Université Chouaïb Doukkali

Faculté des Sciences

cours
Mécanique
analytique
Mrani I.
2014

1 mrani I. 2014
 2 17/09/2014

Plan du cours
›  Chap I : Fondements de la mécanique rationnelle
›  - Description primaire de la configuration d’un système
›  - Vitesses généralisées.
›  - Liaisons
›  - Degrés de liberté d’un système
›  - Paramètres de configuration
›  - Mouvements virtuels

›  Chap II : Principe des puissances virtuelles (PPV)

›  - Forces de liaison
›  - Puissances virtuelles
›  - Principe des puissances virtuelles (P.P.V)

mrani I. 2011
 3 17/09/2014

Chap III : Formulation lagrangienne

-  Equations de Lagrange
-  Intégrales premières

Chap IV : Principe de Hamilton

- Hypothèses
- Calcul de H
- Espace des phases
- Intérêt de la formulation Hamiltonienne
- Equation de Hamilton-Jacobi

Livres à consulter :
- P.Brousse « Mécanique analytique » BRO 531
- M.Kerroum « Mécanique analytique » KER 531
- Y.Bamberger « Méca de l’ingénieur I » BAM 531

mrani I. 2011
Chap I : Fondements de la mécanique
rationnelle

mrani I. 2010
17/09/2014 4
5 17/09/2014

mrani I. 2010
 III.1 Exemples de liaisons :
a)  Liaison par contact ponctuel


z
 Le point A2 de (S2) reste dans
R (S1 → S 2 ) le plan π1 de (S1).
 Le mouvement de (S2)/(S ) se décompose
y ! 1   :


A2
O - rotation autour de (O, x) ,(O , y)et (O , z )
π1
x - translation suivant (O , x ),(O , y )
(S1)

Liaison rotule 

z
 (S2)
f p (S1 → S 2 )
 Un point A2 de (S2) reste confondu
y
A1
O A2 avec un point A1 de (S1).
p Le mouvement se décompose 
:  

S1 - rotations autour de(O , x ,
)(O , y )et (O , z )
Liaison pivot

z Deux points A2 et B2 de (S2)
 Distants d’une longueur L restent
f p (S1 → S 2 )
 Confondus avec deux points A1 et
x B1 de (S1) distants de la même
O
(S2)
p longueur L ( ≠ 0). Le mouvement de 
S1 (S2)/(S1)est une rotation d’axe (O , x )

Liaison encastrement

Le mouvement de (S2)/(S1)
(S2) Est bloqué dans toutes les
(S1)
directions

mrani I. 2010
7
 8 17/09/2014
Liaison pivot glissant
Le mouvement de (S2)/(S1) se

f p (S → S )
décompose en : 
-  rotation autour de (O , x)
1 2

 -  translation suivant (O , x )
y
O
(S2)

 D2 (S1)
x

Liaison glissière 
z Un plan π1 de (S1) reste
confondu avec un plan π2
(S2) de (S2) et une droite D2 liée
 à (S2) et située dans π2 reste
y confondue avec une droite
π2
D2 D1 liée à (S1) et située dans π1.
 D1 π1 Le mouvement de (S2)/(S1) est 
x (S1) Une translation d’axe (O , x )

mrani I. 2010
 9 17/09/2014

Ces relations sont la traduction d’une liaison géométrique :

(contact unilatéral entre deux solides …)

q = ( x, y, z )
z P F (q, t ) = x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 : Liaison hlonome unilatérale
y
O
x

mrani I. 2010
 10 17/09/2014

b) Système de 3 corps liés

3
1

mrani I. 2010
 11 17/09/2014

Ces relations traduisent une liaison cinématique

(roulement sans glissement en un pt de contact …)

§  Paramètres de configuration :

(D)

§  Equations de liaison :

yG
G


xG Condition géométrique de
(O , x )
Contact (liaison holonome)

