ÉTUDE DES CONDUCTEURS

ÉTUDE DES CONDUCTEURS

I. CONDUCTEUR EN ÉQUILIBRE ÉLECTROSTATIQUE

I.1. DÉFINITIONS

 Un conducteur est un corps à l’intérieur duquel certaines charges appelées « charges

libres » peuvent se déplacer sur de grandes distances (macroscopiques).

 On dit qu’un conducteur est en équilibre électrostatique si toutes les charges dans le
conducteur sont « immobiles ».

I.2. PROPRIETÉS DES CONDUCTEURS EN ÉQUILIBRE ÉLECTROSTATIQUE

1. Le champ est nul à l’intérieur d’un conducteur en équilibre électrostatique.

En effet, puisque le charges libres sont immobiles (équilibre) donc la force qui leur est
appliquée est nulle 𝐹⃗int = 𝑞. 𝐸⃗⃗int = 0
⃗⃗ ⇒ 𝐸⃗⃗int = 0
⃗⃗ .
A la surface du conducteur le champ électrique (et la force) est perpendiculaire à la
surface.

2. Le potentiel est constant sur tout le volume du conducteur.

Puisque ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑉 ) ⇒
𝐸⃗⃗int = −𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉 = Constante
On dit que le conducteur forme un volume équipotentiel

3. La charge à l’intérieur conducteur est nulle. Quand un conducteur est chargé, l’excès de
charge se trouve sur la surface du conducteur.
En appliquant le théorème de GAUSS sur un volume à l’intérieur du conducteur (Figure 1.).
∑ 𝑞int
Φ = ∯ 𝐸⃗⃗int · 𝑑𝑠⃗ = =0 ⇒ ∑ 𝑞int = 0
𝑆𝐺 𝜀0
(Le champ à l’intérieur du conducteur est nul)

C.E.E C.E.E
𝑆𝐺 𝐸⃗⃗int = 0
⃗⃗
𝐸⃗⃗int = 0
⃗⃗
𝑉1 = 𝑉2 = Cte
𝐸⃗⃗int = 0
⃗⃗ 𝑉1 = Cte
𝑞int
𝑉 = Cte

Figure 1. Figure 2.

De la même manière, on démontre que les propriétés précédentes sont valables pour une
cavité à l’intérieur d’un conducteur en équilibre électrostatique (Figure 2.).

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I.3. CHAMP ÉLECTRIQUE AU VOISINAGE DE LA SURFACE D’UN C.E.E

Pour calculer le champ électrique au voisinage de la surface d’un conducteur, nous

utilisons le théorème de GAUSS. Puisque la charge est localisée en surface, nous choisirons
une surface de GAUSS de forme cylindrique centrée sur la surface du conducteur (Figure 3.)
∑ 𝑞int
Φ=∯ 𝐸 ⃗⃗𝑑𝑠⃗ =
𝑆𝐺 𝜀0
C.E.E
Le flux à travers la surface latérale est nul car
le champ est perpendiculaire à la surface du
conducteur donc 𝐸⃗⃗ ⊥ 𝑑𝑠⃗⃗3 ⇒ 𝐸⃗⃗ 𝑑𝑠⃗⃗3 = 0 𝐸⃗⃗int = 0
⃗⃗
𝑑𝑠⃗1 𝑆𝐺
Le flux à travers la surface 𝑆2 à l’intérieur du 𝜎. 𝑆
conducteur est aussi nul car le champ est nul à
l’intérieur du conducteur est nul. 𝐸⃗⃗ Figure 3.

𝜎. 𝑆
∯ 𝐸⃗⃗ 𝑑𝑠⃗ = 𝐸. 𝑆1 =
𝑆𝐺 𝜀0
On a considéré que la surface 𝑆1 est assez petite pour que le champ reste sonstant sur toute
la surface, en plus, la surface du conducteur à l’intérieur de la surface de G AUSS est
considérée comme plane. Donc 𝑆 = 𝑆1 . D’où le champ au voisinage immédiat d’un
conducteur en équilibre électrostatique (Figure 4.a.) :

𝜎
𝐸=
𝜀0

Remarque :
Dans le cas d’un conducteur réel les charges excédentaires se répartissent sur une couche
d’épaisseur 𝑒 au voisinage de la surface. Dans ce cas, le champ ne passe pas par une
discontinuité 𝜎⁄𝜀0 mais varie de façon continue. Le champ à la surface du conducteur est
pris égal à 𝜎⁄2𝜀0 (Figure 4.b.).
conducteur

conducteur
Surface du

Surface du

𝐸 𝐸
Extérieur
Extérieur

Intérieur
Intérieur

𝜎⁄𝜀0 𝜎⁄𝜀0

𝜎⁄2𝜀0

(a) (b)

Figure 4 : Champ au voisinage de la surface d’un conducteur idéal (a) et réel (b).

