Livre Vo N-Maghlaoui

Avant-propos
Cet ouvrage est dédié aux étudiants de deuxième année des classes préparatoires en sciences et techniques
et des filières ST-SM des universités. Il propose des résumés de cours en physique 3 et 4 ainsi que des
recueils d’exercices et problèmes, intitulé vibrations et ondes.
Le document reste fidèle au programme officiel, il a pour but de servir de guide de préparation pour les
examens, ainsi que le concours d’accès aux écoles supérieures.
Il est le fruit d’une expérience de plusieurs années acquises dans l’enseignement de cette discipline tant au
niveau du cours que des travaux dirigés et pratiques.
Des résumés de cours, des exercices et problèmes corrigés ainsi que des sujets d’examens sont présentés
dans ce document, afin de permettre aux étudiants d’accroitre leurs aptitudes.
Le document s’articule autour de quatre parties, un choix basé sur les trois thématiques abordées dans le
programme officiel, vibrations mécaniques, ondes mécaniques et enfin ondes électromagnétiques.
Chaque partie, commence par un rappel de cours, suivi d’exercices d’applications. Enfin, je termine par des
exercices et problèmes corrigés, extraits de sujets d’examens.
Dans la première partie, vibrations mécaniques, je commence par présenter les définitions de base, d’un
oscillateur linéaire et la condition d’oscillation, tout en introduisant le formalisme de Lagrange, à travers
des exemples et contre exemples. Des notions telles que le degré de liberté et les coordonnées généralisées
sont introduites. Les oscillations étudiées sont linéaires et de faibles amplitudes. Une série d’exercices
propose un nombre de systèmes, variés permettant à l’étudiant de s’exercer suffisamment. Des systèmes
simples aux plus compliquées, j’ai pour ambition de pousser l’étudiant à se poser les questions relatives à
son niveau et au sujet.
La maitrise de l’outil mathématique me permet, par la suite, d’aborder des phénomènes physiques liés à
l’oscillation, l’amortissement, la résonance et l’anti résonance, dans le cas de systèmes à un puis deux
degrés de liberté.
La deuxième partie concerne les ondes mécaniques, dans laquelle, il est indispensable de définir les notions
de base, sur la propagation des ondes en général. J’introduis les ondes mécaniques par l’étude de la
propagation des ondes transversales le long d’une corde. Un résumé est dédié à des définitions telles que,
l’équation d’onde de d’Alembert, la solution en onde plane sinusoïdale, la vitesse de l’onde et de particule,
la force en un point et l’impédance de la corde. je termine ce résumé par les coefficients de réflexion et de
transmission, relatifs aux phénomènes de propagations d’ondes dans des milieux finis.
Après avoir introduit les notions d’ondes par l’étude de la corde vibrante, j’entame, les ondes élastiques
dans les milieux. En premier lieu, j’aborde la thématique des ondes acoustiques (élastiques) dans les fluides.
Dans le cas d’une propagation unidimensionnelle, un résumé autour des équations fondamentales de
l’hydrodynamique, de la continuité et l’équation d’état est présenté. Cela permet l’établissement de
l’équation de d’Alembert pour une onde acoustique. La solution en ondes planes sinusoïdale est aussi
introduite. Cela permet de s’appuyer sur les acquis du chapitre précédent (corde vibrante), tout en les
renforçant les prérequis des étudiants. Je termine ce chapitre, par les coefficients de réflexion et de
transmission en amplitude puis en énergie. Un exemple d’application qui est l’effet Doppler est aussi intégré
au document.
En deuxième phase, la propagation des ondes élastiques dans les solides homogènes, isotropes et non
absorbants est abordée. Les notions d’ondes ont été introduites précédemment, cette partie introduit la
propagation d’ondes longitudinale et transversale dans les solides, le module d’Young et le coefficient de
glissement, qui sont à l’origine du phénomène de propagation dans les solides, sont définis. Ainsi je définis
la vitesse d’onde longitudinale et transversale, l’impédance, les coefficients de réflexion et de transmission.
La troisième partie, est consacrée à la propagation des ondes électromagnétiques. J’aborde ce chapitre par
la propagation dans le vide. Dans lequel, je commence par donner les équations de Maxwell. Les quatre
équations permettent d’établir l’équation de propagation d’onde, puis la solution en onde plane sinusoïdale
est proposée. La structure de l’onde est donnée, et les différents états de polarisation sont décrits. Je termine
par les énergies et le vecteur de Poynting. Ce dernier permet de nous renseigner au sujet de la direction
d’écoulement de l’énergie et de calculer la puissance de l’onde électromagnétique.
En second lieu, nous abordons la propagation dans les milieux linéaires, homogènes et isotropes. Je
commence par la propagation dans les plasmas. Afin d’étudier la fréquence de plasma et le phénomène de
dispersion, les plasmas sont supposés parfaitement dilués et constitués de charges non relativistes. Par la
suite je présente la propagation dans les diélectriques et les métaux. Les phénomènes de propagation,
d’absorption, d’onde évanescente ainsi que l’épaisseur de peau sont mis en évidence.
Par la suite un résumé sur les phénomènes de réflexion et de réfractions est présenté. Dans ce cadre, je
commence par donner les équations de passage entre deux milieux linéaires, isotropes et homogènes, avant
d’établir les lois de la réfraction. Les coefficients de réflexion et de transmission sont établis, et les
phénomènes physiques de réfraction totale (angle de Brewster) sont abordés. La réflexion totale sur un
conducteur parfait et la pression de radiation du champ électromagnétique est aussi présentée. Des exercices
sur la réflexion des ondes électromagnétiques sur du cuivre, ou la réflexion à l’interface de deux
diélectriques parfaits sont proposés.
La dernière partie de ce chapitre est consacrée à la propagation du champ électromagnétique dans les guides
d’ondes, le cas particulier, du guide d’onde infini, à section rectangulaire est abordé. Les phénomènes de
mode de propagation, de fréquence de coupure, de dispersion et d’onde évanescente sont présentés.
Une série d’exercices extraits de sujets d’examens vient clôturer la partie ondes électromagnétiques, le but
étant de renforcer les acquis du cours est consacrée à cette thématique.
Enfin, dans la dernière partie de cet ouvrage une série de sujets d’examens corrigés est proposée, certains
ont fait l’objet de sujets de concours d’accès aux écoles supérieures de sciences et technologie. L’objectif
étant de préparer les étudiants au concours d’accès aux écoles supérieures.
Table des matières :
1. Vibrations mécaniques.
• Oscillations libres puis forcées des systèmes à 1 degré de liberté. 02
o Résumé de cours. 03
o Exercices corrigés. 18
• Oscillations libres puis forcées des systèmes à 2 degrés de liberté. 37
• Exercices et problèmes corrigés. 44
2. Ondes mécaniques.
• Ondes transversales le long d’une corde. 95
• Ondes acoustiques dans les fluides. 124

• Ondes élastiques dans les solides. 149

3. Ondes électromagnétiques.
• Ondes électromagnétiques dans le vide. 159
• Ondes électromagnétiques dans les milieux linéaires homogènes et isotropes. 163
• Réflexion et réfraction entre deux milieux. 169
• Propagation guidée entre deux plans métalliques parallèles-Application au
guide d’onde infini à section rectangulaire. 178
4. Sujets de concours et examens corrigés. 216
5. Annexe. 291
• Annexe A : Rappels mathématiques. 292
• Annexe B : Compléments de mécanique. 296
1
N. MAGHLAOUI
Oscillations libres puis forcées
des systèmes à 1 degré de liberté
2
N. MAGHLAOUI
Résumé de cours
1. Définitions générales
Oscillateur linéaire : tout système physique dont l’évolution au cours du temps de sa grandeur physique
est décrite par une fonction sinusoïdale de fréquence dépendante des caractéristiques du système.
Coordonnées généralisées : Nous définissons les coordonnées généralisées comme l’ensemble des
variables nécessaires pour décrire l’évolution dans le temps du système mécanique.
Exemple
(1) (2) (3)
B
x
k
𝐿 𝐶
m
(𝑚, 𝑙) 𝜃
Coordonnée généralisée Coordonnée généralisée Coordonnée généralisée charge

𝑥ሺ𝑡ሻ 𝜃ሺ𝑡ሻ 𝑞ሺ𝑡ሻ ou tension 𝑉ሺ𝑡ሻ
(4) (5) (6)
𝑖1 𝑖2
l1
𝑘1
𝜃1 𝐿 𝐿
𝑚1 𝑥1 𝑚1 𝐶1 𝑉1 𝐶 𝑉2 𝐶2
l2 𝑖1 + 𝑖2
𝑘2 𝜃2
𝑚2
𝑚2 𝑥2
Coordonnée généralisées Coordonnées généralisées Coordonnées généralisées
𝑥ሺ𝑡ሻ et 𝑥2 ሺ𝑡ሻ 𝜃1 ሺ𝑡ሻ et 𝜃2 ሺ𝑡ሻ 𝑞1 ሺ𝑡ሻ, 𝑞2 ሺ𝑡ሻ ou 𝑉1 ሺ𝑡ሻ, 𝑉2 ሺ𝑡ሻ
Equilibre et condition d’oscillation :

Dans le cas d’un système conservatif où les forces dérivent d’un potentiel, la condition d’équilibre est :
𝜕𝑈
| =0
𝜕𝑞 𝑞=𝑞
𝑒𝑞
3
N. MAGHLAOUI
Pour qu’un système puisse osciller, il doit satisfaire à la condition d’oscillation (Condition de stabilité) :
𝜕 2𝑈
| >0
𝜕𝑞 2 𝑞=𝑞
𝑒𝑞
2. Oscillations de systèmes à 1 degré de liberté libre et non amortis

Soit 𝑞 la coordonnée généralisée décrivant le comportement d’un système physique, 𝑈 et 𝑇 sont
respectivement les énergies potentiel et cinétique de ce dernier. Un oscillateur linéaire présente les
caractéristiques suivantes :
• Une énergie potentielle proportionnelle à 𝑞 2 .
1 2
𝑈= 𝑏𝑞
2
• Une énergie cinétique proportionnelle à 𝑞̇ 2 .
1
𝑇 = 𝑎𝑞̇ 2
2
Dans ce cas les équations de Lagrange s’écrivent :
𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿
− =0
𝑑𝑡 𝜕𝑞̇ 𝜕𝑞
𝐿 étant le Lagrangien du système définit par : 𝐿 = 𝑇 − 𝑈
L’équation donnant l’évolution du système est :
𝑏
𝑞̈ + 𝜔02 𝑞 = 0, 𝜔0 = √
𝑎
avec 𝜔02 > 0
La solution d’une telle équation est 𝑞ሺ𝑡ሻ = 𝐴 cosሺ𝜔0 𝑡 + 𝜑ሻ
𝐴 et 𝜑 sont des constantes que l’on détermine à partir des conditions initiales.
Il est à noter, que dans le cas d’un pendule simple oscillant à des amplitudes élevées, le mouvement n’est
plus harmonique et est décrit par l’équation suivante :
𝑔
𝜃̈ + sin 𝜃 = 0
ℓ
La période d’oscillation est donnée par la formule de Borda :
𝜃02
𝑇 = 𝑇0 (1 + )
16
où 𝑇0 représente la période propre du pendule dans le cas des faibles amplitudes.
4
N. MAGHLAOUI
ℓ
𝑇0 = 2𝜋√
𝑔
et 𝜃0 l’amplitude d’oscillation.
La représentation graphique des fonctions 𝑦 = sin 𝜃 et 𝑦 = 𝜃 (Figure 1), montre que l’approximation des
faibles amplitudes ሺsin 𝜃 = 𝜃ሻ est justifiée dans le cas des angles inférieurs à 0.25 rad ሺ~15°ሻ.
y
1,4
y= y = sin()
1,2
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4  (rad)
Figure 1
5
N. MAGHLAOUI
Exercices d’applications
1. Soit différents systèmes mécaniques, schématisés sur les figures ci-dessous, nous étudions le cas des
oscillations libres et de faibles amplitudes. Les ressorts sont de masses négligeables et nous négligeons
toute force de frottement (air, contact etc…). Calculer les périodes d’oscillations dans les systèmes
suivants :
(1) (2) (3)
x
k
𝑘2 𝑘1
k
𝑚
𝑚 𝑚
y
y
(4) (5) (6)
𝑘1
l
𝑚
y θ
𝛼
𝑘2
𝑚
Les énergies potentielles des différents systèmes sont respectivement :

1 1
𝑈1 = 𝑘𝑥 2 + 𝑘𝑥∆ℓ + 𝑘∆ℓ2
2 2
1 1 1
𝑈2 = 𝑘ሺ𝑦 + ∆ℓሻ2 − 𝑚𝑔𝑦 = 𝑘𝑦 2 + 𝑦ሺ𝑘∆ℓ − 𝑚𝑔ሻ + 𝑘∆ℓ2
2 2 2
1 1
𝑈3 = 𝑘1 ሺ𝑦 + ∆ℓ1 ሻ2 + 𝑘2 ሺ𝑦 + ∆ℓ2 ሻ2 − 𝑚𝑔𝑦
2 2
1 1 1
= ሺ𝑘1 + 𝑘2 ሻ𝑦 2 + 𝑦ሺ𝑘1 ∆ℓ1 + 𝑘2 ∆ℓ2 − 𝑚𝑔ሻ + 𝑘1 ∆ℓ12 + 𝑘2 ∆ℓ22
2 2 2
1 1
𝑈4 = 𝑘1 ሺ𝑦 + ∆ℓ1 ሻ2 + 𝑘2 ሺ𝑦 + ∆ℓ2 ሻ2 − 𝑚𝑔𝑦
2 2
1 1 1
= ሺ𝑘1 + 𝑘2 ሻ𝑦 2 + 𝑦ሺ𝑘1 ∆ℓ1 + 𝑘2 ∆ℓ2 − 𝑚𝑔ሻ + 𝑘1 ∆ℓ12 + 𝑘2 ∆ℓ22
2 2 2
1 1 1
𝑈5 = 𝑘ሺ𝑠 + ∆ℓሻ2 − 𝑚𝑔𝑠 sin 𝛼 = 𝑘𝑠 2 + 𝑠ሺ𝑘∆ℓ − 𝑚𝑔 sin 𝛼ሻ + 𝑘∆ℓ2
2 2 2
𝜃2
𝑈6 = −𝑚𝑔ℓ cos 𝜃 = 𝑚𝑔ℓ − 𝑚𝑔ℓ
2
6
N. MAGHLAOUI
1. En utilisant les conditions d’équilibre :
𝜕𝑈
| =0
𝜕𝑞 𝑞=0
Nous avons :
• Le système 1 est un oscillateur avec ∆ℓ = 0.
• Le système 2 est un oscillateur avec 𝑘∆ℓ − 𝑚𝑔 = 0.
• Le système 3 est un oscillateur avec 𝑘1 ∆ℓ1 + 𝑘2 ∆ℓ2 − 𝑚𝑔 = 0.
• Le système 4 identique au système 3.
• Le système 5 est un oscillateur avec 𝑘∆ℓ − 𝑚𝑔 sin 𝛼 = 0.
• Les système 6 est un oscillateur.
Cela permet de simplifier les expressions des énergies potentielles :
1
𝑈1 = 𝑘𝑥 2
2
1
𝑈2 = 𝑘𝑦 2
2
1
𝑈3 = ሺ𝑘1 + 𝑘2 ሻ𝑦 2
2
1
𝑈4 = ሺ𝑘1 + 𝑘2 ሻ𝑦 2
2
1
𝑈5 = 𝑘𝑠 2
2
𝜃2
𝑈6 = −𝑚𝑔ℓ cos 𝜃 = 𝑚𝑔ℓ − 𝑚𝑔ℓ
2
Les énergies cinétiques sont respectivement :
1
𝑇1 = 𝑚𝑥̇ 2
2
1
𝑇2 = 𝑚𝑦̇ 2
2
1
𝑇3 = 𝑚𝑦̇ 2
2
1
𝑇4 = 𝑚𝑦̇ 2
2
1
𝑇5 = 𝑚𝑠̇ 2
2
1
𝑇6 = 𝑚ℓ2 𝜃̇ 2
2
Nous obtenons les équations suivantes :
𝑘 𝑘 𝑚
𝑥̈ + 𝑥 = 0 ⟹ 𝜔0 = √ , 𝑇0 = 2𝜋√ (Système 1)
𝑚 𝑚 𝑘
𝑘 𝑘 𝑚
𝑦̈ + 𝑦 = 0 ⟹ 𝜔0 = √ , 𝑇0 = 2𝜋√ (Système 2)
𝑚 𝑚 𝑘
ሺ𝑘1 + 𝑘2 ሻ 𝑘1 + 𝑘2 𝑚
𝑦̈ + 𝑦 = 0 ⟹ 𝜔0 = √ , 𝑇0 = 2𝜋√ (Système 3)
𝑚 𝑚 𝑘1 + 𝑘2
7
N. MAGHLAOUI
ሺ𝑘1 + 𝑘2 ሻ 𝑘1 + 𝑘2 𝑚
𝑦̈ + 𝑦 = 0 ⟹ 𝜔0 = √ , 𝑇0 = 2𝜋√ (Système 4)
𝑚 𝑚 𝑘1 + 𝑘2
𝑘 𝑘 𝑚
𝑠̈ + 𝑠 = 0 ⟹ 𝜔0 = √ , 𝑇0 = 2𝜋√ (Système 5)
𝑚 𝑚 𝑘
𝑔 𝑔
𝜃̈ + 𝜃 = 0 ⟹ 𝜔0 = √
ℓ ℓ (Système 6)
2. Un cylindre homogène, de masse 𝑚 et de rayon 𝑟 roule sans glisser sur une surface circulaire de rayon
𝑅 (Figure ci-dessous). Calculer la pulsation propre du mouvement dans le cas des oscillations de
faibles amplitudes.
Energie potentielle
𝜃2
𝑈 = −𝑚𝑔ሺ𝑅 − 𝑟ሻ cos 𝜃 ≈ 𝑚𝑔ሺ𝑅 − 𝑟ሻ
2
Energie cinétique
1 1 2
𝑇 = 𝑚ሺ𝑅 − 𝑟ሻ2 𝜃̇ 2 + 𝐽𝐺 (𝜑̇ − 𝜃̇)
2 2
Nous avons :
𝑅
𝐴𝐵 = 𝑅𝜃 = 𝑟𝜑 ⟹ 𝜑 = 𝜃
𝑟
2 2
1 2 ̇2
1 𝑚𝑟 𝑅
𝑇 = 𝑚ሺ𝑅 − 𝑟ሻ 𝜃 + ( − 1) 𝜃̇ 2
2 2 2 𝑟
2
1 𝑚𝑟 2 𝑅
= [𝑚ሺ𝑅 − 𝑟ሻ +2
( − 1) ] 𝜃̇ 2
2 2 𝑟
L’équation du mouvement est :
2𝑔
𝜃̈ + 𝜃=0
3ሺ𝑅 − 𝑟ሻ
La pulsation propre est :
2𝑔
𝜔0 = √
3ሺ𝑅 − 𝑟ሻ
ሺ𝑚, 𝑟ሻ 𝜑
𝐺 𝐵
8
N. MAGHLAOUI
3. Une poulie de masse 𝑀 et de rayon 𝑅 est accroché à un bâti fixe par un ressort de raideur 𝑘. Une
masse 𝑚 est accrochée à une corde supposée inextensible (Figure ci-dessous). Déterminer la période
d’oscillation dans le cas des faibles amplitudes.
Nous avons la relation suivante :
ሺ𝑦 = 2𝑅𝜃ሻ
1 1 1 1 3
𝑇 = 𝑇𝑀 + 𝑇𝑚 = 𝑀𝑅 2 𝜃̇ 2 + 𝐽𝐺 𝜃̇ 2 + 𝑚𝑦̇ 2 = (𝑚 + 𝑀) 𝑦̇ 2
2 2 2 2 8
1𝑘 2
𝑈= 𝑦
24
3
√4𝑚 + 2 𝑀
𝑇0 = 2𝜋
𝑘
ሺ𝑀, 𝑅ሻ
𝑦 𝑚
4. Le système ci-dessous représente une tige de masse négligeable, accrochée à une masse 𝑚 par
l’intermédiaire du ressort 𝑘2 et à un bâti fixe par l’intermédiaire d’un ressort 𝑘1 . La masse 𝑚 oscille
sans frottement sur un plan horizontal. Déterminer la période d’oscillation dans le cas des faibles
amplitudes. 𝑥
Tige de masse négligeable 𝑚

𝑘2
𝑘1 𝑏
9
N. MAGHLAOUI
L’énergie cinétique est :
1
𝑇= 𝑚𝑥̇ 2
2
L’énergie potentielle est :
1 1
𝑈 = 𝑘1 ሺ𝑎𝜃ሻ2 + 𝑘2 [𝑥 − ሺ𝑎 + 𝑏ሻ𝜃]2
2 2
La condition d’équilibre permet de trouver :
𝑘2 ሺ𝑎 + 𝑏ሻ
𝜃= 𝑥
[𝑘1 𝑎 + 𝑘2 ሺ𝑎 + 𝑏ሻ2 ]
2
Cela nous permet de trouver :
1 𝑘1 𝑘2 𝑎2
𝑈= [ ] 𝑦2
2 𝑘1 𝑎2 + 𝑘2 ሺ𝑎 + 𝑏ሻ2
La période des oscillations est :
𝑘1 𝑎2 + 𝑘2 ሺ𝑎 + 𝑏ሻ2
𝑇0 = 2𝜋√𝑚
𝑘1 𝑘2 𝑎2
3. Oscillations libres de systèmes à 1 degré de liberté amortis

En plus des énergies cinétiques et potentiels décrites précédemment, nous avons la fonction de dissipation
𝐷 qui est proportionnelle à 𝑞̇ 2 . Cette fonction traduit le phénomène d’amortissement.
2
1 𝜕𝑟⃗
𝐷 = 𝑐𝑞̇ 2 , 𝑐 = 𝛼 [ ]
2 𝜕𝑞
𝑟⃗ étant le vecteur déplacement
𝛼 représente le coefficient de frottement.
Les équations de Lagrange s’écrivent :
𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐷 𝜕𝐿
+ − =0
𝑑𝑡 𝜕𝑞̇ 𝜕𝑞̇ 𝜕𝑞
𝑏 𝑐
𝑞̈ + 2𝛿𝑞̇ + 𝜔02 𝑞 = 0, 𝜔0 = √𝑎 et 𝛿 = 2𝑎
Nous distinguons 3 cas.
Cas 1 ሺ𝛿 > 𝜔0 ሻ
Pas d’oscillation, le mouvement est apériodique (Figure 2). Dans ce cas la solution s’écrit :
𝑞ሺ𝑡ሻ = 𝐴𝑒 𝑟1𝑡 + 𝐵𝑒 𝑟2𝑡
𝑟1,2 = −𝛿 ± √𝛿 2 − 𝜔02
10
N. MAGHLAOUI
0.75
q(t)
0.5
0.25
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
temps (t)
Figure 2
Cas 2 ሺ𝜔0 = 𝛿ሻ
Nous distinguons les prémices d’une oscillation, c’est le régime critique (Figure 3). Dans ce cas la solution
s’écrit :
𝑞ሺ𝑡ሻ = ሺ𝐴 + 𝐵𝑡ሻ𝑒 −𝛿𝑡
0.75
q(t)
0.5
0.25
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
temps (t)
Figure 3
Cas 3 ሺ𝛿 < 𝜔0 ሻ
Nous avons un mouvement oscillatoire avec une diminution d’amplitude, le mouvement est dit
pseudopériodique (Figure 4). Dans ce cas la solution s’écrit :
𝑞ሺ𝑡ሻ = 𝐴𝑒 −𝛿𝑡 cosሺ𝜔𝑎 𝑡 + 𝜑ሻ
𝜔𝑎 = √𝜔02 − 𝛿 2
𝐴, 𝐵 et 𝜑 sont des constantes que l’on détermine à partir des conditions initiales.
𝜔𝑎 représente la pseudo-pulsation.
11
N. MAGHLAOUI
0.75
0.5
0.25
q(t)
0
-0.25
-0.5
-0.75
-1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
temps (t)
Figure 4
2𝜋
𝑇𝑎 =
𝜔𝑎
𝑇𝑎 représente la pseudo-période.
Le décrément logarithmique 𝐷 est :
1 𝑞ሺ𝑡ሻ
𝐷= 𝑙𝑛 ( ) = 𝛿𝑇𝑎
𝑛 𝑞ሺ𝑡 + 𝑛𝑇𝑎 ሻ
𝑞ሺ𝑡ሻ étant l’amplitude à un instant 𝑡 et 𝑞ሺ𝑡 + 𝑛𝑇𝑎 ሻ l’amplitude à un instant 𝑡 + 𝑛𝑇𝑎 .
𝑛 est un nombre naturel qui représente le nombre de période qu’il y a entre les deux instants.
Le décrément logarithmique et la pseudo-période permettent de remonter aux caractéristiques du système.
Le coefficient de qualité est :

𝜋
𝑄=
𝐷
12
N. MAGHLAOUI
4. Oscillations forcées de systèmes à 1 degré de liberté
Les énergies cinétiques potentielles ainsi que la fonction de dissipation étant décrite précédemment,
l’équation de Lagrange en présence de forces extérieures est :
𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐷 𝜕𝐿 𝜕𝑊
+ − =
𝑑𝑡 𝜕𝑞̇ 𝜕𝑞̇ 𝜕𝑞 𝜕𝑞
𝑊 représente la somme des travaux des forces extérieures.
Exemple (Les forces sont parallèles aux déplacements à tout instant 𝑡) :
(1) (2) (3)
𝑎
𝑙
𝑘 𝐹ሺ𝑡ሻ
𝜃 𝜃
𝐹ሺ𝑡ሻ
𝑥 𝑚
𝐹ሺ𝑡ሻ 𝑚
𝑚
𝑊 = 𝐹𝑥 𝑊 = 𝐹𝑙𝜃 𝑊 = 𝐹𝑎𝜃
𝜕𝑊 𝜕𝑊 𝜕𝑊
𝐹𝑥 = =𝐹 𝐹𝜃 = = 𝐹𝑙 𝐹𝜃 = = 𝐹𝑎
𝜕𝑥 𝜕𝜃 𝜕𝜃
La forme de l’équation obtenue est :

𝐹ሺ𝑡ሻ
𝑞̈ + 2𝛿𝑞̇ + 𝜔02 𝑞 =
𝑐
𝑐 est une constante qui dépend des caractéristiques du système.
Dans le cas d’une force sinusoïdale 𝐹ሺ𝑡ሻ = 𝐹0 𝑒 𝑖𝜔𝑡
La solution générale est la somme de deux termes, une solution homogène qui tend vers zéro et une
solution particulière qui est la solution dans le régime permanent. Comme le second membre est
sinusoïdal alors la solution est sinusoïdale et de même pulsation (Figure 5).
Régime transitoire Régime permanent
0.75
0.5
0.25
x(t)
-0.25
-0.5
-0.75
-1
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
temps (t)
Figure 5
13
N. MAGHLAOUI
De ce fait : 𝑞ሺ𝑡ሻ = 𝑞0 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡+𝜑ሻ.
d’où : 𝑞̇ = 𝑖𝜔𝑞 et 𝑞̈ = −𝜔2 𝑞.
En remplaçant dans l’équation de mouvement nous obtenons :
𝐹ሺ𝑡ሻ
𝑞= 2 𝑐
2
𝜔0 − 𝜔 + 2𝑖𝛿𝜔
𝐹0
𝑞0 = 𝑐
2
√ሺ𝜔0 − 𝜔 2 ሻ2 + 4𝛿 2 𝜔 2
2𝛿𝜔
𝜑 = −𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔 ( 2 )
𝜔0 − 𝜔 2
La fonction 𝑞0 ሺ𝜔ሻ passe par un maximum pour une pulsation 𝜔𝑟 = √𝜔02 − 2𝛿 2 (Figure 6).
Cette pulsation est appelée pulsation de résonance.
X0(max)
Amplitude (X )
0
𝑋0 ሺ𝜔
0 = 0ሻ
X ( = 0)
Pulsation()
Figure 6 : Courbe de résonance en amplitude
Impédance mécanique du système

Nous appelons l’impédance mécanique le rapport :
𝐹ሺ𝑡ሻ
𝑍=
𝑣ሺ𝑡ሻ
𝐹ሺ𝑡ሻ représente la force appliquée au système.
𝑣ሺ𝑡ሻ représente la vitesse du point d’application de la force.
L’impédance dépend des caractéristiques mécaniques du système, mais aussi de la pulsation de la
force extérieure.
Impédances usuelles
Amortisseur 𝛼 : 𝑍𝛼 = 𝛼
Masse 𝑚 : 𝑍𝑚 = 𝑗𝑚𝜔
Ressort 𝑘 : 𝑍𝑘 = 𝑘/𝑗𝜔
L’étude de l’impédance nous renseigne sur le comportement du système.
Puissances fournies-Puissances dissipées

Nous définissons la puissance fournie instantanée comme le produit de la force extérieure par la vitesse
du point d’application de la force.
14
N. MAGHLAOUI
𝑃𝑓 = 𝐶 𝐹ሺ𝑡ሻ𝑞̇ ሺ𝑡ሻ = 𝐶𝐹0 cosሺ𝜔𝑡ሻ cos ሺ𝜔𝑡 + 𝜑ሻ
𝐶 est une constante qui dépend du problème
Nous définissons la puissance dissipée instantanée comme le produit de la force d’amortissement par
la vitesse de déformation de l’amortisseur
𝑃𝑎𝑏 = 𝐹𝛼 ሺ𝑡ሻ𝑣𝛼 ሺ𝑡ሻ = 𝛼[𝑣𝛼 ሺ𝑡ሻ]2
La puissance moyenne est défine comme suit :

1 𝑡+𝑇
〈𝑃〉 = ∫ 𝑃ሺ𝑡ሻ𝑑𝑡
𝑇 𝑡
𝑇 représente la période.
2𝜋
𝑇=
𝜔
La résonance en puissance est obtenue pour 𝜔 = 𝜔0 (Figure 7).
5
Puissance (P)
𝑃𝑚𝑎𝑥
2 2
0
2,24 𝜔1 4,48 𝜔2 6,72 8,96
Pulsation ()
Pulsation ሺ𝜔ሻ
Figure 7 : Courbe de résonance en puissance
Nous définissons le coefficient de qualité par

𝜔𝑟
𝑄=
Δ𝜔
avec :
Δ𝜔 = 𝜔2 − 𝜔1 = 2𝛿
15
N. MAGHLAOUI
Dans le cas d’une excitation périodique de période 𝑇 (Figures ci-dessous), non harmonique (non
sinusoïdale), la fonction 𝐹ሺ𝑡ሻ peut-être écrite comme une superposition d’une infinité d’harmoniques
(fonctions sinusoïdales).
𝑇
F (t)
𝐹0
0 1 2 3 4 5 t (s)
Fonction en dents de scie
𝑇
F(t)
1
-1
 2 3 4 5 t (s)
Fonction carrée
𝐹ሺ𝑡ሻ = 𝑎0 + ∑ 𝑎𝑛 cosሺ𝑛𝜔𝑡ሻ + 𝑏𝑛 sinሺ𝑛𝜔𝑡ሻ

𝑛=1
où 𝜔 = 2𝜋/𝑇, 𝑛 est un entier positif, 𝑎𝑛 et 𝑏𝑛 sont les coefficients de Fourier. Ces coefficients sont
définis par :
2 𝑇
𝑎𝑛 = ∫ 𝐹ሺ𝑡ሻ cosሺ𝑛𝜔𝑡ሻ 𝑑𝑡
𝑇 0
16
N. MAGHLAOUI
2 𝑇
𝑏𝑛 = ∫ 𝐹ሺ𝑡ሻ sinሺ𝑛𝜔𝑡ሻ 𝑑𝑡
𝑇 0
𝑎0 représente la valeur moyenne de la fonction 𝐹ሺ𝑡ሻ sur la période 𝑇.
1 𝑇
𝑎0 = ∫ 𝐹ሺ𝑡ሻ 𝑑𝑡
𝑇 0
La solution de l’équation différentielle de mouvement s’écrit comme une superposition des solutions
pour chaque harmonique. La pulsation 𝜔1 = 𝜔, corresponds à l’harmonique de rang 1, appelée aussi
fondamentale.
17
N. MAGHLAOUI
Exercices corrigés
Soit 36 systèmes mécaniques (voir figures ci-dessous). Dans le cas des mouvements de faibles amplitudes,
établissez les équations du mouvement.
Système 1 Système 2
𝑘1
𝛼 𝐹ሺ𝑡ሻ 𝐹ሺ𝑡ሻ
masse négligeable 𝑘1
masse négligeable
A 𝑚1 A 𝑚1
𝑘1
𝑥 𝑥
𝑚2 𝑚2
𝑘2 𝑘2
𝛼
Système 1 : Système 2 :
Energie potentielle Energie potentielle

1 1
𝑈 = ሺ𝑘1 + 𝑘2 ሻ𝑥 2 + 𝐶 𝑈 = ሺ𝑘 + 𝑘2 ሻ𝑥 2 + 𝐶
2 2 1
Energie cinétique Energie cinétique

1 1
𝑇 = ሺ𝑚1 + 𝑚2 ሻ𝑥̇ 2 𝑇 = ሺ𝑚 + 𝑚2 ሻ𝑥̇ 2
2 2 1
Fonction de dissipation Fonction de dissipation

1 1 2
𝐷 = 𝛼𝑥̇ 2 𝐷 = 𝛼𝑥̇
2 2
Travail de la force extérieure Travail de la force extérieure

𝑊 =𝐹∙𝑥 𝑊 =𝐹∙𝑥
Equation de mouvement Equation de mouvement

𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐷 𝜕𝐿 𝜕𝑊 𝑑 𝜕𝑇 𝜕𝐷 𝜕𝑈 𝜕𝑊 𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐷 𝜕𝐿 𝜕𝑊 𝑑 𝜕𝑇 𝜕𝐷 𝜕𝑈 𝜕𝑊
+ − = ⟹ + + = + − = ⟹ + + =
𝑑𝑡 𝜕𝑥̇ 𝜕𝑥̇ 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝑥̇ 𝜕𝑥̇ 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝑥̇ 𝜕𝑥̇ 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝑥̇ 𝜕𝑥̇ 𝜕𝑥 𝜕𝑥
ሺ𝑚1 + 𝑚2 ሻ𝑥̈ + 𝛼𝑥̇ + ሺ𝑘1 + 𝑘2 ሻ𝑥 = 𝐹 ሺ𝑚1 + 𝑚2 ሻ𝑥̈ + 𝛼𝑥̇ + ሺ𝑘1 + 𝑘2 ሻ𝑥 = 𝐹
18
N. MAGHLAOUI
𝐹ሺ𝑡ሻ
𝑘1
𝛼 𝐹ሺ𝑡ሻ
𝑚 A 𝑚
A ሺ𝑀, 𝑅ሻ
ሺ𝑀, 𝑅ሻ
𝑥
𝑥 𝑘 𝑘2 𝛼
𝑥 = 𝑅𝜃 𝑥 = 𝑅𝜃

1 1
𝑈 = 𝑘𝑥 2 + 𝐶 𝑈 = ሺ𝑘 + 𝑘2 ሻ𝑥 2 + 𝐶
2 2 1
1 11 1 𝑀 1 11 1 𝑀
𝑇 = 𝑚𝑥̇ 2 + 𝑀𝑅 2 𝜃̇ 2 = (𝑚 + ) 𝑥̇ 2 𝑇 = 𝑚𝑥̇ 2 + 𝑀𝑅 2 𝜃̇ 2 = (𝑚 + ) 𝑥̇ 2
2 22 2 2 2 22 2 2

1 1 2
𝐷 = 𝛼𝑥̇ 2 𝐷 = 𝛼𝑥̇
2 2

𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑅𝜃 = 𝐹𝑥 𝑊 = 𝐹𝑥

+ − = ⟹ + + = + − = ⟹ + + =
𝑑𝑡 𝜕𝑥̇ 𝜕𝑥̇ 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝑥̇ 𝜕𝑥̇ 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝑥̇ 𝜕𝑥̇ 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝑥̇ 𝜕𝑥̇ 𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝑀 𝑀
(𝑚 + ) 𝑥̈ + 𝛼𝑥̇ + 𝑘𝑥 = 𝐹 (𝑚 + ) 𝑥̈ + 𝛼𝑥̇ + ሺ𝑘1 + 𝑘2 ሻ𝑥 = 𝐹
2 2
19
N. MAGHLAOUI
ℓ
O ℓ O 𝑂𝐴 =
2
𝑂𝐴 =
𝑘 2 𝑘 B2
B1 B1
𝜃 𝜃
A 𝛼
A
ℓ
𝛼 𝑚 𝑚
𝐹ሺ𝑡ሻ 𝐹ሺ𝑡ሻ

1 ℓ 2 𝜃 2 1 ℓ2 1 ℓ 2 𝜃 2 1 ℓ2
𝑈 = 𝑘 ( 𝜃) + 𝑚𝑔ℓ = (𝑘 + 𝑚𝑔ℓ) 𝜃 2 𝑈 = 𝑘 ( 𝜃) + 𝑚𝑔ℓ = (𝑘 + 𝑚𝑔ℓ) 𝜃 2
2 2 2 2 4 2 2 2 2 4

1 2 1 1 2 1
𝑇 = 𝑚(ℓ𝜃̇ ) = 𝑚ℓ2 𝜃̇ 2 𝑇 = 𝑚(ℓ𝜃̇ ) = 𝑚ℓ2 𝜃̇ 2
2 2 2 2

1 2 1 1 ℓ 2 1 ℓ2
𝐷 = 𝛼(ℓ𝜃̇ ) = 𝛼ℓ2 𝜃̇ 2 𝐷 = 𝛼 ( 𝜃̇ ) = 𝛼 𝜃̇ 2
2 2 2 2 2 4
𝑊 = 𝐹 ∙ ℓ𝜃 𝑊 = 𝐹 ∙ ℓ𝜃
+ − = ⟹ + + = + − = ⟹ + + =
𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 𝜕𝜃
ℓ2 ℓ2 ℓ2
𝑚ℓ2 𝜃̈ + 𝛼ℓ2 𝜃̇ + (𝑘 + 𝑚𝑔ℓ) 𝜃 = 𝐹ℓ 𝑚ℓ2 𝜃̈ + 𝛼 𝜃̇ + (𝑘 + 𝑚𝑔ℓ) 𝜃 = 𝐹ℓ
4 4 4
20
N. MAGHLAOUI
𝑂𝐴 = 𝑎, 𝑂𝐵 = 2𝑎 ℓ
𝑂 𝑂𝐴 =
O A 𝑎 2
B1 𝑘 𝐹ሺ𝑡ሻ
B2 B
𝜃 𝑘 𝜃
𝛼 B A
ℓ
ℓ = 4𝑎
𝑚 𝛼 𝑚
𝐹ሺ𝑡ሻ

1 𝜃2 1 1 ℓ 2 𝜃 2 1 ℓ2
𝑈 = 𝑘ሺ𝑎𝜃ሻ2 + 𝑚𝑔ℓ = ሺ𝑘𝑎2 + 𝑚𝑔4𝑎ሻ𝜃 2 𝑈 = 𝑘 ( 𝜃) + 𝑚𝑔ℓ = (𝑘 + 𝑚𝑔ℓ) 𝜃 2
2 2 2 2 2 2 2 4
1 2 1 1 1
𝑇 = 𝑚(ℓ𝜃̇ ) = 𝑚ሺ16𝑎2 ሻ𝜃̇ 2 𝑇 =
2
𝑚(ℓ𝜃̇ ) = 𝑚ℓ2 𝜃̇ 2
2 2 2 2
1 ℓ 2 1 1 2 1
𝐷 = 𝛼 ( 𝜃̇ ) = 𝛼ሺ4𝑎2 ሻ𝜃̇ 2 𝐷 = 𝛼(ℓ𝜃̇ ) = 𝛼ℓ2 𝜃̇ 2
2 2 2 2 2
𝑊 = 𝐹 ∙ ℓ𝜃 = 𝐹 ∙ 4𝑎𝜃 𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑎𝜃

𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐷 𝜕𝐿 𝜕𝑊 𝑑 𝜕𝑇 𝜕𝐷 𝜕𝑈 𝜕𝑊 𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐷 𝜕𝐿 𝜕𝑊 𝑑 𝜕𝑇 𝜕𝐷 𝜕𝑈
+ − = ⟹ + + = + − = ⟹ + +
𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃
𝜕𝑊
16𝑚𝑎2 𝜃̈ + 4𝛼𝑎2 𝜃̇ + ሺ𝑘𝑎2 + 4𝑚𝑔𝑎ሻ𝜃 = 4𝐹𝑎 =
𝜕𝜃
2 ̈ 2 ̇
ℓ2
𝑚ℓ 𝜃 + 𝛼ℓ 𝜃 + (𝑘 + 𝑚𝑔ℓ) 𝜃 = 𝐹𝑎
4
21
N. MAGHLAOUI
𝐹ሺ𝑡ሻ Système 9
Système 10
𝑚 𝛼
ℓ
ℓ 𝑂𝐴 = 𝑎, 𝑂𝐵 =
𝑚 2
A ℓ
B 𝐹ሺ𝑡ሻ
𝜃
𝑘 B 𝛼
𝑘 𝜃
ℓ
𝑂𝐴 = O B2
2 B1
A
O

1 ℓ 2 𝜃 2 1 ℓ2 1 𝜃2 1
𝑈 = 𝑘 ( 𝜃) − 𝑚𝑔ℓ = (𝑘 − 𝑚𝑔ℓ) 𝜃 2 𝑈 = 𝑘ሺ𝑎𝜃ሻ2 − 𝑚𝑔ℓ = ሺ𝑘𝑎2 − 𝑚𝑔ℓሻ𝜃 2
2 2 2 2 4 2 2 2

1 1 1 2 1
2
𝑇 = 𝑚(ℓ𝜃̇ ) = 𝑚ℓ2 𝜃̇ 2 𝑇 = 𝑚(ℓ𝜃̇ ) = 𝑚ℓ2 𝜃̇ 2
2 2 2 2

1 2 1 1 ℓ 2 1 ℓ2 2
𝐷 = 𝛼(ℓ𝜃̇ ) = 𝛼ℓ2 𝜃̇ 2 𝐷 = 𝛼 ( 𝜃̇ ) = 𝛼 𝜃̇
2 2 2 2 2 4

𝑊 = 𝐹 ∙ ℓ𝜃 ℓ
𝑊=𝐹∙ 𝜃
2
Equation de mouvement
𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐷 𝜕𝐿 𝜕𝑊 𝑑 𝜕𝑇 𝜕𝐷 𝜕𝑈 𝜕𝑊 Equation de mouvement
+ − = ⟹ + + = 𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐷 𝜕𝐿 𝜕𝑊 𝑑 𝜕𝑇 𝜕𝐷 𝜕𝑈 𝜕𝑊
̇
𝑑𝑡 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 𝜕𝜃 + − = ⟹ + + =
𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 𝜕𝜃
ℓ2
𝑚ℓ2 𝜃̈ + 𝛼ℓ2 𝜃̇ + (𝑘 − 𝑚𝑔ℓ) 𝜃 = 𝐹ℓ ℓ2 ℓ
4 𝑚ℓ2 𝜃̈ + 𝛼 𝜃̇ + ሺ𝑘𝑎2 − 𝑚𝑔ℓሻ𝜃 = 𝐹
4 2
22
N. MAGHLAOUI
𝐹ሺ𝑡ሻ
𝛼 k 𝛼
𝑚1 𝑚1
ℓ 𝑎
𝑂 𝑂
ℓ 𝑏
𝜃
k 𝜃
𝑚2 𝑚2
𝐹ሺ𝑡ሻ

1 𝜃2 𝜃2 1 𝜃2 𝜃2
𝑈= 𝑘ሺℓ𝜃ሻ2 − 𝑚1 𝑔ℓ + 𝑚2 𝑔ℓ 𝑈 = 𝑘ሺ𝑎𝜃ሻ2 − 𝑚1 𝑔𝑎 + 𝑚2 𝑔𝑏
2 2 2 2 2 2
1 1
= ሺ𝑘ℓ2 + 𝑚2 𝑔ℓ − 𝑚1 𝑔ℓሻ𝜃 2 = ሺ𝑘𝑎2 + 𝑚2 𝑔𝑏 − 𝑚1 𝑔𝑎ሻ𝜃 2
2 2
1 2 1 2 1 1 2 1 2
𝑇 = 𝑚1 (ℓ𝜃̇ ) + 𝑚2 (ℓ𝜃̇ ) = ሺ𝑚1 + 𝑚2 ሻℓ2 𝜃̇ 2 𝑇 = 𝑚1 (𝑎𝜃̇ ) + 𝑚2 (𝑏𝜃̇ )
2 2 2 2 2
1
= ሺ𝑚1 𝑎2 + 𝑚2 𝑏2 ሻ𝜃̇ 2
Fonction de dissipation 2
1 2 1
𝐷 = 𝛼(ℓ𝜃̇ ) = 𝛼ℓ2 𝜃̇ 2
2 2 Fonction de dissipation
1 2 1
𝐷 = 𝛼(𝑎𝜃̇ ) = 𝛼𝑎2 𝜃̇ 2
Travail de la force extérieure 2 2
𝑊 = 𝐹 ∙ ℓ𝜃
Travail de la force extérieure
Equation de mouvement 𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑏𝜃
𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐷 𝜕𝐿 𝜕𝑊 𝑑 𝜕𝑇 𝜕𝐷 𝜕𝑈
+ − = ⟹ + +
𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 Equation de mouvement
𝜕𝑊 𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐷 𝜕𝐿 𝜕𝑊 𝑑 𝜕𝑇 𝜕𝐷 𝜕𝑈 𝜕𝑊
= + − = ⟹ + + =
𝜕𝜃 𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 𝜕𝜃
ሺ𝑚1 + 𝑚2 ሻℓ2 𝜃̈ + 𝛼ℓ2 𝜃̇ + ሺ𝑘ℓ2 + 𝑚2 𝑔ℓ − 𝑚1 𝑔ℓሻ𝜃 ሺ𝑚1 𝑎2 + 𝑚2 𝑏2 ሻ𝜃̈ + 𝛼𝑎2 𝜃̇

= 𝐹ℓ + ሺ𝑘𝑎2 + 𝑚2 𝑔𝑏 − 𝑚1 𝑔𝑎ሻ𝜃 = 𝐹𝑏
23
N. MAGHLAOUI
𝑂𝑚1 = 𝑂𝑚2 = 𝑎, 𝑂𝐵 = 𝑏
k
𝑎 k
𝐹ሺ𝑡ሻ 𝑚2 𝐵
ℓ 𝑂
𝑚2
𝑂
𝜃 𝜃
𝑎 𝑚1
ℓ 𝑚1 𝐹ሺ𝑡ሻ
𝛼
Système 13 𝛼
Système 14

1 1 1 1
𝑈 = 𝑘ሺℓ𝜃ሻ2 = 𝑘ℓ2 𝜃 2 𝑈 = 𝑘ሺ𝑎𝜃ሻ2 = 𝑘𝑎2 𝜃 2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 1 2 1
𝑇 = 𝑚1 (ℓ𝜃̇) + 𝑚2 (ℓ𝜃̇) = ሺ𝑚1 + 𝑚2 ሻℓ2 𝜃̇ 2 𝑇 = 𝑚1 (𝑎𝜃̇ ) + 𝑚2 (𝑎𝜃̇ ) = ሺ𝑚1 + 𝑚2 ሻ𝑎2 𝜃̇ 2
2 2 2 2 2 2

1 2 1 1 2 1
𝐷 = 𝛼(ℓ𝜃̇ ) = 𝛼ℓ2 𝜃̇ 2 𝐷 = 𝛼(𝑏𝜃̇ ) = 𝛼𝑏 2 𝜃̇ 2
2 2 2 2
𝑊 = 𝐹 ∙ ℓ𝜃 𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑎𝜃

+ − = ⟹ + + = + − = ⟹ + + =
ሺ𝑚1 + 𝑚2 ሻℓ2 𝜃̈ + 𝛼ℓ2 𝜃̇ + 𝑘ℓ2 𝜃 = 𝐹ℓ ሺ𝑚1 + 𝑚2 ሻ𝑎2 𝜃̈ + 𝛼𝑏 2 𝜃̇ + 𝑘𝑎2 𝜃 = 𝐹𝑎
24
N. MAGHLAOUI
B3
𝛼
(𝑚,ℓ)
𝑂
𝑘
𝐴
B2 𝛼 B1 𝜃
B1 𝐴
θ 𝐹ሺ𝑡ሻ
𝑘
(𝑚 ℓ) 𝑂 B2
𝐹ሺ𝑡ሻ
𝑂𝐴 = 𝑎 𝑂𝐴 = 𝑎

1 ℓ 𝜃2 1 ℓ 1 ℓ 𝜃2 1 ℓ
𝑈 = 𝑘ሺ𝑎𝜃ሻ2 + 𝑚𝑔 = (𝑘𝑎2 + 𝑚𝑔 ) 𝜃 2 𝑈 = 𝑘ሺ𝑎𝜃ሻ2 − 𝑚𝑔 = (𝑘𝑎2 − 𝑚𝑔 ) 𝜃 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 ℓ2 1 ℓ2 2
𝑇 = 𝑚 𝜃̇ 2 𝑇 = 𝑚 𝜃̇
2 3 2 3

1 2 1 1 2 1
𝐷 = 𝛼(𝑎𝜃̇ ) = 𝛼𝑎2 𝜃̇ 2 𝐷 = 𝛼(ℓ𝜃̇ ) = 𝛼ℓ2 𝜃̇ 2
2 2 2 2

𝑊 = 𝐹 ∙ ℓ𝜃 𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑎𝜃

+ − = ⟹ + + = + − = ⟹ + + =
ℓ2 ℓ ℓ2 ℓ
𝑚 𝜃̈ + 𝛼𝑎2 𝜃̇ + (𝑘𝑎2 + 𝑚𝑔 ) 𝜃 = 𝐹ℓ 𝑚 𝜃̈ + 𝛼ℓ2 𝜃̇ + (𝑘𝑎2 − 𝑚𝑔 ) 𝜃 = 𝐹𝑎
3 2 3 2
25
N. MAGHLAOUI
B1
B1
𝑘 𝛼
𝑘 𝛼
𝑂 𝜃 𝑂 𝜃
𝐹ሺ𝑡ሻ 𝐴 𝐴 (m, ℓ)
(m, ℓ)
𝐹ሺ𝑡ሻ
B2 B2

1 1 1
𝑈 = 𝑘ሺ𝑎𝜃ሻ2 = 𝑘𝑎2 𝜃 2 𝑈 = 𝑘ሺ𝑎𝜃ሻ2
2 2 2
1 ℓ2 1 ℓ2 2
𝑇 = 𝑚 𝜃̇ 2 𝑇 = 𝑚 𝜃̇
2 3 2 3

1 2 1 1 2 1
𝐷 = 𝛼(ℓ𝜃̇ ) = 𝛼ℓ2 𝜃̇ 2 𝐷 = 𝛼(𝑎𝜃̇ ) = 𝛼𝑎2 𝜃̇ 2
2 2 2 2
𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑎𝜃 𝑊 = 𝐹 ∙ ℓ𝜃

+ − = ⟹ + + = + − = ⟹ + + =
ℓ2 ℓ2
𝑚 𝜃̈ + 𝛼ℓ2 𝜃̇ + 𝑘𝑎2 𝜃 = 𝐹𝑎 𝑚 𝜃̈ + 𝛼𝑎2 𝜃̇ + 𝑘𝑎2 𝜃 = 𝐹ℓ
3 3
26
N. MAGHLAOUI
B1 B1
𝑘1 𝑘1
𝑂 𝜃 𝑂 𝜃
𝐴 (m, ℓ) 𝐴 (m, ℓ)
𝛼 𝐹ሺ𝑡ሻ 𝛼
𝑘2 𝑘2
B2 B2
𝑠ሺ𝑡ሻ
Déplacement imposé 𝑠ሺ𝑡ሻ

1 1 1 1
𝑈 = ሺ𝑘1 + 𝑘2 ሻሺ𝑎𝜃ሻ2 = ሺ𝑘1 + 𝑘2 ሻ𝑎2 𝜃 2 𝑈 = 𝑘1 ሺ𝑎𝜃ሻ2 + 𝑘2 ሺ𝑠 − 𝑎𝜃ሻ2
2 2 2 2
1 ℓ2 1 ℓ2 2
𝑇 = 𝑚 𝜃̇ 2 𝑇 = 𝑚 𝜃̇
2 3 2 3

1 2 1 1 2
𝐷 = 𝛼(𝑎𝜃̇ ) = 𝛼𝑎2 𝜃̇ 2 𝐷 = 𝛼(𝑠̇ − 𝑎𝜃̇ )
2 2 2
Travail de la force extérieure Equation de mouvement
𝑊 = 𝐹 ∙ ℓ𝜃 𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐷 𝜕𝐿 𝑑 𝜕𝑇 𝜕𝐷 𝜕𝑈
+ − =0⟹ + + =0
𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃
𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐷 𝜕𝐿 𝜕𝑊 𝑑 𝜕𝑇 𝜕𝐷 𝜕𝑈 𝜕𝑊 ℓ2
+ − = ⟹ + + = 𝑚 𝜃̈ + 𝛼𝑎2 𝜃̇ + ሺ𝑘1 + 𝑘2 ሻ𝑎2 𝜃 = ሺ𝛼𝑠̇ + 𝑘2 𝑠ሻ𝑎
𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 𝜕𝜃 3
ℓ2
𝑚 𝜃̈ + 𝛼𝑎2 𝜃̇ + ሺ𝑘1 + 𝑘2 ሻ𝑎2 𝜃 = 𝐹ℓ
3
27
N. MAGHLAOUI
𝐹ሺ𝑡ሻ
ሺ𝑀, 𝑅ሻ ሺ𝑀, 𝑅ሻ
𝐹ሺ𝑡ሻ 𝑚 𝑚
𝑘 𝛼 𝑘
𝑦 𝑦
𝛼
𝑦 = 𝑅𝜃 𝑦 = 𝑅𝜃

1 1 1 1
𝑈 = 𝑘ሺ𝑅𝜃ሻ2 = 𝑘𝑦 2 𝑈 = 𝑘ሺ𝑅𝜃ሻ2 = 𝑘𝑦 2
2 2 2 2
1 1 𝑀𝑅 2 2 1 𝑀 1 1 𝑀𝑅 2 2 1 𝑀
𝑇 = 𝑚𝑦̇ + 2
𝜃̇ = (𝑚 + ) 𝑦̇ 2 𝑇 = 𝑚𝑦̇ + 2
𝜃̇ = (𝑚 + ) 𝑦̇ 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 1 2
𝐷 = 𝛼(𝑅𝜃̇ ) = 𝛼𝑦̇ 2 𝐷 = 𝛼𝑦̇
2 2 2
𝑊 =𝐹∙𝑦 𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑅𝜃 = 𝐹 ∙ 𝑦

+ − = ⟹ + + = + − = ⟹ + + =
𝑑𝑡 𝜕𝑦̇ 𝜕𝑦̇ 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝑑𝑡 𝜕𝑦̇ 𝜕𝑦̇ 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝑑𝑡 𝜕𝑦̇ 𝜕𝑦̇ 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝑑𝑡 𝜕𝑦̇ 𝜕𝑦̇ 𝜕𝑦 𝜕𝑦
𝑀 𝑀
(𝑚 + ) 𝑦̈ + 𝛼𝑦̇ + 𝑘𝑦 = 𝐹 (𝑚 + ) 𝑦̈ + 𝛼𝑦̇ + 𝑘𝑦 = 𝐹
2 2
28
N. MAGHLAOUI
Système 24
Système 23
𝐹ሺ𝑡ሻ
Poulie de masse négligeable
𝑘2 𝑘1
𝑠
𝑘 𝑚 𝐹ሺ𝑡ሻ m
𝑚 𝑦
𝑠
𝛼 𝑘3
𝛼
𝑠 = 𝑅𝜃 Energie potentielle
1
𝑈 = ሺ𝑘1 + 𝑘2 + 𝑘3 ሻ𝑦 2
Energie potentielle 2
1
𝑈 = 𝑘𝑠 2
2 Energie cinétique
1
𝑇 = 𝑚𝑦̇ 2
Energie cinétique 2
1
𝑇 = 2𝑚𝑠̇ 2
2 Fonction de dissipation
1 2
𝐷 = 𝛼𝑦̇
Fonction de dissipation 2
1 2
𝐷 = 𝛼𝑠̇
2 Travail de la force extérieure
𝑊 =𝐹∙𝑦
𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑅𝜃 = 𝐹 ∙ 𝑠 Equation de mouvement
𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐷 𝜕𝐿 𝑑 𝜕𝑇 𝜕𝐷 𝜕𝑈
+ − =0⟹ + + =0
Equation de mouvement 𝑑𝑡 𝜕𝑦̇ 𝜕𝑦̇ 𝜕𝑦 𝑑𝑡 𝜕𝑦̇ 𝜕𝑦̇ 𝜕𝑦
𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐷 𝜕𝐿 𝜕𝑊 𝑑 𝜕𝑇 𝜕𝐷 𝜕𝑈 𝜕𝑊
+ − = ⟹ + + =
𝑑𝑡 𝜕𝑠̇ 𝜕𝑠̇ 𝜕𝑠 𝜕𝑠 𝑑𝑡 𝜕𝑠̇ 𝜕𝑠̇ 𝜕𝑠 𝜕𝑠 𝑚𝑦̈ + 𝛼𝑦̇ + ሺ𝑘1 + 𝑘2 + 𝑘3 ሻ𝑦 = 𝐹
2𝑚𝑠̈ + 𝛼𝑠̇ + 𝑘𝑠 = 𝐹
29
N. MAGHLAOUI
𝛼
𝑘2
𝐹ሺ𝑡ሻ 𝐹ሺ𝑡ሻ
𝛼
𝑎 𝑘2
𝑘1 𝑏
𝑘1

1 1 1 1
𝑈= 𝑘1 ሺ𝑅𝜃 + 𝑎𝜃ሻ2 + 𝑘2 ሺ2𝑅𝜃ሻ2 𝑈= 𝑘1 ሺ𝑅𝜃 − 𝑏𝜃ሻ2 + 𝑘2 ሺ2𝑅𝜃ሻ2
2 2 2 2
1 1
= [𝑘 ሺ𝑅 + 𝑎ሻ2 + 4𝑘2 𝑅2 ]𝜃 2 = [𝑘 ሺ𝑅 − 𝑏ሻ2 + 4𝑘2 𝑅2 ]𝜃 2
2 1 2 1
13 13
𝑇 = 𝑀𝑅 2 𝜃̇ 2 𝑇 = 𝑀𝑅 2 𝜃̇ 2
22 22
1 2 1 1 2 1
𝐷 = 𝛼(2𝑅𝜃̇ ) = 4𝛼𝑅 2 𝜃̇ 2 𝐷 = 𝛼(𝑅𝜃̇ − 𝑏𝜃̇ ) = 𝛼ሺ𝑅 − 𝑏ሻ2 𝜃̇ 2
2 2 2 2
𝑊 = 𝐹 ∙ 2𝑅𝜃 𝑊 = 𝐹 ∙ 2𝑅𝜃

+ − = ⟹ + + = + − = ⟹ + + =
3 3
𝑀𝑅 2 𝜃̈ + 4𝛼𝑅 2 𝜃̇ + [𝑘1 ሺ𝑅 + 𝑎ሻ2 + 4𝑘2 𝑅2 ]𝜃 = 2𝐹𝑅 𝑀𝑅 2 𝜃̈ + 𝛼ሺ𝑅 − 𝑏ሻ2 𝜃̇ + [𝑘1 ሺ𝑅 − 𝑏ሻ2 + 4𝑘2 𝑅2 ]𝜃
2 2
= 2𝐹𝑅
30
N. MAGHLAOUI
𝐹ሺ𝑡ሻ 𝑘2 𝑘1 𝐹ሺ𝑡ሻ
𝛼 𝛼
𝑘2
𝑘1

1 1 1 1
𝑈= 𝑘1 ሺ𝑅𝜃ሻ2 + 𝑘2 ሺ2𝑅𝜃ሻ2 𝑈= 𝑘1 ሺ2𝑅𝜃ሻ2 + 𝑘2 ሺ𝑅𝜃ሻ2
2 2 2 2
1 1
= [𝑘 𝑅 2 + 4𝑘2 𝑅2 ]𝜃 2 = [4𝑘1 𝑅2 + 𝑘2 𝑅 2 ]𝜃 2
2 1 2
13 13
𝑇 = 𝑀𝑅 2 𝜃̇ 2 𝑇 = 𝑀𝑅 2 𝜃̇ 2
22 22
1 2 1 1 2 1
𝐷 = 𝛼(𝑅𝜃̇ ) = 𝛼𝑅 2 𝜃̇ 2 𝐷 = 𝛼(2𝑅𝜃̇ ) = 𝛼4𝑅 2 𝜃̇ 2
2 2 2 2
𝑊 = 𝐹 ∙ 2𝑅𝜃 𝑊 = 𝐹 ∙ 2𝑅𝜃

+ − = ⟹ + + = + − = ⟹ + + =
3 3
𝑀𝑅 2 𝜃̈ + 𝛼𝑅 2 𝜃̇ + [𝑘1 𝑅2 + 4𝑘2 𝑅2 ]𝜃 = 2𝐹𝑅 𝑀𝑅 2 𝜃̈ + 4𝛼𝑅 2 𝜃̇ + [4𝑘1 𝑅2 + 𝑘2 𝑅2 ]𝜃 = 2𝐹𝑅
2 2
31
N. MAGHLAOUI
Système 29 𝑠ሺ𝑡ሻ Système 30 𝑠ሺ𝑡ሻ
𝛼
𝑘2
𝛼
𝑎 𝑘2
𝑘1 𝑏
𝑘1

1 1 1 1
𝑈= 𝑘1 ሺ𝑅𝜃 + 𝑎𝜃ሻ2 + 𝑘2 ሺ2𝑅𝜃 − 𝑠ሻ2 𝑈= 𝑘1 ሺ𝑅𝜃 − 𝑏𝜃ሻ2 + 𝑘2 ሺ2𝑅𝜃 − 𝑠ሻ2
2 2 2 2
1 1 1 1
= 𝑘 ሺ𝑅 + 𝑎ሻ2 𝜃 2 + 𝑘2 ሺ2𝑅𝜃 − 𝑠ሻ2 = 𝑘 ሺ𝑅 − 𝑏ሻ2 𝜃 2 + 𝑘2 ሺ2𝑅𝜃 − 𝑠ሻ2
2 1 2 2 1 2
13 13
𝑇 = 𝑀𝑅 2 𝜃̇ 2 𝑇 = 𝑀𝑅 2 𝜃̇ 2
22 22
1 2 1 2 1
𝐷 = 𝛼(2𝑅𝜃̇ − 𝑠̇ ) 𝐷 = 𝛼(𝑅𝜃̇ − 𝑏𝜃̇ ) = 𝛼ሺ𝑅 − 𝑏ሻ2 𝜃̇ 2
2 2 2
+ − = ⟹ + + = + − = ⟹ + + =
̇
𝑑𝑡 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 𝜕𝜃 ̇
𝑑𝑡 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 𝜕𝜃
3 3
𝑀𝑅 2 𝜃̈ + 4𝛼𝑅 2 𝜃̇ + [𝑘1 ሺ𝑅 + 𝑎ሻ2 + 4𝑘2 𝑅2 ]𝜃 𝑀𝑅 2 𝜃̈ + 𝛼ሺ𝑅 − 𝑏ሻ2 𝜃̇ + [𝑘1 ሺ𝑅 − 𝑏ሻ2 + 4𝑘2 𝑅2 ]𝜃
2 2
= 2𝑅ሺ𝛼𝑠̇ + 𝑘2 𝑠ሻ = 2𝑘2 𝑅𝑠
32
N. MAGHLAOUI
Système 31
y y y'
𝑘1 𝑘1
A A
B1 B1
𝑘2
𝑘2
C B2 C B2
(𝑀,𝑅)
(𝑀,𝑅)
𝐺 𝑥 𝐺 𝐺′ 𝑥
(𝑚, 2ℓ) 𝜃
B (𝑚, 2ℓ)
B
(31.a): Système en équilibre (31.b) : Système en oscillation
Système 32
𝑘1 y
A
𝑘2
ሬሬሬሬሬሬ⃗
𝐺𝐺′
𝐶 𝐵2
'
𝐵1 x
𝛼 G G'
ሺ𝑚, 2ℓሻ
𝜃
B
𝐹ሺ𝑡ሻ = 𝐹0 𝑒 𝑖𝜔𝑡
33
N. MAGHLAOUI

1 1 1 1
𝑈= 𝑘1 ሺ𝑅𝜃 + ℓ𝜃ሻ2 + 𝑘2 ሺ2𝑅𝜃ሻ2 𝑈= 𝑘1 ሺ𝑅𝜃 + ℓ𝜃ሻ2 + 𝑘2 ሺ2𝑅𝜃ሻ2
2 2 2 2
1 1 1 1
= 𝑘 ሺ𝑅 + ℓሻ2 𝜃 2 + 𝑘2 4𝑅2 𝜃 2 = 𝑘 ሺ𝑅 + ℓሻ2 𝜃 2 + 𝑘2 4𝑅2 𝜃 2
2 1 2 2 1 2

13 1 1 1 13 1 1 1
𝑇= 𝑀𝑅 2 𝜃̇ 2 + 𝑚ሺ2ℓሻ2 𝜃̇ 2 + 𝑚𝑅 2 𝜃̇ 2 𝑇= 𝑀𝑅 2 𝜃̇ 2 + 𝑚ሺ2ℓሻ2 𝜃̇ 2 + 𝑚𝑅 2 𝜃̇ 2
22 2 12 2 22 2 12 2
1 3 1 1 3 1
= [ 𝑀𝑅 2 + ( 𝑚ℓ2 + 𝑚𝑅 2 )] 𝜃̇ 2 = [ 𝑀𝑅 2 + ( 𝑚ℓ2 + 𝑚𝑅 2 )] 𝜃̇ 2
2 2 3 2 2 3
Equation de mouvement Fonction de dissipation

𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿 𝑑 𝜕𝑇 𝜕𝑈 1 2 1
− =0⟹ + =0 𝐷 = 𝛼(𝑅𝜃̇ ) = 𝛼𝑅 2 𝜃̇ 2
𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 2 2
3 𝑚ℓ2 Travail de la force extérieure

[ 𝑀𝑅 2 + ( + 𝑚𝑅 2 )] 𝜃̈
2 3
𝑊 = 𝐹 ∙ ሺ𝑅 − ℓሻ𝜃
+ [𝑘1 ሺ𝑅 + ℓሻ2 + 4𝑘2 𝑅2 ]𝜃 = 0
𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐷 𝜕𝐿 𝜕𝑊 𝑑 𝜕𝑇 𝜕𝐷 𝜕𝑈 𝜕𝑊
+ − = ⟹ + + =
̇
𝑑𝑡 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 𝜕𝜃
3 𝑚ℓ2
[ 𝑀𝑅 2 + ( + 𝑚𝑅 2 )] 𝜃̈ + 𝛼𝑅 2 𝜃̇
2 3
+ [𝑘1 ሺ𝑅 + ℓሻ2 + 4𝑘2 𝑅2 ]𝜃
= 𝐹 ∙ ሺ𝑅 − ℓሻ
34
N. MAGHLAOUI
m
θ
𝑘/4 𝑠ሺ𝑡ሻ ℓ 𝑘/4
(M, R) 𝐹ሺ𝑡ሻ
O 𝑂’ x O 𝑂’ x
𝛼 B 𝛼 B
ሺ𝑀, 𝑅ሻ
ℓ
θ
m
y y

1𝑘 𝜃2 1𝑘 𝜃2
𝑈= ሺ2𝑅𝜃 − 𝑠ሻ2 + 𝑚𝑔ℓ 𝑈= ሺ2𝑅𝜃ሻ2 − 𝑚𝑔ℓ
24 2 24 2
1
Energie cinétique = ሺ𝑘𝑅 2 − 𝑚𝑔ℓሻ𝜃 2
2
1 3
𝑇= [ 𝑀𝑅 2 + 𝑚ሺ𝑅 − ℓሻ2 ] 𝜃̇ 2
2 2 Energie cinétique
1 3
Fonction de dissipation 𝑇= [ 𝑀𝑅 2 + 𝑚ሺ𝑅 + ℓሻ2 ] 𝜃̇ 2
2 2
1 2
𝐷 = 𝛼(𝑅𝜃̇ − 𝑠̇ )
2 Fonction de dissipation
1 2 1
Equation de mouvement 𝐷 = 𝛼(𝑅𝜃̇ ) = 𝛼𝑅 2 𝜃̇ 2
2 2
𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐷 𝜕𝐿 𝑑 𝜕𝑇 𝜕𝐷 𝜕𝑈
+ − =0⟹ + + =0
̇
𝑑𝑡 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜃 ̇ 𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 Travail de la force extérieure
𝑊 = 𝐹 ∙ 2𝑅𝜃
3
[ 𝑀𝑅 2 + 𝑚ሺ𝑅 − ℓሻ2 ] 𝜃̈ + 𝛼𝑅 2 𝜃̇ + [𝑘𝑅 2 + 𝑚𝑔ℓ]𝜃
2 Equation de mouvement
𝑘 𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐷 𝜕𝐿 𝜕𝑊 𝑑 𝜕𝑇 𝜕𝐷 𝜕𝑈 𝜕𝑊
= 𝑅 (𝛼𝑠̇ + 𝑠) + − = ⟹ + + =
2 ̇
𝑑𝑡 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 𝜕𝜃
3
[ 𝑀𝑅 2 + 𝑚ሺ𝑅 + ℓሻ2 ] 𝜃̈ + 𝛼𝑅 2 𝜃̇ + [𝑘𝑅 2 − 𝑚𝑔ℓ]𝜃
2
= 2𝐹𝑅
35
N. MAGHLAOUI
y
𝐴
𝐵2
𝜃
𝑘
𝐺𝐺′ 𝑘
𝐹ሺ𝑡ሻ ሺ𝑚, ℓሻ
𝐴 𝐵2
𝐵1 𝐵1 x x
G G' G'
𝛼 𝛼 G
ሺ𝑚, ℓሻ 𝜃
𝐺𝐺′
𝑖𝜔𝑡 B
𝐹ሺ𝑡ሻ = 𝐹0 𝑒

1 1 ℓ
𝑈= 𝑘ሺ2𝑅𝜃ሻ2 + 𝑚𝑔 𝜃 2 1 1 ℓ
2 2 2 𝑈= 𝑘ሺ𝑅𝜃 + ℓ𝜃ሻ2 − 𝑚𝑔 𝜃 2
1 2
ℓ 2 2 2 2
= (4𝑘𝑅 + 𝑚𝑔 ) 𝜃 1 ℓ 2
2 2 = 2
[𝑘ሺ𝑅 + ℓሻ − 𝑚𝑔 ] 𝜃
2 2
Energie cinétique
13 2 ̇2
1 1 1 ℓ 2 Energie cinétique
𝑇 = 𝑀𝑅 𝜃 + 𝑚ℓ 𝜃 + 𝑚 (𝑅𝜃 − 𝜃̇ )
2 ̇2 ̇
13 1 1 1 ℓ 2
22 2 12 2 2 𝑇 = 2 ̇2
𝑀𝑅 𝜃 + 𝑚ℓ 𝜃 + 𝑚 (𝑅𝜃 + 𝜃̇ )
2 ̇2 ̇
2 22 2 12 2 2
1 3 1 ℓ
= [ 𝑀𝑅 2 + 𝑚ℓ2 + 𝑚 (𝑅 − ) ] 𝜃̇ 2 1 3 1 ℓ 2
2 2 12 2 = [ 𝑀𝑅 2 + 𝑚ℓ2 + 𝑚 (𝑅 + ) ] 𝜃̇ 2
2 2 12 2
Fonction de dissipation
1 2 1 Fonction de dissipation
𝐷 = 𝛼(𝑅𝜃̇ ) = 𝛼𝑅 2 𝜃̇ 2 1 1
2 2 2
𝐷 = 𝛼(𝑅𝜃̇ ) = 𝛼𝑅 2 𝜃̇ 2
2 2
𝑊 = 𝐹 ∙ ሺ𝑅 − ℓሻ𝜃 Travail de la force extérieure
Equation de mouvement 𝑊 = 𝐹 ∙ 2𝑅𝜃

𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐷 𝜕𝐿 𝜕𝑊 𝑑 𝜕𝑇 𝜕𝐷 𝜕𝑈 𝜕𝑊
+ − = ⟹ + + =
̇
𝑑𝑡 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 𝜕𝜃 Equation de mouvement
𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐷 𝜕𝐿 𝜕𝑊 𝑑 𝜕𝑇 𝜕𝐷 𝜕𝑈 𝜕𝑊
+ − = ⟹ + + =
3 1 ℓ 2 𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 𝜕𝜃
[ 𝑀𝑅 2 + 𝑚ℓ2 + 𝑚 (𝑅 − ) ] 𝜃̈ + 𝛼𝑅 2 𝜃̇
2 12 2
ℓ 3 1 ℓ 2
+ (4𝑘𝑅 2 + 𝑚𝑔 ) 𝜃 = 𝐹 ∙ ሺ𝑅 − ℓሻ [ 𝑀𝑅 2 + 𝑚ℓ2 + 𝑚 (𝑅 + ) ] 𝜃̈ + 𝛼𝑅 2 𝜃̇
2 2 12 2
ℓ
+ [𝑘ሺ𝑅 + ℓሻ2 − 𝑚𝑔 ] 𝜃 = 2𝐹𝑅
2
36
N. MAGHLAOUI
Oscillations libres puis forcées
des systèmes à 2 degrés de
liberté
37
N. MAGHLAOUI
Résumé de cours
1. Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté
Ces systèmes nécessitent 2 coordonnées généralisées pour connaitre leurs positions.
Exemple
(1) (2) (3)

𝑥
k0 k
l1 𝑀 𝑚1
𝑘1
𝜃1 θ
l
𝑚1 𝑥1 𝑚1
l2 O
𝑘2 𝜃2
𝑚2
l
𝑚2 𝑥2 θ
𝑚2
Coordonnée généralisées Coordonnées généralisées Coordonnées généralisées

𝑥ሺ𝑡ሻ et 𝑥2 ሺ𝑡ሻ 𝜃1 ሺ𝑡ሻ et 𝜃2 ሺ𝑡ሻ 𝑥ሺ𝑡ሻ et 𝜃ሺ𝑡ሻ
Il y a autant d’équations de Lagrange que de coordonnées généralisées. Dans le cas d’un système à 2
degrés de liberté, soumis à des forces qui dérivent d’un potentiel et en absence de tout frottement nous
avons 2 équations de Lagrange :
− =0
𝑑𝑡 𝜕𝑞̇ 1 𝜕𝑞1
− =0
{𝑑𝑡 𝜕𝑞̇ 2 𝜕𝑞2
Dans la suite du cours, nous considérerons le système suivant (Figure 1) :
x1 x2
k0
k k
Figure 1
m m
Nous négligeons tout frottement.
Les énergies cinétiques et potentielles sont respectivement :

1
𝑇 = 𝑚ሺ𝑥̇ 12 + 𝑥̇ 22 ሻ
2
38
N. MAGHLAOUI
1
𝑈= [𝑘𝑥12 + 𝑘𝑥22 + 𝑘0 ሺ𝑥2 − 𝑥1 ሻ2 ]
2
Les équations du mouvement sont :
𝑚𝑥̈ + ሺ𝑘 + 𝑘0 ሻ𝑥1 − 𝑘0 𝑥2 = 0
{ 1
𝑚𝑥̈ 2 + ሺ𝑘 + 𝑘0 ሻ𝑥2 − 𝑘0 𝑥1 = 0
Les solutions s’écrivent :
𝑥1 = 𝐴1 𝑒 𝑖𝜔𝑡 et 𝑥2 = 𝐴2 𝑒 𝑖𝜔𝑡
En injectant dans l’équation précédente :
ሺ−𝑚𝜔2 + 𝑘 + 𝑘0 ሻ𝐴1 − 𝑘0 𝐴2 = 0
{
ሺ−𝑚𝜔2 + 𝑘 + 𝑘0 ሻ𝐴2 − 𝑘0 𝐴1 = 0
qui s’écrit :
−𝑚𝜔2 + 𝑘 + 𝑘0 −𝑘0 𝐴
[ ] [ 1] = 0
−𝑘0 −𝑚𝜔 + 𝑘 + 𝑘0 𝐴2
2
Pour que ce système admette des solutions non triviales, il faut que le déterminant de la matrice soit nul :
−𝑚𝜔2 + 𝑘 + 𝑘0 −𝑘0
Δ=| 2 |=0
−𝑘0 −𝑚𝜔 + 𝑘 + 𝑘0
ሺ𝑘 + 𝑘0 − 𝑚𝜔2 ሻ2 − 𝑘02 = 0 ⟹ ሺ𝑘 − 𝑚𝜔2 ሻሺ𝑘 + 2𝑘0 − 𝑚𝜔2 ሻ = 0
Les solutions sont :

𝑘 𝑘 + 2𝑘0
𝜔1 = √ , 𝜔2 = √
𝑚 𝑚
𝜔1 et 𝜔2 sont les pulsations propres. Il y a autant de pulsations que de degrés de liberté.
La solution générale est donc une combinaison de deux modes :

𝑥 = 𝐴11 cosሺ𝜔1 𝑡 + 𝜑1 ሻ + 𝐴12 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑2 ሻ
{ 1
𝑥2 = 𝐴21 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔1 𝑡 + 𝜑1 ሻ + 𝐴22 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑2 ሻ
Les constantes 𝐴𝑖𝑗 et 𝜑𝑗 sont déterminés à partir des conditions initiales. Le premier indice se réfère à la
coordonnée et le second à la pulsation.
Nous avons quatre conditions pour six inconnues. Les amplitudes dans chaque mode sont liées par des
relations que nous appelons rapports d’amplitudes.
mode 1 ሺ𝝎 = 𝝎𝟏 ሻ :
𝑥1 = 𝐴11 cosሺ𝜔1 𝑡 + 𝜑1 ሻ
{
𝑥2 = 𝐴21 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔1 𝑡 + 𝜑1 ሻ
Elles satisfont aux équations du mouvement :

ሺ−𝑚𝜔12 + 𝑘 + 𝑘0 ሻ𝐴11 − 𝑘0 𝐴21 = 0
Nous remplaçons 𝜔12 par son expression, pour trouver le premier rapport :
𝐴21
=1
𝐴11
39
N. MAGHLAOUI
mode 2 ሺ𝝎 = 𝝎𝟐 ሻ :
𝑥1 = 𝐴12 cosሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑2 ሻ
{
𝑥2 = 𝐴22 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑2 ሻ
Elles satisfont aux équations du mouvement :
ሺ−𝑚𝜔22 + 𝑘 + 𝑘0 ሻ𝐴12 − 𝑘0 𝐴22 = 0
Nous remplaçons 𝜔22 par son expression, pour trouver le premier rapport :
𝐴22
= −1
𝐴12
Ce rapport permet d’écrire la solution générale comme suit :
𝑥 = 𝐴11 cosሺ𝜔1 𝑡 + 𝜑1 ሻ + 𝐴12 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑2 ሻ
{ 1
𝑥2 = 𝐴11 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔1 𝑡 + 𝜑1 ሻ − 𝐴12 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑2 ሻ
A partir des conditions initiales nous pouvons déterminer les constantes 𝐴11 , 𝐴12 , 𝜑1 et 𝜑2
Cas 1 (𝑥1 ሺ0ሻ = 𝑥2 ሺ0ሻ = 𝑎 et 𝑥̇ 1 ሺ0ሻ = 𝑥̇ 2 ሺ0ሻ = 0)

Ces conditions donnent :
𝑥1 ሺ𝑡ሻ = 𝑥2 ሺ𝑡ሻ = 𝑎 cosሺ𝜔1 𝑡ሻ
a
1
0
x
-a
temps (s)
a
2
0
x
-a
temps (s)
Figure 2
Le système oscille dans le mode 1 et les deux masses sont en phase (Figure 2).
Cas 2 (𝑥1 ሺ0ሻ = −𝑥2 ሺ0ሻ = 𝑎 et 𝑥̇ 1 ሺ0ሻ = 𝑥̇ 2 ሺ0ሻ = 0)

𝑥1 ሺ𝑡ሻ = −𝑥2 ሺ𝑡ሻ = 𝑎 cosሺ𝜔2 𝑡ሻ
Dans ce cas, le système oscille dans le mode 2 et les deux masses sont en opposition de phase (Figure 3).
a
1
0
x
-a
temps (s)
a
2
0
x
-a
temps (s)
Figure 3
40
N. MAGHLAOUI
Cas 3 (𝑥1 ሺ0ሻ = 𝑎, 𝑥2 ሺ0ሻ = 0 et 𝑥̇ 1 ሺ0ሻ = 𝑥̇ 2 ሺ0ሻ = 0)
𝜔2 − 𝜔1 𝜔1 + 𝜔2
𝑥1 ሺ𝑡ሻ = 𝑎 cos [( ) 𝑡] cos [( ) 𝑡]
2 2
𝜔2 − 𝜔1 𝜔1 + 𝜔2
𝑥1 ሺ𝑡ሻ = 𝑎 sin [( ) 𝑡] sin [( ) 𝑡]
2 2
a
1
x
-a
temps (s)
a
2
x
-a
temps (s)
Figure 4
Nous appelons ce mode d’oscillation, le mode battement. Ce mode existe dans le cas des faibles valeurs
de couplage (𝑘0 faible).
2. Oscillations forcées de systèmes à 2 degrés de liberté

Dans le cas d’un système forcé à 2 degrés de liberté, soumis à des forces qui dérivent d’un potentiel
et à des forces de frottement proportionnelles à la vitesse les équations de Lagrange s’écrivent :
𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿 𝜕𝐷 𝜕𝑊
− + =
𝑑𝑡 𝜕𝑞̇ 1 𝜕𝑞1 𝜕𝑞̇ 1 𝜕𝑞1
𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿 𝜕𝐷 𝜕𝑊
− + =
{𝑑𝑡 𝜕𝑞̇ 2 𝜕𝑞2 𝜕𝑞̇ 2 𝜕𝑞2
𝑊 représente la somme des travaux des forces extérieurs.
Soit le système mécanique de la figure (5).
𝐹ሺ𝑡ሻ
𝛼 k0
k 𝑘
Figure 5
m m
x1 x2
Les énergies cinétiques et potentielles sont :

1
𝑇= 𝑚ሺ𝑥̇ 12 + 𝑥̇ 22 ሻ
2
1
𝑈= [𝑘𝑥12 + 𝑘𝑥22 + 𝑘0 ሺ𝑥2 − 𝑥1 ሻ2 ]
2
La fonction de dissipation :
1
𝐷 = 𝛼𝑥̇ 12
2
Le travail effectué par la force 𝐹ሺ𝑡ሻ le long d’un déplacement 𝑥1 est :
𝑊 = 𝐹ሺ𝑡ሻ𝑥1 ሺ𝑡ሻ
41
N. MAGHLAOUI
Dans le cas d’une force sinusoïdale d’amplitude 𝐹0 et de pulsation 𝜔 : 𝐹ሺ𝑡ሻ = 𝐹0 𝑒 𝑖𝜔𝑡
Les équations de Lagrange s’écrivent :
𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿 𝜕𝐷 𝜕𝑊
− + =
𝑑𝑡 𝜕𝑥̇ 1 𝜕𝑥1 𝜕𝑥̇ 1 𝜕𝑥1 𝑚𝑥̈ + 𝛼𝑥̇ 1 + ሺ𝑘 + 𝑘0 ሻ𝑥1 − 𝑘0 𝑥2 = 𝐹
⟹{ 1
𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿 𝜕𝐷 𝜕𝑊 𝑚𝑥̈ 2 + ሺ𝑘 + 𝑘0 ሻ𝑥2 − 𝑘0 𝑥1 = 0
− + =
{𝑑𝑡 𝜕𝑥̇ 2 𝜕𝑞2 𝜕𝑥̇ 2 𝜕𝑥2
Dans le régime permanent les solutions s’écrivent :
𝑥1 ሺ𝑡ሻ = 𝐴𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡+𝜑1ሻ et 𝑥2 ሺ𝑡ሻ = 𝐵𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡+𝜑2ሻ
Nous avons donc :
𝑥̇ 1 = 𝑖𝜔𝑥1 , 𝑥̈ 1 = 𝑖𝜔𝑥̇ 1 , 𝑥̇ 2 = 𝑖𝜔𝑥2 et 𝑥̈ 2 = 𝑖𝜔𝑥̇ 2
En remplaçant dans le système d’équation :
[−𝑚𝜔2 + 𝑘 + 𝑘0 + 𝑖𝛼𝜔]𝑥1 − 𝑘0 𝑥2 = 𝐹
{
[−𝑚𝜔2 + 𝑘 + 𝑘0 ]𝑥2 − 𝑘0 𝑥1 = 0
Finalement :
ሺ−𝑚𝜔2 + 𝑘 + 𝑘0 ሻ
𝑥1 = 𝐹 [ ]
ሺ−𝑚𝜔 2 + 𝑘 + 𝑘0 ሻ2 − 𝑘02 + 𝑖𝛼𝜔ሺ−𝑚𝜔 2 + 𝑘 + 𝑘0 ሻ
𝑘0
𝑥2 = 𝐹 [ 2 ]
ሺ−𝑚𝜔 + 𝑘 + 𝑘0 ሻ − 𝑘0 + 𝑖𝛼𝜔ሺ−𝑚𝜔 2 + 𝑘 + 𝑘0 ሻ
2 2
Nous obtenons les pulsations de résonance

