) = −𝜔2 𝜃(𝑡)

Ce qui donne :
𝑀𝑔𝑑
−𝜔2 𝜃(𝑡) + 𝜃(𝑡) = 0
𝐼𝐺𝑧 + 𝑀𝑑2
𝑇 =20 𝐼𝐺𝑧 𝑑
= +
2𝜋 𝑀𝑔𝑑 𝑔
1 𝐼𝐺𝑧
𝑇 = 2𝜋 +𝑑
𝑔 𝑀𝑑

𝜆𝑟 (3)
𝑇 = 2𝜋
𝑔
Avec :

𝐼𝐺𝑧
𝜆𝑟 = +𝑑
𝑀𝑑

7
5. On a :
𝐼𝐺𝑧
𝜆𝑟 = +𝑑
𝑀𝑑

D’où :
𝐼𝐺𝑧 = 𝑀𝑑(𝜆𝑟 − 𝑑) (5)

6. On a :
𝜆𝑟
𝑇 = 2𝜋
𝑔

D’où :
4𝜋2
𝑔= 𝜆𝑟
𝑇2

7. On a :
4𝜋2
𝑔= 𝜆𝑟
𝑇2
𝑙𝑛(𝑔) = 𝑙𝑛(4𝜋 2 ) − 𝑙𝑛(𝑇 2 ) + 𝑙𝑛(𝜆𝑟 )
𝑑𝑔 𝑑𝑇 𝑑𝜆𝑟
= −2 +
𝑔 𝑇 𝜆𝑟
∆𝑇 ∆𝜆𝑟
∆𝑔 = 2 + 𝑔
𝑇 𝜆𝑟

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IV. Partie expérimentale :
i. Pendule symétrique : détermination de λ’s et T1 :
Voir les résultats Manip N1
ii. Pendule asymétrique : détermination de λ’a et T2 :
1. Voir les résultats Manip N2
2. la courbe T2 = f(λ’) voir le graphe (1).
3. voir le graphe. λ’min correspond à la longueur réduite dans
laquelle la courbe atteint la période minimale Tmin.
4. la période T2 tend vers l’infini quand λ’ est supérieure à
60cm.
iii. Détermination de g :
1. 1 ( ) 1( )
2. D’après le graphe(2) on a :

𝑇 = 1,343𝑠 et 𝜆𝑟 = 44,633𝑐𝑚
On a :
∆𝑇 = (0,1 × 0,01)𝑠 et ∆𝜆𝑟 = (0,1 × 0,33)𝑐𝑚

∆𝑇 = 0,001𝑠 et ∆𝜆𝑟 = 0,033𝑐𝑚

D’où :

𝑇 = (1,343 ± 0,001)𝑠

𝜆𝑟 = (44,633 ± 0,033)𝑐𝑚
3.
On a : 4𝜋2
𝑔= 𝜆𝑟
𝑇2
A.N. :
4𝜋 2
𝑔= 2
× 44,633 × 10−2
1,343
D’où :
𝑔 = 9,77𝑚. 𝑠 −2

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 On a : ∆𝑇 ∆𝜆𝑟
∆𝑔 = 2 + 𝑔
𝑇 𝜆𝑟
A.N. :
0,001 0,033
∆𝑔 = 2 × + × 9,77
1,343 44,633
D’où :
∆𝑔 = 0,02𝑚. 𝑠 −2

Donc :
𝑔 = (9,77 ± 0,02)𝑚. 𝑠 −2

V. Conclusion et partie recherche :

1. La valeur mesurée de g est raisonnable car elle est
Presque équivalente à gthéorique. ( gthéorique =9,81 . −2 )
2. Les grondeurs physiques du système étudie que cette
méthode permet de s’en passer lors des mesures pour
déterminer la période T sont : IGz et la masse M.
3. Parmi les difficultés rencontres dans ce TP est la table qui
n’est pas fixe dont elle reste bouger. Pour améliores ce TP
il faut au moins fixer la table pour ne pas perturber les
mesures.

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