CRSG :Condition cinématique

(liaison non holonome)

mrani I. 2010
 12 17/09/2014
Remarques :
•  Toute liaison holonome peut être rendue non holonome par
dérivation par rapport à t,
•  Certaines liaison non holonomes peuvent être rendues holonomes
par intégration (liaisons semi-holonomes):

x!G + Rψ! = 0 ⇒ xG + Rψ = cte

•  Une liaison peut être indépendante du temps (scléronome), c’est

le cas de la plus part des liaisons usuelles (pivot, rotule, …),
•  La rigidité d’un système de particule (particules fixés par rapport à
d’autres) s’exprime par des liaisons holonomes,
•  Une liaison peut être dissipative (le travail des forces de liaisons est
non nul) ou parfaite (sans jeu et sans frottement),
•  On suppose que les liaisons non-holonomes pourront toujours se
mettre sous la forme :
N 6
a0 (q , t ) + ∑ ∑ ak (q j , t )q! j = 0 (cas de N solides)
k =1 j =1

mrani I. 2010
13 17/09/2014

mrani I. 2010
 14 17/09/2014

h : liaisons holonomes p : liaisons non holonomes

Dérivation de s liaisons

s : liaisons non holonomes

h-s : liaisons holonomes p+s : liaisons non holonomes

(liaisons principales) (liaisons supplémentaires)

mrani I. 2010
 15 17/09/2014
Remarques :
•  Dans les liaisons principales sont toujours représentées les
conditions qui maintiennent la rigidité du système.
•  Le choix des liaisons principales et supplémentaires ne modifie
pas le nombre de degrés de liberté NDL.
•  Le choix des liaisons principales et supplémentaires modifie le
nombre n+p paramètres de configuration.
•  Par la suite le nombre h représente les liaisons principales
(holonomes) et le nombre p les liaisons supplémentaires (non-
holonomes)

Exemple :
Dans le cas du disque rigide roulant sur un plan, on peut choisir
de rendre la liaison holonome de contact non-holonome.
y G = R ⇒ y! G = 0 yG* ≠ 0    :    mvt  virtuel
On dit qu’on respecte plus la liaison holonome ce qui revient à
imaginer un mouvement virtuel dans lequel le disque peut
pénétrer le plan en restant rigide.
mrani I. 2010
 16 17/09/2014


V R (M )
M (t )
M (t0 )

S à t
R
S à t0

mrani I. 2011
 17 17/09/2014


V * (M )
R

M (u )
M (u0 )
R
S après mvt virtuel
S à t 0
Position virtuelle
Position réelle

mrani I. 2010
18 17/09/2014
19 17/09/2014

mrani I. 2010
20 17/09/2014

mrani I. 2010
21 17/09/2014

mrani I. 2010
 22 17/09/2014

- Si les liaisons principales incluent des liaison exprimant la

rigidité de S, on dit que le champ de vitesses est rigidifiant. Le
mouvement virtuel est un mouvement de corps solide rigide.
C’est un champ de moments équiprojectif caractérisé par :

mrani I. 2010
 23 17/09/2014

- On peut définir un C.V.V rigidifiant une partie seulement ou plusieurs parties

de (S). On parle alors de C.V.V rigidifiant par morceaux.

y
y O
O A’
A’
A C’
A B’
B’
x B
x
C
B

mrani I. 2004
24 17/09/2014

mrani I. 2010
 25 17/09/2014

Exemple :

y (D)

Un C.V.V compatible avec cette liaison est :

mrani I. 2010
 26 17/09/2014

Exemple :

mrani I. 2010
 27 17/09/2014

Exemple :
- (P) plateau horizontale en translation
(Σ) rectiligne à la vitesse VG.