𝑘 𝑘 + 2𝑘0
𝜔𝑟1 = √ , 𝜔𝑟2 = √
𝑚 𝑚
La pulsation d’antirésonance
𝑘 + 𝑘0
𝜔𝑎 = √
𝑚
Nous obtenons deux résonances et une antirésonance caractérisée par un déplacement nul.
Nous définissons l’impédance d’entrée comme le rapport suivant :
𝐹 ሺ−𝑚𝜔2 + 𝑘 + 𝑘0 ሻ2 − 𝑘02
𝑍𝑒 = =𝛼−𝑖
𝑥̇ 1 𝜔ሺ−𝑚𝜔 2 + 𝑘 + 𝑘0 ሻ
x1
   
1 a 2
Figure 5
A la résonance l’impédance est minimale 𝑍𝑒 = 𝛼.
42
N. MAGHLAOUI
En absence d’amortissement, l’amplitude est infinie (Figure 6). A l’antirésonance l’impédance est
infinie (Figure 7).
1
x
   
1 a 2
Figure 6
Ze
1 a 2 
Figure 7
43
N. MAGHLAOUI
Exercices et problèmes corrigés
44
N. MAGHLAOUI
Exercice 1
La masse m de la figure ci-contre est fixée à l’extrémité d’une

tige rigide sans masse et longueur l. La tige est soudée à un (M,R)
cylindre homogène de masse M et de rayon R. Le cylindre O’
O
peut rouler sans glissement sur un support horizontal. A
x
l’équilibre, la tige est verticale suivant l’axe Oy (Figure 1) .
1. Quel est le déplacement du centre de masse OO’ du
cylindre ? l
θ
2. Quel est le déplacement latéral de la masse m du pendule
ainsi que son déplacement vertical ? 𝑚
3. Calculer l’énergie cinétique, quelles doivent être les y
approximations pour obtenir une expression quadratique de Figure 1
cette énergie ?
4. Déterminer l’énergie potentielle, déduire l’expression du
lagrangien ainsi que l’équation de Lagrange, quelle est la
pulsation ω0 et l’élongation θ(t) solution du système ?
Déterminer la vitesse de rotation de la masse m lors de son
passage par la verticale.
Solution
1. le déplacement OO’ : 𝑥⃗𝑂 = 𝑅𝜃 𝑒⃗𝑥 .
2. Le déplacement de la masse M :
ሬሬሬሬሬሬሬሬ⃗ 𝑅𝜃 − 𝑙 sin 𝜃
𝑚𝑚′ = {
−𝑙ሺ1 − cos 𝜃ሻ
3. L’énergie cinétique du système :
𝑇 = 𝑇𝑀 + 𝑇𝑚
avec :
3
𝑇𝑀 = 𝑇𝑟𝑜𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 + 𝑇𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 = 𝑀𝑅 2 𝜃̇ 2
4
1
𝑇𝑚 = 𝑚ሺ𝑅 − 𝑙ሻ2 𝜃̇ 2
2
Approximations : cos 𝜃 = 1 et sin 𝜃 = 0.
4. L’énergie potentielle du système :
𝜃2
𝑈 = 𝑚𝑔𝑙ሺ1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃ሻ ≈ 𝑚𝑔𝑙
2
Le Lagrangien du système :
45
N. MAGHLAOUI
3 2 ̇2
1 2 ̇2
𝜃2
𝐿 = 𝑇 − 𝑈 = 𝑀𝑅 𝜃 + 𝑚ሺ𝑅 − 𝑙ሻ 𝜃 − 𝑚𝑔𝑙
4 2 2
L’équation de mouvement s’écrit :
𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿 3
( )− = 0 ⟹ [ 𝑀𝑅 2 + 𝑚ሺ𝑅 − 𝑙ሻ2 ] 𝜃̈ + 𝑚𝑔𝑙𝜃 = 0
𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 2
La solution de cette équation est :
𝜃ሺ𝑡ሻ = 𝐴 cosሺ𝜔0 𝑡 + 𝜑ሻ
avec :
𝑚𝑔𝑙
𝜔0 = √
3 2 2
2 𝑀𝑅 + 𝑚ሺ𝑅 − 𝑙ሻ
qui représente la pulsation propre.
La vitesse de rotation lors du passage de la masse 𝑚 par la verticale 𝜃̇ = ±𝜔0 𝐴.
Exercice 2
𝑠ሺ𝑡ሻ 𝑥
𝛼
A 𝑚
ሺ𝑀, 𝑅ሻ
Figure 2
𝐾
On considère le dispositif mécanique ci-dessus constitué d'une masse 𝑚 qui glisse sans frottement sur
un plan horizontal. Le déplacement horizontal de la masse 𝑚 par rapport à sa position d'équilibre est noté
𝑥. Un côté de cette masse est relié à un bâti 𝐴 par l'intermédiaire d'un amortisseur de coefficient de
frottement visqueux 𝛼; ce bâti peut effectuer des oscillations horizontales autour de la position d'équilibre
représentées par la fonction 𝑠ሺ𝑡ሻ. L'autre côté de la masse est fixé à un ressort de raideur 𝐾 par un fil
inextensible et de masse négligeable, qui s'enroule sans glissement sur une poulie cylindrique, de masse
𝑀𝑅 2
𝑀 et de rayon 𝑅 (Figure 2). On donne le moment d'inertie de la poulie par rapport à son axe : 𝐼 = .
2
A. Le bâti 𝐴 est fixe 𝑠ሺ𝑡ሻ = 0 :
1. Montrer que l'équation différentielle du mouvement s'écrit :

𝑥̈ + 2𝛿𝑥̇ + 𝜔02 𝑥 = 0
Donner les expressions de 𝛿 et 𝜔0 en fonction de α, m, M et 𝐾.
46
N. MAGHLAOUI
2. Donner l'expression mathématique de 𝑥 = 𝑓ሺ𝑡ሻ dans le cas particulier où 𝛿 = 𝜔0 et pour les
conditions initiales suivantes : 𝑥ሺ𝑡 = 0ሻ = 𝑥0 et 𝑥̇ ሺ𝑡 = 0ሻ = 0.
B. Le bâti 𝐴 subit un déplacement horizontal donné par : 𝑠ሺ𝑡ሻ = 𝑆0 sinሺ𝜔𝑡ሻ :
1. Montrer que l'équation différentielle du mouvement pour 𝑥 s'écrit :
𝑥̈ + 2𝛿𝑥̇ + 𝜔02 𝑥 = 𝛽𝜔𝑆0 cosሺ𝜔𝑡ሻ
Donner l'expression de 𝛽 en fonction de α, m et M.
2. Calculer l'amplitude et la phase des oscillations de la masse 𝑚 en régime permanent sinusoïdal.
3. Pour quelle pulsation observe-t-on un phénomène de résonnance pour 𝑥 ?
Solution
A. Le bâti est fixe :
1. Les énergies cinétiques, potentielles ainsi que la fonction de transfert sont :
1 𝑀 1 1
𝑇= (𝑚 + ) 𝑥̇ 2 , 𝑈 = 𝐾𝑥 2 , 𝐷 = 𝛼𝑥̇ 2
2 2 2 2
ce qui donne :
𝑥̈ + 2𝛿𝑥̇ + 𝜔02 𝑥 = 0
avec :
𝛼 𝐾
𝛿= , 𝜔02 =
𝑀 𝑀
2 ( 2 + 𝑚) ( 2 + 𝑚)
2. La solution générales dans le cas particulier où 𝛿 = 𝜔0 est donnée par :
𝑥 = ሺ𝐴 + 𝐵𝑡ሻ𝑒 −𝛿𝑡
A partir de conditions initiales nous obtenons : 𝐴 = 𝑥0 et 𝐵 = 𝛿𝑥0 .
B. Le bâti est en mouvement :

Les énergies :
1 𝑀 1 1
𝑇= (𝑚 + ) 𝑥̇ 2 , 𝑈 = 𝐾𝑥 2 , 𝐷 = 𝛼ሺ𝑥̇ − 𝑠̇ ሻ2
2 2 2 2
L’équation du mouvement :
𝑥̈ + 2𝛿𝑥̇ + 𝜔02 𝑥 = 𝛽𝜔𝑆0 𝑒 𝑗𝜔𝑡
𝛼
𝛽=𝑗
𝑀
( 2 + 𝑚)
2. La solution 𝑥 :
𝑥 = 𝑥0 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡+𝜑ሻ
47
N. MAGHLAOUI
avec :
|𝛽|𝜔𝑆0 𝜋 2𝛿𝜔
𝑥0 = ,𝜑 = − Arctg ( 2 )
√ሺ𝜔 2 − 𝜔02 ሻ2 + 4𝛿 2 𝜔 2 2 𝜔0 − 𝜔 2
3. La pulsation de résonance est : 𝜔𝑟 = 𝜔0
Exercice 3
Dans la figure 3, 𝑀 et 𝑅 représentent, respectivement, la masse et le rayon de la poulie. x1 et x2 représentent
les écarts des deux masses par rapport à leur position d’équilibre. Le système sera étudié en régime
permanent avec :𝐹ሺ𝑡ሻ = 𝐹0 cosሺω𝑡ሻ.
F(t)
k1
m1 (M, R)
α
x1
k0
m2
x2
k2
Figure 3
1. Déterminer les énergies cinétique et potentielle, la fonction de dissipation et le potentiel généralisé
du système puis déduire les équations différentielles du mouvement .
2. Ecrire les équations aux vitesses (en fonction de 𝑥̇ 1 ሺ𝑡ሻ et 𝑥̇ 2 ሺ𝑡ሻ.
3. En déduire les équations du circuit électrique équivalent et donner le schéma électrique équivalent
dans l’analogie force tension.
4. Calculer l'impédance d'entrée du système électrique.
5. Pour quelle pulsation a-t-on le phénomène d'antirésonance?
Solution
1. Les énergies :
1 𝑀 1 1 1 2
𝑇 = (𝑚1 + ) 𝑥̇ 12 + 𝑚2 𝑥̇ 22 , 𝑈 = [𝑘1 𝑥12 + 𝑘2 𝑥22 + 𝑘0 ሺ𝑥2 − 𝑥1 ሻ2 ] , 𝐷= 𝛼𝑥̇
2 2 2 2 2 1
Le travail de la force extérieure est : 𝑈𝑔 = 𝐹𝑥1
Les équations de mouvement sont :
48
N. MAGHLAOUI
𝑀
(𝑚1 + ) 𝑥̈ 1 + 𝛼𝑥̇ 1 + 𝑘1 𝑥1 + 𝑘0 ሺ𝑥1 − 𝑥2 ሻ = 𝐹
{ 2
𝑚2 𝑥̈ 2 + 𝑘2 𝑥2 + 𝑘0 ሺ𝑥2 − 𝑥1 ሻ = 0
2. Les équations aux vitesses :

𝑀 𝑘1 𝑘0
𝑗𝜔 (𝑚1 + ) 𝑥̇ 1 + 𝛼𝑥̇ 1 + 𝑥̇ 1 + ሺ𝑥̇ 1 − 𝑥̇ 2 ሻ = 𝐹
2 𝑗𝜔 𝑗𝜔
𝑘2 𝑘0
𝑗𝜔𝑚2 𝑥̇ 2 + 𝑥̇ 2 + ሺ𝑥̇ − 𝑥̇ 1 ሻ = 0
{ 𝑗𝜔 𝑗𝜔 2
3. Les équations des mailles :

1
𝑘1 ⇔
𝐶1
𝐹⇔𝑒 𝑀
1 (𝑚1 + ) ⇔ 𝐿1
{𝑥̇ 1 ⇔ 𝑖1 , 𝑘2 ⇔ , { 2 , 𝛼⇔𝑅
𝑥̇ 2 ⇔ 𝑖2 𝐶2
𝑚2 ⇔ 𝐿2
1
𝑘0 ⇔
{ 𝐶0
1 1
𝑗𝜔𝐿1 𝑖1 + 𝑅𝑖1 + 𝑖1 + ሺ𝑖 − 𝑖2 ሻ = 𝐹
𝑗𝐶1 𝜔 𝑗𝐶0 𝜔 1
1 1
𝑗𝜔𝐿2 𝑖2 + 𝑖2 + ሺ𝑖 − 𝑖1 ሻ = 0
{ 𝑗𝐶2 𝜔 𝑗𝐶0 𝜔 2
4. L’impédance d’entrée est :

𝑒 (𝑍𝐿1 + 𝑍𝐶1 + 𝑍𝐶0 )(𝑍𝐿2 + 𝑍𝐶2 + 𝑍𝐶0 ) − 𝑍𝐶20
𝑍𝑒 = = 𝑅 +
𝑖1 (𝑍𝐿2 + 𝑍𝐶2 + 𝑍𝐶0 )
où les 𝑍𝑥 représentent les impédances des différents composants électriques.

5. L’anti-résonance est obtenue pour :
1
𝜔=
√𝐿2 𝐶𝑒𝑞
avec
𝐶0 𝐶2
𝐶𝑒𝑞 =
𝐶0 + 𝐶2
49
N. MAGHLAOUI
Exercice 4
Sur la figure 4, le circuit électrique (a) est un circuit RLC série alimenté par un générateur de tension e(t),
et le circuit de la figure (4. b) est un circuit RLC parallèle alimenté par un générateur de courant i(t). Ecrire
les équations différentielles qui décrivent les deux circuits et montrer qu’ils sont tous les deux équivalents
au système mécanique de la figure (4. c). Donner les éléments d’analogie entre eux.
R k 𝛼
i(t) C
R L
e(t)
C F(t) m
(a) (b) (c)

) 4
Figure
Solution
Cas a :
𝑒ሺ𝑡ሻ = 𝑉𝐿 + 𝑉𝑅 + 𝑉𝑐
𝑑𝑖 1
𝑒ሺ𝑡ሻ = 𝐿 + 𝑅𝑖 + ∫ 𝑖 𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝐶
Cas b :
𝑖ሺ𝑡ሻ = 𝑖𝐿 + 𝑖𝑅 + 𝑖𝑐
1 𝑉ሺ𝑡ሻ 𝑑𝑉ሺ𝑡ሻ
𝑖ሺ𝑡ሻ = ∫ 𝑉ሺ𝑡ሻ 𝑑𝑡 + +𝐶
𝐿 𝑅 𝑑𝑡
Cas mécanique :
𝐹ሺ𝑡ሻ = 𝑚𝑥̈ + 𝛼𝑥̇ + 𝑘𝑥
𝑑𝑥̇
𝐹ሺ𝑡ሻ = 𝑚 + 𝛼𝑥̇ + 𝑘 ∫ 𝑥̇ 𝑑𝑡
𝑑𝑡
Mécanique Cas a : circuit en série Cas a : circuit en parallèle
F e(t ) i (t )
m L C
 R 1/R
k 1/ C 1/ L
x i V
50
N. MAGHLAOUI
Problème 1:
Le système mécanique représenté sur la figure 5 est constitué d’un disque plein homogène, de masse M
et de rayon R, pouvant osciller sans frottements autour de son axe passant par O.
La tige de masse m, de longueur 𝑂𝐸 = 2𝑅 est liée rigidement au disque.
Le point A, situé à la distance 𝑑 = 𝑅 ⁄2 de 𝑂, est relié à un bâti fixe par un ressort de constante de raideur
K.
En position d’équilibre, le point 𝐴 est au même niveau que le centre 𝑂 et la tige est horizontale. Par
ailleurs, l’ensemble subit un frottement visqueux représenté par un amortisseur de coefficient 𝛼 fixé au
point 𝐵. 𝑦

𝑂𝐵 = 𝑅 = 20 cm, 𝑀 = 4𝑚. 𝐵
𝐹ሺ𝑡ሻ
𝐴 𝑂 𝐸 x
𝜃
Figure 5
Dans tout le problème, on considère des oscillations de faible amplitude.
I. Oscillations libres amorties :
Lorsque le système est écarté d’un angle 0 puis abandonné sans vitesse initiale, il se met à osciller. Le
mouvement enregistré est illustré par le graphe de la figure 6 représentant (t).
1. Le ressort est-il déformé à l’équilibre du système ? justifier la réponse.
2. Calculer la fonction de Lagrange du système.
3. Etablir l’équation différentielle du mouvement et la mettre sous la forme :
𝜃̈ + 2𝛿𝜃̇ + 𝜔02 𝜃 = 0
Préciser les expressions de 𝛿 et 𝜔0 .

4. Déterminer la solution 𝜃ሺ𝑡ሻ de l’équation en tenant compte des conditions initiales. Que devient cette
solution si 𝛿 ≪ 𝜔0 .
5. Déduire du graphe (figure 6) les valeurs de  et K sachant que 𝑀 = 800 𝑔.
II. Oscillations forcées amorties :
A présent, une force extérieure 𝐹ሺ𝑡ሻ = 𝐹0 cosሺω𝑡ሻ est appliquée à l’extrémité E de la tige.
1. Déterminer l’expression de la force généralisée F associée à F(t). En déduire l’équation différentielle
du mouvement.
2. Trouver la solution de l’équation en régime permanent.
51
N. MAGHLAOUI
3. Déterminer la valeur de F0 pour qu’à la résonnance l’amplitude maximale soit égale à 5°.
4. Calculer la puissance moyenne fournie par la force appliquée au cours d’une période.
5. Quelle est la bande passante de l’oscillateur ? En déduire son facteur de qualité.
3
(t)(°)
2
Figure 6 1
-1
-2
-3
0 2 4 6 8 10
t(s)
Solution
I. Oscillations libres amorties :
1. L’énergie potentielle
1
𝑈 = 𝐾ሺ𝑦 + ∆𝑙ሻ2 − 2𝑚𝑔𝑦
2
𝑅
avec 𝑦 = 𝜃
2
on trouve : 𝐾∆𝑙 = 2𝑚𝑔.
1 𝑅 2 2
𝑈 = 𝐾( ) 𝜃 +𝑐
2 2
2. L’énergie cinétique
1 1 5𝑀𝑅 2 2
̇ 2
𝑇 = ሺ𝐽𝑀 + 𝐽𝑚 ሻ𝜃 = [ ] 𝜃̇
2 2 6
avec :
𝑚ሺ2𝑅ሻ2 1
𝐽𝑚 = , 𝐽𝑀 = 𝑀𝑅 2
3 2
1 5𝑀𝑅 2
1 𝑅 2
𝐿= [ ] 𝜃̇ 2 − 𝐾 ( ) 𝜃 2 − 𝑐
2 6 2 2
3. Equation du mouvement :
1 2 2
𝐷= 𝛼𝑅 𝜃̇
2
𝜃̈ + 2𝛿𝜃̇ + 𝜔02 𝜃 = 0
3𝛼 3𝐾
𝛿= , 𝜔02 =
5𝑀 10𝑀
52
N. MAGHLAOUI
4. 𝜃ሺ𝑡ሻ = 𝐴𝑒 −𝛿𝑡 cosሺ𝜔𝑎 𝑡 + 𝜑ሻ avec 𝜔𝑎 = √𝜔02 − 𝛿 2
Conditions initiales :
𝜔0 −𝛿𝑡
𝜃ሺ𝑡ሻ = 𝜃0 𝑒 cosሺ𝜔𝑎 𝑡 + 𝜑ሻ
𝜃ሺ0ሻ = 𝜃0 𝜔𝑎
{ ⟹ 𝛿
𝜃̇ሺ0ሻ = 0
𝜑 = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( )
{ 𝜔𝑎
si 𝛿 ≪ 𝜔0 ⟹ 𝜔𝑎 ≈ 𝜔0 ⟹ 𝜑 = 0 ⟹ 𝜃ሺ𝑡ሻ = 𝜃0 𝑒 −𝛿𝑡 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔0 𝑡ሻ
5. Du graphe on tire : 𝑇𝑎 = 2𝑠 et 𝐷 ≈ 0.597 ⟹ 𝛿 = 0.299𝑠 −1.d’où 𝛼 = 0.398 𝑘𝑔𝑠 −1 .
ce qui donne 𝐾 = 26.557 𝑁𝑚−1.
II. Extrémité E de la tige soumise à 𝑭ሺ𝒕ሻ = 𝑭𝟎 𝐜𝐨𝐬ሺ𝝎𝒕ሻ.

1. Nous avons
𝜕𝑟⃗
𝐹𝜃 = 𝐹⃗
𝜕𝜃
𝐹𝜃 = 2𝑅𝐹 = 2𝑅𝐹0 cosሺ𝜔𝑡ሻ.
2. L’équation de mouvement :
𝜃̈ + 2𝛿𝜃̇ + 𝜔02 𝜃 = 𝐴0 cosሺ𝜔𝑡ሻ avec : 𝐴0 = 12𝐹0 ⁄5𝑀𝑅
Le régime permanent est atteint approximativement à t=12s après le début des oscillations.
La solution particulière est de la forme 𝜃ሺ𝑡ሻ = 𝜃0 ሺ𝜔ሻ 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡+𝜑ሻ avec 𝐴ሺ𝑡ሻ = 𝐴0 𝑒 𝑗𝜔𝑡
on trouve :
𝐴0
𝜃0 ሺ𝜔ሻ = 2
[ሺ𝜔0 − 𝜔 ሻ + ሺ2𝛿𝜔ሻ2 ]1/2
2 2
2𝛿𝜔
𝑡𝑔ሺ𝜑ሻ = 2
{ ሺ𝜔0 − 𝜔 2 ሻ
3. A la résonnance, 𝑑𝜃0 ሺ𝜔ሻ⁄𝑑𝜔 = 0 ⟹ 𝜔𝑅2 = 𝜔02 − 2𝛿 2
𝐴0
𝜃0 ሺ𝜔𝑅 ሻ = ⟹ 𝐹0 = 0.01 𝑁.
2𝛿√𝜔02 − 𝛿 2
4. la puissance instantanée fournie par F(t) :
𝐹ሺ𝑡ሻ = 𝐹𝜃 𝜃̇ = −2𝑅𝐹0 𝜃0 𝜔 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔𝑡ሻ sinሺ𝜔𝑡 + 𝜑ሻ
La puissance moyenne :
𝑡+𝑇
1 1
𝑃ሺ𝑡ሻ = ∫ 𝑃ሺ𝑡ሻ 𝑑𝑡 = 𝛼𝜔2 𝑅 2 𝜃02 ሺ𝜔ሻ
𝑇 2
𝑡
5. 〈𝑃〉𝑚𝑎𝑥 = 〈𝑃ሺ𝜔0 ሻ〉 = 2𝐹02⁄𝛼 ;
La bande passante est: 2𝛿 = |𝜔2 − 𝜔1 |
avec : 〈𝑃(𝜔1,2 )〉 = 〈𝑃〉𝑚𝑎𝑥 ⁄2.

On trouve :
ω0
Q= = 5.284
2δ
53
N. MAGHLAOUI
Exercice 5
On considère l'oscillateur linéaire (faibles amplitudes) 𝐹⃗ ሺ𝑡ሻ
à deux degrés de liberté 𝑥1 ሺ𝑡ሻ et 𝜃ሺ𝑡ሻde la figure ci- k1
contre. x
𝑀
A l'équilibre, la tige sans masse et de longueur L est
verticale et les deux ressorts sont au repos (Figure 7).
𝐿
La masse 𝑀 est soumise à une force sinusoïdale Figure 7 2
𝑥1
horizontale 𝐹ሺ𝑡ሻ de pulsation 𝜔 et d’amplitude 𝐹0 . 𝜃
1. Donner les énergies cinétique et potentielle de ce k2

𝐿
système. On posera
2
𝐿
𝑥2 ሺ𝑡ሻ = 𝜃ሺ𝑡ሻ m
2
y
2. En déduire les équations différentielles du
mouvement de ce système en fonction de 𝑥1 ሺ𝑡ሻ et
𝑥2 ሺ𝑡ሻ.
Dans la suite du problème on posera :

𝑀 = 𝑚, 𝑘2 = 2𝑘1 = 2𝑘, 𝜔0 = √𝑘⁄𝑚 = √2𝑔⁄3𝐿.
3. Décrire le mouvement du système lorsque 𝜔 = 𝜔0 . Calculer l’impédance d’entrée pour cette

pulsation.
4. Lorsque 𝜔 = √2𝜔0 , calculer 𝑥1 et 𝑥2 en régime permanent. Décrire dans ce cas le mouvement du
système et déterminer l’impédance d’entrée.
5. Donner les équations aux vitesses puis leurs équivalents qui régissent le circuit électrique.
6. Donner le schéma électrique équivalent et étudier son comportement dans les cas où 𝜔 = 𝜔0 puis
pour 𝜔 = √2𝜔0 .
Solution
1. Les énergies
1 1 1 𝑚𝑔 2
𝑇 = 𝑚𝑥̇ 12 + 𝑚ሺ𝑥̇ 1 + 2𝑥̇ 2 ሻ2 , 𝑈 = [𝑘𝑥12 + 2𝑘ሺ𝑥1 + 𝑥2 ሻ2 ] + 2 𝑥
2 2 2 𝐿 2
2. Les équations différentielles

2𝑚𝑥̈ 1 + 2𝑚𝑥̈ 2 + 3𝑘𝑥1 + 2𝑘𝑥2 = 𝐹ሺ𝑡ሻ
{
4𝑚𝑥̈ 2 + 2𝑚𝑥̈ 1 + 8𝑘𝑥2 + 2𝑘𝑥1 = 0
54
N. MAGHLAOUI
3. En régime permanent, les équations s’écrivent :
ሺ3𝑘 − 2𝑚𝜔2 ሻ𝑥1 + ሺ2𝑘 − 2𝑚𝜔2 ሻ𝑥2 = 𝐹ሺ𝑡ሻ

{
ሺ8𝑘 − 4𝑚𝜔2 ሻ𝑥2 + ሺ2𝑘 − 2𝑚𝜔2 ሻ𝑥1 = 0
Dans le cas où 𝜔 = 𝜔0 , nous avons 𝑥2 = 0. Le mouvement du système est une translation pure.
L’impédance mécanique d’entrée est :
𝐹ሺ𝑡ሻ 𝑘
𝑍𝑒 = =
𝑥̇ 1 ሺ𝑡ሻ 𝑖𝜔
4. Lorsque 𝜔 = √2𝜔0 , nous avons 𝑥1 = 0.
𝐹ሺ𝑡ሻ
𝑥2 = −
2𝑘
Nous avons une antirésonance qui se traduit par l’immobilité de la masse 𝑀. Le mouvement est donc
une rotation de la masse 𝑚. Dans ce cas, l’impédance d’entrée 𝑍𝑒 est infinie.
5. Les équations aux vitesses
𝑘 2𝑘
𝑥̇ 1 + ( + 2𝑖𝑚𝜔) ሺ𝑥̇ 1 + 𝑥̇ 2 ሻ = 𝐹ሺ𝑡ሻ
{𝑖𝜔 𝑖𝜔
6𝑘 2𝑘
( + 2𝑖𝑚𝜔) 𝑥̇ 2 + ( + 2𝑖𝑚𝜔) ሺ𝑥̇ 1 + 𝑥̇ 2 ሻ = 0
𝑖𝜔 𝑖𝜔
L’analogie force tension est faite :
𝐹ሺ𝑡ሻ ⟺ 𝑒ሺ𝑡ሻ, 𝑥̇ 1 ሺ𝑡ሻ ⟺ 𝑖1 ሺ𝑡ሻ, 𝑥̇ 2 ሺ𝑡ሻ ⟺ 𝑖2 ሺ𝑡ሻ
1 1 1
𝑘⟺ , 6𝑘 ⟺ , 2𝑘 ⟺ , 2𝑚 ⟺ 𝐿
𝐶1 𝐶2 𝐶3
Les équations électriques :
1 1
𝑖1 + ( + 𝑖𝐿𝜔) ሺ𝑖1 + 𝑖2 ሻ = 𝑒ሺ𝑡ሻ
𝑖𝐶1 𝜔 𝑖𝐶3 𝜔
1 1
( + 𝑖𝐿𝜔) 𝑖2 + ( + 𝑖𝐿𝜔) ሺ𝑖1 + 𝑖2 ሻ = 0
{ 𝑖𝐶2 𝜔 𝑖𝐶3 𝜔
55
N. MAGHLAOUI
𝐶1
𝑖1 𝑖2
𝑖1 + 𝑖2 𝐿
𝐶3
𝑒ሺ𝑡ሻ 𝐶2
𝐿
Dans le cas où 𝜔 = 𝜔0 , le schéma électrique devient :
𝐶1
𝑖 = 𝑖1 𝑖 = 𝑖1
𝐶3
𝑒ሺ𝑡ሻ
𝐿
⟺ 𝑒ሺ𝑡ሻ 𝐶𝑒𝑞 = 𝐶1 ∕∕ 𝐶3
56
N. MAGHLAOUI
Exercice 6
On schématise le mouvement plan d’un bateau par le système de la figure 8. On considère alors, la tige
AB homogène de longueur 𝐿 et de masse 𝑚 accrochée à deux ressorts de constantes de raideur 𝑘1 et 𝑘2 .
La tige peut tourner avec un angle 𝜃ሺ𝑡ሻ autour d’un axe passant par son centre de liberté 𝑥1 et 𝑥2 .
On considérant le déplacement du centre de masse de la tige 𝑥𝐺 = [𝑥1 + 𝑥2 ]⁄2 et l’angle de rotation

𝜃ሺ𝑡ሻ = [𝑥1 − 𝑥2 ]⁄𝐿. En se basant sur la méthode matricielle :
1. Calculer les énergies cinétique et potentielle du système et en déduire le système d’équations du

mouvement.
2. Trouver les pulsations propres du système, (dans ce cas ; on supposera que les deux constantes de
raideurs sont identiques 𝑘1 = 𝑘2 .
3. Déduire les solutions 𝑥1 et 𝑥2 du système libre.
Soit 𝐹1 ሺ𝑡ሻ = 𝐹0 cosሺ𝜔𝑡ሻ, la force verticale exercée par la houle sur le degré de liberté x1(t).
4. Trouver la solution générale 𝑥1 et 𝑥2 du système forcé.
𝑥1 𝑥𝐺 𝑥2
𝐵
𝜃
𝜃 𝐺
𝐴
𝑘2
𝑘1
Figure 8
Solution
1.
1 𝑚 𝑚 𝑚 1 1
𝑇 = ( 𝑥̇ 12 + 𝑥̇ 22 + 𝑥̇ 1 𝑥̇ 2 ) , 𝑈 = 𝑘1 𝑥12 + 𝑘2 𝑥22
2 3 3 3 2 2
Les équations du mouvement :
𝑚 𝑚
𝑥̈ 1 + 𝑥̈ 2 + 𝑘1 𝑥1 = 0
3
{𝑚 6
𝑚
𝑥̈ + 𝑥̈ + 𝑘2 𝑥2 = 0
3 2 6 1
2. Les pulsations propres sont :
2𝑘 6𝑘
𝜔1 = √ , 𝜔2 = √
𝑚 𝑚
3. Les rapports d’amplitude :
57
N. MAGHLAOUI
mode 1 : 𝜔 = 𝜔1, 𝑥1 = 𝐴11 cosሺ𝜔1 𝑡 + 𝜑1 ሻ et 𝑥2 = 𝐴21 cosሺ𝜔1 𝑡 + 𝜑1 ሻ
On trouve 𝐴21 = 𝐴11
mode 1 : 𝜔 = 𝜔2 , 𝑥1 = 𝐴12 cosሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑2 ሻ et 𝑥2 = 𝐴22 cosሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑2 ሻ
On trouve 𝐴12 = −𝐴22
Finalement les solutions générales s’écrivent :
𝑥1 = 𝐴11 cosሺ𝜔1 𝑡 + 𝜑1 ሻ + 𝐴12 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑2 ሻ
𝑥2 = 𝐴11 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔1 𝑡 + 𝜑1 ሻ − 𝐴12 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑2 ሻ
4. Cas d’une force extérieure sinusoïdale :

𝑚 𝑚
𝑥̈ 1 + 𝑥̈ 2 + 𝑘1 𝑥1 = 𝐹
{𝑚3 6
𝑚
𝑥̈ + 𝑥̈ + 𝑘2 𝑥2 = 0
3 2 6 1
Les solutions s’écrivent :
𝑚
(𝑘 − 𝜔2 )
𝑥1 = 3 𝐹
𝑚 2 2 𝑚 2 2
(𝑘 − 3 𝜔 ) − ( 6 𝜔 )
𝑚
( 𝜔2 )
𝑥2 = 6
𝑚 2 2 𝑚 2𝐹
(𝑘 − 3 𝜔 ) − ( 6 𝜔 2 )
58
N. MAGHLAOUI
Problème 2
I. Régime libre
Le système mécanique représenté par les figures 9.a et 9.b, comporte une barre rigide de masse M et
longueur 2𝐿 qui est reliée par trois ressorts de raideur 𝑘1 , 𝑘2 et 𝑘3 que l’on suppose verticaux. Au centre
de gravité 𝑂 de la barre on soude un pendule simple de masse 𝑚 avec une tige rigide sans masse et de
longueur 𝐿. Au cours du mouvement (Figure 9 (b) ) la barre effectue un déplacement vertical 𝑂𝑂′ = 𝑦
que l’on appelle le pompage et un mouvement de rotation autour de l’axe horizontal passant le centre O,
repéré par l’angle 𝜃 nommé tangage. A l’équilibre 𝑦 = 0 et 𝜃 = 0 (Figure 9 (a)).
On suppose que le système effectue des oscillations de faibles amplitudes autour de la position d’équilibre.
1. Déterminer les énergies cinétique et potentielle en précisant les approximations nécessaires. Déduire
le système d’équations différentielles du mouvement en fonction des coordonnées 𝑦 et 𝐿𝜃 ?
2. Quelle est la condition que l’on doit imposer pour assurer le découplage du système ?
3. Déterminer les pulsations propres 𝜔01 et 𝜔02 , ainsi que les solutions 𝑦ሺ𝑡ሻ et 𝜃ሺ𝑡ሻ.
𝑘3
𝑘3
𝑂’
ሺ𝑀, 2𝐿ሻ
𝑥
𝑂
𝐿 𝑂 𝜃
L
𝑘1 𝜃
𝑘1 𝑘2 𝑚
𝑚 𝑘2
Figure 9 (a) (équilibre) Figure 9 (b) (mouvement)
II. Régime forcé
Dans cette partie, l’extrémité supérieure du ressort 𝑘3 subit une déformation 𝑠ሺ𝑡ሻ, d’amplitude 𝑠0 et de
pulsation 𝜔. Un amortisseur de coefficient d’amortissement 𝛼 est placé en parallèle avec 𝑘2 , tel-que
représenté sur la figure 10.
En tenant compte des conditions de découplage (question (2) de la partie I).
1. Montrer que le système d’équation obtenu régit un mouvement en régime forcé. Donner dans ce cas
l’expression de la force équivalente 𝐹𝑒𝑞 ሺ𝑡ሻ (On posera 𝑥 = 𝐿𝜃).
2. Ecrire les équations aux vitesses en 𝑥̇ ሺ𝑡ሻ et 𝑦̇ ሺ𝑡ሻ.Donner la relation entre ces deux vitesses. Pour quelle
pulsation 𝜔1, 𝑥̇ ሺ𝑡ሻ et 𝑦̇ ሺ𝑡ሻ sont-elles en phase ?
59
N. MAGHLAOUI
3. Calculer l’impédance d’entrée 𝑍𝑒 = 𝐹𝑒𝑞 ሺ𝑡ሻ⁄𝑦̇ ሺ𝑡ሻ en absence d’amortissement. Déterminer la
pulsation ω2 pour la laquelle la cause et l’effet sont phase ? Comparer ces deux pulsations (𝜔1 et 𝜔2 )
aux pulsations propres du régime libre, commenter ?
4. On revient aux conditions de la question 1 de la partie II. Déterminer les équations électriques dans le
cas de l’analogie force -tension, en déduire le circuit électrique, que devient le schéma électrique pour
𝜔 = 𝜔1 ?
𝑠ሺ𝑡ሻ = 𝑠0 𝑒 𝑖𝜔𝑡
𝑘3
𝑂’
𝑥
𝐿 𝑂 𝜃
𝑘1 𝜃
𝑚
𝛼
𝑘2
Figure 10
Solution
1. coordonnées :
ሬሬሬሬሬሬሬ⃗ {𝑥𝑂 = 0 , ሬሬሬሬሬሬ⃗ 𝑥 = 𝐿 sinθ

𝑂𝑂′ 𝑂𝑚 { 𝑚
𝑦𝑂 = 𝑦 𝑦𝑚 = 𝐿 cosθ − 𝑦
1 𝑀𝐿2 2
𝑇= { 𝜃̇ + 𝑀𝑦̇ 2 + 𝑚(𝑦̇ 2 + 𝐿2 𝜃̇ 2 + 2𝐿 sinሺ𝜃ሻ𝑦̇ 𝜃̇ )}
2 3
avec sinሺ𝜃ሻ ≈ 0
1 2
1 2
1 2
𝑚𝑔ሺ𝐿𝜃ሻ2
𝑈 = 𝑘1 ሺ𝐿𝜃 + 𝑦ሻ + 𝑘2 ሺ𝑦 − 𝐿𝜃ሻ + 𝑘3 ሺ𝑦ሻ +
2 2 2 2𝐿
d’où :
𝑀 𝑚𝑔
𝑘1 + 𝑘2 + 𝑘1 − 𝑘2
[𝑇] = [ 3 + 𝑚 0 ] , [𝑈] = [ 𝐿 ]
0 𝑀+𝑚 𝑘1 − 𝑘2 𝑘1 + 𝑘2 + 𝑘3
𝑀 𝑚𝑔
( + 𝑚) 𝐿 𝜃̈ + 𝑘1 ሺ𝐿𝜃 + 𝑦ሻ + 𝑘2 ሺ𝐿𝜃 − 𝑦ሻ + 𝐿𝜃 = 0
3 𝐿
ሺ𝑀 + 𝑚ሻ𝑦̈ + 𝑘1 ሺ𝐿𝜃 + 𝑦ሻ + 𝑘2 ሺ𝑦 − 𝐿𝜃ሻ + 𝑘3 𝑦 = 0
60
N. MAGHLAOUI
2. le système est découplé si 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘
𝑀 𝑚𝑔
( + 𝑚) 𝐿 𝜃̈ + 2𝑘𝐿𝜃 + 𝐿𝜃 = 0
3 𝐿
ሺ𝑀 + 𝑚ሻ𝑦̈ + 2𝑘𝑦 + 𝑘3 𝑦 = 0
3. D’où :
2
2𝑘𝐿2 + 𝑚𝑔𝐿
𝜔01 =
𝜃̈ + 𝜔01
2
𝜃=0 𝑀𝐿2 2
2 où 3 + 𝑚𝐿
𝑦̈ + 𝜔02 𝑦 = 0 2𝑘 + 𝑘3
2
{ { 𝜔02 =
𝑀+ 𝑚
𝑦ሺ𝑡ሻ = 𝑦0 cosሺ𝜔02 𝑡 + 𝜑2 ሻ et 𝜃ሺ𝑡ሻ = 𝜃0 cosሺ𝜔01 𝑡 + 𝜑1 ሻ
Régime Forcé
1
𝑈ሺ𝑘3 ሻ = 𝑘 ሺ𝑠 − 𝑦ሻ2
2 3
1 2
𝐷𝛼 = 𝛼ሺ𝑦̇ − 𝑥ሻ̇
2
Equations du mouvement
ሺ𝑀 + 𝑚ሻ𝑦̈ + 2𝑘𝑦 + 𝑘3 𝑦 + 𝛼ሺ𝑦̇ − 𝑥̇ ሻ = 𝑘3 𝑠 = 𝐹𝑒𝑞

{ 𝑀 𝑚𝑔𝑥
( + 𝑚 ) 𝑥̈ + 2𝑘 𝑥 + + 𝛼 ሺ𝑥̇ − 𝑦̇ ሻ = 0
3 𝐿
Equations aux vitesses
ሺ 2𝑘 + 𝑘3 ሻ
𝑗𝜔ሺ𝑀 + 𝑚ሻ𝑦̇ + 𝑦̇ + 𝛼ሺ𝑦̇ − 𝑥̇ ሻ = 𝑘3 𝑠 = 𝐹𝑒𝑞
𝑗𝜔
𝑚𝑔
𝑀 ሺ 2𝑘 + 𝐿 ሻ
𝑗𝜔 ( + 𝑚) 𝑥̇ + 𝑥̇ + 𝛼ሺ𝑥̇ − 𝑦̇ ሻ = 0
{ 3 𝑗𝜔
Relation entre 𝑥̇ et 𝑦̇
𝑦̇ 1 𝑀 1 𝑚𝑔
= 𝑗 [𝜔 ( + 𝑚) − ሺ 2𝑘 + ሻ] + 1
𝑥̇ 𝛼 3 𝜔 𝐿
𝑥̇ et 𝑦̇ sont en phase si leur rapport est réel positif donc la partie imaginaire doit être nulle. Cela est
possible si :
2𝑘𝐿2 + 𝑚𝑔𝐿
𝜔12 = 2
= 𝜔01
𝑀𝐿2 2
3 + 𝑚𝐿
d’où : 𝑦̇ ⁄𝑥̇ = 1
L’impédance 𝑍𝑒 ሺ𝛼 = 0 ሻ
61
N. MAGHLAOUI
𝐹𝑒𝑞 ሺ𝑡ሻ ሺ 2𝑘 + 𝑘3 ሻ
𝑍𝑒 = = 𝑗𝜔ሺ𝑀 + 𝑚ሻ +
𝑦̇ 𝑗𝜔
La cause et l’effet sont en phase si Imሺ𝑍𝑒 ሻ = 0
La pulsation est :
2𝑘 + 𝑘3
𝜔22 = 2
= 𝜔02
𝑀+ 𝑚
Les deux pulsations 𝜔1 et 𝜔2 sont les pulsations de résonance, elles sont aussi les pulsations propres du
régime libre.
4.
Analogie mécanique Electrique (force tension)

𝑀, M⁄3, 𝑚 𝐿1 , 𝐿2 , 𝐿3
2𝑘, 𝑘3 , 𝑚𝑔⁄𝐿 1⁄𝐶1, 1⁄𝐶2 , 1⁄𝐶3

𝛼 𝑅
𝑦̇ , 𝑥̇ 𝐼1 , 𝐼2
1 1
𝑗𝜔ሺ𝐿1 + 𝐿3 ሻ𝐼1 + ሺ + ሻ𝐼 + 𝑅ሺ𝐼1 − 𝐼2 ሻ = 𝑒ሺ𝑡ሻ
𝑗𝜔𝐶1 𝑗𝜔𝐶2 1
1 1
𝑗𝜔ሺ𝐿2 + 𝐿3 ሻ 𝐼2 + ሺ + ሻ 𝐼 + 𝑅ሺ 𝐼2 − 𝐼1 ሻ = 0
{ 𝑗𝜔𝐶1 𝑗𝜔𝐶3 2
𝐿1 𝐿3 𝐶1 𝐶2 𝐿2 𝐿3 𝐶1 𝐶3
𝐼1 𝐼2
𝑒ሺ𝑡ሻ 𝑅
62
N. MAGHLAOUI
Dans le cas où 𝜔 = 𝜔1
Le système d’équations devient :
1 1
𝑗𝜔ሺ𝐿1 + 𝐿3 ሻ𝐼1 + ሺ + ሻ𝐼 = 𝑒ሺ𝑡ሻ
𝑗𝜔𝐶1 𝑗𝜔𝐶2 1
Ce qui est schématisé par le circuit électrique ci-dessous :
𝐿1 𝐿3 𝐶1 𝐶2
𝐼1
𝑒ሺ𝑡ሻ
Exercice 7
Soit le système à deux degrés de liberté représenté par le schéma ci-dessous (Figure 10) :
avec : 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘; 𝑘0 ≠ 𝑘; 𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚.
x1 x2
k0
k k
Figure 10
m m
α
1. Etablir les expressions de l'énergie cinétique T, de l'énergie potentielle U, du lagrangien L et de la

fonction dissipation d'énergie D de ce système en fonction des déplacements 𝑥1 , 𝑥2 et des vitesses
correspondantes 𝑥̇ 1 , 𝑥̇ 2 des masses.
2. En déduire les équations différentielles de ses mouvements.
3. Pour leur résolution , faites le changement de variables suivant :
𝑦1 = 𝑥1 + 𝑥2 et 𝑦2 = 𝑥1 − 𝑥2
Quelle remarque faite vous sur les nouvelles équations obtenues.
Comment appelle-t-on, en mécanique, ces nouvelles coordonnées généralisées 𝑦1 et 𝑦2 .
4. Donner les expressions des solutions 𝑦1 ሺ𝑡ሻ et 𝑦2 ሺ𝑡ሻ, celles des pulsations propres du système qui en
découlent et du facteur d'amortissement 𝛿.
63
N. MAGHLAOUI
5. En déduire les solutions générales des déplacements 𝑥1 ሺ𝑡ሻ et 𝑥2 ሺ𝑡ሻ.
On donne les conditions initiales suivantes :
𝑥1 ሺ0ሻ = 0, 𝑥2 ሺ0ሻ = 0, 𝑥̇ 1 ሺ0ሻ = 𝑉0 , 𝑥̇ 2 ሺ0ሻ = −𝑉0
en déduire le type de mouvement d'oscillations qu’effectuent les deux masses et le rôle de l'amortisseur
dans celui-ci.
Solution
1. Les énergies
1 1 1
𝑇 = 𝑚ሺ𝑥̇ 12 + 𝑥̇ 22 ሻ , 𝑈 = 𝑘ሺ𝑥12 + 𝑥22 ሻ + 𝑘0 ሺ𝑥2 − 𝑥1 ሻ2
2 2 2
1
𝐷 = 𝛼ሺ𝑥̇ 2 − 𝑥̇ 1 ሻ2
2
2. Les équations différentielles de mouvement
𝑚𝑥̈ + 𝛼ሺ𝑥̇ 1 − 𝑥̇ 2 ሻ + 𝑘𝑥1 + 𝑘0 ሺ𝑥1 − 𝑥2 ሻ = 0
{ 1
𝑚𝑥̈ 2 + 𝛼ሺ𝑥̇ 2 − 𝑥̇ 1 ሻ + 𝑘𝑥2 + 𝑘0 ሺ𝑥2 − 𝑥1 ሻ = 0
3. Après changement de variable :

𝑦̈ 1 + 𝜔12 𝑦1 = 0
{
𝑦̈ 2 + 2𝛿𝑦̇ 2 + 𝜔22 𝑦2 = 0
avec :
𝑘 ሺ𝑘 + 2𝑘0 ሻ 𝛼
𝜔12 = , 𝜔22 = , 𝛿=
𝑚 𝑚 𝑚
Les équations sont découplées. Nous appelons ces coordonnées les coordonnées principales.
4. Les pulsations propres ainsi que le coefficient d’amortissement sont respectivement :
𝑘 ሺ𝑘 + 2𝑘0 ሻ 𝛼
𝜔1 = √ , 𝜔2 = √ , 𝛿=
𝑚 𝑚 𝑚
𝑦1 = 𝐴 cosሺ𝜔1 𝑡 + 𝜑1 ሻ
𝑦2 = 𝐵𝑒 −𝛿𝑡 cosሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑2 ሻ
5. Les solutions des équations sont :
𝑥1 = 𝐴1 cosሺ𝜔1 𝑡 + 𝜑1 ሻ + 𝐵1 𝑒 −𝛿𝑡 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑2 ሻ
𝑥2 = 𝐴1 cosሺ𝜔1 𝑡 + 𝜑1 ሻ − 𝐵1 𝑒 −𝛿𝑡 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑2 ሻ
En utilisant les 4 conditions initiales nous trouvons :
𝜋 𝑉0
𝐴1 = 0, 𝜑2 = , 𝐵1 =
2 𝜔2
64
N. MAGHLAOUI
Exercice 8
On considère le système mécanique représenté par la figure 11. Une force sinusoïdale d’amplitude F0 et
de pulsation , ሺ𝐹ሺ𝑡ሻ = 𝐹0 cosሺ𝜔𝑡ሻሻ, est appliquée sur la coordonnée 𝑦2 . On considère les oscillations de
faibles amplitudes.
1. Déterminer l’énergie cinétique, l’énergie potentielle ainsi que la fonction de dissipation du système.
2. Etablir les équations différentielles en 𝑦1 et 𝑦2 , régissant le système.
3. Déterminer l’impédance mécanique d’entrée du système 𝑍𝑒 = 𝐹 ⁄𝑦̇ 2 .
4. Donner le schéma électrique équivalent.
5. Décrire le mouvement lorsque ω2 = k1 ⁄m1 .
6. Calculer les vitesses instantanées 𝑦̇ 1 et 𝑦̇ 2 des masses 𝑚1 et 𝑚2 dans le cas où 𝑘2 = 2𝑘1 et m1 =

𝑚2 .
7. Dans le cas où 𝜔2 = 𝑘1 ⁄𝑚1, calculer la puissance instantanée fournie par le générateur mécanique
ainsi que la puissance instantanée dissipée par le système. Comparer et commenter.
8. Calculer la puissance moyenne fournie par le générateur mécanique, la puissance moyenne dissipée
par le système. Comparer et commenter.
k1
y1 m1
α1
m2
y2 F(t)
k2 α2
Figure 11
65
N. MAGHLAOUI
Solution
1. T, U et D.
1 1 1 1
𝑇 = ሺ𝑚1 𝑦̇ 12 + 𝑚2 𝑦̇ 22 ሻ , 𝑈= 𝑘1 𝑦12 + 𝑘2 𝑦22 , 𝐷 = 𝛼2 𝑦̇ 22 + 𝛼1 ሺ𝑦̇ 1 − 𝑦̇ 2 ሻ2
2 2 2 2
2. Etablir les équations différentielles.

𝑚 𝑦̈ + 𝛼1 ሺ𝑦̇ 1 − 𝑦̇ 2 ሻ + 𝑘1 𝑦1 = 0
{ 1 1
𝑚2 𝑦̈ 2 + 𝛼2 𝑦̇ 2 + 𝛼1 ሺ𝑦̇ 2 − 𝑦̇ 1 ሻ + 𝑘2 𝑦2 = 𝐹
3. Déterminer l’impédance mécanique d’entrée 𝑍𝑒

𝑘2 𝛼12
𝑍𝑒 = 𝛼1 + 𝛼2 + 𝑗𝑚2 𝜔 + −
𝑗𝜔 𝛼 + 𝑗𝑚 𝜔 + 𝑘1
1 1 𝑗𝜔
4. Schéma électrique équivalent.
1
𝐹⇔𝑒 𝑘1 ⇔
𝐶1 𝑚1 ⇔ 𝐿1 𝛼1 ⇔ 𝑅1
{𝑥̇ 1 ⇔ 𝑖1 , , { , {
1 𝑚2 ⇔ 𝐿2 𝛼2 ⇔ 𝑅2
𝑥̇ 2 ⇔ 𝑖2 𝑘 ⇔
{ 2 𝐶2
1
𝑗𝐿1 𝜔𝑖1 + 𝑅1 ሺ𝑖1 − 𝑖2 ሻ + 𝑖 =0
𝑗𝐶1 𝜔 1
1
𝑗𝐿2 𝜔𝑖2 + 𝑅2 𝑖2 + 𝑅1 ሺ𝑖2 − 𝑖1 ሻ + 𝑖 =𝑒
{ 𝑗𝐶2 𝜔 2
𝑖1 𝐿1 𝑖1 − 𝑖2 𝐿2 𝑅2
𝑖2
𝐶1 𝑅1 𝑒ሺ𝑡ሻ
𝐶2
5. Dans le cas où 𝜔2 = 𝑘1 ⁄𝑚1 les deux masses sont en phase 𝑦̇ 1 = 𝑦̇ 2 .
6. Les vitesses instantanées 𝑦̇ 1 et 𝑦̇ 2 dans le cas où 𝑘2 = 2𝑘1 et 𝑚1 = 𝑚2 .

2𝑘 𝛼12
𝑍𝑒 = 𝛼1 + 𝛼2 + 𝑗𝑚𝜔 + −
𝑗𝜔 𝛼 + 𝑗𝑚𝜔 + 𝑘
1 𝑗𝜔
𝐹 𝛼1
𝑦̇ 2 = , 𝑦̇ 1 = 𝑦̇
𝑍𝑒 𝑘 2
𝛼1 + 𝑗𝑚𝜔 + 𝑗𝜔
66
N. MAGHLAOUI
7. Calcul des puissances instantanées.
La puissance founie instantannée : 𝑃𝑓 = 𝐹𝑦̇ 2 = −𝜔𝐹0 𝑦20 cosሺ𝜔𝑡ሻ sinሺ𝜔𝑡 + 𝜑ሻ
2
La puissance dissipée instantannée : 𝑃𝛼 = 𝛼𝑦̇ 2 𝑦̇ 2 = 𝛼𝜔2 𝑦20 sin2 ሺ𝜔𝑡 + 𝜑ሻ
8. Les puissances moyennes.

1 2
〈𝑃𝑓 〉 = 〈𝑃𝛼 〉 = 𝛼𝜔2 𝑦20
2
Les puissances moyennes sont égales ce qui montre que le système mécanique est soutenu.
67
N. MAGHLAOUI
Problème 3
A. Système à un degré de liberté

k 𝛼
On se propose d'étudier les oscillations d'un système constitué
m1
d'une tige de masse négligeable, de longueur 2ℓ, portant à ses
extrémités deux masses m1 et m2 et pivotant autour d'un axe fixe
ℓ
O passant par son milieu.
La masse m1 est reliée à des bâtis fixes par un ressort de raideur Figure 12
o
k et un amortisseur de coefficient de frottement visqueux 𝛼.
A l'équilibre statique, la tige est verticale, le ressort n'est pas
ℓ
déformé et on repère les oscillations de faible amplitude par
l'angle 𝜃 que fait la tige par rapport à la verticale ( Figure 12 ) θ
. m2
1. Régime libre amorti
a. Calculer le Lagrangien 𝐿(𝜃, 𝜃̇) et la fonction dissipation d'énergie D de ce système.
b. En déduire l'équation différentielle du mouvement, le facteur d'amortissement 𝛿 et la pulsation propre
𝜔0 .
c. Sachant que le système effectue des oscillations libres amorties dont l'amplitude 𝜃𝑚𝑎𝑥 diminue de 80
% au bout de 8 pseudo-périodes et que :
𝑇𝑎 = 1𝑠 ; 𝑚2 = 2𝑚1 = 2𝑚 = 2𝑘𝑔; ℓ = 10 𝑐𝑚; 𝑔 = 10 𝑚𝑠 −1
trouver les valeurs numériques de 𝑘 et de 𝛼.
2. Régime forcé amorti

On applique sur la masse m2 une force 𝐹ሺ𝑡ሻ = 𝐹0 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔𝑡ሻ perpendiculaire à la tige.
a. Ecrire la nouvelle équation du mouvement
b. Donner l'expression de l'amplitude des oscillations en régime permanent
c. Calculer l'intensité 𝐹0 de la force sachant que l'amplitude maximale 𝜃𝑚𝑎𝑥 , à la résonance , vaut 𝜋⁄45
.
B. Système à deux degrés de liberté
Dans le système précédent, on supprime l'amortisseur et on insère entre le ressort 𝑘 et le bâti un

oscillateur constitué d'une masse M et d'un ressort de raideur k0 pour former un nouveau système à 2
degrés de liberté ( Figure 13 )
Le mouvement de la masse M est donné par son déplacement horizontal 𝑥1 et on posera cette fois
𝑥2 = ℓ𝜃.
68
N. MAGHLAOUI
a. Calculer le Lagrangien 𝐿ሺ𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥̇ 1 , 𝑥̇ 2 ሻ du x1
système. k0 k
b. En déduire les équations différentielles de son 𝑀 m1
mouvement.
c. Calculer ses pulsations propres 𝜔1 et 𝜔2 en
l
fonction de 𝑀, 𝑘 et 𝑘0 si : Figure 13
𝑀 = 3𝑚 et 𝑘0 = 𝑚𝑔⁄ℓ O
l
θ
m2
Solution
A. Système à un degré de liberté.
1. Régime libre amorti.
a.
1 2 1 𝜃2 𝜃2
𝐿 = 𝑇 − 𝑈 = ሺ𝑚1 + 𝑚2 ሻ(𝑙𝜃̇) − 𝑘ሺ𝑙𝜃ሻ2 − 𝑚2 𝑔𝑙 + 𝑚1 𝑔𝑙
2 2 2 2
1 2
𝐷 = 𝛼(𝑙𝜃̇)
2
b.
𝜃̈ + 2𝛿𝜃̇ + 𝜔02 𝜃 = 0
𝛼 𝑘𝑙 2 + 𝑚2 𝑔𝑙 − 𝑚1 𝑔𝑙
𝛿= , 𝜔0 = √
2ሺ𝑚1 + 𝑚2 ሻ ሺ𝑚1 + 𝑚2 ሻ𝑙 2
c.
𝑙𝑛ሺ5ሻ
𝛼 = 2ሺ𝑚1 + 𝑚2 ሻ𝛿 = 2ሺ𝑚1 + 𝑚2 ሻ
8𝑇𝑎
𝑚1 𝑔 − 𝑚2 𝑔
𝑘 = ሺ𝑚1 + 𝑚2 ሻ𝜔02 +
ሺ𝑚1 + 𝑚2 ሻ𝑙
avec :
𝜔0 = √𝜔𝑎2 + 𝛿 2
1. Régime forcé amorti.

a. L’équation de mouvement devient :
𝐹
𝜃̈ + 2𝛿𝜃̇ + 𝜔02 𝜃 =
ሺ𝑚1 + 𝑚2 ሻ𝑙
b. En régime permanent, l’amplitude s’écrit :
𝐹0
𝜃0 =
ሺ𝑚1 + 𝑚2 ሻ𝑙√ሺ𝜔02 − 𝜔 2 ሻ2 + 4𝛿 2 𝜔 2
c. La fréquence de résonance est : 𝜔𝑟 = √𝜔02 − 2𝛿 2
69
N. MAGHLAOUI
𝐹0
𝜃0𝑚𝑎𝑥 =
ሺ𝑚1 + 𝑚2 ሻ𝑙 2𝛿√𝜔02 − 𝛿 2
B. Système à deux degrés de liberté
a. Le Lagrangien :
1 1 1 1 𝑥22
𝐿 = 𝑇 − 𝑈 = ሺ𝑚1 + 𝑚2 ሻ𝑥̇ 22 + 𝑀𝑥̇ 12 − 𝑘0 𝑥12 − 𝑘ሺ𝑥2 − 𝑥1 ሻ2 − 𝑚𝑔
2 2 2 2 2𝑙
b. Les équations du mouvement :
𝑀𝑥̈ 1 + 𝑘0 𝑥1 + 𝑘ሺ𝑥1 − 𝑥2 ሻ = 0
{ 𝑥2
3𝑚𝑥̈ 2 + 𝑘ሺ𝑥2 − 𝑥1 ሻ + 𝑚𝑔 = 0
𝑙
c. Les pulsations propres sont :
𝑘0 2𝑘 + 𝑘0
𝜔1 = √ , 𝜔2 = √
𝑀 𝑀
70
N. MAGHLAOUI
Exercice 9
On considère une tige AB rigide, de longueur ℓ et de masse négligeable. Son centre est relié à un bâti B1
par l’intermédiaire d’un ressort 16𝑘 en parallèle avec un amortisseur de coefficient de frottement visqueux
4𝛼. Elle peut tourner, dans le plan vertical (𝑥𝑂𝑦) autour d'un axe fixe passant par son extrémité A. Une
masse ponctuelle 𝑚1 est soudée à son extrémité inférieure B. La masse 𝑚1 est reliée à une deuxième masse
ponctuelle 𝑚2 par l'intermédiaire d'un ressort de raideur 𝑘 (Figure 14). La masse 𝑚2 glisse sur un plan
horizontal et est relié à un bâti B2 par l’intermédiaire d’un ressort k. A l'équilibre, la tige AB est verticale
ሺ𝜃 = 0ሻ et le ressort n'est pas déformé. On désigne par 𝑥1(𝑡) et 𝑥2(𝑡) les déplacements respectifs suivant
l'axe 𝑂𝑥 de 𝑚1 et de 𝑚2 par rapport à leur position d'équilibre.
On s'intéresse aux oscillations de faible amplitude ሺ𝑥1 = ℓ𝜃ሻ. Dans tout le problème, on négligera les
forces de frottements. On note 𝑔 l'accélération de la pesanteur.
Une force excitatrice d'intensité 𝐹ሺ𝑡ሻ = 𝐹0 𝑒 ሺ2𝑗𝜔𝑡ሻ, où 2𝜔 est la pulsation, est appliquée dans le plan (𝑥𝑂𝑦)
et perpendiculairement à la tige AB, au point 𝑂′ milieu de AB (Figure 14).
1. Etablir les équations différentielles qui régissent les variations de x1 et x2 dans le cas où 4𝑚𝑔/ℓ = 3𝑘,
𝑚1 = 4𝑚 et 𝑚2 = 𝑚.
2. Ecrire en notation complexe les équations aux vitesses 𝑥̇ 1 et 𝑥̇ 2 . Déterminer l’impédance d’entrée
𝑍𝑒 = 𝐹ሺ𝑡ሻ/𝑥̇ 1 ሺ𝑡ሻ.
3. Déterminer la pulsation 𝜔𝑎 pour laquelle la masse 𝑚1 reste immobile.
4. Calculer les pulsations 𝜔𝑅1 et 𝜔𝑅2 pour lesquelles la masse 𝑚1 et la force 𝐹ሺ𝑡ሻ sont en phase.
5. Dans le cas où l’amortissement est négligeable ሺ𝛼 = 0ሻ, que devient 𝑥1 ሺ𝑡ሻ pour les pulsations 𝜔𝑅1 et
𝜔𝑅2. Que représente ces pulsations.
A
B1 4α
ℓ/2
F(t)
𝜃
𝑂′
ℓ/2 B2
16k k k
B
𝑚1 𝑚2
O x
x1 x2
y Figure 14
71
N. MAGHLAOUI
Solution
1. Ecriture des énergies et de la fonction de dissipation.
1 1
𝑇= 4𝑚 𝑥̇ 12 + 𝑚 𝑥̇ 22
2 2
1 1 1 𝑥12
𝑈= 4𝑘𝑥12 + 𝑘ሺ𝑥2 − 𝑥1 ሻ2 + 𝑘𝑥22 + 4𝑚𝑔
2 2 2 2ℓ
1 4𝑚𝑔 2 1
𝑈= (5𝑘 + ) 𝑥1 + 2𝑘𝑥22 − 𝑘𝑥1 𝑥2
2 ℓ 2
1
𝐷 = 𝛼 𝑥̇ 12
2
Pour le premier degré de liberté :
𝑑𝑈𝑔
4𝑚 𝑥̈ 1 + 𝛼 𝑥̇ 1 + 8𝑘𝑥1 − 𝑘𝑥2 =
𝑑𝑥1
Comme
𝜃 𝑥1
𝑈𝑔 = 𝐹ሺ𝑡ሻℓ = 𝐹ሺ𝑡ሻ
2 2
alors
𝐹ሺ𝑡ሻ
4𝑚 𝑥̈ 1 + 𝛼 𝑥̇ 1 + 8𝑘𝑥1 − 𝑘𝑥2 = (1)
2
Pour le 2ème degré de liberté :
𝑚 𝑥̈ 2 + 2𝑘𝑥2 − 𝑘𝑥1 = 0 (2)
2. Ecriture des équations aux vitesses et détermination de l’impédance d’entrée.
L’excitation 𝐹ሺ𝑡ሻ = 𝐹0 𝑒 ሺ2𝑗𝜔𝑡ሻ .
Les solutions en régime permanent s’écrivent :
𝑥1 ሺ𝑡ሻ = 𝑋1 𝑒 ሺ2𝑗𝜔𝑡ሻ , 𝑥2 ሺ𝑡ሻ = 𝑋2 𝑒 ሺ2𝑗𝜔𝑡ሻ
De ce fait : 𝑥̇ 1 = 2𝑗ω𝑥1 , 𝑥̇ 2 = 2𝑗ω𝑥2 et 𝑥̈ 1 = 2𝑗ω𝑥̇ 1 , 𝑥̈ 2 = 2𝑗ω𝑥̇ 2 .
Pour l’équation (1) nous avons :
4𝑘 𝑘 𝐹ሺ𝑡ሻ
8𝑗𝑚ω 𝑥̇ 1 + 𝛼 𝑥̇ 1 + 𝑥̇ 1 − 𝑥̇ 2 = (3)
𝑗𝜔 2𝑗𝜔 2
Pour l’équation (2) nous avons :
72
N. MAGHLAOUI
𝑘 𝑘
2𝑗𝑚ω 𝑥̇ 2 + 𝑥̇ 2 − 𝑥̇ = 0 (4)
𝑗𝜔 2𝑗𝜔 1
De l’équation (4) nous avons :
𝑘
𝑥̇ 2 = 𝑥̇ (5)
2ሺ𝑘 − 2𝑚𝜔 2 ሻ 1
En injectant l’expression de 𝑥̇ 2 en fonction de 𝑥̇ 1 (relation 5) dans l’équation (3) nous obtenons :
4𝑘 𝑘2 𝐹ሺ𝑡ሻ
𝑥̇ 1 [8𝑗𝑚ω + 𝛼 + − ]= (6)
𝑗𝜔 4𝑗𝜔ሺ𝑘 − 2𝑚𝜔 ሻ
2 2
Finalement :
𝐹ሺ𝑡ሻ ሺ16𝑘 − 32𝑚ω2 ሻሺ𝑘 − 2𝑚𝜔2 ሻ − 𝑘 2

𝑍𝑒 = = 2𝛼 + 2 [ ] (7)
𝑥̇ 1 ሺ𝑡ሻ 4𝑗𝜔ሺ𝑘 − 2𝑚𝜔 2 ሻ
3. La pulsation pour laquelle la masse 𝑚1 est immobile est :
𝑘
ω𝑎 = √
2𝑚
Dans ce cas l’impédance d’entrée 𝑍𝑒 est infinie.
4. Les pulsations pour lesquelles la force 𝐹ሺ𝑡ሻ et la vitesse 𝑥̇ 1 ሺ𝑡ሻ sont en phase sont les pulsations pour
lesquelles l’impédance 𝑍𝑒 est réelle positive, pour cela il faudrait que :
ሺ16𝑘 − 32𝑚ω2 ሻሺ𝑘 − 2𝑚𝜔2 ሻ − 𝑘 2 = 0
On trouve :
3𝑘 5𝑘
ω𝑅1 = √ , 𝜔𝑅2 = √
8𝑚 8𝑚
5. 𝛼 = 0,
1 4𝑗𝜔ሺ𝑘 − 2𝑚𝜔2 ሻ
𝑥̇ 1 ሺ𝑡ሻ = [ ] 𝐹ሺ𝑡ሻ
2 ሺ16𝑘 − 32𝑚ω2 ሻሺ𝑘 − 2𝑚𝜔 2 ሻ − 𝑘 2
d’où :
1 4ሺ𝑘 − 2𝑚𝜔2 ሻ
𝑥1 ሺ𝑡ሻ = [ ] 𝐹ሺ𝑡ሻ (8)
2 ሺ16𝑘 − 32𝑚𝜔 2 ሻሺ𝑘 − 2𝑚𝜔 2 ሻ − 𝑘 2
Pour les pulsations ω𝑅1 et ω𝑅2 𝑥1 ሺ𝑡ሻ = ∞, nous avons un phénomène de résonance. Ces pulsations
représentent les pulsations de résonance.
73
N. MAGHLAOUI
Exercice 10
𝑥
Figure 15
h G
B
A
𝑥
𝑏 𝒞 𝑏
2 2
𝑦
La figure ci-dessus (Figure 15) représente une maquette permettant d’étudier au laboratoire le mouvement
d’un immeuble lors d’un tremblement de terre. L’immeuble est représenté par une barre de masse M
pouvant osciller, sans frottement, dans un vertical autour d’un axe passant par son extrémité inférieure.
La distance séparant le centre de masse G de l’axe de rotation est h. le moment d’inertie de la barre par
rapport à un axe perpendiculaire passant par son centre de masse est 𝐼𝐺 . la rotation est repérée par l’écart
angulaire 𝜃. Lors de ce mouvement le ressort spirale exerce sur la barre un moment de rappel ℳ = −𝒞𝜃,
1
l’énergie potentielle correspondante est 𝑈𝐶 = 2 𝒞𝜃 2 . D’autre part, la barre peut effectuer un mouvement
de translation repéré par l’écart 𝑥 par rapport à la position d’équilibre. Elle est reliée aux bâtis A et B, par
deux ressorts identiques de raideur 𝑏⁄2. A l’équilibre ሺ𝑥 = 0, 𝜃 = 0ሻ les ressorts ne sont pas déformés.
1. Donner en fonction de 𝑥, 𝜃 et ℎ les déplacements du centre de masse 𝐺.
2. En déduire l’énergie cinétique et l’énergie potentielle du système pour les oscillations de faible
amplitude.
3. Etablir les équations différentielles du mouvement qui régissent les variations de 𝑥 et 𝜃 en fonction
du temps. Montrer que ces équations différentielles peuvent s’écrire :
𝑥̈ + 𝜔02 𝑥 + 𝛾𝜃̈ = 0 𝑏
{ où 𝜔 0 = √
𝛼𝑥̈ + 𝜃̈ + 𝛽𝜔02 𝜃 = 0 𝑀
Donner les expressions de 𝛾, 𝛼 et 𝛽 en fonction de 𝑀, ℎ, 𝑏, 𝒞 et 𝐼𝐺 , puis donner leurs unités.
4. Calculer les pulsations propres en fonction de 𝜔0 dans le cas où 𝛽 = 1 ሺS. I. ሻ, 𝛼 = 1 ሺS. I. ሻ et 𝛾 =

1⁄2 ሺS. I. ሻ (Les unités S. I. sont demandées ci-dessus).
74
N. MAGHLAOUI
5. Déterminer les rapports d’amplitudes dans chacun des modes et déduire les expressions des solutions
générales de 𝑥 et 𝜃 en fonction du temps.
Solution
1. Les déplacements sont :
ሬሬሬሬሬሬሬ⃗ 𝑥 = 𝑥 + ℎ sin 𝜃
𝐺𝐺 ′ { 𝐺
𝑦𝐺 = ℎሺ1 − cos 𝜃ሻ
2. Energie cinétique (Théorème de Köning) :
1 1
𝑇𝐺 = 𝐼𝐺 𝜃̇ 2 + 𝑀𝑣𝐺2
2 2
avec :
2
𝑣𝐺2 = 𝑥̇ 𝐺2 + 𝑦̇ 𝐺2 = (𝑥̇ + ℎ𝜃̇)
Finalement :
1 1 1 1 2
𝑇𝐺 = 𝐼𝐺 𝜃̇ 2 + 𝑀𝑣𝐺2 = 𝐼𝐺 𝜃̇ 2 + 𝑀(𝑥̇ + ℎ𝜃̇)
2 2 2 2
1 1
𝑇𝐺 = 𝑀𝑥̇ 2 + ሺ𝐼𝐺 + 𝑀ℎ2 ሻ𝜃̇ 2 + 𝑀ℎ𝑥̇ 𝜃̇
2 2
1 2 1
𝑈= 𝑏𝑥 + ሺ𝒞 − 𝑀𝑔ℎሻ𝜃 2
2 2
3. les équations différentielles du mouvement :
− =0
𝑀𝑥̈ + 𝑀ℎ𝜃̈ + 𝑏𝑥 = 0
{ 𝑑𝑡 𝜕𝑥̇ 𝜕𝑥 ⟹{
𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿 ሺ𝐼𝐺 + 𝑀ℎ2 ሻ𝜃̈ + 𝑀ℎ𝑥̈ + ሺ𝒞 − 𝑀𝑔ℎሻ𝜃 = 0
− =0
𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃
qui peut se mettre sous la forme suivante :
𝑥̈ + 𝜔02 𝑥 + 𝛾𝜃̈ = 0
{
𝛼𝑥̈ + 𝜃̈ + 𝛽𝜔02 𝜃 = 0
avec :
𝑀ሺ𝒞 − 𝑀𝑔ℎሻ 𝑀ℎ
𝛾 = ℎ, 𝛽 = , 𝛼 =
𝑏ሺ𝐼𝐺 + 𝑀ℎ2 ሻ ሺ𝐼𝐺 + 𝑀ℎ2 ሻ
4. Dans le cas où 𝛼 = 𝛽 = 2𝛾 = 1 :
75
N. MAGHLAOUI
1
𝑥̈ + 𝜔02 𝑥 + 𝜃̈ = 0
{ 2
𝑥̈ + 𝜃̈ + 𝜔02 𝜃 = 0
𝜔2
𝜔2 − 𝜔2 − 2 2 2
1 4
∆ሺ𝜔ሻ = | 0 2 | = 0 ⟹ ሺ𝜔0 − 𝜔 ሻ − 𝜔
2
−𝜔2 𝜔02 − 𝜔2
Les pulsations propres sont :
𝜔1 = √2 − √2 𝜔0 , 𝜔1 = √2 + √2 𝜔0
5. Le rapport des amplitudes :
Pour le mode 1 : 𝜔 = 𝜔1 = √2 − √2 𝜔0
𝑥 = 𝐴11 cosሺ𝜔1 𝑡 + 𝜑1 ሻ
{
𝜃 = 𝐴21 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔1 𝑡 + 𝜑1 ሻ
Dans ce cas :
𝜔12
𝜔2 − 𝜔12 − 𝐴11
[ 0 2 ] [𝐴 ] = 0
21
−𝜔12 𝜔02 − 𝜔12
On trouve 𝐴21 ⁄𝐴11 = √2 𝑚−1 .
Pour le mode 2 : 𝜔 = 𝜔2 = √2 + √2 𝜔0
{
Dans ce cas :
𝜔22
𝜔2 − 𝜔22 − 𝐴12
[ 0 2 ] [𝐴 ] = 0
22
−𝜔22 𝜔02 − 𝜔22
On trouve 𝐴22 ⁄𝐴12 = −√2 𝑚−1 .
Les solutions générales sont :
𝑥 = 𝐴11 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔1 𝑡 + 𝜑1 ሻ + 𝐴12 cosሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑2 ሻ

{
𝜃 = √2[𝐴11 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔1 𝑡 + 𝜑1 ሻ − 𝐴12 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑2 ሻ]
76
N. MAGHLAOUI
Exercice 11
𝜃
𝑏 𝑏
𝑥
2 2
G
h B
A Figure 16
O ሺΔሻ 𝑥
𝑏 𝑏
2 2
𝑦
La figure ci-dessus (Figure 16) représente une maquette permettant d’étudier au laboratoire le mouvement
d’un immeuble lors d’un tremblement de terre. L’immeuble est représenté par une barre de masse M
pouvant osciller, sans frottement, dans un plan vertical autour d’un axe ሺΔሻ passant par son extrémité
inférieure. La distance séparant le centre de masse G de l’axe de rotation est h. Le moment d’inertie de la
barre par rapport à un axe perpendiculaire passant par son centre de masse est 𝐼𝐺 . La rotation est repérée
par l’écart angulaire 𝜃. La barre peut effectuer un mouvement de translation repéré par l’écart 𝑥 par rapport
à la position d’équilibre. Elle est reliée aux bâtis A et B, par quatre ressorts identiques de raideur 𝑏⁄2. A
l’équilibre, ሺ𝑥 = 0, 𝜃 = 0ሻ , les ressorts ne sont pas déformés.
1. Donner en fonction de 𝑥, 𝜃 et ℎ les déplacements du centre de masse 𝐺.
2. En déduire l’énergie cinétique et l’énergie potentielle du système pour les oscillations de faible
amplitude.
3. Etablir les équations différentielles du mouvement qui régissent les variations de 𝑥 et 𝜃 en fonction
du temps. Montrer que ces équations différentielles peuvent s’écrire :
𝛾
𝑥̈ + 𝜔02 𝑥 + 𝛾𝜃̈ + 𝜔02 𝜃 = 0 2𝑏
{ 2 où 𝜔0 = √
𝜃̈ + 𝛽𝜔02 𝜃 + 𝛼𝑥̈ + 𝛿𝜔02 𝑥 = 0 𝑀
Donner les expressions de 𝛼, 𝛽, 𝛾 et 𝛿 en fonction de 𝑀, 𝑀, ℎ, 𝑏 et 𝐼𝐺 , préciser leurs unités.
4. Calculer les pulsations propres en fonction de 𝜔0 dans le cas où 𝛼 = 1⁄2 ሺS. I. ሻ, 𝛽 = 1 ሺS. I. ሻ et 𝛾 =
1⁄2 ሺS. I. ሻ et 𝛿 = 1⁄4 ሺS. I. ሻ (Indiquer en détail les unités S. I.).
5. Déterminer les rapports d’amplitudes dans chacun des modes et déduire les expressions des solutions
générales de 𝑥 et 𝜃 en fonction du temps.
77
N. MAGHLAOUI
Solution
1. Les déplacements sont :
𝑥 = 𝑥 + ℎ sin 𝜃
𝐺𝐺 ′ { 𝐺
ሬሬሬሬሬሬሬ⃗
𝑦𝐺 = ℎሺ1 − cos 𝜃ሻ
2. Energie cinétique (Théorème de Köning) :
1 1
𝑇𝐺 = 𝐼𝐺 𝜃̇ 2 + 𝑀𝑣𝐺2
2 2
avec :
2
𝑣𝐺2 = 𝑥̇ 𝐺2 + 𝑦̇ 𝐺2 = (𝑥̇ + ℎ𝜃̇)
Finalement :
1 1 1 1 2
𝑇𝐺 = 𝐼𝐺 𝜃̇ 2 + 𝑀𝑣𝐺2 = 𝐼𝐺 𝜃̇ 2 + 𝑀(𝑥̇ + ℎ𝜃̇)
2 2 2 2
1 1
𝑇𝐺 = 𝑀𝑥̇ 2 + ሺ𝐼𝐺 + 𝑀ℎ2 ሻ𝜃̇ 2 + 𝑀ℎ𝑥̇ 𝜃̇
2 2
𝜃2
𝑈 = 𝑏𝑥 2 + ሺ𝑏ℎ2 − 𝑀𝑔ℎሻ + 𝑏ℎ𝑥𝜃
2
3. les équations différentielles du mouvement :
− =0
𝑀𝑥̈ + 𝑀ℎ𝜃̈ + 2𝑏𝑥 + 𝑏ℎ𝜃 = 0
{𝑑𝑡 𝜕𝑥̇ 𝜕𝑥 ⟹{
𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿 ሺ𝐼𝐺 + 𝑀ℎ2 ሻ𝜃̈ + 𝑀ℎ𝑥̈ + ሺ𝑏ℎ2 − 𝑀𝑔ℎሻ𝜃 + 𝑏ℎ𝑥 = 0
− =0
qui peut se mettre sous la forme suivante :
𝛾
𝑥̈ + 𝜔02 𝑥 + 𝛾𝜃̈ + 𝜔02 𝜃 = 0
{ 2
̈𝜃 + 𝛽𝜔02 𝜃 + 𝛼𝑥̈ + 𝛿𝜔02 𝑥 = 0
avec :
𝑀ℎ 𝑀ሺ𝑏ℎ2 − 𝑀𝑔ℎሻ 𝑀 ℎ
𝛼= , 𝛽 = , 𝛾 = ℎ, 𝛿 =
ሺ𝐼𝐺 + 𝑀ℎ2 ሻ 2𝑏ሺ𝐼𝐺 + 𝑀ℎ2 ሻ 2 ሺ𝐼𝐺 + 𝑀ℎ2 ሻ
Les unités
𝛼ሺ𝑚−1 ሻ, 𝛽 est un coefficient sans unité, 𝛾ሺ𝑚ሻ, 𝛿ሺ𝑚ሻ.
4. Dans le cas où 𝛼 = 4 𝑚−1 , 𝛽 = 1, 𝛾 = 4 𝑚 et 𝛿 = 2 𝑚 :
𝑥̈ + 4𝜃̈ + 𝜔02 𝑥 + 2𝜔02 𝜃 = 0

{
4𝑥̈ + 𝜃̈ + 𝜔02 𝜃 + 2𝜔02 𝑥 = 0
𝜔02 − 𝜔2 2𝜔02 − 4𝜔2

∆ሺ𝜔ሻ = | | = 0 ⟹ ሺ𝜔02 − 𝜔2 ሻ2 − ሺ2𝜔02 − 4𝜔2 ሻ2 = 0
2𝜔02 − 4𝜔2 𝜔02 − 𝜔2
78
N. MAGHLAOUI
1 3
𝜔1 = √ 𝜔0 , 𝜔2 = √ 𝜔0
3 5
5. Le rapport des amplitudes :
1
Pour le mode 1 : 𝜔 = 𝜔1 = √3 𝜔0
{
Dans ce cas :
𝜔02 − 𝜔12 2𝜔02 − 4𝜔12 𝐴11

[ ][ ]=0
2𝜔02 − 4𝜔12 𝜔02 − 𝜔12 𝐴21
On trouve 𝐴21 ⁄𝐴11 = −1 𝑚−1 .
3
Pour le mode 2 : 𝜔 = 𝜔2 = √5 𝜔0
{
Dans ce cas :
𝜔02 − 𝜔22 2𝜔02 − 4𝜔22 𝐴12

[ ][ ]=0
2𝜔02 − 4𝜔22 𝜔02 − 𝜔22 𝐴22
On trouve 𝐴22 ⁄𝐴12 = −1 𝑚−1 .
Les solutions générales sont :
𝑥 = 𝐴11 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔1 𝑡 + 𝜑1 ሻ + 𝐴12 cosሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑2 ሻ

{
𝜃 = −𝐴11 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔1 𝑡 + 𝜑1 ሻ + 𝐴12 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑2 ሻ
79
N. MAGHLAOUI
Problème 4
Partie 1 : Système à un degré libre
Soit le système dynamique représenté sur la figure ci-dessous. Un cylindre homogène de masse M et de
rayon R est attaché par son extrémité à un bâti fixe (B) par l’intermédiaire d’un ressort de raideur k/4, un
amortisseur relie l’axe de rotation de révolution du cylindre au bâti. Une tige rigide de masse négligeable
et de longueur L, est solidaire du cylindre qui peut rouler sans glisser sur un plan horizontal (Figure 17).
1. Calculer :
- L’énergie cinétique.
- L’énergie potentielle.
- La fonction de dissipation.
2. Etablir l’équation différentielle qui régit le mouvement du système.
3. Déterminer la solution de l’équation différentielle x(t).
Partie 2 : Système à un degré forcé
Le bâti (B) est animé d’un mouvement sinusoïdale d’amplitude a et de pulsation ω.
1. Déterminer l’équation différentielle qui régit le mouvement.
2. Trouver le déplacement en régime permanent, et établir l’expression de son amplitude de vibration.
3. Calculer la pulsation de résonance 𝜔𝑅 (faible amortissement 𝛼 = 0).
4. Calculer l’impédance du système 𝑍𝑒 = 𝐹ሺ𝑡ሻ/𝑥̇ ሺ𝑡ሻ.

k/4 S(t)
(M, R)
O 𝑂’ B x
α
L
θ
m
y Figure 17
80
N. MAGHLAOUI
Partie 3 : Système à deux degré libre
Un deuxième cylindre de masse M et de rayon R et relié par l’intermédiaire d’un ressort de raideur k à
l’axe de révolution du premier cylindre (Figure 18).
1. Etablir les nouvelles équations différentielles qui régissent le mouvement du système.
2. Calculer les pulsations 𝜔1 et 𝜔2 propres du système ainsi que les rapports d’amplitudes de chacun
9 𝐿
des modes. On posera : 𝐿 = 2𝑅, 𝑚 = 2 𝑀 et 𝑚𝑔 𝑅2 = 2𝑘 (On se placera dans le cas où 𝛼 = 0).
3. Déterminer les solutions générales du mouvement sachant qu’à 𝑡 = 0 𝑠, 𝑥1 = 𝑥0 , 𝑥2 = 0

et 𝑥̇1 = 𝑥̇ 2 = 0
k/4
(M, R) (M, R)
k B
x2 L x1
θ
Figure 18
Partie 4 : Système à deux degrés forcé
Le bâti (B) est animé d’un mouvement sinusoïdale d’amplitude a et de pulsation 𝜔 (Figure 19).
1. Déterminer les équations différentielles qui régissent le mouvement.

