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    Propagation D'une Information

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    Propagation d’une information

    Préliminaire
    Etablir que pour tout x de l’intervalle ]−1, +∞[ , on a ln(1 + x ) ≤ x .
    Objectifs et notations
    Ce problème étudie différents modèles de propagation, au cours du temps, d’une information au sein d’une
    population contenant N individus où N est une entier naturel strictement supérieur à 3. On désignera par le réel
    t positif la variable représentant le temps.
    On suppose qu’à l’instant initial ( t = 0 ) une seule personne parmi cette population est informée. L’information
    circule au sein de cette population et lorsqu’une personne est informée à l’instant t elle le reste indéfiniment.
    Pour tout réel x , [x ] désignera la partie entière de x , c’est à dire l’unique entier relatif k tel que k ≤ x < k + 1 ,
    et la fonction ln représentera la fonction logarithme népérien.
    Partie I-Premier modèle de propagation
    1
    Soit C un réel strictement positif. On considère un intervalle de temps ∆ strictement positif et tel que ∆ < ,
    C
    ainsi que les instants n∆ , où l’entier n décrit ℕ . Pour tout n , on note un (∆) la proportion de personnes
    informées à l’instant n∆ .
    On fait l’hypothèse que l’augmentation de cette proportion entre les instants n∆ et (n + 1)∆ est déterminée par
    la relation :
    ∀n ∈ ℕ, un +1 (∆) − un (∆) = C ∆(1− un (∆))
    1
    On pose u 0 (∆) = .
    N
    1.a Exprimer 1− un +1 (∆) en fonction de 1− un (∆) .
    1.b Déterminer l’expression de un (∆) et la valeur de lim un (∆) .
    n →+∞

    t
    2. Soit t un réel fixé strictement positif. Le rapport sera également noté t ∆ .
    ∆
    t   t   t 
    2.a Comparer   ∆ , t et    + 1 ∆ . Déterminer lim ∆   .
     ∆    ∆   ∆→ 0  ∆ 
    2.b Déterminer lim u[t ∆] (∆) .
    ∆→ 0

    3. On suppose dans cette question que la proportion de personnes informées est définie à chaque instant t ,
    où t est un réel positif, par f (t ) , f étant une fonction définie et dérivable sur ℝ + . On fait l’hypothèse
    que l’accroissement instantanée de la proportion de personnes informées est déterminé par l’équation
    différentielle :
    ∀t ∈ ℝ + , f ′(t ) = C (1− f (t )) .
    1
    Déterminer la fonction f sachant que f (0) = .
    N
    Partie II-Second modèle de propagation
    On désigne toujours par C une constante réelles strictement positive. On considère un intervalle de temps ∆
    1
    strictement positif et tel que ∆ < , ainsi que les instants n∆ , où l’entier n décrit ℕ . Pour tout n , on note
    C
    vn (∆) la proportion de personnes informées à l’instant n∆ .
    On fait l’hypothèse que l’augmentation de cette proportion entre les instants n∆ et (n + 1)∆ est déterminée par
    la relation :
    ∀n ∈ ℕ, vn +1 (∆) − vn (∆) = C ∆vn (∆).(1− vn (∆)) .
    1
    On pose v 0 (∆) = .
    N
    1.a Pour tout entier naturel n , exprimer 1− vn +1 (∆) en fonction de 1− vn (∆) et de 1−C ∆vn (∆) .
    1 
    1.b Montrer que la suite (vn (∆))n ∈ℕ est à valeurs dans  ,1 .
     N 
    1.c Etudier la convergence de vn (∆) et déterminer la valeur de lim vn (∆) .
    n →+∞

    2. Dans cette question, on se propose d’étudier la rapidité de diffusion de l’information.


    C∆
    2.a Montrer que pour tout entier naturel n : 1− vn +1 (∆) ≤ q (1− vn (∆)) avec q = 1− .
    N
    N −1 n
    2.b En déduire que 1− vn (∆) ≤ q .
    N
    1− vn (∆)
    2.c On pose pour tout entier naturel n , x n = .
    (1−C ∆)n
    1−C ∆vk (∆)
    Etablir que pour tout entier naturel k : ln x k +1 − ln x k = ln
    1−C ∆
    C ∆ N −1 k
    En déduire que 0 ≤ ln x k +1 − ln x k ≤ q .
    1−C ∆ N
    On pourra exploiter le résultat du préliminaire.
    n −1
    2.d On pose pour tout entier naturel n , S n = ∑ (ln x k +1 − ln x k ) .
    k =0

    Montrer que la suite (S n ) converge. On pose S = lim S n .


    n →+∞

    2.e Déduire des questions précédentes l’existence d’un réel µ strictement positif tel que :
    1− vn (∆) ∼ µ(1−C ∆)n .
    n →+∞

    On explicitera la valeur de µ en fonction de S et de N .


    vn (∆)
    3. On pose pour tout entier naturel n , yn = .
    (1− vn (∆))(1 +C ∆)n
    yk +1 C 2 ∆2vk (∆)
    3.a Montrer que pour tout entier naturel k : = 1+ .
    yk (1 +C ∆)(1−C ∆vk (∆))
    n −1  (N −1)vn (∆)  C 2 ∆2
    3.b En considérant Tn = ∑ ln yk +1 − ln yk , établir que : 0 ≤ ln  n 
    ≤n .
    k =0  (1− vn (∆))(1 +C ∆)  1−C ∆
    3.c Déterminer lim v[t ∆] (∆) .
    ∆→ 0

    4. On suppose dans cette question que la proportion de personnes informées est définie à chaque instant t ,
    où t est un réel positif, par g (t ) , g étant une fonction définie et dérivable sur ℝ + et à valeurs dans
    ℝ + * . On fait l’hypothèse que l’accroissement instantanée de la proportion de personnes informées est
    déterminé par l’équation différentielle :
    ∀t ∈ ℝ + , g ′(t ) = Cg (t )(1− g (t )) .
    1
    En considérant la fonction h définie par h (t ) = , déterminer l’expression de g (t ) pour tout réel t
    g (t )
    1
    positif sachant que g (0) = .
    N

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