GG - (S) disque roulant et pivotant sans

glisser sur (P) tout en restant vertical

(P) I

Σ  est  paramÈtrÈ  par   q = (xG , yG , zG , ψ , ϕ )

h

O
Èquation  de  la  liaison  :   zG = R + h(t)

- Liaison holonome (Σ)-(P) équation de liaison : zG = R + h(t) (1)

- Liaison non holonome de contact (S)/(P), sans glissement :

 
VR (I ∈ Σ) = VR (I ∈ P)
mrani I. 2004
 28 17/09/2014

On a trois équations de liaisons non holonomes :

x!g + Rϕ! cosΨ = V(x t )          (2)      ; y!g + Rϕ! sinΨ = V(y t )          (3)      ; z!g = V(z t )          (4)

- Un C.V.V compatible avec l’équation de liaisons holonome (1) est tel

que : *
zg = 0          
- Un C.V.V compatible avec les équations de liaisons non holonomes (2),
(3) et (4) est tel que :

x*G + Rϕ* cos Ψ = 0      ; y*G + Rϕ* sin Ψ = 0        ; z*g = 0          

Remarque :
- Le champ de vitesse réelles de (S) est un C.V.V particulier. Mais le
champs de vitesses réelles n’est pas forcément un C.V.V compatible
avec les liaisons imposées à (S).
Sauf dans le cas particulier où toutes ces liaisons sont scléronomes
(indépendante de t) alors le C.V.R est un C.V.V compatible.
mrani I. 2009
 29 17/09/2014

Exemple :
Paramétrage : q = (r, θ , φ )
Equations de liaison : r = R ; φ = ωt
  
M Champ de vitesse réelle : V (M ) = rθeθ + rφeφ
ϕ C.V.V compatible avec la liaison (M)-(C):
θ r * = 0 et φ * = 0

* 
C.V.R compatible avec la liaison (M)-(C) : V (M ) = rθ *eθ

Cependant si (C) est fixe, la liaison (M/C) est scléronome et le

C.V.R est un C.V.V compatible.

mrani I. 2004
 30 17/09/2014

Chap II : Principe des puissances

virtuelles P.P.V
I. Forces de liaison
Pour un système S isolé par rapport à son environnement on fait la
distinction fondamentale entre :
- forces intérieures à S et
- forces extérieures à S.
I.1 Forces intérieures
Les forces intérieures sont des forces qui s’exercent entre sous-
systèmes de S.
I.2 Forces extérieures
On distingue les forces à distance (champs magnétiques et
gravitationnels) et les forces de contact (représentés par le torseur
des actions mécaniques de contact) entre deux systèmes S1 et S2.

mrani I. 2010
 31 17/09/2014

Travail virtuel des Travail virtuel des

Forces d’accélération Forces appliquées
mrani I. 2010
 32 17/09/2014

Puissance virtuelle des Puissance virtuelle des

Forces d’accélération Forces appliquées

mrani I. 2010
 33 17/09/2014

rotation virtuelle

Vitesse de rotation virtuelle

mrani I. 2010
34 17/09/2014

mrani I. 2010
 35 17/09/2014

II.3 Puissance virtuelle des actions intérieures

II.3.1 Système discret de points matériels
Les actions intérieures sont schématisées par des forces concentrées :
a) Cas de deux points matériels
 : M2

Pint* = F21. "#VR* (M1 ) −.VR* (M 2 )$%

b) Cas du système discret de N particules F21
 " *
N N  
Pint = ∑ ∑ Fij . #VR (M j ) −.VR* (M i )$%
*

j=1 i= j+1 M1
*
Propriétés : si le C.V.V est un C.V.V.R alors : Pint = 0
*
Si le C.V.V est rigidifiant alors il est équiprojectif, donc : Pint = 0

II.3.2 Cas d’un système matériel quelconque

Nous admettrons que quelque soit le système matériel utilisé :
∀  C .V .V .R  (S)           Pint* = 0
mrani I. 2010
*
∀ C.V.V (S) P indépendante du repère choisi
int
36 17/09/2014

mrani I. 2010
 37 17/09/2014

La puissance virtuelle développée par toutes les forces

mrani I. 2010
38 17/09/2014

mrani I. 2010
39 17/09/2014

mrani I. 2010
40 17/09/2014

mrani I. 2010
41 17/09/2014

mrani I. 2010
42 17/09/2014

mrani I. 2010
43 17/09/2014

mrani I. 2010
44 17/09/2014

mrani I. 2010
 45 17/09/2014
Application : Pendule pesant :

A y -  R(O,x,y,z) repère galiléen

a -  Liaison Σ-Oz parfaite
ϕ
G But : déterminer l’équation du
!"
Mvt de la réaction R de Oz su Σ

