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Chapitre 4
Conducteurs, condensateurs et énergie
électrostatique
Dans un volume de matière on peut séparer les porteurs de charges en deux catégories : les charges fixes,
animées d’un mouvement de vibration autour de leur position d’équilibre, et les charges de conduction,
encore appelées charges libres, qui peuvent se déplacer dans tout le volume de matière. Dans un métal
cristallin, par exemple, la première catégorie est constituée des ions, disposés périodiquement en chacun
des noeuds du réseau, et la seconde d’électrons, issus de l’ionisation, qui ne sont liés à aucun atome
particulier et qui sont capables de se déplacer dans tout le réseau. Ces derniers sont les électrons de
conduction ou électrons libres.
On distingue alors les isolants, dans lesquels toutes les charges sont localisées, des conducteurs qui
contiennent un grand nombre de charges de conduction, susceptibles de se mettre en mouvement sous l’ac-
tion d’un champ électrique. Les conducteurs les plus connus sont les métaux. Il existe aussi les électrolytes,
système dans lequel des ions libres peuvent se déplacer.

4.1 Conducteur en équilibre électrostatique

On considère qu’un conducteur est en équilibre électrostatique lorsque la vitesse moyenne des charges
libres par rapport aux réseau d’ions est nulle. Tout se passe comme si les électrons n’étaient soumis à
aucune force macroscopique 1 . Bien entendu, à l’échelle microscopique les électrons demeurent mobiles et
entrent perpétuellement en collision.

4.1.1 Propriétés d’un conducteur en équilibre électrostatique

1. Par définition, un conducteur est en équilibre électrostatique si ses porteurs libres, dans leur
ensemble, ne sont soumis à aucune force macroscopique 2 . Ceci revient à dire que le champ
électrique macroscopique à l’intérieur du conducteur est nul :
Ñ
Ý Ñ
Ý
E int “ 0 (4.1)

2. Puisque ce champ électrostatique dérive d’un potentiel Vint , on a alors :

Ñ
Ý ÝÝÑ Ñ
Ý
E int “ ´gradVint “ 0

ceci revient à dire que le potentiel est le même en tout point intérieur du conducteur.
1. l’action macroscopique de l’ensemble de charges libres sur l’une d’entre elles est nulle
Ý
Ñ Ý
Ñ
2. En électrostatique, la seule force considérée est la force électrostatique F “ q E
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La continuité du potentiel à la traversée d’une surface chargée, nous permet d’affirmer que la
surface d’un conducteur est une surface équipotentielle :

Vint “ Vsurf ace “ Cte (4.2)

3. La surface d’un conducteur en équilibre électrostatique est une surface équipotentielle, les lignes de
champs sont donc perpendiculaires à cette surface, elles s’arrêtent à la surface et ne se prolongent
pas à l’intérieur, où le champ est nul.
4. L’équilibre d’un conducteur impose une certaine forme de distribution de charges dans le conduc-
teur. En effet, la forme locale du théorème de Gauss, à l’intérieur du conducteur en équilibre,
permet d’écrire :
Ñ
Ý ρint
div E int “ “0
0
ce qui implique que la charge électrique totale à l’intérieur d’un conducteur en équilibre
est nulle. Il y a une compensation exacte entre les charges positives et les charges négatives :

ρint “ 0 (4.3)

Ainsi, à l’équilibre, les charges électriques dans un conducteur "chargé" ne peuvent

être localisées que sur sa surface, la distribution de charges étant caractérisée par une densité
surfacique σ.
Un conducteur métallique, dont les charges libres sont des électrons, est chargé négativement
lorsqu’il porte en surface un excès d’électrons, et à l’inverse, il est chargé positivement lorsque sa
surface présente un défaut d’électrons.

4.1.2 Champ au voisinage d’un conducteur chargé en équilibre : théorème de Cou-

lomb
Considérons un conducteur de surface S en équilibre électrostatique chargé avec une densité surfacique
de charges σ. Soit σpP q la densité en un point P de S.
Notons ÑÝn le vecteur unitaire orienté vers l’extérieur du conducteur et normal à S au point P . Les
points M et N , situés respectivement à l’extérieur et à l’intérieur du conducteur, sont infiniment proches
de P .
Appliquons le théorème de Gauss à un cylindre élémentaire entourant P et dont les bases, de centres
M et N , sont parallèles à la surface du conducteur.

