Pendule de Torsion Cours 1

Niveaux: SM PC Matière: Physique
PROF :Zakaryae Chriki Résumé N:17

Oscillateurs Mécaniques :Pendule de Torsion
I.Pendule de Torsion
Un pendule de torsion est un dispositif constitué d'une barre horizontale, fixée à un support par
l'intermédiaire d'un fil métallique.
1. Le moment du couple :de torsion
Le moment du couple de torsion qu’exerce un fil tordu est indépendant de l’axe de rotation , il a pour expression : M = −C.θ
C : la constante de torsion du fil (N.m/rad)
θ : angle de torsion (rad)
M : moment du couple de torsion (N.m)
Remarques :
* Le signe négatif signifie que le couple de torsion est un couple de rappel ;
* La constante de torsion du fil dépend de la longueur du fil , de la section et de sa nature.
2. Equation différentielle :
On étudie le mouvement du système dans un référentielle terrestre
supposé Galiléen . On repère les position de la tige à chaque instant par
l’abscisse angulaire θ(t) mesuré à partir de la direction de la tige à
l’équilibre . (Direction de référence )
La tige est soumise à des forces suivantes :
→
−
* le poids P
→
−
* la force R exercée par le fil
* du couple de torsion de moment Mc = −C.θ
−→
On applique la relation fondamentale de la dynamique de rotation au système : ΣM∆ (Fext = J∆ .θ̈
→
− →
− →
− → − →
− →
−
M∆ ( P ) + M∆ ( R ) + Mc = J∆ .θ̈ Les droites d’actions de P et R sont confondues avec l’axe ∆ ; donc M∆ ( P ) = 0 et M∆ ( R ) = 0
−C.θ = J∆ .θ̈ C
θ̈ + .θ = 0 C’est l’équation différentielle du mouvement du pendule .
J∆
En absence des frottements , labscisse angulaire de la tige d’un pendule de torsion libre , vérifie l’équation différentielle suivante :
C
θ̈ + .θ = 0
J∆
3. Equation horaire ou la solution de l'equation différentielle :
La solution de cette équation différentielle est de la forme :

( )
2π
θ(t) = θm cos t + ϕ0
T0
θm est l’amplitude des oscillations (rad) , ϕ0 est la phase à l’origine des dates (rad) et T0 la période propre du pendule de torsion .
❖ Expression de T0 en fonction du moment d’inertie JΔ
JΔ=Σmi.ri² : - Moment d’inertie de la barre par rapport à l’axe (Δ)
- Exprime la répartition de la matière autours de l’axe (Δ)
- S’exprime en Kg.m²
NB :
Toute modification soit de la masse ou de sa position par rapport à l’axe modifie la valeur JΔ
τn fixe deux masselottes identiques de masses m de part et d’autres de l’axe à une

J0=Σmi.ri² distance d
JΔ = Σmi.ri² = J0 + 2.m.d²
∆ ∆ + . . ²
= �. √ = �. √ = �. √
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 Exploiter la courbe T²=f(m) ou T²=f(d²)
+ . . ² . ²
On a � = �. √ alors � = � . + � . m=50g Masse de la masselotte
. ²
= � . + � . La courbe T²=f(d²) est une fonction affine donc T² = A.d² + B avec :
•
Δ .
�= . = = = �s /m² , on en déduit C , � = .
•
Δ .
.
�= . = . �s , on en déduit J0 , � =
π
II.Etude Energitique
Energie du système est la somme des énergies de ses composantes
1. Energie cinétique :
On considère un pendule de torsion formé d’un fil métallique léger auquel est fixé une tige dense . Soit J∆ le moment d’inertie de la tige par
˙
rapport à l’axe de rotation matérialisé par le fil métallique et θ est la vitesse angulaire de la tige à instant t . On définit l’énergie cinétique du
système qu’est en rotation autour de ∆, à cet instant t par l’expression suivante : 1
Ec = J∆ θ̇2
2
� � � �
�=� . ( . + ) et � = −� . . ( . + ) avec � = =√
∆
� �
= . ∆ �² = . ∆ (−� . . ( . + )) = . � −�
• Si θ = θm ou θ =- θm alors l’énergie cinétique est nulle donc la vitesse est nulle et l’oscillateur s’arrête et change le sens
• Si θ = 0 alors l’oscillateur passe par sa position d’équilibre et son énergie cinétique est maximale et sa vitesse l’est aussi
de son mouvement
2. Energie potentielle de: torsion

1
L’énergie potentielle de torsion d’un pendule de torsion est définie par la relation : Ept = Cθ2 + Cte
2
Avec C la constante de la torsion du pendule , θ angle de torsion en rad et Cte une constante qui dépend du choix de l’état de référence fourni
1
par les conditions initiales . En générale , on prend Ept = 0 pour θ = θ0 = 0 ; soit Cte=0 d’où Ept = Cθ2
2
�p = . �. θ = . �. (θm. cos ( . t + )) = . �. θ . cos² ( .t + )
� �
3. Expresion de la variation de l'énergie potentielle de torsion :
ΔEpt : Variation de l’énergie potentielle de torsion � t �= . . ( � − � �) = − → Mc

4. Energie mécanique :
1 1
On définit l’énergie mécanique d’un pendule de torsion par la relation suivante : Em = J∆ θ̇2 + Cθ2 + Cte
2 2
1 2 1 2
Dans le cas où Cte = 0 on a alors : Em = J∆ θ̇ + Cθ
2 2
5. Diagramms d'énergie d'un penddule de trosion : E(J)

Em
Lorsque la tige passe par sa position d’équilibre : θ = 0 et θ̇ = ±θ̇m soit
1
Ept = 0 et Ec = J∆ θ̇2m
2
Lorsque la tige passe par ses positions extrêmes : θ = ±θm et θ̇ = 0 Ec
1
Ept = Cθ2m et Ec = 0
2
L’énergie mécanique d’un pendule de torsion libre et amorti se
1 1 Ep
conserve : Em Cθm = J∆ θ̇2m = Cte
2 2 θ(rad)
−θm O θm
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3. Equation horaire ou la solution de l'equation différentielle :

La solution de cette équation différentielle est de la forme :

τn fixe deux masselottes identiques de masses m de part et d’autres de l’axe à une

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2. Energie potentielle de: torsion

ΔEpt : Variation de l’énergie potentielle de torsion � t �= . . ( � − � �) = − → Mc

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