Par application du PPV.

a) Paramétrage choisi : q = ϕ
 ! a cos ϕ $  " −aϕ * sin ϕ %  
*
OG # & VR (G) $$ '
' V *
(A) = 0
" asin ϕ % # aϕ cos ϕ &
* R

  *
Pd = P.V R (G) = −mgaϕ * sin ϕ ⇒ Q1 = −mgasin ϕ
*

  *  *
Pl = R.V R (A) + m A Ω = mzϕ * ⇒ L1 = mz
*

  *  *
Pa = A.V R (A) + h A Ω = J ozϕϕ * ⇒ Γ1 = J ozϕ
*

PPV ⇒ J ozϕ + mgasin ϕ = mz

liaison parfaite Σ-oz ⇒ Pl* = mzϕ * = 0 ⇒ J ozϕ + mgasin ϕ = 0

mrani I. 2010
 46 17/09/2014

b) Paramétrage choisi :

Pd* = mgxG* ⇒ Q1 = mg ; Q2 =0 ; Q3 = 0 ; Q4 = 0

*
  *  *
Pl = R.V R (A) + m A Ω
 *  *   $ x * + aϕ * sin ϕ '
V R (A) = V R (G) + Ω* ∧GA = && *G ))
% yG − aϕ cos ϕ
*
(

⇒ Pl* = Rx xG* + Rx yG* + #$a(Rx sin ϕ − Ry cos ϕ ) + mz %&ϕ *

  
L1 L2 L3

P = m
*
xG x + m
*
yG y + [ a(m yG cos ϕ ) + J ozϕ] ϕ *
xG sin ϕ − m
*
a  
G

G
Γ1 Γ2 Γ3

" mg + R = mxG (1)

$ x
PPV ⇒ # Ry = myG (2)
$ J ϕ + mgasin ϕ = m (3)
% oz z

La liaison S-Oz est parfaite ⇒ Pl* = 0 ∀ CVVC

mrani I. 2004
 47 17/09/2014

Ici le CVV est compatible avec la liaison en A si :

 * 
V R (A) = O ⇒ ∀ CVVC Pl* = 0 ⇒ mz = 0 (4)
⎪⎧xG = a cos ϕ     (5)
Les équations de liaison sont telles que : ⎨y = a sin ϕ     (6)
⎪⎩ G
On a 6 équations pour 6 inconnues (xG , yG , ϕ, R x , R y , mz )

Donc l’utilisation du paramétrage q=(xG, yG,ϕ) permet de


Déterminer l’équation du mouvement et la réaction R

mrani I. 2010
 48 17/09/2014

Chap III : Formulation Lagrangienne

mrani I. 2010
49 17/09/2014

mrani I. 2010
 50 17/09/2014

P.P.V ⇒ ∀ C.V.V : Pd* + Pl* = Pa*


=0

∀q * ∑ Q q = ∑ Γ q
*
i i
*
i i ⇒ Qi = Γ i

mrani I. 2010
 51 17/09/2014

I.4 Toutes les liaisons sont parfaites.

" Fk (q, t) = 0 k =1 à p
$ n Equations de liaison
# complémentaires
$ ∑ ali qi + bl =0 l = 1 à p'
% i=1 mrani I. 2010
 52 17/09/2014
∀C .V .V .C  avec  ces  liaisons  on  a  :
# n
∂Fk
% ∑ ∂q qi* = 0 k = 1 à p
% ∂Fk
$ i=1 i
(1) q* ⊥     et     q* ⊥ al
%
n
∂q
%& ∑ a q *
li i =0 l = 1 à p'
i=1
n

∀C.V.V.C le P.P.V donne : ∑(Γ − Q )q

i i
*
i =0 (2) q* ⊥ (Γ − Q )
i=1

Soient les vecteurs :