2. Calculer les pulsations de résonance et d’antirésonance.
3. Déduire les équations aux vitesses 𝑥̇ 1 ሺ𝑡ሻ et 𝑥̇ 2 ሺ𝑡ሻ en notation complexes.
4. Donner le schéma électrique équivalent. 𝑠ሺ𝑡ሻ
k/4
(M, R) (M, R)
k
B
L θ
Figure 19
81
N. MAGHLAOUI
Solution
Partie 1 : Système à un degré libre
1. Les énergies
1 3 𝐿 2
𝑇= [ 𝑀 + 𝑚 (1 − ) ] 𝑥̇ 2
2 2 𝑅
1 𝐿
𝑈 = [𝑘 + 𝑚𝑔 2 ] 𝑥 2
2 𝑅
1 2
𝐷 = 𝛼𝑥̇
2
2. L’équation du mouvement :
𝑥̈ + 2𝛿𝑥̇ + 𝜔02 𝑥 = 0
𝐿
𝛼 [𝑘 + 𝑚𝑔 2]
𝛿= , 𝜔02 = 𝑅
3 𝐿 2 3 𝐿 2
2 [ 𝑀 + 𝑚 (1 − ) ] [ 𝑀 + 𝑚 (1 − ) ]
2 𝑅 2 𝑅
3. Cas du régime oscillatoire amortis :
𝑥ሺ𝑡ሻ = 𝐴𝑒 −𝛿𝑡 cosሺ𝜔𝑎 𝑡 + 𝜑ሻ
Partie 2 : Système à un degré forcé

1. Les énergies.
1 3 𝐿 2 2
𝑇 = [ 𝑀 + 𝑚 (1 − ) ] 𝑥̇
2 2 𝑅
1 𝑘 𝐿
𝑈 = [ ሺ2𝑥 − 𝑠ሻ2 + 𝑚𝑔 2 𝑥 2 ]
2 4 𝑅
1
𝐷 = 𝛼ሺ𝑥̇ − 𝑠̇ ሻ2
2
L’équation du mouvement.
𝑘
𝑥̈ + 2𝛿𝑥̇ + 𝜔02 𝑥 = 2 𝑠 + 𝛼𝑠̇
3 𝐿 2
[2 𝑀 + 𝑚 (1 − 𝑅 ) ]
2. La solution de l’équation du mouvement.
En régime permanent : 𝑥 = 𝑥0 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡+𝜑ሻ
On trouve :
𝑘
𝑥= 2 + 𝑗𝛼𝜔 𝑠
3 𝐿 2 2
[2 𝑀 + 𝑚 (1 − 𝑅 ) ] [𝜔 − 𝜔0 + 2𝑗𝛿𝜔]
2
L’amplitude est :
2
√(𝑘) + ሺ𝛼𝜔ሻ2
2
𝑥0 = 𝑠0
3 𝐿 2 2 ሻ2
[2 𝑀 + 𝑚 (1 − 𝑅 ) ] √[ሺ𝜔 − 𝜔0 + ሺ2𝛿𝜔ሻ ]
2 2
3. Après calcul :
𝜔𝑅 = 𝜔0
82
N. MAGHLAOUI
4. L’impédance d’entrée :
𝐹 3 𝐿 2 1 𝐿
𝑍𝑒 = = 𝛼 + 𝑗 [ 𝑀 + 𝑚 (1 − ) ] 𝜔 + [𝑘 + 𝑚𝑔 2 ]
𝑥̇ 2 𝑅 𝑗𝜔 𝑅
Partie 3 : Système à deux degré libre

1. Les équations du mouvement
3 𝐿 2 𝐿
[ 𝑀 + 𝑚 (1 − ) ] 𝑥̈ 1 + 𝛼𝑥̇ 1 + [2𝑘 + 𝑚𝑔 2 ] 𝑥1 − 𝑘𝑥2 = 0
2 𝑅 𝑅
3
𝑀𝑥̈ 2 + 𝑘𝑥2 − 𝑘𝑥1 = 0
{2
2. Les pulsations propres :
9 𝐿
Dans le cas où : 𝐿 = 2𝑅, 𝑚 = 2 𝑀 et 𝑚𝑔 𝑅2 = 2𝑘.
𝑘 𝑘
𝜔1 = √ , 𝜔2 = √
3𝑀 𝑀
3. Les solutions générales.
Les rapports d’amplitudes sont 2 pour le mode 1 et -2 pour le mode 2.
𝑥0
𝑥1 = [cosሺ𝜔1 𝑡ሻ + 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔2 𝑡ሻ]
{ 2
𝑥2 = 𝑥0 [𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔1 𝑡ሻ − 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔2 𝑡ሻ]
Partie 4 : Système à deux degré forcé

1. Les équations du mouvement :
𝑘
6𝑀𝑥̈ 1 + 𝛼𝑥̇ 1 + 4𝑘𝑥1 − 𝑘𝑥2 = 𝑠 + 𝛼𝑠̇
{ 2
3
𝑀𝑥̈ 2 + 𝑘𝑥2 − 𝑘𝑥1 = 0
2
2. Les pulsations de résonance sont :
𝑘 𝑘
𝜔1 = √ , 𝜔2 = √
3𝑀 𝑀
La pulsation d’antirésonance est :
2𝑘
𝜔𝑎 = √
3𝑀
3. Les équations aux vitesses sont :
𝑘 𝑘 𝑘
6𝑗𝑀𝜔𝑥̈ 1 + 𝛼𝑥̇ 1 + 3 𝑥̇ 1 + ሺ𝑥̇ 1 − 𝑥̇ 2 ሻ = 𝑠 + 𝛼𝑠̇
𝑗𝜔 𝑗𝜔 2
3 𝑘
𝑗𝑀𝜔𝑥̈ 2 + ሺ𝑥̇ 2 − 𝑥̇ 1 ሻ = 0
{2 𝑗𝜔
4. Le schéma électrique équivalent :
1
𝑘 6𝑀 ⟺ 𝐿1 3𝑘 ⟺
(𝐹 = 𝑠 + 𝛼𝑠̇ ) ⟺ 𝑒 𝐶1
{ 2 , { 3 , , 𝛼⟺𝑅
𝑀 ⟺ 𝐿2 1
𝑥̇ 1,2 ⟺ 𝑖1,2 2 𝑘⟺
{ 𝐶2
83
N. MAGHLAOUI
𝑖2
𝐿1 𝑅
𝑖1 𝑖2 − 𝑖1
𝐶2 𝐿2
𝑒ሺ𝑡ሻ
𝐶1
Exercice 12
On considère un cylindre plein homogène de masse M et de rayon R, en rotation autour de l’axe fixe
passant par le point O. Une tige OB rigide, de longueur ℓ1 et de masse négligeable est soudée à l’un des
rayons du cylindre. Son centre est relié à un bâti B1 par l’intermédiaire d’un ressort 4𝑘 en parallèle avec
un amortisseur de coefficient de frottement visqueux 4𝛼 qui schématise les forces de frottements. Une
masse ponctuelle 𝑚1 est soudée à l’extrémité inférieure de la tige B et est reliée à un bâti B2 par
l'intermédiaire d'un ressort de raideur 𝑘 (voir figure 20). Une tige homogène ሺ𝑚2 , ℓ2 ሻde centre G est
soudée à l’un des rayons du cylindre ሺ𝑀, 𝑅ሻ de sorte qu’elle forme un angle de 90° avec la tige OB. A
l'équilibre, la tige OB est verticale ሺ𝜃 = 0ሻ. On désigne par 𝜃ሺ𝑡ሻ le déplacement angulaire par rapport à
leur position d'équilibre.
𝑦
ሺ𝑀, 𝑅ሻ
ሺ𝑚2 , ℓ2 ሻ
𝐺
𝑂 𝜃 𝑂 𝐺 ሺ𝑚2 , ℓ2 ሻ
x
ℓ1
𝜃 2
4α ℓ1 4α
B1 B1
2
𝐴 𝐴
ℓ1
4k 2 4k
ℓ1
k B2
k B2 2
B m1 m1
(2.b) Système en oscillation (2.a) Système en équilibre

Figure 20
On s'intéresse aux oscillations de faible amplitude et on note 𝑔 l'accélération de la pesanteur.
84
N. MAGHLAOUI
1. Dans le cas où 𝑅 = ℓ1 ⁄2 = ℓ2 ⁄√3, 𝑚 = 𝑚1 = 𝑚2 ⁄2 = 𝑀⁄4 et 𝑚𝑔/𝑅 = 4𝑘, montrer que l’équation
différentielle du mouvement s’écrit :
𝜃̈ + 2𝛿𝜃̇ + 𝜔02 𝜃 = 0
Donner les expressions de 𝛿 et 𝜔0 en fonction de 𝛼, 𝑚 et 𝑘.
Quelle condition doit-on imposer au système mécanique pour avoir un mouvement oscillatoire ?
2. Donner dans ce cas la forme de la solution 𝜃ሺ𝑡ሻ.
3. Après 5 pseudos périodes l’amplitude est égale à 25% de l’amplitude initiale. Déterminer les valeurs
numériques de la constante de raideur k et du coefficient frottement 𝛼. On donne 𝑚 = 1𝑘𝑔, 𝑇𝑎 = 1𝑠.
85
N. MAGHLAOUI
Solution
1. L’énergie cinétique du système : 𝑇 = 𝑇𝑀 + 𝑇𝑚1 + 𝑇𝑚2
1 11 1
L’énergie cinétique du disque de masse M : 𝑇𝑀 = 2 𝐼/𝑂 𝜃̇ 2 = 2 2 𝑀𝑅 2 𝜃̇ 2 = 2 2𝑚𝑅 2 𝜃̇ 2
1 1
L’énergie cinétique de la masse 𝑚1 : 𝑇𝑚1 = 2 𝑚1 ℓ12 𝜃̇ 2 = 2 𝑚4𝑅 2 𝜃̇ 2
L’énergie cinétique de la masse 𝑚2 :
1 1 1 ℓ22 2 1 ℓ22 2 1 ℓ22 2 1
𝑇𝑚2 = 𝑚2 𝑣𝐺 + 𝐼/𝐺 𝜃 = 𝑚2 𝜃 + 𝑚2 𝜃 = 𝑚2 𝜃̇ = 2𝑚𝑅 2 𝜃̇ 2
2 ̇ 2 ̇ ̇
2 2 2 4 2 12 2 3 2
1 2 ̇2
L’énergie cinétique totale : 𝑇 = 2 8𝑚𝑅 𝜃
1 ℓ 2 1 𝜃2
L’énergie potentielle U : 𝑈 = 2 4𝑘 ( 21) 𝜃 2 + 2 𝑘ሺℓ1 ሻ2 𝜃 2 + 𝑚1 𝑔ℓ1 2
1
𝑈 = ሺ8𝑘𝑅 2 + 2𝑚𝑔𝑅ሻ𝜃 2
2
comme : 𝑚𝑔/𝑅 = 4𝑘
alors :
1
𝑈 = 16𝑘𝑅 2 𝜃 2
2
1 ℓ 2
1 1
La fonction de dissipation D : 𝐷𝛼 = 2 4𝛼 ( 21 ) 𝜃̇ 2 = 2 𝛼ℓ12 𝜃̇ 2 = 2 4𝛼𝑅 2 𝜃̇ 2
L’équation de mouvement
[ ]+ −[ ]=0
𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃
𝜃̈ + 2𝛿𝜃̇ + 𝜔02 𝜃 = 0
avec : 𝛿 = 𝛼⁄4𝑚
et : 𝜔02 = 2𝑘⁄𝑚
2. Pour avoir un régime oscillatoire il faudrait que la condition 𝛿 < 𝜔0 soit satisfaite.
3. dans ce cas ሺ𝛿 < 𝜔0 ሻ la solution s’écrit sous la forme : 𝜃ሺ𝑡ሻ = 𝜃0 𝑒 −𝛿𝑡 cosሺ𝜔𝑎 𝑡 + 𝜑ሻ
avec :𝜔𝑎 = √𝜔02 − 𝛿 2
𝜃0 : représente l’amplitude initiale et 𝜑 : représente la phase initiale.
1
4. En utilisant l’expression du décrément logarithmique nous avons : 𝐷 = 5 𝑙𝑛ሺ4ሻ = 0.28
de plus 𝐷 = 𝛿𝑇𝑎 ⟹ 𝛿 = 𝐷⁄𝑇𝑎 = 0.28 𝑠 −1

connaissant l’expression de 𝛿 en fonction de 𝛼 et 𝑚 : 𝛼 = 4𝛿𝑚 = 1.12 𝑘𝑔 ∙ 𝑠 −1
et
𝑚 𝑚
𝑘 = 𝜔02 = ሺ𝜔𝑎2 + 𝛿 2 ሻ = 19.78 𝑁 ∙ 𝑚−1
2 2
86
N. MAGHLAOUI
Exercice 13
On considère un oscillateur linéaire à deux degrés de liberté, dont les énergies cinétique et potentielle sont
données par :
1 1
𝑇= 𝑚𝑥̇ 12 + 4𝑚𝑥̇ 22 + 𝑚𝑥̇ 1 𝑥̇ 2
2 2
1 1
𝑈= 4𝑘𝑥12 + 16𝑘𝑥22 − 4𝑘𝑥1 𝑥2
2 2
1. Ecrire les équations du mouvement du système.
2. Trouver les pulsations propres 𝜔1 et 𝜔2 .
3. Trouver les solutions 𝑥1 et 𝑥2 .
4. On applique sur le degré de liberté 𝑥1 une force d’excitation sinusoïdale 𝐹ሺ𝑡ሻ = 𝐹0 𝑒 𝑗𝜔𝑡 . Trouver la
solution en régime permanent. A quelle pulsation observe-t-on les phénomènes de résonance et
d’antirésonance.
Solution
1. Les matrices énergies cinétique et potentielle sont :
𝑚 𝑚 4𝑘 −4𝑘
[𝑇] = [ ] , [𝑈] = [ ]
𝑚 4𝑚 −4𝑘 16𝑘
L’équation du mouvement s’écrit :
𝑥̈ 𝑥 𝑚 𝑚 𝑥̈ 1 4𝑘 −4𝑘 𝑥1
[𝑇] [ 1 ] + [𝑈] [𝑥1 ] = 0 ⟹ [ ][ ] + [ ][ ] = 0
𝑥̈ 2 2 𝑚 4𝑚 𝑥̈ 2 −4𝑘 16𝑘 𝑥2
2. Les solutions 𝑥1 et 𝑥2 s’écrivent :
𝑥1 = 𝐴1 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑥̈ 1 = −𝜔2 𝐴1 𝑒 𝑗𝜔𝑡 = −𝜔2 𝑥1

{ ⟹{
𝑥2 = 𝐴2 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑥̈ 2 = −𝜔2 𝐴2 𝑒 𝑗𝜔𝑡 = −𝜔2 𝑥2
En remplaçant dans l’équation du mouvement :
[ 4𝑘 − 𝑚𝜔 2
2
−4𝑘 − 𝑚𝜔2 ] [𝐴1 ] = 0
−4𝑘 − 𝑚𝜔 16𝑘 − 4𝑚𝜔2 𝐴2
Nous recherchons des solutions non triviales. Le déterminant de la matrice doit être nul :
2
| 4𝑘 − 𝑚𝜔 2 −4𝑘 − 𝑚𝜔2 | = 0 ⟹ ሺ4𝑘 − 𝑚𝜔2 ሻሺ16𝑘 − 4𝑚𝜔2 ሻ − ሺ4𝑘 + 𝑚𝜔2 ሻ2 = 0
−4𝑘 − 𝑚𝜔 16𝑘 − 4𝑚𝜔2
Nous obtenons :
4𝑘 2 12𝑘
𝜔12 = ,𝜔 =
3𝑚 2 𝑚
87
N. MAGHLAOUI
3. Les rapports d’amplitudes dans les deux modes sont :
𝐴21 1 𝐴22 1
= , =−
𝐴11 2 𝐴12 2
Les solutions générales s’écrivent :

𝑥1 𝑦1
[𝑥 ] = [𝐴] [𝑦 ]
2 2
Avec :
1 1
[𝐴] = [1 1]
−
2 2
et :
𝑦1 𝐴 cosሺ𝜔1 𝑡 + 𝜑1 ሻ
[𝑦 ] = [ 11 ]
2 𝐴12 cosሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑2 ሻ
[𝐴] représente la matrice de passage, 𝑦1 et 𝑦2 les coordonnées propres ou normales.
Les combinaisons linéaires des solutions particulières sont des solutions, ainsi :
𝑥1 2 2 𝐶1 cosሺ𝜔1 𝑡 + 𝜑1 ሻ
[𝑥 ] = [ ][ ]
2 1 −1 𝐶2 cosሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑2 ሻ
Dans ce cas, la matrice de passage s’écrit :
[𝐴] = [2 2 ]
1 −1
4. La force est appliquée sur le degré de liberté 𝑥1 , l’équation du mouvement s’écrit :
𝑥̈ 𝑥
[𝑇] [ 1 ] + [𝑈] [𝑥1 ] = [𝐹 ]
𝑥̈ 2 2 0
ou bien :
𝑦̈ 𝑦
[𝑇][𝐴] [ 1 ] + [𝑈][𝐴] [𝑦1 ] = [𝐹 ]
𝑦̈ 2 2 0
En multipliant l’équation par la transposée de la matrice de passage [𝐴]𝑡 :
𝑦̈ 𝑦
[𝐴]𝑡 [𝑇][𝐴] [ 1 ] + [𝐴]𝑡 [𝑈][𝐴] [𝑦1 ] = [𝐴]𝑡 [𝐹 ]
𝑦̈ 2 2 0
Avec :
[𝐴]𝑡 = [2 1
]
2 −1
88
N. MAGHLAOUI
Cela nous permet de diagonaliser les matrices énergies cinétique et potentielle :
12𝑚 0 𝑦̈ 1 16𝑘 0 𝑦1 2𝐹
[ ][ ] + [ ] [𝑦 ] = [ ]
0 4𝑚 2𝑦̈ 0 48𝑘 2 2𝐹
En inversant par la matrice de passage :
𝐹
𝑦̈ 𝜔12 0 𝑦1 6𝑚
[ 1] + [ 2 ] [𝑦2 ] = [ 𝐹 ]
𝑦̈ 2 0 𝜔2
2𝑚
Comme :
𝑦1 = 𝐴1 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑦̈ 1 = −𝜔2 𝐴1 𝑒 𝑗𝜔𝑡 = −𝜔2 𝑦1

{ ⟹ {
𝑦2 = 𝐴2 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑦̈ 2 = −𝜔2 𝐴2 𝑒 𝑗𝜔𝑡 = −𝜔2 𝑦2
En remplaçant dans l’équation du mouvement :
𝐹
𝜔12 −𝜔 2
0 𝑦1 6𝑚
[ 2 2 ] [𝑦2 ] = [ 𝐹 ]
0 𝜔2 − 𝜔
2𝑚
Nous obtenons :
𝐹 1
𝑦1 6𝑚 𝜔12 − 𝜔 2
[𝑦 ] =
2 𝐹 1
[ 2𝑚 𝜔22 −𝜔 2 ]
Les solutions 𝑥1 et 𝑥2 sont obtenue par la relation :
𝐹 1 1 1
2 2 + 2
𝑥1 2 1 6𝑚 𝜔1 − 𝜔 2 𝐹 3ሺ𝜔1 − 𝜔 ሻ 2ሺ𝜔2 −𝜔 2 ሻ
2
[𝑥 ] = [ ] =
2 2 −1 𝐹 1 𝑚 1 1
2 2 − 2
[ 2𝑚 𝜔2 −𝜔 ]
2 [3ሺ𝜔1 − 𝜔 ሻ 2ሺ𝜔2 −𝜔 2 ሻ]
2
Le phénomène de résonance correspond à des amplitudes infinies, cela se produit si :
𝜔𝑅1 = 𝜔1 et 𝜔𝑅2 = 𝜔2
L’antirésonance est observée lorsque 𝑥1 = 0, cela est possible si :
3𝜔12 + 2𝜔22 28𝑘

𝜔𝑎 = √ =√
5 5𝑚
89
N. MAGHLAOUI
Problème 5
Dans le système mécanique représenté par la figure 21, le cylindre de masse M et de rayon R peut rouler
sans glisser sur un plan horizontal. Il est relié au bâti B1 par l’intermédiaire d’un ressort K1 au point A et
au bâti B2 au point C, par l’intermédiaire d’un ressort K2. Une tige homogène de longueur 2L, de masse
m lui est soudée sur l'un de ses diamètres. G est le centre de masse de la tige et du disque.
- Les bâtis B1, B2 sont fixes dans tout le problème.
- A l’équilibre, la tige est verticale et les deux ressorts sont au repos. Lors du mouvement, la rotation
du cylindre par rapport à sa position d’équilibre est repérée par l'angle θ(t).
I. Régime libre conservatif (Figure 21).
On écarte la tige d’une amplitude θ0 très faible et on l'abandonne sans vitesse initiale.
1. Déterminer l’énergie potentielle du système 𝑈ሺ𝜃ሻ et son énergie cinétique 𝑇(𝜃̇).
2. Etablir l'équation du mouvement et montrer que sa pulsation propre s'écrit sous la forme
𝐾1 ሺ𝐿 + 𝑅ሻ2 + 𝐾2 ሺ2𝑅ሻ2
𝜔0 = √ 2
3 2 + 𝑚 (𝑅 2 + 𝐿 )
𝑀𝑅
2 3
3. Donner la solution générale des oscillations de ce système en tenant compte des conditions initiales.
𝐵1 y 𝐵1 𝑦
𝐾1 𝐾1
𝐴 𝐴
𝐾2 ሬሬሬሬሬሬ⃗
𝐺𝐺′
𝐶 𝐾2
𝐵2 𝐶
ሺ𝑀, 𝑅ሻ 𝐵2
ሺ𝑀, 𝑅ሻ 𝑥 𝑥
𝐺 𝐺′
𝐺
ሺ𝑚, 2𝐿ሻ
ሺ𝑚, 2𝐿ሻ 𝜃
𝐵 𝐵
(a) : Système en équilibre (b) : Système en oscillation
Figure 21 : Système en oscillations libres
90
N. MAGHLAOUI
II. Régime forcé (Figure 22).
Le système évolue maintenant en présence de frottements visqueux de coefficient α qu'on schématise par
un amortisseur fixé au bâti B1 et relié au centre de masse G (Figure 22).
On applique perpendiculairement à l'extrémité B de la tige une force sinusoïdale:
𝐹ሺ𝑡ሻ = 𝐹0 sin 𝜔𝑡
1. Etablir l’équation différentielle du mouvement du système en fonction de θ.
2. Montrer que la solution générale de l'évolution (mouvement) de ce système est constituée de deux
termes. Donner le nom de chacun d'eux.
3. Déterminer avec démonstration la solution de l’évolution du système dans son régime permanent.
4. Donner la puissance moyenne sur une période fournie au système 〈𝑃𝐹 ሺ𝜔ሻ〉 𝑇 et son expression à la
résonance 〈𝑃𝐹 ሺ𝜔 = 𝜔𝑅 ሻ〉 𝑇 en fonction des données du problème.
5. Tracer la courbe représentative de la puissance moyenne sur une période. Trouver en faisant le calcul,
les pulsations 𝜔1 et 𝜔2 pour lesquelles la puissance moyenne est égale la moitié de la puissance
moyenne maximale. En déduire la largeur de la bande passante puis donner le facteur de qualité du
système.
𝐾 y
A
𝐾2
𝐺𝐺′
𝐶 𝐵2
'
𝐵1 x
𝛼 G G'
ሺ𝑚, 2𝐿ሻ
𝜃
B
𝐹ሺ𝑡ሻ = 𝐹0 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡
Figure 22: Système en oscillations forcées
91
N. MAGHLAOUI
Solution
Régime libre conservatif.
1. Expression de l'énergie potentielle 𝑈ሺ𝜃ሻ et l'énergie cinétique 𝑇(𝜃̇ )

1 1
𝑈ሺ𝜃ሻ = 𝑈𝐾1 + 𝑈𝐾2 = 𝐾1 ሺ𝑅 + 𝐿ሻ2 𝜃 2 + 𝐾2 ሺ2𝑅𝜃ሻ2
2 2
2
1 3 𝑚𝐿
𝑇(𝜃̇ ) = 𝑇𝑀 + 𝑇𝑚 = [( 𝑀 + 𝑚) 𝑅 2 + ] 𝜃̇ 2
2 2 3
2. Equation du mouvement du système
𝑑 𝜕𝑇 𝜕𝑈 [𝐾1 ሺ𝑅 + 𝐿ሻ2 + 4𝐾2 𝑅 2 ]

+ ̈
=0⟹𝜃+ ̈ 2
𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 3 𝐿2 𝜃 = 0 ⟹ 𝜃 + 𝜔0 𝜃 = 0
[2 𝑀𝑅 2 + 𝑚𝑅 2 + 𝑚 3 ]
On voit bien que

[𝐾1 ሺ𝑅 + 𝐿ሻ2 + 4𝐾2 𝑅 2 ]
𝜔02
=
3 𝐿2
[2 𝑀𝑅 2 + 𝑚𝑅 2 + 𝑚 3 ]
3. Solution générale du régime libre conservative
𝜃 = 𝐶 𝑒 𝑗ሺ𝜔0𝑡+𝜑ሻ avec 𝐶 et 𝜑 sont les constantes d'intégration que nous détermineront
avec les conditions initiales suivantes : 𝜃ሺ𝑡 = 0ሻ = 𝜃0 et 𝜃̇ ሺ𝑡 = 0ሻ = 0
𝐶 = 𝜃0
{
𝜑=0
On a donc
𝐾1 ሺ𝑅 + 𝐿ሻ2 + 4𝐾2 𝑅 2
𝜃ሺ𝑡ሻ = 𝜃0 cosሺ𝜔0 𝑡ሻ = 𝜃0 𝑐𝑜𝑠 √ 𝑡
3 2 2 𝐿2
2 𝑀𝑅 + 𝑚𝑅 + 𝑚 3
( )
III. Régime forcé.
1. Etablir l’équation différentielle du mouvement du système en fonction de θ.
1 2
𝐷= 𝛼 (𝑅𝜃̇ሺ𝑡ሻ)
2
𝑈𝑔 = 𝐹ሺ𝑡ሻሺ𝐿 − 𝑅ሻ𝜃ሺ𝑡ሻ = 𝐹0 ሺ𝐿 − 𝑅ሻ cosሺ𝜔𝑡ሻ 𝜃ሺ𝑡ሻ
Equation du mouvement
𝑑 𝜕𝑇 𝜕𝐷 𝜕𝑈 𝜕𝑈𝑔
+ + =
𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 𝜕𝜃
3 𝐿2
[ 𝑀𝑅 2 + 𝑚𝑅 2 + 𝑚 ] 𝜃̈ + 𝛼𝑅 2 𝜃̇ + [𝐾1 ሺ𝑅 + 𝐿ሻ2 + 𝐾2 4𝑅 2 ]𝜃 = 𝐹0 ሺ𝐿 − 𝑅ሻ 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔𝑡ሻ
2 3
𝜃̈ + 2𝛿𝜃̇ + 𝜔02 𝜃 = 𝑓0 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔𝑡ሻ
92
N. MAGHLAOUI
𝛼𝑅 2 𝐹0 ሺ𝐿 − 𝑅ሻ
𝛿= , 𝑓0 =
3 𝐿2 3 𝐿2
2 [2 𝑀𝑅 2 + 𝑚𝑅 2 + 𝑚 3 ] [2 𝑀𝑅 2 + 𝑚𝑅 2 + 𝑚 3 ]
2. La résolution de l'équation du mouvement du régime forcé
𝜃̈ + 2𝛿𝜃̇ + 𝜔02 𝜃 = 𝑓0 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔𝑡ሻ se fera en deux étapes;
La résolution de l'équation sans second membre (résolution de l'équation homogène)
𝜃̈ + 2𝛿𝜃̇ + 𝜔02 𝜃 = 0
et la résolution de l'équation avec second membre.
𝜃̈ + 2𝛿𝜃̇ + 𝜔02 𝜃 = 𝑓0 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔𝑡ሻ
La résolution de l'équation sans second membre (résolution de l'équation homogène) correspond à la

solution du régime libre conservatif qui disparait toujours au bout d'un certain temps court. On
l'appelle donc la solution du régime transitoire.
Il ne restera donc dans la solution générale que la contribution venant de la solution de l'équation
différentielle avec second membre, qu'on appelle la solution du régime permanent.
3. Solution de l’évolution du système dans son régime permanent.

On prend la solution particulière de type sinusoïdale
𝜃𝑝 = 𝐶 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡+𝜑ሻ
avec :
𝐹0 ሺ𝐿 − 𝑅ሻ 1 2𝛿𝜔
𝐶= , 𝑡𝑔ሺ𝜑ሻ = −
3 𝐿2 2 ሺ𝜔02− 𝜔2ሻ
[2 𝑀𝑅 2 + 𝑚𝑅 2 + 𝑚 3 ] √ሺ𝜔0 − 𝜔 ሻ + ሺ2𝛿𝜔ሻ
2 2 2
La solution générale est donc
𝐹0 ሺ𝐿 − 𝑅ሻ 1
𝜃ሺ𝑡ሻ = 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡+𝜑ሻ
3 𝐿2 2
[2 𝑀𝑅 2 + 𝑚𝑅 2 + 𝑚 3 ] √ሺ𝜔0 − 𝜔 ሻ + ሺ2𝛿𝜔ሻ
2 2 2
4. Donner la puissance moyenne sur une période fournie au système 〈𝑃𝐹 ሺ𝜔ሻ〉 𝑇
𝐹02 ሺ𝐿 − 𝑅ሻ2 ሺ2𝛿𝜔ሻ2

〈𝑃𝐹 ሺ𝜔ሻ〉 𝑇 =
3 𝐿2 ሺ𝜔2 − 𝜔 2 ሻ2 + ሺ2𝛿𝜔ሻ2
4𝛿 [2 𝑀𝑅 2 + 𝑚𝑅 2 + 𝑚 3 ] 0
Son expression à la résonance 〈𝑃𝐹 ሺ𝜔 = 𝜔𝑅 = 𝜔0 ሻ〉 𝑇 en fonction des données du problème
𝐹02 ሺ𝐿 − 𝑅ሻ2
〈𝑃𝐹 ሺ𝜔 = 𝜔𝑅 = 𝜔0 ሻ〉 𝑇 =
3 𝐿2
4𝛿 [2 𝑀𝑅 2 + 𝑚𝑅 2 + 𝑚 3 ]
93
N. MAGHLAOUI
5. courbe représentative de la puissance moyenne sur une période.
‫ ۧ𝑃ۦ‬ሺ𝑊𝑎𝑡𝑡ሻ
‫ 𝑥𝑎𝑚ۧ𝑃ۦ‬4
B
‫𝑥𝑎𝑚ۧ𝑃ۦ‬
2
2
0
0 2 4 6 8 10 𝜔ሺ𝑟𝑎𝑑/𝑠ሻ
𝜔1 𝜔0 𝜔2
Figure 23 : Courbe de résonance en puissance
Les pulsations 𝜔1 et 𝜔2 pour lesquelles la puissance moyenne est égale la moitié de la puissance
moyenne maximale.
Après calcul on trouve
𝜔1 = √𝜔02 + 𝛿 2 − 𝛿
𝜔 = √𝜔02 + 𝛿 2 + 𝛿
{ 2
-La largeur de la bande passante : Δ𝜔 = |𝜔2 − 𝜔1 | = 2𝛿
-Le facteur de qualité du système : 𝑄 = 𝜔0 ⁄2𝛿
94
N. MAGHLAOUI
Ondes transversales le long
d’une corde
95
N. MAGHLAOUI
Résumé de cours
1. Equation d’onde
Considérons une corde homogène de masse linéique 𝜇, de longueur infinie et tendue rectilignement
avec une tension 𝑇0 constante selon la direction 𝑥 (Figure 1). On néglige les effets de la pesanteur.
Une perturbation de faible amplitude suivant l’axe Oy est décrite par l’équation suivante :
𝜕 2𝑢 1 𝜕 2𝑢
− =0
𝜕𝑥 2 𝑣 2 𝜕𝑡 2
𝑣 représente la vitesse de l’onde : 𝑣 = √𝑇0 /𝜇
Cette équation est appelée équation d’onde de d’Alembert.
En mouvement T
0
𝐹𝑦 ሺ𝑥 + ∆𝑥ሻ
𝑦 θ(x+∆x)
θ(x) 𝐹𝑦 ሺ𝑥ሻ
à l’équilibre
T
0
𝑢𝑦 ሺ𝑥, 𝑡ሻ
𝑥 𝑥 + ∆𝑥 𝑥
∆𝑥 ሬ⃗ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑢𝑦 ሺ𝑥, 𝑡ሻ𝑒⃗𝑦
𝑢
Figure 1
La solution générale de cette équation est la somme de deux solutions particulières :

𝑥 𝑥
𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐹 (𝑡 − ) + 𝐺 (𝑡 + )
𝑣 𝑣
𝐹 repeésente à une onde qui se propage dans le sens des x positifs.
𝐺 repeésente à une onde qui se propage dans le sens des x négatifs.
La solution dans le cas d’une onde plane progressive et sinusoidale s’écrit :
𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑈0 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ
2. Impédance
On définit l’impédance en un point par le rapport de la force à la vitesse.
𝐹ሺ𝑥, 𝑡ሻ
𝑍ሺ𝑥ሻ =
𝑢̇ ሺ𝑥, 𝑡ሻ
𝐹ሺ𝑥, 𝑡ሻ représente la projection suivant l’axe Oy de la force exercée, en ce point, par la partie gauche
sur la partie droite :
𝜕𝑢
𝐹ሺ𝑥, 𝑡ሻ = −𝑇0
𝜕𝑥
96
N. MAGHLAOUI
Dans le cas d’une onde progressive : 𝑍ሺ𝑥ሻ = √𝜇𝑇0 ∀𝑥
Cette impédance est appelée impédance caractéristique de la corde 𝑍𝑐 .
3. Réflexion et transmission dans le cas de deux cordes semi infinies

Soit deux cordes de longueur semi-infinie, reliées en 𝑥 = 0. Leurs masses linéiques sont
respectivement 𝜇1 et 𝜇2 . Lorsqu’une onde venant de −∞ se propage vers 𝑥 = 0 dans la première
corde, elle donne naissance au point de jonction, 𝑥 = 0, à une onde réfléchie et une onde transmise.
Corde 1 : 𝑥 ≤ 0
𝑢1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑈𝐼 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘1𝑥ሻ + 𝑈𝑅 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡+𝑘1𝑥ሻ
{ 𝜕𝑢1
𝐹1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = −𝑇0 = 𝑖𝑘1 𝑇0 [𝑈𝐼 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘1𝑥ሻ − 𝑈𝑅 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡+𝑘1𝑥ሻ ]
𝜕𝑥
où 𝑈𝐼 et 𝑈𝑅 représentent respectivement les amplitudes de l’onde incidente et réfléchie.
Onde incidente Onde réfléchie Onde transmise
𝑥’ 𝑥
Corde 1 (𝑇, 𝜇1 ) O Corde 2 (𝑇,𝜇2 )
Figure 2
Corde 2 : 𝑥 ≥ 0
𝑢2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑈𝑇 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘2𝑥ሻ
{ 𝜕𝑢2
𝐹2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑇0 = −𝑖𝑘2 𝑇0 𝑈𝑇 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘2𝑥ሻ
𝜕𝑥
L’écriture de la continuité du déplacement et l’application du principe fondamental de la dynamique

en 𝑥 = 0 permet d’obtenir le coefficient de réflexion et de transmission:
𝑈𝑅
𝑅=
𝑈𝐼
𝑈𝑇
𝑇=
𝑈𝐼
Nous trouvons :
𝑍𝐶1 − 𝑍𝐶2
𝑅=
𝑍𝐶1 + 𝑍𝐶2
2𝑍𝐶1
𝑇=
𝑍𝐶1 + 𝑍𝐶2
Dans le cas où la 2ème corde est remplacée par une impédance terminale (masse, ressort, amortisseur
etc…), alors :
𝑍𝐶 − 𝑍𝑇
𝑅=
𝑍𝐶 + 𝑍𝑇
𝑍𝑇 = 𝑖𝑚𝜔 dans le cas d’une masse 𝑚.
𝑍𝑇 = 𝑏/𝑖𝜔 dans le cas d’un ressort de raideur 𝑏.
𝑍𝑇 = 𝛼 dans le cas d’un amortisseur de coefficient 𝛼.
97
N. MAGHLAOUI
Les puissances des ondes incidente, réfléchie et transmise sont respectivement :
𝜕𝑢𝑖
𝑃𝑖 = 𝐹𝑖 𝑢̇ 𝑖 = −𝑇0 𝑢̇ 𝑖 = 𝜔2 𝑍𝑐1 [𝑈𝐼 sinሺ𝜔𝑡 − 𝑘1 𝑥ሻ]2
𝜕𝑥
𝜕𝑢𝑟
𝑃𝑟 = 𝐹𝑟 𝑢̇ 𝑟 = 𝑇0 𝑢̇ = 𝜔2 𝑍𝑐1 [𝑈𝑅 sinሺ𝜔𝑡 + 𝑘1 𝑥ሻ]2
𝜕𝑥 𝑟
𝜕𝑢𝑡
𝑃𝑡 = 𝐹𝑡 𝑢̇ 𝑡 = −𝑇0 𝑢̇ = 𝜔2 𝑍𝑐2 [𝑈𝑇 sinሺ𝜔𝑡 − 𝑘2 𝑥ሻ]2
𝜕𝑥 𝑡
𝑢𝑖 , 𝑢𝑟 et 𝑢𝑡 sont respectivement les ondes incidente, réfléchie et transmise.
Les puissances moyennes correspondantes sont respectivement :
1 2
〈𝑃𝑖 〉 = 𝜔 𝑍𝑐1 𝑈𝐼2
2
1 2
〈𝑃𝑟 〉 = 𝜔 𝑍𝑐1 𝑈𝑅2
2
1 2
〈𝑃𝑡 〉 = 𝜔 𝑍𝑐2 𝑈𝑇2
2
En on déduit les coefficients de réflexion et de transmission en puissance :
〈𝑃𝑟 〉 𝑍1 − 𝑍2 2
𝑅𝑃 = =( )
〈𝑃𝑖 〉 𝑍1 + 𝑍2
〈𝑃𝑡 〉 4𝑍1 𝑍2
𝑇𝑃 = =
〈𝑃𝑖 〉 ሺ𝑍1 + 𝑍2 ሻ2
98
N. MAGHLAOUI
99
N. MAGHLAOUI
Exercice 1
Rappeler la forme générale des solutions 𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ de l’équation d’onde
𝜕 2𝑢 1 𝜕 2𝑢 (1)
− =0
𝜕𝑥 2 𝑉 2 𝜕𝑡 2
Les fonctions
ሺ𝑥 − 𝑉𝑡ሻ2
𝑢1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴 𝑒𝑥𝑝 [− ] (2)
𝜎2
𝑢2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑥 2 − 𝑉 2 𝑡 2 (3)
𝑥2
𝑢3 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴 (𝑡 2 + 2 ) (4)
𝑉
𝑥 − 𝑉𝑡
𝑢4 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴 cos [𝜔 (𝑡 − )] (5)
𝑉′
𝑢5 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴 cos[𝑘𝑥]cos[𝜔𝑡] (6)
Décrivent-elles des ondes solutions de l’équation (1) ?
Solution
La solution générale de l’équation d’onde est :
𝑥 𝑥
𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐹 (𝑡 − ) + 𝐺 (𝑡 + )
𝑉 𝑉
𝐹 et 𝐺 sont respectivement les fonctions d’ondes progressive et régressive.
Pour montrer que 𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ est solution de de l’équation d’ondes de d’Alembert avec une vitesse de
propagation des ondes égale à 𝑉, on peut :
• soit vérifier directement l’équation
𝜕 2𝑢 1 𝜕 2𝑢
− =0
𝜕𝑥 2 𝑉 2 𝜕𝑡 2
• soit utiliser le théorème de d’Alembert et vérifier que 𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ est de la forme

𝑥 𝑥
𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐹 (𝑡 − ) + 𝐺 (𝑡 + )
𝑉 𝑉
où 𝐹ሺ𝑝ሻ et 𝐺ሺ𝑞ሻ sont des fonctions arbitraires.
Vérification :
• La fonction 𝑢1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ est une fonction d’onde car elle vérifie l’équation d’onde de d’Alembert.
• La fonction 𝑢2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ ne vérifie pas l’équation d’onde, elle n’est donc pas une fonction d’onde.
• La fonction 𝑢3 ሺ𝑥, 𝑡ሻ est une fonction d’onde car elle vérifie l’équation d’onde.
• La fonction 𝑢4 ሺ𝑥, 𝑡ሻ ne vérifie pas l’équation d’onde, elle n’est donc pas une fonction d’onde.
• La fonction 𝑢3 ሺ𝑥, 𝑡ሻ est une fonction d’onde car elle vérifie l’équation d’onde.
100
N. MAGHLAOUI
Exercice 2
𝑦
Une corde infiniment longue est tendue le long de 𝑆
l’axe 𝑥′𝑂𝑥. Une onde transverse progressive se
propage sur cette corde sans se déformer vers les x
croissants. La forme de la corde à l’instant 𝑡 = 0 est
2
donnée par la fonction : 𝑦 = 𝑎 𝑒 −𝛼𝑥 .
où a et α sont des constantes (Figure 1). 𝑥′ 𝑥0 𝑥
Figure 1
On appelle sommet de l’onde le point de la corde dont le déplacement par rapport à sa position d’équilibre
est maximal. Le sommet de l’onde à l’instant 𝑡 = 0 est en 𝑆 d’abscisse 𝑥 = 0.
1. Représenter l’allure de la corde à l’instant 𝑡0 où le sommet de l’onde atteint le point d’abscisse 𝑥 =

𝑥0 . On reproduira sur la même figure l’allure de la corde à l’instant 𝑡 = 0.
2. Quelle est à l’instant 𝑡0 , en termes de 𝑥, 𝑎, 𝛼 et 𝑥0 , la fonction 𝑦 = 𝑓ሺ𝑥ሻ qui d´ecrit la forme de la

corde ?
Solution
1. L’allure de la corde lorsque l’onde atteint le 𝑦
point d’abscisse 𝑥0 est représentée sur la figure
ci-contre.
2. La courbe est la translatée de 𝑥0 de la courbe à
l’instant 𝑡 = 0 :
2
𝑦 = 𝑎 𝑒 −𝛼ሺ𝑥−𝑥0ሻ
𝑥′ 𝑂 𝑥0 𝑥
101
N. MAGHLAOUI
Exercice 3
y
25 cm 25 cm
2 cm
A B
x′
x
10 cm 10 cm 15 cm 15 cm 10 cm 10 cm
Figure 2
Une corde infiniment longue est tendue le long de l’axe x′Ox. Deux ondes transverses progressives se
propagent en sens opposés sur la corde. A l’instant 𝑡 = 0 𝑠, les deux ondes ont une forme triangulaire et
se dirigent l’une vers l’autre (Figure 2). La vitesse de propagation de ces ondes est 𝑉 = 10 𝑚𝑠 −1 .
Représenter l’allure de la corde à l’instant 𝑡 = 0.02 𝑠. On marquera sur la figure les points A et B de la
corde (d’abscisses ±15 cm) ainsi que suffisamment d’indications (cotes) pour déterminer complètement
la forme de la corde.
Solution
A l’instant 𝑡 = 0.02 𝑠, la forme de la corde résulte de la superposition de deux ondes
y
2 cm
A
x′ 10 cm 10 cm
x
et
y
2 cm
B
x′ x
10 cm 10 cm
2 cm
A B
x′ 10 cm 10 cm
x
10 cm
102
N. MAGHLAOUI
Exercice 4
Une corde de longueur 𝐿 = 50 𝑐𝑚 est tendue
entre deux points A (d’abscisse 𝑥𝐴 = 0) et B
(d’abscisse 𝑥𝐵 = 𝐿). La masse linéique de la
A B
corde est 𝜇 = 10 𝑔𝑚−1 et la tension de la corde
est 𝑇0 . On observe dans la corde une onde
transversale, harmonique, stationnaire de
fréquence 𝑓 = 500 𝐻𝑧. La corde prend l’aspect
de la figure ci-contre.
1. Expliquer le sens des mots transversale, harmonique et stationnaire.
2. Donner l’expression 𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ du déplacement du point d’abscisse 𝑥 à l’instant 𝑡 pour 𝑥𝐴 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥𝐵

sachant qu’à 𝑡 = 0 la corde est dans sa position d’équilibre et que la valeur maximum de 𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ est
A. On écrira 𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ en fonction de 𝑥, 𝑡, 𝑓, 𝐿 et 𝐴. S’il y a plusieurs solutions 𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ, on les donnera
toutes.
3. Représenter la forme de la corde à divers instants. Expliquer pourquoi la corde prend l’aspect de la
figure.
4. Déterminer numériquement la longueur d’onde 𝜆, la vitesse 𝑉 des ondes de la corde et la tension de

la corde 𝑇0 .
Solution
1. Transversale : les points de la corde se déplacent perpendiculairement à Ox (comparer à onde

longitudinale).
Harmonique : l’onde est sinusoïdale.
Stationnaire : tous les points de la corde vibrent en phase ou en opposition de phase (comparer à onde
progressive).
2. La forme générale d’une onde stationnaire harmonique est (λ : longueur d’onde)
2𝜋𝑥
𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴 sin [ + 𝜓] sin[2𝜋𝑓𝑡 + 𝜙]
𝜆
L’onde présente deux fuseaux. On a donc les conditions : 𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 0 ∀𝑡 pour 𝑥 = 0, 𝑥 = 𝐿⁄2 et 𝑥 = 𝐿,
pour les autres valeurs de 𝑥 ሺ0 < 𝑥 < 𝐿⁄2 ou 𝐿⁄2 < 𝑥 < 𝐿ሻ, 𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ n’est pas identiquement nul.
Puisque 𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ, à tout instant 𝑡, est une sinusoïde en 𝑥, ces conditions impliquent que 𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ est
proportionnel à sinሺ2𝜋𝑥 ⁄𝐿ሻ. On en déduit que 𝜓 = 0 et 𝜆 = 𝐿. La condition à 𝑡 = 0 donne 𝜙 (mod π).
On a donc, le signe ne pouvant être déterminé par les conditions de l’énoncé.
2𝜋𝑥
𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ = ±𝐴 𝑠𝑖𝑛 [ ] sin[2𝜋𝑓𝑡]
𝐿
103
N. MAGHLAOUI
3. La figure ci-contre représente la forme de la corde aux
instants 𝑡𝑛 = 𝑛𝑇⁄16 pour n = 0, 1, . . . , 15. La période
A B
𝑇 = 1⁄𝑓 = 0.002 𝑚𝑠 est très petite devant le temps de
persistance des images rétiniennes. La corde apparaît
comme la superposition de toutes les positions de la corde
4. 𝜆 = 𝐿 = 50 𝑐𝑚, 𝑉 = 𝜆⁄𝑇 = 250 𝑚𝑠 −1, 𝑉 = √𝑇0 ⁄𝜇

donne 𝑇0 = 𝜇𝑉 2 = 625 𝑁.
Exercice 5
Une corde infinie de masse linéique μ est soumise à une tension 𝑇0 supposée constante. Une masse
ponctuelle M est accrochée sur la corde en x = 0 (Figure 3). Une onde de pulsation ω arrive de -∞ et
progresse dans la direction des x positifs. On néglige le poids de la corde et on étudie les petits
déplacements u(x,t) de la corde.
M Figure 3
x
x=0
1. Ecrire l’expression de 𝑢1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ pour les x négatifs et 𝑢2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ pour les x positifs en fonction des
coefficients de réflexion R et de transmission T en déplacement au point 𝑥 = 0.
2. Montrer que la force transversale agissant sur M s’écrit :
𝜕𝑢2 ሺ0, 𝑡ሻ 𝜕𝑢1 ሺ0, 𝑡ሻ

𝐹ሺ0, 𝑡ሻ = 𝑇0 [ − ]
𝜕𝑥 𝜕𝑥
3. En utilisant la continuité des déplacements en 𝑥 = 0 et en appliquant la relation fondamentale de la
dynamique sur la masse M, déterminer le coefficient de réflexion R en 𝑥 = 0.
4. Quelles sont les valeurs limites de R quand M → 0 et M → ∞ ? Expliquer l’état de la corde pour ces
deux cas.
Solution
1.
𝑢1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ + B𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡+𝑘𝑥ሻ et 𝑢2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐶𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ avec 𝑘 = 𝜔⁄𝑉 où V est la vitesse de
propagation des ondes dans la corde .
En partant des définitions des coefficients de réflexion et de transmission, nous avons :

B 𝐶
𝑅 = et 𝑇 =
𝐴 𝐴
Ce qui nous permet d’écrire :

𝑢1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴𝑒 𝑗𝜔𝑡 (𝑒 −𝑗𝑘𝑥 + R𝑒 𝑗𝑘𝑥 ) et 𝑢2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴𝑇𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ
104
N. MAGHLAOUI
2. En appliquant la RFD sur la masse M :
𝜕𝑢2 𝜕𝑢1
𝐹ሺ0ሻ = 𝑇0 ( | − | )
𝜕𝑥 𝑥=0 𝜕𝑥 𝑥=0
3. Continuité du déplacement en 𝑥 = 0: 𝑢1 ሺ0, 𝑡ሻ = 𝑢2 ሺ0, 𝑡ሻ ⟹ 1 + 𝑅 = 𝑇

En appliquant la relation fondamentale de la dynamique:
De la RFD, nous avons : 𝑍ሺ0ሻ = 𝑍𝑐 + 𝑗𝑀𝜔.
Nous trouvons donc :

𝑍𝑐 − 𝑍ሺ0ሻ −𝑗𝑀𝜔
𝑅= =
𝑍𝑐 + 𝑍ሺ0ሻ 2𝑍𝑐 + 𝑗𝑀𝜔
4. Quand 𝑀 ⟶ 0 nous avons 𝑅 ⟶ 0 nous avons une réflexion nulle, nous sommes donc dans le cas
d’une corde infinie.
Quand 𝑀 ⟶ ∞ nous avons 𝑅 ⟶ −1 l’extrémité de la corde se comporte comme un point fixe en
𝑥 = 0, ce qui donne une réflexion totale avec inversion de l’amplitude.
105
N. MAGHLAOUI
Exercice 6
Une corde de longueur L, de masse linéique μ=10 g/m, au point A se trouve une masse m =0.1 Kg retenue
par deux ressorts identiques de raideur b/2=125 Nm-1 chacun, elle est tendue par une masse M = 1kg
au point fixe B (Figure 4). A l’équilibre la corde est horizontale. La masse m ainsi que la corde AB sont
soumises à des déplacements transversaux sinusoïdaux de pulsation ω de faibles amplitudes.
b/2
U𝑝 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ U𝑟 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐵𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡+𝑘𝑥ሻ
A 𝑚 B
0 b/2
Figure 4
M
𝑥
𝑥 = 0 𝐿
1. Calculer les impédances 𝑍𝐴 et 𝑍𝐵 aux points d’abscisse 𝑥 = 0 et 𝑥 = 𝐿.
2. Calculer les coefficients de réflexion 𝑟𝐴 (au point A) et 𝑟𝐵 (au point B). Déterminer les modules 𝑅𝐴 et
𝑅𝐵 et les arguments 𝜃𝐴 , 𝜃𝐵 .
3. En tenant compte des résultats des deux questions précédentes montrer que l’équation aux pulsations
propres s’exprime par :
𝑏
𝑚𝜔 − 𝜔
ωL
ctg ( )=
V 𝑍𝐶
ZC : représente l’impédance caractéristique de la corde.
4. La longueur 𝐿 de la corde est ajustée de sorte à avoir des ondes stationnaires avec un ventre de
déplacement au point A.
a. En déduire la valeur de la pulsation ω ?
b. Calculer la valeur de L pour observer la 1ère harmonique. (les harmoniques sont les modes de
vibration après le mode fondamental).
106
N. MAGHLAOUI
Solution
1. Au point 𝐴 ሺ𝑥 = 0ሻ, Système mécanique 𝑧𝐴 = 𝑗ሺ𝑚𝜔 − 𝑏⁄𝜔ሻ
En 𝐵 ሺ𝑥 = 𝐿ሻ, on a un point fixe 𝑍𝐵 ⇒ ∞
2.
𝐵 2𝑗𝑘𝐿 𝑍𝐶 − 𝑍𝐵
𝑟𝐵 = 𝑒 = = −1
𝐴 𝑍𝐶 + 𝑍𝐵
𝑏
𝐴 𝑍𝐶 − 𝑍𝐴 𝑍𝐶 − 𝑗ሺ𝑚𝜔 − 𝜔 ሻ
𝑟𝐴 = = =
𝐵 𝑍𝐶 + 𝑍𝐴 𝑍 + 𝑗ሺ𝑚𝜔 − 𝑏 ሻ
𝐶 𝜔
𝑅𝐵 = 1, 𝜃𝐵 = 𝜋
𝑏
𝑚𝜔 − 𝜔
𝑅𝐴 = 1, 𝜃𝐴 = −2 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔 [ ]
𝑍𝐶
3. 𝑟𝐴 𝑟𝐵 = 𝑒 2𝑗𝑘𝐿 = 𝑅𝐴 𝑅𝐵 𝑒 𝑗ሺ𝜃𝐴+𝜃𝐵 ሻ d’où : 2𝑘𝐿 − ሺ𝜃𝐴 + 𝜃𝐵 ሻ = 2𝑛𝜋
et
𝑏
𝜔𝐿 ሺ𝑚𝜔 − 𝜔ሻ
ctg ( ) =
𝑉 𝑍𝐶
4. a. ventre de déplacement en A ሺ𝑥 = 0ሻ
b
𝑧𝐴 = 0 ⇒ ω = √ = 50 𝑟𝑑𝑠 −1
m
b. A la 1ère harmonique nous avons
3𝜆 3𝑉 3𝜋 𝑀𝑚𝑔
𝐿= ,𝐿 = = √ ≈ 𝜋 ሺ𝑚ሻ
4 4𝑓 2 𝑏𝜇
107
N. MAGHLAOUI
Exercice 7
Le système de la figure 5 est constitué d’une corde homogène de masse linéique 𝜇1 qui est tendue
horizontalement avec une tension 𝑇. En 𝑥 = 0, on fixe une seconde corde homogène de longueur 𝐿 et
de masse linéique 𝜇2 , soumise à la même tension 𝑇. En 𝑥 = 𝐿, la corde 2 est reliée à un système
mécanique constitué d’un amortisseur de coefficient de frottement visqueux 𝛼, d’une masse 𝑀 et d’un
ressort de raideur 𝑏.
b
M
T, µ1 T, µ2
α
-∞ x
x=0 x=L
Figure 5
Dans les deux cordes, l’équation de propagation est vérifiée :
1. Une onde incidente venant de −∞, en un point 𝑥 de la (corde 1) elle est de la forme :
𝑦𝑖 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴1 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘1𝑥ሻ
Donner les expressions des ondes résultantes 𝑦1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ (dans la corde1) et 𝑦2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ (dans la deuxième
corde). On prendra 𝐴2 , 𝐵2 comme amplitudes des ondes dans la corde 2.
Préciser les vitesses 𝑉1 et 𝑉2 en fonction des caractéristiques des 2 cordes.
2.
a. Calculer l’impédance 𝑍2 ሺ𝑥ሻ en tout point 𝑥 de la corde 2, en fonction des données du
problème. Déduire 𝑍2 ሺ𝑥 = 𝐿ሻ et déterminer son expression en fonction des paramètres du
système mécanique (𝑀, 𝑏, 𝛼 et 𝜔).
b. Calculer le coefficient de réflexion 𝜌𝐿 au point 𝑥 = 𝐿, en fonction de 𝛼, 𝑀, 𝑏, la pulsation 𝜔
et de l’impédance 𝑍𝐶2 .
3. A quelles conditions le coefficient 𝜌𝐿 s’annule-t-il ? Montrer que dans cette condition le système peut
se comporter comme :
𝑍𝐶2 La corde 1 fermée par 𝑍𝐶2
ou bien deux cordes semi-infinies
−∞ +∞
𝑥=0
108
N. MAGHLAOUI
4. Calculer le coefficient ρ0 en 𝑥 = 0, pour quelle valeur de α s’annule-t-il ? Montrer que lorsque α = 0,
il y a une réflexion totale, montrer que le déplacement résultant dans la corde 1 s’écrit :
𝑦1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑓ሺ𝑡ሻ𝑐𝑜𝑠 ሺ𝑘1 𝑥 ሻ
Préciser 𝑓ሺ𝑡ሻ.
Solution
1. 𝑦1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴1 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘1𝑥ሻ + 𝐵1 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡+𝑘1𝑥ሻ , 𝐵1 = ρ0 𝐴1
𝑦2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴2 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘2𝑥ሻ + 𝐵2 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡+𝑘2𝑥ሻ , 𝐴2 = τ0 𝐴1
avec
T T
V1 = √ , V2 = √
μ1 μ2
2. a.
𝜕𝑦2
−𝑇 −𝑗𝑘2 𝑥
− 𝐵2 𝑒 𝑗𝑘2𝑥
Z2 ሺ𝑥ሻ = 𝜕𝑥 = 𝑍 𝐴2 𝑒
𝐶2
𝜕𝑦2 𝐴2 𝑒 −𝑗𝑘2 𝑥 + 𝐵2 𝑒 𝑗𝑘2𝑥
𝜕𝑡
𝑏
Z2 ሺ𝐿ሻ = 𝛼 + 𝑗 (𝑀𝜔 − )
𝜔
2. b .
b
ZC2 − α − jሺMω − ωሻ
ρL =
b
ZC2 + α + jሺMω − ωሻ
b
3. ρL = 0 si ω = √M et ZC2 = α
Quand il n’y a pas de réflexion la corde peut être considérée soit par une corde de longueur infinie ou
une corde finie fermée par son impédance caractéristique.
4.
ZC1 − ZC2 ZC1 − α

ρ0 = =
ZC1 + ZC2 ZC1 + α
Pour α =ZC1 ρ0 s’annule
Pour α =0 ρ0 = 1 (réflexion totale)
𝑦1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴1 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘1𝑥ሻ + ρ0 𝐴1 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡+𝑘1𝑥ሻ
𝑦1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 2𝐴1 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡ሻ cos ሺ𝑘1 𝑥ሻ
109
N. MAGHLAOUI
Exercice 8
𝑍𝐿
x
x=0 x=L
Figure 6
On considère une corde de longueur finie L, de masse linéique μ et tendue à l’équilibre avec une tension
T. On place au point 𝑥 = 0 (origine des abscisses 𝑥) une source d’onde sinusoïdale 𝑆ሺ𝑡ሻ = 𝑆0 𝑒 𝑗𝜔𝑡 . La
corde est terminée en 𝑥 = 𝐿 par une impédance terminale 𝑍𝐿 (Figure 6).
1. Donner l’équation mathématique qui régit la propagation d’une onde transversale le long de cette
corde. Quelle est la solution générale de cette équation et donner le sens physique des termes qui la
composent ? On appellera 𝐴 et 𝐵 les amplitudes et 𝑘 le module du vecteur d’onde.
2. En utilisant la définition de l’impédance en un point x du milieu de propagation, montrer que :
𝐵
1 − 𝐴 𝑒 2𝑗𝑘𝑥
𝑍ሺ𝑥ሻ = 𝑍𝑐
𝐵
1 + 𝐴 𝑒 2𝑗𝑘𝑥
Que représente l’impédance 𝑍𝑐 et donner son expression en fonction des caractéristiques de la corde.
3. Dans le cas où la corde est fixe en son extrémité 𝑥 = 𝐿, trouver par le calcul, la condition que doit
satisfaire la longueur 𝐿 de cette corde si on veut que le point d’abscisse 𝑥 = 0 soit considéré comme
un nœud de vibration. Comment appelle-t-on ce type d’ondes ?
Solution
1. L’équation régissant la propagation de l’onde sur la corde est l’équation de d’Alembert ou l’équation
de propagation.
𝜕 2𝑦 1 𝜕 2𝑦
− =0
𝜕𝑥 2 𝑉 2 𝜕𝑡 2
La solution générale est la superposition d’ondes progressives et régressives. L’onde régressive a pour
origine le phénomène de réflexion, qui est dû à une variation d’impédance.
𝑦ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ + B𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡+𝑘𝑥ሻ
2. Impédance en un point quelconque x de la corde.
L’impédance est égale à la cause sur l’effet.
𝜕𝑦
Fy ሺ𝑥, 𝑡ሻ = −𝑇 = 𝑗𝑘𝑇(𝐴𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ − 𝐵𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡+𝑘𝑥ሻ )
𝜕𝑥
110
N. MAGHLAOUI
𝜕𝑦ሺ𝑥, 𝑡ሻ
𝑦̇ ሺ𝑥, 𝑡ሻ = = 𝑗𝜔(𝐴 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ + 𝐵𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡+𝑘𝑥ሻ )
𝜕𝑡
D’où :
𝜕𝑦
−𝑇 −𝑗𝑘𝑥
− 𝐵𝑒 𝑗𝑘𝑥
Zሺ𝑥ሻ = 𝜕𝑥 = 𝑍 𝐴𝑒
𝑐
𝜕𝑦 𝐴𝑒 −𝑗𝑘𝑥 + 𝐵𝑒 𝑗𝑘𝑥
𝜕𝑡
𝐵
1 − 𝐴 𝑒 2𝑗𝑘𝑥
𝑍ሺ𝑥ሻ = 𝑍𝑐
𝐵
1 + 𝐴 𝑒 2𝑗𝑘𝑥
avec 𝑍𝑐 = √𝜇𝑇
Zc est l’impédance caractéristique de la corde.
3. Si l’extrémité en L est fixe, l’impédance en 𝑥 = 𝐿 tend vers l’infinie, nous avons alors un nœud de
vibration :
𝐵 2𝑗𝑘𝐿
𝑒 = −1
𝐴
Nous avons aussi une 2ème condition en 𝑥 = 0, 𝑍ሺ𝑥 = 0ሻ ⟶ ∞, d’où : 𝐵 = −𝐴.
Nous concluons donc que cosሺ2𝑘𝐿ሻ = 1 ⟹ 𝐿 = 𝑛𝜆⁄2.
Ce type d’ondes est appelé, ondes stationnaires.
111
N. MAGHLAOUI
Exercice 9
Une corde de longueur L et de masse linéique m est tendue horizontalement avec une tension T. Elle est
reliée à son extrémité en 𝑥 = 𝐿 à un bâti fixe. L’extrémité située en 𝑥 = 0 est soumise à une force
sinusoïdale d’amplitude 𝐹0 et de pulsation 𝜔. On appelle 𝑦ሺ𝑥, 𝑡ሻ le déplacement d’un point d’abscisse 𝑥
de la corde à l’instant 𝑡. ( figure 7.a).
1. a. Donner les conditions aux limites en 𝑥 = 0 et 𝑥 = 𝐿 :
b. Montrer que l’expression de y(x,t) peut se mettre sous la forme : 𝑦ሺ𝑥, 𝑡ሻ = Ψሺ𝑥ሻΦሺ𝑡ሻ. Donner
l’expression de Ψሺ𝑥ሻ en fonction de 𝐹0 , du nombre d’onde 𝑘 de 𝐿 et de 𝑇.
2. Déterminer les positions des points d’amplitude maximale (ventres) en fonction de la longueur
d’onde 𝜆 et de la longueur 𝐿 de la corde. Quelle est la distance qui sépare deux nœuds successifs.
3. Quelle doit être la pulsation de la force 𝐹ሺ𝑡ሻ pour observer le phénomène de résonance.
4. On considère maintenant la corde libre en 𝑥 = 𝐿 (Figure 7.b). Répondre aux mêmes questions
que précédemment.
Extrémité fixe
F(t)
𝑥=0 𝑥=𝐿
Figure 7.a
F(t) Extrémité libre
𝑥=0 𝑥=𝐿
Figure 7.b
112
N. MAGHLAOUI
Solution
1. En partant de l’expression de l’onde :
𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ + 𝐵𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡+𝑘𝑥ሻ (1)
𝐴 et 𝐵 sont respectivement les amplitudes des ondes progressives et régressives.
En utilisant les conditions aux limites en 𝑥 = 0 et 𝑥 = 𝐿 (Figure 7.a) :
𝐹ሺ0, 𝑡ሻ = 𝐹0 𝑒 𝑖𝜔𝑡 ⟹ 𝑖𝑘𝑇ሺ𝐴 − 𝐵ሻ = 𝐹0 (2)

et :
𝑢ሺ𝐿, 𝑡ሻ = 0 ⟹ 𝐵 = −𝐴𝑒 −2𝑖𝑘𝐿 (3)
A partir des équations (1) et (3), nous obtenons :
𝐵 𝑖𝑘𝑥
𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴𝑒 𝑖𝜔𝑡 [𝑒 −𝑖𝑘𝑥 + 𝑒 ] = 𝐴𝑒 𝑖𝜔𝑡 [𝑒 −𝑖𝑘𝑥 − 𝑒 𝑖𝑘ሺ𝑥−2𝐿ሻ ] = 𝐴𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘𝐿ሻ [𝑒 𝑖𝑘ሺ𝐿−𝑥ሻ − 𝑒 𝑖𝑘ሺ𝑥−𝐿ሻ ]
𝐴
𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 2𝑖𝐴 sin[𝑘ሺ𝐿 − 𝑥ሻ] 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘𝐿ሻ (4)

Des conditions aux limites (équations (2) et (3)), nous avons :
𝐵
𝑖𝑘𝑇𝐴 (1 − ) = 𝐹0 ⟹ 𝑖𝑘𝑇𝐴(1 + 𝑒 −2𝑖𝑘𝐿 ) = 𝐹0 ⟹ 2𝑖𝑘𝑇𝐴𝑒 −𝑖𝑘𝐿 cosሺ𝑘𝐿ሻ = 𝐹0
𝐴
D’où l’expression de 𝐴 en fonction de 𝐹0 , 𝑘 et 𝐿 :
𝐹0
𝐴= 𝑒 𝑖𝑘𝐿 (5)
2𝑖𝑘𝑇 cosሺ𝑘𝐿ሻ
En remplaçant l’expression de 𝐴 dans l’équation d’onde 𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ en (4), on trouve :
𝐹0
𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑠𝑖𝑛[𝑘ሺ𝐿 − 𝑥ሻ] 𝑒 𝑖𝜔𝑡 (6)
𝑘𝑇 𝑐𝑜𝑠ሺ𝑘𝐿ሻ
Par identification :
𝐹0
Ψሺ𝑥ሻ = sin[𝑘ሺ𝐿 − 𝑥ሻ] , Φሺ𝑡ሻ = 𝑒 𝑖𝜔𝑡
𝑘𝑇 cosሺ𝑘𝐿ሻ
2. La position des ventres et des nœuds :

Nous avons un maximum (ventre) lorsque :
𝜋
sin[𝑘ሺ𝐿 − 𝑥ሻ] = ±1 ⟹ 𝑘ሺ𝐿 − 𝑥ሻ = ሺ2𝑛 + 1ሻ
2
d’où :
𝜆
𝑥𝑚𝑎𝑥 = 𝐿 − ሺ2𝑛 + 1ሻ
4
avec 𝑛 ∈ ℕ.
Nous avons un minimum (nœud) lorsque :
sin[𝑘ሺ𝐿 − 𝑥ሻ] = 0 ⟹ 𝑘ሺ𝐿 − 𝑥ሻ = 𝑛𝜋
d’où :
𝜆
𝑥𝑚𝑖𝑛 = 𝐿 − 𝑛
2
113
N. MAGHLAOUI
avec 𝑛 ∈ ℕ.
3. Pour avoir résonance il faut que cosሺ𝑘𝐿ሻ = 0

ce qui donne
𝜋𝑉
𝜔 = ሺ2𝑛 + 1ሻ
2𝐿
4. Cas de la figure 7.b
La condition en 𝑥 = 𝐿 devient :
𝐹ሺ𝐿, 𝑡ሻ = 0 ⟹ 𝐴𝑒 −𝑖𝑘𝐿 − 𝐵𝑒 𝑖𝑘𝐿 = 0 ⟹ 𝐵 = 𝐴𝑒 −2𝑖𝑘𝐿 (7)
A partir des équations (1) et (7), nous obtenons :
𝐵 𝑖𝑘𝑥
𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴𝑒 𝑖𝜔𝑡 [𝑒 −𝑖𝑘𝑥 + 𝑒 ] = 𝐴𝑒 𝑖𝜔𝑡 [𝑒 −𝑖𝑘𝑥 + 𝑒 𝑖𝑘ሺ𝑥−2𝐿ሻ ] = 𝐴𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘𝐿ሻ [𝑒 𝑖𝑘ሺ𝐿−𝑥ሻ + 𝑒 𝑖𝑘ሺ𝑥−𝐿ሻ ]
𝐴
𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 2𝐴 cos[𝑘ሺ𝐿 − 𝑥ሻ] 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘𝐿ሻ (8)

Des conditions aux limites (équatiosn (2) et (7)), nous avons :
𝐵
𝑖𝑘𝑇𝐴 (1 − ) = 𝐹0 ⟹ 𝑖𝑘𝑇𝐴(1 − 𝑒 −2𝑖𝑘𝐿 ) = 𝐹0 ⟹ −2𝑘𝑇𝐴𝑒 −𝑖𝑘𝐿 sinሺ𝑘𝐿ሻ = 𝐹0
𝐴
D’où l’expression de 𝐴 en fonction de 𝐹0 , 𝑘 et 𝐿 :
𝐹0
𝐴=− 𝑒 𝑖𝑘𝐿
2𝑘𝑇 sinሺ𝑘𝐿ሻ
En remplaçant l’expression de 𝐴 dans l’équation d’onde 𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ en (8), on trouve :
𝐹0
𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ = cos[𝑘ሺ𝐿 − 𝑥ሻ] 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡+𝜋ሻ (9)
𝑘𝑇 sinሺ𝑘𝐿ሻ
𝐹0
Ψሺ𝑥ሻ = cos[𝑘ሺ𝐿 − 𝑥ሻ] , Φሺ𝑡ሻ = 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡+𝜋ሻ
𝑘𝑇 sinሺ𝑘𝐿ሻ
Les positions des ventres et des nœuds sont respectivement :

𝜆
𝑥𝑚𝑎𝑥 = 𝐿 − 𝑛
2
et
𝜆
𝑥𝑚𝑖𝑛 = 𝐿 − ሺ2𝑛 + 1ሻ
4
Nous avons résonance lorsque sinሺ𝑘𝐿ሻ = 0.
ce qui donne
𝜋𝑉
𝜔=𝑛
𝐿
114
N. MAGHLAOUI
Exercice 10
On considère une corde de longueur 𝐿 = 63 𝑐𝑚 et de masse linéique 𝜇 = 2 10−2 𝑘𝑔 𝑚−1 . La corde est
fixée en ses extrémités (les points 𝑥 = 0 et 𝑥 = 𝐿 de l’axe 𝑂𝑥) et tendue avec la tension 𝑇0 . La vitesse des
ondes transverses de la corde est 𝑉 = 50 𝑚 𝑠 −1.
1. a. Déterminer la tension 𝑇0 en fonction de 𝜇 et 𝑉. Donner les dimensions de 𝑇0 , 𝜇 et 𝑉 et vérifier

l’homogénéité de la formule obtenue.
b. Calculer la valeur numérique de la tension 𝑇0 .
c. Ecrire l’équation d’onde de d’Alembert vérifiée par le déplacement 𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ.
2. On considère l’onde stationnaire

𝜋𝑥
𝑢1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴 sin ( ) cosሺ𝜔1 𝑡ሻ
𝐿
a. Montrer que 𝑢1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ est solution de l’équation d’ondes de d’Alembert (question 1.c.), pour une
valeur de 𝜔1 que l’on déterminera littéralement en fonction de L et c puis numériquement. Déterminer
littéralement et numériquement la fréquence 𝑓1 et la période 𝑇1 de cette onde.
b. Dessiner l’aspect de la corde vibrante.
c. Expliquer le qualificatif stationnaire donné à cette onde.
3. On considère l’onde stationnaire
2𝜋𝑥
𝑢2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴 sin ( ) sinሺ𝜔2 𝑡ሻ
𝐿
Montrer que l’équation précédente (𝑢2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ) est également solution de l’équation d’onde de la
question 1.c. pour une valeur de 𝜔2 que l’on déterminera littéralement et numériquement. Déterminer
littéralement et numériquement la fréquence 𝑓2 et la période 𝑇2 de cette onde
4. On considère l’onde
𝜋𝑥 2𝜋𝑥
𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴 [𝑠𝑖𝑛 ( ) cosሺ𝜔1 𝑡ሻ + sin ( ) sinሺ𝜔2 𝑡ሻ]
𝐿 𝐿
où 𝜔1 et 𝜔2 ont les valeurs déterminées dans les questions 2.a. et 3.
a. Montrer que l’expression précédente est solution de l’équation de d’Alembert de la question 1.c.
b. Cette onde est-elle stationnaire? Cette onde est-elle périodique?
c. On pose
𝜕𝑢
𝑓ሺ𝑥ሻ = 𝑢ሺ𝑥, 𝑡 = 0ሻ et 𝑔ሺ𝑥ሻ = ሺ𝑥, 𝑡 = 0ሻ
𝜕𝑡
Représenter graphiquement 𝑓ሺ𝑥ሻ et 𝑔ሺ𝑥ሻ en fonction de x ሺ0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿ሻ.
d. Expliquer comment un expérimentateur peut créer l’onde 𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ en préparant la corde à l’instant
𝑡 = 0.
115
N. MAGHLAOUI
5. On désire augmenter de 5 % la fréquence du mode de vibration de la corde considéré dans la question
2.
a. Montrer que c’est possible en modifiant la longueur de la corde, sans modifier la tension. Calculer
la nouvelle longueur de la corde.
b. Donner une autre façon d’obtenir la même modification de la fréquence sans modifier ni la longueur
de la corde, ni sa masse linéique. Calculer la nouvelle valeur de la grandeur modifiée.
Solution
1. a. La formule de la corde vibrante donne 𝑇0 = 𝜇𝑉 2 . Les dimensions sont [𝑇0 ] = 𝑀𝐿𝑇 −2 , [𝜇] = 𝑀𝐿−1
et [𝑉] = 𝐿𝑇 −1 , 𝑇0 = 𝜇𝑉 2 est bien homogène.
1. b. 𝑇0 = 5000 𝑁.
1. c. L’équation d’onde est
𝜕 2 𝑢1 1 𝜕 2 𝑢1
− =0
𝜕𝑥 2 𝑉 2 𝜕𝑡 2
2. a. On calcule 𝜕 2 𝑢1 ⁄𝜕𝑡 2 = −𝜔12 𝑢1 et 𝜕 2 𝑢1 ⁄𝜕𝑥 2 = −ሺ𝜋 2 ⁄𝐿2 ሻ𝑢1
En remplaçant dans l’équation d’onde
𝜔12 𝜋 2
[ 2 − ( ) ] 𝑢1 = 0
𝑉 𝐿
d’où on tire 𝜔1 = 𝜋𝑉 ⁄𝐿 = 2493 𝑟𝑎𝑑 𝑠 −1 .
La fréquence est 𝑓1 = 𝜔1⁄2𝜋 = 𝑉 ⁄2𝐿 = 397 Hz et la période 𝑇1 = 1⁄𝑓1 = 2𝐿⁄𝑉 = 2.52 𝑚𝑠
2. b. La figure de gauche représente la forme de la corde aux instants 𝑡𝑛 = 𝑛𝑇1 ⁄16 pour n entier. La
période 𝑇1 = 2.52 ms est très petite devant le temps de persistance des images rétiniennes, la corde
apparaît comme sur la figure de droite (Figure 8).
0 𝐿 0 𝐿
Figure 8
2. c. Stationnaire : tous les points de la corde vibrent en phase ou en opposition de phase (comparer à
onde progressive). Mathématiquement, 𝑢1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ est factorisé en un produit d’une fonction de t et d’une
fonction de x.
116
N. MAGHLAOUI
3. La résolution est similaire à la question 2. On obtient 𝜔2 = 2𝜔1 = 2𝜋𝑉 ⁄𝐿 = 4886 𝑟𝑎𝑑 𝑠 −1 , 𝑓2 =
2𝑓1 = 𝑉 ⁄𝐿 = 794 𝐻𝑧 et 𝑇2 = 𝑇1 ⁄2 = 𝐿⁄𝑉 = 126 𝑚𝑠.
4. a. 𝑢 = 𝑢1 + 𝑢2 est la somme (superposition) de deux solutions de l’équation d’onde. L’équation

d’onde étant linéaire, c’est aussi une solution.
4. b. L’onde 𝑢 n’est pas stationnaire. L’onde 𝑢 est périodique de période temporelle 𝑇1 :
𝑢ሺ𝑥, 𝑡 + 𝑇1 ሻ = 𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ.
4. c. 𝑓ሺ𝑥ሻ représente la forme de la corde à l’instant 𝑡 = 0 (Figure 9.a).