Eext
dΣ n
Σ
M
n
σ>0
P
Σ
S

Ei = 0 N n
Σ

On sait que le champ électrostatique est normal à la surface S du conducteur en équilibre (surface
équipotentielle), le flux à travers la paroie latérale est par conséquent nul, aussi, le champ à l’intérieur du
conducteur est nul, sa contribution au flux l’est également. Le flux total n’est donc dû qu’à la contribution
du champ extérieur. On déduit finalement que :
σ
Eext “
0

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Theorem 4.1: Théorème de Coulomb

le champ électrostatique créé au voisinage immédiat d’un conducteur chargé en équilibre, avec une
densité surfacique σ, est normal à la surface du conducteur et a une intensité égale à σ{0 :
Ñ
Ý σÝ
E “ Ñ n (4.4)
0
où Ñ
Ý
n est le vecteur unitaire normal et extérieur au conducteur chargé.

4.1.3 Capacité d’un conducteur en équilibre

Soit un conducteur de surface S en équilibre électrostatique, isolé, chargé avec une distribution sur-
facique de densité σ et porté au potentiel V . En tout point M du conducteur, ce potentiel s’écrit (cf.
paragraphe 1.4.4 eq. 1.38) : ij
1 σpP q dSpP q
V pM q “
4π0 PM
S

dS étant une surface élémentaire du conducteur, centrée sur le point P et portant la charge élémentaire
σpP q dSpP q. La charge électrique totale portée par ce conducteur s’exprime par :
ij
Q“ σpP q dSpP q
S

Sur ces deux expressions, nous constatons que si nous chargeons le conducteur avec une charge kQ, la dis-
tribution de charges correspondante sera égale à kσ. En vertu du théorème de superposition, le potentiel
correspondant à l’équilibre sera alors égale à kV . Il existe alors une relation de proportionnalité
entre la charge et le potentiel pour un conducteur . Le coefficient de proportionnalité est appelé
capacité du conducteur (à ne pas confondre avec la capacité d’un condensateur), ce coefficient, tou-
jours positif, est indépendant de l’état de charge du conducteur, il ne dépend que de ses caractéristiques
géométriques et du matériau dont il est fait.
Définition : La capacité d’un conducteur en équilibre électrostatique est définie par :
Q
C“ (4.5)
V
où Q est la charge électrique totale du conducteur porté au potentiel V . L’unité de la capacité
est le F arad (symbole F ). L’ordre de grandeur d’une capacité usuelle est le microfarad 10´6 F
voir le picrofarad 10´9 F

Exemple : En utilisant le théorème de Gauss, on montre facilement que le potentiel V d’un

conducteur sphérique de rayon R et de charge Q s’écrit :
Q
V “ (4.6)
4π0 R
La capacité d’un tel conducteur est donc :

C “ 4π0 R (4.7)

A.N : R “ 1 cm C “ 1, 1 ¨ 10´12 F “ 1, 1 pF
Il est utile, pour évaluer rapidement les ordres de grandeur, de retenir que les systèmes de
conducteurs avec des dimensions de l’ordre du centimètre donneront des capacités de
l’ordre du pico-farad.

Théorème des éléments correspondants

Soient deux conducteurs A et B en équilibre, chargés respectivement avec une densité surfacique σA
et σB . Considérons un tube de champ 3 partant du conducteur A pour aboutir au conducteur B. Ce tube

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σA σB

dSA

ΣΑ ΣΒ
dSB

VA > VB VB
A B
Tube de champ
électrostatique

Figure 4.1 – Eléments correspondants pdSA q et pdSB q de deux conducteurs en influence mutuelle

découpe sur A et B deux éléments de surfaces dSA et dSB . On appelle ces deux éléments de surfaces
"éléments correspondants".
Formons une surface de Gauss en refermant ce tube par deux surfaces complémentaires ΣA et ΣB
contenues dans les deux conducteurs. Le champ étant par définition tangent en tout point de la surface
latérale du tube, et il est nul dans les conducteurs. Le flux du champ électrostatique sortant à travers
cette surface de Gauss est donc nul, et par conséquent, la charge totale intérieure à cette surface de Gauss
est nulle. On conclut alors que la charge σA dSA portée par l’élément de surface dSA du conducteur A
est opposée à celle portée par l’élément correspondant sur B, du coup, σA dSA “ ´σB dSB . Ce résultat
constitue le théorème des éléments correspondants.
Théorème : Les charges portées par 2 éléments correspondants de deux conducteurs en équi-
libre électrostatique sont opposés.