⎛ ∂Fk ⎞
⎜ ∂q ⎟ ⎛ q1* ⎞ ⎛ al 1 ⎞ ⎛ Γ1 − Q 1 ⎞
⎜ . 1 ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ . ⎟
∂Fk ⎜ . ⎟ *
⎜ ⎟
. ⎜ . ⎟ ( Q )
⎜ . ⎟
( ) = ⎜ ⎟ (q ) = ⎜ ⎟ (al ) = Γ − = ⎜ ⎟
∂q ⎜ . ⎟ .
⎜ ⎟ ⎜ . ⎟
⎜ . ⎟
⎜ q * ⎟ ⎜ ⎟
⎜ a ln ⎟ ⎜ Γn − Q n ⎟
⎜ ∂Fk ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎜ ⎟ ⎝ n ⎠
⎝ ∂qn ⎠
(Γ − Q) ∈ au sous-espace vectoriel engendré
∂Fk
par les p vecteurs et les p' vecteurs al :
∂q
mrani I. 2010
 53 17/09/2014

∃λk ∈  (k = 1, p) et ∃pl ∈  (l = 1, p') tels que :

p p' p p'
∂F ∂F
(Γ − Q) = ∑ λk k + ∑ pl al ⇒ (Γ i − Qi ) = ∑ λk k + ∑ pl ali
k=1 ∂q l=1 k=1 ∂qi l=1

d # ∂T & ∂T
Or on a : Γi = % ( −
dt $ ∂qi ' ∂qi
Equations de Lagrange avec multiplicateurs
λk  et   pl  :  multiplicateurs  de  Lagrange

mrani I. 2004
 54 17/09/2014
Cas particulier :
∂U d ⎛ ∂L ⎞ ∂L p
∂Fk p '
∃U (q, t )   /   Q i = ⎜ ⎟ − = ∑ λk + ∑ pa
∂qi dt ⎝ ∂qi ⎠ ∂qi k =1 ∂qi l =1
l li

mrani I. 2010
 55 17/09/2014

o  Calcul du premier membre des équations de Lagrange :

o  Calcul du second membre

o  1er cas : le C.V.V est compatible est compatible
uniquement avec les E.L non-holonômes

mrani I. 2010
56 17/09/2014

mrani I. 2010
57 17/09/2014

mrani I. 2010
 58 17/09/2014

- Les équations de Lagrange avec multiplicateurs :

mrani I. 2010
59 17/09/2014

mrani I. 2010
60 17/09/2014

mrani I. 2010
61 17/09/2014

mrani I. 2010
62 17/09/2014

mrani I. 2010
 63 17/09/2014

II.4 Intégrale première de Painlevé (I.P.P)

T 2 − T 0 + V = C te             (I.P .P )

mrani I. 2010
 64 17/09/2014

Démonstration :
T = T 2 + T 1 + T 0 ⇒ L = T 2 + T 1 + T 0 −V

T2 : forme quadratique en q j
T1 : forme linéaire homogène en q j
T0 : fonction des q j et de t
#
% ∑ ∂T2 q j = 2T2
% j ∂q j
% ∂T
Relations d'Euler : $ ∑ 1 q j = T1 ∂L
⇒∑ qi = 2T2 + T1 + 0.(T0 − V )
% j ∂q j j

∂qi
% ∂T0
% ∑ q j = 0
& 
j ∂q j

mrani I. 2010
 65 17/09/2014

d " ∂L % ∂L d " ∂L % + ∂L ∂L .
$$ '' − = 0 ⇒ $$ ∑ q j '' − ∑- qj + q j 0 = 0

dt # ∂q j & ∂q j 
dt # j ∂q j & j , ∂q j  ∂q j /
Comme :
dL ∂L ∂L ∂L
=∑ q j +∑ qj +
dt j ∂q j

j ∂q j ∂t
d dL ∂L d ∂L te
(2T2 + T1 ) − + = 0 ⇒ (T2 − T0 + V ) + = 0 T 2 − T 0 +V = C
dt dt ∂t dt ∂t

