Mécanique des Solides Indéformables MP1 - PC1

Série N◦ 2
Exercice 1 : Manège pieuvre
Le manège pieuvre est un classique des foires. Il procure des sensations par son mouvement épicycloı̈-
dal qui produit de fortes accélérations. Nous allons étudier la vitesse d’un des sièges de ce manège, auquel
on associe le point M.
Le système mécanique est composé des éléments suivants :
• un bâti (S0 ) lié au repère R0 (O, ~x0 , ~y0 , ~z0 ),
• un bras principal (S1 ) lié au repère R1 (O, ~x1 , ~y1 , ~z0 ) en liaison pivot d’axe (O, z0 ) avec le bâti (S0 ).
Ce mouvement est paramétré par l’angle θ1 ,
• un bras secondaire (S2 ) lié au repère R2 (O1 , ~x2 , ~y2 , ~z0 ) en rotation d’angle θ2 par rapport au bras
(S1 ).
On donne ci dessous un extrait du cahier des charges fonctionnel du manège pieuvre.

Fonction Critère Niveau

FS1 : Assurer la sécurité des personnes 1. Vitesse ( régime permanent) Vmax ≤ 6m/s
2. Accélération (régime permanent) amax ≤ 4m/s2

En observant le manège tourner en régime permanent, on constate que ω1 = θ̇1 = cste et θ̇2 = 2ω1 .

𝑥1
𝑦0

O1 𝜃2
M
(𝑺𝟐 ) 𝑥2
(𝑺𝟏 )
𝜃1
(𝑆0 ) 𝑥0
O
𝑂𝑂1 = 𝑅1
𝑧0 𝑂1 𝑀 = 𝑅2

Figure 1 – Schéma cinématique minimal du manège

1) Déterminer par dérivation le vecteur vitesse du point O1 appartenant à (S1 ) en mouvement par
rapport à (S0 ).
2) Déterminer par cinématique le vecteur vitesse du point M appartenant à (S2 ) en mouvement par
rapport à (S0 ).
→
−
3) Calculer k V (M ∈ S2 /S0 )k et indiquer pour quelle valeur de θ2 cette norme est maximale. En
déduire ω1 pour satisfaire le premier critère exigé par le cahier des charges (on prendra R1 = 8m
et R2 = 1m).
4) Calculer l’accélération →
−
γ (M ∈ S /S ). 2 0

5) Quelle est la norme de l’accélération maximale subie par un passager ? Conclure quant au respect
du cahier des charges.

IPEIS 1 A.U. 2021- 2022

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Exercice 2 : Centrifugeuse de laboratoire

Afin d’accélérer le processus de précipitation ou de séparation
de composés dans l’industrie Exemple : Centrifugeuse
alimentaire, de laboratoire
dans les laboratoires
La centrifugeuse étudiée
pharmaceutiques ou les laboratoires de chimie, les produits est composée de : sont
- un bâti auquel est lié le repère ,
placés en centrifugeuse. - un rotor lié à ,
- une éprouvette
Ces processus qui auraient mis plusieurs jours lié à às’effectuer sous
deux liquides de densité différente.
contenant
la
seule gravité terrestre mettentPrincipe
quelques minutes lorsque l’éprouvette
de fonctionnement
est soumise à une accélération de 10 000 G. due à la rotation du rotor
Sous l’effet centrifuge autour de
, L’éprouvette s’incline progressivement. Le liquide
dont la masse volumique est la plus grande est rejeté vers le fond
On considère une centrifugeuse composée
de l’éprouvette,d’un
ce quibâti
réalise(S ), d’un des
la0séparation bras (Sliquides.
deux 1 ) et d’une
éprouvette (S2 ) qui
Les solides
peut contenir deux liquides de masses et
volumiques sont en liaison pivot d’axe
différentes. Les solides et
sont en liaison pivot d’axe
Sous l’effet centrifuge dû à la rotation du bras (S1 ), l’éprouvette (S2 ) s’incline pour se mettre prati-
quement dans l’axe du bras et le liquide dont la masse volumique est A la plus élevée va au fond de
𝟏
O
l’éprouvette. Ainsi la séparation des deux liquides est réalisée. On considère les repères suivants :
— R0 (O, ~x0 , ~y0 , ~z0 ) un repère lié à (S0 ).
𝟐
— R1 (A, ~x1 , ~y1 , ~z0 ) un repère lié à (S1 ). Ce solide admet une rotation par rapport au solide (S0 ) d’axe
B
(O, ~z0 ) tel que θ = (~y0 , ~y1 ) avec θ = ω.t et ω étant une constante positive exprimée en radians 14 par
−→
seconde. On pose OA = a~x1 .
— R2 (A, ~x2 , ~y1 , ~z2 ) soit lié à (S2 ). Ce solide admet une rotation par rapport à (S1 ) d’axe (A, ~y1 ) telle
−→
que β = (~x1 , ~x2 ). Soit B le centre de gravité de (S2 ) tel que AB = b~x2 (b constante positive
exprimée en mètre)