4.1.4 Influence électrostatique

Lorsqu’on place un conducteur chargé dans un champ électrostatique, la répartition des charges su-
perficielles est modifiée ; on dit que le conducteur a été influencé par le champ. A l’équilibre, la surface
du conducteur doit toujours être une équipotentielle.

Charge par influence

Considérons un conducteur A isolé et initialement neutre. Approchons de ce conducteur un conducteur
B isolé et chargé positivement.
L’expérience montre que des charges apparaissent sur le conducteur A ; ces charges sont négatives sur
la région de A en regard de B et positives sur la région de A la plus éloignée de B.
Ñ
Ý
L’interprétation du phénomène est la suivante : le conducteur A se trouve placé dans le champ E B créé
par le conducteur B chargé. Sous l’action de ce champ, les électrons libres du conducteur A se déplaceront
Ñ
Ý
dans un sens opposé à celui du champ E B et viennent ainsi se placer sur la partie du conducteur A en
face du conducteur B. Il en résulte un déficit en électrons dans la partie opposée, d’où l’apparition d’une
charge positive dans l’autre coté du conducteur A 4 . Le conducteur A reste bien globalement neutre.
Ce déplacement d’électrons cesse lorsqu’un nouvel état d’équilibre électrostatique du conducteur A
Ñ
Ý
est atteint, c’est-à-dire quand le champ E A créé par la nouvelle distribution de charges du conducteur A
Ñ
Ý Ñ
Ý
annule le champ en tout point intérieur ( E A + E B =0).
Le phénomène d’influence se fait d’ailleurs en retour : il y a aussi influence de A sur B.
Application : charge d’un electroscope par influence
3. On appelle tube de champ d’un champ de vecteurs l’ensemble des lignes de champ qui s’appuient sur un contour
fermé.
4. Soulignons que le terme "apparition des charges" est impropre, le conducteur A étant isolé, il y a donc conservation
de la charge totale, il n’y a en fait qu’une simple redistribution des charges dans le conducteur

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EB

B A

- -
-
+ + +

Sol
- - + +
Feulles d'or

Figure 4.2 – Charge d’un électroscope par influence

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Influence totale
Deux conducteurs sont dits en influence totale si l’un des conducteurs entoure complètement l’autre 5 .
Dans ce cas, en supposant par exemple que le potentiel du conducteur intérieur soit plus élevé, toutes les
lignes de champ partiront de ce conducteur pour arriver sur la surface intérieure du conducteur creux.
Supposons que les conducteurs A et B portaient respectivement, à l’état initial, les charges `q et `Q,
le théorème des éléments correspondants nous indique que, dans le cas où les deux conducteurs restent
isolés (figure 4.3 a), la charge de la face interne du conducteur creux pBq est nécessairement égale à ´q
et la face externe Q ` q. Si le conducteur B n’est plus isolé, par exemple relié au sol (figure 4.3 b), les
charges situées sur la face externe "s’écoulent" vers la Terre, et on aura donc une face externe déchargée
et une face interne qui portera toujours la charge ´q.

+ + + +
+ +
+
+ _ _
_ _ _
_ + + + _ _
+ + + _ + +
A B + + _

+
_ + +
_ _ + A + B
VA q + _
_
+
(-q) VB + VA q (-q)
+ + + _ +
_ + _ + + _
_ _ +
+ _
+
+
+ + + (q+Q)
Terre VB = 0
(a) (b)

Figure 4.3 – Distribution de charges sur les surfaces de conducteurs en influence totale : a) le conducteur
extérieur étant isolé ; b) le conducteur extérieur étant relié à la Terre.