=0
Remarque :
Si les liaisons sont scléronomes : T 1 = T 0 = 0   ⇒ T = T 2 ⇒ T + V = C te     (I.P .E c )

mrani I. 2010
 66 17/09/2014

Chap IV : Principe de Hamilton

I.1 Hypothèses
1)  Liaisons parfaites,
2)  Paramétrage complet
3)  Il existe une fonction de force U(q,t)

d $ ∂L ' ∂L
1), 2) et 3) ⇒ ∃ L = T +U ⇒ & ) − =0
dt % ∂qi ( ∂qi
∂L
Soit : p i = (q.d.m ou impulsion généralisée )
∂qi
Soit : H (q, p, t) = ∑ pi qi − L(q, q,
 t) H : Fonction d’Hamilton ou Hamiltonien
i

I.2 Calcul de H
∂L
dH = ∑ ( qi dpi − p i dqi ) − dt
i ∂t
mrani I. 2004
 67 17/09/2014
Comme H est fonction de 2n+1 variables q,p et t, on a :
" ∂H % # ∂H
dH = ∑$ dqi +
∂H
dpi ' +
∂H
dt % = qi
i # ∂qi ∂pi & ∂t % ∂pi
% ∂H
$ = − p i (4)
∂L % ∂qi
dH = ∑ ( qi dpi − p i dqi ) − dt % ∂H ∂L
i ∂t % ∂t = −
& ∂t
Equations canoniques de Hamilton

Remarques :
-  Le système (4) représente les équations canoniques ou d’Hamilton.
-  pi, qi : variables canoniques
-  (4) est un système de 2n équations différentielles de 1er ordre.
-  Les équations de Lagrange sont un système de n équations
différentielles de 2nd ordre.
-  H = T 2 − T 0 +V
-  L’I.P.P s’écrit : H = C te

mrani I. 2004
 68 17/09/2014

I.3 Espace des phases

L’état de (Σ) est décrit à t donné par :
-  qi , q, i le mvt de (Σ) est régit par les équations de Lagrange.
A cet état correspond un point dans un espace multi-dimensionnel de
dimension n appelé espace des configurations.
-  pi , q,i le mvt de (Σ) est régit par les équations de Hamilton.

A cet état correspond un point dans un espace multi-dimensionnel de

dimension 2n appelé espace des phases.

mrani I. 2004
 69 17/09/2014

II Intérêt de la formulation Hamiltonienne

II.1 Transformation canonique
Soit q,p les variables canonique du système ;
Définition :
G
Une transformation (q, p, t ) →(Q , P , t ) est dite canonique si elle vérifie
l’équation suivante : n
dG
K = H + ∑ (PiQ i − pi qi ) + (5)
i=1 dt
K : le nouveau Hamiltonien du système.
G : appelée fonction génératrice de la transformation.

-  On montre que si (q,p) sont des variables canoniques et si la

G
transformation (q, p, t ) →(Q , P , t ) est canonique, alors (Q,P) sont
canoniques.
-  Les équations d’Hamilton en fonction de (P,Q) :

mrani I. 2004
 70 17/09/2014
# ∂K
% Q i =
% ∂Pi
$
∂K Nouvelles équations canoniques
% Pi = −
%& ∂Qi

-  La résolution du problème en fonction de (P,Q) est parfois plus simple

qu’avec (p,q).
II.2 Fonctions génératrices
- Il y a quatre classes de fonctions génératrices :

G 1 = G 1(q, Q , t )       ;       G 2 = G 2(q, P , t )   ;  
G 3 = G 3(p, Q , t )     ;       G 4 = G 4(p, P , t )  

- Pour G = G1 (q,Q, t) L’équation (5) implique :

mrani I. 2004
 71 17/09/2014
n
dG1
Kdt = Hdt + ∑ (Pi dQi − pi dqi ) + dt
i=1 dt
n% ∂G1 ( % ∂G ( n % ∂G1 (
⇒ ∑' pi − *dqi + ' K − H − 1 * dt − ∑'& Pi + ∂Q *)dQi = 0
i=1 & ∂qi ) & ∂t ) i=1 i