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Exemple : conducteur sphérique.

𝑟 𝐸⃗⃗
Distribution de charge : surfacique 𝑄 = 𝜎. 𝑆 𝑑𝑠⃗

En utilisant le théorème de G AUSS on calcul le 𝑅

champ à l’intérieur et à l’extérieur d’un 𝜎
conducteur sphérique. (Figure 5.)
La symétrie du champ étant sphérique, la surface 𝑆𝐺
de GAUSS est donc une sphère de même centre
que le conducteur. Figure 5.

∑𝑞
𝐸⃗⃗ est perpendiculaire à la surface ( 𝐸⃗⃗ ∥ 𝑑𝑠⃗⃗ ) et 𝐸 = Cte ⇒ ∯𝑆𝐺 𝐸⃗⃗ 𝑑𝑠⃗ = 𝐸. 𝑆𝐺 = 𝜀 int
0
D’où
𝐸⃗⃗int = 0
⃗⃗
{ 𝑄 𝜎. 𝑅2 1
𝐸⃗⃗ext = 𝐾 2 𝑒⃗𝑟 = 𝑒⃗
𝑟 𝜀0 𝑟 2 𝑟
On calcule le potentiel à partir de 𝑑𝑉 = −𝐸⃗⃗ 𝑑𝑙⃗ (en coordonnées polaires 𝑑𝑙⃗ = 𝑑𝑟. 𝑒⃗𝑟 + 𝑟. 𝑑𝜃. 𝑒⃗𝜃 )
D’où
𝑑𝑉 = −𝐸. 𝑑𝑟 ⇒ 𝑉 (𝑟) = − ∫ 𝐸(𝑟). 𝑑𝑟

Les constantes d’intégrales sont calculées à partir des conditions limites suivantes :
𝑉(𝑟 → +∞) = 0 (potentiel nul à l’infini) et 𝑉int (𝑟 = 𝑅) = 𝑉ext (𝑟 = 𝑅) (continuité).
Donc
𝑄
𝐸⃗⃗int = ⃗0⃗ 𝑉int = 𝐾
𝑅
{ 𝑄 𝜎. 𝑅2 1 ⇒ 𝑄 𝜎. 𝑅2 1
𝐸⃗⃗ext = 𝐾 2 𝑒⃗𝑟 = 𝑒⃗
𝑟 𝜀0 𝑟 2 𝑟 {
𝑉ext =𝐾 =
𝑟 𝜀0 𝑟
D’où le conducteur sphérique constitue un volume équipotentiel et son potentiel est égal à

𝑄
𝑉=𝐾
𝑅

𝐸 𝑉

𝑄 𝑄
𝐾 𝐾
𝑅2 𝑅

extér 𝑟 Intér 𝑅 extér 𝑟

Intér 𝑅

Figure 6 : Champ 𝐸 (𝑟) et potentiel 𝑉(𝑟) pour un conducteur sphérique en

équilibre électrostatique.

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I.4. POUVOIR DES POINTES

(𝑄1 , 𝜎1 ) (𝑄2 , 𝜎2 )
Considérons le système constitué par deux sphères 𝑅2
conductrices de rayons respectifs 𝑅1 et 𝑅2 , 𝑅1
suffisamment éloignées l’une de l’autre et reliées
Figure 7.
entre elles par un fil conducteur. (Figure 7.)

Comme les deux sphères sont reliées elles forment, à l’équilibre électrostatique, le même
volume équipotentiel.