𝜋𝑥
𝑓ሺ𝑥ሻ = 𝐴 sin ( )
𝐿
𝑔ሺ𝑥ሻ représente la vitesse d’un point d’abscisse 𝑥 à l’instant 𝑡 = 0 (Figure 9. b).
2𝜋𝑥
𝑔ሺ𝑥ሻ = 𝐴𝜔2 sin ( )
𝐿
𝑓ሺ𝑥ሻ 𝑔ሺ𝑥ሻ
0 𝐿 0 𝐿
Figure 9. a Figure 9. b
4. d. L’expérimentateur peut mettre la corde en mouvement en déplaçant transversalement chaque point

d’abscisse 𝑥 ∈ [0, 𝐿] de la corde de 𝑓ሺ𝑥ሻ et en lui communiquant la vitesse transverse 𝑔ሺ𝑥ሻ à l’instant
𝑡 = 0. Ces conditions initiales déterminent complètement le mouvement de la corde, et, comme
𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ y satisfait, l’expérimentateur a ainsi créé l’onde 𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ.
5. a. La fréquence est
𝑉 1 𝑇0
𝑓1 = = √
2𝐿 2𝐿 𝜇
On peut l’augmenter de 5 % en diminuant la longueur 𝐿 de 5% à tension constante. La nouvelle

longueur est 𝐿′ = 60 𝑐𝑚.
5. b. On peut augmenter la fréquence de 5% sans modifier la longueur de la corde en augmentant la

tension de 10 %. La nouvelle tension est 𝑇0′ = 5500 𝑁.
117
N. MAGHLAOUI
Exercice 11
Partie A
Une corde infinie de masse linéique μ est soumise à une tension 𝑇0 , supposée constante et très grande
devant son poids. Une onde de pulsation 𝜔 arrive de −∞ et progresse dans la direction des x positifs. On
étudie les petits déplacements 𝑦ሺ𝑥, 𝑡ሻ de la corde.
1. Donner l’équation régissant l’évolution du déplacement des particules 𝑦ሺ𝑥, 𝑡ሻ. Comment appelle-t-on
cette équation ?
2. Donner l’expression de 𝑦ሺ𝑥, 𝑡ሻ et déterminer l’impédance de la corde 𝑍ሺ𝑥ሻ. Calculer sa valeur

numérique, sachant que la corde est en cuivre, de diamètre 𝑑 = 0.4 𝑚𝑚 et de masse volumique 𝜌 =
8900 𝑘𝑔 𝑚−3. On donne aussi : 𝑇0 = 10 𝑁.
3. Calculer numériquement la vitesse de propagation de l’onde.
Partie B

entre deux points fixes, A (d’abscisse 𝑥𝐴 = 0)
et B (d’abscisse 𝑥𝐵 = 𝐿). Sa masse linéique est
A B
𝜇 = 10 𝑔𝑚−1 et sa tension est 𝑇0 . On observe
dans la corde une onde transversale,
harmonique, stationnaire de fréquence 𝑓 =
500 𝐻𝑧. La corde prend l’aspect de la figure ci-
contre.
5. Ecrire l’expression de l’onde 𝑦ሺ𝑥, 𝑡ሻ sous la forme d’une superposition de deux termes. Donner le
sens physique de chaque terme.
6. En utilisant la condition, en 𝑥 = 0, montrer que l’onde s’écrit sous la forme du produit de deux
fonctions que l’on explicitera.
7. A partir de la forme de la corde, donner la relation entre 𝑘 et 𝐿. On écrira 𝑦ሺ𝑥, 𝑡ሻ en fonction de 𝑥, 𝑡,

𝜔, 𝐿 et son amplitude 𝐴.
figure précédente (figure ci-dessus).
la corde 𝑇0 .
Partie C
On se propose maintenant d’étudier la réflexion et transmission entre deux cordes homogènes, semi
infinies, en jonction en 𝑥 = 0. Les deux cordes sont maintenues horizontalement par une tension 𝑇0 =
118
N. MAGHLAOUI
10 𝑁. La première corde est en cuivre, sa masse volumique est 𝜌1 = 8900 𝑘𝑔 𝑚−3 et son diamètre 𝑑 =
0.4 𝑚𝑚, la seconde est en Aluminium, sa masse volumique est 𝜌2 = 2700 𝑘𝑔 𝑚−3 et son diamètre 𝑑 =
0.4 𝑚𝑚 (Figure ci-dessous). Une onde sinusoïdale, que l’on notera 𝑦𝑎 ሺ𝑥, 𝑡ሻ, d’amplitude 𝐴 et de pulsation
𝜔 se propage dans le sens des 𝑥 croissants le long de la première corde ሺ𝑥 ≤ 0ሻ. Au niveau de la jonction,
une onde régressive dans la corde (1) est créée, dont l’amplitude est 𝐵, elle sera notée 𝑦𝑏 ሺ𝑥, 𝑡ሻ ሺ𝑥 ≤ 0ሻ.
Une 2ème onde, notée 𝑦𝑐 ሺ𝑥, 𝑡ሻ, progressive dans la corde (2) est engendrée ሺ𝑥 ≥ 0ሻ. Son amplitude est 𝐶.
𝑇0 , μ1 𝑇0 , μ2
-∞
x=0 x
1. Donner les expressions des différentes contributions, que l’on notera 𝑦𝑎 ሺ𝑥, 𝑡ሻ, 𝑦𝑏 ሺ𝑥, 𝑡ሻ et 𝑦𝑐 ሺ𝑥, 𝑡ሻ. Que
représente chaque terme ?
2. Donner les expressions des ondes résultantes 𝑦1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ (dans la corde 1) et 𝑦2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ (dans la deuxième
corde).
3. En utilisant les conditions en 𝑥 = 0, déterminer en fonction des impédances caractéristiques 𝑍1 et 𝑍2 ,

les expressions des coefficients de réflexion 𝑅 et de transmission 𝑇 en amplitudes. Calculer
numériquement ces coefficients.
4. On définit les densités linéiques des énergies cinétique et potentielle de l’onde comme suit :
1 𝜕𝑦 2
ℰ𝑐 = 𝜇 [ ]
2 𝜕𝑡
1 𝜕𝑦 2
ℰ𝑝 = 𝑇0 [ ]
2 𝜕𝑥
La densité d’énergie totale est : ℰ𝑡 = ℰ𝑐 + ℰ𝑝 .
a. Déterminer les expressions des densités d’énergies cinétiques et potentielles des ondes 𝑦𝑎 ሺ𝑥, 𝑡ሻ,
𝑦𝑏 ሺ𝑥, 𝑡ሻ et 𝑦𝑐 ሺ𝑥, 𝑡ሻ. On les notera ℰ𝑐𝑎 et ℰ𝑝𝑎 pour l’onde 𝑦𝑎 , ℰ𝑐𝑏 et ℰ𝑝𝑏 pour l’onde 𝑦𝑏 et enfin
ℰ𝑐𝑐 et ℰ𝑝𝑐 pour l’onde 𝑦𝑐 .
b. Calculer les densités d’énergies totales ℰ𝑡𝑎 , ℰ𝑡𝑏 et ℰ𝑡𝑐 associées respectivement aux ondes 𝑦𝑎 ሺ𝑥, 𝑡ሻ,
𝑦𝑏 ሺ𝑥, 𝑡ሻ et 𝑦𝑐 ሺ𝑥, 𝑡ሻ.
c. On définit en 𝑥 = 0 les coefficients de réflexion 𝛼𝑅 et de transmission 𝛼 𝑇 en énergie par :

ℰ𝑡𝑏 𝑣2 ℰ𝑡𝑐
𝛼𝑅 = et 𝛼𝑇 =
ℰ𝑡𝑎 𝑣1 ℰ𝑡𝑎
Calculer en fonction de 𝑍1 et 𝑍2 les expressions de 𝛼𝑅 et 𝛼 𝑇 .
d. Calculer numériquement 𝛼𝑅 et 𝛼𝑇 . Que peut-on dire à partir de ces rapports ?
119
N. MAGHLAOUI
Solution
Partie A
1. L’équation est dans le cas des faibles amplitudes :

𝜕 2𝑦 1 𝜕 2𝑦
− =0
𝜕𝑥 2 𝑣 2 𝜕𝑡 2
𝑣 représente la vitesse de propagation de l’onde.
𝑇0
𝑣=√
𝜇
L’équation donnant l’évolution de 𝑦ሺ𝑥, 𝑡ሻ est l’équation d’onde de d’Alembert.
2. Le déplacement est :
𝑦ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ
𝜕𝑦
𝐹ሺ𝑥, 𝑡ሻ −𝑇0 𝜕𝑥 𝑘𝑇0 𝑇0
𝑍ሺ𝑥ሻ = = = = = √𝜇𝑇0
𝑦̇ ሺ𝑥, 𝑡ሻ 𝑦̇ ሺ𝑥, 𝑡ሻ 𝜔 𝑣
𝑑2
𝑍ሺ𝑥ሻ = 𝑍𝑐 = √𝜇𝑇0 = √𝜌𝑆𝑇0 = √𝜌𝜋 𝑇
4 0
𝑍𝑐 = 0.11 𝑘𝑔 𝑠 −1
3. La vitesse de propagation est :
𝑇0
𝑣=√ = 94.55 𝑚 𝑠 −1
𝜇
Partie B
5. L’expression est :
𝑦ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ + 𝐵𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡+𝑘𝑥ሻ
Le premier terme représente une onde progressive, le second une onde régressive. Les deux termes
représentent des ondes plane sinusoïdales.
6. La condition en 𝑥 = 0
𝑦ሺ0, 𝑡ሻ = 0 ⟹ 𝐴 + 𝐵 = 0
En reportant dans l’expression de 𝑦ሺ𝑥, 𝑡ሻ :

𝑦ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴𝑒 𝑗𝜔𝑡 [𝑒 −𝑗𝑘𝑥 − 𝑒 𝑗𝑘𝑥 ] = −2𝑗𝐴 sinሺ𝑘𝑥ሻ 𝑒 𝑗𝜔𝑡
7. L’onde présente deux fuseaux, nous avons donc :

2𝜋
𝐿=𝜆⟹𝐿=
𝑘
D’où :
2𝜋
𝑘=
𝐿
Le déplacement des particules devient :
120
N. MAGHLAOUI
2𝜋𝑥 𝑗𝜔𝑡
𝑦ሺ𝑥, 𝑡ሻ = −2𝑗𝐴 sin ( )𝑒
𝐿
8. Transversale : La direction de vibration des particules est perpendiculaire à la direction de propagation

de l’onde (comparer à onde longitudinale).
progressive). La fonction d’onde est le produit de deux fonctions à variables indépendantes,
L’amplitude n’est plus une constante, elle dépend de la position de 𝑥. De plus l’onde stationnaire ne
propage plus l’énergie.

instants 𝑡𝑛 = 𝑛𝑇⁄16 pour n = 0, 1, . . . , 15. La période A B
10. 𝜆 = 𝐿 = 50 𝑐𝑚, 𝑉 = 𝜆⁄𝑇 = 250 𝑚𝑠 −1, 𝑉 = √𝑇0 ⁄𝜇

donne 𝑇0 = 𝜇𝑉 2 = 625 𝑁.
Partie C
1. Les expressions de chaque contribution :
L’onde incidente en 𝑥 = 0 est 𝑦𝑎 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘1 𝑥ሻ .
L’onde réfléchie en 𝑥 = 0 est 𝑦𝑏 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐵𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡+𝑘1𝑥ሻ .
L’onde transmise en 𝑥 = 0 est 𝑦𝑐 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐶𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘2𝑥ሻ .
2. L’onde résultante dans la corde (1) est la superposition de l’onde incidente et réfléchie :
𝑦1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑦𝑎 ሺ𝑥, 𝑡ሻ + 𝑦𝑏 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘1𝑥ሻ + 𝐵𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡+𝑘1𝑥ሻ
Dans la corde (2) nous avons une onde transmise :

𝑦2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑦𝑐 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐶𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘2𝑥ሻ
3. La continuité du déplacement donne :

𝑦1 ሺ0, 𝑡ሻ = 𝑦2 ሺ0, 𝑡ሻ ⟹ 𝐴 + 𝐵 = 𝐶
ou bien
1+𝑅 =𝑇 (1)
Le principe fondamental de la dynamique en 𝑥 = 0, donne :
𝜕𝑦1 𝜕𝑦2
−𝑇0 | = −𝑇0 | ⟹ 𝑗𝜔𝑍1 ሺ𝐴 − 𝐵ሻ = 𝑗𝜔𝑍2 𝐶
𝜕𝑥 𝑥=0 𝜕𝑥 𝑥=0
121
N. MAGHLAOUI
Qui s’écrit sous la forme :
𝑍1 ሺ1 − 𝑅ሻ = 𝑍2 𝑇 (2)
A partir des relations (1) et (2), nous avons :
𝑍1 − 𝑍2 2𝑍1
𝑅= et 𝑇 =
𝑍1 + 𝑍2 𝑍1 + 𝑍2
Nous avons 𝑍1 = √𝜇1 𝑇0 = 0.11 𝑘𝑔 𝑠 , 𝑍2 = √𝜇2 𝑇0 = 0.06 𝑘𝑔 𝑠 −1.
−1
𝑅 = 0.29, 𝑇 = 1.29
4. En partant des définitions

a. La densité d’énergie cinétique est
1
ℰ𝑐𝑎 = 𝜇1 𝜔2 𝐴2 [cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘1 𝑥ሻ]2
2
1 1
ℰ𝑝𝑎 = 𝑇0 𝑘12 [cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘1 𝑥ሻ]2 = 𝜇1 𝜔2 𝐴2 [cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘1 𝑥ሻ]2 = ℰ𝑐𝑎
2 2
De la même manière, nous trouvons :
1
ℰ𝑐𝑏 = 𝜇1 𝜔2 𝐵 2 [cosሺ𝜔𝑡 + 𝑘1 𝑥ሻ]2
2
1 1
ℰ𝑝𝑏 = 𝑇0 𝑘12 𝐵 2 [cosሺ𝜔𝑡 + 𝑘1 𝑥ሻ]2 = 𝜇1 𝜔2 𝐵2 [cosሺ𝜔𝑡 + 𝑘1 𝑥ሻ]2 = ℰ𝑐𝑏
2 2
Pour l’onde réfléchie.
1
ℰ𝑐𝑐 = 𝜇2 𝜔2 𝐶 2 [cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘2 𝑥ሻ]2
2
1 1
ℰ𝑝𝑐 = 𝑇0 𝑘22 𝐶 2 [cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘2 𝑥ሻ]2 = 𝜇2 𝜔2 𝐶 2 [cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘2 𝑥ሻ]2 = ℰ𝑐𝑐
2 2
b. Les densités d’énergies totales sont :
ℰ𝑡𝑎 = ℰ𝑐𝑎 + ℰ𝑝𝑎 = 2ℰ𝑐𝑎 = 𝜇1 𝜔2 𝐴2 [cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘1 𝑥ሻ]2
Pour l’onde (a).
ℰ𝑡𝑏 = ℰ𝑐𝑏 + ℰ𝑝𝑏 = 2ℰ𝑐𝑏 = 𝜇1 𝜔2 𝐵 2 [cosሺ𝜔𝑡 + 𝑘1 𝑥ሻ]2
Pour l’onde (b).
ℰ𝑡𝑐 = ℰ𝑐𝑐 + ℰ𝑝𝑐 = 2ℰ𝑐𝑐 = 𝜇2 𝜔2 𝐶 2 [cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘2 𝑥ሻ]2
Pour l’onde (c).
c. Le calcul donne :
ℰ𝑡𝑏 𝐵 2
𝛼𝑅 = = = 𝑅2
ℰ𝑡𝑎 𝐴2
122
N. MAGHLAOUI
𝑣2 ℰ𝑡𝑐 𝑣2 𝜇2 𝐶 2 𝑍2 2
𝛼𝑇 = = = 𝑇
𝑣1 ℰ𝑡𝑎 𝑣1 𝜇1 𝐴2 𝑍1
d. Nous obtenons :
𝛼𝑅 = 0.08 et 𝛼 𝑇 = 0.92
La somme 𝛼𝑅 + 𝛼 𝑇 = 1, cela traduit la conservation d’énergie.
123
N. MAGHLAOUI
Ondes acoustiques dans les
fluides
124
N. MAGHLAOUI
Résumé de cours
Les ondes acoustiques sont des vibrations mécaniques qui se transmettent de proche en proche. Dans le
cas d’un fluide parfait, qui se caractérise par l’absence de viscosité, L’onde acoustique est longitudinale.
Considérons une onde acoustique de faible amplitude se propageant dans la direction 𝑥.
Lors de sa propagation, l’onde acoustique s’accompagne d’une variation infinitésimale de la pression
𝑝ሺ𝑥, 𝑡ሻ et de la masse volumique 𝜌ሺ𝑥, 𝑡ሻ.
Afin d’établir l’équation d’onde, nous nous basons sur trois équations :
- La relation fondamentale de la dynamique appliquée à une petite tranche de fluide (les forces agissant
sur cette tranche résultant de la surpression 𝑝 liée au passage de l’onde).
𝜕𝑢̇ 𝜕𝑝
𝜌0 + =0
𝜕𝑡 𝜕𝑥
𝜌0 : représente la masse volumique à l’équilibre.
𝑢̇ : la vitesse de vibration des particules.
- L’équation de continuité (conservation de la matière)

𝜕𝜌 𝜕𝑢̇
+ 𝜌0 =0
𝜕𝑡 𝜕𝑥
- L’équation d’état qui spécifie la nature des échanges thermiques ayant lieu dans le fluide. Nous
considérons que l’évolution de chaque tranche de fluide se fait à entropie constante. En effet, la
transmission d’une surpression est un phénomène propagatif (rapide) tandis que les échanges
thermiques sont des processus diffusifs (lents)
1 𝜕𝑢
𝑝=−
𝜒 𝜕𝑥
𝑢 représente le déplacement des particules, 𝜒 le coeficient de compressibilité adiabatique du fluide.
De plus, nous faisons l’approximation acoustique qui considère que la surpression 𝑝, la vitesse des
particules 𝑢̇ ainsi que leurs dérivées sont de faibles quantités et Les variations de la masse volumique 𝜌
sont petites.
Dans ces conditions nous obtenons l’équation d’onde suivante :
𝜕 2𝑓 1 𝜕 2𝑓
− =0
𝜕𝑥 2 𝑉 2 𝜕𝑡 2
où 𝑓 peut être la pression 𝑝, la masse volumique 𝜌, la vitesse des particules 𝑢̇ ou le déplacement des
particules 𝑢.
𝑉 représente la vitesse de propagation de l’onde, à ne pas confondre avec la vitesse des particules.
1
𝑉=
√𝜌0 𝜒
Dans le cas des fluides parfaits :
𝛾𝑅𝑇0
𝑉=√
𝑀
125
N. MAGHLAOUI
𝛾 est le rapport des chaleurs massiques 𝐶𝑝 /𝐶𝑣 , 𝑅 est la constante molaire des gaz parfaits,𝑇0 la température
du gaz au repos et 𝑀 la masse molaire
La solution de l’équation d’onde pour 𝑝, 𝑢 et 𝜌 s’écrit :

𝑥 𝑥
𝑝ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐹 (𝑡 − ) + 𝐺 (𝑡 + )
𝑣 𝑣
1 𝑥 𝑥
𝑢̇ ሺ𝑥, 𝑡ሻ = [𝐹 (𝑡 − ) − 𝐺 (𝑡 + )]
𝜌0 𝑉 𝑣 𝑣
1 𝑥 𝑥
𝜌ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 2 [𝐹 (𝑡 − ) + 𝐺 (𝑡 + )]
𝑉 𝑣 𝑣
2. Impédance acoustique
La solution en onde plane progressive et sinusoïdale s’écrit :
𝑝ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑝0 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ
où 𝑘 = 𝜔/𝑉 représente le module du vecteur d’onde.
Connaissant la loi de comportement du milieu, la vitesse de particules est :
1
𝑢̇ ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑝 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ
𝜌𝑉 0
Dans le cas d’une propagation en champ libre, l’impédance est définit comme :
𝑝ሺ𝑥, 𝑡ሻ
𝑍ሺ𝑥ሻ =
Nous trouvons 𝑍ሺ𝑥ሻ = 𝜌0 𝑉, qui représente l’impédance caractéristique lors d’une propagation en champ
libre.
Dans le cas d’une propagation dans un tuyau de section 𝑆, l’impédance est définit comme :
𝑍ሺ𝑥ሻ =
𝑆𝑢̇ ሺ𝑥, 𝑡ሻ
Nous trouvons 𝑍ሺ𝑥ሻ = 𝜌0 𝑉/𝑆, qui représente l’impédance caractéristique lors d’une propagation dans un
tuyau de section 𝑆.
3. Réflexion-transmission
Onde incidente ρ ,V
1 1
ρ ,V
𝑺𝟏 2 2 𝑺𝟐
𝑥’’ Onde transmise 𝑥

O
Onde réfléchie
Figure 1
126
N. MAGHLAOUI
Lors du passage d’un tuyau dans un autre (Figure 1), les conditions aux limites sont :la continuité des
surpressions et celle des débits volumiques.
On en déduit les coefficients de réflexion et de transmission en pression sont:
𝑍2 − 𝑍1
𝑅𝑝 =
𝑍1 + 𝑍2
2𝑍2
𝑇𝑝 =
𝑍1 + 𝑍2
Les coefficients de réflexion et de transmission en déplacement sont:
𝑍1 − 𝑍2
𝑅𝑢 = 𝑅𝑢̇ =
𝑍1 + 𝑍2
2𝑍1
𝑇𝑢 = 𝑇𝑢̇ =
𝑍1 + 𝑍2
avec :
𝜌1 𝑉1 𝜌2 𝑉2
𝑍1 = , 𝑍2 =
𝑆1 𝑆2
Les puissances incidentes, réfléchies et transmises sont respectivement :
𝑃𝑖 = 𝑆1 𝑝𝑖 𝑢̇ 𝑖
𝑃𝑟 = −𝑆1 𝑝𝑟 𝑢̇ 𝑟
𝑃𝑡 = 𝑆2 𝑝𝑡 𝑢̇ 𝑡
Les intensités associées à ces puissances :
𝑃𝑖
𝐼𝑖 = = 𝑝𝑖 𝑢̇ 𝑖
𝑆1
𝑃𝑟
𝐼𝑟 = = −𝑝𝑟 𝑢̇ 𝑟
𝑆1
𝑃𝑡
𝐼𝑡 = = 𝑝𝑡 𝑢̇ 𝑡
𝑆2
En on déduit les coefficients de réflexion et de transmission en intensité :
𝐼𝑟 𝑍1 − 𝑍2 2
𝑅𝐼 = = ( )
𝐼𝑖 𝑍1 + 𝑍2
𝐼𝑡 4𝑍1 𝑍2
𝑇𝐼 = =
𝐼𝑖 ሺ𝑍1 + 𝑍2 ሻ2
4. Effet Doppler
L’effet Doppler est un phénomène ondulatoire découvert par le physicien Autrichien Christian Doppler
en 1842. Ce phénomène se manifeste lorsque la source 𝑆 et/ou le récepteur 𝑅 sont en mouvement. La
source émet une onde de fréquence 𝑓𝑠 et se déplace à une vitesse 𝑣𝑠 , le récepteur se déplace à une vitesse
𝑣𝑅 .
La fréquence reçue par le récepteur est alors :

𝑣
1 − 𝑣𝑅 cosሺ𝜑ሻ
𝑓𝑅 = 𝑓𝑠 𝑣
1 − 𝑣𝑠 cosሺ𝜃ሻ
127
N. MAGHLAOUI
𝜃 représente l’angle que fait la vitesse de la source 𝑣⃗𝑆 avec le vecteur unitaire 𝑢
ሬ⃗, 𝜑 représente l’angle que
fait le vecteur unitaire 𝑢
ሬ⃗ avec la vitesse du récepteur 𝑣⃗𝑅 .
𝑣⃗𝑅
𝜑
𝑢
ሬ⃗
𝜃
𝑣⃗𝑆
Figure 2
Applications de l’effet Doppler
- Le décalage vers le rouge de la lumière provenant des galaxies lointaines est un effet Doppler (ondes
lumineuses) lié à l’expansion de l’univers.
- Dans une lampe spectrale les molécules ont des vitesses différentes par suite de l’agitation thermique.
Même si toutes les molécules émettent de la lumière à la même fréquence, l’effet Doppler produit un
étalement spectral : on observe un élargissement des raies.
- L’effet Doppler est utilisé pour mesurer la vitesse des hématies dans les vaisseaux sanguins (ondes
ultrasonores).
- L’effet Doppler est utilisé pour mesurer la vitesse des automobiles par la police (ondes radar ou lasers
infra-rouge).
128
N. MAGHLAOUI
129
N. MAGHLAOUI
Exercice 1
haut-parleur microphone
x
O x0
Figure 1 : Mesure de l’onde acoustique dans l’air
1. Un haut-parleur alimenté par une tension sinusoïdale de fréquence 𝑓 = ሺ1000 ± 10ሻ 𝐻𝑧 crée dans
l’air une onde plane progressive le long de l’axe Ox (Figure 1). La surpression au point x et à l’instant
t est de la forme
𝑝ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑝0 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥+𝜑0ሻ
Expliquer le sens de l’expression onde plane progressive.
2. Un microphone placé au point 𝑥 sur l’axe génère une tension 𝐸ሺ𝑡ሻ = 𝐸0 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥+𝜑0ሻ proportionnelle
à la surpression 𝑝 au point 𝑥. Un dispositif mesure le déphasage 𝜑. Des mesures pour diverses
positions du microphone montrent que le déphasage 𝜑 dépend de 𝑥 suivant la loi
𝜑 = 𝑎𝑥 + 𝑏 où 𝑎 = ሺ18.4 ± 0.2ሻ 𝑟𝑎𝑑 𝑚−1
En déduire la valeur numérique de la vitesse du son 𝑉 ± ∆𝑉.
Solution
1. Onde plane : la surpression p(x, y, z, t) = p(x, t) est la même sur chaque plan x = Cte (la surpression
ne dépend ni de y ni de z ). Ces plans x = Cte sont les surfaces d’onde (plans équiphases).
Onde progressive : l’onde se propage à vitesse constante sans atténuation ni déformation le long de
l’axe Ox dans le sens de x croissant. En effet, la surpression est de la forme 𝑝ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐹ሺ𝑡 − 𝑥⁄𝑉 ሻ
avec 𝐹ሺ𝑢ሻ = 𝑝0 sinሺ𝜔𝑢 + 𝜑0 ሻ et 𝑉 = 𝜔⁄𝑘.
2𝜋𝑓
2. Le déphasage dépend de x par 𝜑 = 𝑘𝑥 − 𝜑0 = ሺ2𝜋𝑓 ⁄𝑉 ሻ𝑥 − 𝜑0 . On a donc mesuré 𝑎 = . La valeur
𝑉
de b, qui n’est pas utilisée dans la suite, est 𝑏 = −𝜑0 . D’où
2𝜋𝑓
𝑉= = 341.5 𝑚𝑠 −1
𝑎
L’incertitude relative sur c est :
∆𝑉 ∆𝑓 ∆𝑎
= + = 0.02
𝑉 𝑓 𝑎
D’où ∆𝑉 = 7.1 𝑚𝑠 −1. En conclusion la vitesse du son mesurée est : 𝑉 = ሺ341.5 ± 7.1ሻ 𝑚𝑠 −1 .
130
N. MAGHLAOUI
Exercice 2
Un tuyau cylindrique de section 𝑆 constante est rempli d'un gaz de masse volumique , où les ondes
acoustiques peuvent se propager à la vitesse 𝑣. A l'une des extrémités du tuyau en 𝑥 = 0, on place un
piston plan qui est animé, suivant l'axe Ox d'un mouvement sinusoïdal d'amplitude 𝑈0 et de pulsation .
A la position 𝑥 = 𝐿, le tuyau est terminé par une impédance acoustique 𝑍𝐿 , voir figure 2.
ZL
𝜌, V, S
Figure 2
𝑢ሺ0, 𝑡ሻ
x
0 L
1. En un point x, le déplacement des particules u(x,t) est donné par :

𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ + 𝐵𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡+𝑘𝑥ሻ
En tenant compte des conditions aux frontières, calculer A et B en fonction de ZL, Zc, k, L et U0.
Dans le cas particulier où le tuyau est fermé par une paroi rigide en x = L :
2. Montrer que le déplacement peut se mettre sous la forme: 𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑈ሺ𝑥ሻ𝑒 𝑖𝜔𝑡 , où 𝑈ሺ𝑥ሻ est réel.
Donner l'expression de l'amplitude 𝑈ሺ𝑥ሻ.
3. En déduire les positions et les valeurs des maxima et des minima de l'amplitude 𝑈ሺ𝑥ሻ en valeur
absolue.
Solution
1. Conditions aux frontières
𝑢ሺ0, 𝑡ሻ = 𝑈0 𝑒 𝑖𝜔𝑡 ⇒ 𝐴 + 𝐵 = 𝑈0
𝐵𝑒 𝑖𝑘𝐿 𝑍𝑐 − 𝑍𝐿
𝑅= −𝑖𝑘𝐿
=
𝐴𝑒 𝑍𝐿 + 𝑍𝑐
De ces 2 équations nous obtenons :
ሺ𝑍𝐿 + 𝑍𝑐 ሻ 𝑈0 𝑒 𝑖𝑘𝐿
𝐴=
2𝑍𝑐 cosሺ𝑘𝐿ሻ + 2𝑖 𝑍𝐿 sinሺ𝑘𝐿ሻ
ሺ𝑍𝑐 − 𝑍𝐿 ሻ 𝑈0 𝑒 −𝑖𝑘𝐿
𝐵=
2𝑍𝑐 cosሺ𝑘𝐿ሻ + 2𝑖 𝑍𝐿 sinሺ𝑘𝐿ሻ
2. Les condition aux frontières deviennent :
𝑢ሺ0, 𝑡ሻ = 𝑈0 𝑒 𝑖𝜔𝑡 ⇒ 𝐴 + 𝐵 = 𝑈0
𝑢ሺ𝐿, 𝑡ሻ = 0 ⇒ 𝐴𝑒 −𝑖𝑘𝐿 + 𝐵𝑒 𝑖𝑘𝐿 = 0
A partir de ces deux relations nous obtenons :
𝑈0
𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑠𝑖𝑛[𝑘ሺ𝐿 − 𝑥ሻ] 𝑒 𝑖𝜔𝑡
sinሺ𝑘𝐿ሻ
D’où :
131
N. MAGHLAOUI
𝑈0
𝑈ሺ𝑥ሻ = 𝑠𝑖𝑛[𝑘ሺ𝐿 − 𝑥ሻ]
𝑠𝑖𝑛ሺ𝑘𝐿ሻ
3. Positions des ventres :
𝜆
𝑥𝑛 = 𝐿 − ሺ2𝑛 + 1ሻ
4
Positions des nœuds :
𝜆
𝑥𝑛 = 𝐿 − 𝑛
2
Les amplitudes des ventres :
𝑈0
|𝑈ሺ𝑥ሻ|𝑚𝑎𝑥 =
|𝑠𝑖𝑛ሺ𝑘𝐿ሻ|
Les amplitudes des nœuds :
|𝑈ሺ𝑥ሻ|𝑚𝑎𝑥 = 0
132
N. MAGHLAOUI
Problème
On considère un tuyau cylindrique de section S contenant un fluide de coefficient de compressibilité
adiabatique 𝜒 et de masse volumique 𝜌0 à l'équilibre.
Partie A
Le tuyau de longueur supposée infinie est parcouru par une onde dont le déplacement de vibration
acoustique est :
𝑢𝑝 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑢0𝑝 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ
1. Donner les expressions de la vitesse acoustique 𝑢̇ 𝑝 ሺ𝑥, 𝑡ሻ et de la pression 𝑝𝑝 ሺ𝑥, 𝑡ሻ.

2. Déterminer l'expression de l'intensité acoustique de cette onde et en déduire la valeur numérique de
l'amplitude maximale 𝑢0𝑝 du déplacement des particules sachant que :
𝐼0𝑝 = 10−3 𝑊𝑚−2 ; 𝑉 = 340 𝑚𝑠 −1, 𝑓 = 1 𝑘𝐻𝑧, 𝜌0 = 1.21 𝑘𝑔𝑚−3 .
Partie B
Le tuyau a maintenant une longueur finie L et est parcouru par deux ondes acoustiques sinusoïdales de
pulsation 𝜔 se propageant en sens inverse l'une de l'autre :
𝑢𝑝 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑢0𝑝 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ et 𝑢𝑟 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑢0𝑟 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡+𝑘𝑥ሻ
où 𝑢0𝑝 et 𝑢0𝑟 sont des constantes complexes
1. Donner les expressions des pression et vitesse acoustiques en tout point x du tuyau .
2. Le tuyau est ouvert à ses deux extrémités 𝑥 = 0 et 𝑥 = 𝐿.
a. Quelle est la valeur de la surpression 𝑝ሺ𝑥, 𝑡ሻ en chacune de ces extrémités.
b. En déduire alors que seules certaines fréquences 𝑓𝑛 , n entier , peuvent se propager dans le tuyau .
Application numérique :
Calculer la longueur L du tuyau pour que le son fondamental de fréquence 𝑓1 = 440 𝐻𝑧 puisse exister.
Solution
Partie A
1. la vitesse des particules est :
𝜕𝑢𝑖 ሺ𝑥, 𝑡ሻ
𝑢̇ 𝑝 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = = 𝑖𝜔𝑢0𝑝 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ
𝜕𝑡
En utilisant l’équation d’Euler dans le cas unidimensionnel nous avons
𝜕𝑝𝑝 ሺ𝑥, 𝑡ሻ 𝜕𝑢̇ 𝑝 ሺ𝑥, 𝑡ሻ
+ 𝜌0 =0
𝜕𝑥 𝜕𝑡
Nous obtenons : 𝑝𝑝 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑖𝜔𝜌0 𝑉 𝑢0𝑝 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ.
133
N. MAGHLAOUI
2. L’intensité est la puissance par unité de surface :
ℙ
𝐼=
𝑆
2 [sinሺ𝜔𝑡
avec : ℙ = 𝑆𝑝𝑝 𝑢̇ 𝑝 = 𝑆𝜔2 𝜌0 𝑉 𝑢0𝑝 − 𝑘𝑥ሻ]2
L’intensité instantanée est donc :
2 [𝑠𝑖𝑛ሺ𝜔𝑡
𝐼 = 𝜔2 𝜌0 𝑉 𝑢0𝑝 − 𝑘𝑥ሻ]2
L’amplitude de l’intensité :
2
𝐼0𝑝
𝐼0𝑝 = 𝜔2 𝜌0 𝑉 𝑢0𝑝 ⇒ 𝑢0𝑝 = √
4𝜋 2 𝑓 2 𝜌0 𝑉
Application numérique : 𝑢0𝑝 = 0.24 µ𝑚.
Partie B
1. De la même façon nous calculons les vitesses et pressions associés aux ondes incidentes et
réfléchies :
𝑢𝑝 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑢0𝑝 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ et 𝑢𝑟 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑢0𝑟 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡+𝑘𝑥ሻ
L’onde résultante est une superposition des deux ondes précédentes :
𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑢𝑝 ሺ𝑥, 𝑡ሻ + 𝑢𝑟 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑒 𝑖𝜔𝑡 [𝑢0𝑝 𝑒 −𝑖𝑘𝑥 + 𝑢0𝑟 𝑒 𝑖𝑘𝑥 ]
Les vitesse et pression associées sont respectivement :
𝑢̇ ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑢̇ 𝑝 ሺ𝑥, 𝑡ሻ + 𝑢̇ 𝑟 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑖𝜔𝑒 𝑖𝜔𝑡 [𝑢0𝑝 𝑒 −𝑖𝑘𝑥 + 𝑢0𝑟 𝑒 𝑖𝑘𝑥 ]
𝑝ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑝𝑝 ሺ𝑥, 𝑡ሻ + 𝑝𝑟 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑖𝜔𝜌0 𝑉𝑒 𝑖𝜔𝑡 [𝑢0𝑝 𝑒 −𝑖𝑘𝑥 − 𝑢0𝑟 𝑒 𝑖𝑘𝑥 ]

2. Le tuyau est ouvert en ces deux extrémités
a. Tuyau ouvert implique une pression nulle :
𝑝ሺ0, 𝑡ሻ = 𝑝ሺ𝐿, 𝑡ሻ = 0
b. A partir de ces deux conditions nous obtenons les valeurs des fréquences propres:
𝑛𝑉
𝑓𝑛 =
2𝐿
Application numérique : pour 𝑛 = 1 et 𝑓1 = 440 𝐻𝑧, 𝐿 = 38.64 𝑐𝑚.
134
N. MAGHLAOUI
Exercice 3
Un tuyau semi infini de section 𝑆, renfermant un gaz de masse volumique 𝜌, est fermé au point d’abscisse
𝑥 = 𝐿 par une impédance terminale 𝑍𝐿 = 𝑍𝑐 = 𝜌𝑉/𝑆 (Figure 3). En 𝑥 = 0 et perpendiculairement à l’axe
Ox, une paroi d’épaisseur négligeable qu’on assimile à un piston de masse 𝑚 est reliée à l’extrémité 𝑥 =
𝐿 par l’intermédiaire d’un ressort de raideur 𝑏. On envoie de −∞ une onde de pression plane et sinusoïdale
𝑝𝑖 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ.
On appellera 𝑝1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ et 𝑝2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ les ondes de pression dans les régions 𝑥 < 0 et 0 < 𝑥 < 𝐿
respectivement.
1. Donner les expressions de 𝑝1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ et de 𝑝2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ. En déduire les expressions des vitesses de particules
𝑢̇ 1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ et 𝑢̇ 2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ respectivement associées à 𝑝1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ et 𝑝2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ.
2. Ecrire la condition de continuité de la vitesse particulaire au plan d’abscisse 𝑥 = 0.
3. Ecrire la relation fondamentale de la dynamique appliquée à la paroi de masse 𝑚.
4. En déduire l’expression des coefficients de réflexion et de transmission en pression, respectivement

𝑅𝑝 et 𝑇𝑝 en 𝑥 = 0. En déduire leurs modules ainsi que leurs phases.
5. Que deviennent ces coefficients dans les cas particuliers suivants :

a. 𝜔 = √𝑏⁄𝑚.
b. 𝑚 ⟶ ∞.
6. On se place dans le dernier cas particulier où 𝑚 ⟶ ∞.
a. Montrer que le champ de pression, dans la région 𝑥 < 0, s’écrit sous la forme d’un produit :
𝑝1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑓ሺ𝑥ሻ ∙ 𝑔ሺ𝑡ሻ
Donner les expressions de 𝑓ሺ𝑥ሻ et 𝑔ሺ𝑡ሻ en fonction de 𝐴, 𝑘, 𝜔, 𝑥 et 𝑡.
b. Sachant que le premier nœud de pression se trouve à une distance 𝑑 = 4.2 𝑐𝑚. Déterminer la
vitesse de propagation du son dans le fluide, sachant que la fréquence est 𝑓 = 2 kHz.
m
b
ZL = Zc
ሺ𝜌, 𝑉, 𝑆ሻ ሺ𝜌, 𝑉, 𝑆ሻ
x
x=0 x=L
Figure 3
135
N. MAGHLAOUI
Solution
1. Les expressions des pressions sont :
𝑝1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ + 𝐵 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡+𝑘𝑥ሻ
𝑝2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐶 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ
En utilisant l’équation de l’hydrodynamique nous trouvons :
1 𝑗𝜔𝑡
𝑢̇ 1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑒 [𝐴 𝑒 −𝑗𝑘𝑥 − 𝐵 𝑒 𝑗𝑘𝑥 ]
𝜌𝑉
𝐶 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ
𝑢̇ 2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑒
𝜌𝑉
2. En 𝑥 = 0, la continuité de la vitesse particulaire donne :
𝑢̇ 1 ሺ0, 𝑡ሻ = 𝑢̇ 2 ሺ0, 𝑡ሻ ⟹ 𝐴 − 𝐵 = 𝐶
3. En appliquant la relation fondamentale de la dynamique :
𝑆𝑝1 ሺ0, 𝑡ሻ − 𝑆𝑝2 ሺ0, 𝑡ሻ − 𝑏𝑢2 ሺ0, 𝑡ሻ = 𝑚 𝑢̈ 2 ሺ0, 𝑡ሻ
sachant que : 𝑢̇ 1 ሺ0, 𝑡ሻ = 𝑢̇ 2 ሺ0, 𝑡ሻ.
ce qui donne
𝑏
𝑆[𝑝1 ሺ0, 𝑡ሻ − 𝑝2 ሺ0, 𝑡ሻ] = ( + 𝑗𝑚𝜔) 𝑢̇ 2 ሺ0, 𝑡ሻ
𝑗𝜔
donc
𝑏
𝜌𝑉𝑆ሺ𝐴 + 𝐵ሻ = [( + 𝑗𝑚𝜔) + 𝜌𝑉𝑆] 𝐶
𝑗𝜔
4. A partir des équations :
𝐴−𝐵 =𝐶
𝑏
𝜌𝑉𝑆ሺ𝐴 + 𝐵ሻ = [( + 𝑗𝑚𝜔) + 𝜌𝑉𝑆] 𝐶
𝑗𝜔
avec :
𝑏
𝑍0 = ( + 𝑗𝑚𝜔)
𝑗𝜔
et
𝑍𝑐 = 𝜌𝑉𝑆
136
N. MAGHLAOUI
On trouve aisément :
𝐵 𝑍0
𝑅𝑝 = =
𝐴 2𝑍𝑐 + 𝑍0
et :
𝐶 2𝑍𝑐
𝑇𝑝 = =
𝐴 2𝑍𝑐 + 𝑍0
Leurs modules respectifs sont :
𝑏
𝑚𝜔 − 𝜔
|𝑅𝑝 | =
2
√ሺ2𝜌𝑉𝑆ሻ2 + (𝑚𝜔 − 𝑏 )
𝜔
2𝜌𝑉𝑆
|𝑇𝑝 | =
2
√ሺ2𝜌𝑉𝑆ሻ2 + (𝑚𝜔 − 𝑏 )
𝜔
el leurs arguments respectifs sont :
𝑏
𝜋 𝑚𝜔 − 𝜔
Arg(𝑅𝑝 ) = − Arctg ( )
2 2𝜌𝑉𝑆
𝑏
𝑚𝜔 − 𝜔
Arg(𝑇𝑝 ) = −Arctg ( )
2𝜌𝑉𝑆
5. Dans le cas où 𝜔 = √𝑏⁄𝑚, nous avons :
𝑅𝑝 = 0 et 𝑇𝑝 = 1.
Dans le cas où 𝑚 ⟶ ∞ :
𝑅𝑝 = 1 et 𝑇𝑝 = 0.
6. Dans le cas précédent (question 5.c), le coefficient de réflexion 𝑅𝑝 = 1. Dans ce cas la pression
devient :
𝑝1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 2𝐴 cosሺ𝑘𝑥ሻ 𝑒 𝑗𝜔𝑡
𝜆 𝑉
𝑑= = ⟹ 𝑉 = 4𝑓𝑑
4 4𝑓
𝑉 = 336 ms−1
137
N. MAGHLAOUI
Exercice 4
Un tube cylindrique de longueur infinie et de section constante S, contient deux fluides (1) et (2) de
masses volumiques ρ1 et 𝜌2 respectivement et où V1 et V2 sont les vitesses de propagations respectives
dans les milieux 1 et 2. L'origine O du repère est placée en 𝑥 = 0, de sorte que le premier fluide occupe
l’espace des 𝑥 < 0 et que le fluide (2) occupe l’espace des 𝑥 > 0 (voir figure 4).
ሺ𝜌1 , 𝜒1 ሻ ሺ𝜌2 , 𝜒2 ሻ
𝑥′ 𝑥
Fluide 1 𝑂 Fluide 2
Figure 4
Une onde acoustique plane progressive de pression 𝑝𝑖 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘1𝑥ሻ se propage dans le fluide (1).
𝑘1 représente le module du vecteur d’onde :
𝜔
𝑘1 =
𝑉1
1
𝑉1 =
√ρ1 χ1
ρ1 et χ1 sont respectivement la masse volumique et le coefficient de compressibilité adiabatique du fluide.
L’onde de pression donne naissance à une onde réfléchie se propageant dans le sens des x décroissants
ainsi qu'à une onde transmise se propageant dans le sens des x croissants. Ces deux ondes sont aussi
sinusoïdales et progressives.
1. Donner, en justifiant votre réponse, les expressions mathématiques réelles des surpressions
acoustiques associées aux ondes réfléchies et transmises.
2. En appliquant la relation d’Euler, calculer les vitesses des particules 𝑢̇ 𝑖 , 𝑢̇ 𝑟 et 𝑢̇ 𝑡 des ondes incidente,
réfléchie et transmise.
3. L’impédance acoustique d'un fluide à l'abscisse x et à l'instant t s'écrit 𝑍 = 𝑝ሺ𝑥, 𝑡ሻ⁄𝑠𝑢̇ .

a. En s'appuyant sur les conditions de continuité caractérisant le passage de l'onde du fluide (1) vers le
fluide (2), déduire les deux équations liant les amplitudes des ondes incidentes, transmises et
réfléchies.
b. Donner le coefficient de réflexion Rp et de transmission Tp en amplitude en fonction de 𝑍1 et 𝑍2 .
4. La puissance sonore moyenne véhiculée par chaque onde acoustique est donnée par la relation :
< 𝑃 > = 𝑆 < 𝑝ሺ𝑥, 𝑡ሻ𝑢̇ ሺ𝑥, 𝑡ሻ >

a. Déterminer les coefficients de réflexion 𝛼𝑅 et de transmission 𝛼 𝑇 relatifs aux puissances acoustiques.
Quelle remarque peut-on faire au sujet de ces coefficients?
b. Calculer 𝛼𝑅 et 𝛼 𝑇 si le milieu (1) est de l'air 𝑍1 = 450 Rayleigh et le milieu (2) est de l'eau 𝑍2 =
1.5 106 Rayleigh.
c. Refaire le même calcul de 𝛼𝑅 et 𝛼 𝑇 pour l'eau et la terre d’impédance 𝑍3 = 4.2 106 Rayleigh.
138
N. MAGHLAOUI
En analysant les résultats obtenus en b et c peut–on savoir si un poisson dans l'eau est effrayer quand un
pécheur parle ou quand il se déplace sur le rivage ?
Solution
1. L’onde incidente en 𝑥 = 0 s’écrit sous la forme : 𝑝𝑖 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘1𝑥ሻ
Cette onde se propage dans le milieu 1 ሺ𝑥 < 0ሻ, dans le sens des 𝑥 croissants. En 𝑥 = 0, il y a variation
d’impédance, ce qui donne naissance à une onde réfléchie qui est régressive dans le milieu 1 et d’une onde
transmise qui est progressive dans le milieu 2. Ces deux ondes ont la même pulsation 𝜔, leurs amplitudes
respectives sont 𝐵 et 𝐶:
𝑝𝑟 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐵 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡+𝑘1𝑥ሻ
𝑝𝑡 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐶 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘2𝑥ሻ
avec : 𝑘1,2 = 𝜔⁄𝑉1,2 .
2. A partir la relation d’Euler, nous obtenons
𝐴
𝑢̇ 𝑖 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘1𝑥ሻ
𝜌1 𝑉1
𝐵
𝑢̇ 𝑟 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = − 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡+𝑘1𝑥ሻ
𝜌1 𝑉1
𝐶
𝑢̇ 𝑡 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘2𝑥ሻ
𝜌2 𝑉2
3. Coefficient de réflexion et de transmission
a. En utilisant les conditions de continuité, nous avons :
𝑝𝑖 ሺ0, 𝑡ሻ + 𝑝𝑟 ሺ0, 𝑡ሻ = 𝑝𝑡 ሺ0, 𝑡ሻ ⟹ 𝐴 + 𝐵 = 𝐶
1 𝐶
𝑢̇ 𝑖 ሺ0, 𝑡ሻ + 𝑢̇ 𝑟 ሺ0, 𝑡ሻ = 𝑢̇ 𝑡 ሺ0, 𝑡ሻ ⟹ ሺ𝐴 − 𝐵ሻ =
𝜌1 𝑉1 𝜌2 𝑉2
b. A partir des équations de continuité, on trouve:
𝑍2 − 𝑍1 2𝑍2
𝑅𝑝 = , 𝑇𝑝 =
𝑍1 + 𝑍2 𝑍1 + 𝑍2
4. En utilisant la définition de la puissance on trouve :
1 𝑆𝐴2 𝐴2
〈𝑃𝑖 〉 = =
2 𝜌1 𝑉1 2𝑍1
139
N. MAGHLAOUI
1 𝑆𝐵 2 𝐵
〈𝑃𝑟 〉 = =
2 𝜌1 𝑉1 2𝑍1
1 𝑆𝐶 2 𝐶2
〈𝑃𝑡 〉 = =
2 𝜌2 𝑉2 2𝑍2
où 〈𝑃𝑖 〉, 〈𝑃𝑟 〉 et 〈𝑃𝑡 〉 sont respectivement les puissances moyennes de l’onde incidente, réfléchie et
transmise.
a. Les coefficients de réflexion et de transmissions en puissance sont :
〈𝑃𝑟 〉 2
𝑍2 − 𝑍1 2
𝛼𝑅 = = 𝑅𝑝 = [ ]
〈𝑃𝑖 〉 𝑍1 + 𝑍2
〈𝑃𝑡 〉 𝑍1 2 4𝑍1 𝑍2
𝛼𝑇 = = 𝑇𝑝 =
〈𝑃𝑖 〉 𝑍2 ሺ𝑍1 + 𝑍2 ሻ2
Nous constatons que 𝛼𝑅 + 𝛼 𝑇 = 1, ce qui traduit la conservation de puissance dans le cas conservatif.
b. Dans le cas de réflexion air eau, nous trouvons :
𝛼𝑅 = 0.99 et 𝛼 𝑇 = 0.01
La réflexion est presque totale.
c. Dans le cas d’une réflexion terre eau, nous trouvons :
𝛼𝑅 = 0.22 et 𝛼 𝑇 = 0.78
A partir des résultats précédents (questions 4.b. et 4.c.) nous concluons que le poisson à plus de chance
d’être effrayé lorsque le pêcheur se déplace sur le rivage que lorsqu’il parle.
140
N. MAGHLAOUI
Exercice 5
Un tuyau de section constante S constitué de deux parties (A, B) distinctes de longueurs respectives 𝐿1
et 𝐿2 , contenant deux fluides de masses volumiques 𝜌1 et 𝜌2 soumis à une température et une pression
constante. Les deux extrémités (voir figure 5) sont fermées par des parois rigides. (𝑥 = −𝐿1, 𝑥 = 𝐿2 ).
Les deux parties A et B sont séparées par une surface virtuelle sans masse et ne permettant pas la diffusion
du fluide d’une partie vers l’autre.
𝐴 𝐵
𝑥
−𝐿1 𝑂 𝐿2
Figure 5
On génère deux ondes acoustiques monochromatiques planes, 𝑢1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ et 𝑢2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ: étant les déplacements
acoustiques).
𝑢1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴1 exp 𝑗ሺ𝜔𝑡 − 𝑘1 𝑥ሻ + 𝐵1 exp 𝑗ሺ𝜔𝑡 + 𝑘1 𝑥ሻ, pour −𝐿1 ≤ 𝑥 ≤ 0
𝑢2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴2 exp 𝑗ሺ𝜔𝑡 − 𝑘2 𝑥ሻ + 𝐵2 exp 𝑗ሺ𝜔𝑡 + 𝑘2 𝑥ሻ, pour 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿2
1. En écrivant les conditions aux limites en (𝑥 = −𝐿1 , 𝑥 = 𝐿2 ), montrer que les deux ondes de
déplacements peuvent se mettre sous la forme:
𝑢1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = Aሺ𝑥ሻexp 𝑗ሺ𝜔𝑡 − 𝛼ሻ et 𝑢2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐵ሺ𝑥ሻ exp 𝑗ሺ𝜔𝑡 − 𝛽ሻ
Préciser les fonctions réelles Aሺ𝑥ሻ et 𝐵ሺ𝑥ሻ ainsi que les arguments α et β.
2. Calculer les pressions acoustiques correspondantes 𝑝1(𝑥, 𝑡ሻ 𝑝2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ.
3. En utilisant les conditions de continuité, en 𝑥 = 0, montrer que l’équation aux pulsations propres sous
la forme:
𝑎 𝑡𝑔ሺ𝑐𝜔ሻ + 𝑏 𝑡𝑔ሺ𝑑𝜔ሻ = 0
Préciser les expressions des constantes 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 en fonction des longueurs 𝐿1 et 𝐿2 , des masses
volumiques 𝜌1 et 𝜌2 et des vitesses de propagation 𝑉1 et 𝑉2.
141
N. MAGHLAOUI
Solution
1. En utilisant la condition en 𝑥 = −𝐿1 :
𝑢1 ሺ−𝐿1 , 𝑡ሻ = 𝐴1 exp 𝑗ሺ𝜔𝑡 + 𝑘1 𝐿1 ሻ + 𝐵1 exp 𝑗ሺ𝜔𝑡 − 𝑘1 𝐿1 ሻ = 0
ce qui donne
𝐴1 𝑒 𝑗𝑘1𝐿1 = −𝐵1 𝑒 −𝑗𝑘1 𝐿1 ⟹ 𝐵1 = −𝐴1 𝑒 2𝑗𝑘1𝐿1
en injectant dans l’expression de 𝑢1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ, on trouve :
𝑢1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = −2𝑗𝐴1 sin[𝑘1 ሺ𝑥 + 𝐿1 ሻ] 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡+𝑘1𝐿1ሻ
De la même façon, nous avons :
𝑢2 ሺ𝐿2 , 𝑡ሻ = 𝐴2 𝑒𝑥𝑝 𝑗ሺ𝜔𝑡 − 𝑘2 𝐿2 ሻ + 𝐵2 𝑒𝑥𝑝 𝑗ሺ𝜔𝑡 + 𝑘2 𝐿2 ሻ = 0
d’où :
𝐴2 𝑒 −𝑗𝑘2 𝐿2 = −𝐵2 𝑒 𝑗𝑘2 𝐿2 ⟹ 𝐵2 = −𝐴2 𝑒 −2𝑗𝑘2𝐿2
En injectant dans l’expression de 𝑢2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ, on trouve :
𝑢2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 2𝑗𝐴2 sin[𝑘2 ሺ𝐿2 − 𝑥ሻ] 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘2𝐿2ሻ

par identification :
Aሺ𝑥ሻ = −2𝑗𝐴1 sin[𝑘1 ሺ𝑥 + 𝐿1 ሻ], Bሺ𝑥ሻ = 2𝑗𝐴2 sin[𝑘2 ሺ𝐿2 − 𝑥ሻ], 𝛼 = −𝑘1 𝐿1 et 𝛽 = 𝑘2 𝐿2
2. En utilisant l’équation d’Euler, nous avons :

𝜕𝑝1,2
= 𝜌1,2 𝜔2 𝑢1,2
𝜕𝑥
Après calcul :
𝑝1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 2𝑗𝐴1 𝜌1 𝑉1 𝜔 cos[𝑘1 ሺ𝑥 + 𝐿1 ሻ] 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡+𝑘1𝐿1ሻ
𝑝2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 2𝑗𝐴2 𝜌2 𝑉2 𝜔 cos[𝑘2 ሺ𝐿2 − 𝑥ሻ] 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘2𝐿2ሻ
3. En utilisant la continuité des déplacements et des pressions en 𝑥 = 0 :

𝑢1 ሺ0, 𝑡ሻ = 𝑢2 ሺ0, 𝑡ሻ ⟹ −𝐴1 sinሺ𝑘1 𝐿1 ሻ 𝑒 𝑗𝑘1 𝐿1 = 𝐴2 sinሺ𝑘2 𝐿2 ሻ 𝑒 −𝑗𝑘2𝐿2
𝑝1 ሺ0, 𝑡ሻ = 𝑝2 ሺ0, 𝑡ሻ ⟹ 𝐴1 𝜌1 𝑉1 cosሺ𝑘1 𝐿1 ሻ 𝑒 𝑗𝑘1𝐿1 = 𝐴2 𝜌2 𝑉2 cosሺ𝑘2 𝐿2 ሻ 𝑒 −𝑗𝑘2𝐿2
A partir des équations précédentes :

1 𝜔𝐿1 1 𝜔𝐿2
tg ( )+ tg ( )=0
𝜌1 𝑉1 𝑉1 𝜌2 𝑉2 𝑉2
par identification :
1 1
𝑎= ,𝑏 =
𝜌1 𝑉1 𝜌2 𝑉2
𝐿1 𝐿2
𝑐 = ,𝑑 =
𝑉1 𝑉2
142
N. MAGHLAOUI
Exercice 6
Une onde acoustique plane, sinusoïdale de pulsation ω, d’amplitude A, se propage suivant la direction Ox
dans un milieu fluide de masse volumique ρ1. Elle arrive sous incidence normale sur un second milieu
fluide de masse volumique ρ 2 et d’épaisseur L2, déposé sur un solide parfaitement rigide (Figure 6).On
notera V1 et V2 les vitesses de propagation respectives dans chacun des deux milieux fluides. Les vecteurs
d’onde correspondants seront notés respectivement k1 et k2.
x’
Milieu 1
O
Milieu 2
L2
Solide rigide
x
Figure 6
Dans chacun des deux milieux, la pression acoustique s’écrit respectivement

𝑝1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘1𝑥ሻ + 𝐵𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡+𝑘1𝑥ሻ
𝑝2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐶𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘2𝑥ሻ + 𝐷𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡+𝑘2𝑥ሻ
1. Ecrire les expressions respectives, u1 ( x, t ) et u2 ( x, t ) , des vitesses de particule dans le milieu 1 et dans
le milieu 2.
2. Ecrire les relations de continuité pour la pression acoustique et pour la vitesse des particules en x = 0.
En déduire deux relations entre les coefficients A, B, C et D.
3. Ecrire la relation de continuité pour la vitesse de particule en x = L2. En déduire une relation entre les
coefficients C et D.
4. En déduire le coefficient de réflexion R = B /A. Donner le module et la phase.
5. Mesure de la vitesse V2
a. Quelle est la condition pour que, dans le milieu 2, la pression possède un noeud en x= 0 et un seul
ventre?
b. Sachant que le premier noeud de pression dans le milieu 1 se situe en x = −L1, calculer la vitesse
de propagation V2 en fonction de V1, L1 et L2.
c. L’expérience est réalisée, dans les conditions ci-dessus, avec de l’eau comme milieu 1 (V1 = 1500
m/s) et de la glycérine comme milieu 2. On mesure L1 = 7.5 mm et L2 = 4.95 mm. Quelle est la
vitesse de propagation V2 des ondes acoustiques dans la glycérine.
143
N. MAGHLAOUI
Solution
1. A partir de l’équation d’Euler
1 𝑖𝜔𝑡
𝑢̇ 1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑒 [𝐴𝑒 −𝑖𝑘1𝑥 − 𝐵𝑒 𝑖𝑘1𝑥 ]
𝑍1
1
𝑢̇ 2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑒 𝑖𝜔𝑡 [𝐶𝑒 −𝑖𝑘2𝑥 − 𝐷𝑒 𝑖𝑘2𝑥 ]
𝑍2
2. Les relations de continuité en 𝑥 = 0 donnent :
𝑝1 ሺ0, 𝑡ሻ = 𝑝2 ሺ0, 𝑡ሻ ⇒ 𝐴 + 𝐵 = 𝐶 + 𝐷
1 1
𝑢̇ 1 ሺ0, 𝑡ሻ = 𝑢̇ 2 ሺ0, 𝑡ሻ ⇒ ሺ𝐴 − 𝐵ሻ = ሺ𝐶 − 𝐷ሻ
𝑍1 𝑍2
3. En 𝑥 = 𝐿2 la vitesse des particules est nulle 𝑢̇ 2 ሺ𝐿2 , 𝑡ሻ = 0 ⇒ 𝐶𝑒 −𝑖𝑘2𝐿2 − 𝐷𝑒 𝑖𝑘2 𝐿2 = 0
4. Des relations précédentes nous avons :

𝐵 𝑍1 + 𝑗𝑍2 ctgሺ𝑘2 𝐿2 ሻ
𝑅= =
𝐴 𝑗𝑍2 ctgሺ𝑘2 𝐿2 ሻ − 𝑍1
Son module et sa phase sont :

𝑍2
|𝑅| = 1, 𝜑 = 2 Arctg [ ctgሺ𝑘2 𝐿2 ሻ]
𝑍1
5. Mesure de la vitesse 𝑉2
a. Avoir un nœud de pression en 𝑥 = 0 et un seul ventre implique
𝜆2 𝑉2
𝐿2 = =
4 4𝑓
b. Dans le milieu 1, le premier nœud de pression se trouve en 𝑥 = −𝐿1, cela implique
𝜆1 𝑉1
𝐿1 = =
2 2𝑓
c. La vitesse est déduite en tenant compte de la conservation de la fréquence
𝐿2
𝑉2 = 2 𝑉1
𝐿1
−1
Application numérique : 𝑉2 = 1980 𝑚𝑠
144
N. MAGHLAOUI
Exercice 7
Dans tous les véhicules disposant d’un moteur à explosion (essence, diesel,…), les gaz de combustion
sont évacués par un tuyau d’échappement. L’explosion provoquée par la combustion du mélange essence-
air donne naissance à une onde de pression qui se propage à l’intérieur de ce tuyau et peut donner lieu à
des bruits extrêmement désagréables. Pour limiter l’intensité de ce son, on utilise un pot d’échappement
qui est tout simplement constitué d’un tuyau de section supérieure à la section du tuyau d’échappement.
On se propose d’étudier le fonctionnement d’un tel dispositif qui peut être modélisé par le schéma de la
figure suivante.
𝑆2
𝑆1 𝑆1
𝑥
Vers le moteur Vers la sortie des gaz
𝑥=0 𝑥 = 𝐿
Ce système simplifié est constitué d’un tuyau de longueur L et de section 𝑆2 > 𝑆1 . En 𝑥 = 𝐿, ce tuyau est
prolongé par un tuyau de longueur infinie et de section 𝑆1. Ces tuyaux contiennent le même mélange
gazeux de masse volumique 𝜌 dans lequel les ondes acoustiques se propagent à la vitesse 𝑉. Les
impédances caractéristiques, spécifiques et respectives des tuyaux de section 𝑆1 et 𝑆2 sont
respectivement :
𝜌𝑉 𝜌𝑉
𝑍1 = et 𝑍2 =
𝑆1 𝑆2
1. L’onde acoustique issue du moteur est représenté par:
𝑝𝑖 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴1 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ
Expliquer pourquoi le champ de pression acoustique peut s’écrire :

Région a ሺ𝑥 ≤ 0) :
𝑝1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴1 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ + 𝐵1 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡+𝑘𝑥ሻ
Région b ሺ0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿ሻ:
Région c ሺ𝑥 ≥ 𝐿) :
𝑝3 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴3 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ
Que représentent 𝐴1 , 𝐵1, 𝐴2 , 𝐵2 et 𝐴3 ?
2. Calculer les débits 𝑑1 = 𝑆1 𝑢̇ 1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ, 𝑑2 = 𝑆2 𝑢̇ 2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ et 𝑑3 = 𝑆1 𝑢̇ 3 ሺ𝑥, 𝑡ሻ correspondant respectivement

aux régions 𝑎, 𝑏 et 𝑐. Sachant que 𝑢̇ 1 , 𝑢̇ 2 et 𝑢̇ 3 représentent la vitesse des particules dans chacune de
ces régions.
145
N. MAGHLAOUI
3. Ecrire les relations de continuité (débit et pression) en 𝑥 = 0 et en déduire l’expression de 𝐴1 , en
fonction de 𝐴2 , 𝐵2 ,𝑍1 et 𝑍2 .
4. Ecrire les relations de continuité (débit et pression) en 𝑥 = 𝐿 et en déduire l’expression de 𝐴2 et 𝐵2 en

fonction de 𝐴3 , 𝑍1 et 𝑍2 .
5. Dans le cas ou 𝑆2 = 4𝑆1 et en utilisant les résultats précédents pour 𝐴2 et 𝐵2, montrer que le coefficient
de transmission en intensité acoustique est égal à :
𝐴3 2 1
𝛼𝑡 = | | =
𝐴1 1 + 𝛽[sinሺ𝑘𝐿ሻ]2
6. Pour quelles valeurs de la longueur 𝐿, le coefficient 𝛼𝑡 est minimal ? En déduire la longueur minimale
de L correspondante. Calculer le coefficient 𝛼𝑡 correspondant et conclure.
Solution :
1. Dans la région (a) ሺ𝑥 ≤ 0ሻ,une onde incidente se propage. En 𝑥 = 0, nous avons une variation
d’impédance, l’onde incidente engendre une onde réfléchie dans la même région et une onde transmise
dans la (b) région ሺ0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿ሻ, nous avons donc dans la région (a) la superposition d’ondes
progressive et régressive, d’amplitudes respectives 𝐴1 , 𝐵1 et de pulsation 𝜔:
L’onde transmise à travers la frontière en 𝑥 = 0 est progressive, en 𝑥 = 𝐿 cette onde rencontre une
variation d’impédance due à la variation de section, cela donne naissance à une onde réfléchie dans la
région (b) ሺ0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿ሻ, et transmise dans la région (c) ሺ𝑥 ≥ 𝐿ሻ.
Dans la région (b), nous avons donc la superposition d’ondes progressive et régressive, d’amplitudes
respectives 𝐴2 , 𝐵2 et de pulsation 𝜔:
Dans la 3ème région (région (c)), nous avons une onde transmise à travers la frontière en 𝑥 = 𝐿, cette
onde est progressive, de pulsation 𝜔 et d’amplitude 𝐴3 :
𝑝3 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴3 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ
2. En utilisant la relation de l’hydrodynamique, nous avons :

Dans la région (a) :
1 𝑗𝜔𝑡
𝑢̇ 1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑒 (𝐴1 𝑒 −𝑗𝑘𝑥 − 𝐵1 𝑒 𝑗𝑘𝑥 )
𝜌𝑣
Dans la région (b) :
1 𝑗𝜔𝑡
𝑢̇ 2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑒 (𝐴2 𝑒 −𝑗𝑘𝑥 − 𝐵2 𝑒 𝑗𝑘𝑥 )
𝜌𝑣
Dans la région (c) :

1
𝑢̇ 3 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ
𝜌𝑣 3
146
N. MAGHLAOUI
Les débits associés sont :
Dans la région (a) :

1 𝑗𝜔𝑡
𝑑1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑆1 𝑢̇ 1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑒 (𝐴1 𝑒 −𝑗𝑘𝑥 − 𝐵1 𝑒 𝑗𝑘𝑥 )
𝑍1
Dans la région (b) :
1 𝑗𝜔𝑡
𝑑2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑆2 𝑢̇ 2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑒 (𝐴2 𝑒 −𝑗𝑘𝑥 − 𝐵2 𝑒 𝑗𝑘𝑥 )
𝑍2
Dans la région (c) :
1
𝑑3 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑆1 𝑢̇ 3 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴3 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ
𝑍1
3. Les conditions de continuité en 𝑥 = 0 :
𝑝1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑝2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ ⟹ 𝐴1 + 𝐵1 = 𝐴2 + 𝐵2
1 1
𝑑1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑑2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ ⟹ [𝐴1 − 𝐵1 ] = [𝐴2 − 𝐵2 ]
𝑍1 𝑍2
4. Les conditions de continuité en 𝑥 = 𝐿 :
𝑝2 ሺ𝐿, 𝑡ሻ = 𝑝3 ሺ𝐿, 𝑡ሻ ⟹ 𝐴2 𝑒 −𝑗𝑘𝐿 + 𝐵2 𝑒 𝑗𝑘𝐿 = 𝐴3 𝑒 −𝑗𝑘𝐿

1 1
𝑑2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑑3 ሺ𝑥, 𝑡ሻ ⟹ [𝐴2 𝑒 −𝑗𝑘𝐿 − 𝐵2 𝑒 𝑗𝑘𝐿 ] = 𝐴3 𝑒 −𝑗𝑘𝐿
𝑍2 𝑍1
5. Dans le cas particulier où 𝑆2 = 4𝑆1, nous avons 𝑍1 = 4𝑍2 :
𝐴1 + 𝐵1 = 𝐴2 + 𝐵2
𝐴1 − 𝐵1 = 4[𝐴2 − 𝐵2 ]
𝐴2 𝑒 −𝑗𝛼 + 𝐵2 𝑒 𝑗𝛼 = 𝐴3 𝑒 −𝑗𝛼
4[𝐴2 𝑒 −𝑗𝛼 − 𝐵2 𝑒 𝑗𝛼 ] = 𝐴3 𝑒 −𝑗𝛼
avec : 𝛼 = 𝑘𝐿.
Dans ce qui suit on pose : 𝐴̅2 = 𝐴2 𝑒 −𝑗𝛼 , 𝐵̅2 = 𝐵2 𝑒 𝑗𝛼 et 𝐴̅3 = 𝐴3 𝑒 −𝑗𝛼 .
Les équations précédentes deviennent :
𝐴1 + 𝐵1 = 𝐴2 + 𝐵2 (1)
1
ሺ𝐴 − 𝐵1 ሻ = 𝐴2 − 𝐵2 (2)
4 1
𝐴̅2 + 𝐵̅2 = 𝐴̅3 (3)
1
𝐴̅2 − 𝐵̅2 = 𝐴̅3 (4)
4
147
N. MAGHLAOUI
En calculant (1) + (2), (1) – (2), puis (3) + (4) (3) – (4) :
5 3 (5)
𝐴1 + 𝐵1 = 2𝐴2
4 4
3 5
𝐴1 + 𝐵1 = 2𝐵2 (6)
4 4
5 5
2𝐴̅2 = 𝐴̅3 ⟹ 2𝐴2 = 𝐴3 (7)
4 4
3 3
2𝐵̅2 = 𝐴̅3 ⟹ 2𝐵2 = 𝐴3 𝑒 −2𝑗𝛼 (8)
4 4
En remplaçant l’expression de 𝐴2 en (7) dans l’équation 5, et l’expression de 𝐵2 en (8) dans l’équation
(6) nous obtenons :
5 3 5 (9)
𝐴1 + 𝐵1 = 𝐴3 ⟹ 5𝐴1 + 3𝐵1 = 5𝐴3
4 4 4
3 5 3
𝐴1 + 𝐵1 = 𝐴3 𝑒 −2𝑗𝛼 ⟹ 3𝐴1 + 5𝐵1 = 3𝐴3 𝑒 −2𝑗𝛼 (10)
4 4 4
Il devient alors aisé d’éliminer 𝐵1 des deux équations et de trouver :
𝐴3 1
=
9
𝐴1 1 + 𝑗 𝑒 −𝑗𝛼 sinሺ𝛼ሻ (11)
8
Le module au carré de l’expression précédente est :
𝐴3 2 1
𝛼𝑡 = | | = (12)
𝐴1 225
1 + 64 [sinሺ𝛼ሻ]2
7. 𝛼𝑡 est minimal lorsque
𝜋
sinሺ𝛼ሻ = ±1 ⟹ 𝛼 = ሺ2𝑛 + 1ሻ
2
avec 𝑛 ∈ ℕ.
Sachant que 𝛼 = 𝑘𝐿
𝜆
𝐿 = ሺ2𝑛 + 1ሻ
4
La longueur minimale est donc :
𝜆
𝐿=
4
Dans ce cas la valeur numérique de 𝛼𝑡 est :
1
𝛼𝑡 == = 0.22
225
1 + 64
Afin de réduire au maximum la pollution sonore, la longueur 𝐿 doit être égale ሺ2𝑛 + 1ሻ 𝜆⁄4.
148
N. MAGHLAOUI
Ondes élastiques dans les solides
149
N. MAGHLAOUI
Résumé de cours
• Cas d’une onde longitudinale
Considérons une onde acoustique de faible amplitude se propageant suivant la direction 𝑥 dans un
solide déformable continu et isotrope, de section 𝑆 et de masse volumique 𝜌 (Figure 1).
Lors de sa propagation, l’onde acoustique s’accompagne d’une variation infinitésimale de la
déformation 𝜀ሺ𝑥, 𝑡ሻ et de la contrainte 𝜏ሺ𝑥, 𝑡ሻ.
Afin d’établir l’équation d’onde, nous nous basons sur deux équations :
− La relation fondamentale de la dynamique appliquée à élément du barreau solide de section 𝑆 et
de largeur infinitésimale Δ𝑥 (les forces agissant sur cette tranche résultant de la variation de
contrainte liée au passage de l’onde).
𝜕 2 𝑢𝑥 𝜕𝐹
𝜌𝑆 =
𝜕𝑡 2 𝜕𝑥
𝑢𝑥 : le déplacement normal à la section 𝑆 des particules.
− La loi de Hooke qui traduit la nature élasique des matériaux dans le cas des faibles déformations.
Cela se manifeste par une relation linéaire entre la contrainte 𝜏 et la déformation 𝜀. Dans le cas
d’une onde longitudinale
1𝐹 1
𝜀= = 𝜏
𝐸𝑆 𝐸
avec :
𝜕𝑢𝑥
𝜀=
𝜕𝑥
𝐸 représente le module de Young, qui est une constante caractérisitique du matériau.
𝑢𝑥 𝑢𝑥+Δ𝑥
ሺ𝜌, 𝐸ሻ
𝐹𝑥 𝐹𝑥+Δ𝑥
𝑥
𝑥 𝑥 + Δ𝑥
Figure 1
A partir de ces équations, nous obtenons l’équation d’onde de d’Alembert :

𝜕 2 𝑢𝑥 1 𝜕 2 𝑢𝑥
− =0
𝜕𝑥 2 𝑣𝐿2 𝜕𝑡 2
avec :
𝐸
𝑣𝐿 = √
𝜌
𝑣 représente la vitesse de propagation de l’onde longitudinale.
150
N. MAGHLAOUI
• Cas d’une onde transversale
Lorsque l’extrémité du barreau est soumise à une force parallèle à la section S (force de cisaillement),
nous pouvons supposer que chaque section du barreau se déplace de bas en haut et de haut en bas sans
mouvement horizontal. Le déplacement des particules est alors 𝑢𝑧 transversal, l’onde est alors
transversale.
𝑧
ሺ𝜌, 𝐸ሻ 𝐹ሺ𝑥 + 𝛥𝑥ሻ
𝐹ሺ𝑥ሻ
𝑢𝑧 ሺ𝑥ሻ 𝑢𝑧 ሺ𝑥 + 𝛥𝑥ሻ
𝑥
𝑥 𝑥 + Δ𝑥
Figure 2
Une démarche analogue au cas de l’onde longitudinale, permet d’obtenir léquation d’onde de
d’Alembert.
La loi de Hooke s’écrit :
1𝐹 1
𝜀= = 𝜏
𝐺𝑆 𝐺
𝐺 est une constante caractérisant le matériau, que l’on appelle module de cisaillement.
avec :
𝜕𝑢𝑥
𝜀=
𝜕𝑥
La relation fondamentale de la dynamique appliquée à une tranche d’épaisseur Δ𝑥 donne:
𝜕 2 𝑢𝑧 𝜕𝐹
𝜌𝑆 =
𝜕𝑡 2 𝜕𝑥
Les équations précedentes permettent d’obtenir l’équation de d’Alembert pour une onde transversale
dans le solide :
𝜕 2 𝑢𝑧 1 𝜕 2 𝑢𝑧
− =0
𝜕𝑥 2 𝑣𝑇2 𝜕𝑡 2
avec :
𝐺
𝑣𝑇 = √
𝜌
2. Impédance
Dans le cas d’une onde plane progressive sinusoïdale la solution de l’équation d’onde s’écrit :
𝑢𝑥 = 𝐴𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ (dans le cas d’une onde longitudinale).
𝑢𝑧 = 𝐵𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ (dans le cas d’une onde transversale).
𝜔 représente la pulsation de l’onde.
𝑘 le module du vecteur d’onde.
151
N. MAGHLAOUI
On appelle impédance en un point le rapport de l’amplitude complexe de la force à l’amplitude
complexe de la vitesse de particule.
Dans le cas d’une onde longitudinale:
𝐹𝑥
𝑍ሺ𝑥ሻ =
𝑢̇ 𝑥
avec :
𝜕𝑢𝑥
𝐹𝑥 = −𝑆𝐸
𝜕𝑥
Dans le cas d’une onde transversale:
𝐹𝑧
𝑍ሺ𝑥ሻ =
𝑢̇ 𝑧
avec :
𝜕𝑢𝑧
𝐹𝑧 = −𝑆𝐺
𝜕𝑧
Dans le cas de l’onde plane longitudinale progressive et sinusoïdale, nous trouvons:
𝑍ሺ𝑥ሻ = 𝑆 𝑍𝑐
avec :
𝑍𝑐 = √𝜌𝐸
Dans le cas de l’onde plane transversale progressive et sinusoïdale, nous obtenons:
𝑍ሺ𝑥ሻ = 𝑆 𝑍𝑐
avec :
𝑍𝑐 = √𝜌𝐺
3. Réflexion-transmission entre barreaux semi-infinis
Soit deux barreaux de masses volumiques 𝜌1 et 𝜌2 , de même section S et de longueur semi-infinie,
reliés en x = 0. Une onde longitudinale venant de −∞ se propage vers 𝑥 = 0 dans le premier barreau,
elle donne naissance au point de jonction, 𝑥 = 0, à une onde réfléchie et une onde transmise (Figure
3).
ሺ𝜌1 , 𝐸1 ሻ ሺ𝜌2 , 𝐸2 ሻ
Onde incidente Barreau 1 Barreau 2
𝑥
𝑥=0
Figure 3
L’écriture de la continuité du déplacement et de la contrainte mécanique en 𝑥 = 0 permet d’obtenir
le coefficient de réflexion 𝑅𝑢 et le coefficient de transmission 𝑇𝑢 définis respectivement par :
𝑍1 − 𝑍2
𝑅𝑢 =
𝑍1 + 𝑍2
2𝑍1
𝑇𝑢 =
𝑍1 + 𝑍2
où 𝑍1 = 𝑆√𝜌1 𝐸1 et 𝑍2 = 𝑆√𝜌2 𝐸2
𝐸1 et 𝐸2 représentent respectivement les modules de young des barreaux 1 et 2.
152
N. MAGHLAOUI
153
N. MAGHLAOUI
Exercice 1
Un barreau métallique cylindrique, d’axe 𝑥’𝑂𝑥, de surface de section 𝑆, a une longueur au repos ℓ.
Il s’allonge de 𝛿ℓ lorsqu’il est soumis à deux forces opposées 𝐹⃗ et −𝐹⃗ appliquées à ses faces terminales
(Figure 1).
ℓ
𝑥′ ሺ𝜌, 𝐸ሻ 𝑥
𝑂
Figure 1
ℓ + 𝛿ℓ
𝑥′ 𝑖⃗ ሺ𝜌, 𝐸ሻ 𝑥
𝑂 −𝐹⃗ 𝐹⃗
On note 𝐹⃗ = 𝐹𝑖⃗. Pour 𝐹 suffisamment faible, la variation relative de longueur 𝛿ℓ/ℓest reliée à 𝐹 par la
Loi de Hooke :
𝛿ℓ 1 𝐹
=
ℓ 𝐸𝑆
Où 𝐸 est une constante appelée module de Young (𝐸 dépend de la nature du métal constituant le barreau).
1. En quelle unité 𝑆𝐼 s’exprime le module de Young 𝐸 ?
2. Pour calculer la vitesse du son dans un barreau métallique cylindrique homogène très long, d’axe
𝑥’𝑂𝑥, de surface de section 𝑆, on étudie l’évolution d’une tranche du barreau sous l’effet de la
perturbation sonore. (1) désigne la partie du barreau située à gauche de la tranche, (2) partie située à
droite de la tranche.
𝑥 𝑥 + 𝑑𝑥
(a) au repos
𝑥′ ሺ𝜌, 𝐸ሻ 𝑥
𝑂
(b) Lors du passage de la 𝑥1 𝑥2 Figure 2

perturbation (instant t)
𝑥′ 𝑖⃗ ሺ𝜌, 𝐸ሻ 𝑥
𝑂 −𝐹⃗ 𝐹⃗
Au repos (Figure a ci-dessus), la tranche a une longueur 𝑑𝑥. Elle est comprise entre les plans d’abscisses
𝑥 et 𝑥 + 𝑑𝑥. La masse volumique, dans ce cas, est constante et égale à 𝜌0 .
À l’instant 𝑡, sous l’effet de la perturbation sonore (Figure b), la tranche est comprise entre les plans 𝑥1 et
𝑥2 , avec 𝑥1 = 𝑥 + 𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ et 𝑥2 = 𝑥 + 𝑑𝑥 + 𝑢ሺ𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑡ሻ.
154
N. MAGHLAOUI
𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ est le déplacement de particules. La masse volumique en 𝑥 à l’instant 𝑡 est 𝜌ሺ𝑥, 𝑡ሻ. La partie (1)
exerce sur la tranche une force 𝐹⃗1 . De même, la partie (2) exerce sur la tranche une force 𝐹⃗2 . On a 𝐹⃗1 =
−𝐹ሺ𝑥1 , 𝑡ሻ𝑖⃗ et 𝐹⃗2 = 𝐹ሺ𝑥2 , 𝑡ሻ𝑖⃗.
On se place dans le cadre de l’approximation acoustique. De plus, la surface de section 𝑆 ne dépend ni de
𝑥 ni de 𝑡.
2.a. Exprimer la masse de la tranche en fonction de 𝜌0 , 𝑆 et 𝑑𝑥. À l’aide de la relation fondamentale de la
dynamique, établir une relation entre 𝜕 2 𝑢/𝜕𝑡 2 et une dérivée de 𝐹.
2.b. Calculer la variation relative de longueur de la tranche lors du passage de l’onde. À l’aide de la Loi
de Hooke, établir une relation entre 𝐹 et une dérivée de 𝑢.
2.c. Déduire des questions précédentes, l’équation de propagation satisfaite par 𝑢.
Donner l’expression de vitesse de propagation 𝑣, du son dans le barreau en fonction de 𝐸 (module de
Young) et de𝜌0 .
Application numérique: calculer la vitesse 𝑣, en 𝑚/𝑠, pour un barreau en acier (𝐸 = 2.1011 𝑆𝐼,𝜌0 =
7850 𝑘𝑔/𝑚3).
Solution
1.
ℓ 𝐹
𝐸= ⟹ 𝐸 est en 𝑁𝑚−2
𝛿ℓ 𝑆
2.a. La masse de la tranche est 𝑑𝑚 = 𝜌0 𝑆 𝑑𝑥. La relation fondamentale de la dynamique appliquée à la
tranche considérée s’écrit:
𝜕 2𝑢
𝐹⃗1 + 𝐹⃗2 = 𝑑𝑚 𝑎⃗ ⟹ 𝐹2 − 𝐹1 = 𝜌 𝑆 𝑑𝑥
𝜕𝑡 2 0
En tenant compte de l’approximation acoustique,
𝜕𝐹
𝐹2 − 𝐹1 = 𝐹ሺ𝑥 + 𝑑𝑥 + 𝑢ሺ𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑡ሻ, 𝑡ሻ − 𝐹ሺ𝑥 + 𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ, 𝑡ሻ ≈ 𝑑𝑥
𝜕𝑥
Nous avons donc:
𝜕𝐹 𝜕 2 𝑢
= 𝜌 𝑆
𝜕𝑥 𝜕𝑡 2 0
2.b. La variation relative de longueur est:
𝛿ℓ 𝑢ሺ𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑡ሻ − 𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ 𝜕𝑢

= =
ℓ 𝑑𝑥 𝜕𝑥
En tenant compte de la loi de Hooke:
𝜕𝑢 𝐹
=
𝜕𝑥 𝐸𝑆
155
N. MAGHLAOUI
2.c. En dérivant l’expression obtenue en (2.b) et en la reportant dans l’expression (2.a), nous obtenons :
𝜕 2 𝑢 𝜌0 𝜕 2 𝑢 𝐸
2
− 2
= 0 ⟹ 𝑣 = √ = 5000 𝑚𝑠 −1
𝜕𝑥 𝐸 𝜕𝑡 𝜌0
Exercice 2
Un barreau d’acier de 10−4 𝑚2de section droite et de 0.25 𝑚 de longueur est libre de se mouvoir en 𝑥 =
0 et il est chargé à l’autre extrémité, en 𝑥 = 0.25 𝑚, par une masse de 0.15 𝑘𝑔.
a. Calculer la fréquence fondamentale des vibrations longitudinales de ce barreau.
b. Déterminer la position à laquelle ce barreau doit être fixé pour causer la plus faible perturbation de
son mode fondamental de vibration.
c. Quand ce barreau vibre dans son mode fondamental, quel est le rapport de l’amplitude du déplacement
de l’extrémité libre à celle qui est chargée par la masse ?
d. Quelle est la fréquence du premier harmonique de ce barreau ?
Solution
1. Le déplacement des particules :
𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ + 𝐵𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡+𝑘𝑥ሻ
Nous appliquons le principe fondamental de la dynamique :
𝜕𝑢 𝜕 2𝑢
−𝑆𝐸 | = 𝑚 2|
𝜕𝑥 𝑥=𝐿 𝜕𝑡 𝑥=𝐿
Ce qui permet d’écrire :
𝑆√𝜌𝐸[𝐴𝑒 −𝑖𝑘𝐿 − 𝐵𝑒 𝑖𝑘𝐿 ] = 𝑖𝑚𝜔[𝐴𝑒 −𝑖𝑘𝐿 + 𝐵𝑒 𝑖𝑘𝐿 ] (1)
La condition d’extrémité libre en 𝑥 = 0, permet d’écrire :
𝐹ሺ0, 𝑡ሻ = 0
permet de trouver :
𝐴=𝐵 (2)
Des équations (1) et (2) :
𝑚𝜔
tgሺ𝑘𝐿ሻ = −
𝑆√𝜌𝐸
qui peut s’écrire sous la forme:

𝜔𝐿 𝜔𝐿 𝑚𝑣 2
tg ( ) = − ( ) (3)
𝑣 𝑣 𝑆𝐸𝐿
Cette équation est du type :
tgሺ𝑥ሻ = −𝑎𝑥
𝑎 est une constante.
Afin de résoudre cette équation, je propose de faire un petit programme sous matlab (Voir ci-dessous).
156
N. MAGHLAOUI
Programme principal faisant appel à un une fonction ftan1
%calcul du mode fondamental
clear
clc
global a
E=2e11;
rho=7.8e3;
S=1e-4;
v=sqrt(E/rho);
L=0.25;
m=0.15;
a=m*v^2/(L*E*S);
fun=@ftan1;
sol=fzero(fun,pi/2);
omega=sol*v/L;
%Affichage du résultat
disp('Exercice 3')
disp('-------------')
disp(['Mode fondamental : w=' num2str(omega) ' rad/s'])
Ci-dessous la fonction ftan1

function tanx=ftan1(x)
a=0.7692;
tanx=tan(x)+a*x;
end
Nous trouvons pour le mode fondamentale:

𝜔 = 31816.1456 𝑟𝑑 𝑠 −1
La fréquence correspondante est :
𝜔
𝑓= = 5.0637 103 𝐻𝑧
2𝜋
2. Le barreau doit être fixé au niveau du ventre afin d’avoir un minimum de vibration dans le mode
fondamental.
Nous savons que 𝐴 = 𝐵 (condition en 𝑥 = 0).
157
N. MAGHLAOUI
Le déplacement s’écrit alors :
𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑒 𝑖𝜔𝑡 [𝐴𝑒 −𝑖𝑘𝑥 + 𝐵𝑒 𝑖𝑘𝑥 ] = 2𝐴 cosሺ𝑘𝑥ሻ 𝑒 𝑖𝜔𝑡
Le ventre se trouve à une position 𝑥, telle que :
𝜕𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ
= 0 ⟹ −2𝐴𝑘 sinሺ𝑘𝑥ሻ 𝑒 𝑖𝜔𝑡 = 0
𝜕𝑥
En d’autres termes: sinሺ𝑘𝑥ሻ = 0.
La résolution de l’équation précédente donne:

𝜋𝑣
𝑥𝑛 = 𝑛
𝜔
Dans le cas du mode fondamental, nous avons 𝑛 = 1, ce qui donne:
𝜋𝑣
𝑥=
𝜔
3. Le rapport d’amplitude est:
𝑢ሺ0, 𝑡ሻ 𝐴+𝐵
= −𝑖𝑘𝐿
𝑢ሺ𝐿, 𝑡ሻ 𝐴𝑒 + 𝐵𝑒 𝑖𝑘𝐿
Comme 𝐴 = 𝐵 (condition en 𝑥 = 0)
Le rapport devient:
𝑢ሺ0, 𝑡ሻ 1
=
𝑢ሺ𝐿, 𝑡ሻ cosሺ𝑘𝐿ሻ
4. Un calcul numérique exploitant le programme précédent nous trouvons la fréquence de la 1ère
harmonique égale à:
𝜔 = 42955.0207 ⟹ 𝑓 = 6.8365 103 𝐻𝑧
158
N. MAGHLAOUI
Ondes électromagnétiques dans
le vide
159
N. MAGHLAOUI
Résumé de cours
1. Les équations de Maxwell dans le vide
En 1873, Maxwell publie ses quatre équations. En 1888, Hertz réalise le premier générateur d’ondes
électromagnétiques.
Dans le vide en absence de charges et de courants (𝜌 = 0, 𝑗⃗𝑐 = ሬ0⃗), les champs électriques 𝐸ሬ⃗ et
ሬ⃗ obeissent aux équations suivantes :
magnétiques 𝐵
𝑑𝑖𝑣𝐸ሬ⃗ = 0
𝑑𝑖𝑣𝐵ሬ⃗ = 0
ሬ⃗
𝜕𝐵
ሬሬሬሬሬ⃗(𝐸ሬ⃗ ) = −
rot
𝜕𝑡
𝜕𝐸ሬ⃗
ሬ⃗ ) = 𝜀0 𝜇0
ሬሬሬሬሬ⃗(𝐵
rot
𝜕𝑡
A partir des quatre équations de Maxwell nous montrons que les champs 𝐸ሬ⃗ et 𝐵 ሬ⃗ obeissent aux
équations de d’Alembert :
1 𝜕 2 𝐸ሬ⃗
∆𝐸ሬ⃗ − 2 2 = ሬ0⃗
𝑐 𝜕𝑡
1 𝜕 2𝐵 ሬ⃗
∆𝐵ሬ⃗ − = ሬ0⃗
𝑐 2 𝜕𝑡 2
Dans le vide les ondes électromagnétiques se propagent à la vitesse de la lumière :
1
𝑐=
√𝜀0 𝜇0
2. Solution en onde plane progressive et sinusoïdale

Soit une onde plane se propageant dans le sens positif de l’axe Oz, sans déformation ni aténuation :
𝐸𝑥 , 𝐸𝑦 , 𝐸𝑧 , 𝐵𝑥 , 𝐵𝑦 , 𝐵𝑧 sont des fonctions de ሺ𝜔𝑡 − 𝑘𝑧ሻ.
ሬ⃗ = 𝑘𝑒⃗𝑧 .
𝜔 et 𝑘 sont respectivement la pulsation et le module du vecteur d’onde 𝑘
• Relation de dispersion
A partir de la relation de d’Alembert :
1 𝜕 2 𝐸ሬ⃗
∆𝐸ሬ⃗ − = ሬ0⃗
𝑐 2 𝜕𝑡 2
nous démontrons que :
𝜔
𝑘=
𝑐
Cette relation est appelée relation de dispersion dans le vide.
• Transversalité de ሬ𝑬 ሬ⃗ et ሬ𝑩
ሬ⃗
La relation 𝑑𝑖𝑣𝐸ሬ⃗ = 0 entraine 𝐸𝑧 = 0.
ሬ⃗
𝐸ሬ⃗ est perpendiculaire à 𝑘
Il en est de même pour la champ magnétique.
ሬ⃗ indique le sens de la propagation.
𝑘
160
N. MAGHLAOUI
• ሬሬ⃗
Détermination du champ magnétique 𝑩
A partir de la relation :
ሬ⃗
𝜕𝐵
rot
𝜕𝑡
nous obtenons :
ሬ⃗ × 𝐸ሬ⃗
𝑘
ሬ⃗ =
𝐵
𝜔
Cette relation peut s’écrire :
𝐸ሬ⃗ = 𝐵
ሬ⃗ × 𝑐⃗
• Structure de l’onde
Il s’ensuit que le trièdre (𝐸ሬ⃗ , 𝐵 ሬ⃗ ) forme un trièdre direct dans le cas d’une onde plane à tout
ሬ⃗ , 𝑘
instant, et qu’en tout point de l’espace :
‖𝐸ሬ⃗ ‖ 𝐸ሬ⃗
ሬ⃗
‖𝐵 ‖ =
𝑐
𝑛ሬ⃗ 𝑧
ሬ⃗
𝐵
3. Polarisation
𝜔
ሬ⃗ =
Soit une onde électromagnétique caractérisée par son vecteur d’onde 𝑘 𝑒⃗𝑧 , son champ électrique
𝑐
est :
𝐸𝑥 = 𝐸0𝑥 cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘𝑧 + 𝜑ሻ
𝐸ሬ⃗ ሺ𝑀, 𝑡ሻ {𝐸𝑦 = 𝐸0𝑦 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔𝑡 − 𝑘𝑧 + ψሻ
𝐸𝑧 = 0
Le champ magnétique associé à cette onde est :
𝐸0𝑦
𝐵𝑥 = − cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘𝑧 + ψሻ
𝑐
𝐵ሬ⃗ ሺ𝑀, 𝑡ሻ 𝐸0𝑥
𝐵𝑦 = 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔𝑡 − 𝑘𝑧 + 𝜑ሻ
𝑐
{ 𝐵𝑧 = 0
• Polarisation rectiligne
Si 𝜑 = 𝜓 + 𝑛𝜋, avec 𝑛 ∈ ℤ∗ , alors :
𝐸𝑦
= Constante
𝐸𝑥
La direction de 𝐸ሬ⃗ reste invariable dans le temps et dans l’espace : l’onde est polarisée
rectilignement.
• Polarisation circulaire ou elliptique
𝜋
Si 𝜑 = 𝜓 + ሺ2𝑛 + 1ሻ 2 , avec 𝑛 ∈ ℤ∗ , alors :
161
N. MAGHLAOUI
2
𝐸𝑥 2 𝐸𝑦
( ) +( ) =1
𝐸0𝑥 𝐸0𝑦
L’extrémité de 𝐸ሬ⃗ (ou de 𝐵
ሬ⃗), en un point donné 𝑀 de l’espace, décrit une ellipse au cours du temps,
d’axes parallèles à 𝑂𝑥 et 𝑂𝑦: l’onde possède une polarisation elliptique (droite ou gauche). Si, de
plus, 𝐸0𝑥 = 𝐸0𝑦 , la polarisation est circulaire.
4. Energie de l’onde électromagnétique

• Expression de la conservation d’énergie
𝜕𝜔𝐸𝑀
+∇ ሬ⃗ ∙ 𝑅ሬ⃗ = 0
𝜕𝑡
où 𝜔𝐸𝑀 est la densité volumique d’énergie contenue dans le volume 𝜏.
𝑊 = ∭ 𝜔𝐸𝑀 ሺ𝑀, 𝑡ሻ 𝑑𝜏
ሺ𝜏ሻ
et où 𝑅ሬ⃗ est le vecteur de Poynting dont le flux à travers une surface 𝑆 est égal à la puissance
pénétrant dans 𝜏.
𝒫 = ∬ 𝑅ሬ⃗ ∙ 𝑑𝑆⃗
ሺ𝑆ሻ
• Expression de 𝝎𝑬𝑴 et ሬ𝑹
ሬ⃗
ሬ⃗
𝐵 1 𝐵2
𝑅ሬ⃗ = 𝐸ሬ⃗ × et 𝜔𝐸𝑀 = (𝜀0 𝐸 2 + )
𝜇0 2 𝜇0
162
N. MAGHLAOUI
Ondes électromagnétiques dans
les milieux linéaires homogènes
et isotropes
163
N. MAGHLAOUI
Résumé de cours
1. Les équations de Maxwell dans les milieux linéaires homogènes et isotropes
Dans ce qui suit, nous considérerons des milieux matériels non magnétiques (la perméabilité du milieu
𝜇 est égale à la perméabilité du vide 𝜇0 = 4𝜋10−7 𝐻𝑚−1), homogènes (la permittivité 𝜀 est
indépendante de la position 𝑟⃗), linéaires et isotropes.
On introduit les champs suivants :
- 𝐷ሬ⃗ : champ excitation électrique.
- ሬ⃗ : champ excitation magnétique.
𝐻
Pour des milieux linéaires et isotropes, on a les relations de proportionnalité suivantes :

ሬ⃗ = 𝜀𝐸ሬ⃗
𝐷
ሬ⃗ = 𝜇𝐻
𝐵 ሬ⃗
Dans ce genre de milieu les équations de Maxwell s’écrivent :
𝑑𝑖𝑣𝐷ሬ⃗ = 𝜌
ሬ⃗ = 0
𝑑𝑖𝑣𝐵
𝜕𝐵ሬ⃗
rot
𝜕𝑡
𝜕𝐷ሬ⃗
ሬ⃗ ) = 𝑗⃗ +
ሬሬሬሬሬ⃗(𝐻
rot
𝜕𝑡
𝜌 et 𝑗⃗ sont respectivement les densités volumiques de charge et de courant.
2. Cas du plasma
Un plasma est un gaz ionisé, les atomes ou molécules du gaz sont chargés individuellement, mais le
milieu est globalement neutre car il y a autant de charges positives que de charges négatives. Un
plasma est un milieu dilué, avec de grandes distances entre chaque atome. Les ions étant très lourds
comparés aux électrons sont pratiquement immobiles et ne contribuent pas à la propagation de l’onde
dans le plasma.
• Conductivité du plasma :
Lorsqu’un plasma est soumis à une onde électromagnétique ሺ𝐸ሬ⃗ , 𝐵
ሬ⃗ ሻ , les particules de masse mp portant
une charge qp ont comme équation de mouvement :
𝑑𝑣⃗𝑝
𝑚𝑝 = 𝑞𝑝 𝐸ሬ⃗
𝑑𝑡
Avec une onde caractérisée par une fonction de propagation à une dimension exp 𝑖ሺ𝜔𝑡 − 𝑘𝑥ሻ, on peut
supposer une même forme pour la vitesse de la charge. La relation entre la vitesse et le champ
électrique est donc :
𝑖𝑚𝑝 𝜔 𝑣⃗𝑝 = 𝑞𝑝 𝐸ሬ⃗
De plus la densité de courant de conduction est donnée par (loi d’Ohm microscopique):
𝑗⃗ = 𝑁𝑞𝑝 𝑣⃗𝑝 = 𝛾 𝐸ሬ⃗
Où :
164
N. MAGHLAOUI
𝛾 : représente est la conductivité dans le plasma.
𝑁 : le nombre de particules par unité de volume.
𝑣⃗𝑝 : la vitesse des particules.
Finalement, nous trouvons :

𝑁𝑞𝑝2
𝛾 = −𝑖
𝑚𝑝 𝜔
Cette conductivité est un imaginaire pur, ce qui indique que la vitesse des charges est toujours
déphasée de −𝜋/2 par rapport au champ électrique.
• Equations de Maxwell et relation de dispersion :

Les équations de Maxwell dans un tel milieu de permittivité 𝜀0 et de perméabilité 𝜇0 sont:
𝑑𝑖𝑣 𝐸ሬ⃗ = 0 𝑑𝑖𝑣 𝐵 ሬ⃗ = 0
ሬ⃗
∂𝐵 ∂𝐸ሬ⃗
𝑟𝑜𝑡 𝐸ሬ⃗ = −
ሬሬሬሬሬሬ⃗ ሬሬሬሬሬሬ⃗
𝑟𝑜𝑡 𝐵 ሬ⃗ = 𝜇0 𝑗⃗ + 𝜇0 𝜀0
∂t ∂t
Ces quatre équations permettent de trouver la relation de dispersion dans un plasma :
𝜔 2 − 𝜔𝑝2
𝑘=√
𝑐2
avec :
1
𝑐=
√𝜀0 𝜇0
et :
𝑁𝑞 2
𝜔𝑝 = √
𝑚𝜀0
Cette pulsation appelée pulsation de coupure ou pulsation de plasma sépare le domaine fréquentiel en
deux régions :
• Région 1 : caractérisée par : 𝜔 < 𝜔𝑝 .
𝜔𝑝2 − 𝜔 2
𝑘 = ±𝑖 √
𝑣2
Il n y a donc pas de propagation d’onde pour ces fréquences, l’onde est évanescente.
• Région 2 : caractérisée par : 𝜔 > 𝜔𝑝 .
𝜔 2 − 𝜔𝑝2
𝑘=√
𝑣2
La relation entre k et ω est non linéaire et donc le milieu est dispersif.
Les vitesses de phase et de groupe sont données par :
𝜔 𝑐
𝑣𝜑 = =
𝑘 𝜔2
√1 − 𝑝2
𝜔
165
N. MAGHLAOUI
𝑑𝜔 𝜔𝑝2
𝑣𝑔 = = 𝑣 √1 − 2
𝑑𝑘 𝜔
Nous trouvons aussi :
𝑐 𝜔𝑝2
𝑛= = √1 − 2
𝑣𝜑 𝜔
𝑛 étant l’indice de réfraction.
Nous remarquons que : 𝑐 < 𝑣𝜑 et 𝑛 < 1.