Capacités et Coefficients d’influence électrostatique d’un système de conducteurs en équi-

libre
Considérons un ensemble de n conducteurs dont l’équilibre est caractérisé par les charges Q1 , . . . Qn
et les potentielles V1 , . . . Vn . On montre que les charges Qi sont des fonctions linéaires des potentiels Vj
et réciproquement :
n
ÿ ÿn
Qi “ Cij Vj pou Vi “ Dij Qj q (4.8)
j j

sous sa forme matricielle, cette équation s’écrit :

¨ ˛ ¨ ˛ ¨ ˛
Q1 C11 ... C1n V1
˚ .. ‹ ˚ .. .. .. ‹ ¨ ˚ .. ‹
˝ . ‚“ ˝ . . . ‚ ˝ . ‚ (4.9)
Qn Cn1 ... Cnn Vn

Les éléments Cij de cette matrice carrée ne dépendent que de la géométrie du système de conducteurs, ils
s’expriment en f arad. L’élément Cii de la diagonale correspond à la capacité du conducteur i en présence
de tous les autres conducteurs 6 , les Cii sont toujours positifs. L’élément Cij,i‰j est appelé coefficient
d’influence du conducteur j sur le conducteur i. Les éléments Cij,i‰j vérifient les propriétés suivantes :
— Les Cij sont
ÿ toujours négatifs et Cij “ Cji (matrice symétrique).
— Cii ě ´ Cji , l’égalité n’étant possible que dans le cas d’une influence totale.
j‰i
La dernière inégalité est une conséquence du théorème des éléments correspondants. En effet, prenons par
exemple le conducteur A1 porté au potentiel V1 alors que les autres sont mis au potentiel nul. Tous les
tubes de flux partant de A1 n’aboutissent pas nécessairement à un autre conducteur (ils ne le feraient que
5. Si seule une partie des lignes de champ issues d’un conducteur arrive sur l’autre, on dit alors que ces deux conducteurs
sont en influence partielle.
6. A ne pas confondre avec la capacité propre Ci du conducteur isolé, seul dans l’espace.

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pour une influence totale). Donc, cela signifie que la charge totale située sur A1 est (en valeur absolue)
supérieure à l’ensemble des charges situées sur les autres conducteurs, c’est à dire que :
ÿ
Q1 “ C11 V1 ě ´ C1j V1 (4.10)
j‰1

A2
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx

xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
q2xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
A1
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
qn xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx An
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx

Exercice d’application : Soient deux conducteurs sphériques, A1 et A2 , de rayons R1 et R2 portant

une charge Q1 et Q2 , situés à une distance d l’un de l’autre. On suppose que la distance d séparant les
deux conducteurs est très grande comparée à R1 et R2 .
1. A quels potentiels se trouvent ces deux conducteurs ?
2. Calculer les coefficients de capacité C11 et C22 et les coefficients d’influence C12 et C21 .

A1 A2
O1 R2
d
R1
O2
Q1 Q2

1.
Q1 Q2
VA1 “ ` (4.11)
4πε0 R1 4πε0 d
Q1 Q2
VA2 “ ` (4.12)
4πε0 d 4πε0 R2
soit donc, en notation matricielle :
ˆ ˙ ˆ 1 1 ˙ˆ ˙
V1 1 R1 d Q1
“ 1 1 (4.13)
V2 4πε0 d R2 Q2

2. La matrice des coefficients de capacité et d’influence est alors obtenue en inversant la matrice :
ˆ 1 1 ˙
1 R1 d
1 1 (4.14)
4πε0 d R2

On trouve :
4πε0 R1
C11 “ (4.15)
1 ´ R1 R2 {d2
4πε0 R2
C22 “ (4.16)
1 ´ R1 R2 {d2
´4πε0 R1 R2
C12 “ C21 “ (4.17)
dp1 ´ R1 R2 {d2 q
On vérifie bien que :

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— C12 “ C21 , donc la matrice des coefficients de capacité et d’influence est symétrique
— C12 et C21 sont négatifs
— C11 et C22 sont positifs
En faisant tendre d vers l’infini, on retrouve la capacité du conducteur A1 seul.

4.2 Condensateurs

4.2.1 Définition d’un condensateur

On appelle condensateur un système de deux conducteurs en influence totale, ces deux conducteurs
sont appelés armatures du condensateur. L’armature interne A1 porte la charge Q1 , charge du conden-
sateur, elle est entourée par l’armature externe A2 dont la charge totale est Q2 . En général, les deux
armatures sont séparées par un matériau isolant (un diélectrique), ce qui a pour effet d’accroître la ca-
pacité du condensateur. Dans ce qui suit on suppose que les deux armatures sont séparées par du vide.