𝑦Ԧ0
𝑦1 𝜃 𝑥1
𝑧Ԧ0

A 𝜃 𝜃
𝑥Ԧ1 (𝑺𝟏 )
O 𝑥0
𝑦Ԧ1 𝑧0
𝛽
(𝑺𝟐 ) (𝑆0 )

B
𝑥Ԧ2

Figure 2 – Schéma cinématique minimal de la centrifugeuse

1) Déterminer les vecteurs instantanés de rotation des mouvements de S1 /S0 , S2 /S1 et S2 /S0 .
2) Déterminer le vecteur vitesse du point A de (S1 /S0 ). En déduire V~ (A ∈ S2 /S0 ).
3) Déterminer le vecteur accélération du point A de (S1 /S0 ).
4) Déterminer par cinématique le vecteur vitesse V~ (B ∈ S2 /S0 ). Retrouver ce vecteur par composi-
tion du mouvement.
5) Déterminer par plusieurs méthodes le vecteur accélération du point B du S2 /S0 .
6) Lorsque la machine tourne à vitesse constante θ̇ = ω, l’angle β reste constant. Déterminer la
valeur numérique de l’accélération du point B appartenant à l’éprouvette, par rapport au bâti de
la centrifugeuse pour une vitesse de rotation de 200tr/min. On donne OA = 15cm , AB = 10cm
et β = 10◦ .

IPEIS 2 A.U. 2021- 2022

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Exercice 3 : Pont élévateur hydraulique