Ceci n’est pas paradoxal car cette vitesse ne correspond pas à la vitesse de propagation de
l’énergie (vitesse de groupe).
Nous constatons que : 𝑣𝑔 < 𝑐 et que 𝑣𝑔 ∙ 𝑣𝜑 = 𝑐 2 .
3. Cas des conducteurs

• Cas des bons conducteurs
Dans le cas d’un conducteur neutre, la densité macroscopique de charges libres est nulles ሺ𝜌 = 0ሻ.
Nous avons donc :
ሬ⃗ = 0
𝑑𝑖𝑣𝐵
ሬ⃗
𝜕𝐵
rot
𝜕𝑡
𝜕𝐸ሬ⃗
ሬ⃗ ) = 𝜇𝑗⃗ + 𝜇𝜀
rot
𝜕𝑡
ajouté à cela 𝑗⃗ = 𝛾𝐸ሬ⃗ .
𝛾 représente la conductivité.
En prenant 𝐸ሬ⃗ sous la forme d’une onde plane sinusoïdale :
𝐸ሬ⃗ = 𝐸ሬ⃗0 𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘ሬ⃗𝑟⃗)
Les équations de Maxwell deviennent :
ሬ⃗ ∙ 𝐸ሬ⃗ = 0
−𝑖𝑘
ሬ⃗ ∙ 𝐵
−𝑖𝑘 ሬ⃗ = 0
−𝑖𝑘ሬ⃗ × 𝐸ሬ⃗ = −𝑖𝜔𝐵
ሬ⃗
ሬ⃗ × 𝐵
−𝑖𝑘 ሬ⃗ = ሺ𝜇𝛾 + 𝑖𝜔𝜇𝜀ሻ𝐸ሬ⃗
Nous trouvons la relation de dispersion suivante :
𝛾
𝑘 2 = 𝜇𝜀 (1 − 𝑖 ) 𝜔2
𝜔𝜀
𝑘 est donc complexe, dans le cas d’une onde plane sinusoïdale progressive suivant 𝑧, 𝑘 = 𝑘 ′ − 𝑖𝑘"
et le champ s’écrit :
′
𝐸ሬ⃗ = 𝐸ሬ⃗0 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑧ሻ = 𝐸ሬ⃗0 𝑒 −𝑘"𝑧 𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘 𝑧)
Nous avons une onde plane, progressive ሺ𝑘 ′ > 0ሻ et atténuée ሺ𝑘" > 0ሻ.
Dans le cas des bons conducteurs :
𝛾
≫1
𝜔𝜀
166
N. MAGHLAOUI
𝜇𝛾𝜔
𝑘=√ ሺ1 − 𝑖ሻ
2
Les coefficients de propagation 𝑘′ et d’atténuation 𝑘" sont égaux. A pertir de 𝑘′ nous calculons les
vitesses de phase 𝑣𝜑 et de groupe 𝑣𝑔 :
𝜔 2𝜔
𝑣𝜑 = =√
𝑘′ 𝜇𝛾
𝑑𝜔 2𝜔
𝑣𝑔 = = 2√
𝑑𝑘′ 𝜇𝛾
Ces vitesses croissent en fonction de la fréquence.
𝑘" permet de déterminer l’épaisseur de peau 𝛿 :
1 2 1
𝛿= =√ =
𝑘" 𝜇𝛾𝜔 √𝜋𝑓𝜇𝛾
L’épaisseur de peau 𝛿 représente la distance au bout de laquelle l’amplitude de 𝐸ሬ⃗ (celle de 𝐵
ሬ⃗
également) est divisée par 𝑒.
• Cas des conducteurs parfaits

Un conducteur parfait correspond à la limite d’une conductivité 𝛾 infinie. la densité de courant 𝑗⃗
devant rester finie, la loi d’Ohm 𝑗⃗ = 𝛾𝐸ሬ⃗ impose au champ électrique d’être nul au sein du
conducteur parfait (𝐸ሬ⃗ = ሬ0⃗).
Il en résulte les propriétés suivantes :
𝜌 = 𝜀 𝑑𝑖𝑣𝐸ሬ⃗ = 0 il n y a pas de charges
𝜕𝐵ሬ⃗
ሬሬሬሬሬ⃗(𝐸ሬ⃗ ) = 0 ⟹ 𝐵
= −rot ሬ⃗ = ሬ0⃗
𝜕𝑡
Par conséquent, un conducteur parfait se comporte comme un écran vis-à-vis du champ
électromagnétique 𝐸ሬ⃗ et 𝐵
ሬ⃗.
4. Cas des diélectriques parfaits
Dans le cas de ces matériaux, nous avons :

𝜇 = 𝜇0 , 𝜀 = 𝜀0 𝜀𝑟 , 𝜌 = 0, 𝑗⃗ = ሬ0⃗
Dans ces conditions, les équations de Maxwell s’écrivent :
ሬ⃗ = 0
𝑑𝑖𝑣𝐵
ሬ⃗
𝜕𝐵
rot
𝜕𝑡
𝜕𝐸ሬ⃗
ሬ⃗ ) = 𝜇0 𝜀0 𝜀𝑟
rot
𝜕𝑡
A partir de ces équations, nous obtenons les équations d’ondes pour 𝐸ሬ⃗ et 𝐵
ሬ⃗ :
1 𝜕 2 𝐸ሬ⃗
∆𝐸ሬ⃗ − 2 2 = ሬ0⃗
𝑣 𝜕𝑡
167
N. MAGHLAOUI
ሬ⃗
1 𝜕 2𝐵
ሬ⃗ −
∆𝐵 = ሬ0⃗
2
𝑣 𝜕𝑡 2
où la vitesse de propagation de l’onde :

1 𝑐
𝑣= =
√𝜇0 𝜀0 𝜀𝑟 √𝜀𝑟
L’équation d’onde permet de trouver la relation de dispersion suivante :
𝜔
𝑘 = √𝜀𝑟
𝑐
L’indice de réfraction est 𝑛 = √𝜀𝑟 .
168
N. MAGHLAOUI
Réflexion et réfraction entre
deux milieux
169
N. MAGHLAOUI
Résumé de cours
1. Relations de passage
Dans ce qui suit, nous allons étudier la réflexion et transmission entre deux milieux linéaires,
homogènes, isotropes et non magnétiques.
Les équations de Maxwell :
𝑑𝑖𝑣𝐷ሬ⃗ = 𝜌
ሬ⃗ = 0
𝑑𝑖𝑣𝐵
𝜕𝐵ሬ⃗
rot(𝐸ሬ⃗ ) = −
ሬሬሬሬሬ⃗
𝜕𝑡
𝜕𝐷ሬ⃗
ሬ⃗ ) = 𝑗⃗ +
ሬሬሬሬሬ⃗(𝐻
rot
𝜕𝑡
avec :
ሬ⃗ = 𝜀𝐸ሬ⃗
𝐷
ሬ⃗ = 𝜇𝐻
𝐵 ሬ⃗
𝜌 et 𝑗⃗ sont respectivement les densités volumiques de charge et de courant.
conduisent aux relations :

𝐸ሬ⃗2𝑡 − 𝐸ሬ⃗1𝑡 = ሬ0⃗
ሬ⃗2𝑛 − 𝐵
𝐵 ሬ⃗1𝑛 = ሬ0⃗
ሬ⃗2𝑛 − 𝐷
𝐷 ሬ⃗1𝑛 = 𝜎𝑒⃗𝑛
ሬ⃗2𝑡 − 𝐻
𝐻 ሬ⃗1𝑡 = 𝑗⃗𝑠 × 𝑒⃗𝑛
𝜎 et 𝑗⃗𝑠 sont respectivement les densités superficielles de charge et de courant. 𝑒⃗𝑛 représente le vecteur
unitaire normale à la surface orienté du milieu 1 vers le milieu 2 (Figure 1).
Les indices 𝑡 et 𝑛 sont respectivement les composantes tangentielles et normales à la surface ሺ𝑆ሻ.
js ex
(𝐸ሬ⃗1 , 𝐵
ሬ⃗1 ) (𝐸ሬ⃗2 , 𝐵
ሬ⃗2 )
ey
ez
𝑂
z
Milieu (1) Milieu (2)
Figure 1
170
N. MAGHLAOUI
2. Cas de deux diélectriques parfaits séparés par une interface plane
• Relations de passages
Considérons deux diélectriques parfaits, non magnétiques avec des constantes diélectriques 𝜀1 et
𝜀2 et perméabilités 𝜇1 = 𝜇0 et 𝜇2 = 𝜇0 , séparés par le plan 𝑧 = 0. Les indices de réfraction sont
respectivement 𝑛1 = √𝜀𝑟1 et 𝑛2 = √𝜀𝑟2. Soit une onde plane incidente sur l’interface, en
provenance du milieu 1 (Figure 2). En général, cette onde sera partiellement réfractée dans l’autre
milieu et partiellement réfléchie. Nous trouverons ici la relation exacte qui existe entre les ondes
incidente, réfractée et réfléchie. Nous procéderons simplement en appliquant les conditions de
continuité appropriées à ces trois ondes :
𝐸ሬ⃗2𝑡 − 𝐸ሬ⃗1𝑡 = ሬ0⃗

ሬ⃗2𝑛 − 𝐵
𝐵 ሬ⃗1𝑛 = ሬ0⃗
ሬ⃗2𝑛 − 𝐷
𝐷 ሬ⃗1𝑛 = ሬ0⃗
𝐵ሬ⃗2𝑡 − 𝐵
ሬ⃗1𝑡 = ሬ0⃗
𝐸ሬ⃗𝑟 𝑘ሬ⃗𝑟
ሬ⃗𝑖
𝐵 𝐸ሬ⃗𝑖
ሬ⃗𝑟
𝐵
Milieu (1)
𝑘ሬ⃗𝑖 𝜃𝑖 𝜃𝑟
ሺ𝜀1 , 𝜇1 ሻ 𝑘ሬ⃗𝑖
Milieu (2)
ሺ𝜀2 , 𝜇2 ሻ 𝑒⃗𝑧
𝜃𝑡 𝐸ሬ⃗𝑡
ሬ⃗𝑡
𝐵
𝑧 𝑘ሬ⃗𝑡
𝑢
ሬ⃗𝑖 , 𝑢
ሬ⃗𝑟 et 𝑢
ሬ⃗𝑡 sont les vecteurs unitaires des supports des vecteurs champs électriques des différentes
ondes, nous pouvons représenter ces dernières en notation complexe par :
- Onde incidente : 𝐸ሬ⃗𝑖 = 𝐸0𝑖 𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘ሬ⃗𝑖 ∙𝑟⃗) 𝑒⃗𝑖 .
- Onde réfléchie : 𝐸ሬ⃗𝑟 = 𝐸0𝑟 𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘ሬ⃗𝑟 ∙𝑟⃗) 𝑒⃗𝑟 .
- Onde transmise : 𝐸ሬ⃗𝑡 = 𝐸0𝑡 𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘ሬ⃗𝑡∙𝑟⃗) 𝑒⃗𝑡 .
Les vitesses de propagations dans les milieux 1 et 2 sont respectivement 𝑣1 et 𝑣2 :

𝜔 𝜔
𝑣1 = 𝑛1 , 𝑣2 = 𝑛2
𝑐 𝑐
171
N. MAGHLAOUI
• Lois de Snell et Descartes
La conservation de la composante tangentielle du champ 𝐸ሬ⃗ montre que :
- La fréquence des ondes réfléchies et transmises sont égales à la fréquence de l’onde
incidente 𝜔 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡.
- Les vecteurs d’onde réfléchi et transmis sont contenus dans le plan d’incidence (plan
ሬ⃗𝑖 et la normale à la surface de séparation au point d’incidence).
formé par 𝑘
- L’angle de réflexion 𝜃𝑟 est égal à l’angle d’incidence 𝜃𝑖 .
- Les angles de transmission 𝜃𝑟 et d’incidence 𝜃𝑖 sont liés par la relation suivante :
𝑛1 sin 𝜃𝑖 = 𝑛2 sin 𝜃𝑡 (loi de la réfraction).
Ces résultats représentent les lois de Snell-Descartes pour la réflexion et la réfraction.
• Coefficient de réflexion et de transmission

Champ électrique perpendiculaire au plan d’incidence
Nous allons considérer le phénomène de réflexion-transmission d’une onde plane sinusoïdale
arrivant du milieu (1), sur le plan 𝑧 = 0 séparant les deux milieux. On se propose de calculer les
coefficients de réflexion 𝑟 et de transmission 𝑡. Dans ce qui suit, nous considérons le cas où le
champ incident est perpendiculaire au plan d’incidence (plan de la figure) (Figure 3).
𝐸ሬ⃗𝑖 𝐸ሬ⃗𝑟 𝑘ሬ⃗𝑟

ሬ⃗𝑖
𝐵
Milieu (1) 𝜃𝑟
ሺ𝜀1 , 𝜇1 ሻ 𝑘ሬ⃗𝑖 𝜃𝑖 ሬ⃗𝑟
𝐵
Milieu (2) 𝜃𝑡 𝐸ሬ⃗𝑡

ሺ𝜀2 , 𝜇2 ሻ
ሬ⃗𝑡
𝐵
𝑘ሬ⃗𝑡
Figure 3
Les différents champs en notation complexe sont :

- Onde incidente : 𝐸ሬ⃗𝑖 = 𝐸0𝑖 𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘ሬ⃗𝑖 ∙𝑟⃗) 𝑒⃗𝑥 .
- Onde réfléchie : 𝐸ሬ⃗𝑟 = 𝐸0𝑟 𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘ሬ⃗𝑟 ∙𝑟⃗) 𝑒⃗𝑥 .
- Onde transmise : 𝐸ሬ⃗𝑡 = 𝐸0𝑡 𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘ሬ⃗𝑡∙𝑟⃗) 𝑒⃗𝑥 .
avec :
𝜔 𝜔 𝜔
ሬ⃗𝑖 = 𝑛1 (sin 𝜃𝑖 𝑒⃗𝑦 − cos 𝜃𝑖 𝑒⃗𝑧 ), 𝑘
𝑘 ሬ⃗𝑟 = 𝑛1 (sin 𝜃𝑖 𝑒⃗𝑦 + cos 𝜃𝑖 𝑒⃗𝑧 ), 𝑘
ሬ⃗𝑡 = 𝑛2 (sin 𝜃𝑡 𝑒⃗𝑦 − cos 𝜃𝑡 𝑒⃗𝑧 )
𝑐 𝑐 𝑐
172
N. MAGHLAOUI
Les champs magnétiques associés aux champs 𝐸ሬ⃗𝑖 , 𝐸ሬ⃗𝑟 et 𝐸ሬ⃗𝑡 sont respectivement :
ሬ⃗ × 𝐸ሬ⃗𝑖
𝑘 𝑛1
ሬ⃗𝑖 = 𝑖
𝐵 = − 𝐸0𝑖 𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘ሬ⃗𝑖 ∙𝑟⃗) (cos 𝜃𝑖 𝑒⃗𝑦 + sin 𝜃𝑖 𝑒⃗𝑧 )
𝜔 𝑐
ሬ⃗ ሬ⃗
𝑘 × 𝐸𝑟 𝑛1
𝐵ሬ⃗𝑟 = 𝑟 = 𝐸0𝑟 𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘ሬ⃗𝑟 ∙𝑟⃗) (cos 𝜃𝑖 𝑒⃗𝑦 − sin 𝜃𝑖 𝑒⃗𝑧 )
𝜔 𝑐
ሬ⃗ × 𝐸ሬ⃗𝑡
𝑘 𝑛2
ሬ⃗𝑡 = 𝑡
𝐵 = − 𝐸0𝑡 𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘ሬ⃗𝑡∙𝑟⃗) (cos 𝜃𝑡 𝑒⃗𝑦 + sin 𝜃𝑡 𝑒⃗𝑧 )
𝜔 𝑐
La continuité de la composante tagentielle des champs donne :
𝐸0𝑖 + 𝐸0𝑟 = 𝐸0𝑡
𝑛1 cos 𝜃𝑖 ሺ𝐸0𝑖 − 𝐸0𝑟 ሻ = 𝑛2 cos 𝜃𝑡 𝐸0𝑡
Nous trouvons les formules de Fresnel :
𝐸0𝑟 𝑛1 cos 𝜃𝑖 − 𝑛2 cos 𝜃𝑡
𝑟⊥ = =
𝐸0𝑖 𝑛1 cos 𝜃𝑖 + 𝑛2 cos 𝜃𝑡
𝐸0𝑡 2𝑛1 cos 𝜃𝑖
𝑡⊥ = =
𝐸0𝑖 𝑛1 cos 𝜃𝑖 + 𝑛2 cos 𝜃𝑡
En utilisant la relation suivante :
𝑛1 sin 𝜃𝑖 = 𝑛2 sin 𝜃𝑡
Nous trouvons :
sinሺ𝜃𝑖 − 𝜃𝑡 ሻ
𝑟⊥ = −
sinሺ𝜃𝑖 + 𝜃𝑡 ሻ
2 sin 𝜃𝑡 cos 𝜃𝑖
𝑡⊥ =
sinሺ𝜃𝑖 + 𝜃𝑡 ሻ
La notation [ ]⊥ indique que le champ électrique est dans le plan d’incidence.
Les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude nous permettent de déterminer les

coefficients de réflexion et de transmission pour l’énergie.
On définit les facteurs de réflexion ℛ et de transmission 𝒯 en énergie, comme les rapports
respectifs des flux d’énergies réfléchi Φ𝑟 et transmis Φ𝑡 au flux incident Φ𝑖 en moyenne dans le
temps, à travers la surface 𝑆, au niveau de l’interface :
〈Φ𝑖 〉 = 〈𝑅𝑖 〉 𝑆 cos 𝜃𝑖
〈Φ𝑟 〉 = 〈𝑅𝑟 〉 𝑆 cos 𝜃𝑖
〈Φ𝑡 〉 = 〈𝑅𝑡 〉 𝑆 cos 𝜃𝑡
〈𝑅𝑖 〉, 〈𝑅𝑟 〉 et 〈𝑅𝑡 〉 sont respectivement les valeurs moyennes des modules des vecteurs de Poynting
pour l’onde incidente, réfléchie et transmise.
Dans le cas d’une onde plane d’amplitude sinusoïdale :
2
𝑛1 𝐸0𝑖
〈𝑅𝑖 〉 =
𝜇0 𝑐 2
2
𝑛1 𝐸0𝑟
〈𝑅𝑟 〉 =
𝜇0 𝑐 2
2
𝑛2 𝐸0𝑡
〈𝑅𝑟 〉 =
𝜇0 𝑐 2
173
N. MAGHLAOUI
Ainsi, nous trouvons les expressions suivantes :
2
𝑛1 cos 𝜃𝑖 − 𝑛2 cos 𝜃𝑡 2
ℛ⊥ = 𝑟⊥ = ( )
𝑛1 cos 𝜃𝑖 + 𝑛2 cos 𝜃𝑡
𝑛2 cos 𝜃𝑡 2 4𝑛1 𝑛2 cos 𝜃𝑖 cos 𝜃𝑡
𝒯⊥ = 𝑡⊥ =
𝑛1 cos 𝜃𝑖 ሺ𝑛1 cos 𝜃𝑖 + 𝑛2 cos 𝜃𝑡 ሻ2
La relation de conservation de l’énergie est ainsi satisfaite :
ℛ⊥ + 𝒯⊥ = 1
Champ électrique dans le plan d’incidence
Dans ce cas les champs 𝐸ሬ⃗𝑖 , 𝐸ሬ⃗𝑟 et 𝐸ሬ⃗𝑡 sont compris dans le plan d’incidence. Les différentes ondes
s’écrivent :
ሬ⃗
- Onde incidente : 𝐸ሬ⃗𝑖 = 𝐸0𝑖 𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑖 ∙𝑟⃗) (cos 𝜃𝑖 𝑒⃗𝑦 + sin 𝜃𝑖 𝑒⃗𝑧 ).
- Onde réfléchie : 𝐸ሬ⃗𝑟 = 𝐸0𝑟 𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘ሬ⃗𝑟 ∙𝑟⃗) (cos 𝜃𝑖 𝑒⃗𝑦 − sin 𝜃𝑖 𝑒⃗𝑧 ).
- Onde transmise : 𝐸ሬ⃗𝑡 = 𝐸0𝑡 𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘ሬ⃗𝑡∙𝑟⃗) (cos 𝜃𝑡 𝑒⃗𝑦 + sin 𝜃𝑡 𝑒⃗𝑧 ).
Les champs magnétiques associés à ces champs sont :

ሬ⃗𝑖 = 𝑛1 𝐸0𝑖 𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘ሬ⃗𝑖 ∙𝑟⃗) 𝑒⃗𝑥 .
- Onde incidente : 𝐵 𝑐
- ሬ⃗𝑟 = −𝑛1 𝐸0𝑟 𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘ሬ⃗𝑟 ∙𝑟⃗) 𝑒⃗𝑥 .
Onde réfléchie : 𝐵 𝑐
- ሬ⃗𝑡 = 𝑛2 𝐸0𝑡 𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘ሬ⃗𝑡∙𝑟⃗) 𝑒⃗𝑥 .
Onde transmise : 𝐵 𝑐
𝑧
𝐸ሬ⃗𝑖 ሬ⃗𝑟
𝐵 𝑘ሬ⃗𝑟
ሬ⃗𝑖
𝐵 𝐸ሬ⃗𝑟
Milieu (1) 𝜃𝑟
𝜃𝑖
ሺ𝜀1 , 𝜇1 ሻ 𝑘ሬ⃗𝑖
Milieu (2)
ሺ𝜀2 , 𝜇2 ሻ
𝜃𝑡 𝐸ሬ⃗𝑡
ሬ⃗𝑡
𝐵
𝑘ሬ⃗𝑡
Figure 4
174
N. MAGHLAOUI
La continuité des composantes tangentielles du champ électrique et magnétique donne :
ሺ𝐸0𝑖 + 𝐸0𝑟 ሻ cos 𝜃𝑖 = 𝐸0𝑡 cos 𝜃𝑡
𝑛1 ሺ𝐸0𝑖 − 𝐸0𝑟 ሻ = 𝑛2 𝐸0𝑡
A partir des relations précédentes nous obtenons les coefficients de réflexion et de transmission
(Formules de Fresnel) :
𝐸0𝑡 2 cos 𝜃𝑖 sin 𝜃𝑡
𝑡∥ = =
𝐸0𝑖 sinሺ𝜃𝑖 + 𝜃𝑡 ሻ cosሺ𝜃𝑖 − 𝜃𝑡 ሻ
𝐸0𝑟 tanሺ𝜃𝑖 − 𝜃𝑡 ሻ
𝑟∥ = =−
𝐸0𝑖 tanሺ𝜃𝑖 + 𝜃𝑡 ሻ
La notation [ ]∥ indique que le champ électrique est dans le plan d’incidence.
En utilisant la même démarche que pour le cas d’un champ électrique perpendiculaire au plan
d’incidence, nous trouvons les coefficients de réflexion ℛ∥ et de transmission 𝒯∥ en énergie, dans
le cas où le champ électrique est dans le plan d’incidence.
2
tanሺ𝜃𝑖 − 𝜃𝑡 ሻ
ℛ∥ = 𝑟∥2
=[ ]
tanሺ𝜃𝑖 + 𝜃𝑡 ሻ
La conservation de l’énergie étant vérifiée, alors :
4𝑛1 𝑛2 cos 𝜃𝑖 cos 𝜃𝑡
𝒯∥ = 1 − ℛ∥ =
ሺ𝑛2 cos 𝜃𝑖 + 𝑛1 cos 𝜃𝑡 ሻ2
Dans le cas particulier où 𝜃𝑖 = 0, nous avons 𝜃𝑡 = 0. Les coefficients de réflexion et de

transmission s’écrivent :
𝑛1 − 𝑛2 2
ℛ⊥ = ℛ∥ = ( )
𝑛1 + 𝑛2
et :
4𝑛1 𝑛2
ℛ⊥ = ℛ∥ =
ሺ𝑛1 + 𝑛2 ሻ2
ℛ∥ est le seul coefficient à pouvoir s’annuler. Cela se produit lorsque 𝜃𝑖 + 𝜃𝑡 = 𝜋⁄2, ce qui
correspond à un angle d’incidence, appelé noté 𝜃𝐵 (Angle de Brewster), tel que :
𝑛2
tgሺ𝜃𝐵 ሻ =
𝑛1
Lorsque 𝜃𝑖 = 𝜃𝐵 , une extinction totale du rayon réfléchi se produit, accompagnée d’une

réfraction complète.
175
N. MAGHLAOUI
3. Réflexion en incidence normale sur un conducteur parfait
• Expression du champ résultant
Supposons que le milieu 2 est un conducteur parfait (conductivité infinie). Une onde
électromagnétique plane, harmonique dont le champ électrique est polarisé suivant Ox se
propageant dans le vide arrive en incidence normale sur la surface de séparation (Figure 5). Des
considérations énergétiques montrent qu’il n y a pas de champ électromagnétique transmis et que
les seuls courants pouvant être induits par cette onde sont sur la surface du métal.
E E =0
js ex
H H=0 ey
k ez
O
z
Vide (1) Conducteur parfait (2)
Figure 5
L’expression complexe du champ dans le vide est :

ሬሬሬ⃗
𝐸𝑖 = 𝐸0𝑖 eiሺ𝜔𝑡−𝑘𝑧ሻ ሬሬሬ⃗
𝑒𝑥
{ 𝐸0𝑖 iሺ𝜔𝑡−𝑘𝑧ሻ
ሬሬሬሬ⃗
𝐻𝑖 = e ሬሬሬሬ⃗
𝑒𝑦
𝜇0 𝑐
On cherche l’onde réfléchie sous la forme :
ሬሬሬሬ⃗
𝐸𝑟 = 𝐸ሬ⃗0𝑟 eiሺ𝜔𝑡+𝑘𝑧ሻ
La composante tangentielle du champ électrique au voisinage de l’interface est nulle, en particulier
lorsque x, y, z et t sont nuls :
𝐸ሬ⃗1 = 𝐸ሬ⃗𝑖 + 𝐸ሬ⃗𝑟 = ሬ0⃗ ⟹ 𝐸0𝑖 𝑒⃗𝑥 + 𝐸ሬ⃗0𝑟 = ሬ0⃗
Il y a changement de signe de la composante tangentielle du champ électrique.
Enfin nous trouvons :
ሬሬሬሬ⃗
𝐸𝑟 = −𝐸ሬ⃗0𝑖 eiሺω𝑡+𝑘𝑧ሻ 𝑒⃗𝑥
Le champ magnétique associé à cette onde est :
𝐸0𝑖 iሺω𝑡+𝑘𝑧ሻ
ሬሬሬሬ⃗
𝐻𝑟 = e 𝑒⃗𝑦
𝜇0 𝑐
Le champ résultant dans le vide s’écrit alors :
𝐸ሬ⃗ = ሬሬሬ⃗
𝐸𝑖 + ሬሬሬሬ⃗
𝐸𝑟 = 𝐸0𝑖 ei𝜔𝑡 [e−𝑖𝑘𝑧 − e𝑖𝑘𝑧 ]𝑒ሬሬሬ⃗𝑥 = −2𝑖𝐸0𝑖 sinሺkzሻ ei𝜔𝑡 ሬሬሬ⃗ 𝑒𝑥
{ 𝐸0𝑖 i𝜔𝑡 −𝑖𝑘𝑧 2𝐸0𝑖
𝐻ሬ⃗ = ሬሬሬሬ⃗
𝐻𝑖 + ሬሬሬሬ⃗
𝐻𝑟 = e [e + e𝑖𝑘𝑧 ]𝑒 ሬሬሬሬ⃗𝑦 = cosሺkzሻ ei𝜔𝑡 ሬሬሬሬ⃗
𝑒𝑦
𝜇0 𝑐 𝜇0 𝑐
176
N. MAGHLAOUI
Nous constatons que :
- L’onde résultante est stationnaire, mais elle est plane.

- Les champs sont orthogonaux.
- Les champs sont en quadrature de phase.
• Pression de radiation
La discontinuité du champ magnétique, toujours en z = 0 donne :
2𝐸
ሬ⃗ = 0𝑖 ei𝜔𝑡 𝑒⃗𝑦 = −𝑗⃗𝑠 × 𝑒⃗𝑛
𝐻
𝜇0 𝑐
Comme 𝑒⃗𝑛 = 𝑒⃗𝑧 , alors :
2𝐸0𝑖 i𝜔𝑡
𝑗⃗𝑠 = e 𝑒⃗𝑥
𝜇0 𝑐
Le champ magnétique engendré au voisinage de l’interface par 𝑗⃗𝑠 n’est autre que le champ réfléchi
𝐸0𝑖 𝐸
eiω𝑡 𝑒⃗𝑦 , du coté du vide, et par symétrie − 𝜇 0𝑖𝑐 eiω𝑡 𝑒⃗𝑦 du coté du conducteur.
𝜇0 𝑐 0
Le champ créé par la distribution superficielle de courant se superpose à celui de l’onde incidente.
Ainsi, à l’intérieur du conducteur la résultante du champ incident et du champ créé par
ሬ⃗𝑖 .
𝑗⃗𝑠 est bien nulle, alors que dans le vide elle donne 2𝐻
Une aire 𝑑𝑆⃗ à la surface du conducteur subit donc de la part du champ incident 𝐻
ሬ⃗𝑖 l’action de la
force de Laplace :
𝑑𝐹⃗ = 𝑗⃗𝑠 𝑑𝑆 × 𝐵
ሬ⃗𝑖
Soit, en fonction de 𝐸ሬ⃗0𝑖 :
〈𝑑𝐹⃗ 〉 = 𝜀0 𝐸0𝑖
2
𝑑𝑆 𝑒⃗𝑧
La force moyenne est exercée perpendiculairement au conducteur, de l’extérieur vers l’intérieur :
celui-ci subit donc une pression de la part du champ électromagnétique. Sa valeur moyenne dans
le temps est :
2
〈Π〉 = 𝜀0 𝐸0𝑖
177
N. MAGHLAOUI
Propagation guidée entre
deux plans métalliques
parallèles- Application au
guide d’onde infini à section
rectangulaire
178
N. MAGHLAOUI
Résumé de cours
1. Détermination du champ électrique ሬ𝑬

ሬ⃗
Une onde électromagnétique de pulsation ω, peut sous certaines conditions, se propager entre deux
plans conducteurs parallèles. Nous supposerons ces plans parfaitement conducteurs et illimités dans
la direction Ox. L’un des plans est pris pour le plan xOz et l’autre a pour équation y = a.
On distingue des modes de propagation pour lesquels le champ électrique est transverse (modes T.E)
et ceux pour lesquels le champ magnétique est transverse (modes T.M). Nous nous limiterons à l’étude
des modes pour lesquels le champ électrique est polarisé suivant Oz.
𝑒⃗𝑦
Plan métallique 𝑒⃗𝑧
𝑒⃗𝑥
𝑎
𝑘𝑖𝑥 𝑘𝑟𝑦 𝑘𝑟
𝑘𝑖 𝑘𝑟𝑥
𝑘𝑖𝑦
Plan métallique
𝐸ሬ⃗ est la superposition du champ incident et réfléchi :

𝐸ሬ⃗ = 𝐸ሬ⃗𝑖 + 𝐸ሬ⃗𝑟
- Onde incidente : 𝐸ሬ⃗𝑖 = 𝐸0𝑖 𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘ሬ⃗𝑖 ∙𝑟⃗) 𝑒⃗𝑧 .
- Onde réfléchie : 𝐸ሬ⃗𝑟 = 𝐸ሬ⃗0𝑟 𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘ሬ⃗𝑟 ∙𝑟⃗) .
avec :
𝜔 𝜔
ሬ⃗𝑖 =
𝑘 ሬ⃗𝑟 = (sin 𝜃𝑖 𝑒⃗𝑥 + cos 𝜃𝑖 𝑒⃗𝑦 ),
(sin 𝜃𝑖 𝑒⃗𝑥 − cos 𝜃𝑖 𝑒⃗𝑦 ), 𝑘
𝑐 𝑐
Le champ électrique sur le plan inférieur est nul, en particulier à l’origine ሺ𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑧 = 0ሻ, ce
permet de trouver :
𝐸ሬ⃗0𝑟 = −𝐸0𝑖 𝑒⃗𝑧
En tenant compte de l’expression précédente, nous avons :

𝐸ሬ⃗ = 𝐴 sinሺ𝛼𝑦ሻ 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ 𝑒⃗𝑧
𝜔
où 𝐴 = −2𝑖𝐸0𝑖 et 𝛼 = cos 𝜃𝑖 .
𝑐
179
N. MAGHLAOUI
Nous savons aussi que
𝐸ሬ⃗ ሺ𝑥, 𝑦 = 𝑎, 𝑡ሻ = 0
cela nous permet de trouver que :
𝜋
𝛼=𝑛
𝑎
où n est un entier non nul.
2. Relation de dispersion
L’équation de propagation dans le vide
1 𝜕 2 𝐸ሬ⃗
ሬ⃗𝐸ሬ⃗ −
∆ = ሬ0⃗
𝑐 2 𝜕𝑡 2
Nous trouvons donc :
𝜔 2 𝜋 2
𝑘𝑛2 = ( ) − (𝑛 )
𝑐 𝑎
Ainsi, seuls les modes de nombre d’onde vérifiant la relation précédente peuvent se propager entre les
deux plans. Ces modes sont en nombre fini car 𝑘𝑛 n’est réel, en prenant 𝑛 > 0, que si :
Pour 𝑛 = 1, le guide d’onde ne peut propager que des ondes de pulsation supérieure à la pulsation
de coupure :
𝜋𝑐
𝜔𝑐 =
𝑎
Dans ce cas les vitesses de phase 𝑣𝜑 et de groupe 𝑣𝑔 sont :
𝑐 𝜔𝑐2
𝑣𝜑 = , 𝑣𝑔 = 𝑐√1 −
2 𝜔2
√1 − 𝜔𝑐2
𝜔
Dans le cas où 𝜔 < 𝜔𝑐 : alors k est imaginaire pur et l’on a, pour le premier mode :
𝜋 2 𝜔 2 𝑖
√
𝑘 = ±𝑖 ( ) − ( ) = ±
𝑎 𝑐 𝛿
Par conséquent :
𝜋𝑦 −𝑥 𝑖𝜔𝑡
𝐸ሬ⃗ = 𝐴 sin 𝑒 𝛿𝑒 𝑒⃗𝑧
𝑎
L’onde peut pénétrer dans le guide mais ne s’y propage pas. C’est une onde évanescente.
3. Calcul du vecteur de Poynting et de la densité d’énergie

ሬ⃗.
Dans un premier temps, nous commencerons par calculer le champ magnétique 𝐵
Nous constatons que les ondes qui peuvent se propager dans le guide ne sont pas planes. Il en découle
ሬ⃗ il faut intégrer la relation de Maxwell-Faraday.
que pour calculer 𝐵
A partir de la relation :
ሬ⃗
𝜕𝐵
ሬ∇⃗ × 𝐸ሬ⃗ = −
𝜕𝑡
180
N. MAGHLAOUI
Nous trouvons que :
𝐴
ሬ⃗ =
𝐵 [ 𝑖α cos αy 𝑒⃗𝑥 − 𝑘 sin αy 𝑒⃗𝑦 ] 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ
𝜔
Nous constatons que 𝐵𝑥 ≠ 0 : le champ magnétique n’est pas transversal.
Il est clair que 𝑅ሬ⃗ = 𝐸ሬ⃗ × 𝐻

ሬ⃗ n’a pas la direction de propagation du champ électromagnétique à l’instant
t. Seule sa valeur moyenne dans le temps a la direction de 𝑒⃗𝑥 . Nous avons en effet :
1 𝑘 2 2
〈𝑅ሬ⃗ 〉𝑡 = 𝐴 sin ሺ𝛼𝑦ሻ 𝑒⃗𝑥
2𝜇0 𝜔
On en déduit la valeur moyenne dans l’espace et le temps :
𝐴2 𝑘
〈𝑅ሬ⃗ 〉𝑡,𝑦 = 𝑒⃗
4𝜇0 𝜔 𝑥
La densité d’énergie moyenne dans le temps est de même :
1 𝐸2 𝐵 2
〈𝜔𝐸𝑀 〉𝑡 = [𝜀0 + ]
2 2 2𝜇0
1 𝐴2 2 𝐴2
〈𝜔𝐸𝑀 〉𝑡 = [ 2 sin ሺ𝛼𝑦ሻ + 2 ሺ𝛼 2 cos 2 ሺ𝛼𝑦ሻ + 𝑘 2 sin2 ሺ𝛼𝑦ሻሻ]
4𝜇0 𝑐 𝜔
En calculant les valeurs moyennes dans le temps et l’espace intérieur au guide, nous obtenons :
𝐴2
〈𝜔𝐸𝑀 〉𝑡,𝑦 =
4𝜇0 𝑐 2
Nous obtenons donc :
〈𝑅ሬ⃗ 〉𝑡,𝑦 = 𝑣𝑔 〈𝜔〉𝑡,𝑦 𝑒⃗𝑥
L’énergie électromagnétique se propage donc dans le vide en moyenne avec la vitesse de groupe, dans
la direction de propagation du champ électromagnétique.
181
N. MAGHLAOUI
182
N. MAGHLAOUI
Exercice 1
Une onde plane électromagnétique de pulsation ω se propageant dans le vide est donnée par le champ
électrique :
𝐸ሬ⃗1 = 𝐴 cosሺ𝜔𝑡 + 𝑘𝑥ሻ 𝑒⃗𝑧 ሺ1ሻ
Où 𝑘 > 0 et 𝐴 > 0. La fréquence de l’onde 𝑓 = 6 1013 𝐻𝑧.

1. Calculer numériquement la longueur d’onde 𝜆.
Quel est la relation entre 𝜔 et 𝑘 ?
2. a. Ecrire les équations de Maxwell dans le vide en absence de charges et de courants volumiques.
b. En déduire le champ magnétique 𝐵 ሬ⃗1 de l’onde.
3. ሬ⃗ .
a . Déterminer la densité d’énergie électromagnétique 𝜔𝐸𝑀 et le vecteur de Poynting ℛ
ሬ⃗ ?
b. Quelle est la relation entre 𝜔𝐸𝑀 et ℛ
ሬ⃗ 〉.
c. Calculer les valeurs moyennes temporelles 〈𝜔𝐸𝑀 〉 et 〈ℛ
d. En quelle unité ℛሬ⃗ est-il mesuré ?
Application numérique : On mesure pour le module de 〈ℛ ሬ⃗ 〉 la valeur 53,2 (unité S.I. demandée ci-
dessus). En déduire la valeur numérique de 〈𝜔𝐸𝑀 〉 et l’amplitude 𝐴 de l’onde (1).
4. En plus de l’onde (1), une deuxième onde de même amplitude, de même fréquence et de polarisation
rectiligne suivant z, se propage dans le vide, mais dans une direction opposée à celle de l’onde (1).
a. Donner l’expression de cette onde ainsi que du champ magnétique qui lui ait associé.
b. Les deux ondes se superposent. Calculer le champ électrique et le champ magnétique de
l’onde résultante.
c. Quelle est la nature de cette onde ?
Solution
1. La longueur d’onde est :
𝑐
𝜆= = 5 𝜇𝑚
𝑓
A partir de l’équation de d’onde pour le champ électrique dans le vide, nous avons :
𝜔
𝑘=
𝑐
2. a . Dans le vide, en absence de toute charge et de courant, les équations de Maxwell :
ሬ⃗
𝜕𝐵
ሬ⃗ ∙ 𝐸ሬ⃗ = 0, 𝛻ሬ⃗ × 𝐸ሬ⃗ = −
∇
𝜕𝑡
1 𝜕𝐸ሬ⃗
ሬ∇⃗ ∙ 𝐵
ሬ⃗ = 0, 𝛻ሬ⃗ × 𝐵 ሬ⃗ =
𝑐 2 𝜕𝑡
b . Dans le cas d’une onde plane sinusoïdale et uniforme :
ሬ⃗ × 𝐸ሬ⃗1 𝐴
𝑘
𝐵ሬ⃗1 = 1 = cosሺ𝜔𝑡 + 𝑘𝑥ሻ 𝑒⃗𝑦
𝜔 𝑐
3. a . La densité d’énergie électromagnétique :
1 2
𝐵2 𝐴2
𝜔𝐸𝑀 = (𝜀0 𝐸 + ) = 2
[cosሺ𝜔𝑡 + 𝑘𝑥ሻ]2
2 𝜇0 𝜇0 𝑐
183
N. MAGHLAOUI
Le vecteur de Poynting est :
𝐸ሬ⃗1 × 𝐵ሬ⃗1 𝐴2
ሬ⃗ =
ℛ =− [cosሺ𝜔𝑡 + 𝑘𝑥ሻ]2 𝑒⃗𝑥
𝜇0 𝜇0 𝑐
b . La relation entre le vecteur de Poynting et la densité d’énergie électromagnétique est :
ℛሬ⃗ = −𝑐 𝜔𝐸𝑀 𝑒⃗𝑥
c . les valeurs moyennes sont :
𝐴2 𝐴2
〈𝜔𝐸𝑀 〉 = , ሬ⃗ 〉 = −
〈ℛ 𝑒⃗
2𝜇0 𝑐 2 2𝜇0 𝑐 𝑥
d.ℛ ሬ⃗ est mesuré en 𝑊𝑚−2.
Application numérique : 〈𝜔𝐸𝑀 〉 = 1.77 10−7 𝐽𝑚−3 , 𝐴 = 200 𝑉𝑚−1
4. a . L’expression du champ électrique 𝐸ሬ⃗2 est :
𝐸ሬ⃗2 = 𝐴 cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘𝑥ሻ 𝑒⃗𝑧
On en déduit :
ሬ⃗2 × 𝐸ሬ⃗2
𝑘 𝐴
ሬ⃗2 =
𝐵 = − cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘𝑥ሻ 𝑒⃗𝑦
𝜔 𝑐
b . La superposition des 2 ondes donne :
𝐸ሬ⃗ = 𝐸ሬ⃗1 + 𝐸ሬ⃗2 = 2𝐴 cosሺ𝑘𝑥ሻ cosሺ𝜔𝑡ሻ 𝑒⃗𝑧
2𝐴
𝐵ሬ⃗ = 𝐵ሬ⃗1 + 𝐵 ሬ⃗2 = − sinሺ𝑘𝑥ሻ sinሺ𝜔𝑡ሻ 𝑒⃗𝑦
𝑐
c . La résultante est une onde stationnaire plane.
184
N. MAGHLAOUI
Exercice 2
1. Deux ondes planes de même fréquence f, polarisées rectilignement, se propagent dans le vide dans un
référentiel Oxyz de base orthonormée (𝑒⃗𝑥 , 𝑒⃗𝑦 , 𝑒⃗𝑧 ), les champs électriques de ces deux ondes sont, en
notation complexe en un point M(x,y,z) de l’espace, à l’instant t :
𝐸ሬ⃗1 = 𝐸0 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ 𝑒⃗𝑦 et 𝐸ሬ⃗2 = 𝛼𝐸0 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡+𝑘𝑥ሻ 𝑒⃗𝑦
𝐸0 et 𝛼 sont des réels positifs, et 𝑖 2 = −1 ; on désignera par c la célérité de la lumière dans le vide.
1.1. Calculer les champs 𝐵 ሬ⃗1 et 𝐵
ሬ⃗2 associés à 𝐸ሬ⃗1 et 𝐸ሬ⃗2 respectivement.
1.2. Exprimer les ondes 𝐸ሬ⃗ et 𝐵ሬ⃗ de l’onde résultante, et montrer qu’elle se met sous la forme :
𝐸ሬ⃗ = ℰሺ𝑥ሻ𝑒 𝑖𝜔𝑡 𝑒⃗𝑦 , 𝐵
ሬ⃗ = ℬሺ𝑥ሻ𝑒 𝑖𝜔𝑡 𝑒⃗𝑧
1.3. Exprimer en fonction de 𝐸0 , 𝛼, c, k et x, les amplitudes |ℰሺ𝑥ሻ| et| ℬሺ𝑥ሻ| des champs 𝐸ሬ⃗ et 𝐵 ሬ⃗
respectivement en un point M(x,y,z).
On utilisera la transformation : 𝑒 𝑖𝑥 = cosሺ𝑥ሻ + 𝑖 sinሺ𝑥ሻ.
2. On appelle le taux d’onde stationnaire le rapport 𝜏 = |ℰ𝑚𝑎𝑥 |⁄|ℰ𝑚𝑖𝑛 | des amplitudes maximale et
minimale du champ électrique.
2.1. Exprimer τ en fonction de 𝛼.
2.2. Déterminer les positions des plans d’ondes :
où l’amplitude est maximale.
où l’amplitude est minimale.
3. On définit l’impédance réduite (sans dimension) de l’onde électromagnétique résultante en M :
1 ℰሺ𝑥ሻ
𝑍ሺ𝑥ሻ =
𝑐 ℬሺ𝑥ሻ
où ℰሺ𝑥ሻet ℬሺ𝑥ሻ sont les amplitudes complexes en M(x,y,z) des champs 𝐸ሬ⃗ et 𝐵
ሬ⃗. Exprimer 𝑍ሺ0ሻdans le
plan x = 0, en fonction de 𝛼.
Solution
1.
1.1. Dans le cas d’une onde plane :
ሬ⃗ × 𝐸ሬ⃗
𝑘
ሬ⃗ =
𝐵
𝜔
On en déduit que :
𝐸0 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ
ሬ⃗1 =
𝐵 𝑒 𝑒⃗𝑧
𝑐
et :
𝐸0 𝑖ሺ𝜔𝑡+𝑘𝑥ሻ
ሬ⃗2 = −𝛼
𝐵 𝑒 𝑒⃗𝑧
𝑐
1.2. 𝐸ሬ⃗ ሺ𝑀, 𝑡ሻ = 𝐸ሬ⃗1 + 𝐸ሬ⃗2 = 𝐸0 (𝑒 −𝑖𝑘𝑥 + 𝛼𝑒 𝑖𝑘𝑥 )𝑒 𝑖𝜔𝑡 𝑒⃗𝑦
ሬሬሬ⃗
𝐵 ሺ𝑀, 𝑡ሻ = 𝐵 ሬ⃗1 + 𝐵
ሬ⃗2
𝐸0
D’où : ሬሬሬ⃗
𝐵 ሺ𝑀, 𝑡ሻ = (𝑒 −𝑖𝑘𝑥 − 𝛼𝑒 𝑖𝑘𝑥 ) 𝑒⃗𝑧
𝑐
1.3. L’amplitude complexe du champ 𝐸ሬ⃗ ሺ𝑀, 𝑡ሻ est, d’après 1.b, et compte tenu du fait que
𝑒 𝑖𝑥 = cosሺ𝑥ሻ + 𝑖 sinሺ𝑥ሻ.
ℰሺ𝑥ሻ = 𝐸0 (𝑒 −𝑖𝑘𝑥 + 𝛼𝑒 𝑖𝑘𝑥 ) = 𝐸0 [ሺ1 + 𝛼ሻ cosሺ𝑘𝑥ሻ + 𝑖ሺ𝛼 − 1ሻ sinሺ𝑘𝑥ሻ]
185
N. MAGHLAOUI
L’amplitude du champ 𝐸ሬ⃗ est donc :
|ℰሺ𝑥ሻ| = 𝐸0 √ሺ1 + 𝛼ሻ2 cos2 ሺ𝑘𝑥ሻ + ሺ𝛼 − 1ሻ2 sin2 ሺ𝑘𝑥ሻ
Soit :
|ℰሺ𝑥ሻ| = 𝐸0 √1 + 𝛼 2 + 2𝛼ሺcos 2 ሺ𝑘𝑥ሻ − sin2 ሺ𝑘𝑥ሻሻ
où :
|ℰሺ𝑥ሻ| = 𝐸0 √1 + 𝛼 2 + 2𝛼 cosሺ2𝑘𝑥ሻ
L’amplitude complexe du champ
𝐸0 −𝑖𝑘𝑥 𝐸0
ℬሺ𝑥ሻ = (𝑒 − 𝛼𝑒 𝑖𝑘𝑥 ) = [ሺ1 − 𝛼ሻ cosሺ𝑘𝑥ሻ − 𝑖ሺ𝛼 + 1ሻ sinሺ𝑘𝑥ሻ]
𝑐 𝑐
Un calcul analogue à celui mené précédemment permet de déduire :
𝐸0
|ℬሺ𝑥ሻ| = √ሺ1 − 𝛼ሻ2 cos2 ሺ𝑘𝑥ሻ + ሺ𝛼 + 1ሻ2 sin2 ሺ𝑘𝑥ሻ
𝑐
𝐸0
|ℬሺ𝑥ሻ| = √1 + 𝛼 2 − 2𝛼ሺcos 2 ሺ𝑘𝑥ሻ − sin2ሺ𝑘𝑥ሻሻ
𝑐
D’où :
𝐸0
|ℬሺ𝑥ሻ| = √1 + 𝛼 2 − 2𝛼cosሺ2𝑘𝑥ሻ
𝑐
2.
2.1. D’après l’expression de l’amplitude du champ trouvée dans 1.c :
|ℰ𝑚𝑎𝑥 | = 𝐸0 √1 + 𝛼 2 + 2𝛼 = 1 +
|ℰ𝑚𝑖𝑛 | = 𝐸0 √1 + 𝛼 2 − 2𝛼 = |1 − 𝛼|
Le taux d’onde stationnaire, est donc :
|ℰ𝑚𝑎𝑥 | 1+𝛼
𝜏= =
|ℰ𝑚𝑖𝑛 | |1 − 𝛼|
2.2. L’amplitude de 𝐸ሬ⃗ est maximale si cosሺ2𝑘𝑥ሻ = 1, soit, avec n entier :
𝑛𝜋
2𝑘𝑥 = 2𝑛𝜋 ⇒ 𝑥 =
𝑘
ሬ⃗
L’amplitude de 𝐸 est minimale si cosሺ2𝑘𝑥ሻ = −1, soit, avec n entier :
ሺ2𝑛 + 1ሻ𝜋
2𝑘𝑥 = ሺ2𝑛 + 1ሻ𝜋 ⇒ 𝑥 =
2𝑘
3. D’après 1.b, les amplitudes complexes des champs 𝐸ሬ⃗ et 𝐵 ሬ⃗ dans le plan x = 0 sont :
𝐸0
ℰሺ0ሻ = 𝐸0 ሺ1 + 𝛼ሻ et ℬሺ0ሻ = ሺ1 − 𝛼ሻ
𝑐
L’impédance réduite de l’onde est donc dans le plan x = 0 :
ሺ1 + 𝛼ሻ
𝑍ሺ0ሻ =
ሺ1 − 𝛼ሻ
186
N. MAGHLAOUI
Exercice 3
L’espace est rapporté, en coordonnées cartésiennes, à un repère orthonormé direct
ሺ𝑂𝑥, 𝑂𝑦, 𝑂𝑧ሻ de base (𝑒⃗𝑥 , 𝑒⃗𝑦 , 𝑒⃗𝑧 ). On considère deux ondes planes progressives harmoniques polarisées
rectilignement, de même pulsation 𝜔 et de vecteurs d’ondes respectifs :
1
ሬ⃗1 = 𝑘𝑒⃗1 = 𝑘 (√3 𝑒⃗𝑥 + 𝑒⃗𝑧 )
(1)
𝑘
2 2
1
ሬ⃗2 = 𝑘𝑒⃗2 = 𝑘 (√3 𝑒⃗𝑥 − 𝑒⃗𝑧 )
(2)
𝑘
2 2
𝑘 est une constante réelle ሺ𝑘 > 0ሻ et où 𝑒⃗1 et 𝑒⃗2 sont des vecteurs unitaires.
Les champs magnétiques 𝐵 ሬ⃗1 et 𝐵 ሬ⃗2 des ondes décrites précédemment sont respectivement, en notation
complexe :
ሬ⃗1 ሺ𝑟⃗, 𝑡ሻ = 𝐵0 𝑒 𝑗(𝜔𝑡−𝑘ሬ⃗1𝑟⃗) 𝑒⃗𝑦
𝐵 (3)
ሬ⃗2 ሺ𝑟⃗, 𝑡ሻ = 𝐵0 𝑒 𝑗(𝜔𝑡−𝑘ሬ⃗2𝑟⃗) 𝑒⃗𝑦
𝐵 (4)
Sachant que les deux ondes se propagent dans le vide.
1. Exprimer 𝑘 en fonction de 𝜔 et 𝑐.
2. Déterminer en notation complexe le champ électrique 𝐸ሬ⃗1 ሺ𝑟⃗, 𝑡ሻ associé au champ magnétique 𝐵
ሬ⃗1 ሺ𝑟⃗, 𝑡ሻ.
𝐸1𝑥
𝐸
On écrira la réponse sous forme de vecteur colonne ( 1𝑦 ) écrit de la façon la plus simple possible en
𝐸1𝑧
fonction de 𝑥, 𝑧, 𝑡, 𝑐, 𝐵0, 𝜔.
Représenter sur une même figure les vecteurs 𝑘 ሬ⃗1, 𝐸ሬ⃗1 (0
ሬ⃗, 0) et 𝐵
ሬ⃗1 (0
ሬ⃗, 0).
3. Même question (y compris la figure) que 2 pour le champ électrique 𝐸ሬ⃗2 ሺ𝑟⃗, 𝑡ሻ associé au champ
magnétique 𝐵 ሬ⃗2 ሺ𝑟⃗, 𝑡ሻ.
4. Déterminer en notation complexe les champs électriques 𝐸ሬ⃗ = 𝐸ሬ⃗1 + 𝐸ሬ⃗2 et magnétique 𝐵 ሬ⃗ = 𝐵
ሬ⃗1 + 𝐵
ሬ⃗2.
𝑓𝑥 ሺ𝑧ሻ
On écrira les réponses sous forme de vecteurs colonnes du type 𝐴𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝛼𝑥ሻ (𝑓𝑦 ሺ𝑧ሻ).
𝑓𝑧 ሺ𝑧ሻ
5. Exprimer en notations réelles les champs 𝐸ሬ⃗ et 𝐵
ሬ⃗. Calculer le vecteur de Poynting ℛሬ⃗ ainsi que sa valeur
ሬ⃗ 〉𝑡,𝑧 (Valeur moyenne suivant t et z).
moyenne temporelle et spatiale 〈ℛ
Application Numérique : On donne 〈‖ℛ ሬ⃗ ‖〉𝑡,𝑧 = 13.3 𝑊𝑚−2.
En déduire la valeur numérique de 𝐵0.
Solution
1.
𝜔
𝑘=
𝑐
2. Dans le cas d’une onde plane harmonique :
ሬ⃗ × 𝐸ሬ⃗1
𝑘
ሬ⃗1 = 1
𝐵 ⟹ 𝐸ሬ⃗1 = 𝑐𝐵
ሬ⃗1 × 𝑒⃗1
𝜔
187
N. MAGHLAOUI
1
𝑘 √3 1 𝑘 2
ሬ⃗ 𝑗[𝜔𝑡− (√3𝑥+𝑧 )] 𝑗[𝜔𝑡− (√3𝑥+𝑧)]
𝐸1 = 𝑐𝐵0 𝑒 2 [𝑒⃗𝑦 × ( 𝑒⃗𝑥 + 𝑒⃗𝑧 )] = 𝑐𝐵0 𝑒 2 0
2 2
√3
−
( 2)
z
ez
k1
ey
ez ex
30°
B1 x
O ex
60°
E1
3. En utilisant la même démarche on trouve :

ሬ⃗ × 𝐸ሬ⃗2
𝑘
ሬ⃗2 = 2
𝐵 ⟹ 𝐸ሬ⃗2 = 𝑐𝐵
ሬ⃗2 × 𝑒⃗2
𝜔
1
−
𝑘 √3 1 𝑘 2
( )] ( )]
𝐸ሬ⃗2 = 𝑐𝐵0 𝑒 𝑗[𝜔𝑡−2 √3𝑥−𝑧 [𝑒⃗𝑦 × ( 𝑒⃗𝑥 − 𝑒⃗𝑧 )] = 𝑐𝐵0 𝑒 𝑗[𝜔𝑡−2 √3𝑥−𝑧 0
2 2
√3
−
( 2)
z
ez
ez ex
ex ey
B2 x
O 30°
k2
30°
E2
4. Calcul de 𝐸ሬ⃗ et 𝐵
ሬ⃗ :
1 𝑘
𝑗 sin ( 𝑧)
√3
𝑗(𝜔𝑡−𝑘 𝑥) 2 2
ሬ⃗ ሬ⃗ ሬ⃗
𝐸 = 𝐸1 + 𝐸2 = −2𝑐𝐵0 𝑒 2
0
√3 𝑘
cos ( 𝑧)
(2 2 )
√3
0
ሬ⃗ = 𝐵ሬ⃗1 + 𝐵
ሬ⃗2 = 2𝐵0 𝑒
𝑗(𝜔𝑡−𝑘 𝑥)
2 𝑘
𝐵 (𝑐𝑜𝑠 ( 𝑧))
2
0
188
N. MAGHLAOUI
5. En notation réelle :
1 𝑘 √3
𝑠𝑖𝑛 ( 𝑧) 𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡 − 𝑘 𝑥)
2 2 2
𝐸ሬ⃗ = 2𝑐𝐵0 0
√3 𝑘 √3
− cos ( 𝑧) cos (𝜔𝑡 − 𝑘 𝑥)
( 2 2 2 )
0
ሬ⃗ = 𝐵
𝐵 ሬ⃗2 = 2𝐵0 (cos (𝑘 𝑧) cos (𝜔𝑡 − 𝑘 √3 𝑥))
ሬ⃗1 + 𝐵
2 2
0
𝐸ሬ⃗ × 𝐵ሬ⃗
ሬ⃗ =
ℛ
𝜇0
√3 𝑘 √3
cos 2 ( 𝑧) cos 2 (𝜔𝑡 − 𝑘 𝑥)
2 2 2 2
4𝑐𝐵0
ሬ⃗ =
ℛ 0
𝜇0
1 𝑘 𝑘 √3 √3
sin ( 𝑧) cos ( 𝑧) sin (𝜔𝑡 − 𝑘 𝑥) cos (𝜔𝑡 − 𝑘 𝑥)
[2 2 2 2 2 ]
√3
𝑐𝐵02
ሬ⃗ 〉𝑡,𝑧
〈ℛ = [2]
𝜇0 0
0
ሬ⃗ ‖〉𝑡,𝑧
2𝜇0 〈‖ℛ
𝐵0 = √ = 2.54 10−7 Tesla
√3𝑐
189
N. MAGHLAOUI
Problème 1
Valeurs numériques des constantes physiques :
- Permittivité du vide : 𝜀0 = 8.85 10−12 𝐹𝑚−1 .
- Perméabilité du vide : 𝜇0 = 4𝜋10−7 𝐻𝑚−1.
- Vitesse de la lumière dans le vide : 𝑐 = 3 108 𝑚𝑠 −1 .
- Charge électrique de l’électron : −𝑒 avec 𝑒 = 1.610−19 𝐶.
Partie A
Soit (𝑒⃗𝑥 , 𝑒⃗𝑦 , 𝑒⃗𝑧 ) la base orthonormée d’un référentiel galiléen Oxyz. On considère le champ
électromagnétique statique (dans ce référentiel) donné au point 𝑟⃗ሺ𝑥, 𝑦, 𝑧ሻ par :
ሬ⃗ ሺ𝑟⃗ሻ = ሺ−𝛼𝑦, 𝛼𝑥, 0ሻ et 𝐸ሬ⃗ ሺ𝑟⃗ሻ = ሺ0,0,0ሻ
𝐵 ሺ1ሻ
−1
où 𝛼 = 0.1 𝑇𝑚 est une constante.
1. Ecrire les équations de Maxwell.
2. Montrer que le champ (1) est une solution de ces équations.
Déterminer la densité de courant 𝑗⃗ሺ𝑟⃗ሻ.
3. Calculer numériquement 𝑗⃗ሺ𝑟⃗ሻ ?
Partie B
Une onde plane (onde incidente) électromagnétique de pulsation ω se propageant dans le vide est
donnée par le champ électrique :
𝐸ሬ⃗𝑖 = 𝐴 cosሺ𝜔𝑡 + 𝑘𝑥ሻ 𝑒⃗𝑧 ሺ2ሻ
13
où 𝑘 > 0et 𝐴 > 0. La fréquence de l’onde 𝑓 = 5 10 𝐻𝑧.
1. Calculer numériquement la longueur d’onde𝜆.
2. a. Ecrire les équations de Maxwell dans le vide en absence de charges et de courants volumiques.
b.En déduire le champ magnétique 𝐵 ሬ⃗𝑖 de l’onde.
ሬ⃗ .
3. a. Déterminer la densité d’énergie électromagnétique 𝜔𝐸𝑀 et le vecteur de Poynting ℛ
ሬ⃗ ?
b. Quelle est la relation entre 𝜔𝐸𝑀 et ℛ
ሬ⃗ 〉.
c. Calculer les valeurs moyennes temporelles 〈𝜔𝐸𝑀 〉et 〈ℛ
d. En quelle unité ℛሬ⃗ est-il mesuré ?
Application numérique :On mesure pour le module de 〈ℛ ሬ⃗ 〉 la valeur 13,3 (unité S.I. demandée ci-
dessus). En déduire la valeur numérique de 〈𝜔𝐸𝑀 〉et l’amplitude 𝐴 de l’onde (2).
4. L’onde incidente (2) se propage dans le demi espace (vide) 𝑥 > 0. Le demi-espace 𝑥 ≤ 0 est formé
d’un métal parfaitement conducteur. Il apparait une onde réfléchie qui se superpose à l’onde incidente
et dont le champ électrique est de la forme.
𝐸ሬ⃗𝑟 = −𝐴 cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘𝑥ሻ 𝑒⃗𝑧 ሺ3ሻ
Déterminer le champ magnétique 𝐵 ሬ⃗𝑟 de l’onde réfléchie.
5. Le conducteur étant supposé parfait, les champs électriques et magnétiques sont nuls dans le métal.
Justifier cette affirmation.
a. Ecrire les relations de passage que vérifient les champs électrique et magnétique à la traverséedu
plan 𝑥 = 0.
On écrira ces relations en fonction de 𝐸ሬ⃗1 = lim 𝐸ሬ⃗ ሺ𝑥, 𝑡ሻ, 𝐵
ሬ⃗1 = lim 𝐵
ሬ⃗ ሺ𝑥, 𝑡ሻ,de la densité surfacique
𝑥→0+ 𝑥→0+
de charge 𝜎ሺ𝑡ሻ et du courant surfacique 𝑗⃗𝑠 ሺ𝑡ሻ.
190
N. MAGHLAOUI
b. En déduire la densité surfacique de charge 𝜎ሺ𝑡ሻet la densité surfacique de courant 𝑗⃗𝑠 ሺ𝑡ሻ.
Calculer numériquement l’amplitude de 𝑗⃗𝑠 ሺ𝑡ሻ.
Solution
Partie A
1. Les équations de Maxwell sont :
𝜌
ሬ⃗𝐸ሬ⃗ =
∇
𝜀0
𝛻ሬ⃗𝐵
ሬ⃗ = 0
ሬ⃗
𝜕𝐵
𝛻ሬ⃗ × 𝐸ሬ⃗ = −
𝜕𝑡
𝜕𝐸ሬ⃗
𝛻ሬ⃗ × 𝐵
ሬ⃗ = 𝜇0 𝑗⃗ + 𝜀0 𝜇0
𝜕𝑡
2. Le rotationnel du champ magnétique 𝐵 ሬ⃗ est :
𝛻ሬ⃗ × 𝐵
ሬ⃗ = 2𝛼𝑒⃗𝑧
La divergence du champ électrique est ሬ∇⃗𝐸ሬ⃗ = 0.
On en déduit que le champ (1) est une solution des équations de Maxwell avec :
𝜌ሺ𝑟⃗ሻ = 0
et
2𝛼
𝑗⃗ሺ𝑟⃗ሻ = 𝑒⃗
𝜇0 𝑧
3. le courant volumique est uniforme et vaut numériquement : 𝑗⃗ = 1.6 105 𝐴𝑚−2.
Partie B
𝑐
1. La longueur d’onde :𝜆 = 𝑓 = 6μ𝑚.
2. a. Les équations de Maxwell s’écrivent :
𝛻ሬ⃗𝐸ሬ⃗ = 0
𝛻ሬ⃗𝐵ሬ⃗ = 0
ሬ⃗
𝜕𝐵
𝛻ሬ⃗ × 𝐸ሬ⃗ = −
𝜕𝑡
𝜕𝐸ሬ⃗
𝛻ሬ⃗ × 𝐵
ሬ⃗ = 𝜀0 𝜇0
𝜕𝑡
ሬ⃗𝑖 = −𝑘𝑒⃗𝑥
b. 𝐸ሬ⃗𝑖 = 𝐴 cosሺ𝜔𝑡 + 𝑘𝑥ሻ 𝑒⃗𝑧 , 𝑘
ሬ⃗ × 𝐸ሬ⃗𝑖 𝐴
𝑘
ሬ⃗𝑖 = 𝑖
𝐵 = cosሺ𝜔𝑡 + 𝑘𝑥ሻ 𝑒⃗𝑦
𝜔 𝑐
3. a.
𝜀0 𝐸𝑖2 𝐵𝑖2 𝐴2
𝜔𝐸𝑀 = + = cos2 ሺ𝜔𝑡 + 𝑘𝑥ሻ
2 2𝜇0 𝜇0 𝑐 2
𝐸ሬ⃗ × 𝐵 ሬ⃗𝑖 𝐴2
ℛሬ⃗ = 𝑖 =− 𝑐𝑜𝑠 2 ሺ𝜔𝑡 + 𝑘𝑥ሻ 𝑒⃗𝑥
𝜇0 𝜇0 𝑐
b. la relation entre 𝜔𝐸𝑀 et ℛሬ⃗ est : ℛ ሬ⃗ = −𝑐𝜔𝐸𝑀 𝑒⃗𝑥 .
c. les valeurs moyennes temporelles sont :
191
N. MAGHLAOUI
𝐴2
〈𝜔𝐸𝑀 〉 =
2𝜇0 𝑐 2
et :
𝐴2
ሬ⃗ 〉 = −
〈ℛ 𝑒⃗
2𝜇0 𝑐 𝑥
ሬ⃗ est mesuré en 𝑊𝑚−2
d.ℛ
〈‖ℛሬ⃗ ‖〉
〈𝜔𝐸𝑀 〉 = = 4.42 10−8 𝐽𝑚−3
𝑐
𝐴 = √2𝜇0 𝑐 2 〈𝜔𝐸𝑀 〉 = 100 𝑉𝑚−1
4. Le champ magnétique correspondant est :
ሬ⃗ × 𝐸ሬ⃗𝑟 𝐴
𝑘
ሬ⃗𝑟 = 𝑟
𝐵 = cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘𝑥ሻ 𝑒⃗𝑦
𝜔 𝑐
ሬ⃗
avec : 𝑘𝑟 = 𝑘𝑒⃗𝑥
5. La loi d’Ohm s’écrit 𝑗⃗ = 𝜎𝐸ሬ⃗ où 𝑗⃗ est la densité de courant et 𝜎 la conductivité. Un conducteur
parfait est caractérisé par 𝜎 = ∞. On doit avoir 𝐸ሬ⃗ = ሬ0⃗ sinon la puissance par unité de volume
dissipée par effet joule, 𝑑𝑃⁄𝑑𝜏 = 𝑗⃗𝐸ሬ⃗ = 𝜎𝐸 2 , serait infinie, ce qui est absurde. Les équations de
𝜕𝐵ሬ⃗
Maxwell restent valables dans un métal. L’équation 𝛻ሬ⃗ × 𝐸ሬ⃗ = − 𝜕𝑡 = −𝑖𝜔𝐵
ሬ⃗ = ሬ0⃗ et 𝐵
ሬ⃗ = ሬ0⃗.
a. Les relations de passage en x = 0 s’écrivent :
𝐷ሬ⃗2𝑁 − 𝐷ሬ⃗1𝑁 = 𝜎𝑒⃗𝑁
ሬ⃗2𝑁 − 𝐵
𝐵 ሬ⃗1𝑁 = ሬ0⃗
𝐸ሬ⃗2𝑇 − 𝐸ሬ⃗1𝑇 = ሬ0⃗
1 1
ሬ⃗2𝑇 − 𝐵
𝐵 ሬ⃗ = 𝑗⃗𝑠 × 𝑒⃗𝑁
𝜇2 𝜇1 1𝑇
avec :
𝑒⃗𝑁 = −𝑒⃗𝑥
et où :
N : pour indiquer la composante normale.
T : pour indiquer la composante tangentielle.
1, 2 : pour indiquer le milieu 1 (vide) et le milieu 2 (métal) respectivement.
b. la composante normale du champ électrique est nulle 𝐸ሬ⃗1𝑁 = 𝐸ሬ⃗1𝑥 = ሬ0⃗ et donc 𝜎 = 0.
2𝐴
ሬ⃗1𝑦 = 𝐵
𝐵 ሬ⃗𝑖𝑦 + 𝐵ሬ⃗𝑟𝑦 = 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔𝑡ሻ 𝑒⃗𝑦
𝑐
d’où :
2𝐴
𝑗⃗𝑠 = 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔𝑡ሻ 𝑒⃗𝑧
𝜇0 𝑐
L’amplitude de 𝑗⃗𝑠 est :
2𝐴
= 0.53 𝐴𝑚−1
𝜇0 𝑐
192
N. MAGHLAOUI
Exercice 4
On donne la représentation complexe du champ électrique d'une onde électromagnétique dans le vide,
en coordonnées cartésiennes :
𝜋𝑦 𝜋𝑦
𝐸ሬ⃗ = (0, 𝐸0 𝑐𝑜𝑠 ( ) 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘0𝑧ሻ , 𝛼𝐸0 𝑠𝑖𝑛 ( ) 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘0𝑧ሻ )
𝑎 𝑎
où 𝛼 est une constante complexe et 𝑘0 une constante réelle positive.
1. Déterminer 𝛼 et 𝑘0 en fonction de 𝜔, 𝑎, c.
2. Déterminer le champ magnétique 𝐵 ሬ⃗.
3. Cette onde est-elle plane, harmonique, progressive, transverse électrique, transverse magnétique ?
4. Calculer le vecteur de Poynting ℛ ሬ⃗ associé à cette onde ainsi que sa valeur moyenne dans le temps
ሬ⃗ 〉𝑡 (Valeur moyenne suivant 𝑡).
〈ℛ
Solution
1. Le champ électrique vérifie l’équation de Maxwell-Gauss dans le vide : 𝑑𝑖𝑣(𝐸ሬ⃗ ) = ሬ∇⃗ ∙ 𝐸ሬ⃗ = 0 et
l’équation de d’Alembert dans le vide. Nous en déduisons :
𝜋
+ 𝑖𝛼𝑘0 = 0
𝑎
et :
𝜋 2 𝜔2
( ) + 𝑘02 = 2
𝑎 𝑐
d’où :
𝜔2 𝜋 2 𝑖𝜋
𝑘0 = √ − ( ) , 𝛼 =
𝑐2 𝑎 𝑎𝑘0
2. L’onde n’est pas plane, le calcul du champ magnétique 𝐵 ሬ⃗ se fait par l’intermédiaire de l’équation de
Maxwell-Faraday. Tout calcul fait nous obtenons :
𝜔 𝜋𝑦
ሬ⃗ = −
𝐵 𝐸0 cos ( ) 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘0𝑧ሻ 𝑒⃗𝑥
𝑘0 𝑐 2 𝑎
3. Cette onde n’est pas plane, car l’ensemble des points équiphases n’appartiennent pas à un plan.
Cette onde est harmonique de pulsation 𝜔.
Cette onde est progressive suivant 𝑧, car l’exposant de l’exponentiel est fonction de 𝜔𝑡 − 𝑘0 𝑧.
Cette onde est transverse magnétique car 𝐵 ሬ⃗0 = 0 et 𝐸ሬ⃗ ∙ 𝑘
ሬ⃗ ∙ 𝑘 ሬ⃗0 ≠ 0.
4. En utilisant la définition du vecteur de Poynting :
ሬ⃗ =
ℛ
𝜇0
ce qui donne :
𝜋𝜔 𝜋𝑦 𝜋𝑦
ሬ⃗ =
ℛ 𝐸02 cos ( ) sin ( ) cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘0 𝑧ሻ sinሺ𝜔𝑡 − 𝑘0 𝑧ሻ 𝑒⃗𝑦
2 2 𝑎 𝑎
𝑎𝑘0 𝑐 𝜇0
𝜔 2
𝜋𝑦 2
+ 𝐸 [cos ( )] [cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘0 𝑧ሻ]2 𝑒⃗𝑧
𝑘0 𝑐 2 𝜇0 0 𝑎
Sa valeur moyenne est :
𝜔 𝜋𝑦 2
〈ℛሬ⃗ 〉𝑡 = 𝐸 2
[cos ( )] 𝑒⃗𝑧
𝑘0 𝑐 2 𝜇0 0 𝑎
193
N. MAGHLAOUI
L’énergie et l’onde se propage dans le même sens.
Exercice 5
Une onde électromagnétique plane, sinusoïdale, dont le champ électrique est polarisé rectilignement
suivant 𝑂𝑦, se propage suivant 𝑂𝑥 dans un milieu linéaire, homogène et isotrope, neutre de permittivité
𝜀 = 2.56 ∙ 𝜀0 , de perméabilité 𝜇 = 𝜇0 et de conductivité nulle. On donne : 𝜀0 = 8.85 10−12 𝐹 ∙ 𝑚−1 et
𝜇0 = 4𝜋 10−7 𝐻 ∙ 𝑚−1 .
1. Quelle est la relation de dispersion 𝜔 = 𝑓ሺ𝑘ሻ de ce milieu diélectrique.