A2

Qe

Q1
Armature interne
A1

Armature externe
(Q2 = Qi + Qe)
Qi = - Q 1

Figure 4.4 – Condensateur

4.2.2 Capacité d’un condensateur

Les deux conducteurs A1 (charge Q1 ) et A2 (charge Q2 ) (figure 4.4) sont portés respectivement aux
potentiels V1 et V2 , l’équilibre électrostatique du système permet d’écrire (cf. eq. 4.8) :
Q1 “ C11 V1 ` C12 V2
(4.18)
Q2 “ C21 V1 ` C22 V2
Ces relations doivent être vérifiées quel que soit le potentiel V2 , en particulier pour V2 “ 0. Dans ce cas,
les deux conducteurs étant en influence totale, nous avons la relation :
Q1 “ ´Q2 (4.19)
ce qui implique que :
C11 “ ´C21 “ ´C12 (4.20)
Puisque les coefficients Cij ne dépendent que de la configuration géométrique du système, cette relation
est encore vraie lorsque le conducteur creux est maintenu au potentiel V2 . Nous obtenons ainsi :
Q1 “ C11 pV1 ´ V2 q “ CpV1 ´ V2 q on pose C11 “ C (4.21)
Le coefficient C est appelé la capacité du condensateur. Elle s’exprime en farad pF q et traduit la faculté
que possède le condensateur à stocker des charges lorsqu’il y a une différence de potentiel donnée entre
ses armatures. Notons que la charge Q2 est alors égale à :
Q2 “ C21 V1 ` C22 V2 “ ´C11 V1 ` C22 V2 “ ´CpV1 ´ V2 q ` pC22 ´ CqV2 (4.22)
Dans cette expression, le premier terme correspond à la charge localisée en face de l’armature interne
tandis que la seconde contribution correspond à la charge sur la surface externe de l’armature creuse.
Pour des formes géométriques simples, la capacité est facile à calculer comme nous allons le montrer
sur quelques exemples.

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Condensateur sphérique
Ce type de condensateur est constitué d’une sphère conductrice de rayon R1 , portant une charge
positive `Q, placée à l’intérieur d’une coquille sphérique conductrice mince de rayon R2 portant une
charge ´Q.

R2

O
R1
Q
-Q

Figure 4.5 – Condensateur sphérique

Pour ce système à symétrie sphérique, le champ et le potentiel sont de la forme :

Ñ
Ý dV prq Ñ
V pr, θ, ϕq “ V prq et E pr, θ, ϕq “ EprqÑ
Ý
er “´ Ý
er
dr
En appliquant le théorème de Gauss à une sphère de rayon r, compris entre R1 et R2 , nous obtenons :

Ñ
Ý 1 QÑ Ý
E prq “ er (4.23)
4π0 r2
Nous en déduisons :
ż R2 ż R2 ˆ ˙
Q dr Q 1 1
V1 ´ V2 “ Eprqdr “ “ ´ (4.24)
R1 4π0 R1 r2 4π0 R1 R2

La capacité du condensateur sphérique est donc :

Q R1 R2
C“ “ 4π0 (4.25)
V1 ´ V2 R2 ´ R1

Condensateur cylindrique

R2 R1

h +Q -Q

Figure 4.6 – Condensateur cylindrique

Les armatures du condensateur cylindrique sont deux cylindres coaxiaux de rayons R1 et R2 et de

hauteur h.

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Nous négligerons ici les effets de bords (les perturbations de champ aux extrémités sont négligeables)
lié au caractère fini de la longueur h. Cela revient à renvoyer à l’infini les extrémités du condensateur.
Tout se passe, dans cette approximation, comme si le système était non seulement de révolution autour
de l’axe pOzq, mais aussi invariant pas translation parallèlement à l’axe pOzq. Dans ces conditions, le
champ et le potentiel sont, en coordonnées cylindriques, de la forme :
Ñ
Ý dV prq Ñ
V pr, θ, zq “ V prq etE pr, θ, zq “ EprqÑ
Ý
er “´ Ý
er
dr
En appliquant le théorème de Gauss à un cylindre de hauteur h et de rayon r, compris entre R1 et R2 ,
nous obtenons :
Ñ
Ý 1 QÑ Ý
E prq “ er (4.26)
2π0 h r
Nous en déduisons :
Q R2
V1 ´ V2 “ Ln (4.27)
2π0 h R1
La capacité du condensateur cylindrique est donc :
Q 2π0 h
C“ “ R2
(4.28)
V1 ´ V2 Ln R 1

Condensateur plan

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ V2
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
k −σ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
e
+ + + + + + + + + + V1
j
+σ + + + + + + + + + +
i + + + + + + + + + +