∂G1 ∂G ∂G
On en déduit : pi = ; Pi = − 1 ; K = H + 1
∂qi ∂Qi ∂t
n n
Posons : G2 (q, P, t) = G1 (q,Q, t) + ∑ PiQi G3 ( p,Q, t) = G1 (q,Q, t) − ∑ pi qi
i=1 i=1
n
G4 ( p, P, t) = G1 (q,Q, t) + ∑ (PiQi − pi qi )
i=1

On montre que : ∂G2 ∂G ∂G ∂G

pi = ; Q i = 2 ; Pi = − 3 ; qi = − 3
∂qi ∂Pi ∂Qi ∂pi

∂G4 ∂G ∂Gk
qi = − ; Qi = 4 K=H+ ; k = 1, 4
∂pi ∂Pi ∂t

mrani I. 2004
 72 17/09/2014

II.3 Exemples de transformations canoniques

1) Transformation identité :
n
∂G 2 ∂G 2 ∂G 2
G 2(q, P , t ) = ∑ qi Pi pi = = Pi     ;     Q i = = qi     ;     K = H + =H
i =1 ∂qi ∂Pi ∂t

2) Echange de rôle :
n ∂G 1 ∂G
G 1(q, Q , t ) = ∑ qQ pi = = Q i     ;     Pi = − 1 = −qi     ;     K = H
i =1
i i
∂qi ∂Q i

II.4 Etude d’un cas simple : Pendule 1D

Ecriture de l’Hamiltonien :
Le potentiel est égal à : V = −mgl cosθ
1
L = ml 2θ 2 + mgl cosθ
Le Lagrangien est :
2
La coordonnée généralisée : q = θ
∂L
Le moment conjugué : p = = ml 2θ
∂θ
mrani I. 2004
 73 17/09/2014

p2 g
Le Hamiltonien est : H = − ω 2I cosq   ;         I = ml 2   ;   ω 2 =
2I l
2) Le portrait de Phase
-  Le système est conservatif, car H ne dépend pas explicitement du
te
temps. On donc une I.P : H = E = C
E
Soit : p = ±ωI 2 cosq +
ω 2I

Dans l’espace des phase (p,q) à 2 dimensions, on a 3 cas :

E
-  0 < E < ω 2:I pas de solution que pour cosq ≤ 2
ωI
ce qui correspond à un mouvement oscillatoire dans un domaine
borné de q appelé mvt de Libration. Les pts p=0 sont appelés pt
tournant.

mrani I. 2004
 74 17/09/2014

- E > ω 2I   :     Il   y   a   une   solution   ∀q ; mais p est borné. Ce qui correspond à

un mvt de rotation. La courbe p(q) est périodique de période 2p

-  E = ω 2I : Correspond au cas limite entre les 2 régimes précédents. La

courbe décrite par : p = ±ω I 2 cosq +1 s’appelle la séparatrice.

mrani I. 2010
 75 17/09/2014

II.4bis Crochets de poisson

Définition
Soit une fonction f(q, p, t) définie dans l’espace des phases. Sa
dérivée par rapport au temps est :

df ⎛ ∂f ∂f ⎞ ∂f
= ∑ ⎜ q!k + p! k ⎟ +
dt k ⎝ ∂qk ∂pk ⎠ ∂t

∂H ∂H
q!k =    ;      p!k = −   Equations canonique
∂pk ∂qk

df ∂f
= { f , H} +
dt ∂t
⎛ ∂f ∂H ∂f ∂H ⎞
{ f , H} = ∑ ⎜ − ⎟ : Crochet de poisson pour H et f
k ⎝ ∂qk ∂pk ∂pk ∂qk ⎠

mrani I. 2010
 76 17/09/2014

Propriétés :
df ∂f
Si f est une intégrale première alors : =0 { f , H} + =0
dt ∂t

{f , H} = 0

{ f , g}
⎛ ∂f ∂g ∂f ∂g ⎞
{f , g} = ∑ ⎜ − ⎟
k ⎝ ∂qk ∂pk ∂pk ∂qk ⎠

mrani I. 2010
 77 17/09/2014

On peut construire des crochets dits fondamentaux, en prenant pour

fonctions f et g les variables qk  et  pk , on obtient :