Un pont élévateur hydraulique est
un appareil de manutention qui
permet de lever ou d’abaisser une
charge lourde pour la placer à la
bonne hauteur afin de faciliter le
travail.
La figure ci-contre représente
le schéma cinématique du pont
élévateur. Soit R0 (O, ~x0 , ~y0 , ~z0 ) un
repère lié à S0 . La plate-forme S
est en mouvement de translation
d’axe (A, ~y0 ) par rapport au bâti S0 .
Figure 3 – Schéma cinématique minimal d’un pont élévateur
m
On donne ci dessous un extrait du cahier des charges fonctionnel du pont élévateur.
Fonction Critère Niveau
FS1 : Permettre de monter une charge lourde Temps nécessaire t ≤ 30 s
FS2 : Assurer la sécurité du travailleur Vitesse de montée et descente V ≤ 15 cm/s
Le mécanisme est constitué des éléments suivants :
— d’un bras S1 (OF B) qui est en liaison pivot d’axe (O, ~z0 ) avec S0 ;
— d’un bras S2 qui est en liaison pivot d’axe (D, ~z0 ) avec S0 ;
— d’un bras S3 qui est en liaison pivot d’axe (B, ~z0 ) avec S1 et d’axe (C, ~z0 ) avec S2 ;
— d’un vérin (S6 , S5 ), le corps S6 est en liaison pivot d’axe (E, ~z0 ) avec S0 et la tige du vérin S5
présente une liaison glissière d’axe (F, ~x5 ) avec S6 d’une part et en liaison pivot d’axe (F, ~z0 ) avec
S1 d’autre part ;
— d’un levier S4 qui en liaison pivot d’axe (A, ~z0 ) avec la plate forme S. S4 est aussi en liaison pivot
d’axe (F, ~z0 ) avec la tige du vérin S5 .
Les repères R1 (O, ~x1 , ~y1 , ~z0 ), R2 (D, ~x1 , ~y1 , ~z0 ), R3 (B, ~x0 , ~y0 , ~z0 ), R4 (F, ~x4 , ~y4 , ~z0 ) et R5 (F, ~x5 , ~y5 , ~z0 ) sont
liés respectivement aux solides S1 , S2 , S3 , S4 et S5 . On donne :
−−→ −−→ −→ l −→ l −→ −−→
OB = DC = l~x1 ; OF = ~x1 ; AF = ~x4 ; F E = λ(t)~x5 ; OE = a~x0
2 2
1) Ecrire la fermeture géométrique de la chaine cinématique fermée (S0 , S1 , S5 , S6 , S0 ). En déduire
l’expression de λ en fonction de ϕ1 .
2) Déduire les positions extrêmes λmax et λmin ainsi que la course ∆λ lorsque ϕ1 varie entre 0 et π2 .
Déterminer la vitesse minimale du vérin qui permet de vérifier le critère imposé par le cahier des
charges fonctionnel. ( A.N. : l = 1,5 m ; a = 2,5 m)
3) Déterminer le torseur cinématique du mouvement de S3 par rapport à S0 en B. Quelle est la
nature de ce mouvement.
4) Déterminer en fonction de ϕ˙1 le torseur cinématique du mouvement de S1 par rapport à S0 en F .
5) Déterminer le torseur cinématique du mouvement de S4 par rapport à S0 en A.
6) Exprimer dans la base (~x0 , ~y0 , ~z0 ) le torseur cinématique du mouvement de S par rapport à S0 en
A. Quelle est la nature de ce mouvement.
7) Quelle condition doit vérifier la vitesse angulaire ϕ˙1 pour assurer la sécurité du travailleur.

IPEIS 3 A.U. 2021- 2022

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TD 19 - Loi Entrée-Sortie par fermeture cinématique Page 2/4

2 : POMPE HYDRAULIQUE À PISTONS AXIAUX ET À

Exercice 4 Exercice
: Pompe hydraulique à pistons axiaux et à débit variable
DÉBIT VARIABLE
Dans ce type de pompe, les pistons sont logés dans un barillet lié à l’arbre d’entrée. Un système de
réglage de l’inclinaison
Dans ce type dedu plateau,
pompe, quisont
les pistons estlogés
fixedans
pendant
un barilletlalié phase d’utilisation
à l’arbre d’entrée. de delaréglage
Un système pompe, permet de
TD n°3 Modélisation cinématique des liaisons : Fermeture cinématique 2015-2016
de l’inclinaison du plateau, qui est fixe pendant la phase d’utilisation de la pompe, permet de faire varier le
faire varier ledébit
débit du fluide en sortie
du fluide en sortie de la pompe.
de la pompe.
C2 Procéder à la mise en œuvre d’une démarche de Loi entrée – sortie Déterminer les relations de fermeture de la chaîne
résolution analytique cinématique cinématique
Déterminer la loi entrée - sortie cinématique d’une
chaîne cinématique

POMPE HYDRAULIQUE A PISTONS AXIAUX.