Figure 4.7 – Condensateur plan

Il est constitué par deux plans parallèles de surface S distants de e et uniformément chargé `σ et ´σ.
Entre les deux armatures, le champ électrostatique est la superposition des champs créés par chacune des
armatures (on néglige là aussi les effets de bords) :
Ñ
Ý Ñ
Ý Ñ
Ý σ ÑÝ ´σ Ñ Ý σÑ Ý
E “ E1 ` E2 “ k ` p´ k q “ k (4.29)
2ε0 2ε0 ε0
La différence de potentiel entre les deux armatures est alors :
ż z2
ÝÝ
Ñ Ñ σ
V1 ´ V2 “ E dz “ e (4.30)
z1 ε0

La capacité du condensateur cylindrique est donc :

Q ε0 S
C“ “ (4.31)
V1 ´ V2 e

4.2.3 Associations de condensateurs

Condensateurs en parallèle
Considérons n condensateurs de capacités Ci mis en parallèle avec la même tension U “ V1 ´ V2 .
La charge électrique de chacun d’entre eux est donnée par Qi “ Ci U . La charge électrique totale est
simplement : ˜ ¸
n
ÿ n
ÿ
Q“ Qi “ Ci U “ CU (4.32)
i“1 i“1
La capacité équivalente C est donc la somme des capacités individuelles :
n
ÿ
C“ Ci (4.33)
i“1

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V1 Q1 Q2 Qn
U
V2 -Q1 -Q2 -Qn

Figure 4.8 – Condensateurs en parallèle

Condensateurs en série

V0 V1 V2 Vn

+Q -Q +Q -Q +Q -Q

Figure 4.9 – Condensateurs en parallèle

Considérons n condensateurs de capacités Ci mis en série. On porte aux potentiels V0 et Vn les deux
extrémités de la chaîne et on apporte la charge Q sur le premier condensateur. En supposant que tous
les condensateurs sont initialement neutres, il s’établit la charge ˘Q (par influence) sur les armatures
des condensateurs adjacents. La tension totale aux bornes de la chaîne de condensateurs s’écrit alors
simplement :

V0 ´ Vn “ V0 ´ V1 ` V1 ´ V2 ` . . . ` Vn´1 ´ Vn
Q Q Q
“ ` ` ... `
C C2 Cn
˜1 ¸
n
ÿ 1
“ Q (4.34)
C
i“1 i

La capacité équivalente de cette série de condensateurs est donc :

n
ÿ 1
C“ (4.35)
C
i“1 i

4.3 Energie électrostatique

4.3.1 Cas d’une charge ponctuelle

Ñ
Ý
Soit une charge ponctuelle q placée en un point M où règne un champ électrostatique E . Pour la
mettre en place en M , donc la déplacer de l’infini vers M , un opérateur doit fournir une force qui s’oppose
Ñ
Ý Ñ
Ý
à la force de Coulomb. Si ce déplacement est fait suffisamment lentement (à tout instant, F ext “ ´q E ),
la particule n’acquiert aucune énergie cinétique . Le travail fourni par l’opérateur sera donc :
żM żM
Ý Ñ
Ñ Ý ÝÑ
Ñ Ý
W8ÑM “ F ext dr “ ´q E dr “ qpV pM q ´ V p8qq (4.36)
8 8

Puisqu’on peut toujours définir le potentiel nul à l’infini, on obtient l’expression suivante pour l’énergie
électrostatique d’une charge ponctuelle placée en un point où le potentiel est V :

We “ qV (4.37)

Cette énergie correspond donc au travail qu’il faut fournir pour amener la charge depuis l’infini à sa
position actuelle. Notons que l’énergie électrostatique ne prend en compte ni l’énergie nécessaire à la
création initiale des charges ni celle nécessaire à la constitution du milieu dans lequel elles sont placées.