𝑄1 𝑄2 𝜎1 . 𝑅1 𝜎2 . 𝑅2
𝑉1 = 𝑉2 ⇒ 𝐾 =𝐾 ⇒ =
𝑅1 𝑅2 𝜀0 𝜀0
D’où
𝜎1 𝑅2
=
𝜎2 𝑅1
Donc la densité de charge dans la sphère la plus petite (de rayon plus petit) est plus grande
que la densité de charge de la sphère la plus grande (rayon plus grand). Cette propriété des
conducteurs est appelée pouvoir des pointes : c'est-à-dire que les charges ont tendance à
s’accumuler sur les surfaces du conducteur qui ont le rayon le plus faible (pointes).

Applications : Paratonnerre, pointe à l’extrémité d’une aile d’avion …etc.

I.5. CAPACITÉ PROPRE D’UN CONDUCTEUR SEUL DANS L’ESPACE

D’après les équations intégrales du champ et du potentiel, un conducteur portant une

charge 𝑄 produit un champ 𝐸⃗⃗ et un potentiel 𝑉. Si un conducteur porte une charge
𝑄′ = 𝛼. 𝑄 son champ est 𝐸⃗⃗ ′ = 𝛼. 𝐸⃗⃗ et son potentiel est 𝑉 ′ = 𝛼. 𝑉. Donc la charge d’un
conducteur et son potentiel sont proportionnels.

On appelle Capacité propre du conducteur isolé dans l’espace le facteur de proportionnalité.

𝑄
𝐶= ou 𝑄 = 𝐶. 𝑉
𝑉
La valeur de 𝐶 ne dépend que de la forme du conducteur. Elle mesure l’aptitude (la
capacité) du conducteur porté à un potentiel 𝑉 à emmagasiner la charge.

L’unité de la capacité dans le système [MKSA] est le FARAD. (1 𝐹 = 𝐶𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏⁄𝑉𝑜𝑙𝑡)

Sous multiples :
1 𝑚𝑖𝑐𝑟𝑜𝐹 = 1 𝜇𝐹 = 10−6 𝐹 ; 1 𝑛𝑎𝑛𝑜𝐹 = 1 𝑛𝐹 = 10−9 𝐹 ; 1 𝑝𝑖𝑐𝑜𝐹 = 1 𝑝𝐹 = 10−12 𝐹

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Exemple : conducteur sphérique.

𝑄
Potentiel du conducteur sphérique 𝑉 = 𝐾 𝑅
𝑄 𝑅
Capacité du conducteur sphérique 𝐶 = = ⇒ 𝐶 = 4𝜋𝜀0 . 𝑅
𝑉 𝐾

D’où la capacité du conducteur sphérique ne dépend que du rayon de la sphère.

Dans le cas de la terre 𝑅 = 6400 𝐾𝑚. Donc 𝐶 = 711 𝜇𝐹.

I.6. ÉNERGIE INTERNE D’UN CONDUCTEUR SEUL DANS L’ESPACE

On vu que l’énergie potentielle d’une distribution de charges est égale à

1 1 𝑞𝑖 𝑞𝑗
𝑈syst = ∑ ∑ 𝑈𝑖𝑗 = ∑∑ (𝑖 ≠ 𝑗 )
2 4𝜋𝜀0 𝑟𝑖𝑗
𝑖 𝑗 𝑖 𝑗

Qui peut être écrite sous la forme

1 1 𝑞𝑗
𝑈syst = ∑ 𝑞𝑖 . 𝑉 (𝑖 ) avec 𝑉 (𝑖 ) = ∑ (𝑖 ≠ 𝑗 )
2 4𝜋𝜀0 𝑟𝑖𝑗
𝑖 𝑗

𝑉 (𝑖 ) est le potentiel crée par toutes les charges différentes de 𝑞𝑖 au point où se trouve 𝑞𝑖 .
De la même manière nous définissons l’énergie potentielle électrostatique ou énergie
interne d’un conducteur isolé dans l’espace. Nous divisons la charge totale du conducteur en
charges élémentaires 𝑑𝑞 considérées comme ponctuelles. L’énergie interne est donnée par la
somme (intégrale) sur toutes les charges de la valeur (𝑉. 𝑑𝑞 ) tel que 𝑉 est le potentiel au
point où se trouve la charge 𝑑𝑞.