2. Pour une onde de pulsation 𝜔 et de vecteur d’onde 𝑘ሬ⃗ , calculer le champ magnétique 𝐵
ሬ⃗ associé à 𝐸ሬ⃗ .
3. Calculer, pour ce diélectrique, les grandeurs suivantes :
- La vitesse 𝑣, l’impédance caractéristique 𝑍 et son rapport 𝜂 à celle du vide 𝑍0 .
- Le module du vecteur d’onde 𝑘 ሬ⃗ .
- La longueur d’onde 𝜆.
- La densité d’énergie moyenne.
Pour une onde d’amplitude 𝐸0 = 100 𝑘𝑉 ∙ 𝑚−1 et dans les cas suivants :
micro-onde : 𝑓1 = 1.25 1010 𝐻𝑧.
Onde lumineuse : 𝑓2 = 3 1014 𝐻𝑧.
Solution
1. L’équation de propagation se déduit de celle du vide en remplaçant 𝜀0 par 𝜀 :
𝜕 2 𝐸ሬ⃗
∆𝐸ሬ⃗ − 𝜀𝜇0 2 = ሬ0⃗
𝜕𝑡
Dans le cas d’une onde plane sinusoïdale :
𝜕 2 𝐸ሬ⃗
∆𝐸ሬ⃗ = −𝑘 2 𝐸ሬ⃗ et = −𝜔2 𝐸ሬ⃗
𝜕𝑡 2
d’où la relation de dispersion suivante :

𝑘 2 = 𝜀𝜇0 𝜔2
2. L’onde étant plane, on a :
ሬ⃗ × 𝐸ሬ⃗ 𝑘𝐸
𝑘
ሬ⃗ =
𝐵 = 𝑒⃗ × 𝑒⃗𝑦
𝜔 𝜔 𝑥
𝑘
ሬ⃗ = 𝐸0 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ 𝑒⃗𝑧
𝐵
𝜔
3. La vitesse de propagation de l’onde :
𝜔 1 1
𝑣= = =
𝑘 √𝜀𝜇0 √𝜀𝑟 𝜀0 𝜇0
soit :
𝑐
𝑣= = 1.88 108 𝑚 𝑠 −1
𝜀
√ 𝑟
Impédance caractéristique :
𝜇0
𝑍=√ = 235.5 Ω
𝜀
Rapport à l’impédance du vide :
194
N. MAGHLAOUI
𝑍 1
𝜂= = = 0.625
𝑍0 √𝜀𝑟
Densité d’énergie :
𝜔𝐸𝑀 = 0.113 𝐽 𝑚−3
Micro-onde :
𝑓1 = 1.5 1010 𝐻𝑧
2𝜋𝑓1 𝑣
𝑘1 = = 501 𝑚−1 et 𝜆1 = = 1.25 𝑐𝑚
𝑣 𝑓1
Onde lumineuse :
𝑓2 = 4 1014 𝐻𝑧
2𝜋𝑓2 𝑣
𝑘2 = = 1.34 107 𝑚−1 et 𝜆2 = = 0.47 𝜇𝑚
𝑣 𝑓2
Exercice 6
La conductivité 𝛾 d’un métal reste pratiquement constante et égale à sa valeur 𝛾0 en courant continu, tant
que la fréquence demeure inférieure à 1013 𝐻𝑧 environ. Il apparait ensuite très rapidement un déphasage
de 𝜋⁄2 entre le courant et le champ électrique, et 𝛾 devient inversement proportionnel à la pulsation 𝜔,
soit :
𝑖𝛾0
𝛾=
𝜔𝜏
avec : 𝜏 = 10−14 𝑠.
1. Dans quel domaine de fréquence, peut-on négliger le courant de déplacement de Maxwell devant le
courant de conduction, dans le cas du cuivre où 𝛾0 = 59.6 106 𝛺 −1 ∙ 𝑚−1 et 𝜀 = 𝜀0 .
2. On étudie la propagation d’une onde électromagnétique, sinusoïdale de pulsation 𝜔, dans un
conducteur de conductivité 𝛾, de permittivité 𝜀0 et de perméabilité 𝜇0 (caractéristiques du vide). On
néglige le courant de déplacement devant le courant de conduction.
On se restreint au cas où les champs 𝐸ሬ⃗ et 𝐵
ሬ⃗ ne dépendent que du temps et de la coordonnée 𝑧, soit :
𝐸ሬ⃗ = ℰ⃗ሺ𝑧ሻ𝑒 𝑖𝜔𝑡
ሬ⃗ = ℬ
𝐵 ሬ⃗ሺ𝑧ሻ𝑒 𝑖𝜔𝑡
ℰ⃗ሺ𝑧ሻ et ℬ
ሬ⃗ሺ𝑧ሻ ayant à priori des composantes complexes.
a. Ecrire les équations de Maxwell en représentation complexe.

b. En déduire les équations différentielles découplées, vérifiées respectivement par ℰ⃗ሺ𝑧ሻ et ℬ
ሬ⃗ሺ𝑧ሻ. On
posera 𝛿 = √2⁄𝜇0 𝜔𝛾.
ሬ⃗ሺ𝑧ሻ, sachant que le conducteur n’occupe que le
c. Quelle est la solution de l’équation vérifiée par ℬ
demi espace limité par le plan 𝑧 = 0, du côté positif de 𝑂𝑧 ? On désignera par ℬ ሬ⃗ሺ0ሻ la valeur de
ሬ⃗ en 𝑧 = 0.
ℬ
ሬ⃗ est polarisé suivant la direction 𝑂𝑦 :
d. Nous supposons que ℬ
ሬ⃗ = ℬሺ𝑧ሻ𝑒 𝑖𝜔𝑡 𝑒⃗𝑦
𝐵
ሬ⃗ en fonction de ℬሺ0ሻ, 𝑧 et 𝛿.
Exprimer ℬ
195
N. MAGHLAOUI
Donner les expressions de ℰ⃗ et de la densité volumique de courant 𝑗⃗ en fonction de ℬሺ0ሻ, , 𝑧, 𝛿 et
𝛾.
Application numérique : On donne :

𝜀0 = 8.85 10−12 𝐹 ∙ 𝑚−1 , 𝜇0 = 4𝜋 10−7 𝐻 ∙ 𝑚−1 , 𝛾 = 59.6 106 𝛺 −1 ∙ 𝑚−1.
Calculer 𝛿 pour les fréquences 𝑓1 = 1010 𝐻𝑧 et 𝑓2 = 50 𝐻𝑧.
Solution
1. La densité de courant de déplacement s’exprime par :
𝜕𝐸ሬ⃗
𝑗⃗𝐷 = 𝜀0
𝜕𝑡
Dans le cas d’un champ sinusoïdale :
𝑗⃗𝐷 = 𝑖𝜔𝜀0 𝐸ሬ⃗
La densité de courant de conduction est :
𝑗⃗𝐶 = 𝛾𝐸ሬ⃗
Les modules sont :
‖𝑗⃗𝐷 ‖ = 𝜔𝜀0 ‖𝐸ሬ⃗ ‖ et ‖𝑗⃗𝐶 ‖ = 𝛾‖𝐸ሬ⃗ ‖
Pour pouvoir négliger 𝑗⃗𝐷 devant 𝑗⃗𝐶 , il faut donc :
𝛾0
𝜔𝜀0 ≪ 𝛾 soit 𝑓 ≪ ≅ 1018 𝐻𝑧
2𝜋𝜀0
Cette condition est toujours vérifiée lorsque 𝛾 = 𝛾0.
Si 𝑓 ≥ 1013 𝐻𝑧, la conductivité devient :
𝑖𝛾0
𝛾=
𝜔𝜏
La condition devient alors :
𝛾
𝑓≪
2𝜋𝜀0
ou encore :
1 𝛾0
𝑓≪ √ ≅ 4 1015 𝐻𝑧
2𝜋 𝜀0 𝜏
Cette condition est généralement vérifiée pour les champs usuels.
196
N. MAGHLAOUI
2. Le conducteur étant neutre à l’échelle macroscopique, nous avons 𝜌 = 0.
a. Les équations de Maxwell s’écrivent :
[𝑑𝑖𝑣ℰ⃗ሺ𝑧ሻ𝑒 𝑖𝜔𝑡 ] = 0 (1)
ሬ⃗ሺ𝑧ሻ𝑒 𝑖𝜔𝑡 ] = 0
[𝑑𝑖𝑣ℬ (2)
ሬሬሬሬሬሬ⃗ ℰ⃗ሺ𝑧ሻ]𝑒 𝑖𝜔𝑡 = −𝑖𝜔[ℬ
[𝑟𝑜𝑡 ሬ⃗ሺ𝑧ሻ]𝑒 𝑖𝜔𝑡 (3)
[𝑟𝑜𝑡 ሬ⃗ሺ𝑧ሻ]𝑒 𝑖𝜔𝑡 = 𝜇0 𝛾[ℰ⃗ሺ𝑧ሻ]𝑒 𝑖𝜔𝑡
ሬሬሬሬሬሬ⃗ ℬ (4)
b. Calculons les dérivées secondes :
𝑟𝑜𝑡[𝑟𝑜𝑡 ሬሬሬሬሬሬ⃗ℰ⃗] = ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬ⃗
𝑔𝑟𝑎𝑑 [𝑑𝑖𝑣 ሬሬሬሬሬሬ⃗ ℰ⃗] − ∆ℰ⃗ = −∆ℰ⃗ (5)
de plus :
𝑟𝑜𝑡 ሬሬሬሬሬሬ⃗ ℰ⃗] = −𝑖𝜔 𝑟𝑜𝑡
ሬሬሬሬሬሬ⃗[𝑟𝑜𝑡 ሬ⃗] = −𝑖𝜔 𝜇0 𝛾 ℰ⃗
ሬሬሬሬሬሬ⃗ [ℬ (6)
Des équations (5) et (6) nous obtenons :
∆ℰ⃗ − 𝑖𝜔 𝜇0 𝛾 ℰ⃗ = ሬ0⃗
qui s’exprime :
𝑑 2 ℰ⃗
= 𝑖𝜔 𝜇0 𝛾 ℰ⃗
𝑑𝑧 2
ou encore :
𝑑 2 ℰ⃗ 2𝑖
= ℰ⃗
𝑑𝑧 2 𝛿 2
de la même manière, nous obtenons pour le champ magnétique ℬ ሬ⃗ :
𝑑2 ℬ ሬ⃗ 2𝑖
= ℬሬ⃗
𝑑𝑧 2 𝛿 2
c. L’équation caractéristique de ces équations différentielles est :
2𝑖 2 𝜋
𝑟2 = 2 = 2 𝑒𝑖2
𝛿 𝛿
dont les racines sont :
1+𝑖 1+𝑖
𝑟1 = et 𝑟2 = −
𝛿 𝛿
ሬ⃗
La solution acceptable pour ℬ est :
𝑧 𝑧
ሬ⃗0 𝑒 − 𝛿 𝑒 −𝑖𝛿
ሬ⃗ሺ𝑧ሻ = ℬ
ℬ
L’amplitude réelle ne peut croitre lorsqu’on pénètre dans le conducteur.
ሬ⃗ est porté par 𝑂𝑦, on peut écrire :
d. Si ℬ
𝑧 𝑧
𝐵ሬ⃗ = 𝐵ሺ0ሻ𝑒 −𝛿 𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝛿) 𝑒⃗𝑦
L’équation (4) permet alors de déterminer le champ 𝐸ሬ⃗ :
1 1 𝑑𝐵
𝐸ሬ⃗ = ሬሬሬሬሬሬ⃗ [𝐵𝑒⃗𝑦 ] = −
𝑟𝑜𝑡 𝑒⃗
𝜇0 𝛾 𝜇0 𝛾 𝑑𝑧 𝑥
1+𝑖 𝑧 𝑧
𝐸ሬ⃗ = 𝐵ሺ0ሻ 𝑒 − 𝛿 𝑒 𝑖(𝜔𝑡− 𝛿) 𝑒⃗𝑥
𝜇0 𝛾𝛿
On en déduit :
√2 𝑧 𝑧 𝜋
𝐸ሬ⃗ = 𝐵ሺ0ሻ𝑒 − 𝛿 𝑒 𝑖(𝜔𝑡− 𝛿+ 4 ) 𝑒⃗𝑥
𝜇0 𝛾𝛿
197
N. MAGHLAOUI
D’où la densité volumique de courant :
√2 𝑧 𝑧 𝜋
𝑗⃗𝐶 = 𝛾𝐸ሬ⃗ = 𝐵ሺ0ሻ𝑒 − 𝛿 𝑒 𝑖(𝜔𝑡− 𝛿+ 4 ) 𝑒⃗𝑥
𝜇0 𝛿
Pour 𝑓1 = 1010 𝐻𝑧, on trouve :
2 1
𝛿1 = √ =√
𝜇0 𝜔1 𝛾 𝜇0 𝜋𝑓1 𝛾
𝛿1 = 0.66 𝜇𝑚
Pour 𝑓2 = 50 𝐻𝑧 :
𝛿2 = 9.3 𝑚𝑚
Exercice 7
Un conducteur parfait occupe toute la partie de l’espace correspondant à 𝑧 > 0. Sa surface libre
représentée par le plan 𝑥𝑂𝑦 est au contact de l’air assimilée au vide (Figure 1). Une onde incidente
plane, progressive, monochromatique de pulsation 𝜔 et de vecteur d’onde 𝑘 ሬ⃗𝑖 = 𝑘𝑒ሬሬሬ⃗.
𝑧 Est caractérisée
par son champ électrique polarisé rectilignement suivant 𝑥𝑂𝑦 :
ሬሬሬ⃗
𝐸𝑖 = 𝐸0 eiሺ𝜔𝑡−𝑘𝑧ሻ ሬሬሬ⃗
𝑒𝑥
ex
O
ez z
Vide Conducteur parfait
Figure 1
1. Dans l’hypothèse du conducteur parfait, que valent le champ électrique 𝐸ሬ⃗ et le champ magnétique 𝐵
ሬ⃗
à l’intérieur du conducteur.
2. Déterminer les grandeurs suivantes :

a. Le champ électrique réfléchi 𝐸ሬ⃗𝑟 , en fonction de 𝐸0 , 𝜔 et 𝑘.
b. Les champs magnétiques incident ሬሬሬ⃗
𝐵𝑖 et réfléchi ሬሬሬሬ⃗
𝐵𝑟 .
c. Les densités superficielles de charge 𝜎 et de courant ሬሬ⃗
𝐽𝑠 , à partir des relations de continuités.
3. Onde stationnaire résultante.

a. Exprimer les champs électrique 𝐸ሬ⃗ et magnétique 𝐵
ሬ⃗ de l’onde résultante.
b. Représenter sur un même schéma 𝐸ሺ𝑧ሻ à deux instants différents.
198
N. MAGHLAOUI
4. Onde entre deux conducteurs.
On place un conducteur identique au précédent à 𝑧 = −𝐿. Montrer que :
a. Si l’on impose 𝐿, seules les fréquences 𝑓𝑛 que l’on déterminera peuvent convenir.
b. Si l’on impose la longueur d’onde 𝜆, seules des longueurs 𝐿𝑛 que l’on déterminera, peuvent
convenir.
Solution
1. Dans l’hypothèse du conducteur parfait, à l’intérieur du conducteur, on a :
𝐸ሬ⃗ = ሬ0⃗ et 𝐵
ሬ⃗ = ሬ0⃗
2. a . L’onde réfléchie a la même pulsation 𝜔, le vecteur d’onde 𝑘 ሬ⃗𝑟 = −𝑘
ሬ⃗𝑖 = −𝑘𝑒⃗𝑧 (incidence normale)
et le champ réfléchi 𝐸ሬ⃗𝑟 est déphasé de 𝜋 par rapport à 𝐸ሬ⃗𝑖 .
On a donc : 𝐸ሬ⃗𝑟 = −𝐸0 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡+𝑘𝑧ሻ 𝑒⃗𝑥 .
b . Expressions de 𝐵ሬ⃗𝑖 et 𝐵
ሬ⃗𝑟 :
Dans le cas d’une onde plane sinusoïdale et progressive, nous avons
ሬ⃗ × 𝐸ሬ⃗𝑖
𝑘 𝐸
𝐵ሬ⃗𝑖 = 𝑖 ሬ⃗𝑖 = 0 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑧ሻ 𝑒⃗𝑦
⟹𝐵
𝜔 𝑐
ሬ⃗
𝑘 × 𝐸𝑟 ሬ⃗ 𝐸
𝐵ሬ⃗𝑟 = 𝑟 ⟹𝐵ሬ⃗𝑟 = 0 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡+𝑘𝑧ሻ 𝑒⃗𝑦
𝜔 𝑐
c . Calcul de 𝜎 et 𝐽𝑠⃗
𝐸ሬ⃗ étant tangentielle, 𝐷
ሬ⃗𝑛 est nul et ne subit donc pas de discontinuité. Par conséquent 𝜎 = 0.
En revanche, le champ magnétique résultant 𝐵 ሬ⃗𝑟 étant tangentiel, il subit une discontinuité. Par
conséquent, il apparait en 𝑧 = 0 une densité superficielle de courant 𝐽⃗𝑠 donnée par :
2𝐸0 𝑖𝜔𝑡
𝜇0 (𝐽⃗𝑠 × 𝑒⃗𝑧 ) = − 𝑒 𝑒⃗𝑦
𝑐
d’où :
2𝐸0 𝑖𝜔𝑡
𝐽⃗𝑠 = 𝑒 𝑒⃗𝑥
𝜇0 𝑐
3. Onde stationnaire résultante
a . Cette onde résulte de la superposition de l’onde incidente et réfléchie :
𝐸ሬ⃗ = 𝐸ሬ⃗𝑖 + 𝐸ሬ⃗𝑟 = 2𝐸0 sinሺ𝜔𝑡ሻ sinሺ𝑘𝑧ሻ 𝑒⃗𝑥
ሬ⃗ = 𝐵
𝐵 ሬ⃗𝑖 + 𝐵
ሬ⃗𝑟 = 2𝐸0 cosሺ𝜔𝑡ሻ cosሺ𝑘𝑧ሻ 𝑒⃗𝑦
b . Représentation
L’onde résultante est stationnaire à la différence des ondes incidente et réfléchie, qui se propagent.
𝐸ሺ𝑧ሻ
𝑡
𝑡′
𝑡
2𝜋 𝜋
− −
𝑘 𝑘
199
N. MAGHLAOUI
4. Onde entre deux conducteurs
Avec le deuxième conducteur placé en 𝑧 = −𝐿, il faut que 𝐸ሬ⃗ ሺ−𝐿, 𝑡ሻ = ሬ0⃗ quel que soit 𝑡.
sinሺ𝑘𝐿ሻ = 0 ⟹ 𝑘𝐿 = 𝑛𝜋 (𝑛 entier > 0)
a . Si 𝐿 est imposé, alors 𝑘𝑛 = 𝑛𝜋⁄𝐿
Soit : 𝑓𝑛 = 𝑛𝑐 ⁄2𝐿
b . Si 𝜆 est imposée. Les longueurs 𝐿 qui conviennent sont 𝐿𝑛 = 𝑛𝜆⁄2.
Ces valeurs discrètes de 𝑓 ou 𝐿 correspondent aux modes propres de la cavité constituée par l’espace
limité les deux conducteurs.
Exercice 8
On considère un tuyau à section rectangulaire (guide d’ondes) dont les parois sont parfaitement
conductrices (Figure 2).
À l’intérieur de ce guide d’ondes, le champ électrique ∆𝐸ሬ⃗ satisfait à l’équation :
1 𝜕 2 𝐸ሬ⃗
∆𝐸ሬ⃗ =
𝑐 2 𝜕𝑡 2
On s’intéresse aux ondes, de pulsation 𝜔, se propageant dans la direction x’x et telles que Ex = 0 (ondes
transversales électriques). De plus, nous nous limiterons uniquement à l’étude de la composante Ez (on
pose Ey = 0).
Les conditions aux limites imposent que 𝐸ሬ⃗ , sur une paroi conductrice, est soit nul soit normal à cette paroi.
x
z
O y
a
Figure 2
1. Montrer que le vecteur 𝐸ሬ⃗ de composantes :

Ex = 0 , Ey = 0
et 𝐸𝑧 = 𝐸0 𝑐𝑜𝑠ሺ𝑛𝜋𝑦⁄𝑎 ሻ 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔𝑡 − 𝑘𝑛′ 𝑥ሻ , avec n entier impair
Ou 𝐸𝑧 = 𝐸0 𝑠𝑖𝑛ሺ𝑛𝜋𝑦⁄𝑎ሻ 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔𝑡 − 𝑘𝑛′ 𝑥ሻ, avec n pair
satisfait à ces conditions aux limites.
On parlera, alors, de mode transversal-électrique TEn0. Dans ce qui suit, on va s’intéresser au mode
TE10.
2. En utilisant les équations précédentes, déterminer 𝑘1′ en fonction de 𝜔, 𝑐 et 𝑎. Montrer que seules les
ondes de pulsation 𝜔 supérieure à une certaine valeur 𝜔𝑐1 peuvent se propager selon le mode TE10.
Déterminer 𝜔𝑐1 (pulsation de coupure du mode considéré).
200
N. MAGHLAOUI
Calculer la vitesse de phase 𝑣𝜑 et la vitesse de groupe 𝑣𝑔 . Quelle relation y a-t-il entre 𝑣𝜑 , 𝑣𝑔 et 𝑐 ?
Tracer, sur un même graphique, les courbes représentant les variations de 𝑣𝜑 et de 𝑣𝑔 en fonction de
𝜔.
3. Comment faut-il choisir la dimension a du guide afin que, 𝜔 étant fixée, seul le mode TE10 se propage
à l’exclusion de tous les autres modes TEn0 avec 𝑛 ≥ 2 ?
Solution
1. Sur une paroi conductrice, 𝐸ሬ⃗ doit être soit nul soit perpendiculaire à la paroi. 𝐸ሬ⃗ étant vertical, il est
perpendiculaire aux parois horizontales. Les conditions aux limites imposent donc uniquement que
𝐸𝑧 = 0 pour 𝑦 = ± 𝑎⁄2. Vérifions que les formes proposées satisfont bien à ces conditions.
pour 𝑛 impair 𝐸𝑧 ∝ cosሺ𝑛𝜋𝑦⁄𝑎ሻ = 0 si 𝑦 = ± 𝑎⁄2 car cosሺ± 𝑛𝜋⁄2ሻ = 0
pour 𝑛 pair 𝐸𝑧 ∝ sinሺ𝑛𝜋𝑦⁄𝑎ሻ = 0 si 𝑦 = ± 𝑎⁄2 car sinሺ± 𝑛𝜋⁄2ሻ = 0
2. Pour 𝑛 = 1, on a :
𝐸𝑧 = 𝐸0 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜋𝑦⁄𝑎ሻ 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔𝑡 − 𝑘1′ 𝑥ሻ
D’autre part, l’équation de propagation s’écrit :
1 𝜕 2 𝐸𝑧 𝜕 2 𝐸𝑧 𝜕 2 𝐸𝑧 1 𝜕 2 𝐸𝑧
∆𝐸𝑧 − 2 2 = 0 ⟹ + − =0
𝑐 𝜕𝑡 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝑐 2 𝜕𝑡 2
On reporte l’expression de 𝐸𝑧 dans cette dernière équation et on obtient :
𝜔 2 𝜋 2
ሺ𝑘1′ ሻ2 = ( ) − ( )
𝑐 𝑎
Pour qu’il y ait propagation, on doit avoir 𝑘1′ réel donc :
𝜋𝑐
𝜔≥ = 𝜔𝑐1
𝑎
2
𝜔 𝑐 𝑑𝜔 𝜔𝑐1
𝑣𝜑 = = , 𝑣𝑔 = = 𝑐 √ 1 −
𝑘1′ 2 𝑑𝑘1′ 𝜔2
√1 − 𝜔𝑐1
𝜔2
On remarque que 𝑣𝜑 ∙ 𝑣𝑔 = 𝑐 2 .
𝑣𝜑
𝑐
𝑣𝑔
𝜔
𝜔𝑐1
3. Pour le mode TEn0, à l’aide de l’équation de dispersion établie dans la réponse à la question précédente
𝜔 2 𝑛𝜋 2
ሺ𝑘𝑛′ ሻ2 = ( ) − ( )
𝑐 𝑎
avec la pulsation de coupure 𝜔𝑐𝑛 = 𝑛𝜋𝑐 𝑎. ⁄
Pour que le mode TE10 se propage, il faut que 𝜔 > 𝜔𝑐1 = 𝜋𝑐 ⁄𝑎 .
Pour que les modes TEn0 avec 𝑛 ≥ 2, ne se propagent pas, il faut que 𝜔 < 𝜔𝑐𝑛 = 𝑛𝜋𝑐 ⁄𝑎 , ∀𝑛 ≥ 2.
201
N. MAGHLAOUI
On doit donc avoir
𝜋𝑐 2𝜋𝑐
<𝜔<
𝑎 𝑎
D’où :
𝜋𝑐 2𝜋𝑐
<𝑎<
𝜔 𝜔
Exercice 9
1. On considère le champ électrique 𝐸ሬ⃗ , dans le vide, défini par ses coordonnées dans un repère cartésien
Oxyz :
𝜋𝑦
𝐸𝑥 = 𝐸0 cos ሺ ሻ exp[𝑖ሺ𝜔𝑡 − 𝑘𝑧ሻ] , 𝐸𝑦 = 0, 𝐸𝑧 = 0
𝑏
𝐸0 et 𝑏 sont réels. Quelle relation doit vérifier 𝑏, 𝑘, 𝜔 et 𝑐 pour que 𝐸ሬ⃗ soit le champ électrique d’une
onde électromagnétique dans le vide ?
2. a. Montrer que pour 𝜔 inférieur à une certaine pulsation 𝜔𝑐 que l’on déterminera, aucune propagation
n’est possible.
a. Quelle est la nature de l’onde dans ce cas ?
b. Calculer la distance 𝑧 = 𝑑 pour laquelle l’amplitude de cette onde est divisée par 5.
3. Calculer pour 𝜔 > 𝜔𝑐 la vitesse de phase 𝑣𝜑 et la vitesse de groupe 𝑣𝑔 ? (𝑐 est la vitesse de propagation
de la lumière dans le vide).
4. Montrer qu’une telle onde satisfait aux conditions aux limites si l’espace est limité par deux plans
conducteurs parfaits, parallèles à 𝑥𝑂𝑧 et situés en 𝑦1 = − 𝑝𝑏⁄2 et 𝑦1 = 𝑝𝑏⁄2 (p entier impair).
• Application Numérique : 𝑝 = 1, 𝑏 = 3𝑐𝑚.
Calculer 𝑓𝑐 .
Pour 𝑓 = 1 𝐺𝐻𝑧 calculer 𝑑.
Pour 𝑓 = 10 𝐺𝐻𝑧, donner les valeurs de 𝑣𝜑 et 𝑣𝑔 .
5. Calculer le champ magnétique 𝐵 ሬ⃗ associé au champ électrique 𝐸ሬ⃗ . Qu’est-ce qu’on constate ?
6. Calculer le vecteur de Poynting 𝑅ሬ⃗ ainsi que sa valeur moyenne dans le temps et dans l’espace 〈𝑅ሬ⃗ 〉𝑡,𝑦 .
7. Déterminer la densité d’énergie électromagnétique 𝜔𝐸𝑀 ainsi que sa valeur moyenne spatio-
temporelle qu’on note 〈𝜔𝐸𝑀 〉𝑡,𝑦 .
8. Quelle est la relation entre 〈𝑅ሬ⃗ 〉𝑡,𝑦 et 〈𝜔𝐸𝑀 〉𝑡,𝑦 . Conclure.
Solution
1. L’équation de propagation d’onde dans le vide est :
1 𝜕 2 𝐸ሬ⃗
∆𝐸ሬ⃗ − = ሬ0⃗
𝑐 2 𝜕𝑡 2
Dans notre cas, cette équation se simplifie :
𝜕 2 𝐸𝑥 𝜕 2 𝐸𝑥 1 𝜕 2 𝐸𝑥
+ − =0
𝜕𝑧 2 𝜕𝑦 2 𝑐 2 𝜕𝑡 2
Nous obtenons :
𝜔2 𝜋 2 𝜔2 𝜋2
𝑘 = 2 − 2 ⟹𝑘=√ 2 − 2
2
𝑐 𝑏 𝑐 𝑏
202
N. MAGHLAOUI
2. Pour avoir phénomène de propagation il faut que 𝑘 soit réel, d’où :
𝜋𝑐
𝜔≥
𝑏
On appelle la fréquence de coupure : 𝜔𝑐 = 𝜋𝑐 ⁄𝑏
a. Dans le cas où 𝜔 < 𝜔𝑐 , l’onde est évanescente.
b. En posant 𝑘 = ± 𝑖 ⁄𝛿 .
avec :
1 𝑐
𝛿= =
2
√𝜋2 − 𝜔2
2 √𝜔𝑐2 − 𝜔 2
𝑏 𝑐
L’amplitude est divisée par 5 en 𝑧 = 𝑑.
𝑒 𝛿⁄𝑑 = 5 ⟹ 𝑑 = 𝛿 𝑙𝑛ሺ5ሻ
3. Dans le cas 𝜔 ≥ 𝜔𝑐 , 𝑘 est réel. Dans ce cas l’onde se propage à l’intérieur du guide.
Les vitesses de phase et de groupe sont respectivement :
𝜔 𝑐 𝑑𝜔 𝜔𝑐2
𝑣𝜑 = = , 𝑣𝑔 = = 𝑐 √1 − 2
𝑘 2 𝑑𝑘 𝜔
√1 − 𝜔𝑐2
𝜔
4. Conditions de nullité du champ en 𝑦 = ± 𝑝𝑏⁄2 quel que soit 𝑧 et 𝑡.
𝜋𝑝
𝐸𝑥 ሺ𝑦 = ± 𝑝𝑏⁄2ሻ = 0 ⟹ cos (± ) = 0
2
Avec 𝑝 entier impair.
Application Numérique :
La fréquence de coupure est 𝑓𝑐 = 5 𝐺𝐻𝑧.
Pour une fréquence 𝑓 = 1 𝐺𝐻𝑧, l’onde est évanescente. La distance parcourue pour laquelle
l’amplitude est divisée par 5 est 𝑑 = 1.58 𝑐𝑚.
Pour une fréquence 𝑓 = 10 𝐺𝐻𝑧, l’onde se propage à l’intérieur du guide. Les vitesses de phase et de
groupe sont :
𝑣𝜑 = 3.46 108 ms −1 , 𝑣𝑔 = 2.60 108 ms −1
5. A partir de l’équation de Maxwell Faraday, nous avons :
𝑘 𝜋𝑦 𝑖𝜋 𝜋𝑦
𝐵ሬ⃗ = 𝐸0 [ cos ( ) 𝑒⃗𝑦 + sin ( ) 𝑒⃗𝑧 ] exp[𝑖ሺ𝜔𝑡 − 𝑘𝑧ሻ]
𝜔 𝑏 𝜔𝑏 𝑏
En notation réelle :
𝑘 𝜋𝑦 𝜋 𝜋𝑦
ሬ⃗ = 𝐸0 [ cos ( ) cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘𝑧ሻ 𝑒⃗𝑦 −
𝐵 sin ( ) sinሺ𝜔𝑡 − 𝑘𝑧ሻ 𝑒⃗𝑧 ]
𝜔 𝑏 𝜔𝑏 𝑏
Nous constatons que le champ est transverse électrique et non transverse magnétique.
6. En utilisant la définition du vecteur de Poynting
ℛሬ⃗ =
𝜇0
On trouve :
𝐸02 𝑘 𝜋𝑦
ሬ⃗
ℛ= [ cos 2 ( ) cos2 ሺ𝜔𝑡 − 𝑘𝑧ሻ 𝑒⃗𝑧
𝜇0 𝜔 𝑏
𝜋 𝜋𝑦 𝜋𝑦
+ cos ( ) sin ( ) sinሺ𝜔𝑡 − 𝑘𝑧ሻ sinሺ𝜔𝑡 − 𝑘𝑧ሻ 𝑒⃗𝑦 ]
𝜔𝑏 𝑏 𝑏
203
N. MAGHLAOUI
La valeur moyenne temporelle est :
𝐸02 𝑘 𝜋𝑦
ሬ⃗ 〉𝑡 =
〈ℛ cos 2 ( ) 𝑒⃗𝑧
2𝜇0 𝜔 𝑏
La valeur moyenne spatio temporell est :
𝐸02
ሬ⃗ 〉𝑡,𝑦 =
〈ℛ 𝑒⃗
4𝜇0 𝑣𝜑 𝑧
7. La densité d’énergie électromagnétique 𝜔𝐸𝑀 est :
1 𝐵2
𝜔𝐸𝑀 = (𝜀0 𝐸 2 + )
2 𝜇0
d’où :
1 2
〈𝐵 2 〉𝑡,𝑦
〈𝜔𝐸𝑀 〉𝑡,𝑦 = (𝜀0 〈𝐸 〉𝑡,𝑦 + )
2 𝜇0
Après calcul nous obtenons :
〈𝐸 2 〉𝑡,𝑦
〈𝜔𝐸𝑀 〉𝑡,𝑦 =
4𝜇0 𝑐 2
8. Nous avons :
ሬ⃗ 〉𝑡,𝑦 = 〈𝜔𝐸𝑀 〉𝑡,𝑦 𝑣𝑔 𝑒⃗𝑧
〈ℛ
On conclut que l’énergie électromagnétique en moyenne s’écoule dans le même sens que l’onde, avec
une vitesse 𝑣𝑔 . 𝑣𝑔 est donc la vitesse d’écoulement de l’énergie.
204
N. MAGHLAOUI
Problème 2
Le milieu interstellaire est un plasma extrêmement raréfié constitué de ne électrons par unité de volume
et de divers ions et molécules.
On considère une onde électromagnétique qui se propage dans ce milieu et donnée en notation complexe
Par :
𝐸ሬ⃗ = 𝐸0 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑧ሻ 𝑒⃗𝑥 , ሬ⃗ = 𝐵0 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑧ሻ 𝑒⃗𝑦
𝐵 (1)
Où 𝜔, 𝑘, 𝐸0 et 𝐵0 sont des constantes réelles et positives.
1. Ecrire les champs réels 𝐸ሬ⃗ et 𝐵 ሬ⃗.
2. Calculer le vecteur de Poynting du champ électromagnétique (1), au point 𝑀 = ሺ𝑥, 𝑦, 𝑧ሻ et à l’instant
t, en fonction de 𝐸0 , 𝐵0, 𝜔, 𝑘, 𝑐 et 𝜀0 .
3. Ecrire les équations de Maxwell dans le vide.
Sachant que le champ électromagnétique (1) vérifie ces équations de Maxwell, en déduire :
a. La densité de charge électrique 𝜌ሺ𝑀, 𝑡ሻ dans le milieu.
b. La valeur de 𝐵0 en fonction de 𝜔, 𝑘 et 𝐸0 .
c. que la densité de courant 𝑗⃗ሺ𝑀, 𝑡ሻ dans le milieu s’écrit en notation complexe :
𝑗⃗ = 𝜎𝐸ሬ⃗ (2)
où 𝜎 est un nombre complexe que l’on exprimera en fonction de 𝜔, 𝑘, 𝑐 et 𝜀0 .
4. On note 𝑣⃗ሺ𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡ሻ = 𝑣𝑥 𝑒⃗𝑥 + 𝑣𝑦 𝑒⃗𝑦 + 𝑣𝑧 𝑒⃗𝑧 le champ de vitesse des électrons du milieu. On fait
l’hypothèse que les électrons ont un mouvement oscillatoire parallèle à l’axe Ox et que leur champ de
vitesse ne dépend ni de x ni de y. On écrira donc, en notation complexe :
𝑣⃗ሺ𝑧, 𝑡ሻ = 𝑣0 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑧ሻ 𝑒⃗𝑥 (3)
où 𝑣0 est une constante complexe.
On utilisera dans la suite l’équation suivante :
𝜕𝑣⃗
𝑚 = −𝑒𝐸ሬ⃗ (4)
𝜕𝑡
Cette équation est l’équation du mouvement d’un électron (masse m, charge −e) soumis à la force
électrique 𝐹⃗𝑒 = −𝑒𝐸ሬ⃗ . On a écrit, pour l’accélération de l’électron :
𝑑𝑣⃗ 𝜕𝑣⃗ 𝜕𝑣⃗ 𝜕𝑣⃗ 𝜕𝑣⃗ 𝜕𝑣⃗
= + 𝑣𝑥 + 𝑣𝑦 + 𝑣𝑧 = (5)
𝑑𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑡
Ce qui est exact pour le champ de vitesse (3).
a. En réalité, l’électron subit également une force magnétique 𝐹⃗𝑚 due au champ 𝐵
ሬ⃗ de l’onde. Quelle
est l’expression de 𝐹⃗𝑚 ?
b. Quelle condition la constante 𝑣0 doit-elle satisfaire pour que la force magnétique 𝐹⃗𝑚 soit
négligeable par rapport à la force électrique 𝐹⃗𝑒 ?
c. En utilisant l’équation (4), déterminer 𝑣0 en fonction de 𝑚, 𝜔, 𝑒 et 𝐸0 .
205
N. MAGHLAOUI
5. La densité de courant est due au mouvement des électrons :
𝑗⃗ = −𝑛𝑒 𝑒𝑣⃗ (6)
a. Justifier cette affirmation : on expliquera l’équation (6) et pourquoi on peut négliger les courants
dus aux ions.
b. En utilisant l’équation (6), exprimer 𝑗⃗ en fonction de 𝑛𝑒 , 𝑒, 𝑚, 𝜔 et 𝐸ሬ⃗ .
6. a. Montrer que l’onde étudiée vérifie une relation de dispersion de la forme :
𝜔2 = 𝑘 2 𝑐 2 + 𝜔𝑝2 (7)
et exprimer la valeur de 𝜔𝑝 en fonction de 𝑛𝑒 , 𝑒, 𝑚 et 𝜀0 .
b. Que pouvez vous dire de l’onde pour 0 < 𝜔 < 𝜔𝑝 ?
Application numérique : On mesure 𝜔𝑝 = 104 𝑠 −1 . Calculer 𝑛𝑒 .
7. Calculer la vitesse de phase vφ et la vitesse de groupe vg de l’onde dans le milieu en fonction de c, ωp
et ω.
- Donner une valeur numérique de ω qui correspond à la lumière visible rouge sachant que sa
longueur d’onde est : 𝜆𝑅 = 8 10−7 𝑚.
- Calculer numériquement les vitesses vg et vφ pour cette lumière (rouge).
8. Un pulsar situé à la distance L nous envoie des impulsions électromagnétiques d’environ 50
millisecondes et se répétant à une période voisine de la seconde. Chaque impulsion est une
superposition d’ondes du type (1) pour diverses fréquences. A l’émission d’une impulsion par le
pulsar, ces diverses ondes sont émises simultanément quelle que soit leur fréquence. Mais, sur Terre,
après propagation à la vitesse de groupe vg dans le plasma interstellaire, il y a un retard entre les temps
d’arrivée des différentes fréquences.
Exprimer le retard δt entre les temps d’arrivée des composantes de fréquences 𝑓1 et 𝑓2 ሺ𝑓1 < 𝑓2 ሻ. On
supposera que ne est constant sur le trajet de l’onde et on simplifiera l’expression en tenant compte du
fait que 𝑓1 ≫ 𝜔𝑝 et 𝑓2 ≫ 𝜔𝑝 . On donnera δt en fonction de c, 𝜔𝑝 , 𝑓1 , 𝑓2 et L.
Quelle est la composante qui arrive en premier?
On mesure un retard 𝛿𝑡 = 0.11 s pour les fréquences 𝑓1 = 400 𝑀𝐻𝑧 et 𝑓2 = 500 𝑀𝐻𝑧.
En déduire la distance L en parsecs ሺ1𝑝𝑐 = 3.09 1016 𝑚ሻ.
Le pulsar est-il dans notre galaxie ? Notre galaxie a un diamètre de 30 kpc.
206
N. MAGHLAOUI
Solution
1. Les champs réels sont :
𝐸ሬ⃗ = 𝐸0 cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘𝑧ሻ 𝑒⃗𝑥 , ሬ⃗ = 𝐵0 cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘𝑧ሻ 𝑒⃗𝑦
𝐵
2. Le vecteur de Poynting est :
𝐸ሬ⃗ × 𝐵ሬ⃗ 𝐸0 𝐵0
ℛሬ⃗ = = [cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘𝑧ሻ]2 𝑒⃗𝑧 = 𝜀0 𝑐 2 𝐸0 𝐵0 [𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔𝑡 − 𝑘𝑧ሻ]2 𝑒⃗𝑧
𝜇0 𝜇0
Les équations de Maxwell dans le vide s’écrivent :
𝜌
𝛻ሬ⃗ 𝐸ሬ⃗ =
𝜀0
𝛻ሬ⃗𝐵 ሬ⃗ = 0
ሬ⃗
𝜕𝐵
𝛻ሬ⃗ × 𝐸ሬ⃗ = −
𝜕𝑡
𝜕𝐸ሬ⃗
𝛻ሬ⃗ × 𝐵
ሬ⃗ = 𝜇0 𝑗⃗ + 𝜀0 𝜇0
𝜕𝑡
3. Pour le champ électromagnétique décrit en (1) :
𝛻ሬ⃗ ∙ 𝐸ሬ⃗ = 0, 𝛻ሬ⃗ ∙ 𝐵ሬ⃗ = 0
𝛻ሬ⃗ × 𝐸ሬ⃗ = −𝑖𝑘𝐸0 cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘𝑧ሻ 𝑒⃗𝑦 , 𝛻ሬ⃗ × 𝐵ሬ⃗ = 𝑖𝑘𝐵0 cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘𝑧ሻ 𝑒⃗𝑥
𝜕𝐵ሬ⃗ 𝜕𝐸ሬ⃗
= 𝑖𝜔𝐵ሬ⃗ , = 𝑖𝜔𝐸ሬ⃗
𝜕𝑡 𝜕𝑡
a. En utilisant le théorème de Gauss
𝛻ሬ⃗ ∙ 𝐸ሬ⃗ = 0 ⟹ 𝜌 = 0.
b. D’après le théorème de Maxwell Faraday :
ሬ⃗
𝜕𝐵 𝑘
𝛻ሬ⃗ × 𝐸ሬ⃗ = − ⟹ 𝐵0 = 𝐸0
𝜕𝑡 𝜔
c. A partir du théorème de Maxwell Ampère :
𝜕𝐸ሬ⃗ 𝑖𝜔
𝛻ሬ⃗ × 𝐵
ሬ⃗ = 𝜇0 𝑗⃗ + 𝜀0 𝜇0 ⟹ 𝑖𝑘𝐵0 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔𝑡 − 𝑘𝑧ሻ 𝑒⃗𝑥 = 𝜇0 𝑗⃗ + 2 𝐸0 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔𝑡 − 𝑘𝑧ሻ 𝑒⃗𝑥
𝜕𝑡 𝑐
En utilisant le résultat de la question 3.b. on trouve :
𝑘 2 𝑐 2 − 𝜔2
𝑗⃗ = 𝑖𝜀0 ( ) 𝐸ሬ⃗
𝜔
d’où : 𝑗⃗ = 𝜎𝐸ሬ⃗
avec :
𝑘 2 𝑐 2 − 𝜔2
𝜎 = 𝑖𝜀0 ( )
𝜔
4. a . L’expression de la force magnétique 𝐹⃗𝑚 :
𝐹⃗𝑚 = −𝑒(𝑣⃗ × 𝐵ሬ⃗ ) = −𝑒𝑣𝐵𝑒⃗𝑧
𝑣⃗ሺ𝑧, 𝑡ሻ = |𝑣0 | cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘𝑧 + 𝜑ሻ 𝑒⃗𝑥 , ሬ⃗ = 𝐵0 cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘𝑧ሻ 𝑒⃗𝑦
𝐵
ce qui donne :
𝐹⃗𝑚 = −𝑒|𝑣0 |𝐵0 cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘𝑧 + 𝜑ሻ cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘𝑧ሻ 𝑒⃗𝑧
b . L’ordre de grandeur de la force magnétique :
|𝐹⃗𝑚 | = 𝑒|𝑣0 |𝐵0
207
N. MAGHLAOUI
L’ordre de grandeur du champ électrique :
|𝐹⃗𝑒 | = 𝑒𝐸0
On pourra négliger la force magnétique si le rapport :
|𝐹⃗𝑚 | |𝑣0 |𝐵0 |𝑣0 |
= =
|𝐹⃗𝑒 | 𝐸0 𝑣𝜑
est très petit par rapport à 1. La condition est donc |𝑣0 | ≪ 𝑣𝜑 .
On peut aussi écrire la condition |𝑣0 | ≪ 𝑐 qui signifie que les électrons sont non relativistes.
c . En portant les expressions (1) et (3) dans (4) :
𝑖𝑚𝜔𝑣0 = −𝑒𝐸0
on a donc :
−𝑒
𝑣0 = 𝐸
𝑖𝑚𝜔 0
5. a . L’équation (6) donne la densité de courant d’une classe de particules (les électrons) de vitesse 𝑣⃗.
Le mouvement de l’ion de masse M s’obtient par la même méthode que pour un électron.
On vient de montrer que l’amplitude de la vitesse d’un électron est :
−𝑒
𝑣0 = 𝐸
𝑖𝑚𝜔 0
Celle de l’ion est :
𝑒
𝑉= 𝐸
𝑖𝑀𝜔 0
Le rapport
|𝑉| 𝑚
= ≪1
|𝑣0 | 𝑀
Les charges volumiques des électrons et des ions étant de même ordre de grandeur (le milieu est
neutre), les courants dus aux ions sont négligeables par rapport courants dus aux électrons. Tout se
passe comme si les ions étaient immobiles.
b . La densité de courant est :
𝑛𝑒 𝑒 2
𝑗⃗ = −𝑛𝑒 𝑒𝑣⃗ = 𝐸ሬ⃗
𝑖𝑚𝜔
6. a . En comparant 3. c. avec 5. b. :
𝑘 2 𝑐 2 − 𝜔2 𝑛𝑒 𝑒 2
𝜎 = 𝑖𝜀0 ( ) = −𝑖
𝜔 𝑚𝜔
Ce qui nous permet d’obtenir la relation suivante :
𝜔2 = 𝑘 2 𝑐 2 + 𝜔𝑝2
où :
𝑛𝑒 𝑒 2
𝜔𝑝 = √
𝑚𝜀0
b . Pour 0 < 𝜔 < 𝜔𝑝 , cette relation donne :
√𝜔𝑝2 − 𝜔 2
𝑘 = ±𝑖
𝑐
L’onde ne se propage pas (onde évanescente).
Application numérique : 𝑛𝑒 = 3.15 104 m−3 .
208
N. MAGHLAOUI
7. Les vitesses de phase et de groupe sont respectivement :
𝜔 𝑐
𝑣𝜑 = =
𝑘 𝜔2
√1 − 𝑝2
𝜔
et :
𝑑𝜔 𝜔𝑝2
𝑣𝑔 = = 𝑐 √1 − 2
𝑑𝑘 𝜔
2𝜋𝑐
𝜔= = 2.3 1015 s −1
𝜆𝑅
on a donc : 𝜔 ≫ 𝜔𝑝 et donc : 𝑣𝜑 ≈ 𝑣𝑔 ≈ 3 108 ms −1 .
8. La composante de fréquence 𝑓 met pour arriver jusqu’à nous le temps :
1
−
𝐿 𝐿 𝜔𝑝2 2
𝑡ሺ𝑓ሻ = = [1 − 2 ]
𝑣𝑔 𝑐 𝜔
Dans le cas des hautes fréquences (𝜔 ≫ 𝜔𝑝 ):
𝐿 1 𝜔𝑝2 𝐿 𝜔𝑝2
𝑡ሺ𝑓ሻ ≈ [1 + ] = [1 + 2 2 ]
𝑐 2 𝜔2 𝑐 8𝜋 𝑓
La composante de plus haute fréquence 𝑓2 arrive en premier.
le retard δt est :
δt = 𝑡1 − 𝑡2 .
𝑡1 représente le temps d’arrivée de la composante de fréquence 𝑓1 .
𝑡2 représente temps d’arrivée de la composante de fréquence 𝑓2 .
𝐿𝜔𝑝2 1 1
δt = 2 [ 2 − 2 ]
8𝜋 𝑐 𝑓1 𝑓2
L = 1.2 1019 m = 375 pc
Le pulsar est dans notre galaxie.
209
N. MAGHLAOUI
Exercice 10
Deux ondes électromagnétiques planes progressives monochromatiques, polarisées rectilignement, se
propagent dans le vide, dans le même sens (sens du vecteur unitaire 𝑒⃗).
A l’endroit où on se trouve les deux champs s’écrivent sous la forme suivante :
𝐸ሬ⃗ ሺ𝑟⃗, 𝑡ሻ = 𝐸ሬ⃗01 cosሺ𝜔1 𝑡ሻ
{ 1 (1)
𝐸ሬ⃗2 ሺ𝑟⃗, 𝑡ሻ = 𝐸ሬ⃗02 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑ሻ
1. Calculer les champs magnétiques 𝐵 ሬ⃗1 et 𝐵
ሬ⃗2 associés respectivement aux champs 𝐸ሬ⃗1 et 𝐸ሬ⃗2 en fonction
du vecteur unitaire 𝑒⃗, de 𝐸ሬ⃗01 , 𝐸ሬ⃗02 et de c (𝜌 = 0, 𝑗⃗ = ሬ0⃗).
2. Calculer les valeurs moyennes des vecteurs de Poynting 〈ℛ ሬ⃗1 〉 et 〈ℛ
ሬ⃗2 〉 associés respectivement aux
champs électromagnétiques (𝐸ሬ⃗1 , 𝐵
ሬ⃗1 ) et (𝐸ሬ⃗2 , 𝐵
ሬ⃗2 ), en fonction de 𝜇0 , 𝑐, 𝐸01 , 𝐸02 et 𝑒⃗.
3. Calculer l’onde résultante 𝐸ሬ⃗ = 𝐸ሬ⃗1 + 𝐸ሬ⃗2 et 𝐵
ሬ⃗ = 𝐵ሬ⃗1 + 𝐵 ሬ⃗2 ainsi que le vecteur de Poynting 〈ℛ
ሬ⃗ 〉 associé
à cette onde en fonction de de 𝜇0 , 𝑐, 𝐸01 , 𝐸02 , 𝐸ሬ⃗01, 𝐸ሬ⃗02 et 𝑒⃗.
ሬ⃗ 〉 ≠ 〈ℛ
Quand a-t-on : 〈ℛ ሬ⃗1 〉 + 〈ℛሬ⃗2 〉.
On donne :
𝐴⃗ × (𝐵 ሬ⃗ × 𝐶⃗) = 𝐵
ሬ⃗ ∙ (𝐴⃗ ∙ 𝐶⃗) − 𝐶⃗ ∙ (𝐴⃗ ∙ 𝐵
ሬ⃗ )
Solution
1. Dans le cas d’une onde plane :
1 1
ሬ⃗1 = (𝑒⃗ × 𝐸ሬ⃗1 )
𝐵 ሬ⃗1 = (𝑒⃗ × 𝐸ሬ⃗01 ) cosሺ𝜔1 𝑡ሻ
𝐵
{ 𝑐 ⟹{ 𝑐
1 1
ሬ⃗2 = (𝑒⃗ × 𝐸ሬ⃗2 )
𝐵 ሬ⃗2 = (𝑒⃗ × 𝐸ሬ⃗02 ) cosሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑ሻ
𝐵
𝑐 𝑐
2. Les vecteurs de Poynting associés à ces ondes sont :

1 1
ሬ⃗1 = (𝐸ሬ⃗1 × 𝐵
ℛ ሬ⃗1 ) ℛሬ⃗1 = 𝐸ሬ⃗ × (𝑒⃗ × 𝐸ሬ⃗01 )[cosሺ𝜔1 𝑡ሻ]2
𝜇0 𝜇0 𝑐 01
⟹
1 1
ሬ⃗ ሬ⃗
ℛ2 = (𝐸2 × 𝐵2 ) ሬ⃗ ሬ⃗2 =
ℛ 𝐸ሬ⃗ × (𝑒⃗ × 𝐸ሬ⃗02 )[cosሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑ሻ]2
{ 𝜇0 { 𝜇0 𝑐 02
En utilisant l’identité 𝐴⃗ × (𝐵 ሬ⃗ × 𝐶⃗) = 𝐵
ሬ⃗ ∙ (𝐴⃗ ∙ 𝐶⃗) − 𝐶⃗ ∙ (𝐴⃗ ∙ 𝐵
ሬ⃗ ) et sachant que 𝑒⃗ est perpendiculaire
aux champs 𝐸ሬ⃗1 et 𝐸ሬ⃗2 , nous trouvons :
2
𝐸01
ሬ⃗1 =
ℛ [cosሺ𝜔1 𝑡ሻ]2 𝑒⃗
𝜇0 𝑐
𝐸2
ሬ⃗2 = 02 [cosሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑ሻ]2 𝑒⃗
ℛ
{ 𝜇0 𝑐
Les valeurs moyennes des vecteurs de Poynting sont :
𝐸2
ሬ⃗1 〉 = 01 𝑒⃗
〈ℛ
2𝜇0 𝑐
2
𝐸02
ሬ⃗
〈ℛ2 〉 = 𝑒⃗
{ 2𝜇0 𝑐
3. Le champ électromagnétique résultant est :
210
N. MAGHLAOUI
𝐸ሬ⃗ = 𝐸ሬ⃗1 + 𝐸ሬ⃗2 = 𝐸ሬ⃗01 cosሺ𝜔1 𝑡ሻ + 𝐸ሬ⃗02 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑ሻ
{ 1
ሬ⃗ = 𝐵
𝐵 ሬ⃗1 + 𝐵 ሬ⃗2 = [(𝑒⃗ × 𝐸ሬ⃗01 ) 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔1 𝑡ሻ + (𝑒⃗ × 𝐸ሬ⃗02 ) 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑ሻ]
𝑐
Le vecteur de Poynting associé à ce champ est :
1 1
ሬ⃗ = (𝐸ሬ⃗ × 𝐵
ℛ ሬ⃗ ) = [(𝐸ሬ⃗1 + 𝐸ሬ⃗2 ) × (𝐵 ሬ⃗1 + 𝐵ሬ⃗2 )]
𝜇0 𝜇0
1
= [(𝐸ሬ⃗1 × 𝐵 ሬ⃗1 ) + (𝐸ሬ⃗2 × 𝐵
ሬ⃗2 ) + (𝐸ሬ⃗1 × 𝐵ሬ⃗2 ) + (𝐸ሬ⃗2 × 𝐵ሬ⃗1 )]
𝜇0
Les deux premiers termes, non mixte, sont définies comme ℛ ሬ⃗1 = 𝐸ሬ⃗1 × 𝐵 ሬ⃗1 et ℛ
ሬ⃗2 = 𝐸ሬ⃗2 × 𝐵
ሬ⃗2
Les termes mixtes 𝐸ሬ⃗1 × 𝐵 ሬ⃗2 et 𝐸ሬ⃗2 × 𝐵ሬ⃗1 donnent :
1
𝐸ሬ⃗1 × 𝐵 ሬ⃗2 = [𝐸ሬ⃗01 × (𝑒⃗ × 𝐸ሬ⃗02 )] cosሺ𝜔1 𝑡ሻ cosሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑ሻ
𝑐
1
= (𝐸ሬ⃗01 ∙ 𝐸ሬ⃗02 ) cosሺ𝜔1 𝑡ሻ cosሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑ሻ 𝑒⃗
𝑐
et :
1
𝐸ሬ⃗2 × 𝐵 ሬ⃗1 = [𝐸ሬ⃗02 × (𝑒⃗ × 𝐸ሬ⃗01 )] cosሺ𝜔1 𝑡ሻ cosሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑ሻ
𝑐
1
= (𝐸ሬ⃗02 ∙ 𝐸ሬ⃗01 ) cosሺ𝜔1 𝑡ሻ cosሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑ሻ 𝑒⃗
𝑐
En remplaçant dans l’expression de ℛ ሬ⃗ :
1
ℛሬ⃗ = ℛ
ሬ⃗1 + ℛ
ሬ⃗2 + [(𝐸ሬ⃗01 ∙ 𝐸ሬ⃗02 ) 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔1 𝑡ሻ 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑ሻ + (𝐸ሬ⃗02 ∙ 𝐸ሬ⃗01 ) 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔1 𝑡ሻ 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑ሻ]𝑒⃗
𝜇0 𝑐
La valeur moyenne du vecteur de Poynting est :
〈ℛሬ⃗ 〉 = 〈ℛ ሬ⃗1 〉 + 〈ℛ ሬ⃗2 〉
1
+ [(𝐸ሬ⃗01 ∙ 𝐸ሬ⃗02 )〈𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔1 𝑡ሻ 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑ሻ〉
𝜇0 𝑐
+ (𝐸ሬ⃗02 ∙ 𝐸ሬ⃗01 )〈𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔1 𝑡ሻ 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑ሻ〉]𝑒⃗
Pour que 〈ℛሬ⃗ 〉 = 〈ℛ
ሬ⃗1 〉 + 〈ℛ
ሬ⃗2 〉, il faut satisfaire à l’une des conditions suivantes :
• 𝐸ሬ⃗01 perpendiculaire à 𝐸ሬ⃗02 (𝐸ሬ⃗01 ⊥ 𝐸ሬ⃗02 ).
ou
𝜔1 différent de 𝜔2 ሺ𝜔1 ≠ 𝜔2 ሻ.
211
N. MAGHLAOUI
Exercice 11
1. Rappeler les équations de passage à la surface de séparation entre deux diélectriques parfaits et non
chargés.
2. On considère une OEM plane harmonique se propageant dans un milieu isotrope et homogène, non
magnétique (perméabilité magnétique 𝜇0 ) d’indice de réfraction 𝑛 réel.
Déterminer la relation entre les amplitudes 𝐸0 et 𝐵0 des vecteurs 𝐸ሬ⃗ et 𝐵
ሬ⃗.
3. Le champ électrique s’écrit sur un plan de référence d’équation 𝑧 = 0 :
𝐸ሬ⃗ = 𝐸0 cosሺ𝜔𝑡 − 𝜑ሻ 𝑒⃗
𝑒⃗ Étant un vecteur unitaire. Donner l’expression de ce champ en un point 𝑀 de position 𝑧. Comment
s’écrit alors le champ magnétique associé ? Quelle est la relation entre la longueur d’onde dans le
diélectrique 𝜆 et la longueur d’onde dans le vide 𝜆0 ?
On considère une couche diélectrique d’indice de réfraction 𝑛1 et d’épaisseur 𝑑 séparant deux milieux
diélectriques d’indices de réfractions 𝑛 et 𝑛𝑠 (Figure 3). Ces différents milieux sont isotropes,
homogènes, transparents et non magnétiques.
On définit le plan 𝑥𝑂𝑦 par la surface séparant la couche et le milieu supérieur (d’indice 𝑛), et l’axe
𝑂𝑧 orienté de celui-ci et vers cette couche. Une onde plane sinusoïdale, de longueur d’onde dans le
vide 𝜆0 et de polarisation rectiligne parallèle à 𝑥′𝑥, se propage dans le milieu supérieur et atteint la
couche diélectrique en incidence normale (Figure 3).
Les champs des différentes ondes sont notés de la manière suivante :
𝐸ሬ⃗𝑖 et 𝐵
ሬ⃗𝑖 pour l’onde progressive se propageant dans le milieu supérieur.
𝐸ሬ⃗𝑟 et 𝐵
ሬ⃗𝑟 pour l’onde régressive se propageant dans le milieu supérieur.
𝐸ሬ⃗𝑡 et 𝐵
ሬ⃗𝑡 pour l’onde progressive se propageant dans la couche intermédiaire.
𝐸ሬ⃗𝑑 et 𝐵ሬ⃗𝑑 pour l’onde régressive se propageant dans la couche intermédiaire.
𝐸ሬ⃗𝑠 et 𝐵
ሬ⃗𝑠 pour l’onde transmise dans le milieu inférieur.
z’
ሬ⃗𝑖 ሬ⃗𝑟
𝑘
Milieu 1 𝐵 𝐸ሬ⃗𝑖
ሬ⃗𝑖 𝐸ሬ⃗𝑟 ሬ⃗𝑟
𝐵 𝑛
𝑘
O
y y’
ሬ⃗𝑡 ሬ⃗𝑑
𝑘
𝐵 𝐸ሬ⃗𝑡
Milieu 2 𝑑 𝑛1
ሬ⃗𝑡 𝐸ሬ⃗𝑑 ሬ⃗𝑑
𝐵
𝑘
ሬ⃗𝑠
𝐵
Milieu 3 𝐸ሬ⃗𝑠 𝑛𝑠
ሬ⃗𝑠
𝑘 z
Figure 3
212
N. MAGHLAOUI
On sait que les directions de polarisation ne sont pas changées au cours d’une réflexion transmission.
a. Ecrire les différents champs en notation complexe à l’aide des amplitudes électriques 𝐸0𝑖 , 𝐸0𝑟 , 𝐸0𝑡 ,
𝐸0𝑑 et 𝐸0𝑠 , indicées de la même manière que les champs correspondants.
b. Donner les quatre équations traduisant les conditions de continuité du champ électromagnétique sur
les limites de la couche en 𝑧 = 0 puis en 𝑧 = 𝑑.
c. Déterminer enfin 𝐸0𝑟 et 𝐸0𝑠 en fonction de 𝐸0𝑖 et des indices des milieux.
En déduire le rapport |𝐸0𝑠 |2 ⁄|𝐸0𝑖 |2 .
d. On introduit en réalité la couche de diélectrique entre deux milieux d’indices quelconques dans le but
d’améliorer la transmission de l’onde d’un milieu à l’autre. Montrer que, si l’épaisseur et l’indice de
réfraction de la couche sont bien choisis, il est possible de supprimer totalement l’onde réfléchie dans
le milieu supérieur.
e. Calculer alors le facteur énergétique de transmission entre les deux milieux. Est-il plus élevé qu’en
l’absence de couche intermédiaire ?
f. Quelles pourraient être les applications pratiques de ceci ?
Solution
1. Les équations de passage sont :
ሬ⃗2𝑁 − 𝐷
𝐷 ሬ⃗1𝑁 = ሬ0⃗ ⟹ 𝜀2 𝐸ሬ⃗2𝑁 − 𝜀1 𝐸ሬ⃗1𝑁 = ሬ0⃗ (1)
𝐵ሬ⃗2𝑁 − 𝐵 ሬ⃗1𝑁 = ሬ0⃗ (2)
𝐸ሬ⃗2𝑇 − 𝐸ሬ⃗1𝑇 = ሬ0⃗ (3)
ሬ𝐻⃗2𝑇 − 𝐻ሬ⃗1𝑇 = ሬ0⃗ ⟹ 𝐵 ሬ⃗2𝑇 − 𝐵ሬ⃗1𝑇 = ሬ0⃗ (4)
où 𝜀1 𝜀2 sont respectivement les permittivités des deux diélectrique.
Les indices N et T indiquent respectivement les composantes normale et tangentielle du champ.
Les indices 1 et 2 indiquent respectivement les milieux diélectriques 1 et 2.
2. La relation entre les deux amplitudes :
Dans le cas d’onde plane et en absence de toute charge et de tout courant, nous avons :
ሬ⃗ × 𝐸ሬ⃗
𝑘
ሬ⃗ =
𝐵
𝜔
Ce qui donne :
𝑘 𝐸0 𝑛𝐸0
𝐵0 = 𝐸0 = =
𝜔 𝑣𝜑 𝑐
𝑐 représente la vitesse de propagation de l’onde dans le vide.
𝑛 représente l’indice de réfraction du diélectrique.
3. Le champ électrique en un point 𝑧 est :
𝐸ሬ⃗ = 𝐸0 cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘± 𝑧 − 𝜑ሻ 𝑒⃗
𝑘± représente le vecteur d’onde dans le cas d’une onde progressive où régressive.
𝑘± = ±𝑘𝑒⃗𝑧
Le champ magnétique 𝐵 ሬ⃗ est :
𝑛𝐸
ሬ⃗ = ± 0 cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘± 𝑧 − 𝜑ሻ ሺ𝑒⃗𝑧 × 𝑒⃗ሻ
𝐵
𝑐
𝜔
𝑘=
𝑣𝜑
𝑣𝜑 est la vitesse de phase de l’onde.
La relation entre 𝜆0 et 𝜆 est :
213
N. MAGHLAOUI
𝑐 𝜆0
𝑛= =
𝑣𝜑 𝜆
a. Les expressions des différents champs :
Dans la couche supérieure d’indice 𝑛 :
𝐸0𝑖 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑧ሻ
𝐸ሬ⃗𝑖 = 𝐸0𝑖 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑧ሻ 𝑒⃗𝑥 , ሬ⃗𝑖 = 𝑛
𝐵 𝑒 𝑒⃗𝑦
{ 𝑐 (5)
𝐸
𝐸ሬ⃗𝑟 = 𝐸0𝑟 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡+𝑘𝑧ሻ
𝑒⃗𝑥 , ሬ⃗𝑟 = −𝑛 0𝑟 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡+𝑘𝑧ሻ 𝑒⃗𝑦
𝐵
𝑐
Dans la couche intermédiaire d’indice 𝑛1 :
𝐸0𝑡 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘 𝑧ሻ
𝐸ሬ⃗𝑡 = 𝐸0𝑡 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑑 𝑧ሻ 𝑒⃗𝑥 , ሬ⃗𝑡 = 𝑛1
𝐵 𝑒 𝑑 𝑒⃗𝑦
{ 𝑐 (6)
𝐸
𝐸ሬ⃗𝑑 = 𝐸0𝑑 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡+𝑘𝑑 𝑧ሻ
𝑒⃗𝑥 , ሬ⃗𝑑 = −𝑛1 0𝑑 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡+𝑘𝑑 𝑧ሻ 𝑒⃗𝑦
𝐵
𝑐
Dans la couche du bas d’indice 𝑛𝑠 :
𝐸0𝑠 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘 𝑧ሻ
𝐸ሬ⃗𝑠 = 𝐸0𝑠 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑠 𝑧ሻ 𝑒⃗𝑥 , 𝐵
ሬ⃗𝑠 = 𝑛𝑠 𝑒 𝑠 𝑒 ⃗𝑦 (7)
𝑐
b. Les différents champs sont tangentiels :
𝐸ሬ⃗ ሺ0, 𝑡ሻ + 𝐸ሬ⃗𝑟 ሺ0, 𝑡ሻ = 𝐸ሬ⃗𝑡 ሺ0, 𝑡ሻ + 𝐸ሬ⃗𝑑 ሺ0, 𝑡ሻ 𝐸 + 𝐸0𝑟 = 𝐸0𝑡 + 𝐸0𝑑
{ 𝑖 ⟹ { 0𝑖 (8)
ሬ⃗𝑖 ሺ0, 𝑡ሻ + 𝐵
𝐵 ሬ⃗𝑟 ሺ0, 𝑡ሻ = 𝐵ሬ⃗𝑡 ሺ0, 𝑡ሻ + 𝐵ሬ⃗𝑑 ሺ0, 𝑡ሻ 𝑛ሺ𝐸0𝑖 − 𝐸0𝑟 ሻ = 𝑛1 ሺ𝐸0𝑡 − 𝐸0𝑑 ሻ
𝐸ሬ⃗𝑡 ሺ𝑑, 𝑡ሻ + 𝐸ሬ⃗𝑑 ሺ𝑑, 𝑡ሻ = 𝐸ሬ⃗𝑠 ሺ𝑑, 𝑡ሻ 𝐸0𝑡 𝑒 𝑑 + 𝐸0𝑑 𝑒 𝑖𝑘𝑑 𝑑 = 𝐸0𝑠 𝑒 −𝑖𝑘𝑠 𝑑
−𝑖𝑘 𝑑
{ ⟹{ (9)
𝐵ሬ⃗𝑡 ሺ𝑑, 𝑡ሻ + 𝐵ሬ⃗𝑑 ሺ𝑑, 𝑡ሻ = 𝐵 ሬ⃗𝑠 ሺ𝑑, 𝑡ሻ 𝑛1 (𝐸0𝑡 𝑒 −𝑖𝑘𝑑 𝑑 − 𝐸0𝑑 𝑒 𝑖𝑘𝑑 𝑑 ) = 𝑛𝑠 𝐸0𝑠 𝑒 −𝑖𝑘𝑠 𝑑
c. A partir des équations (8) et (9) :

𝐴𝐷𝑒 −2𝑖𝑘𝑑 𝑑 − 𝐵𝐶
𝐸0𝑟 = 𝐸
𝐴𝐶 − 𝐵𝐷𝑒 −2𝑖𝑘𝑑 𝑑 0𝑖
ሺ𝐴2 − 𝐵 2 ሻ
𝐸0𝑠 = 𝑒 𝑖ሺ𝑘𝑠 −𝑘𝑑 ሻ𝑑 𝐸
𝐴𝐶 − 𝐵𝐷𝑒 −2𝑖𝑘𝑑 𝑑 0𝑖
avec : 𝐴 = 𝑛 + 𝑛1 , 𝐵 = 𝑛1 − 𝑛, 𝐶 = 𝑛1 + 𝑛𝑠 , 𝐷 = 𝑛1 − 𝑛𝑠 .
Le rapport des modules au carré :
|𝐸0𝑠 |2 ሺ𝐴2 − 𝐵 2 ሻ2
=
|𝐸0𝑖 |2 [𝐴𝐶 − 𝐵𝐷 cosሺ2𝑘𝑑 𝑑ሻ]2 + [𝐵𝐷 sinሺ2𝑘𝑑 𝑑ሻ]2
d. Eliminer la réflexion revient à :
𝐸0𝑟 = 0 ⟹ 𝐴𝐷𝑒 −2𝑖𝑘𝑑 𝑑 − 𝐵𝐶 = 0
𝐴𝐷 cosሺ2𝑘𝑑 𝑑ሻ − 𝐵𝐶 − 𝑖𝐴𝐷 sinሺ2𝑘𝑑 𝑑ሻ = 0
Cela est possible si :
𝜆
sinሺ2𝑘𝑑 𝑑ሻ = 0 ⟹ 𝑑 = ሺ2𝑛 + 1ሻ
4
et : 𝐴𝐷 ± 𝐵𝐶 = 0
Après calcul nous obtenons la deuxième condition :
𝑛1 = √𝑛𝑛𝑠
e. Dans le cas où les conditions de la question précédente sont satisfaites :
|𝐸0𝑠 |2 ሺ𝐴2 − 𝐵 2 ሻ2
=
|𝐸0𝑖 |2 ሺ𝐴𝐶 + 𝐵𝐷ሻ2
214
N. MAGHLAOUI
Après calcul
|𝐸0𝑠 |2 𝑛
=
|𝐸0𝑖 | 2 𝑛𝑠
En absence de couche intermédiaire le coefficient de transmission en énergie devient :
|𝐸0𝑠 |2 4𝑛2
=
|𝐸0𝑖 |2 ሺ𝑛 + 𝑛𝑠 ሻ2
Il devient aisé de vérifier que la couche intermédiaire permet de croître le coefficient de réflexion.
f. Parmi les applications existantes des couches antireflets sont dans le domaine de l’optique.
215
N. MAGHLAOUI
Sujets de concours et Examens
corrigés
216
N. MAGHLAOUI
Examen Final, Janvier 2020 (USTHB)
Licence L2-ST
Durée 1h15
Exercice 1
Le système de la figure 1 montre une poulie de centre 𝑂, de moment d’inertie 𝐽0 , composée de deux
disques solidaires de rayons 𝑟1 et 𝑟2 . Au rayon 𝑟1 est attaché un amortisseur 𝛼. Au rayon 𝑟2 sont reliés une
masse 𝑀 et un ressort de constante de raideur 𝑘.
Le système a une fréquence propre 𝑓0 égale à 5 𝐻𝑧.
On donne : 𝑀 = 10 𝑘𝑔, 𝐽0 = 5 𝑘𝑔 𝑚2 , 𝑟1 = 10 𝑐𝑚 et 𝑟2 = 25 𝑐𝑚.
𝑟2 𝑘
𝑟1 𝑥
𝛼 Poulie d’inertie 𝐽0
Figure 1
1. Trouver l’équation du mouvement, régissant l’évolution de 𝑥ሺ𝑡ሻ, en fonction des données du

problème.
2. Quand on donne à la masse 𝑀 un déplacement initial, le système effectue des oscillations. L’amplitude
initiale est réduite de 80% après 10 période. Trouver la valeur du coefficient d’amortissement 𝛼 (On
supposera que l’amortissement est très faible).
3. Déterminer la solution de l’équation du mouvement, sachant que 𝑥ሺ0ሻ = 4 𝑐𝑚 et 𝑥̇ ሺ0ሻ = 0.
217
N. MAGHLAOUI
Exercice 2
Soit un système à un degré de liberté, composé d’une masse 𝑚, reliée à un bâti par l’intermédiaire d’un
ressort 𝑘 et un amortisseur de coefficient de frottement visqueux 𝛼. Ce système est soumis à une excitation
harmonique de sa base 𝑦ሺ𝑡ሻ = 𝑦0 𝑒 𝑗𝜔𝑡 , comme le montre la figure (Figure 2).
On donne : 𝑚 = 10 𝑘𝑔, 𝛼 = 20 𝑘𝑔 𝑠 −1 , 𝑘 = 4 103 𝑁 𝑚−1 , 𝑦0 = 0.05 𝑚 et 𝜔 = 5 𝑟𝑑/𝑠.
𝑥
m
𝛼 𝑘
Figure 2
1. Montrer que l’équation du mouvement s’écrit sous la forme :

𝑚𝑥̈ + 𝛼𝑥̇ + 𝑘𝑥 = ሺ𝑘 + 𝑗𝛼𝜔ሻ𝑦
2. Calculer la solution de de l’équation dans le régime permanent.
3. Calculer le rapport des amplitudes de la réponse permanente à celle du mouvement de la base 𝑦ሺ𝑡ሻ.
Exercice 3
Pour le système de la figure ci-dessous (Figure 3).
𝑘 𝑘0 𝑘
𝑚 𝑚
𝑥1 𝑥2
Figure 3
1. Ecrire les équations du mouvement des deux masses.

2. En utilisant les conditions initiales : 𝑥1 ሺ0ሻ = 𝑎, 𝑥2 ሺ0ሻ = 0, 𝑥̇ 1 ሺ0ሻ = 𝑥̇ 2 ሺ0ሻ = 0, déterminer les
réponses des deux masses en spécifiant les pulsations propres.
3. Ecrire les réponses des deux masses sous la forme de produits de cosinus et de sinus. En
𝑘0
introduisant un couplage lâche 𝐶 = , montrer qu’il existe des battements pour les deux masses et
𝑘
que celles-ci sont en quadrature de phase.
218
N. MAGHLAOUI
Solution
Exercice 1
1. Equation du mouvement
• Energie cinétique
1 1 𝐽0
𝑇= ሺ𝐽0 + 𝑚𝑟22 ሻ𝜃̇ 2 = ( 2 + 𝑚) 𝑥̇ 2
2 2 𝑟2
• Energie potentielle
1 2
𝑈= 𝑘𝑥
2
• Fonction de dissipation
1 2 2 1 𝑟12 2
𝐷 = 𝛼𝑟1 𝜃̇ = 𝛼 2 𝑥̇
2 2 𝑟2
L’équation du mouvement est :

𝐽0 𝑟12
( 2 + 𝑚) 𝑥̈ + 𝛼 2 𝑥̇ + 𝑘𝑥 = 0
𝑟2 𝑟2
𝑥̈ + 2𝛿𝑥̇ + 𝜔02 𝑥 = 0
Avec :
𝛼𝑟12 𝑘𝑟22
𝛿= , 𝜔 = √
2ሺ𝐽0 + 𝑚𝑟22 ሻ 0 ሺ𝐽0 + 𝑚𝑟22 ሻ
2. Calcul du coefficient de frottement 𝛼
1
𝐷= 𝑙𝑛ሺ5ሻ
10
𝐷 𝐷 𝛼𝑟12 2ሺ𝐽0 + 𝑚𝑟22 ሻ
𝛿= ≈ = ⟹𝛼= 𝐷𝑓0
𝑇𝑎 𝑇0 2ሺ𝐽0 + 𝑚𝑟22 ሻ 𝑟12
Nous obtenons :
𝛼 = 905.31 𝑘𝑔 𝑠 −1
3. La solution s’écrit :
𝑥ሺ𝑡ሻ = 𝐴 𝑒 −𝛿𝑡 cosሺ𝜔𝑎 𝑡 + 𝜑ሻ
Avec 𝜔𝑎 = √𝜔02 − 𝛿 2 ≈ 𝜔0 et 𝛿 = 0.8 𝑠 −1
Nous déduisons : 𝐴 = 𝑥0 = 0.04 𝑚 et 𝜑 = 0.
La solution devient :
𝑥ሺ𝑡ሻ = 𝐴 𝑒 −0.8𝑡 cosሺ31.41𝑡ሻ
219
N. MAGHLAOUI
Exercice 2
1
𝑈 = 𝑘ሺ𝑥 − 𝑦ሻ2
2
1
𝑇= 𝑚𝑥̇ 2
2
• Fonction de dissipation
1
𝐷 = 𝛼ሺ𝑥̇ − 𝑦̇ ሻ2
2
• Equation du mouvement
𝑚𝑥̈ + 𝛼ሺ𝑥̇ − 𝑦̇ ሻ + 𝑘ሺ𝑥 − 𝑦ሻ = 0 ⟹ 𝑚𝑥̈ + 𝛼𝑥̇ + 𝑘𝑥 = 𝑘𝑦 + 𝛼𝑦̇

2. La solution du régime permanent
L’équation du mouvement se met sous la forme :
𝑥̈ + 2𝛿𝑥̇ + 𝜔02 𝑥 = 𝜔02 𝑦 + 2𝛿𝑦̇
Avec :
𝛼 𝑘
𝛿= , 𝜔0 = √
2𝑚 𝑚
Nous avons :
𝑦 = 𝑦0 𝑒 𝑖𝜔𝑡
La solution du régime permanent s’écrit alors :
𝑥 = 𝑥0 𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡+𝜑ሻ
Dans ce cas, l’équation du mouvement devient :
ሺ𝜔02 − 𝜔2 + 2𝑖𝛿𝜔ሻ𝑥 = ሺ𝜔02 + 2𝑖𝛿𝜔 ሻ𝑦
Ce qui donne :
ሺ𝜔02 + 2𝑖𝛿𝜔 ሻ
𝑥0 𝑒 𝑖𝜑 = 2 𝑦
ሺ𝜔0 − 𝜔 2 + 2𝑖𝛿𝜔ሻ 0
L’amplitude est :
ሺ𝜔04 + 4𝛿 2 𝜔 2 ሻ
𝑥0 = √ 𝑦
ሺ𝜔02 − 𝜔 2 ሻ2 + 4𝛿 2 𝜔 2 0
ሺ16 × 104 + 4 × 25 ሻ
𝑥0 = √ 0.05 = 0.0533 𝑚
ሺ4 × 102 − 25ሻ2 + 4 × 25
L’argument :
2𝛿𝜔 2𝛿𝜔
𝜑 = Arctg ( 2 ) − Arctg ( 2 )
𝜔0 ሺ𝜔0 − 𝜔 2 ሻ
10 10
𝜑 = Arctg ( ) − Arctg ( ) = −0.0017 𝑟𝑑
4 × 102 ሺ4 × 102 − 25ሻ
220
N. MAGHLAOUI
3. Le rapport d’amplitude :
𝑥0 ሺ𝜔04 + 4𝛿 2 𝜔 2 ሻ
=√ 2 = 1.066
𝑦0 ሺ𝜔0 − 𝜔 2 ሻ2 + 4𝛿 2 𝜔 2
Exercice 3
1
𝑈= [𝑘𝑥12 + 𝑘𝑥22 + 𝑘0 ሺ𝑥2 − 𝑥1 ሻ2 ]
2
1
𝑇= 𝑚ሺ𝑥̇ 12 + 𝑥̇ 22 ሻ
2
• Equation du mouvement
𝑚𝑥̈ 1 + 𝑘𝑥1 + 𝑘0 ሺ𝑥1 − 𝑥2 ሻ = 0 𝑚𝑥̈ + ሺ𝑘 + 𝑘0 ሻ𝑥1 − 𝑘0 𝑥2 = 0

{ ⟹{ 1
𝑚𝑥̈ 2 + 𝑘𝑥2 + 𝑘0 ሺ𝑥2 − 𝑥1 ሻ = 0 𝑚𝑥̈ 2 + ሺ𝑘 + 𝑘0 ሻ𝑥2 − 𝑘0 𝑥1 = 0
2. Nous recherchons des solutions sinusoïdales, les pulsations propres sont déterminées à partir de :
ሺ−𝑚𝜔2 + 𝑘ሻሺ−𝑚𝜔2 + 𝑘 + 2𝑘0 ሻ = 0
Nous obtenons :
𝑘 𝑘 + 2𝑘0 𝑘 2𝑘0
𝜔1 = √ , 𝜔2 = √ = √ √1 +
𝑚 𝑚 𝑚 𝑘
Les solutions :
𝑥1 ሺ𝑡ሻ = 𝐴11 cosሺ𝜔1 𝑡 + 𝜑ሻ + 𝐴12 cosሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑ሻ

{
𝑥2 ሺ𝑡ሻ = 𝐴21 cosሺ𝜔1 𝑡 + 𝜑ሻ + 𝐴22 cosሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑ሻ
Les rapports d’amplitudes :
𝐴21 𝐴21
= 1, = −1
𝐴11 𝐴11
D’où
𝑥 ሺ𝑡ሻ = 𝐴11 cosሺ𝜔1 𝑡 + 𝜑1 ሻ + 𝐴12 cosሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑2 ሻ

{ 1
𝑥2 ሺ𝑡ሻ = 𝐴11 cosሺ𝜔1 𝑡 + 𝜑1 ሻ − 𝐴12 cosሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑2 ሻ
A partir des conditions initiales : 𝑥1 ሺ0ሻ = 𝑎, 𝑥2 ሺ0ሻ = 0, 𝑥̇ 1 ሺ0ሻ = 𝑥̇ 2 ሺ0ሻ = 0, nous trouvons :
𝑎
𝑥1 ሺ𝑡ሻ = [cosሺ𝜔1 𝑡ሻ + cosሺ𝜔2 𝑡ሻ]
{ 2
𝑎
𝑥2 ሺ𝑡ሻ = [cosሺ𝜔1 𝑡ሻ − cosሺ𝜔2 𝑡ሻ]
2
221
N. MAGHLAOUI
3. Les solutions peuvent s’écrire sous la forme de produits :
𝜔2 + 𝜔1 𝜔2 − 𝜔1
𝑥1 ሺ𝑡ሻ = 𝑎 cos [( ) 𝑡] cos [( ) 𝑡]
{ 2 2
𝜔2 + 𝜔1 𝜔2 − 𝜔1
𝑥2 ሺ𝑡ሻ = 𝑎 sin [( ) 𝑡] sin [( ) 𝑡]
2 2
Comme :
𝑘0
≪1
𝑘
Alors :
𝑘 + 2𝑘0 𝑘 2𝑘0
𝜔2 = √ = √ √1 + ≈ 𝜔1 ሺ1 + 𝐶ሻ
𝑚 𝑚 𝑘
Cela permet d’écrire :
𝜔2 − 𝜔1 = 𝐶𝜔1 et 𝜔2 + 𝜔1 = ሺ2 + 𝐶ሻ𝜔1 ≈ 2𝜔1
𝐶𝜔1
𝑥1 ሺ𝑡ሻ = 𝑎 cosሺ𝜔1 𝑡ሻ cos ( 𝑡)
{ 2
𝐶𝜔1
𝑥2 ሺ𝑡ሻ = 𝑎 sinሺ𝜔1 𝑡ሻ sin ( 𝑡)
2
Nous observons le phénomène de battement, les masses oscillent en quadrature de phase.
222
N. MAGHLAOUI
Examen de rattrapage, Février 2020 (USTHB)
Licence L2-ST
Durée 1h30
Exercice 1
Un cylindre plein et homogène, de masse 𝑀 et de rayon 𝑅, peut rouler sans glisser sur un plan horizontal.
Ce cylindre est relié à un bâti fixe 𝐵1 par un ressort de raideur 𝑘 au point 𝐵 (Figure 1). Un ressort de
constante de raideur 𝑘0 relie le point 𝐴 de l’axe du cylindre à un bâti fixe 𝐵2. On repère le cylindre par
l’angle de rotation 𝜃ሺ𝑡ሻ.
𝑘 ሺ𝑀, 𝑅ሻ
𝐵1 𝑘0 𝐵2
Figure 1
1. Etablir l’équation de mouvement du système régissant l’évolution de 𝜃ሺ𝑡ሻ.

2. Exprimer la période propre 𝑇0 du mouvement de ce système en fonction de 𝑀, 𝑘 et 𝑘0 .
3. Déterminer l’expression de 𝜃ሺ𝑡ሻ n tenant compte des conditions initiales :
𝜃ሺ0ሻ = 5° et 𝜃̇ሺ0ሻ = 0 𝑟𝑑 𝑠 −1
Exercice 2
On remplace le ressort de raideur 𝑘 par un amortisseur de coefficient d’amortissement visqueux 𝛼 (Figure
2).
𝛼 ሺ𝑀, 𝑅ሻ
𝐵1 𝑘0 𝐵2
Figure 2
1. Etablir l’équation du mouvement en fonction de la coordonnée 𝜃.

2. On suppose qu’au bout de 4 pseudos périodes l’amplitude initiale de vibration est diminué de 60 %.
Si la période des oscillations est égale à 0.6 𝑠, calculer le coefficient d’amortissement 𝛼.
3. Calculer l’énergie dissipée du système pendant une période pour une solution approximative :
𝜋
𝜃ሺ𝑡ሻ = cosሺ𝜔𝑎 𝑡ሻ
16
On donne :
𝑀 = 2 𝑘𝑔, 𝑅 = 10 𝑐𝑚
223
N. MAGHLAOUI
Exercice 3
Le bâti 𝐵2 est maintenant animé d’un mouvement sinusoïdal et horizontal, son déplacement et donné par
𝑠ሺ𝑡ሻ = 𝑠0 𝑒 𝑗𝜔𝑡 (Figure 3).
𝑠ሺ𝑡ሻ
ሺ𝑀, 𝑅ሻ
𝛼 𝑘0
𝐵1 𝐵2
Figure 3
1. Etablir l’équation du mouvement.

2. Donner l’expression de l’amplitude des oscillations en fonction de 𝜔.
3. Calculer l’amplitude 𝑠0 sachant qu’à la résonance l’amplitude maximale de 𝜃, vaut 𝜃𝑚𝑎𝑥 = 𝜋/10.
Exercice 4
Dans le système précédent on remplace l’amortisseur par un ressort de raideur 𝑘′ et on insère entre le
ressort 𝑘0 et le bâti 𝐵2 un oscillateur constitué d’une masse 𝑚 et d’un ressort de constante de raideur 𝑘,
pour former un système à deux degrés de liberté (Figure 4). Le mouvement de la masse 𝑚 est repéré par
la coordonnée 𝑥2 . On posera 𝑥1 = 𝑅𝜃 et on choisira les conditions suivantes :
3
𝑚= 𝑀 et 𝑘 = 4 𝑘′
2
𝑘′ ሺ𝑀, 𝑅ሻ
𝑘0 𝑘
𝑚
x1 x2
Figure 4
1. Etablir les équations du mouvement en fonction de 𝑥1 et 𝑥2 .