{pi , p j } = 0 {qi , q j } = 0 {qi , p j } = δ ij {f , H}q,p = {f , H}Q,P

{Pi , Pj }q,p = 0 {Qi , Q j }q,p = 0 {Qi , Pj }q,p = δ ij

mrani I. 2010
78 17/09/2014

mrani I. 2010
 79 17/09/2014

G
(q, p, t)→(Q, P, t)
# ∂K
% Q i = =0
% ∂Pi
$
∂K
% Pi = − =0
%& ∂Qi

n
dG
H (q, p, t) − ∑ pi qi + =0 (6)
i=1 dt
G = G2 (q, P, t)
∂G
pi = ∂G2 / ∂qi H (q, p, t) + =0 (7)
∂t

mrani I. 2010
 80 17/09/2014
II.5.2 Action Hamiltonienne
En remarquant que :
t2
dG n ∂G ∂G n
= ∑ qi + = ∑ pi qi − H (q, p, t) = L S (q, t; P ) = G = ∫ Ldt          
dt i=1 ∂qi ∂t i=1 t1

L est le Lagrangien du système,

S (q, t; P ) est l’action Hamiltonienne. On a les équations :
# n
∂S
% dS = ∑ pi dqi + dt = Ldt
% i=1 ∂t
% n
∂S
$ L = ∑ pi qi +
% i=1 ∂t
% ∂S ∂S
% H (q, , t) + =0 (Equation de Hamilton-Jacobi)
& ∂q ∂t
III.5.3 Applications
a)  Particule libre 1D 2
p2 1 ⎛ ∂S ⎞ ∂S
H = ⇒ ⎜ ⎟ + = 0       (HJ )
2m 2m ⎝ ∂q ⎠ ∂t
mrani I. 2010
 81 17/09/2014
Le système est conservatif
H = E = C te ⇒ S(q, P) = S0 (q) − Et

dS0
(HJ) ⇒ = ± 2mE ⇒ S(q; P) = ± 2mEq − Et
dq
La fonction principale S engendre des transformations canoniques ou
toutes les variables sont cycliques c’est-à-dire :
P = 0 ; Q = 0 ⇒ P = C te ; Q = C te

2E
q= (t ± Q )
m
∂L ∂S ∂S0
p= = mq = = = ± 2mE
∂q ∂q ∂q
q = ± 2mE t + q0

mrani I. 2010
 82 17/09/2014

⎛ pi2
3
x i2 ⎞
H = ∑ ⎜ + ki ⎟
i =1 ⎝ 2m 2 ⎠

3 ⎡ 1 ⎛ ∂S ⎞2 x i2 ⎤
∑ ⎢ ⎜ ⎟ + ki ⎥ = E
i =1 ⎢ 2m ⎝ ∂x i ⎠ 2 ⎥⎦
⎣
3
On cherche une solution de la forme : S 0 = ∑ S i (x i )
i =1

D’après l’équation H-J : F1(x 1) + F2(x 2 ) + F 3(x 3) = E       ∀x i

3
dS i ⎛ x i2 ⎞
Donc : Fi (x i ) = αi = C     et       ∑ αi = E ⇒
te
= ± 2m ⎜ αi − ki ⎟
i =1 dx i ⎝ 2 ⎠

mrani I. 2010
 83 17/09/2014

ki α k
a) Soit : u = sin θ = x i ⇒ S i = ± i (2θ + sin 2θ )   ;     ω i2 = i
2αi 2ωi m
Soit les nouvelles variables : Pi = αi
On obtient : ∂S ∂S ∂E
Qi = = i − t ⎫
∂αi ∂αi ∂αi ⎪
⎪ 2αi
⎬ ⇒ x i = ± sin ωi (t + Q i )
1 ki ki
    = ± arc sin x i − t ⎪
ωi 2αi ⎪⎭

b) Autrement, soit L le Lagrangien :

∂L ∂S dSi # xi2 &

pi = = mxi = = = ± 2m %α i − ki (
∂xi ∂xi dxi $ 2'
du
⇒ = ±ω i dt ⇔ θ = ±ω i t + θi
2
1− u

mrani I. 2010