1
𝑈 = ∫ 𝑉. 𝑑𝑞
2 𝑄

Comme le potentiel du conducteur est constant (volume équipotentiel).

1 1
𝑈= 𝑉 ∫ 𝑑𝑞 = 𝑄𝑉
2 𝑄 2
Et en utilisant la capacité.

1 1 𝑄2 1
𝑈 = 𝑄𝑉 = = 𝐶. 𝑉 2
2 2 𝐶 2

Remarque :
Lorsqu’on décharge le conducteur en le reliant à la terre par exemple, cette énergie se
transforme en énergie calorique (effet JOULE)

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II. PHÉNOMÈNES D’INFLUENCE ENTRE CONDUCTEURS CHARGÉS

1. Conducteur à l’intérieur d’un champ électrostatique.

On place un conducteur en équilibre

électrostatique dans un champ extérieur 𝐸⃗⃗ext .
Les charges « libres » dans le conducteur vont
subir une force 𝐹⃗ = 𝑞. 𝐸⃗⃗ext (elle est dans le 𝐸⃗⃗ext
sens du champ extérieur pour les charges
+ +++ ––
positives et opposée au champ extérieur pour + ⃗⃗ –
les charges négatives). Dans ce cas, l’équilibre + 𝐸0 –
+ –
+ –
électrostatique est rompu. Les charges ne ++ Conducteur –
+ –
pouvant sortir du conducteur, elles vont donc –
s’accumuler sur les faces de ce dernier, les –––
charges positives dans la face en aval (dans la
direction du champ) et les charges négatives
dans la face en amont (opposée à la direction
du champ).
Cette accumulation de charge va crée un champ opposé à l’intérieur du conducteur au
champ extérieur 𝐸⃗⃗0 , et plus les charges s’accumuleront sur les faces du conducteur plus le
champ 𝐸⃗⃗0 va augmenter en intensité (module) jusqu’à ce que
𝐸⃗⃗int = 𝐸⃗⃗ext + 𝐸⃗⃗0 = 0
⃗⃗
Dans ce cas la force appliquée à une charge libre à l’intérieur du conducteur sera égale à
𝐹⃗tot = 𝑞. 𝐸⃗⃗int = 0
⃗⃗
Donc on obtient un nouvel état d’équilibre et le déplacement de charge va s’arrêter.

Dans les métaux les charges libres sont des électrons (signe négatif), leur déplacement est
donc opposé au champ extérieur. L’accumulation de charge positive sur la face dans la
direction du champ est due à un déficit en charge négative (plus de protons que d’électrons
dans cette zone).

Remarque :
Entre deux états d’équilibre, le conducteur n’est pas en état d’équilibre électrostatique.
Le nouvel état d’équilibre implique la modification des répartitions de charges ce qui modifie
le potentiel (nouvelle valeur constante du potentiel).
Nouvel équilibre
Equilibre électrostatique Hors équilibre électrostatique
𝐸⃗⃗int = 0
⃗⃗ 𝐸⃗⃗int ≠ 0
⃗⃗
𝐸⃗⃗int = ⃗0⃗
𝑉 = 𝑉1 = Constante 𝑉 ≠ Constante 𝑉 = 𝑉2 = Constante

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2. Influence directe.

–
– +
– +
––
– +
+ + + ++ Depuis l’∞ + + + ++ +
++ + + ++ + + +

3. Influence en retour.
(Influence directe + influence en retour = influence mutuelle.)

– –
– + – +
– + – +
–– ––
– + + ++ – +
+ + + ++ + +++ +
+ +
++ + + ++

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4. Influence totale.

+ + + +
+ +
– – – +
+ – – +
– – +
+ – + + + ++ – +
++ + +
+ – – +
+ – –
– +
+ – – – +
+ + + +

III. CONDENSATEURS

Phénomène de condensation de charges.

Définition du condensateur. Représentation schématique.
Deux conducteurs en influence totale. Capacité d’un condensateur.
La capacité d’un condensateur ne dépend que de la forme des conducteurs et de la matière
isolante qui les séparent.

Condensateur plan. (vide et matière)

Condensateur sphérique.
Condensateur cylindrique.

Energie électrique interne d’un condensateur.

Association de condensateurs.
En série.
En parallèle.

Plusieurs diélectriques dans un condensateur.