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4.3.2 Cas d’un système de charges ponctuelles

Pour calculer cette énergie We , il convient d’amener une à une les charges qi et d’évaluer à chaque
fois l’énergie nécessaire à cette opération, l’énergie We étant la somme de toute ces contributions.
Commençons par amener la charge q1 au point P1 . La mise en place de cette charge ne nécessite
aucune énergie, ni pour sa création (par hypothèse) ni pour son déplacement de l’infini à P1 puisqu’elle
est seule dans le vide.
W1 “ 0
Pour amener la seconde charge q2 au P2 , il faut fournir le travail W2 qui a pour expression :
1 q2 q1
W2 “ q2 V pP2 q “
4π0 r12
Ces deux charges se trouvant maintenant à leurs positions finales, pour amener une troisième charge q3
en P3 , il faudra lui fournir le travail W3
1 q3 q1 1 q3 q2
W3 “ q3 V pP3 q “ `
4π0 r13 4π0 r23

q2
r12 P2
q1 r23
P1
r13 P3
q3

Pj
qj

Ainsi de façon générale, l’énergie requise pour amener une j me charge qj au point Pj a pour expression :
ÿ 1 qi
Wj “ qj V pPj q “ qj (4.38)
iăj
4π0 rij

L’énergie totale We qui est nécessaire pour amener le système de charges dans l’état pqi , Pi q est, par
définition, simplement égale à la somme de toutes les contributions de type 4.38. Nous obtenons ainsi :
ÿ
We “ Wj
j
ÿ 1 qj qi
“
j,iăj
4π0 rij
1 ÿ 1 qj qi
“ (4.39)
2 j,i‰j 4π0 rij

Dans cette dernière expression, le facteur 21 apparaît parce que chaque couple pqi , qj q est compté deux
fois. L’expression 4.39 de l’énergie peut aussi s’écrire en fonction du potentiel sous la forme :
1ÿ
We “ qj V pPj q (4.40)
2 j

ÿ 1 qi
avec, rappelons le, V pPj q “ est le potentiel créé au point Pj par toutes les autres charges.
iăj
4π0 rij

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4.3.3 Cas d’une distribution continue de charges

Le résultat précédent se généralise facilement au cas des distributions continues de charges. En dési-
gnant par dq la charge élémentaire située autour d’un point P quelconque de la distribution et par V pP q
le potentiel auquel est soumis cette charge, on obtient :
ż
1
We “ V pP qdq (4.41)
2 distribution

— distribution linéaire : ż
1
We “ λV pP qdl (4.42)
2 C
— distribution superficielle : ij
1
We “ σV pP qdS (4.43)
2
S

— distribution volumique : ¡
1
We “ ρV pP qdτ (4.44)
2
τ

4.3.4 Energie électrostatique d’un conducteur en équilibre

L’énergie électrostatique d’un conducteur isolé en équilibre, de charge Q (répartie sur sa surface S)
et de potentiel V (cte sur S), est :
ij ij ij
1 1 V 1
We “ dqV pP q “ dqV “ dq “ QV (4.45)
2 2 2 2
S S S

avec Q “ CV , We peut aussi s’écrire :

1 1 1 Q2
We “ QV “ CV 2 “ (4.46)
2 2 2 C
Ceci est l’énergie nécessaire pour amener un conducteur de capacité C au potentiel V .

4.3.5 Energie électrostatique d’un système de n conducteurs en équilibre

Pour un ensemble de n conducteurs, placés dans un volume τ , dont l’équilibre est caractérisé par les
charges Q1 , . . . Qn et les potentielles V1 , . . . Vn . En dehors du volume occupé par chaque conducteur, il
n’y a pas de charge. L’énergie électrostatique de cette distribution de charges est alors :
ij n ij n
1 ÿ Vi 1ÿ
We “ dqV pP q “ dqi “ Qi Vi (4.47)
2 i“1
2 2 i“1
S S

Exemple : énergie électrostatique d’un condensateur

_
V1 V2

V1 V2

+Q -Q

1 1
We “ pQ1 V1 ` Q2 V2 q “ Q pV1 ´ V2 q (4.48)
2 2

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avec Q “ C pV1 ´ V2 q, We peut aussi s’écrire :

1 1 2 1 Q2
We “ Q pV1 ´ V2 q “ C pV1 ´ V2 q “ (4.49)
2 2 2 C
Ainsi, un condensateur peut emmagasiner de l’énergie électrostatique. Considérons le cas d’un conden-
sateur plan de densité surfacique σ uniforme et dont les armatures, séparées d’une distance e, ont une
surface S commune. L’énergie de ce condensateur s’écrit :
˙2
1 Q2 1 pσSq2 ε0 E 2
ˆ
1 σ
We “ “ “ ε0 pS eq “ τ (4.50)
2 C 2 ε0 S 2 ε0 2
e
Ñ
Ý
où τ est le volume compris entre les deux armatures, où réside le champ E .

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MAGNETOSTATIQUE