2. Calculer les pulsations propres de ce système en fonction de 𝑘, 𝑘0 et 𝑚.
3. Donner les solutions générales 𝑥1 ሺ𝑡ሻ et 𝑥2 ሺ𝑡ሻ.
224
N. MAGHLAOUI
Solution
Exercice 1
1. L’équation du mouvement
• Energie potentielle :
1
𝑈= ሺ4𝑘 + 𝑘0 ሻ𝑅 2 𝜃 2
2
• Energie cinétique :
13
𝑇= 𝑀𝑅 2 𝜃̇ 2
22
• L’équation du mouvement :
𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿 𝑑 𝜕𝑇 𝜕𝑈
− = 0 ou bien + =0
̇
𝑑𝑡 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃
Nous obtenons
3
𝑀𝜃̈ + ሺ4𝑘 + 𝑘0 ሻ𝜃 = 0
2
2. L’équation du mouvement s’écrit :
⟹ 𝜃̈ + 𝜔02 𝜃 = 0
Avec :
2 ሺ4𝑘 + 𝑘0 ሻ
𝜔0 = √
3 𝑀
La période propre 𝑇0 :
2𝜋 3𝑀
𝑇0 = = 2𝜋√
𝜔0 ሺ8𝑘 + 2𝑘0 ሻ
3. La solution 𝜃ሺ𝑡ሻ s’écrit :
𝜃ሺ𝑡ሻ = 𝐴 cosሺ𝜔0 𝑡 + 𝜑ሻ
En tenant compte des conditions initiales :
𝜃ሺ0ሻ = 5° = 0.087 𝑟𝑑 et 𝜃̇ሺ0ሻ = 0 𝑟𝑑 𝑠 −1
Nous trouvons :
𝜃ሺ𝑡ሻ = 0.087 cosሺ𝜔0 𝑡ሻ
Exercice 2
1
𝑈= 𝑘 𝑅2𝜃 2
2 0
13
𝑇= 𝑀𝑅 2 𝜃̇ 2
22
225
N. MAGHLAOUI
• La fonction de dissipation :
1
𝐷 = 4𝛼𝑅 2 𝜃̇ 2
2
𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐷 𝜕𝐿 𝑑 𝜕𝑇 𝜕𝐷 𝜕𝑈
+ − = 0 ou bien + + =0
𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃
Nous obtenons
𝜃̈ + 2𝛿𝜃̇ + 𝜔02 𝜃 = 0
Avec :
4𝛼 2𝑘0
𝛿= , 𝜔0 = √
3𝑀 3𝑀
2. Le décrément logarithmique est
1
𝐷= 𝑙𝑛ሺ2.5ሻ = 0.23
4
Nous obtenons :
3𝑀𝛿 3𝑀 𝐷
𝛼= = = 0.57 𝑘𝑔 𝑠 −1
4 4 𝑇𝑎
3. L’énergie dissipée en une période
𝑡+𝑇
∆𝐸 = ∫ 𝑃𝛼 ሺ𝑡ሻ 𝑑𝑡
𝑡
𝑃𝛼 représente la puissance dissipée par l’amortisseur.
𝑇 la période d’oscillation.
𝜋 2 𝑡+𝑇 𝜋 2𝑇
∆𝐸 = 4𝛼𝑅 2 𝜔𝑎2 ( ) ∫ [sinሺ𝜔𝑎 𝑡ሻ]2 𝑑𝑡 = 4𝛼𝑅 2 𝜔𝑎2 ( )
16 𝑡 16 2
Nous obtenons:
2
𝜋3
∆𝐸 = 𝛼𝑅 𝜔𝑎 = 0.29 𝐽
64
Exercice 3
1
𝑈 = 𝑘0 ሺ𝑅𝜃 − 𝑠ሻ2
2
13
𝑇= 𝑀𝑅 2 𝜃̇ 2
22
• La fonction de dissipation :
1
𝐷 = 4𝛼𝑅 2 𝜃̇ 2
2
226
N. MAGHLAOUI
𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐷 𝜕𝐿 𝑑 𝜕𝑇 𝜕𝐷 𝜕𝑈
+ − = 0 ou bien + + =0
𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃
Nous obtenons
3
𝑀𝑅 2 𝜃̈ + 4𝛼𝑅 2 𝜃̇ + 𝑘0 𝑅 2 𝜃 = 𝑘0 𝑅𝑠
2
2𝑘0
𝜃̈ + 2𝛿𝜃̇ + 𝜔02 𝜃 = 𝑠
3𝑀𝑅
Avec :
4𝛼 2𝑘0
𝛿= , 𝜔0 = √
3𝑀 3𝑀
2. La solution du régime permanent est :
𝜃ሺ𝑡ሻ = 𝜃0 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡+𝜑ሻ
L’amplitude s’écrit :
2𝑘0
3𝑀𝑅 𝑠0
𝜃0 =
√ሺ𝜔02 − 𝜔 2 ሻ2 + 4𝛿 2 𝜔 2
3. L’amplitude 𝜃𝑚𝑎𝑥 est :
2𝑘0
𝑠0 3𝑀𝑅𝛿
𝜃𝑚𝑎𝑥 = 𝜃0 ሺ𝜔𝑅 ሻ = 3𝑀𝑅 ⟹ 𝑠0 = √𝜔02 − 𝛿 2 𝜃𝑚𝑎𝑥
2
2𝛿√𝜔0 − 𝛿 2 𝑘0
2𝑅𝛿
𝑠0 = 2 𝜔 𝜃
ሺ𝜔𝑎 + 𝛿 2 ሻ 𝑎 𝑚𝑎𝑥
𝑠0 = 2.27 𝑚𝑚
Exercice 4
1
𝑈 = [4𝑘 ′ 𝑥12 + 𝑘𝑥22 + 𝑘0 ሺ𝑥2 − 𝑥1 ሻ2 ]
2
1 3
𝑇= ( 𝑀𝑥̇ 12 + 𝑚𝑥̇ 22 )
2 2
3
𝑀𝑥̈ 1 + ሺ4𝑘 ′ + 𝑘0 ሻ𝑥1 − 𝑘0 𝑥2 = 0
{2
𝑚𝑥̈ 2 + ሺ𝑘0 + 𝑘ሻ𝑥2 − 𝑘0 𝑥1 = 0
227
N. MAGHLAOUI
Or :
3
𝑚= 𝑀 et 𝑘 = 4 𝑘′
2
𝑚𝑥̈ + ሺ𝑘 + 𝑘0 ሻ𝑥1 − 𝑘0 𝑥2 = 0
{ 1
𝑚𝑥̈ 2 + ሺ𝑘0 + 𝑘ሻ𝑥2 − 𝑘0 𝑥1 = 0
2. Les pulsations propres sont déterminées à partir de l’équation :
(ሺ𝑘 + 𝑘0 ሻ − 𝑚𝜔2 ) − 𝑘02 = 0 ⟹ ሺ𝑘 − 𝑚𝜔2 ሻሺ𝑘 + 2𝑘0 − 𝑚𝜔2 ሻ = 0
Nous trouvons :
𝑘 𝑘 + 2𝑘0
𝜔1 = √ , 𝜔1 = √
𝑚 𝑚
3. Les solutions s’écrivent :
𝑥 ሺ𝑡ሻ = 𝐴11 cosሺ𝜔1 𝑡 + 𝜑1 ሻ + 𝐴12 cosሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑2 ሻ
{ 1
𝑥2 ሺ𝑡ሻ = 𝐴11 cosሺ𝜔1 𝑡 + 𝜑1 ሻ − 𝐴12 cosሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑2 ሻ
228
N. MAGHLAOUI
Examen de rattrapage, Janvier 2017 (USTHB)
Licence L2-ST
Durée 1h30
Exercice 1
Une poulie de de moment d’inertie 𝐽0 , constituée de deux disques de rayons respectifs 𝑟 et 2𝑟, peut osciller
sans frottement autour d’un axe fixe, passant par son centre de gravité. Deux masses 𝑚1 = 𝑚 et
𝑚2 = 2𝑚 sont fixées aux extrémités d’une tige de masse négligeable et de longueur 2ℓ, soudée à la poulie.
Cette poulie est reliée à un ressort de raideur 𝑘 et un amortisseur de coefficient de frottement visqueux 𝛼,
fixés à un bâti fixe comme l’indique la figure 1. Une masse 𝑚3 = 2𝑚 est attachée au fil qui s’enroule à
la poulie (figure 1). On suppose qu’à l’équilibre la tige est verticale ሺ𝜃 = 0 𝑟𝑑ሻ. On abandonne le système
après l’avoir écarté de sa position d’équilibre d’un angle 𝜃0 suffisamment faible pour admettre les
approximations des faibles angles.
Pour un amortissement négligeable ሺ𝛼 = 0ሻ.
𝑚2 𝑘
ℓ
Poulie d’inertie 𝐽0
2𝑟
𝑟
𝛼
ℓ
𝜃 𝑚1
𝑚3
Figure 1
1. Exprimer l’énergie cinétique 𝑇, l’énergie potentielle 𝑈 et le Lagrangien du système en fonction de 𝜃.

2. Etablir l’équation du mouvement en précisant l’expression de la pulsation propre 𝜔0 .
3. Pour un amortissement non nul ሺ𝛼 ≠ 0ሻ, trouver la nouvelle équation différentielle du mouvement.
Déduire l’expression du facteur d’amortissement 𝛿 et donner l’expression de la solution 𝜃ሺ𝑡ሻ en
régime pseudo-périodique.
On donne :
𝜋
𝜃ሺ0ሻ = 𝑟𝑑, 𝜃̇ሺ0ሻ = 0 𝑟𝑑 𝑠 −1
36
𝑚 = 3 𝑘𝑔, ℓ = 0.5 𝑚, , 𝑟 = 0.2 𝑚, , 𝑘 = 5225 𝑁 𝑚−1, , 𝛼 = 2463 𝑘 𝑠 −1 , , 𝐽0 = 5 𝑘𝑔 𝑚2
et 𝑔 = 10 𝑚 𝑠 −2.
229
N. MAGHLAOUI
Exercice 2
Une force sinusoïdale de forme 𝐹ሺ𝑡ሻ = 𝐹0 𝑒 𝑗𝜔𝑡 est appliquée sur la masse 𝑚2 du système précédent (Figure
2).
𝐹ሺ𝑡ሻ
𝑚2 𝑘
ℓ
Poulie d’inertie 𝐽0
2𝑟
𝑟
𝛼
ℓ
𝜃 𝑚1
𝑚3
Figure 2
1. Etablir l’équation différentielle du mouvement.

2. Donner sa solution en régime permanent.
3. Pour 𝜔 = 𝜔0 , calculer le module de l’amplitude et le déphasage 𝜑 entre la réponse du système et la
force appliquée.
On donne : 𝐹0 = 200 𝑁.
Exercice 3
Un cylindre homogène de masse 𝑚1 = 𝑚 et de rayon 𝑅 peut rouler sans glisser au-dessus d’un plateau de
masse 𝑚2 = 2𝑚 qui peut coulisser sans frottement sur un plan horizontal. Un premier ressort de raideur
𝑘 relie l’axe du cylindre au plateau, lui-même relié à un support fixe par l’intermédiaire d’un second
ressort de raideur 𝑘. Ecarté de sa position d’équilibre puis relâché, le système effectue des oscillations de
faibles amplitudes. On décrit ce système à l’aide des deux coordonnées 𝑥1 et 𝑥2 (Figure 3).
𝑥1
𝑥2
ሺ𝑚1 , 𝑅ሻ
𝑘
𝑂 𝑥
𝑘
θ
𝑚2
Figure 3
1. Montrer que le Lagrangien du système s’écrit sous la forme suivante :
1 3 5 1
𝐿 = [ 𝑚𝑥̇ 12 − 𝑚𝑥̇ 1 𝑥̇ 2 + 𝑚𝑥̇ 22 ] − [𝑘𝑥12 + 2𝑘𝑥22 − 2𝑘𝑥1 𝑥2 ]
2 2 2 2
230
N. MAGHLAOUI
2. Etablir les équations différentielles du mouvement en 𝑥1 et 𝑥2 , puis déterminer les deux pulsations
propres du système.
3. Déterminer les rapports d’amplitudes correspondant à ces pulsations propres.
Exercice 4
Les deux masses du système de la figure 4 sont couplées par un ressort de raideur 𝑘0 et par un amortisseur
de coefficient de frottement visqueux 𝛼0 . Deux ressorts de raideurs 𝑘1 et 𝑘2 et deux amortisseurs de
coefficients visqueux 𝛼1 et 𝛼2 relient les deux masses 𝑚1 et 𝑚2 à des bâtis fixes. Une force sinusoïdale
de la forme 𝐹ሺ𝑡ሻ = 𝐹0 𝑒 𝑗𝜔𝑡 , est appliquée à la masse 𝑚2 (Figure 4). 𝑥1 et 𝑥2 sont respectivement les
déplacements des masses 𝑚1 et 𝑚2 .
x1 x2
𝑘1 k0 𝑘2
𝑚1 𝑚2
𝛼1 𝛼0 𝛼2
Figure 4
1. Etablir les équations différentielles du mouvement en fonction de 𝑥1 et 𝑥2 .

2. Donner les équations intégro-différentielles du mouvement.
3. Calculer l’impédance d’entrée du système dans le cas des faibles amortissements ሺ𝛼0 = 𝛼1 = 𝛼2 =
0ሻ.
231
N. MAGHLAOUI
Solution
Exercice 1
1. Pour 𝛼 = 0,
L’énergie cinétique du système :
1
𝑇= ሺ𝐽 + 3𝑚ℓ2 + 8𝑚𝑟 2 ሻ𝜃̇ 2
2 0
L’énergie potentielle du système :
1
𝑈= ሺ4𝑘𝑟 2 − 𝑚𝑔ℓሻ𝜃 2
2
Le Lagrangien du système est :
1
𝐿 =𝑇−𝑈= [ሺ𝐽 + 3𝑚ℓ2 + 8𝑚𝑟 2 ሻ𝜃̇ 2 − ሺ4𝑘𝑟 2 − 𝑚𝑔ℓሻ𝜃 2 ]
2 0
2. L’équation du mouvement s’écrit :
𝜃̈ + 𝜔02 𝜃 = 0
Avec :
ሺ4𝑘𝑟 2 − 𝑚𝑔ℓሻ
𝜔0 = √
ሺ𝐽0 + 3𝑚ℓ2 + 8𝑚𝑟 2 ሻ
3. Pour 𝛼 ≠ 0, la fonction de dissipation est :
1
𝐷 = 𝛼𝑟 2 𝜃̇ 2
2
L’équation du mouvement s’écrit s :
𝜃̈ + 2𝛿𝜃̇ + 𝜔02 𝜃 = 0
Avec :
𝛼𝑟 2
𝛿=
2ሺ𝐽0 + 3𝑚ℓ2 + 8𝑚𝑟 2 ሻ
La solution dans le cas du régime oscillatoire amortis est :
𝜃ሺ𝑡ሻ = 𝐴 𝑒 −𝛿𝑡 cosሺ𝜔𝑎 𝑡 + 𝜑ሻ avec : 𝜔𝑎 = √𝜔02 − 𝛿 2
𝜔0 = 10 𝑟𝑑 𝑠 −1 , 𝛿 = 6 𝑠 −1 , 𝜔𝑎 = 8 𝑟𝑑 𝑠 −1
Les conditions initiales permettent de trouver :
𝜔0
𝐴 = 𝜃ሺ0ሻ = 0.11 𝑟𝑑 𝑠 −1
𝜔𝑎
et
𝛿
𝜑 = −𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔 = −0.64 𝑟𝑑
𝜔𝑎
232
N. MAGHLAOUI
Exercice 2
1. L’équation du mouvement est :
𝜃̈ + 2𝛿𝜃̇ + 𝜔02 𝜃 = 𝐶𝑒 𝑗𝜔𝑡
Avec :
𝐹0 ℓ
𝐶=
ሺ𝐽0 + 3𝑚ℓ2 + 8𝑚𝑟 2 ሻ
2. La solution du régime permanent est de la même forme que le second membre :
𝜃ሺ𝑡ሻ = 𝜃0 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡+𝜑ሻ
𝜃0 représente son amplitude et 𝜑 sa phase.
𝐶
𝜃0 =
√ሺ𝜔02 − 𝜔 2 ሻ2 + 4𝛿 2 𝜔 2
2𝛿𝜔
𝜑 = −𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔 2
ሺ𝜔0 − 𝜔 2 ሻ
3. Pour 𝜔 = 𝜔0
𝐶
𝜃0 = = 0.10 𝑟𝑑
2𝛿𝜔0
et
𝜋
𝜑=− 𝑟𝑑
2
Exercice 3
1. Le Lagrangien du système :
𝑇 = 𝑇𝑚1 + 𝑇𝑚2
1 1 𝑚1 𝑅 2 2 1 1
𝑇𝑚1 2
= 𝑚1 𝑥̇ 1 + 𝜃̇ = 𝑚 [𝑥̇ 12 + ሺ𝑥̇ 1 − 𝑥̇ 2 ሻ2 ]
2 2 2 2 2
Avec :
𝑥1 = 𝑥2 + 𝑅𝜃 ⟹ 𝑅𝜃̇ = 𝑥̇ 1 − 𝑥̇ 2
De plus :
1 1
𝑇𝑚2 = 𝑚2 𝑥̇ 22 = 2𝑚𝑥̇ 22
2 2
Nous obtenons :
1 3 5
𝑇= [ 𝑚𝑥̇ 12 − 𝑚𝑥̇ 1 𝑥̇ 2 + 𝑚𝑥̇ 22 ]
2 2 2
L’énergie potentielle du système :
1 1 1
𝑈 = 𝑘ሺ𝑥2 − 𝑥1 ሻ2 + 𝑘𝑥22 = [𝑘𝑥12 + 2𝑘𝑥22 − 2𝑘𝑥1 𝑥2 ]
2 2 2
Nous trouvons :
1 3 5 1
𝐿 = [ 𝑚𝑥̇ 12 − 𝑚𝑥̇ 1 𝑥̇ 2 + 𝑚𝑥̇ 22 ] − [𝑘𝑥12 + 2𝑘𝑥22 − 2𝑘𝑥1 𝑥2 ]
2 2 2 2
2. Les équations du mouvement sont :
3 1
𝑚𝑥̈ 1 − 𝑚𝑥̈ 2 + 𝑘𝑥1 − 𝑘𝑥2 = 0
{2 2
5 1
𝑚𝑥̈ 2 − 𝑚𝑥̈ 1 + 2𝑘𝑥2 − 𝑘𝑥1 = 0
2 2
233
N. MAGHLAOUI
L’équation caractéristique qui permet le calcul des pulsations propres :
2
3 2
5 2
1 2
(𝑘 − 𝑚𝜔 ) (2𝑘 − 𝑚𝜔 ) − (𝑘 − 𝑚𝜔 ) = 0
2 2 2
On obtient :
2𝑘 𝑘
𝜔1 = √ , 𝜔2 = √
7𝑚 𝑚
3. Les solutions 𝑥1 et 𝑥2 s’écrivent :
𝑥 = 𝐴11 cosሺ𝜔1 𝑡 + 𝜑1 ሻ + 𝐴12 cosሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑2 ሻ
{ 1
𝑥2 = 𝐴21 cosሺ𝜔1 𝑡 + 𝜑1 ሻ + 𝐴22 cosሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑2 ሻ
Les rapports d’amplitudes sont :
𝐴21 2 𝐴22
= , = −1
𝐴11 3 𝐴12
Exercice 4
1. Les énergies cinétique et potentielle du système sont :
1 1
𝑇 = 𝑚1 𝑥̇ 12 + 𝑚2 𝑥̇ 22
2 2
1 1 1
𝑈 = 𝑘1 𝑥12 + 𝑘2 𝑥22 + 𝑘0 ሺ𝑥2 − 𝑥1 ሻ2
2 2 2
1 1 1
𝐷 = 𝛼1 𝑥̇ 12 + 𝛼2 𝑥̇ 22 + 𝛼0 ሺ𝑥̇ 2 − 𝑥̇ 1 ሻ2
2 2 2
Le travail de la force extérieure :
𝑊 = 𝐹 𝑥2
Les équations du mouvement :
𝑚 𝑥̈ + 𝛼1 𝑥̇ 1 + 𝛼0 ሺ𝑥̇ 1 − 𝑥̇ 2 ሻ + 𝑘1 𝑥1 + 𝑘0 ሺ𝑥1 − 𝑥2 ሻ = 0
{ 1 1
𝑚2 𝑥̈ 2 + 𝛼2 𝑥̇ 2 + 𝛼0 ሺ𝑥̇ 2 − 𝑥̇ 1 ሻ + 𝑘2 𝑥2 + 𝑘0 ሺ𝑥2 − 𝑥1 ሻ = 𝐹
2. Les équations intégro-différentielles :
𝑑𝑥̇ 1
𝑚1 + 𝛼1 𝑥̇ 1 + 𝛼0 ሺ𝑥̇ 1 − 𝑥̇ 2 ሻ + 𝑘1 ∫ 𝑥̇ 1 𝑑𝑡 + 𝑘0 ∫ሺ𝑥̇ 1 − 𝑥̇ 2 ሻ 𝑑𝑡 = 0
𝑑𝑡
𝑑𝑥̇ 2
𝑚2 + 𝛼2 𝑥̇ 2 + 𝛼0 ሺ𝑥̇ 2 − 𝑥̇ 1 ሻ + 𝑘2 ∫ 𝑥̇ 2 𝑑𝑡 + 𝑘0 ∫ሺ𝑥̇ 2 − 𝑥̇ 1 ሻ 𝑑𝑡 = 𝐹
{ 𝑑𝑡
3. Dans le cas des faibles amortissements ሺ𝛼0 = 𝛼1 = 𝛼2 = 0ሻ, les équations aux vitesses en notation
complexe sont :
𝑘1 𝑘0
𝑗𝑚1 𝜔𝑥̇ 1 + 𝑥̇ 1 + ሺ𝑥̇ − 𝑥̇ 2 ሻ = 0
𝑗𝜔 𝑗𝜔 1
𝑘2 𝑘0
𝑗𝑚2 𝜔𝑥̇ 2 + 𝑥̇ 2 + ሺ𝑥̇ 2 − 𝑥̇ 1 ሻ = 𝐹
{ 𝑗𝜔 𝑗𝜔
A partir des deux équations :
𝐹 ሺ𝑘1 + 𝑘0 − 𝑚1 𝜔2 ሻሺ𝑘2 + 𝑘0 − 𝑚2 𝜔2 ሻ − 𝑘02
𝑍𝑒 = =
𝑥̇ 2 𝑗𝜔ሺ𝑘1 + 𝑘0 − 𝑚1 𝜔 2 ሻ
234
N. MAGHLAOUI
Examen Final Physique 3, Février 2020 (ENST Dergana)
Licence L2-ST
Durée 1h30
Exercice 1
Deux tiges, de longueur 2𝐿 (de masse négligeable), sont soudées ensembles à angle droit (Figure 1). Les
tiges portent à leurs extrémités des masses ponctuelles 𝑚 et peuvent tourner autour de l’axe horizontal
fixe passant par le point de soudure. Les frottements sont symbolisés par l’amortisseur de coefficient 𝛼.
A l’équilibre (représenté en pointillés) le ressort n’est pas déformé.
1. Trouver l’énergie cinétique T, l’énergie potentielle U, ainsi que la fonction de dissipation D (dans le
cas des faibles amplitudes).
2. Trouver le Lagrangien et déduire l’équation du mouvement.
3. Sachant que 𝛼 = 16 𝑘𝑔 𝑠 −1 , 𝑚 = 1 𝑘𝑔, 𝑘 = 16 𝑁𝑚−1 : trouver la nature du mouvement.
4. Quelle est la valeur de 𝛼 à ne pas dépasser pour avoir des oscillations.
5. Pour quelle valeur de 𝛼 l’amplitude diminue à 1/7 de sa valeur initiale après 2 oscillations complètes
(On supposera que 𝑇𝑎 ≈ 𝑇0 ).
6. Donner le circuit électrique équivalent en explicitant l’analogie mécanique-électrique.
𝑚 𝛼 𝑚 𝛼
𝑚
𝑚 𝑚
𝜃
𝜃 𝑚
𝑘 𝑘
𝑚 𝑚
A l’équilibre 𝜃 En mouvement
Figure 1
235
N. MAGHLAOUI
Exercice 2
Soit le système mécanique décrit par la figure 2. Le système mécanique se compose d’une tige
homogèneሺ𝑚, 𝑙ሻ, pouvant tourner autour d’un axe fixe ሺΔሻ, perpendiculaire au plan de la feuille. Cette
tige est reliée à un bâti fixe par un ressort parfait 𝑘1 et à une masse 𝑀 par un ressort parfait 𝑘2 . Les
allongements des ressorts à l’équilibre sont nuls. On travaillera dans le cadre des faibles amplitudes avec
les deux degrés de liberté 𝑥1 ሺ𝑡ሻ = 𝑙𝜃ሺ𝑡ሻ 𝑒𝑡 𝑥2 ሺ𝑡ሻ .
Partie A (Oscillation libre)

1. Déterminer l’énergie potentielle du système.
2. Déterminer l’énergie cinétique du système.
3. Ecrire les équations du mouvement du système.
4. En prenant
𝑎2 𝑔
𝑚 = 12𝑀, 𝑘1 − 𝑚 = 3𝑘, 𝑘2 = 𝑘
𝑙2 2𝑙
calculer les pulsations propres 𝜔1 𝑒𝑡 𝜔2 ainsi que les rapports d’amplitudes.
5. En déduire les solutions générales 𝑥1 ሺ𝑡ሻ 𝑒𝑡 𝑥2 ሺ𝑡ሻ de cet oscillateur.

6. Déterminer les solutions générales 𝑥1 ሺ𝑡ሻ 𝑒𝑡 𝑥2 ሺ𝑡ሻ dans les conditions initiales suivantes :
𝑥1 ሺ𝑡 = 0ሻ = 𝑥0 , 𝑥2 ሺ𝑡 = 0ሻ = 0 et 𝑥̇ 1 ሺ𝑡 = 0ሻ = 𝑥̇ 2 ሺ𝑡 = 0ሻ = 0
7. Montrer que la solution 𝑥1 ሺ𝑡ሻ s’écrit sous la forme : 𝑥1 ሺ𝑡ሻ = 𝐴 cosሺ𝑝𝑡ሻ cosሺ𝑞𝑡ሻ où 𝑝 < 𝑞. Quel est
le phénomène observé ?
8. Que représentent 2𝜋/𝑝 et 2𝜋/𝑞 ?
On rappelle que
𝑎+𝑏 𝑎−𝑏
cos 𝑎 + cos 𝑏 = 2 cos ( ) cos ( )
2 2
𝑥2 ሺtሻ
ሺ𝑚, 𝑙ሻ
ሺ𝑚, 𝑙ሻ 𝑀 𝑀
𝑘2 𝑘2
𝜃ሺ𝑡ሻ
𝑘1 𝑘1
𝑎 𝑎
Équilibre En mouvement
Figure 2
236
N. MAGHLAOUI
Partie B (Oscillation forcée)
On applique au niveau de la masse M une force sinusoïdale d’amplitude 𝐹0 et de pulsation 𝜔 (Figure 3).
On donne : 𝐹ሺ𝑡ሻ = 𝐹0 𝑒 𝑖𝜔𝑡 .
1. Déterminer les équations différentielles du mouvement.

2. Déterminer les équations aux vitesses.
3. Calculer l’impédance d’entrée du système mécanique 𝑍𝑒 .
4. Pour quelle pulsation la masse M reste-t-elle immobile. Quelle est dans ce cas l’impédance d’entrée.
𝐹ሺtሻ
ሺ𝑚, 𝑙ሻ
𝑀
𝑘2
𝑥2 ሺtሻ
𝜃ሺ𝑡ሻ
𝑘1
Figure 3
237
N. MAGHLAOUI
Solution
Exercice 1
1. Energie cinétique
1
𝑇 = 4𝑇𝑚 = 4𝑚𝑙 2 𝜃̇ 2
2
Energie potentielle
1 2 2
𝑈= 𝑘𝑙 𝜃
2
1
𝑈 = 𝛼𝑙 2 𝜃̇ 2
2
2. Le Lagrangien du système
1 1
𝐿 =𝑇−𝑈 = 4𝑚𝑙 2 𝜃̇ 2 − 𝑘𝑙 2 𝜃 2
2 2
L’équation de Lagrange s’écrit :
+ − =0
𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃
ce qui donne :
𝛼 𝑘
4𝑚𝑙 2 𝜃̈ + 𝛼𝑙 2 𝜃̇ + 𝑘𝑙 2 𝜃 = 0 ⟹ 𝜃̈ + 𝜃̇ + 𝜃=0
4𝑚 4𝑚
3. L’équation se met sous la forme
𝜃̈ + 2𝛿𝜃̇ + 𝜔02 𝜃 = 0
avec :
𝛼
𝛿= = 2 𝑠 −1
8𝑚
𝑘
𝜔0 = √ = 2 𝑟𝑑 𝑠 −1
4𝑚
𝛿 = 𝜔0 , nous sommes donc dans le régime critique.
4. Pour avoir des oscillations :
𝛿 < 𝜔0 ⟹ 𝛼 < √16𝑘𝑚
donc : 𝛼 < 16 𝑘𝑔 𝑠 −1 .
5. Nous avons le décrément logarithmique :

238
N. MAGHLAOUI
1
𝐷 = lnሺ7ሻ = 0.97
2
Comme :
𝐷 𝐷 𝐷𝜔0
𝛿= = = = 0.31 𝑠 −1
𝑇𝑎 𝑇0 2𝜋
Finalement, nous obtenons: 𝛼 = 8𝛿𝑚 = 2.48 𝑘𝑔 𝑠 −1 .
6. Circuit équivalent :
𝑘
4𝑖𝑚𝜔𝜃̇ + 𝛼𝜃̇ + 𝜃̇ = 0
𝑖𝜔
𝜃̇ ⟺ 𝐼, 4𝑚 ⟺ 𝐿, 𝛼 ⟺ 𝑅, 𝑘 ⟺ 1⁄𝐶
Le circuit électrique.
Exercice 2
Partie A (Oscillation libre)
1. L’énergie potentielle :
1 2
𝑙 𝜃2 1
𝑈 = 𝑘1 ሺ𝑎𝜃ሻ − 𝑚𝑔 + 𝑘 ሺ𝑥 − 𝑙𝜃ሻ2
2 2 2 2 2 2
1 2 𝑎2 𝑔 1
𝑈 = 𝑥1 (𝑘1 2 − 𝑚 ) + 𝑘2 ሺ𝑥2 − 𝑥1 ሻ2
2 𝑙 2𝑙 2
2. L’énergie cinétique :
1 1 𝑚𝑙 2 2 1 1𝑚 2
2
𝑇 = 𝑀𝑥̇ 2 + 𝜃̇ = 𝑀𝑥̇ 22 + 𝑥̇
2 2 3 2 23 1
3. L’équation du mouvement est :
𝑚 𝑎2 𝑔
𝑥̈ 1 + (𝑘1 2 − 𝑚 + 𝑘2 ) 𝑥1 − 𝑘2 𝑥2 = 0
{3 𝑙 2𝑙
𝑀𝑥̈ 2 + 𝑘2 𝑥2 − 𝑘2 𝑥1 = 0
4. Dans le cas où
𝑎2 𝑔
𝑚 = 12𝑀, 𝑘1 2
− 𝑚 = 3𝑘, 𝑘2 = 𝑘
𝑙 2𝑙
Les équations du mouvement deviennent :
4𝑀𝑥̈ 1 + 4𝑘𝑥1 − 𝑘𝑥2 = 0
{
𝑀𝑥̈ 2 + 𝑘𝑥2 − 𝑘𝑥1 = 0
Les solutions générales s’écrivent :
𝑥1 = 𝐴1 𝑒 𝑖𝜔𝑡 , 𝑥2 = 𝐴2 𝑒 𝑖𝜔𝑡
239
N. MAGHLAOUI
ሺ−4𝑀𝜔2 + 4𝑘ሻ𝑥1 − 𝑘𝑥2 = 0
{
ሺ−𝑀𝜔2 + 𝑘ሻ𝑥2 − 𝑘𝑥1 = 0
ou bien :
ሺ−4𝑀𝜔2 + 4𝑘ሻ −𝑘 𝑥1 0
[ 2 ] [𝑥 ] = [ ]
−𝑘 ሺ−𝑀𝜔 + 𝑘ሻ 2 0
pour que ce système admette des solutions non triviales, il faudrait que :
ሺ−4𝑀𝜔2 + 4𝑘ሻ −𝑘
| |=0
−𝑘 ሺ−𝑀𝜔2 + 𝑘ሻ
ሺ−4𝑀𝜔2 + 4𝑘ሻሺ−𝑀𝜔2 + 𝑘ሻ − 𝑘 2 = 0
Les pulsations propres sont alors :
𝑘 3𝑘
𝜔1 = √ et 𝜔2 = √
2𝑀 2𝑀
𝑥 = 𝐴11 cosሺ𝜔1 𝑡 + 𝜑1 ሻ + 𝐴12 cosሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑2 ሻ

{ 1
𝑥2 = 𝐴21 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔1 𝑡 + 𝜑1 ሻ + 𝐴22 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑2 ሻ
Les rapports d’amplitudes sont dans les deux modes sont :
𝐴21 𝐴22
= 2 et = −2
𝐴11 𝐴12
5. Les solutions sont :
{
𝑥2 = 2𝐴11 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔1 𝑡 + 𝜑1 ሻ − 2𝐴12 𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑2 ሻ
où 𝐴11 , 𝐴12 , 𝜑1 et 𝜑2 sont déterminés à partir des conditions initiales.
6. Les conditions initiales suivantes :

𝑥1 ሺ𝑡 = 0ሻ = 𝑥0 , 𝑥2 ሺ𝑡 = 0ሻ = 0 et 𝑥̇ 1 ሺ𝑡 = 0ሻ = 𝑥̇ 2 ሺ𝑡 = 0ሻ = 0
permettent de trouver :
𝜑1 = 𝜑2 = 0
𝑥0
𝐴11 = 𝐴12 =
2
En injectant dans les expressions de 𝑥1 et 𝑥2 :
𝑥0
𝑥1 = [cosሺ𝜔1 𝑡ሻ + cosሺ𝜔2 𝑡ሻ]
{ 2
𝑥2 = 𝑥0 [cosሺ𝜔1 𝑡ሻ − cosሺ𝜔2 𝑡ሻ]
7. En utilisant les relations trigonométriques nous avons :

𝑥0 𝜔2 − 𝜔1 𝜔2 + 𝜔1
𝑥1 = [cosሺ𝜔1 𝑡ሻ + cosሺ𝜔2 𝑡ሻ] = 𝑥0 {cos [( ) 𝑡] cos [( ) 𝑡]}
2 2 2
240
N. MAGHLAOUI
𝜔2 − 𝜔1 𝜔2 + 𝜔1
𝑝= ,𝑞 =
2 2
2𝜋⁄𝑝 représente la période de de modulation qui est le double de la période de battement, 2𝜋⁄𝑞 la
période d’oscillation.
Partie B (Oscillation forcée)
1. Le travail de la force extérieure est :

𝑊 = 𝐹𝑥2
Les équations du mouvement sont :
4𝑀𝑥̈ 1 + 4𝑘𝑥1 − 𝑘𝑥2 = 0
{
𝑀𝑥̈ 2 + 𝑘𝑥2 − 𝑘𝑥1 = 𝐹ሺ𝑡ሻ
2. Les solutions s’écrivent :
𝑥1 = 𝐴1 𝑒 𝑖𝜔𝑡 , 𝑥2 = 𝐴2 𝑒 𝑖𝜔𝑡
𝑥̇ 1,2
𝑥1,2 = , 𝑥̈ 1,2 = 𝑖𝜔𝑥̇ 1,2
𝑖𝜔
ce qui nous permet d’écrire :
4𝑘 𝑘
4𝑖𝑀𝜔𝑥̈ 1 + 𝑥̇ 1 − 𝑥̇ 2 = 0
{ 𝑖𝜔 𝑖𝜔
𝑘 𝑘
𝑖𝑀𝜔𝑥̇ 2 + 𝑥̇ 2 − 𝑥̇ 1 = 𝐹ሺ𝑡ሻ
𝑖𝜔 𝑖𝜔
3. A partir des équations aux vitesses nous trouvons :
𝐹ሺ𝑡ሻ ሺ𝑘 − 𝑀𝜔2 ሻሺ4𝑘 − 4𝑀𝜔2 ሻ − 𝑘 2

𝑍𝑒 = =
𝑥̇ 2 ሺ𝑡ሻ 𝑖𝜔ሺ4𝑘 − 4𝑀𝜔 2 ሻ
4. La masse 𝑀 est immobile si sa vitesse est nulle 𝑥̇ 2 = 0.
La pulsation est donc :
𝑘
𝜔=√
𝑀
Cela correspond à une impédance infinie 𝑍𝑒 ⟶ ∞.
241
N. MAGHLAOUI
Examen Final Physique 4, Octobre 2020 (ENST Dergana)
Licence L2-ST
Durée 1h30
Exercice 1
Le système ci-dessous est composé d’une corde homogène de masse linéique 𝜇2 et de longueur 𝐿, placée
entre deux cordes homogènes 𝜇1 et 𝜇3 semi infinies ( Figure 1 ). Les cordes sont tendues horizontalement
avec une tension constante 𝑇0 , très grande devant leurs poids. Nous étudions le cas des vibrations
transversales de faibles amplitudes.
Figure 1
ሺ𝑇0 , 𝜇1 ሻ ሺ𝑇0 , 𝜇2 ሻ ሺ𝑇0 , 𝜇3 ሻ
𝑥′ 𝑥
0 𝐿
Une onde plane, progressive et sinusoïdale, de pulsation 𝜔 et d’amplitude 𝐴, se propage le long de la

corde (1), de masse linéique 𝜇1 .
On notera les déplacements des particules dans chaque région :
𝑦1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ pour 𝑥 ≤ 0
𝑦ሺ𝑥, 𝑡ሻ = {𝑦2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ pour 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
𝑦3 ሺ𝑥, 𝑡ሻ pour 𝑥 ≥ 𝐿
1. Donner en justifiant les expressions des déplacements 𝑦1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ, 𝑦2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ et 𝑦3 ሺ𝑥, 𝑡ሻ dans les trois
cordes.
2. Montrer que ce système peut être remplacé par le système de la figure 2, dont il faut déterminer
l’impédance 𝑍𝐿 .
ሺ𝑇0 , 𝜇1 ሻ ሺ𝑇0 , 𝜇2 ሻ
𝑍𝐿
𝑥′ 𝑥
0 𝐿
Figure 2
242
N. MAGHLAOUI
3. Déterminer l’impédance 𝑍ሺ𝑥ሻ en un point quelconque de la corde 2 ሺ𝜇2 , 𝑇0 ሻ, en fonction de 𝑍𝑐2 , 𝑍𝑐3 , 𝑘2
et 𝐿. Calculer son expression 𝑍ሺ𝑥 = 0ሻ.
4. Est-il possible d’annuler la réflexion au niveau de la frontière 𝑥 = 0. Comment ?
Exercice 2
Le tuyau de longueur supposée infinie est parcouru par une onde dont la variation de la masse volumique
est :
𝜌ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ
3. Calculer la vitesse de particules 𝑢̇ ሺ𝑥, 𝑡ሻ et du déplacement associé 𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ.
4. Calculer la pression acoustique 𝑝ሺ𝑥, 𝑡ሻ.
5. Calculer de la puissance acoustique à travers une section perpendiculaire à la vitesse de propagation

de l’onde.
6. Calculer l’intensité de l’onde.
7. Déterminer l'expression de l'intensité acoustique de cette onde et en déduire la valeur numérique des
amplitudes de la pression 𝑃0 , de la vitesse des particules 𝑈̇0 et l’amplitude du déplacement 𝑈0 :
𝐼 = 10−3 𝑊𝑚−2 ; 𝑓 = 1 𝑘𝐻𝑧 𝑉 = 1500 𝑚𝑠 −1 , 𝜌0 = 103 𝑘𝑔𝑚−3 .
8. On désire mesurer la vitesse de propagation de l’onde dans le fluide, pour cela nous fermons le tuyau
en 𝑥 = 𝐿 par une paroi rigide. A l’aide d’un microphone sensible à l’intensité du son qu’on déplace à
l’intérieur du tuyau et d’un oscilloscope, on mesure la distance entre deux ventres successifs 𝑑 =
3.38 𝑐𝑚. Sachant que la fréquence est égale à 𝑓 = 2.5 𝑘𝐻𝑧. Calculer la vitesse de l’onde acoustique.
Quel est alors le fluide en question ?
243
N. MAGHLAOUI
Solution
Exercice 1
Figure 1
ሺ𝑇0 , 𝜇1 ሻ ሺ𝑇0 , 𝜇2 ሻ ሺ𝑇0 , 𝜇3 ሻ
𝑥′ 𝑥
0 𝐿
Une onde plane, progressive et sinusoïdale, de pulsation 𝜔 et d’amplitude 𝐴, se propage le long de la
corde (1), de masse linéique 𝜇1 .
On notera les déplacements des particules dans chaque région :
𝑦1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ pour 𝑥 ≤ 0
𝑦ሺ𝑥, 𝑡ሻ = {𝑦2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ pour 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
𝑦3 ሺ𝑥, 𝑡ሻ pour 𝑥 ≥ 𝐿
1. Donner en justifiant les expressions des déplacements 𝑦1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ, 𝑦2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ et 𝑦3 ሺ𝑥, 𝑡ሻ dans les trois
cordes.
𝑦1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘1𝑥ሻ + 𝐵𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡+𝑘1𝑥ሻ
𝑦2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐶𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘2𝑥ሻ + 𝐷𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡+𝑘2𝑥ሻ
𝑦3 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐸𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘3𝑥ሻ
2. Montrer que ce système peut être remplacé par le système de la figure 2, dont il faut déterminer
l’impédance 𝑍𝐿 .
ሺ𝑇0 , 𝜇1 ሻ ሺ𝑇0 , 𝜇2 ሻ
𝑍𝐿
𝑥′ 𝑥
0 𝐿
Figure 2
𝜕𝑦2 𝜕𝑦
−𝑇0 −𝑇0 3
𝑍ሺ𝑥 = 𝐿ሻ = 𝜕𝑥 | = 𝜕𝑥 | = 𝑍𝑐3
𝜕𝑦2 𝜕𝑦3
𝜕𝑡 𝑥=𝐿 𝜕𝑡 𝑥=𝐿
3. Déterminer l’impédance 𝑍ሺ𝑥ሻ en un point quelconque de la corde 2 ሺ𝜇2 , 𝑇0 ሻ, en fonction de 𝑍𝑐2 , 𝑍𝑐3 , 𝑘2
et 𝐿. Calculer son expression 𝑍ሺ𝑥 = 0ሻ.
244
N. MAGHLAOUI
𝜕𝑦2 −𝑖𝑘2 𝑥 𝐷 𝑖𝑘2𝑥
−𝑇0 𝑒 − 𝐶𝑒
−𝑖𝑘2 𝑥 𝑖𝑘2 𝑥
𝜕𝑥 = 𝑍 𝐶𝑒 − 𝐷𝑒
𝑍ሺ𝑥ሻ = 𝑐2 = 𝑍𝑐2
𝜕𝑦2 𝐶𝑒 −𝑖𝑘2𝑥 + 𝐷𝑒 𝑖𝑘2𝑥 𝐷
𝑒 −𝑖𝑘2 𝑥 + 𝐶 𝑒 𝑖𝑘2𝑥
𝜕𝑡
La condition en 𝑥 = 𝐿 permet d’écrire :
𝐷 𝑍𝑐2 − 𝑍𝑐3 −2𝑖𝑘 𝐿

= 𝑒 2
𝐶 𝑍𝑐2 + 𝑍𝑐3
En remplaçant cette dernière dans l’expression de 𝑍ሺ𝑥ሻ :
𝑍𝑐 − 𝑍𝑐
𝑒 −𝑖𝑘2 𝑥 − 𝑍 2 + 𝑍 3 𝑒 𝑖𝑘2ሺ𝑥−2𝐿ሻ
𝑐2 𝑐3
𝑍ሺ𝑥ሻ = 𝑍𝑐2
𝑍𝑐 − 𝑍𝑐
𝑒 −𝑖𝑘2 𝑥 + 𝑍 2 + 𝑍 3 𝑒 𝑖𝑘2ሺ𝑥−2𝐿ሻ
𝑐2 𝑐3
(𝑍𝑐2 + 𝑍𝑐3 )𝑒 𝑖𝑘2 ሺ𝐿−𝑥ሻ − (𝑍𝑐2 − 𝑍𝑐3 )𝑒 𝑖𝑘2 ሺ𝑥−𝐿ሻ

(𝑍𝑐2 + 𝑍𝑐3 )𝑒 𝑖𝑘2 ሺ𝐿−𝑥ሻ + (𝑍𝑐2 − 𝑍𝑐3 )𝑒 𝑖𝑘2 ሺ𝑥−𝐿ሻ
On pose : 𝛼 = 𝑘2 ሺ𝐿 − 𝑥ሻ.
(𝑍𝑐2 + 𝑍𝑐3 )𝑒 𝑖𝛼 − (𝑍𝑐2 − 𝑍𝑐3 )𝑒 −𝑖𝛼

(𝑍𝑐2 + 𝑍𝑐3 )𝑒 𝑖𝛼 + (𝑍𝑐2 − 𝑍𝑐3 )𝑒 −𝑖𝛼
𝑍𝑐2 (𝑒 𝑖𝛼 − 𝑒 −𝑖𝛼 ) + 𝑍𝑐3 (𝑒 𝑖𝛼 + 𝑒 −𝑖𝛼 ) 𝑖𝑍𝑐 sin 𝛼 + 𝑍𝑐3 cos 𝛼

𝑍ሺ𝑥ሻ = 𝑍𝑐2 = 𝑍𝑐2 2
𝑍𝑐2 ሺ𝑒 + 𝑒 ሻ + 𝑍𝑐3 ሺ𝑒 − 𝑒 ሻ
𝑖𝛼 −𝑖𝛼 𝑖𝛼 −𝑖𝛼 𝑍𝑐2 cos 𝛼 + 𝑖𝑍𝑐3 sin 𝛼
Qui peut s’écrire sous la forme suivante :
𝑍𝑐3 + 𝑖𝑍𝑐2 tg 𝛼
𝑍𝑐2 + 𝑖𝑍𝑐3 tg 𝛼
Nous vérifions que 𝑍ሺ𝑥 = 𝐿ሻ = 𝑍𝑐3 .
4. Est-il possible d’annuler la réflexion au niveau de la frontière 𝑥 = 0. Comment ?

Afin d’assurer une transmission totale :
𝑍ሺ𝑥 = 0ሻ = 𝑍𝑐1
𝑍𝑐 + 𝑖𝑍𝑐2 tgሺ𝑘2 𝐿ሻ
𝑍𝑐1 = 𝑍𝑐2 3
𝑍𝑐2 + 𝑖𝑍𝑐3 tgሺ𝑘2 𝐿ሻ
Pour cela, il faudrait que :
• tgሺ𝑘2 𝐿ሻ ⟶ ∞
d’où :
𝜆2
𝐿 = ሺ2𝑛 + 1ሻ
4
• et 𝑍𝑐2 = √𝑍𝑐1 𝑍𝑐3
245
N. MAGHLAOUI
Exercice 2
Le tuyau de longueur supposée infinie est parcouru par une onde dont la variation de la masse volumique
est :
𝜌ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ
1. Calculer la vitesse de particules 𝑢̇ ሺ𝑥, 𝑡ሻ et du déplacement associé 𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ.
𝜕𝜌 𝜕𝑢̇ 𝜕𝑢̇
+ 𝜌0 = 0 ⟹ 𝜌0 = −𝑖𝜔𝜌
𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑥
Nous trouvons :
𝑉
𝑢̇ ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ
𝜌0
Le déplacement est :
𝑢̇ ሺ𝑥, 𝑡ሻ 𝑉
𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ = = 𝐴𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ
𝑖𝜔 𝑖𝜔𝜌0
2. Calculer la pression acoustique 𝑝ሺ𝑥, 𝑡ሻ.
𝜕𝑝 𝜕𝑢̇
+ 𝜌0 =0
𝜕𝑥 𝜕𝑡
Nous obtenons :
𝑝ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑉 2 𝐴𝑒 𝑖ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ
3. Calculer de la puissance acoustique à travers une section perpendiculaire à la vitesse de propagation

de l’onde.
𝑆𝑉 3 2
ℙ = 𝑆 𝑝ሺ𝑥, 𝑡ሻ 𝑢̇ ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴 [cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘𝑥ሻ]2
𝜌0
4. Calculer l’intensité de l’onde.
ℙ 𝑉3 2
𝐼= = 𝐴 [𝑐𝑜𝑠ሺ𝜔𝑡 − 𝑘𝑥ሻ]2
𝑆 𝜌0
5. Déterminer l'expression de l'intensité acoustique de cette onde et en déduire la valeur numérique des
amplitudes de la pression 𝑃0 , de la vitesse des particules 𝑈̇0 et l’amplitude du déplacement 𝑈0 :
𝐼 = 10−3 𝑊𝑚−2 ; 𝑓 = 1 𝑘𝐻𝑧 𝑉 = 1500 𝑚𝑠 −1 , 𝜌0 = 103 𝑘𝑔𝑚−3 .
𝑃0 = √2𝜌0 𝑉𝐼 = 54.77 𝑃𝑎
246
N. MAGHLAOUI
𝑃0
𝑈̇0 = = 3.65 10−5 𝑚 𝑠 −1 = 36.15 µ𝑚 𝑠 −1
𝜌0 𝑉
𝑈̇0
𝑈0 = = 5.81 10−9 𝑚 = 5.81 𝑛𝑚
2𝜋𝑓
6. On désire mesurer la vitesse de propagation de l’onde dans le fluide, pour cela nous fermons le tuyau
en 𝑥 = 𝐿 par une paroi rigide. A l’aide d’un microphone sensible à l’intensité du son qu’on déplace à
l’intérieur du tuyau et d’un oscilloscope, on mesure la distance entre deux ventres successifs 𝑑 =
3.38 𝑐𝑚. Sachant que la fréquence est égale à 𝑓 = 2.5 𝑘𝐻𝑧. Calculer la vitesse de l’onde acoustique.
Quel est alors le fluide en question ?
𝜆 𝑉
𝑑= = ⟹ 𝑉 = 4𝑓𝑑 = 338 𝑚𝑠 −1
4 4𝑓
Le fluide en question est l’air.
247
N. MAGHLAOUI
Examen Final Physique 3, Mars 2021 (ENST)
Licence L2-ST
Durée 2h
Exercice 1
Le système de la figure ci-dessous est constitué par un chariot de masse 𝑚1 se déplaçant sur un rail
horizontal. Un pendule de longueur ℓ porte à l’une de ses extrémités une masse 𝑚2 supposée ponctuelle.
Son autre extrémité est reliée en un point G du chariot qui sert de pivot pour le pendule. Le déplacement
du chariot, mesuré à partir de sa position d’équilibre, décrit un mouvement sinusoïdal :
𝑥ሺ𝑡ሻ = 𝑥0 cosሺ𝜔𝑡ሻ ሺ𝜔 ≠ 𝑔/ℓሻ
𝑦
𝑥ሺ𝑡ሻ
𝑚1
𝑂 𝐺
𝑥
𝜃 ℓ
𝑚2
Le pendule est repéré par l’angle 𝜃 par rapport à la verticale. A l’équilibre, le pendule est vertical.
1. Calculer le lagrangien du système.
2. Montrer que l’équation différentielle du mouvement en 𝜃 prend la forme :
ℓ𝜃̈ + 𝑥̈ cos 𝜃 + 𝑔 sin 𝜃 = 0
3. Ecrire l’équation différentielle (1) dans le cas des oscillations de faibles amplitudes. On posera :
𝑔
𝜔02 =
ℓ
4. Déterminer dans ce cas l’expression de la solution 𝜃𝑓 ሺ𝑡ሻ de cette équation différentielle en régime
permanent.
5. En déduire la solution générale 𝜃ሺ𝑡ሻ.
6. En imposant au système les conditions initiales : 𝜃 ሺ0ሻ = 0 𝑟𝑑 et· 𝜃̇ሺ0ሻ = 0 𝑟𝑑 𝑠 −1 , trouver la

solution 𝜃 ሺ𝑡ሻ.
248
N. MAGHLAOUI
Exercice 2
Partie A : Oscillations libres.
On considère un pendule constitué par une tige rigide (Figure 1), de masse négligeable et de longueur ℓ,
portant à l’une de ses deux extrémités une masse 𝑚0 . Le pendule est couplé au moyen d’un ressort de
raideur k à un oscillateur constitué d’un chariot de masse 𝑚0 qui se déplace sans frottement sur un plan
horizontal et d’un ressort de raideur 𝑘0 qui relie le chariot à un bâti fixe (B). Le pendule peut tourner dans
un plan vertical autour d’un axe fixe ሺ∆ሻ passant par 𝑂. On désigne par 𝑥1 le déplacement du chariot
compté à partir de sa position d’équilibre et par 𝜃 l’angle que fait la tige avec la verticale. A l’équilibre,
lorsque la tige est verticale, les ressorts sont horizontaux et non déformés. On ne s’intéresse qu’aux faibles
oscillations du système.
ℓ 𝑥1
ሺ𝐵ሻ
𝜃 𝑘 𝑘0
𝑚0
𝑚0
Figure 1
1. Etablir les équations différentielles du mouvement en 𝑥1 et 𝜃 du système.
2. Les exprimer en fonction de 𝑥1 et 𝑥2 = ℓ𝜃 puis déterminer par la méthode de votre choix les
pulsations propres 𝜔1 et 𝜔2 de ce système dans le cas où :
𝑚0 𝑔
= 𝑘0
ℓ
3. Déterminer pour chacun des modes propres de ce système le rapport des amplitudes des oscillations
en 𝑥2 ሺ𝑡ሻ et en 𝑥1 ሺ𝑡ሻ.
4. On suppose maintenant que les deux oscillateurs sont couplés par un ressort de raideur faible: 𝑘 ≪
𝑘0 . A l’instant t = 0, on bloque le pendule à sa position verticale et on écarte le chariot de 𝑥0 par
rapport à sa position d’équilibre puis on abandonne l’ensemble du système sans vitesse initiale.
a. Etablir les solutions 𝑥1 ሺ𝑡ሻ et 𝑥2 ሺ𝑡ሻ (pulsations propres et rapports d’amplitudes).
b. Le graphe ci-dessous donne l’allure de 𝑥1 ሺ𝑡ሻ. Expliquer le mouvement que décrit le chariot.
Comment appelle-t-on ce phénomène ?
c. La mesure des deux périodes 𝑇𝑜𝑠𝑐 et 𝑇𝐵 à partir graphe de 𝑥1 ሺ𝑡ሻ donne: 𝑇𝑜𝑠𝑐 = 0.57 𝑠 et 𝑇𝐵 =
6, 85 𝑠. En déduire les valeurs des raideurs 𝑘0 et 𝑘 sachant que 𝑚0 = 200 𝑔.
𝑇𝐵
𝑎a
𝑥1 ሺ𝑡ሻ
1
x
−𝑎-a 𝑡 ሺ𝑠ሻ
temps (s)
a 𝑇𝑂𝑆𝐶
2
249
x
N. MAGHLAOUI
-a
temps (s)
Partie B : Oscillations amorties forcées.
On reprend le système mécanique précédent et on place un amortisseur de coefficient de frottement
visqueux 𝛼 en parallèle avec le ressort de raideur 𝑘0 (Figure 2). De plus, une force extérieure sinusoïdale
𝐹 ሺ𝑡ሻ = 𝐹0 cos 𝜔𝑡 est appliquée sur le chariot. La raideur 𝑘 du ressort de couplage n’est pas faible. On
prendra comme dans la partie A :
𝑚0 𝑔
= 𝑘0
ℓ
𝐹ሺ𝑡ሻ
ℓ 𝑥1
𝛼 ሺ𝐵ሻ
𝜃 𝑘
𝑘0
𝑚0
𝑚0
Figure 2
1. Ecrire les nouvelles équations différentielles en 𝑥1 et 𝑥2 .

2. Trouver dans l’analogie Force-Tension, les équations électriques équivalentes en précisant la
correspondance entre les éléments électriques et mécaniques.
3. Donner le circuit électrique équivalent au système mécanique.
4. Calculer l’impédance mécanique d’entrée.
5. Le système est excité à la pulsation :
𝑘 + 𝑘0
𝜔=√
𝑚0
a. Calculer les vitesses 𝑥̇ 1 et 𝑥̇ 2 des deux oscillateurs. Que peut-on dire du mouvement du chariot ?
b. Donner le nouveau circuit électrique équivalent.
250
N. MAGHLAOUI
Solution
Exercice 1
1. L’énergie cinétique du système
𝑇 = 𝑇𝑚1 + 𝑇𝑚2
1
𝑇𝑚1 = 𝑚1 𝑥̇ 2
2
La vitesse de la masse 𝑚2 est calculée à partir de sa position :
𝑥 + ℓ sin 𝜃 𝑥̇ + ℓ𝜃̇ cos 𝜃
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬ⃗
𝑂𝑚2 = ( ) ⟹ 𝑣⃗𝑚2 = ( )
−ℓ cos 𝜃 ℓ𝜃̇ sin 𝜃
Ce qui donne :
1 1
𝑇𝑚2 = 𝑚2 𝑣𝑚 2
= 𝑚2 (𝑥̇ 2 + ℓ2 𝜃̇ 2 + 2ℓ𝑥̇ 𝜃̇ cos 𝜃)
2 2
2
L’énergie cinétique est :
1
𝑇 = [ሺ𝑚1 + 𝑚2 ሻ𝑥̇ 2 + 𝑚2 ℓ2 𝜃̇ 2 + 2𝑚2 ℓ𝑥̇ 𝜃̇ cos 𝜃]
2
𝑈𝑚2 = −𝑚2 𝑔ℓ cos 𝜃
1
𝐿 = [ሺ𝑚1 + 𝑚2 ሻ𝑥̇ 2 + 𝑚2 ℓ2 𝜃̇ 2 + 2𝑚2 ℓ𝑥̇ 𝜃̇ cos 𝜃] + 𝑚2 𝑔ℓ cos 𝜃
2
2. L’équation de Lagrange :
− =0
Nous obtenons :
𝑚2 ℓ2 𝜃̈ − 𝑚2 ℓ𝑥̇ 𝜃̇ sin 𝜃 + 𝑚2 ℓ𝑥̈ cos 𝜃 + 𝑚2 ℓ𝑥̇ 𝜃̇ sin 𝜃 + 𝑚2 𝑔ℓ sin 𝜃 = 0
Soit :
ℓ𝜃̈ + 𝑥̈ cos 𝜃 + 𝑔 sin 𝜃 = 0
3. Dans le cas des faibles amplitudes, l’équation est linéaire :
cos 𝜃 ≈ 1, sin 𝜃 = 𝜃
L’équation du mouvement devient :
ℓ𝜃̈ + 𝑥̈ + 𝑔𝜃 = 0
𝑗𝜔𝑡
comme : 𝑥ሺ𝑡ሻ = 𝑥0 𝑒 , alors :
𝑔 𝜔2 𝑥0 𝑗𝜔𝑡
̈𝜃 + 𝜃 = 𝑒
ℓ ℓ
qui s’écrit :
𝜔2 𝑥0 𝑗𝜔𝑡
𝜃̈ + 𝜔02 𝜃 = 𝑒
ℓ
4. La solution est de la forme :
𝜃𝑓 = 𝐴𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡+𝜑ሻ
En remplaçant dans l’équation du mouvement, nous trouvons:
𝜔2 𝑥0
𝐴𝑒 𝑗𝜑 = 2 ℓ 2
𝜔0 − 𝜔
251
N. MAGHLAOUI
Nous déduisons que :
𝜔2 𝑥0
𝐴= 2
|𝜔0 − 𝜔 | ℓ
2
et :
0 pour 𝜔 < 𝜔0
𝜑={
𝜋 pour 𝜔 > 𝜔0
5. La solution générale est la somme de la solution particulière et la solution de l’équation homogène
(libre).
𝜃 = 𝜃𝑓 + 𝜃ℓ
La solution libre s’écrit 𝜃ℓ ሺ𝑡ሻ = 𝐶 cosሺ𝜔0 𝑡 + 𝜓ሻ. D’où la solution générale :
𝜔2 𝑥0
𝜃ሺ𝑡ሻ = 𝐶 cosሺ𝜔0 𝑡 + 𝜓ሻ + 2 cosሺ𝜔𝑡ሻ
𝜔0 − 𝜔 2 ℓ
6. En tenant compte des conditions initiales : 𝜃ሺ0ሻ = 0 et 𝜃̇ ሺ0ሻ = 0, on obtient :
−𝐶𝜔0 sinሺ𝜓ሻ = 0 𝜓=0

{ 𝜔 2
𝑥0 ⟹{ 𝜔2 𝑥0
𝐶 cosሺ𝜓ሻ + 2 =0 𝐶=− 2
𝜔0 − 𝜔 2 ℓ 𝜔0 − 𝜔 2 ℓ
d’où
𝑥0 𝜔2
𝜃ሺ𝑡ሻ = [−cosሺ𝜔0 𝑡ሻ + cosሺ𝜔𝑡ሻ]
ℓ 𝜔02 − 𝜔 2
Exercice 2
Partie A : Oscillations libres
1. L’énergie cinétique du système s’écrit :
1 1
𝑇 = 𝑚0 𝑥̇ 12 + 𝑚0 ℓ2 𝜃̇ 2
2 2
L’énergie potentielle :
1 1
𝑈 = −𝑚0 𝑔ℓ cos 𝜃 + 𝑘ሺ𝑥1 − ℓ sin 𝜃ሻ2 + 𝑘0 𝑥12
2 2
Dans le cas des faibles oscillations :
𝜃2 1 1
𝑈 = 𝑚0 𝑔ℓ + 𝑘ሺ𝑥1 − ℓ𝜃ሻ2 + 𝑘0 𝑥12
2 2 2
Ainsi, les équations du mouvement en 𝑥1 et 𝜃 s’écrivent :
𝑚0 𝑥̈ 1 + 𝑘0 𝑥1 + 𝑘ሺ𝑥1 − ℓ𝜃ሻ = 0
{
𝑚0 ℓ2 𝜃̈ + 𝑚0 𝑔ℓ𝜃 + 𝑘ℓሺℓ𝜃 − 𝑥1 ሻ = 0
2. En posant 𝑥2 = ℓ𝜃, on obtient :
𝑚0 𝑥̈ 1 + 𝑘0 𝑥1 + 𝑘ሺ𝑥1 − 𝑥2 ሻ = 0
{ 𝑚0 𝑔
𝑚0 𝑥̈ 2 + 𝑥 + 𝑘ሺ𝑥2 − 𝑥1 ሻ = 0
ℓ 2
Nous cherchons des solutions de la forme : 𝑥1 = 𝐴1 cosሺ𝜔𝑡 + 𝜑ሻ et 𝑥2 = 𝐴2 cosሺ𝜔𝑡 + 𝜑ሻ. En
posant :
𝑚0 𝑔
= 𝑘0
ℓ
on obtient alors
252
N. MAGHLAOUI
ሺ−𝑚0 𝜔2 + 𝑘0 + 𝑘ሻ𝐴1 − 𝑘𝐴2 = 0
{
ሺ−𝑚0 𝜔2 + 𝑘0 + 𝑘ሻ𝐴2 − 𝑘𝐴1 = 0
Ce système en 𝐴1 et 𝐴2 admet des solutions non nulles si :
ሺ−𝑚0 𝜔2 + 𝑘0 + 𝑘ሻ −𝑘
| 2 |=0
−𝑘 ሺ−𝑚0 𝜔 + 𝑘0 + 𝑘ሻ
soit :
ሺ−𝑚0 𝜔2 + 𝑘0 + 𝑘ሻ2 − 𝑘 2 = 0
D’où les pulsations propres du système :
𝑘0 𝑘0 + 2𝑘
𝜔1 = √ et 𝜔2 = √
𝑚0 𝑚
3. Dans le mode 1, les équations différentielles donnent :

ሺ−𝑚0 𝜔12 + 𝑘0 + 𝑘ሻ𝐴11 − 𝑘𝐴21 = 0
soit :
𝐴21
=1
𝐴11
De même dans le mode 2 :
ሺ−𝑚0 𝜔22 + 𝑘0 + 𝑘ሻ𝐴12 − 𝑘𝐴22 = 0
soit :
𝐴22
= −1
𝐴12
4.a. Les solutions générales s’écrivent :
𝑥2 = 𝐴11 cosሺ𝜔1 𝑡 + 𝜑1 ሻ − 𝐴12 cosሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑2 ሻ
En imposant les conditions initiales : 𝑥1 ሺ0ሻ = 𝑥0 , 𝑥2 ሺ0ሻ = 0 et 𝑥̇ 1 ሺ0ሻ = 𝑥̇ 2 ሺ0ሻ = 0, on obtient :

𝑥0
𝐴11 = 𝐴12 = et 𝜑1 = 𝜑2 = 0
2
d’où :
𝑥0
𝑥1 = [cosሺ𝜔1 𝑡ሻ + cosሺ𝜔2 𝑡ሻ]
{ 2
𝑥0
𝑥2 = [cosሺ𝜔1 𝑡ሻ − cosሺ𝜔2 𝑡ሻ]
2
4.b. Le chariot décrit un mouvement sinusoïdal de période 𝑇𝑜𝑠𝑐 , modulé par un signal harmonique de
période 2𝑇𝐵 . Le phénomène physique observé est celui du battement, 𝑇𝐵 représente le temps entre
arrêts successifs, c’est donc la période de battement.
253
N. MAGHLAOUI
4.c. Nous avons :
2𝜋 2𝜋
𝑇𝐵 = , 𝑇𝑜𝑠𝑐 =
𝜔𝐵 𝜔𝑜𝑠𝑐
avec :
𝜔2 + 𝜔1
𝜔𝐵 = 𝜔2 − 𝜔1 , 𝜔𝑜𝑠𝑐 =
2
comme : 𝑘 ≪ 𝑘0 , alors : 𝜔𝑜𝑠𝑐 ≈ 𝜔1.
2𝜋 𝑘0 4𝜋 2 𝑚0
𝜔1 = =√ ⟹ 𝑘0 = 2
= 24.3 𝑁 𝑚−1
𝑇𝑜𝑠𝑐 𝑚0 𝑇𝑜𝑠𝑐
De plus :
2𝜋 𝑘0 + 2𝑘 𝑘0 𝑘0 2𝑘
𝜔𝐵 = 𝜔2 − 𝜔1 ⟹ =√ −√ = √ [√1 + − 1]
𝑇𝐵 𝑚0 𝑚0 𝑚0 𝑘0
d’où :
2𝜋 2𝜋 𝑘 𝑇𝑜𝑠𝑐
≈ ⟹ 𝑘 = 𝑘0 = 2.02 𝑁 𝑚−1
𝑇𝐵 𝑇𝑜𝑠𝑐 𝑘0 𝑇𝐵
Partie B : Oscillations forcées
1. Les équations du mouvement s’écrivent :
𝑚 𝑥̈ + 𝛼𝑥̇ 1 + 𝑘0 𝑥1 + 𝑘ሺ𝑥1 − 𝑥2 ሻ = 𝐹ሺ𝑡ሻ
{ 0 1
𝑚0 𝑥̈ 2 + 𝑘0 𝑥2 + 𝑘ሺ𝑥2 − 𝑥1 ሻ = 0
2. Les équations aux vitesses s’écrivent :
𝑘0 𝑘
𝑗𝑚0 𝜔𝑥̇ 1 + 𝛼𝑥̇ 1 + 𝑥̇ 1 + ሺ𝑥̇ 1 − 𝑥̇ 2 ሻ = 𝐹ሺ𝑡ሻ
𝑗𝜔 𝑗𝜔
𝑘0 𝑘
𝑗𝑚0 𝜔𝑥̇ 2 + 𝑥̇ 2 + ሺ𝑥̇ 2 − 𝑥̇ 1 ሻ = 0
{ 𝑗𝜔 𝑗𝜔
L’analogie force tension permet d’écrire :

1 1
𝑗𝐿0 𝜔𝑖1 + 𝑅𝑖1 + 𝑖1 + ሺ𝑖 − 𝑖2 ሻ = 𝑒ሺ𝑡ሻ
𝑗𝐶0 𝜔 𝑗𝐶𝜔 1
1 1
𝑗𝐿0 𝜔𝑖2 + 𝑖̇2 + ሺ𝑖̇ − 𝑖̇1 ሻ = 0
{ 𝑗𝐶0 𝜔 𝑗𝐶𝜔 2
avec :
1 1
𝐹ሺ𝑡ሻ ⟺ 𝑒ሺ𝑡ሻ, 𝑥̇ 1 ሺ𝑡ሻ ⟺ 𝑖1 ሺ𝑡ሻ, 𝑥̇ 2 ሺ𝑡ሻ ⟺ 𝑖2 ሺ𝑡ሻ, 𝛼 ⟺ 𝑅, 𝑚0 ⟺ 𝐿0 , 𝑘0 ⟺ et 𝑘 ⟺
𝐶0 𝐶
254
N. MAGHLAOUI
3. Le circuit électrique équivalent :
𝐶0
𝑅 𝐿0 𝐿0
𝑖2
𝑖1
𝑒ሺ𝑡ሻ 𝐶 𝐶0
4. Les équations aux vitesses en notation complexe s’écrivent :

𝑘0 + 𝑘 𝑘
(𝛼 + 𝑗𝑚0 𝜔 + ) 𝑥̇ 1 − 𝑥̇ 2 = 𝐹ሺ𝑡ሻ
𝑗𝜔 𝑗𝜔
𝑘0 + 𝑘 𝑘
(𝑗𝑚0 𝜔 + ) 𝑥̇ 2 − 𝑥̇ 1 = 0
{ 𝑗𝜔 𝑗𝜔
Les 2 équations nous permettent de trouver :
𝐹 ሺ𝑘0 + 𝑘 − 𝑚0 𝜔2 ሻ2 − 𝑘 2
𝑍𝑒 = =𝛼+
𝑥̇ 1 𝑗𝜔ሺ𝑘0 + 𝑘 − 𝑚0 𝜔 2 ሻ
5. Le système est excité à la pulsation 𝜔 = √ሺ𝑘0 + 𝑘ሻ/𝑚0
a. L’impédance d’entrée 𝑍𝑒 est infinie, la vitesse 𝑥̇ 1 s’annule. Le chariot est immobile. La pulsation :
𝑘0 + 𝑘
𝜔=√
𝑚0
est une pulsation d’antirésonance.
Des équations aux vitesses nous calculons 𝑥̇ 2 :

𝑗𝜔 𝜔 𝜋
𝑥̇ 2 ሺ𝑡ሻ = − 𝐹ሺ𝑡ሻ = 𝐹0 𝑒 𝑗(𝜔𝑡− 2 )
𝑘 𝑘
b. Par analogie, le courant 𝑖1 s’annule, nous avons un circuit bouchon.
𝐶0
𝑅 𝐿0 𝐿0
𝑖2
𝑖1 = 0
𝑉=0 𝐶0
𝑒ሺ𝑡ሻ 𝐶
1 1 1
𝜔=√ ( + )
𝐿0 𝐶0 𝐶
Circuit bouchon
255
N. MAGHLAOUI
Examen Final Physique 4, Septembre 2019 (ENSTP)
Licence L2-ST
Durée 1h40
Exercice 1
Partie A
On considère un tuyau (1) de longueur semi-infinie et de section 𝑆1 raccordé en 𝑥 = 0 à un tuyau (2)

semi-infini de section 𝑆2 > 𝑆1 (figure 1a). A gauche ሺ𝑥 ≤ 0ሻ, le milieu 1 est caractérisé par une masse
volumique 𝜌1 et une vitesse de propagation 𝑣1 ; à droite ሺ𝑥 ≥ 0ሻ, le milieu 2 est caractérisé par une masse
volumique 𝜌2 et une vitesse de propagation 𝑣2 . Une onde de pression incidente, venant de la gauche, de
pulsation 𝜔 et d’amplitude complexe 𝐴1 , se propage le long des 𝑥 croissants.
ሺ𝜌1 , 𝑣1 ሻ ሺ𝜌2 , 𝑣2 ሻ Tuyau ouvert

𝑆2 𝑆2
ሺ𝜌1 , 𝑣1 ሻ
𝑆1 𝐵1 𝐵2
ሺ𝜌2 , 𝑣2 ሻ 𝑆1
𝐴1 𝐴2
𝑥 𝑥
𝑥=0 𝑥=0
Figure 1a Figure 1b
1. Ecrire, en fonction des coefficients de réflexion 𝑟 et de transmission 𝑡 en pression, les expressions des
ondes de pression 𝑝1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ et 𝑝2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ respectivement dans les tuyaux (1) et (2). En déduire les
expressions respectives des vitesses particulaires 𝑢̇ 1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ et 𝑢̇ 2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ.
2. Ecrire les équations de continuité en x = 0 pour la pression acoustique et pour le débit volumique.
3. En déduire les expressions de r et t en fonction de 𝜌1 ; 𝑣1 ; 𝑆1; 𝜌2 ; 𝑣2 et 𝑆2 .
4. Déterminer les coefficients de réflexion 𝑅 et de transmission 𝑇 en énergie. Quelle est la relation qui
lie ces deux coefficients ?
Partie B
Le tuyau (2) a maintenant une longueur fini L et est ouvert à l’extérieur en 𝑥 = 𝐿 (Figure 1b). On désigne
par 𝐴𝑖 et 𝐵𝑖 ሺ𝑖 = 1, 2ሻles amplitudes des ondes incidente et réfléchie dans chacun des deux tuyaux.
1. Donner en notation complexe les expressions des ondes de pression acoustique 𝑝1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ et 𝑝2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ
dans les tuyaux (1) et (2) respectivement.
2. En écrivant la condition aux limites en 𝑥 = 𝐿, déterminer la relation entre 𝐵2 et 𝐴2 .
3. Montrer que l’impédance acoustique du tuyau (2) en 𝑥 = 0 s’écrit sous la forme :
𝜌2 𝑣2 𝜔𝐿
𝑍2 ሺ0ሻ = 𝑗 tan ( )
𝑆2 𝑣2
256
N. MAGHLAOUI
4. En notant 𝑍1 l’impédance caractéristique du tuyau (1), donner, en fonction de 𝑍2 ሺ0ሻ et 𝑍1 , le
coefficient de réflexion 𝑟 en pression en 𝑥 = 0.
5. Trouver la plus petite longueur 𝐿 du tuyau (2) permettant d’obtenir un ventre de pression en 𝑥 = 0.
Exercice 2
L’espace étant rapporté à un trièdre direct (𝑒⃗𝑥 , 𝑒⃗𝑦 , 𝑒⃗𝑧 ), on considère une onde électromagnétique plane
progressive sinusoïdale de longueur d’onde 𝜆 = 5 10−7 m qui se propage dans le vide de perméabilité
magnétique μ0 et de permittivité diélectrique 𝜀0 : L’onde est décrite par un vecteur champ électrique 𝐸ሬ⃗
dont les composantes sont données par :
𝐸𝑥 = 𝐸0 cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘𝑧ሻ
ሬ⃗
𝐸 = { 𝐸𝑦 = 𝐸0 sinሺ𝜔𝑡 − 𝑘𝑧ሻ
0
1. Quelle est
a. La direction de propagation de l’onde ?
b. L’équation du plan d’onde passant par le point ?
c. La fréquence de l’onde.
d. La polarisation de l’onde.
2. Déterminer l’expression du champ magnétique 𝐵 ሬ⃗ de l’onde puis représenter en un point 𝑀 de l’espace

les trois vecteurs 𝐸ሬ⃗ , 𝐵 ሬ⃗ en y indiquant clairement la direction et le sens de chaque vecteur.
ሬ⃗ et 𝑘
ሬ⃗ de cette onde. Quelle est la valeur moyenne de son module dans

3. Exprimer le vecteur de Poynting ℛ
le temps ?
4. Sachant que l’intensité de l’onde vaut 𝐼 = 0.1 𝑊 𝑚−2 , calculer la valeur de 𝐸0 .
On donne: μ0 = 4𝜋 10−7 𝐻 𝑚−1 et 𝑐 = 3 108 𝑚 𝑠 −1 .
Exercice 3
On considère une corde homogène de longueur 𝐿 et de mase linéique μ tendue horizontalement suivant
un axe Ox avec une tension 𝑇0 . La corde est libre à son extrémité 𝐴 ሺ𝑥 = 𝐿ሻ et est reliée à son autre
extrémité 𝑂 ሺ𝑥 = 0ሻ à un vibreur qui impose un déplacement transversal harmonique de la forme
𝑦ሺ0, 𝑡ሻ = 𝑎 𝑒 𝑗𝜔𝑡 (Figure 2). L’onde incidente 𝑦𝑖 ሺ𝑥, 𝑡ሻ émise par le vibreur se propage le long des x
croissants et se réfléchit en 𝐴.
𝑦ሺ0, 𝑡ሻ = 𝑎 𝑒 𝑗𝜔𝑡 Libre
𝑥
0 𝐿
Figure 2
1. Ecrire l’expression de l’onde résultante 𝑦ሺ𝑥, 𝑡ሻ en un point d’abscisse x de la corde à l’instant 𝑡.
2. En tenant compte des conditions aux limites, montrer qu’il s’établit le long de la corde un système
d’ondes stationnaires d’amplitude :
257
N. MAGHLAOUI
cos[𝑘ሺ𝐿 − 𝑥ሻ]
𝐴ሺ𝑥ሻ = 𝑎
cosሺ𝑘𝐿ሻ
3. Sachant que 𝑓 = 20 𝐻𝑧 et 𝑎 = 1 𝑐𝑚, déterminer l’amplitude et les positions des nœuds et des
ventres de vibration.
4. 𝑇0 et 𝐿 étant maintenus constants, pour quelles fréquences obtient-on le phénomène de résonance ?
On donne : 𝐿 = 1 𝑚, μ = 0.025 𝑘𝑔 𝑚−1 et 𝑇0 = 2.5 𝑁:
258
N. MAGHLAOUI
Solution
Exercice 1
Partie A
1. L’onde de pression dans le tuyau (1)
𝑝1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘1𝑥ሻ + 𝐵𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡+𝑘1𝑥ሻ = 𝐴𝑒 𝑗𝜔𝑡 (𝑒 −𝑗𝑘1𝑥 + 𝑟𝑒 𝑗𝑘1𝑥 )
𝐵 représente l’amplitude de l’onde réfléchie, 𝑟 le coefficient de réflexion en pression et 𝑘1 le module
du vecteur d’onde dans le milieu (1) :
𝐵 𝜔
𝑟 = , 𝑘1 =
𝐴 𝑣1
De même, l’onde de pression dans le tuyau (2) s’écrit :
𝑝2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐶𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘2𝑥ሻ = 𝑡𝐴𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘2𝑥ሻ
𝐶 représente l’amplitude de l’onde transmise, 𝑡 le coefficient de transmission en pression et 𝑘2 le
module du vecteur d’onde dans le milieu (2) :
𝐶 𝜔
𝑡 = , 𝑘2 =
𝐴 𝑣2
Les vitesses de particules associées à 𝑝1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ et 𝑝2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ sont respectivement :
𝐴 𝑗𝜔𝑡 −𝑗𝑘 𝑥
𝑢̇ 1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑒 (𝑒 1 − 𝑟𝑒 𝑗𝑘1𝑥 )
𝜌1 𝑣1
et
𝑡𝐴 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘 𝑥ሻ
𝑢̇ 2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑒 2
𝜌2 𝑣2
2. Les conditions au niveau de la frontière 𝑥 = 0 :
𝑝1 ሺ0, 𝑡ሻ = 𝑝2 ሺ0, 𝑡ሻ ⟹ 1 + 𝑟 = 𝑡
La continuité du débit volumique en 𝑥 = 0 :
𝑆1 𝑆2
𝑆1 𝑢̇ 1 ሺ0, 𝑡ሻ = 𝑆2 𝑢̇ 2 ሺ0, 𝑡ሻ ⟹ ሺ1 − 𝑟ሻ = 𝑡
𝜌1 𝑣1 𝜌2 𝑣2
3. A partir des conditions précédentes, nous obtenons :
𝜌2 𝑣2 𝜌1 𝑣1
𝑆2 − 𝑆1
𝑟=𝜌 𝑣 𝜌2 𝑣2
1 1
𝑆1 + 𝑆2
et
𝜌2 𝑣2
2 𝑆
𝑡 = 𝜌 𝑣 2𝜌 𝑣
1 1 2 2
𝑆1 + 𝑆2
4. Les coefficients de réflexion et de transmission en énergie sont définis :
〈𝒫𝑟 〉 〈𝒫𝑡 〉
𝑅= ,𝑇 =
〈𝒫𝑖 〉 〈𝒫𝑖 〉
〈𝒫𝑖 〉, 〈𝒫𝑟 〉 et 〈𝒫𝑡 〉 représentent respectivement les puissances moyennes des ondes incidente, réfléchie
et transmise.
1 𝑆1 2 1 𝑆1 1 𝑆2
〈𝒫𝑖 〉 = 𝐴 , 〈𝒫𝑟 〉 = ሺ𝑟𝐴ሻ2 et 〈𝒫𝑟 〉 = ሺ𝑡𝐴ሻ2
2 𝜌1 𝑣1 2 𝜌1 𝑣1 2 𝜌2 𝑣2
Nous obtenons :
259
N. MAGHLAOUI
𝜌1 𝑣1
〈𝒫𝑡 〉 𝑆1 2
𝑅 = 𝑟 2, 𝑇 = =𝜌 𝑣 𝑡
〈𝒫𝑖 〉 2 2
𝑆2
On pose
𝜌1 𝑣1 𝜌2 𝑣2
𝑍1 = et 𝑍2 =
𝑆1 𝑆2
Cela simplifie les expressions :
𝑍2 − 𝑍1 2 4𝑍1 𝑍2
𝑅=( ) ,𝑇 =
𝑍1 + 𝑍2 ሺ𝑍1 + 𝑍2 ሻ2
Nous constatons aisément que :
𝑅+𝑇 =1
Partie B
1. Les ondes de pression dans les tuyau (1) et (2) sont respectivement :
𝑝1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘1𝑥ሻ + 𝐵𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡+𝑘1𝑥ሻ

et
𝑝2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐶𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘2𝑥ሻ + 𝐷𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡+𝑘2𝑥ሻ
2. Le tuyau étant ouvert en 𝑥 = 𝐿, nous avons :

𝐷
𝑝2 ሺ𝐿, 𝑡ሻ = 0 ⟹ = −𝑒 −2𝑗𝑘2 𝐿
𝐶
3. L’impédance acoustique dans le tuyau (2) s’écrit :
𝑝2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ 𝐶𝑒 −𝑗𝑘2𝑥 + 𝐷𝑒 𝑗𝑘2 𝑥
𝑍2 ሺ𝑥ሻ = = 𝑍2 −𝑗𝑘 𝑥
𝑆2 𝑢̇ 2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ 𝐶𝑒 2 − 𝐷𝑒 𝑗𝑘2 𝑥
d’où :
𝐷
𝐶+𝐷 1+𝐶
𝑍2 ሺ0ሻ = 𝑍2 = 𝑍2
𝐶−𝐷 𝐷
1−𝐶
La condition en 𝑥 = 𝐿, permet de trouver :
1 − 𝑒 −2𝑗𝑘2𝐿
𝑍2 ሺ0ሻ = 𝑍2 = 𝑗𝑍2 𝑡𝑔ሺ𝑘2 𝐿ሻ
1 + 𝑒 −2𝑗𝑘2𝐿
qui s’écrit :
𝜌2 𝑣2 𝜔𝐿
𝑍2 ሺ0ሻ = 𝑗 𝑡𝑔 ( )
𝑆2 𝑣2
4. Le coefficient de réflexion en 𝑥 = 0 est :
𝑍2 ሺ0ሻ − 𝑍1
𝑟=
𝑍2 ሺ0ሻ + 𝑍1
avec :
260
N. MAGHLAOUI
𝜌1 𝑣1
𝑍1 =
𝑆1
5. Un ventre de pression implique un nœud de vitesse en 𝑥 = 0, dans ce cas 𝑟 = 1, 𝑍2 ሺ0ሻ ⟶ ∞.

d’où :
𝑡𝑔ሺ𝑘2 𝐿ሻ ⟶ ∞
Cette condition est satisfaite si :
𝜋 𝜆2
𝑘2 𝐿 = ሺ2𝑛 + 1ሻ ⟹ 𝐿 = ሺ2𝑛 + 1ሻ
2 4
La plus petite longueur qui permet d’obtenir un ventre de pression en 𝑥 = 0 est :
𝜆2
𝐿=
4
Exercice 2
1. a. L’onde se propage dans le sens des 𝑧 croissants, le vecteur d’onde est :
𝜔
ሬ⃗ = 𝑘𝑒⃗𝑧 = 𝑒⃗𝑧
𝑘
𝑐
b. l’équation du plan d’onde passant par le point 𝐴 est 𝑧 = 4, plan perpendiculaire au vecteur d’onde.
c. La fréquence de l’onde est :
𝑐
𝑓 = = 6 1014 𝐻𝑧
𝜆
d. Nous avons :
𝐸𝑥2 + 𝐸𝑦2 = 𝐸02
L’équation est celle d’un cercle. De plus, on a :
𝐸0
ሬ⃗
A 𝑡 = 0, 𝐸 ሺ0,0ሻ = ( 0 )
0
0
ሬ⃗
A 𝑡 = 𝑇/4, 𝐸 ሺ0, 𝑡ሻ = (𝐸0 )
0
La polarisation est donc circulaire gauche.
2. L’onde est plane sinusoïdale
ሬ⃗ × 𝐸ሬ⃗ 1
𝑘
𝐵ሬ⃗ = = 𝑒⃗𝑧 × (𝐸𝑥 𝑒⃗𝑥 + 𝐸𝑦 𝑒⃗𝑦 )
𝜔 𝑐
nous trouvons :
1
ሬ⃗ = (−𝐸𝑦 𝑒⃗𝑥 + 𝐸𝑥 𝑒⃗𝑦 )
𝐵
𝑐
qui s’écrit :
𝐸
ሬ⃗ = 0 [− sinሺ𝜔𝑡 − 𝑘𝑧ሻ 𝑒⃗𝑥 + cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘𝑧ሻ 𝑒⃗𝑦 ]
𝐵
𝑐
𝑦
ሬ⃗
𝐵 𝐸ሬ⃗ 𝑒⃗𝑦
𝑒⃗𝑧
𝑒⃗𝑥
𝑘ሬ⃗
𝑥
O
261
N. MAGHLAOUI
ሬ⃗ est :
3. Le vecteur de Poynting ℛ
𝐸ሬ⃗ × 𝐵ሬ⃗ 𝐸02
ሬ⃗ =
ℛ = 𝑒⃗
𝜇0 𝜇0 𝑐 𝑧
La valeur moyenne du module est :
𝐸02
〈ℛ〉 =
𝜇0 𝑐
4. L’intensité de l’onde est :
𝐸02
𝐼 = 〈ℛ〉 =
𝜇0 𝑐
On en déduit l’amplitude 𝐸0 :
𝐸0 = √𝜇0 𝑐 𝐼 = 6.14 𝑉 𝑚−1
Exercice 3
1. L’onde résultante est :
𝐴 et 𝐵 sont les amplitudes des ondes incidente et réfléchie.
2. La condition en 𝑥 = 0 est :
𝐴+𝐵 =𝑎
De même la condition en 𝑥 = 𝐿 est :
𝜕𝑦
−𝑇0 | = 0 ⟹ 𝐴𝑒 −𝑗𝑘𝐿 − 𝐵𝑒 𝑗𝑘𝐿 = 0
𝜕𝑥 𝑥=𝐿
d’où :
𝐵
= 𝑒 −2𝑗𝑘𝐿
𝐴
A partir des deux conditions :
𝐵 𝑎 𝑎
𝐴 (1 + ) = 𝑎 ⟹ 𝐴 = = 𝑒 𝑗𝑘𝐿
𝐴 1 + 𝑒 −2𝑗𝑘𝐿 2 cosሺ𝑘𝐿ሻ
L’équation d’onde peut s’écrire :
𝐵 𝑎
𝑦ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴𝑒 𝑗𝜔𝑡 [𝑒 −𝑗𝑘𝑥 + 𝑒 𝑗𝑘𝑥 ] = 𝑒 𝑗𝑘𝐿 [𝑒 −𝑗𝑘𝑥 + 𝑒 𝑗𝑘ሺ𝑥−2𝐿ሻ ]𝑒 𝑗𝜔𝑡
𝐴 2 cosሺ𝑘𝐿ሻ
qui s’écrit sous la forme :
𝑎 cos[𝑘ሺ𝐿 − 𝑥ሻ] 𝑗𝜔𝑡
𝑦ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑒
cosሺ𝑘𝐿ሻ
La corde est le siège d’ondes stationnaires d’amplitude :
𝑎 cos[𝑘ሺ𝐿 − 𝑥ሻ]
𝐴ሺ𝑥ሻ =
cosሺ𝑘𝐿ሻ
3. Les nœuds sont les points d’amplitude nulle 𝐴ሺ𝑥𝑛 ሻ = 0. Leurs positions sont telles que :
cos[𝑘ሺ𝐿 − 𝑥ሻ] = 0
soit :
𝜆
𝑥𝑛 = 𝐿 − ሺ2𝑛 + 1ሻ ሺ𝑛 = 0, 1, 2 … ሻ
4
De même l’amplitude des ventres est :
𝑎
𝐴ሺ𝑥𝑛 ሻ = ±
cosሺ𝑘𝐿ሻ
262
N. MAGHLAOUI
Leurs positions sont données par : cos[𝑘ሺ𝐿 − 𝑥ሻ] = ±1.
soit :
𝜆
𝑥𝑛′ = 𝐿 − 𝑛 ሺ𝑛 = 0, 1, 2 … ሻ
2
𝑣 1 𝑇0
𝜆= = √ = 0.5 𝑚
𝑓 𝑓 𝜇
Les positions des nœuds sont :
𝑥𝑛 = 0.125 𝑚, 0.625 𝑚, 0.375 𝑚, 0.125 𝑚.
Les positions des ventres sont :
𝑥𝑛′ = 0.25 𝑚, 0.50 𝑚, 0.75 𝑚, 1 𝑚.
4. La résonance est obtenue lorsque l’amplitude du ventre est infinie, soit :
𝑣
cosሺ𝑘𝐿ሻ = 0 ⟹ 𝑓𝑛 = ሺ2𝑛 + 1ሻ ሺ𝑛 = 0, 1, 2, … ሻ
4𝐿
𝑓𝑛 représente les fréquences de résonance.
263
N. MAGHLAOUI
Examen Final Physique 4, MAI 2021 (ENST)
Licence L2-ST
Durée 2h00
Exercice 1
Partie A
Une corde infinie de masse linéique μ est soumise à une tension 𝑇0 , supposée constante et très grande
devant son poids. Une onde de pulsation 𝜔 arrive de −∞ et progresse dans la direction des x positifs. On
étudie les petits déplacements 𝑦ሺ𝑥, 𝑡ሻ de la corde.
1. Donner l’équation régissant l’évolution du déplacement des particules 𝑦ሺ𝑥, 𝑡ሻ. Comment appelle-t-on
cette équation ?
2. Donner l’expression de 𝑦ሺ𝑥, 𝑡ሻ et déterminer l’impédance de la corde 𝑍ሺ𝑥ሻ. Calculer sa valeur

numérique, sachant que la corde est en cuivre, de diamètre 𝑑 = 0.4 𝑚𝑚 et de masse volumique 𝜌 =
8900 𝑘𝑔 𝑚−3. On donne aussi : 𝑇0 = 10 𝑁.
3. Calculer numériquement la vitesse de propagation de l’onde.
Partie B

entre deux points fixes, A (d’abscisse 𝑥𝐴 = 0)
et B (d’abscisse 𝑥𝐵 = 𝐿). Sa masse linéique est
A B
𝜇 = 10 𝑔𝑚−1 et sa tension est 𝑇0 . On observe
dans la corde une onde transversale,
harmonique, stationnaire de fréquence 𝑓 =
500 𝐻𝑧. La corde prend l’aspect de la figure ci-
contre.
1. Ecrire l’expression de l’onde 𝑦ሺ𝑥, 𝑡ሻ sous la forme d’une superposition de deux termes. Donner le
sens physique de chaque terme.
2. En utilisant la condition, en 𝑥 = 0, montrer que l’onde s’écrit sous la forme du produit de deux
fonctions que l’on explicitera.
3. A partir de la forme de la corde, donner la relation entre 𝑘 et 𝐿. On écrira 𝑦ሺ𝑥, 𝑡ሻ en fonction de 𝑥, 𝑡,

𝜔, 𝐿 et son amplitude 𝐴.
figure précédente (figure ci-dessus).

la corde 𝑇0 .
264
N. MAGHLAOUI
Partie C
On se propose maintenant d’étudier la réflexion et transmission entre deux cordes homogènes, semi
infinies, en jonction en 𝑥 = 0. Les deux cordes sont maintenues horizontalement par une tension 𝑇0 =
10 𝑁. La première corde est en cuivre, sa masse volumique est 𝜌1 = 8900 𝑘𝑔 𝑚−3 et son diamètre 𝑑 =
0.4 𝑚𝑚, la seconde est en Aluminium, sa masse volumique est 𝜌2 = 2700 𝑘𝑔 𝑚−3 et son diamètre 𝑑 =
0.4 𝑚𝑚 (Figure ci-dessous). Une onde sinusoïdale, que l’on notera 𝑦𝑎 ሺ𝑥, 𝑡ሻ, d’amplitude 𝐴 et de pulsation
𝜔 se propage dans le sens des 𝑥 croissants le long de la première corde ሺ𝑥 ≤ 0ሻ. Au niveau de la jonction,
une onde régressive dans la corde (1) est créée, dont l’amplitude est 𝐵, elle sera notée 𝑦𝑏 ሺ𝑥, 𝑡ሻ ሺ𝑥 ≤ 0ሻ.
Une 2ème onde, notée 𝑦𝑐 ሺ𝑥, 𝑡ሻ, progressive dans la corde (2) est engendrée ሺ𝑥 ≥ 0ሻ. Son amplitude est 𝐶.
𝑇0 , μ1 𝑇0 , μ2
-∞
x=0 x
1. Donner les expressions des différentes contributions, que l’on notera 𝑦𝑎 ሺ𝑥, 𝑡ሻ, 𝑦𝑏 ሺ𝑥, 𝑡ሻ et 𝑦𝑐 ሺ𝑥, 𝑡ሻ. Que
représente chaque terme ?
2. Donner les expressions des ondes résultantes 𝑦1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ (dans la corde 1) et 𝑦2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ (dans la deuxième
corde).
3. En utilisant les conditions en 𝑥 = 0, déterminer en fonction des impédances caractéristiques 𝑍1 et 𝑍2 ,

les expressions des coefficients de réflexion 𝑅 et de transmission 𝑇 en amplitudes. Calculer
numériquement ces coefficients.
4. On définit les densités linéiques des énergies cinétique et potentielle de l’onde comme suit :
1 𝜕𝑦 2
ℰ𝑐 = 𝜇 [ ]
2 𝜕𝑡
1 𝜕𝑦 2
ℰ𝑝 = 𝑇0 [ ]
2 𝜕𝑥
La densité d’énergie totale est : ℰ𝑡 = ℰ𝑐 + ℰ𝑝 .
a. Déterminer les expressions des densités d’énergies cinétiques et potentielles des ondes
𝑦𝑎 ሺ𝑥, 𝑡ሻ, 𝑦𝑏 ሺ𝑥, 𝑡ሻ et 𝑦𝑐 ሺ𝑥, 𝑡ሻ. On les notera ℰ𝑐𝑎 et ℰ𝑝𝑎 pour l’onde 𝑦𝑎 , ℰ𝑐𝑏 et ℰ𝑝𝑏 pour l’onde
𝑦𝑏 et enfin ℰ𝑐𝑐 et ℰ𝑝𝑐 pour l’onde 𝑦𝑐 .
b. Calculer les densités d’énergies totales ℰ𝑡𝑎 , ℰ𝑡𝑏 et ℰ𝑡𝑐 associées respectivement aux ondes
𝑦𝑎 ሺ𝑥, 𝑡ሻ, 𝑦𝑏 ሺ𝑥, 𝑡ሻ et 𝑦𝑐 ሺ𝑥, 𝑡ሻ.
c. On définit en 𝑥 = 0 les coefficients de réflexion 𝛼𝑅 et de transmission 𝛼 𝑇 en énergie par :

ℰ𝑡𝑏 𝑣2 ℰ𝑡𝑐
𝛼𝑅 = et 𝛼𝑇 =
ℰ𝑡𝑎 𝑣1 ℰ𝑡𝑎
Calculer en fonction de 𝑍1 et 𝑍2 les expressions de 𝛼𝑅 et 𝛼 𝑇 .
d. Calculer numériquement 𝛼𝑅 et 𝛼𝑇 . Que peut-on dire à partir de ces rapports ?

