Examen Electricité SNormale 2018 PDF
Examen Electricité SNormale 2018 PDF
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Examen d’Électricité 1
(SMP2, SMC2, SMAI2 )
Session normale
N° d’examen : CNE :
Nom & Prénom : CIN :
Problème
I- Soit un corps creux hémisphérique de centre O et de rayon R1
chargé uniformément avec une densité de charge surfacique >0
(Figure 1).
a- Montrer par des considérations de symétrie que le champ
électrostatique 𝐸1 produit par l’hémisphère au point O est porté
par l’axe Ox.
b- Montrer que la surface de la couronne de rayon HP s’écrit
𝑑𝑠 = 2𝜋𝑅1 2 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃. En déduire sa charge électrique.
c- Donner l’expression du champ élémentaire 𝑑𝐸1 produit par la couronne au point O.
d- Calculer le champ total produit par l’hémisphère au point O. En déduire le champ au centre d’une
sphère chargée en surface.
e- Déterminer par un calcul direct le potentiel V(𝑂) au point O. En déduire le potentiel au centre
d’une sphère chargée en surface.
III- Une sphère conductrice A de rayon 𝑅1 , portant une charge positive Q et de potentiel 𝑉𝐴 est
entourée par une sphère conductrice C concentrique creuse, neutre, de rayon intérieur 𝑅4 et de
rayon extérieur 𝑅5 (Figure 3).
a- Donner la répartition des charges.
b- En utilisant le théorème de Gauss calculer le champ électrostatique 𝐸 entre les deux sphères
(𝑅1 < 𝑟 < 𝑅4 ).
c- En utilisant la proprieté de discontinuité du champ électrostatique à l’interface 𝑟 = 𝑅1 , déterminer
le champ à l’intérieur de la sphère A (𝑟 < 𝑅1 ).
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d- Calculer la circulation du champ 𝐸 entre les deux sphères (𝑅1 < 𝑟 < 𝑅4 ). En déduire la différence
de potentiel ∆𝑉 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐶 où 𝑉𝐶 est le potentiel de la sphère creuse.
e- Calculer la capacité 𝐶𝐴𝐶 du condensateur constitué par les conducteurs A et C.
f- On introduit entre les deux conducteurs, une coquille sphérique B concentrique conductrice
neutre, de potentiel 𝑉𝐵 , de rayon intérieur 𝑅2 et de rayon extérieur 𝑅3 (Figure 4).
1- Donner la nouvelle répartition des charges.
2- Déterminer sans calcul le champ 𝐸 en tout point de l’espace.
3- Calculer 1 où 𝐶′𝐴𝐶 est la nouvelle capacité du condensateur constitué par les trois
𝐶′𝐴𝐶
conducteurs sphériques.
4- En utilisant la question (III.d) donner sans calcul la capacité 𝐶𝐴𝐵 du condensateur formé par les
conducteurs A et B d’une part et celle, 𝐶𝐵𝐶 , du condensateur formé par les conducteurs B et C
d’autre part.
5- Exprimer 1 en fonction de 𝐶𝐴𝐵 et 𝐶𝐵𝐶 . Conclure.
𝐶′𝐴𝐶
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Correction de l’examen d’ électricité (SN 2018)
Problème
I-
a- Les plans yox et zox sont des plans de symétries de l’hémisphère alors le champ est porté par Ox
b- L’élément de surface ds en coordonnées sphériques :
2𝜋
𝑑𝑠 ′ = 𝑅1 2 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃𝑑𝜑 → 𝑑𝑠 = 𝑅1 2 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃 𝑑𝜑 = 2𝜋𝑅1 2 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃
0
c- La charge élémentaire ds , prise sur la couronne de rayon HP, contribue au champ total par :
d-
Par symétrie le champ total au centre d‘une sphère chargée en surface est nul car l’autre
hémisphère produira un champ de même module mais de sens opposé.
e-
La couronne produit un potentiel dv au point O :
𝑑𝑞 𝜍𝑑𝑠 𝜍2𝜋𝑅1 2 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃 𝜍𝑅1 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃
𝑑𝑉 = = = =
4𝜋𝜀0 𝑅1 4𝜋𝜀0 𝑅1 4𝜋𝜀0 𝑅1 2𝜀0
𝜍 𝑅1 𝜋 𝜍 𝑅1
𝑉= 2 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃 =
2𝜀 0 0 2𝜀 0
𝜍 𝑅1
Le potentiel total au point O est par symétrie : 2𝑉 =
𝜀0
II-
a- L’élément de volume en coordonnées sphériques : 𝑑𝜏 = 𝑟 2 𝑑𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃𝑑𝜑
b- Le volume de la demi-coquille est :
𝜋 2𝜋
𝜏𝑐 = 𝑟 2 𝑑𝑟 0
2 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃
0
𝑑𝜑 = 2𝜋 𝑟 2 𝑑𝑟
c- Pour trouver la correspondance entre les densités de charge surfacique et volumique, on écrit que
la charge 2 r 2 portée par la distribution surfacique précédente est maintenant portée par la demi-
coquille de rayon r , d’épaisseur dr, donc de volume d 2 r 2 dr .
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𝜌 𝑅2 𝜌𝑅2
On en déduit pour le champ total : 𝐸2 = 𝑑𝑟 𝑒𝑥 = 𝑒𝑥
4𝜀 0 0 4𝜀 0
e- Calcul direct :
Par raison de symétrie, E est dirigé suivant Ox . En effet, tout plan contenant Ox est un plan de symétrie pour la
distribution de charge :
III-
a- Les charges positives sur la face extérieur de la sphère A (conducteur
en équilibre), les charges négatives sur la face intérieure de C (par
influence totale) et des charges positives sur la face extérieure de C.
Théorème de Gauss :
La symétrie existe, la surface de Gauss ne peut être que sphérique.
Pour R1 r R4 :
Qint
E r dS 0 Soit : E r dS E r 4 r E r
2 Q Q
er
0 4 0r 2
4R1
2
c- E r R1 Eint er E r R1
Q
or e e er
0 4 0r 2 r
4 0 R1
2 r
0
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Alors Eint 0
𝑄 (𝑅4 −𝑅1 )
Or 𝑑ℂ = −𝑑𝑉 →→→ ℂ = −(𝑉𝐶 − 𝑉𝐴 ) →→→→ ∆𝑉 = 4𝜋 𝜀
0 𝑅4 𝑅1
1-
𝑅3 < 𝑟 < 𝑅4 : B est neutre alors le champ est celui produit par A : E r
Q
er
4 0r 2
𝑅4 < 𝑟 < 𝑅5 : le champ est nul car la sphère C est un conducteur en équilibre.
𝑅5 < 𝑟 : B et C sont neutres alors le champ est toujours celui produit par A : E r
Q
er
4 0r 2
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