265
N. MAGHLAOUI
Exercice 2
Soit une onde acoustique plane qui se propage dans l'eau avec une vitesse de 1500𝑚𝑠 −1 dans le sens des
𝑥 croissants. La fréquence de l'onde est égale à 24 𝑘𝐻𝑧. On suppose connaitre la variation de la masse
volumique :
𝜌ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ
1. Rappeler l’équation de propagation de l’onde. Calculer numériquement sa longueur d’onde 𝜆.
2. Donner la relation qu’il y a entre la variation de masse volumique 𝜌ሺ𝑥, 𝑡ሻ et la vitesse des particules
𝑢̇ ሺ𝑥, 𝑡ሻ. Comment appelle-t-on cette relation ? Calculer la vitesse des particules 𝑢̇ ሺ𝑥, 𝑡ሻ et le
déplacement des particules 𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ.
3. Donner la relation qu’il y a entre la vitesse des particules 𝑢̇ ሺ𝑥, 𝑡ሻ et la pression 𝑝ሺ𝑥, 𝑡ሻ. Comment
appelle-t-on cette relation ? Calculer 𝑝ሺ𝑥, 𝑡ሻ.
4. Calculer l’impédance acoustique de l’eau sachant que sa masse volumique est 𝜌0 = 103 𝑘𝑔 𝑚−3 .
5. Déterminer l’amplitude 𝐴, sachant que l’amplitude du déplacement est égale à 0.2 μ𝑚.
266
N. MAGHLAOUI
Solution
Exercice 1
Partie A
1. L’équation est dans le cas des faibles amplitudes :

𝜕 2𝑦 1 𝜕 2𝑦
− =0
𝜕𝑥 2 𝑣 2 𝜕𝑡 2
𝑇0
𝑣=√
𝜇
L’équation donnant l’évolution de 𝑦ሺ𝑥, 𝑡ሻ est l’équation d’onde de d’Alembert.
2. Le déplacement est :
𝑦ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ
𝜕𝑦
𝐹ሺ𝑥, 𝑡ሻ −𝑇0 𝜕𝑥 𝑘𝑇0 𝑇0
𝑍ሺ𝑥ሻ = = = = = √𝜇𝑇0
𝑦̇ ሺ𝑥, 𝑡ሻ 𝑦̇ ሺ𝑥, 𝑡ሻ 𝜔 𝑣
𝑑2
𝑍ሺ𝑥ሻ = 𝑍𝑐 = √𝜇𝑇0 = √𝜌𝑆𝑇0 = √𝜌𝜋 𝑇
4 0
𝑍𝑐 = 0.11 𝑘𝑔 𝑠 −1
3. La vitesse de propagation est :
𝑇0
𝑣=√ = 94.55 𝑚 𝑠 −1
𝜇
Partie B
1. L’expression est :
Le premier terme représente une onde progressive, le second une onde régressive. Les deux termes
représentent des ondes plane sinusoïdales.
2. La condition en 𝑥 = 0
𝑦ሺ0, 𝑡ሻ = 0 ⟹ 𝐴 + 𝐵 = 0
En reportant dans l’expression de 𝑦ሺ𝑥, 𝑡ሻ :

𝑦ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴𝑒 𝑗𝜔𝑡 [𝑒 −𝑗𝑘𝑥 − 𝑒 𝑗𝑘𝑥 ] = −2𝑗𝐴 sinሺ𝑘𝑥ሻ 𝑒 𝑗𝜔𝑡
3. L’onde présente deux fuseaux, nous avons donc :

2𝜋
𝐿=𝜆⟹𝐿=
𝑘
D’où :
2𝜋
𝑘=
𝐿
267
N. MAGHLAOUI
Le déplacement des particules devient :
2𝜋𝑥 𝑗𝜔𝑡
𝑦ሺ𝑥, 𝑡ሻ = −2𝑗𝐴 sin ( )𝑒
𝐿
4. Transversale : La direction de vibration des particules est perpendiculaire à la direction de propagation

de l’onde (comparer à onde longitudinale).
progressive). La fonction d’onde est le produit de deux fonctions à variables indépendantes,
L’amplitude n’est plus une constante, elle dépend de la position de 𝑥. De plus l’onde stationnaire ne
propage plus l’énergie.

instants 𝑡𝑛 = 𝑛𝑇⁄16 pour n = 0, 1, . . . , 15. La période
A B
6. 𝜆 = 𝐿 = 50 𝑐𝑚, 𝑉 = 𝜆⁄𝑇 = 250 𝑚𝑠 −1, 𝑉 = √𝑇0 ⁄𝜇

donne 𝑇0 = 𝜇𝑉 2 = 625 𝑁.
Partie C
1. Les expressions de chaque contribution :
L’onde incidente en 𝑥 = 0 est 𝑦𝑎 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘1 𝑥ሻ .
L’onde réfléchie en 𝑥 = 0 est 𝑦𝑏 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐵𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡+𝑘1𝑥ሻ .
L’onde transmise en 𝑥 = 0 est 𝑦𝑐 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐶𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘2𝑥ሻ .
2. L’onde résultante dans la corde (1) est la superposition de l’onde incidente et réfléchie :
𝑦1 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑦𝑎 ሺ𝑥, 𝑡ሻ + 𝑦𝑏 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘1𝑥ሻ + 𝐵𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡+𝑘1𝑥ሻ
Dans la corde (2) nous avons une onde transmise :
𝑦2 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑦𝑐 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐶𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘2𝑥ሻ
3. La continuité du déplacement donne :

𝑦1 ሺ0, 𝑡ሻ = 𝑦2 ሺ0, 𝑡ሻ ⟹ 𝐴 + 𝐵 = 𝐶
ou bien
1+𝑅 =𝑇 (1)
268
N. MAGHLAOUI
Le principe fondamental de la dynamique en 𝑥 = 0, donne :
𝜕𝑦1 𝜕𝑦2
−𝑇0 | = −𝑇0 | ⟹ 𝑗𝜔𝑍1 ሺ𝐴 − 𝐵ሻ = 𝑗𝜔𝑍2 𝐶
𝜕𝑥 𝑥=0 𝜕𝑥 𝑥=0
Qui s’écrit sous la forme :
𝑍1 ሺ1 − 𝑅ሻ = 𝑍2 𝑇 (2)
A partir des relations (1) et (2), nous avons :
𝑍1 − 𝑍2 2𝑍1
𝑅= et 𝑇 =
𝑍1 + 𝑍2 𝑍1 + 𝑍2
Nous avons 𝑍1 = √𝜇1 𝑇0 = 0.11 𝑘𝑔 𝑠 , 𝑍2 = √𝜇2 𝑇0 = 0.06 𝑘𝑔 𝑠 −1.
−1
𝑅 = 0.29, 𝑇 = 1.29
4. En partant des définitions
a. La densité d’énergie cinétique est
1
ℰ𝑐𝑎 = 𝜇 𝜔2 𝐴2 [cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘1 𝑥ሻ]2
2 1
1 1
ℰ𝑝𝑎 = 𝑇0 𝑘12 [cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘1 𝑥ሻ]2 = 𝜇1 𝜔2 𝐴2 [cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘1 𝑥ሻ]2 = ℰ𝑐𝑎
2 2
De la même manière, nous trouvons :
1
ℰ𝑐𝑏 = 𝜇1 𝜔2 𝐵 2 [cosሺ𝜔𝑡 + 𝑘1 𝑥ሻ]2
2
1 1
ℰ𝑝𝑏 = 𝑇0 𝑘12 𝐵 2 [cosሺ𝜔𝑡 + 𝑘1 𝑥ሻ]2 = 𝜇1 𝜔2 𝐵 2 [cosሺ𝜔𝑡 + 𝑘1 𝑥ሻ]2 = ℰ𝑐𝑏
2 2
Pour l’onde réfléchie.
1
ℰ𝑐𝑐 = 𝜇 𝜔2 𝐶 2 [cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘2 𝑥ሻ]2
2 2
1 1
ℰ𝑝𝑐 = 𝑇0 𝑘22 𝐶 2 [cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘2 𝑥ሻ]2 = 𝜇2 𝜔2 𝐶 2 [cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘2 𝑥ሻ]2 = ℰ𝑐𝑐
2 2
b. Les densités d’énergies totales sont :
ℰ𝑡𝑎 = ℰ𝑐𝑎 + ℰ𝑝𝑎 = 2ℰ𝑐𝑎 = 𝜇1 𝜔2 𝐴2 [cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘1 𝑥ሻ]2
Pour l’onde (a).
ℰ𝑡𝑏 = ℰ𝑐𝑏 + ℰ𝑝𝑏 = 2ℰ𝑐𝑏 = 𝜇1 𝜔2 𝐵 2 [cosሺ𝜔𝑡 + 𝑘1 𝑥ሻ]2
Pour l’onde (b).
ℰ𝑡𝑐 = ℰ𝑐𝑐 + ℰ𝑝𝑐 = 2ℰ𝑐𝑐 = 𝜇2 𝜔2 𝐶 2 [cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘2 𝑥ሻ]2
Pour l’onde (c).
c. Le calcul donne :
ℰ𝑡𝑏 𝐵 2
𝛼𝑅 = = = 𝑅2
ℰ𝑡𝑎 𝐴2
𝑣2 ℰ𝑡𝑐 𝑣2 𝜇2 𝐶 2 𝑍2 2
𝛼𝑇 = = = 𝑇
𝑣1 ℰ𝑡𝑎 𝑣1 𝜇1 𝐴2 𝑍1
d. Nous obtenons :
𝛼𝑅 = 0.08 et 𝛼 𝑇 = 0.92
La somme 𝛼𝑅 + 𝛼 𝑇 = 1, cela traduit la conservation d’énergie.
269
N. MAGHLAOUI
Exercice 2
1. L’équation d’onde est :
𝜕 2𝜌 1 𝜕 2𝜌
− =0
𝜕𝑥 2 𝑣 2 𝜕𝑡 2
𝜌 la fonction d’onde masse volumique.
𝑣 1500
𝜆= = = 6.25 𝑐𝑚
𝑓 24 103
2. La relation entre la masse volumique 𝜌 et la vitesse des particules est :
𝜕𝜌 𝜕𝑢̇
+ 𝜌0 =0
𝜕𝑡 𝜕𝑥
Cette relation est appelée équation de continuité ou de conservation de masse.
𝜌0 représente la masse volumique à l’équilibre.
𝜕𝑢̇ 𝑗𝜔 𝜕𝑢̇ 𝑗𝜔
=− 𝜌⟹ = − 𝐴𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ
𝜕𝑥 𝜌0 𝜕𝑥 𝜌0
Nous trouvons :
𝑣
𝑢̇ ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ
𝜌0
Ainsi le déplacement des particules est :
𝑣
𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ
𝑗𝜔𝜌0
3. La relation entre 𝑝ሺ𝑥, 𝑡ሻ et 𝑢̇ ሺ𝑥, 𝑡ሻ est :
𝜕𝑝 𝜕𝑢̇
+ 𝜌0 =0
𝜕𝑥 𝜕𝑡
Cette relation est appelée équation de l’hydrodynamique.
𝜕𝑝
= −𝑗𝜔𝜌0 𝑢̇ = −𝑗𝜔𝑣𝐴𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ
𝜕𝑥
La surpression est :
𝑝ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴𝑣 2 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ
4. L’impédance acoustique est définie par :
270
N. MAGHLAOUI
𝑍ሺ𝑥ሻ = = 𝜌0 𝑣
𝑍ሺ𝑥ሻ est une constante que l’on note 𝑍𝑐 et qu’on appelle l’impédance caractéristique.
𝑍𝑐 = 1.5 106 Rayleigh
5. L’amplitude du déplacement des particules
𝑣 𝜔𝜌0 2𝜋𝑓𝜌0
𝑢0 = 𝐴⟹𝐴= 𝑢0 = 𝑢0
𝜔𝜌0 𝑣 𝑣
Nous trouvons :
𝐴 = 0.02 𝑘𝑔 𝑚−3
271
N. MAGHLAOUI
Sujet du concours national d’accès aux écoles supérieurs
2020-2021
Durée 1h15
Exercice 1
Le système de la figure ci-dessous est constitué d’un cylindre homogène de masse 𝑀 de rayon 𝑅, pouvant
rouler sans glisser sur un plan horizontal. Il est relié, en son centre 𝑂, à une masse 𝑚1 par l’intermédiaire
d’un ressort de raideur 𝑘2 . Cette masse 𝑚1 est reliée à un bâti fixe ሺ𝐵ሻ par l’intermédiaire d’un ressort de
raideur 𝑘1 et d’un amortisseur de coefficient de frottement visqueux 𝛼. Une force sinusoïdale d’amplitude
𝐹0 et de pulsation 𝜔 agit sur la masse 𝑚1 (𝐹ሺ𝑡ሻ = 𝐹0 𝑒 𝑗𝜔𝑡 ). On désigne par 𝑥1 et 𝑥2 respectivement les
déplacements de la masse 𝑚1 et du centre du cylindre 𝑂.
𝐹ሺ𝑡ሻ
𝑘1
𝑘2
𝑚1 𝑂
ሺ𝑀, 𝑅ሻ
𝛼
𝑥1 𝑥2
Figure 1
1. Déterminer l’énergie cinétique 𝑇, potentielle 𝑈, la fonction de dissipation 𝐷 et le Lagrangien du

système.
2. Etablir les équations différentielles du mouvement en 𝑥1 et 𝑥2 .
3
3. Dans le cas où 𝑚1 = 2 𝑀 = 𝑚 et 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘, donner les équations intégro-différentielles en fonction
des vitesses.
4. En utilisant l’analogie force tension, donner les équations intégro-différentielles qui régissent le
système électrique analogue au système mécanique étudié. On précisera la correspondance entre les
éléments électriques et mécaniques.
5. Représenter le schéma électrique équivalent au système mécanique.
272
N. MAGHLAOUI
Exercice 2
On considère une corde de longueur 𝐿 et de masse linéique 𝜇 tendue horizontalement avec une tension
constante 𝑇. Son extrémité 𝑂 est libre en 𝑥 = 0, alors qu’en 𝑥 = 𝐿 la corde est reliée à un ressort de
raideur 𝑏. On désigne par 𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ le déplacement transversal des particules dans le cas des faibles
amplitudes.
Libre
𝑥
𝑂 𝐿
Figure 2
1. Ecrire le déplacement 𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ sous la forme d’une somme de deux termes. Donner la signification
physique de chaque terme.
2. En tenant compte de la condition au niveau de la frontière 𝑥 = 0, montrer que 𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑓ሺ𝑥ሻ 𝑔ሺ𝑡ሻ,
où 𝑓ሺ𝑥ሻ et 𝑔ሺ𝑡ሻ sont des fonctions que l’on explicitera. Comment appelle-t-on l’onde résultante ?
3. En écrivant la condition au niveau de la frontière 𝑥 = 𝐿, montrer que l’équation aux pulsations propres
s’écrit sous la forme :
𝜔𝐿 𝜔𝐿 −1
𝑡𝑔 ( ) = 𝐶 ( )
𝑣 𝑣
𝐶 est une constante que l’on précisera.
𝑇
4. Déterminer les trois premières pulsations dans le cas où ⟶ 0.
𝑏𝐿
Exercice 3
Dans le vide, en absences de charges et de courants (𝜌 = 0, 𝑗⃗ = ሬ0⃗), une onde électromagnétique plane,
sinusoïdale, progressive de pulsation 𝜔 et d’amplitude 𝐻0 est caractérisée par son excitation magnétique :
ሬ⃗ = 𝐻0 cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘𝑦ሻ 𝑒⃗𝑧

𝐻
1. Quelle est la nature de polarisation et la direction de propagation de cette onde.

2. Calculer le champ électrique 𝐸ሬ⃗ associé à cette onde. En déduire sa polarisation.
ሬ⃗ de cette onde. En déduire sa valeur moyenne dans le temps.
3. Calculer le vecteur de Poynting ℛ
273
N. MAGHLAOUI
Solution
Exercice 1
1. Calcul des différentes fonctions
1 1 1
𝑇 = 𝑇𝑚1 + 𝑇𝑀 = 𝑚1 𝑥̇ 12 + 𝑀𝑣𝑜2 + 𝐽𝑜 𝜃̇ 2
2 2 2
Avec :
𝑀𝑅 2
𝐽𝑜 = , 𝑥2 = 𝑅𝜃
2
D’où :
1 3
𝑇 = (𝑚1 𝑥̇ 12 + 𝑀𝑥̇ 22 )
2 2
1
𝑈 = [𝑘1 𝑥12 + 𝑘2 ሺ𝑥2 − 𝑥1 ሻ2 ]
2
• Fonction de dissipation :
1
𝐷 = 𝛼𝑥̇ 12
2
• Lagrangien du système :
1 3
𝐿 =𝑇−𝑈 = (𝑚1 𝑥̇ 12 + 𝑀𝑥̇ 22 − 𝑘1 𝑥12 − 𝑘2 ሺ𝑥2 − 𝑥1 ሻ2 )
2 2
2. Les équations de Lagrange :
𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐷 𝜕𝐿 𝜕𝑊
+ − =
𝑑𝑡 𝜕𝑥̇ 1 𝜕𝑥̇ 1 𝜕𝑥1 𝜕𝑥1
− =0
{ 𝑑𝑡 𝜕𝑥̇ 2 𝜕𝑥2
𝑊 représente le travail de la force d’excitation.
𝑊 = 𝐹𝑥1
𝑚1 𝑥̈ 1 + 𝛼𝑥̇ 1 + 𝑘1 𝑥1 + 𝑘2 ሺ𝑥1 − 𝑥2 ሻ = 𝐹ሺ𝑡ሻ

{ 3
𝑀𝑥̈ 2 + 𝑘2 ሺ𝑥2 − 𝑥1 ሻ = 0
2
3. Dans le cas où
3
𝑚1 = 𝑀 = 𝑚, 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘
2
Les équations s’écrivent :
𝑚𝑥̈ + 𝛼𝑥̇ 1 + 𝑘𝑥1 + 𝑘ሺ𝑥1 − 𝑥2 ሻ = 𝐹ሺ𝑡ሻ
{ 1
𝑚𝑥̈ 2 + 𝑘ሺ𝑥2 − 𝑥1 ሻ = 0
Les équations intégro-différentielles :
𝑑𝑥̇ 1
𝑚 + 𝛼𝑥̇ 1 + 𝑘 ∫ 𝑥̇ 1 𝑑𝑡 + 𝑘 ∫ሺ𝑥̇ 1 − 𝑥̇ 2 ሻ𝑑𝑡 = 𝐹ሺ𝑡ሻ
𝑑𝑡
𝑑𝑥̇ 2
𝑚 + 𝑘 ∫ሺ𝑥̇ 2 − 𝑥̇ 1 ሻ𝑑𝑡 = 0
{ 𝑑𝑡
274
N. MAGHLAOUI
4. L’analogie force tension :
𝐹ሺ𝑡ሻ ⟺ 𝑒ሺ𝑡ሻ, 𝑥̇ 1 ⟺ 𝑖1 , 𝑥̇ 2 ⟺ 𝑖2
1
𝑚 ⟺ 𝐿, 𝑘 ⟺ , 𝛼 ⟺ 𝑅
𝐶
𝑒ሺ𝑡ሻ représente la force électromotrice.
𝑖1 et 𝑖2 sont les courants électriques.
𝐿 l’inductance de la bobine.
𝐶 la capacité du condensateur.
𝑅 la résistance électrique.
𝑑𝑖1 1 1
𝐿 + 𝑅𝑖1 + ∫ 𝑖1 𝑑𝑡 + ∫ሺ𝑖1 − 𝑖2 ሻ𝑑𝑡 = 𝑒ሺ𝑡ሻ
𝑑𝑡 𝐶 𝐶
𝑑𝑖2 1
𝐿 + ∫ሺ𝑖2 − 𝑖1 ሻ𝑑𝑡 = 0
{ 𝑑𝑡 𝐶
5. Les équations électriques permettent d’établir le schéma électrique équivalent au système mécanique :
𝐶
𝑅 𝐿
𝑖2
𝑖1
𝑒ሺ𝑡ሻ 𝐶 𝐿
Exercice 2
1. Le déplacement 𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ s’écrit :
𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑘𝑥ሻ + 𝐵𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡+𝑘𝑥ሻ
Avec :
𝜔
𝑘=
𝑣
𝑘 représente le module du vecteur d’onde et 𝑣 la vitesse de propagation. Le premier terme d’amplitude
A corresponds à l’onde progressive et le second d’amplitude B à l’onde régressive.
2. Condition en 𝑥 = 0 :
𝜕𝑢
𝐹ሺ0, 𝑡ሻ = 𝑇 | =0
𝜕𝑥 𝑥=0
Ce qui donne :
𝐴=𝐵
En tenant compte de ce résultat :
𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝐴𝑒 𝑗𝜔𝑡 [𝑒 −𝑗𝑘𝑥 + 𝑒 𝑗𝑘𝑥 ] = 2𝐴 cosሺ𝑘𝑥ሻ 𝑒 𝑗𝜔𝑡
Avec 𝑓ሺ𝑥ሻ = 2𝐴 cosሺ𝑘𝑥ሻ et 𝑔ሺ𝑡ሻ = 𝑒 𝑗𝜔𝑡 .
275
N. MAGHLAOUI
3. En appliquant le principe fondamental de la dynamique en 𝑥 = 𝐿 :
𝐹⃗ ሺ𝐿, 𝑡ሻ + 𝐹⃗𝑏 = ሬ0⃗
𝐹⃗ ሺ𝐿, 𝑡ሻ est a tension exercée par la corde.
𝐹⃗𝑏 représente la force de rappel du ressort.
La projection suivant 𝑂𝑦 donne :

𝜕𝑢
−𝑇 | − 𝑏𝑢ሺ𝐿, 𝑡ሻ = 0
𝜕𝑥 𝑥=𝐿
Ce qui donne :
2𝑘𝑇𝐴 sinሺ𝑘𝐿ሻ 𝑒 𝑗𝜔𝑡 = 2𝐴𝑏 cosሺ𝑘𝐿ሻ 𝑒 𝑗𝜔𝑡
Soit :
𝑏 𝜔𝐿 𝐶
𝑡𝑔ሺ𝑘𝐿ሻ = ⟹ 𝑡𝑔 ( ) =
𝑘𝑇 𝑣 𝜔𝐿
𝑣
Avec :
𝑏𝐿
𝐶=
𝑇
𝑇
4. Dans le cas où 𝑏𝐿 ⟶ 0, cela revient à remplacer le ressort par une tige rigide ሺ𝑏 ⟶ ∞ሻ.
𝜔𝐿
𝑡𝑔 ( ) ⟶ ∞
𝑣
Les pulsations propres sont données par :
𝜋𝑣
𝜔𝑛 = ሺ2𝑛 + 1ሻ ሺ𝑛 ∈ ℕሻ
2𝐿
Ainsi les trois premières pulsations propres sont données par :
𝜋𝑣 3𝜋𝑣 5𝜋𝑣
𝜔1 = , 𝜔2 = et 𝜔3 =
2𝐿 2𝐿 2𝐿
Exercice 3
1. L’onde se propage dans le sens des 𝑦 croissants, le vecteur d’onde est :
𝜔
ሬ⃗ = 𝑒⃗𝑦
𝑘
𝑐
2. Le champ électrique associé est :
𝐸ሬ⃗ = 𝜇0 𝑐 𝐻
ሬ⃗ × 𝑒⃗𝑦 = −𝜇0 𝑐 𝐻0 cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘𝑦ሻ 𝑒⃗𝑥
Le champ 𝐸ሬ⃗ est polarisé rectilignement suivant l’axe 𝑂𝑥.
3. Le vecteur de Poynting est donné par :
ℛሬ⃗ = 𝐸ሬ⃗ × 𝐻
ሬ⃗ = 𝜇0 𝑐 𝐻02 [cosሺ𝜔𝑡 − 𝑘𝑦ሻ]2 𝑒⃗𝑦
Sa valeur moyenne dans le temps est :
1
〈ℛሬ⃗ 〉 = 𝜇0 𝑐 𝐻02 𝑒⃗𝑦
2
276
N. MAGHLAOUI
2019-2020
Durée 2h
Exercice 1
On considère le dispositif mécanique représenté par la figure 1. La tige de longueur 2ℓ et de masse 𝑀
oscille dans un plan vertical autour d’un axe fixe qui passe par son extrémité 𝑂. Son centre 𝐺 est relié à
un bâti fixe ሺ𝐵1 ሻ par l’intermédiaire d’un ressort 𝑘1 . Un amortisseur relie le point 𝐴 au même bâti 𝐵1
ℓ
(𝑂𝐴 = 2).
A l’équilibre, la tige est horizontale. Son déplacement par rapport à sa position d’équilibre est repéré par
l’angle 𝜃.
Le moment d’inertie de la tige par rapport à 𝑂 est :
4
𝐽𝑜 = 𝑀ℓ2
3
B1
𝛼 𝑘
𝜃
𝐴
𝐹ሺ𝑡ሻ
𝐺
B2 (M, 2ℓ)
ℓ
𝑂𝐴 = , OG = ℓ
2
Figure 1
1. En son extrémité, la tige est soumise à une force excitatrice sinusoïdale d’amplitude 𝐹0 et de pulsation
𝜔 (𝐹ሺ𝑡ሻ = 𝐹0 𝑒 𝑗𝜔𝑡 ). La force est tangentielle au déplacement à chaque instant 𝑡.
a. Déterminer les énergies cinétique 𝑇 et potentielle 𝑈, la fonction de dissipation du système 𝐷 ainsi
que le Lagrangien du système 𝐿.
b. Etablir l’équation différentielle du mouvement en fonction de 𝜃.
c. En utilisant la représentation complexe, chercher l’expression de la solution 𝜃ሺ𝑡ሻ en régime
permanent. Préciser son amplitude 𝐴 et sa phase 𝜑.
d. Déterminer la pulsation de résonance.
e. Représentez l’allure de l’amplitude 𝐴ሺ𝜔ሻ en précisant la position de la pulsation de résonance et
de la bande passante.
277
N. MAGHLAOUI
2. On supprime la force excitatrice et l’amortisseur. On accroche à l’extrémité de la tige un ressort de
raideur 𝑘2 qui supporte une masse 𝑚 (Figure 2). Le déplacement de cette masse par rapport à sa
position d’équilibre est noté 𝑥2 .
B1
𝑘1
𝑂
𝑥1
𝜃
𝐺 ሺ𝑀, 2ℓ ሻ
B2
OG = ℓ
𝑘2
𝑚
𝑥2
Figure 2
a. Déterminer le Lagrangien du système en fonction de 𝑥1 et 𝑥2 .

b. Etablir les équations différentielles du mouvement.
c. Trouver les pulsations propres du système 𝜔1 et 𝜔2 . On prendra :
3
𝑀 = 𝑚, 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘
4
d. Quelle est la forme des solutions générales 𝑥1 ሺ𝑡ሻ et 𝑥2 ሺ𝑡ሻ.
Exercice 2
On considère une corde de guitare de longueur 𝐿, tendue avec une tension 𝑇 = 20.50 𝑁 et fixée à ses
extrémités en 𝑥 = 0 et 𝑥 = 𝐿. L’élongation verticale 𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ de la corde, initialement écartée par rapport
à sa position d’équilibre, s’écrit :
𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑢𝑚 cosሺ𝑘𝑥 + 𝜓ሻ cosሺ𝜔𝑡 + 𝜑ሻ
1. En utilisant la condition au niveau de la frontière 𝑥 = 0, déterminer 𝜓 et simplifier l’expression de

𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ.
2. En utilisant la condition au niveau de la frontière 𝑥 = 𝐿, montrer que seules certaines fréquences 𝑓𝑛
sont permises.
3. Retrouvez ces fréquences à l’aide d’un schéma détaillé (On se limitera aux trois premières modes).
4. Sachant que la corde étudiée est cylindrique en acier, de diamètre 𝐷 = 0.40 𝑚𝑚 et de masse
volumique 𝜌 = 7800 𝑘𝑔 𝑚−3 , calculer la vitesse de propagation de l’onde.
278
N. MAGHLAOUI
Exercice 3
Dans le vide en absence de charges et de courants (𝜌 = 0, 𝑗⃗ = ሬ0⃗), une onde électromagnétique plane,
sinusoïdale de pulsation 𝜔, se propage à la vitesse 𝑐 dans une direction 𝑢 ሬ⃗ du plan 𝑥𝑂𝑦. En un point de
l’espace 𝑀ሺ𝑥, 𝑦, 𝑧ሻ et à instant 𝑡, le champ électrique de cette onde s’écrit :
𝐸ሬ⃗ ሺ𝑀ሻ = 𝐸0 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑎𝑥−𝑏𝑦ሻ 𝑢

ሬ⃗𝑧
1. Donner les équations de Maxwell dans le vide (𝜌 = 0, 𝑗⃗ = ሬ0⃗).

2. Que représentent les coefficient 𝑎 et 𝑏 ? Déterminer en fonction de 𝑎 et 𝑏 la longueur d’onde 𝜆.
3. Etablir l’équation d’onde pour le champ électrique 𝐸ሬ⃗ et en déduire la relation entre 𝑎, 𝑏, 𝜔 et 𝑐.
Comment appelle-t-on cette relation ?
4. Exprimer le vecteur champ magnétique 𝐵 ሬ⃗ de l’onde étudiée. Que peut-on dire des polarisations des
champs 𝐸ሬ⃗ et 𝐵
ሬ⃗ ?
5. Calculer l’impédance caractéristique du vide 𝑍0 , définit par le rapport :
𝐸0
𝑍0 = 𝜇0
𝐵0
𝐵0 représente l’amplitude du champ magnétique 𝐵 ሬ⃗.
6. Déterminer les composantes du vecteur de Poynting ℛ ሬ⃗ . Calculer la valeur moyenne de son module
〈ℛ〉. Que représente-t-elle ?
On donne :
𝜀0 = 8.85 10−12 𝐹𝑚−1 et 𝜇0 = 4𝜋10−7 𝐻𝑚−1
ሬ⃗ × (∇
∇ ሬ⃗ × 𝐴⃗) = ∇
ሬ⃗(∇
ሬ⃗ ∙ 𝐴⃗) − ∆𝐴⃗
279
N. MAGHLAOUI
Solution
Exercice 1
4. Système à un degré forcé et amorti
a. Energie cinétique :
1 4𝑀ℓ2 2
𝑇= 𝜃̇
2 3
Energie potentielle
1
𝑈 = 𝑘1 ℓ2 𝜃 2
2
1 ℓ2 2
𝐷= 𝛼 𝜃̇
2 4
𝑊 = 𝐹 2ℓ𝜃
Le Lagrangien :
1 4𝑀ℓ2 2 1
𝐿 =𝑇−𝑈 = 𝜃̇ − 𝑘1 ℓ2 𝜃 2
2 3 2
b. L’équation du mouvement :
𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐷 𝜕𝐿 𝜕𝑊
+ − =
𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 𝜕𝜃
3𝐹
𝜃̈ + 2𝛿𝜃̇ + 𝜔02 𝜃 =
2𝑀ℓ
3𝛼 3𝑘1
𝛿= , 𝜔0 = √
32𝑀 4𝑀
c. La solution de ce système s’écrit :
La force s’écrit : 𝐹ሺ𝑡ሻ = 𝐹0 𝑒 𝑗𝜔𝑡 .
La solution du régime permanent est : 𝜃ሺ𝑡ሻ = 𝐴𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡+𝜑ሻ.
Avec :
3𝐹0
𝐴= 2𝑀ℓ
√ሺ𝜔02 − 𝜔 2 ሻ2 + 4𝛿 2 𝜔 2
2𝛿𝜔
𝜑 = −𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔 ( 2 )
𝜔0 − 𝜔 2
d. La résonance correspond à une amplitude maximale :
𝑑𝐴
= 0 ⟹ 𝜔𝑟 = √𝜔02 − 2𝛿 2
𝑑𝜔
280
N. MAGHLAOUI
e. L’allure de la courbe :
𝐴ሺ𝑟𝑑ሻ
𝐴𝑚𝑎𝑥
𝐴𝑚𝑎𝑥
√2
𝜔1 𝜔r 𝜔2 𝜔ሺ𝑟𝑑/𝑠ሻ
5. Système à deux degrés, libre et non amorti

a. Le Lagrangien du système :
Les énergies cinétique et potentielle du système
14 1 1
𝑇= 𝑀𝑥̇ 12 + 𝑚𝑥̇ 22 = 𝑚ሺ𝑥̇ 12 + 𝑥̇ 22 ሻ
23 2 2
1 1
𝑈 = 𝑘1 𝑥12 + 𝑘2 ሺ𝑥2 − 2𝑥1 ሻ2
2 2
1 4 1
𝐿 = [ 𝑀𝑥̇ 12 + 𝑚𝑥̇ 22 ] − [𝑘1 𝑥12 + 𝑘2 ሺ𝑥2 − 2𝑥1 ሻ2 ]
2 3 2
b. Les équations différentielles du mouvement sont :
− =0
𝑑𝑡 𝜕𝑥̇ 1 𝜕𝑥1
− =0
{𝑑𝑡 𝜕𝑥̇ 2 𝜕𝑥2
4
𝑀𝑥̈ 1 + ሺ𝑘1 + 4𝑘2 ሻ𝑥1 − 2𝑘2 𝑥2 = 0
{3
𝑚𝑥̈ 2 + 𝑘2 𝑥2 − 2𝑘2 𝑥1 = 0
c. Sachant que
3
𝑀 = 𝑚, 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘
4
On a
𝑚𝑥̈ 1 + 5𝑘𝑥1 − 2𝑘𝑥2 = 0

{
𝑚𝑥̈ 2 + 𝑘𝑥2 − 2𝑘𝑥1 = 0
281
N. MAGHLAOUI
Les solutions du système libre s’écrivent :
𝑥 = 𝐴1 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡+𝜑ሻ 𝑥̈ 1 = −𝜔2 𝑥1
{ 1 ⟹ {
𝑥2 = 𝐴2 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡+𝜑ሻ 𝑥̈ 2 = −𝜔2 𝑥2
Le système d’équation devient :
ሺ5𝑘 − 𝑚𝜔2 ሻ𝑥1 − 2𝑘𝑥2 = 0

{
ሺ𝑘 − 𝑚𝜔2 ሻ𝑥2 − 2𝑘𝑥1 = 0
Ce système admet des solutions non triviales si et seulement si le déterminant est nul :
ሺ5𝑘 − 𝑚𝜔2 ሻሺ𝑘 − 𝑚𝜔2 ሻ − 4𝑘 2 = 0
Ou bien
𝑚2 𝜔4 − 6𝑘𝑚𝜔2 + 𝑘 2 = 0
Le discriminant est :
∆= 32𝑘 2 𝑚2
𝑘
𝜔1 = √(3 − 2√2)√
𝑚
𝑘
𝜔2 = √(3 + 2√2)√
{ 𝑚
d. La forme des solutions générales de 𝑥1 ሺ𝑡ሻ et 𝑥2 ሺ𝑡ሻ est :
𝑥1 ሺ𝑡ሻ = 𝐴11 cosሺ𝜔1 𝑡 + 𝜑1 ሻ + 𝐴12 cosሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑2 ሻ
{
𝑥2 ሺ𝑡ሻ = 𝐴21 cosሺ𝜔1 𝑡 + 𝜑1 ሻ + 𝐴22 cosሺ𝜔2 𝑡 + 𝜑2 ሻ
Exercice 2
1. Le déplacement est nul en 𝑥 = 0 (la corde est fixée) :
𝑢ሺ0, 𝑡ሻ = 𝑢𝑚 cosሺ𝜓ሻ cosሺ𝜔𝑡 + 𝜑ሻ = 0
Pour que cela soit vérifié quel que soit 𝑡, il faut que :
𝜋
cosሺ𝜓ሻ = 0 ⟹ 𝜓 = ሺ2𝑚 + 1ሻ
2
Le déplacement devient :
𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ = ±𝑢𝑚 sinሺ𝑘𝑥ሻ cosሺ𝜔𝑡 + 𝜑ሻ = 0
2. La nullité du déplacement en 𝑥 = 𝐿 permet d’écrire :
𝑢ሺ𝐿, 𝑡ሻ = ±𝑢𝑚 sinሺ𝑘𝐿ሻ cosሺ𝜔𝑡 + 𝜑ሻ = 0
Cela est vérifié quel que soit 𝑡, donc :
sinሺ𝑘𝐿ሻ = 0 ⟹ 𝑘𝑛 𝐿 = 𝑛𝜋
Sachant que :
𝜔𝑛 2𝜋𝑓𝑛
𝑘𝑛 𝐿 = 𝐿= 𝐿
𝑣 𝑣
282
N. MAGHLAOUI
Nous trouvons :
𝑛𝑣
𝑓𝑛 =
2𝐿
3. La distance entre deux nouds successifs est 𝜆𝑛 /2 pour le mode 𝑛, donc la longueur 𝐿 est un multiple
de la demi longueur d’onde, soit :
𝑛𝜆𝑛
𝐿=
2
L’allure des trois premiers modes est :
1
𝐿 = 𝜆1
𝑛=1 2
𝑥
0 𝐿
𝐿 = 𝜆2
=2
𝑥
0 𝐿 𝐿
3
𝑛=3 𝐿 = 𝜆3
2
𝑥
0 0𝐿 𝐿 𝐿
La longueur d’onde est liée à la fréquence

𝑣
𝜆𝑛 =
𝑓𝑛
Ce qui donne :
𝑛𝑣
𝑓𝑛 =
2𝐿
4. La masse linéique est :
𝑚 𝜌𝜋𝐷2
𝜇= =
𝐿 4
𝜇 = 9.80 10−4 𝑘𝑔 𝑚−1
283
N. MAGHLAOUI
La vitesse est :
𝑇
𝑣 = √ = 144.63 𝑚 𝑠 −1
𝜇
Exercice 3
1. Dans le vide, en absence de toute charge et de courant, les équations de Maxwell s’écrivent :
𝜕𝐵ሬ⃗
ሬ∇⃗ ∙ 𝐸ሬ⃗ = 0, 𝛻ሬ⃗ × 𝐸ሬ⃗ = −
𝜕𝑡
𝜕𝐸ሬ⃗
ሬ∇⃗ ∙ 𝐵ሬ⃗ = 0, 𝛻ሬ⃗ × 𝐵 ሬ⃗ = 𝜀0 𝜇0
𝜕𝑡
2. 𝑎 et 𝑏 sont respectivement les composantes du vecteur d’onde suivant 𝑥 et 𝑦.
ሬ⃗ = 𝑎𝑒⃗𝑥 + 𝑏𝑒⃗𝑦
𝑘
𝑒⃗𝑥 et 𝑒⃗𝑦 sont respectivement les vecteurs unitaires suivant 𝑥 et 𝑦.
La longueur d’onde est :
2𝜋 2𝜋
𝜆= =
𝑘 √𝑎2 + 𝑏 2
3. Equation de propagation de 𝐸ሬ⃗
Nous avons :
ሬ⃗ × (∇
∇ ሬ⃗ × 𝐸ሬ⃗ ) = ∇
ሬ⃗(∇
ሬ⃗ ∙ 𝐸ሬ⃗ ) − ∆𝐸ሬ⃗ = −∆𝐸ሬ⃗
ሬ⃗ ∙ 𝐸ሬ⃗ = 0.
Comme : ∇
Alors :
ሬ∇⃗ × (∇
ሬ⃗ × 𝐸ሬ⃗ ) = −∆𝐸ሬ⃗
De plus, d’après l’équation de Maxwell Faraday :
ሬ⃗
𝜕𝐵 𝜕
ሬ∇⃗ × (∇
ሬ⃗ × 𝐸ሬ⃗ ) = ሬ∇⃗ × (− )=− ሬ⃗ × 𝐵
(∇ ሬ⃗ )
𝜕𝑡 𝜕𝑡
En tenant compte de de l’équation de Maxwell Ampère :
𝜕 𝜕 2 𝐸ሬ⃗
ሬ∇⃗ × (∇
ሬ⃗ × 𝐸ሬ⃗ ) = − ሬ⃗ ሬ⃗
(∇ × 𝐵 ) = −𝜀0 𝜇0
𝜕𝑡 𝜕𝑡 2
Finalement :
1 𝜕 2 𝐸ሬ⃗
∆𝐸ሬ⃗ − = ሬ0⃗
𝑐 2 𝜕𝑡 2
Cette équation aux dérivées partielles est appelée équation de d’Alembert.
Avec :
1
𝑐=
√𝜀0 𝜇0
284
N. MAGHLAOUI
La relation entre 𝑎, 𝑏, 𝜔 et 𝑐 est obtenue en injectant l’expression de 𝐸ሬ⃗ dans l’équation d’onde :
𝜔2
ሺ𝑎2 + 𝑏 2 ሻ𝐸ሬ⃗ = 𝐸ሬ⃗
𝑐2
Ce qui permet d’écrire :
𝜔
𝑘 = √𝑎 2 + 𝑏 2 =
𝑐
C’est la relation de dispersion.
4. Expression du champ magnétique 𝐵 ሬ⃗ :

Dans l’approximation de l’onde plane sinusoïdale :
ሬ⃗ × 𝐸ሬ⃗ 𝐸0
𝑘
ሬ⃗ =
𝐵 = 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑎𝑥−𝑏𝑦ሻ (𝑎𝑒⃗𝑥 + 𝑏𝑒⃗𝑦 ) × 𝑢
ሬ⃗𝑧
𝜔 𝜔
Nous obtenons :
ሬ⃗ × 𝐸ሬ⃗ 𝐸0
𝑘
ሬ⃗ =
𝐵 = 𝑒 𝑗ሺ𝜔𝑡−𝑎𝑥−𝑏𝑦ሻ (𝑏𝑒⃗𝑥 − 𝑎𝑒⃗𝑦 )
𝜔 𝜔
ሬ⃗
𝐸 est polarisé rectilignement selon z.
ሬ⃗ est polarisé rectilignement dans le plan 𝑥𝑂𝑦.
𝐵
Les deux champs sont orthogonaux 𝐸ሬ⃗ ∙ 𝐵
ሬ⃗.
5. L’impédance du vide 𝑍0 :
𝐸0 𝜇0 𝜔
𝑍0 = 𝜇0 = = 𝜇0 𝑐
𝐵0 √𝑎2 + 𝑏 2
6. Vecteur de Poynting
𝐸ሬ⃗ × 𝐵ሬ⃗ 𝐸02
ሬ⃗ =
ℛ = [cosሺ𝜔𝑡 − 𝑎𝑥 − 𝑏𝑦ሻ]2 (𝑎𝑒⃗𝑥 + 𝑏𝑒⃗𝑦 )
𝜇0 𝜇0 𝜔
Le module ℛ :
𝐸02 √𝑎2 + 𝑏 2 𝐸2
ℛ= [cosሺ𝜔𝑡 − 𝑎𝑥 − 𝑏𝑦ሻ]2 = 0 [cosሺ𝜔𝑡 − 𝑎𝑥 − 𝑏𝑦ሻ]2
𝜇0 𝜔 𝜇0 𝑐
La valeur moyenne 〈ℛ〉 :
𝐸02
〈ℛ〉 =
2𝜇0 𝑐
La valeur moyenne du vecteur de Poynting représente l’intensité du champ électromagnétique à
travers une surface perpendiculaire.
285
N. MAGHLAOUI
2018-2019
Durée 1h15
Exercice 1
Partie A
Un bloc de masse 𝑚 = 25 𝑘𝑔 est monté sur un support en caoutchouc de masse

négligeable qui se comprime vers l'état d'équilibre de 6.08 𝑐𝑚 sous l’effet de ce poids.
Sachant que ce dispositif peut être modélisé par un système masse-ressort-amortisseur de
constante de raideur k et de coefficient de frottement 𝛼.
1. Calculer la constante d'élasticité 𝑘 du dispositif en unité SI ሺ𝑔 = 9.80 𝑁 𝑘𝑔−1 ሻ.

2. Calculer la pulsation propre 𝜔0 du système en unité (SI).
Partie B
Quand le bloc vibre librement on enregistre des oscillations amorties de la masse

avec un déplacement initial de 5 𝑐𝑚 à partir de sa position d'équilibre (voir figure ci-dessous).
x (cm)
6
-2
-4
0 0.5 1 1.5 t (s)
1. Déduire du graphe la pseudo-période 𝑇𝑎 de l'oscillation amortie.

𝑥ሺ0ሻ
2. Calculer 𝐷 = 𝑙𝑛 [𝑥ሺ𝑇 ሻ]. Comment appelle-on cette quantité ?
𝑎
3. Déduire des questions 1. et 2. la valeur du facteur d'amortissement 𝛿 en unité (SI).
4. Calculer le coefficient de frottement 𝛼 en unité (SI).
5. Calculer la pseudo-pulsation 𝜔𝑎 par deux manières différentes en unité (SI).
6. On élimine l'oscillation amortie en remplaçant la masse 𝑚 par 𝑚0 . A partir de quelle valeur de
𝑚0 , les vibrations disparaissent ?
286
N. MAGHLAOUI
Exercice 2
Une onde transversale se propageant sur une corde est donnée par :
𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ = √3 cosሺ3𝑡 − 𝜋𝑥ሻ + √3 cosሺ3𝑡 + 𝜋𝑥ሻ
1. Déterminer pour chaque terme, le sens de propagation, l'amplitude, la pulsation 𝜔, le

module du vecteur d'onde 𝑘 et la vitesse de propagation de l'onde 𝑣.
2. Quelle est dans ce cas I ‘amplitude maximale de cette onde ?
3. Quelles sont la vitesse de vibration des particules 𝑢̇ ሺ𝑥, 𝑡ሻ et la force 𝐹ሺ𝑥, 𝑡ሻ de la corde en un point
d'abscisse 𝑥 pour une tension 𝑇 = 0,5 𝑁 ?
4. Quelles est l’impédance mécanique 𝑍ሺ𝑥ሻ de la corde au point d'abscisse 𝑥 associée à
l'onde incidente (1er terme de 𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ) en notation complexe ?
5. Montrer que 𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ peut se mettre sous la forme 𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑔ሺ𝑥ሻ𝑓ሺ𝑡ሻ (fonction à
variables séparées). Conclure.
1
6. On prend les points d'abscisse 𝑥𝑛 = 𝑛 + 2 et 𝑋𝑛 = 𝑛 où 𝑛 ∈ ℤ.
a. Calculer 𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ en 𝑥 = 𝑥𝑛 puis en 𝑥 = 𝑋𝑛 .
b. Que représentent ces points sur la corde ?
On donne :
cosሺ𝑎 + 𝑏ሻ = cos 𝑎 cos 𝑏 − sin 𝑎 sin 𝑏
cosሺ𝑎 − 𝑏ሻ = cos 𝑎 cos 𝑏 + sin 𝑎 sin 𝑏
287
N. MAGHLAOUI
Solution
Exercice 1
Partie A
1. Le système est en équilibre sur le support :

𝑘∆ℓ = 𝑚𝑔
∆ℓ représente la déformation du support à l’équilibre :
25 9.8
𝑘= = 4029.60 𝑁𝑚−1
6.08 10−3
2. La pulsation propre du système 𝜔0 :
𝑘
𝜔0 = √ = 12.69 𝑟𝑑 𝑠 −1
𝑚
Partie B
1. La pseudo période 𝑇𝑎 de l’oscillation amortie à partir du graphe :

𝑇𝑎 = 0.5 𝑠
2. Calcul de 𝐷 à partir du graphe :
𝑥ሺ0ሻ = 5 𝑐𝑚, 𝑥ሺ𝑇𝑎 ሻ = 2 𝑐𝑚
D’où
5
𝐷 = 𝑙𝑛 = 0.92
2
Cette quantité est le décrément d’ordre 1.
3. La valeur du facteur d’amortissement 𝛿 en unité (SI)
𝐷
𝐷 = 𝛿𝑇𝑎 ⟹ 𝛿 = = 1.84 𝑠 −1
𝑇𝑎
4. Le coefficient d’amortissement 𝛼 en unité SI
𝛼
𝛿= ⟹ 𝛼 = 2𝑚𝛿 = 92 𝑘𝑔 𝑠 −1
2𝑚
5. Calcul de la pseudo-pulsation 𝜔𝑎 par deux manières différentes
A partir de la pseudo-période 𝑇𝑎
2𝜋
𝜔𝑎 = = 12.57 𝑟𝑑 𝑠 −1
𝑇𝑎
A partir de la pulsation propre et le facteur d’amortissement
𝜔𝑎 = √𝜔02 − 𝛿 2 = 12.57 𝑟𝑑 𝑠 −1
6. La valeur de la masse 𝑚0
On élimine l’oscillation amortie en remplaçant lamasse 𝑚 par 𝑚0 . Les vibrations amorties

disparaissent si on passe au régime d'amortissement critique ou apériodique avec la condition :
𝛼2
𝜔0 ≤ 𝛿 ⟹ 𝑚 ≤ = 𝑚0
4𝑘
Ce qui donne 𝑚 ≤ 𝑚0 = 0.52 𝑘𝑔
288
N. MAGHLAOUI
Exercice 2
Une onde transversale se propageant sur une corde est donnée par :
1. Sens de propagation, l’amplitude, la pulsation 𝜔, le module du vecteur d’onde 𝑘 et la vitesse de l’onde

𝑣.
Terme √3 cosሺ3𝑡 − 𝜋𝑥ሻ √3 cosሺ3𝑡 + 𝜋𝑥ሻ
Sens de propagation Sens des 𝑥 croissants Sens des 𝑥 décroissants
Amplitude √3 √3
Pulsation 3 3
Module du vecteur d’onde 𝜋 𝜋
Vitesse de l’onde 3/𝜋 3/𝜋
2. L'amplitude maximale de l'onde est la somme des 2 amplitudes = 2√3.

3. La vitesse de vibration 𝑢̇ ሺ𝑥, 𝑡ሻ :
𝑢̇ ሺ𝑥, 𝑡ሻ = −3√3 sinሺ3𝑡 − 𝜋𝑥ሻ − 3√3 sinሺ3𝑡 + 𝜋𝑥ሻ
Ce qui donne
𝑢̇ ሺ𝑥, 𝑡ሻ = −3√3[sinሺ3𝑡 − 𝜋𝑥ሻ + sinሺ3𝑡 + 𝜋𝑥ሻ] = −6√3 sinሺ3𝑡ሻ cosሺ𝜋𝑥ሻ
La force 𝐹ሺ𝑥, 𝑡ሻ de la corde en un point d'abscisse 𝑥 est :
𝜕𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ
𝐹ሺ𝑥, 𝑡ሻ = −𝑇 = 𝜋√3 cosሺ3𝑡ሻ sinሺ𝜋𝑥ሻ
𝜕𝑥
4. L'impédance mécanique 𝑍ሺ𝑥ሻ associée à l’onde incidente
𝐹𝑖 ሺ𝑥, 𝑡ሻ
𝑍ሺ𝑥ሻ =
𝑢̇ 𝑖 ሺ𝑥, 𝑡ሻ
Nous avons :
𝐹𝑖 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = −0.5 𝜋√3 sinሺ3𝑡 − 𝜋𝑥ሻ
𝑢̇ 𝑖 ሺ𝑥, 𝑡ሻ = −3√3 sinሺ3𝑡 − 𝜋𝑥ሻ
Nous obtenons :
𝜋
𝑍ሺ𝑥ሻ =
6
5. 𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ sous la forme 𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑔ሺ𝑥ሻ𝑓ሺ𝑡ሻ
En utilisant la relation cosሺ𝑎 + 𝑏ሻ + cosሺ𝑎 − 𝑏ሻ = 2 cosሺ𝑎ሻ cosሺ𝑏ሻ, nous trouvons :

𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 2√3 cosሺ3𝑡ሻ cosሺ𝜋𝑥ሻ
La fonction d'onde dans ce cas peut se mettre sous la forme 𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ = 𝑔ሺ𝑥ሻ𝑓ሺ𝑡ሻ ce qui signifie que
l'onde est plane stationnaire.
6. Calcule de 𝑢ሺ𝑥, 𝑡ሻ en 𝑥 = 𝑋𝑛 , puis en 𝑥 = 𝑥𝑛 .
289
N. MAGHLAOUI
𝑢ሺ𝑋𝑛 , 𝑡ሻ = ±2√3 cosሺ3𝑡ሻ, 𝑢ሺ𝑥𝑛 , 𝑡ሻ = 0
𝑋𝑛 sont les positions des points d’amplitudes maximales (les ventres).
𝑥𝑛 sont les positions des points d’amplitudes minimales (les nœuds).
290
N. MAGHLAOUI
Annexe
291
N. MAGHLAOUI
Annexe A : Rappels mathématiques
• Condition de réalité
Soit l’équation d’un oscillateur linéaire suivante :
𝑥̈ + 𝜔02 𝑥 = 0 (1)
où 𝜔0 représente un réel positif.
Cette équation différentielle est homogène, elle tolère une solution du type 𝑥 = 𝐶𝑒 𝑟𝑡 .
En injectant dans l’équation différentielle nous obtenons :
𝑟 2 + 𝜔02 = 0 ⟹ 𝑟 = ±𝑖𝜔0
La solution générale de l’équation (1) s’écrit :
𝑥 = 𝐴𝑒 𝑖𝜔0𝑡 + 𝐵𝑒 −𝑖𝜔0𝑡 (2)
où 𝐴 et 𝐵 sont des constantes complexes.
La transformation trigonométrique s’écrivant :
𝑒 𝑖𝜔0𝑡 = cosሺ𝜔0 𝑡ሻ + 𝑖 sinሺ𝜔0 𝑡ሻ et 𝑒 −𝑖𝜔0𝑡 = cosሺ𝜔0 𝑡ሻ − 𝑖 sinሺ𝜔0 𝑡ሻ
Nous obtenons en injectant dans (2) :
𝑥 = ሺ𝐴 + 𝐵ሻ cosሺ𝜔0 𝑡ሻ + 𝑖ሺ𝐴 − 𝐵ሻ sinሺ𝜔0 𝑡ሻ (3)
𝑥 est une solution physique qui doit être donc réelle, pour cela il faudrait que 𝐴 et 𝐵 soient complexes
conjuguées l’un de l’autre, ainsi :
𝐴 = 𝑎 + 𝑖𝑏 et 𝐵 = 𝑎 − 𝑖𝑏
𝑎 et 𝑏 sont des constantes réelles.
L’équation (3) devient :
𝑥 = 2𝑎 cosሺ𝜔0 𝑡ሻ − 2𝑏 sinሺ𝜔0 𝑡ሻ (4)
posons : 𝑢 = 2𝑎 et 2𝑏 = 𝑣.
L’équation (4) s’écrit :
𝑥 = 𝑢 cosሺ𝜔0 𝑡ሻ − 𝑣 sinሺ𝜔0 𝑡ሻ (5)
292
N. MAGHLAOUI
soit :
𝑢 𝑣
𝑥 = √𝑢2 + 𝑣 2 [ cosሺ𝜔0 𝑡ሻ − sinሺ𝜔0 𝑡ሻ] (6)
√𝑢2 + 𝑣 2 √𝑢2 + 𝑣 2
Posons :
𝑢
cosሺ𝜑ሻ =
√𝑢2 + 𝑣 2
et :
𝑣
sinሺ𝜑ሻ =
√𝑢2 + 𝑣 2
d’où
𝑥 = 𝑐[cosሺ𝜑ሻ cosሺ𝜔0 𝑡ሻ − sinሺ𝜑ሻ sinሺ𝜔0 𝑡ሻ] = 𝑐 cosሺ𝜔0 𝑡 + 𝜑ሻ (7)
avec : 𝑐 = √𝑢2 + 𝑣 2
Finalement :
𝑥 = 𝐴𝑒 𝑖𝜔0𝑡 + 𝐵𝑒 −𝑖𝜔0𝑡 = 𝑢 cosሺ𝜔0 𝑡ሻ − 𝑣 sinሺ𝜔0 𝑡ሻ = 𝑐 cosሺ𝜔0 𝑡 + 𝜑ሻ (8)
Les trois écritures sont égale, la solution est réelle lorsque 𝐴 et 𝐵 sont complexes conjugées l’un de
l’autre. Dans ce cas la solution est réelle.
On montre aussi que 𝑥 = 𝑒 𝑖ሺ𝜔0𝑡+𝜑ሻ est soltion de l’équation 1.
• Formules trigonométriques
sinሺ𝑎 + 𝑏ሻ = sinሺ𝑎ሻ cosሺ𝑏ሻ + cosሺ𝑎ሻ sinሺ𝑏ሻ (9)
sinሺ𝑎 − 𝑏ሻ = sinሺ𝑎ሻ cosሺ𝑏ሻ − cosሺ𝑎ሻ sinሺ𝑏ሻ (10)
cosሺ𝑎 + 𝑏ሻ = cosሺ𝑎ሻ cosሺ𝑏ሻ − sinሺ𝑎ሻ sinሺ𝑏ሻ (11)
cosሺ𝑎 − 𝑏ሻ = cosሺ𝑎ሻ cosሺ𝑏ሻ + sinሺ𝑎ሻ sinሺ𝑏ሻ (12)
1 + cosሺ2𝑥ሻ
cos 2 ሺ𝑥ሻ = (13)
2
1 − cosሺ2𝑥ሻ
sin2 ሺ𝑥ሻ = (14)
2
cosሺ𝑎ሻ + cosሺ𝑏ሻ = 2 cos ( ) cos ( ) (15)
2 2
293
N. MAGHLAOUI
cosሺ𝑎ሻ − cosሺ𝑏ሻ = −2 sin ( ) sin ( ) (16)
2 2
sinሺ𝑎ሻ + sinሺ𝑏ሻ = 2 sin ( ) cos ( ) (17)
2 2
sinሺ𝑎ሻ − sinሺ𝑏ሻ = 2 cos ( ) sin ( ) (18)
2 2
𝑑 1
sinሺ𝜔𝑡ሻ = 𝜔 cosሺ𝜔𝑡ሻ , ∫ cosሺ𝜔𝑡ሻ 𝑑𝑡 = sinሺ𝜔𝑡ሻ (19)
𝑑𝑡 𝜔
𝑑 1
cosሺ𝜔𝑡ሻ = −𝜔 sinሺ𝜔𝑡ሻ , ∫ sinሺ𝜔𝑡ሻ 𝑑𝑡 = − cosሺ𝜔𝑡ሻ (20)
𝑑𝑡 𝜔
• Moyenne d’une fonction périodique

Soit 𝑓ሺ𝑡ሻ une fonction périodique de 𝑡, de période 𝑇, de pulsation 𝜔 = 2𝜋/𝑇,on définit sa moyenne
temporelle par :
1 𝑡+𝑇
〈𝑓ሺ𝑡ሻ〉 𝑇 = ∫ 𝑓ሺ𝑡ሻ 𝑑𝑡 (21)
𝑇 𝑡
Exemple : calculons 〈sinሺ𝜔𝑡ሻ〉 𝑇 .

Nous avons :
1 𝑡+𝑇 1
〈sinሺ𝜔𝑡ሻ〉 𝑇 = ∫ sinሺ𝜔𝑡ሻ 𝑑𝑡 = − [cosሺ𝜔𝑡ሻ]𝑡+𝑇
𝑡 =0
𝑇 𝑡 𝜔𝑇
Donc :
〈sinሺ𝜔𝑡ሻ〉 𝑇 = 0 (22)
De la même manière, nous obtenons :
〈cosሺ𝜔𝑡ሻ〉 𝑇 = 〈sinሺ𝜔𝑡ሻ ∙ cosሺ𝜔𝑡ሻ〉 𝑇 = 0 (23)
〈cosሺ𝑛𝜔𝑡ሻ〉 𝑇 = 〈sinሺ𝑛𝜔𝑡ሻ〉 𝑇 = 0 avec 𝑛 entier ≥ 1 (24)
D’autre part :
1 + cosሺ2𝜔𝑡ሻ 1 + 〈cosሺ2𝜔𝑡ሻ〉 𝑇 1
〈cos 2 ሺ𝜔𝑡ሻ〉 𝑇 = 〈 〉𝑇 = = (25)
2 2 2
Finalement :
1
〈cos2 ሺ𝜔𝑡ሻ〉 𝑇 = 〈sin2 ሺ𝜔𝑡ሻ〉 𝑇 = (26)
2
294
N. MAGHLAOUI
• Quelques relations d’analyse vectorielle
𝑓 est un champ scalaire, ሬA⃗ et 𝐵

ሬ⃗ sont des champs vectoriels.
ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬ⃗ ሺ𝑓ሻ] = ∇
𝑑𝑖𝑣[𝑔𝑟𝑎𝑑 ሬ⃗ ∙ (∇
ሬ⃗𝑓) = ∆𝑓 (27)
𝑟𝑜𝑡[𝑔𝑟𝑎𝑑ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬ⃗ ሺ𝑓ሻ] = ሬ∇⃗ × (∇
ሬ⃗𝑓) = ሬ0⃗ (28)
ሬሬሬሬሬሬ⃗ሺ𝑓ሻ] = 𝛻ሬ⃗(∇
𝑑𝑖𝑣[𝑟𝑜𝑡 ሬ⃗ × ሬA⃗) = 0 (29)
ሬሬሬሬሬሬ⃗[𝑟𝑜𝑡
𝑟𝑜𝑡 ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬ⃗ [𝑑𝑖𝑣(𝐴⃗)] − ∆𝐴⃗
ሬሬሬሬሬሬ⃗ (𝐴⃗)] = 𝑔𝑟𝑎𝑑 (30)
𝑑𝑖𝑣[𝐴⃗ × 𝐵
ሬ⃗ ] = 𝐵
ሬ⃗ [𝑟𝑜𝑡
ሬሬሬሬሬሬ⃗(𝐴⃗)] − 𝐴⃗[𝑟𝑜𝑡 ሬ⃗ )]
ሬሬሬሬሬሬ⃗(𝐵 (31)
295
N. MAGHLAOUI
Annexe B : Compléments de mécanique
• Moments d’inertie de quelques solides

Moment d’inertie de quelques solides homogènes, par rapport à un axe ∆ passant par leur centre de
masse.
Tige mince de masse 𝑚 et de longueur ℓ

𝑚ℓ2
ሺ∆ሻ 𝐼∆ =
12
ሺ∆ሻ est un axe perpendiculaire à la tige.

Cylindre plein de masse 𝑀 et de rayon 𝑅
ሺ∆ሻ
1
𝐼∆ = 𝑀𝑅 2
2
ሺ∆ሻ représente l’axe de révolution du cylindre.
Cylindre creux de masse 𝑀 et de rayon 𝑅

ሺ∆ሻ
𝐼∆ = 𝑀𝑅 2
ሺ∆ሻ représente l’axe de révolution du cylindre.
Disque de masse 𝑀 et de rayon 𝑅

ሺ∆ሻ
1
𝐼∆ = 𝑀𝑅 2
2
ሺ∆ሻ représente l’axe de révolution du disque.
Anneau de masse 𝑀 et de rayon 𝑅

ሺ∆ሻ
𝐼∆ = 𝑀𝑅 2
ሺ∆ሻ représente l’axe de révolution de l’anneau.
Sphère pleine de masse 𝑀 et de rayon 𝑅

ሺ∆ሻ
2
𝐼∆ = 𝑀𝑅 2
5
ሺ∆ሻ est un axe qui passe par le centre d’inertie de
la sphère.
296
N. MAGHLAOUI
• Energie cinétique d’un solide en rotation autour d’un axe de direction fixe
Dans le cas où le solide effectue une rotation autour d’un axe en translation, mais tout en gardant une
direction fixe (voiture : rotation d’une roue). Le théorème de Koenig permet de déterminer l’énergie
cinétique dans le référentiel du centre de masse 𝐺. Le mouvement est décomposé en une rotation autour
de l’axe de rotation ሺ∆𝐺 ሻ et un mouvement de translation de 𝐺.
1 1
𝑇= 𝐼∆𝐺 𝜃̇ 2 + 𝑀𝑣𝐺2
2 2
𝑀 est la masse du solide.
𝑣𝐺 représente la vitesse du centre de masse.
𝐼∆𝐺 représente le moment d’inertie du solide par rapport à l’axe ሺ∆𝐺 ሻ passant par son centre de masse
𝐺.
𝜃̇ la vitesse angulaire de rotation.
• Energie cinétique d’un solide en rotation autour d’un axe fixe

Dans le cas particulier où l’axe de rotation est fixe. L’énergie peut être calculée de deux façons :
− Théorème d’Huygens
Dans ce cas l’énergie cinétique s’écrit :
1
𝑇 = 𝐼∆ 𝜃̇ 2
2
𝐼∆ représente le moment d’inertie par rapport à l’axe ሺ∆ሻ parallèle à l’axe ሺ∆𝐺 ሻ. D’après le
théorème d’Huygens
𝐼∆ = 𝐼∆𝐺 + 𝑀𝑎2
𝑎 représente la distance entre les deux axes ሺ∆ሻ et ሺ∆𝐺 ሻ.
− Théorème de Koenig
L’énergie cinétique s’écrit :
1 1
𝑇= 𝐼∆𝐺 𝜃̇ 2 + 𝑀𝑣𝐺2
2 2
Le moment d’inertie est exprimé par rapport à l’axe ሺ∆𝐺 ሻ et passant par 𝐺.
Exemple 1 (rotation autour d’un axe fixe):

− En utilisant le théorème d’Huygens
B ሺ∆ሻ
Une tige homogène de masse 𝑚 et de longueur ℓ,
tourne autour d’un axe fixe ሺ∆ሻ sortant et passant
par l’extrémité de la tige. ሺ∆𝐺 ሻ est un axe parallèle 𝑎
à ሺ∆ሻ passant par son centre de masse. L’énergie ሺ∆𝐺 ሻ
cinétique est :
1
𝑇 = 𝐼∆ 𝜃̇ 2
2
(𝑚,ℓ) 𝜃
297
N. MAGHLAOUI
D’après de théorème d’Huygens :
2
𝑚ℓ2 𝑚ℓ2 𝑚ℓ2
𝐼∆ = 𝐼Δ𝐺 + 𝑚𝑎 = + =
12 4 3
1 𝑚ℓ2 2
𝑇= 𝜃̇
2 3
− En utilisant le théorème de Koenig

Dans ce cas l’énergie cinétique est :
1 1
𝑇 = 𝐼∆𝐺 𝜃̇ 2 + 𝑚𝑣𝐺2
2 2
𝑣𝐺 représente la vitesse du centre de masse. 𝐼∆𝐺 le moment d’inertie par rapport à l’axe ∆𝐺 ,
passant par son centre de masse et perpendiculaire au plan du mouvement.
ℓ
𝑣𝐺 = 𝜃̇
2
Nous trouvons :
1 𝑚ℓ2 2 1 𝑚ℓ2 2 1 𝑚ℓ2 2
𝑇= 𝜃̇ + 𝜃̇ = 𝜃̇
2 12 2 4 2 3
Exemple 2 (rotation autour d’un axe de direction fixe):
ሺ𝑀, 𝑅ሻ
Un cylindre plein, homogène, de masse 𝑀 et de rayon
ሺΔ𝐺 ሻ
𝑅 roule sans glisser sur un plan horizontal. L’énergie
cinétique est calculée à l’aide du théorème de Koenig.
1 1
𝑇 = 𝐼∆𝐺 𝜃̇ 2 + 𝑀𝑣𝐺2
2 2
𝐼∆𝐺 représente son moment d’inertie par rapport à son axe de révolution ሺΔ𝐺 ሻ. 𝑣𝐺 la vitesse de son
centre de masse.
Dans ce cas : 𝑣𝐺 = 𝑅𝜃̇
1 𝑀𝑅 2 2 1 2 13
𝑇= 𝜃̇ + 𝑀(𝑅𝜃̇) = 𝑀𝑅 2 𝜃̇ 2
2 2 2 22
298
N. MAGHLAOUI
Bibliographie
[1] Gorge C. King, « Vibrations and Waves », Wiley Inc, ISBN: 978-1-2118-68178-7, 2009.
[2] Tamer Becherrawy, « Mechanical and electromagntic vibrations and waves », Wiley Inc, ISTE
Ltd, ISBN: 978-1-84821-283-1, 2012.
[3] E. AMZALLAG, J. Cipriani, N. Piccioli, « Rappel de Cours et Exercices Corrigés de Physique,

Tome 4, Ondes », Edisciences International, Paris, 1997.
[4] R. Gabillard, « Vibrations et phénomènes de propagation », Dunod, Paris, 1969.
[5] H. Djelouah, « Vibrations et Ondes : cours et exercices corrigés », Pages bleus, 2020.
[6] A. P. French, « Vibrations and Waves », W. W. Norton and company INC New York, 1970.
[7] R. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands , M. Bloch , G. Delacôte, « Le Cours de physique de

Feynman : Electromagnétisme, tome 1 », Addison-Wesley, seconde édition, 1994.
[8] J. Edminister, « Electromagnétisme : cours et problèmes ». Série Schaum Ediscience

International 2000.
[9] R. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, M. Bloch, G. Delacôte, « Le Cours de physique de

Feynman» : Electromagnétisme, tome 2 », Addison-Wesley, seconde édition, 1994.
[10] H. J. Pain, «The Physics of Vibrations and waves», Wiley, 2005.
[11] H. J. Pain, «Introduction to Vibrations and waves», Wiley, 2015.
[12] S. G. Kelly, «Mechanical Vibrations-Theory and Applications», Cengage Learning, 2011.
299
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Avant-propos

• Ondes acoustiques dans les fluides. 124

• Ondes élastiques dans les solides. 149

4. Sujets de concours et examens corrigés. 216

Coordonnée généralisée Coordonnée généralisée Coordonnée généralisée charge

(4) (5) (6)

Equilibre et condition d’oscillation :

2. Oscillations de systèmes à 1 degré de liberté libre et non amortis

• Une énergie potentielle proportionnelle à 𝑞 2 .

• Une énergie cinétique proportionnelle à 𝑞̇ 2 .

𝐿 étant le Lagrangien du système définit par : 𝐿 = 𝑇 − 𝑈

L’équation donnant l’évolution du système est :

avec 𝜔02 > 0

La solution d’une telle équation est 𝑞ሺ𝑡ሻ = 𝐴 cosሺ𝜔0 𝑡 + 𝜑ሻ

où 𝑇0 représente la période propre du pendule dans le cas des faibles amplitudes.

Les énergies potentielles des différents systèmes sont respectivement :

Tige de masse négligeable 𝑚

Cela nous permet de trouver :

3. Oscillations libres de systèmes à 1 degré de liberté amortis

𝑟⃗ étant le vecteur déplacement

𝛼 représente le coefficient de frottement.

Les équations de Lagrange s’écrivent :

Nous distinguons 3 cas.

𝑞ሺ𝑡ሻ = 𝐴𝑒 𝑟1𝑡 + 𝐵𝑒 𝑟2𝑡

𝑞ሺ𝑡ሻ = ሺ𝐴 + 𝐵𝑡ሻ𝑒 −𝛿𝑡

𝑞ሺ𝑡ሻ = 𝐴𝑒 −𝛿𝑡 cosሺ𝜔𝑎 𝑡 + 𝜑ሻ

Le décrément logarithmique 𝐷 est :

𝑞ሺ𝑡ሻ étant l’amplitude à un instant 𝑡 et 𝑞ሺ𝑡 + 𝑛𝑇𝑎 ሻ l’amplitude à un instant 𝑡 + 𝑛𝑇𝑎 .

Le décrément logarithmique et la pseudo-période permettent de remonter aux caractéristiques du système.

Le coefficient de qualité est :

La forme de l’équation obtenue est :

Régime transitoire Régime permanent

Figure 6 : Courbe de résonance en amplitude

Impédance mécanique du système

Puissances fournies-Puissances dissipées

𝑃𝑎𝑏 = 𝐹𝛼 ሺ𝑡ሻ𝑣𝛼 ሺ𝑡ሻ = 𝛼[𝑣𝛼 ሺ𝑡ሻ]2

La puissance moyenne est défine comme suit :

Figure 7 : Courbe de résonance en puissance

Nous définissons le coefficient de qualité par

𝐹ሺ𝑡ሻ = 𝑎0 + ∑ 𝑎𝑛 cosሺ𝑛𝜔𝑡ሻ + 𝑏𝑛 sinሺ𝑛𝜔𝑡ሻ

𝑎0 représente la valeur moyenne de la fonction 𝐹ሺ𝑡ሻ sur la période 𝑇.

Energie potentielle Energie potentielle

Energie cinétique Energie cinétique

Fonction de dissipation Fonction de dissipation

Travail de la force extérieure Travail de la force extérieure

Equation de mouvement Equation de mouvement

Energie potentielle Energie potentielle

Fonction de dissipation Fonction de dissipation

Travail de la force extérieure Travail de la force extérieure

Equation de mouvement Equation de mouvement

Energie potentielle Energie potentielle

Energie cinétique Energie cinétique

Fonction de dissipation Fonction de dissipation

Energie potentielle Energie potentielle

Equation de mouvement Equation de mouvement

Energie potentielle Energie potentielle

Energie cinétique Energie cinétique

Fonction de dissipation Fonction de dissipation

Travail de la force extérieure Travail de la force extérieure