(voir vidéos sur site du professeur)

Lorsque le débit 4de– la

Figure Pompe
pompe hydraulique à pistons
est réglé, c'est-à-dire lorsqueaxiaux et à débit variable
l’inclinaison du plateau est fixée, on peut étudier le comportement
Le débit cinématique
de la pompe de la pompe està partir du schéma cinématique minimal
réglé,
(un seul piston représenté) dessiné ci-contre.
lorsque l’inclinaison du plateau
Constituants et paramétrage : /⃗
est fixée. - On 𝒚
R0 (O,présente
x0 , y0 , z0 ) etciR(contre
O, x, y, z0 ) le associés au corps 0, ////⃗ 𝒚tels
𝟎 que

schéma cinématique
OC  c.x0 et  minimal ( x0 , x )  cte de la A B 2
pompe (un - R1seul y1, z1 ) associé
(O, x0 , piston au barillet 1, tel que CB  b.x0  r .y1 et
représenté). 𝑧0
  ( y0 , y1 ) /⃗
𝒙
La rotation de (1/0) entraı̂ne une 1 C
- R2 ( A, x0 , y1, z1 ) associé au piston 2 tel que BA  .x0
translation alternative de (2/1). 𝝋
Un ressort non représenté assure le maintien du contact du piston 2 avec le corps 0 au point A.////⃗ 𝑧0
C’est cette translation qui assure la 𝒙𝟎 𝑧1 𝛼 𝑦1

compression du fluide.
Objectif : déterminer une relation entre le débit instantané de la pompe et la vitesse de rotation de l’arbre d’entrée. 𝛼
Un ressort non représenté assure 𝑦0
Question 1 : Dessiner le graphe des liaisons de ce système. 𝑥0
le maintien du contact du piston 2
Question
avec le corps 0 au2 point: Donner OnA. les caractéristiques,
associe les repères :le paramètre d’entrée et le paramètre de sortie du système.
- ℛ " (0, 𝑥" , 𝑦" , 𝑧" ) et ℛ(0, 𝑥, 𝑦, 𝑧 ) au 5
Figure bâti–0,Schéma
tels que OC cinématique ϕ = ( minimal
= c.x0 ettorseursx0cinématiques
, x) du mécanisme
Question 3 : Donner l’expression, en fonction des"paramètres de mouvement, des
On associe les repères :de chacune " , 𝑦* , 𝑧* ) à la manivelle 1, tel que CB = b.x0 + r. y1 et α = ( y 0 , y1 )
des𝑥 liaisons.
- ℛ* (0,
−→
— R 0 (O, ~xQuestion
0, ~
y0 , ~z0 )4 :etDéterminer,
R(O, - ℛ~x+(𝐴,
,à~yl’aide
𝑥,"~z, 𝑦0*)d’une
, 𝑧*au bâti
) aufermeture(0),
coulisseau 2tels que
tel que
cinématique, BAla OC .x= c~x0 eten ϕvitesse
= λentrée-sortie
loi 0
= (~xdu0 ,système.
~x).
−−→
— R 1 (O, ~xQuestion
0, ~
y1 , ~z1 ),5 : lié àUnlasystème
Donner la manivelle
relationnon entre (1),
débittel
représenté
le quele CB
assure
instantané Q en=
maintien b~xcontact
du
sortie +lar~
0de ydu1 coulisseau
pompe et (pour
α =un(~2yseul
0, ~
avec ypiston),
1le),bâti 0laau point A.
surfaceProblématique
S de la section : du piston− → .
et
— R 2 (O, ~x0 , ~y1 , ~z1 ) au coulisseau • On souhaite 2, telvérifier
que siBA = λ~x0 .choisie et le nombre de pistons permet de respecter le critère de
la géométrie
débit constant à 10 % du cahier des charges
Question 6 : En déduire l’expression de ce débit instantané en fonction de la vitesse de rotation de l’arbre
d’entrée.  (− →
x ,−
→
y ,−
→
z 0)
Le torseur cinématique de la Question
liaison1 ponctuelle
: Donner le graphe entre de liaison
(2) etde (0)
ce système. ω 0

 x 

Question 7 : Indiquer la façon dont il faut faire évoluer l’inclinaison du plateau pour diminuer le débit de la
est exprimé au point A pompe.
et dans
Questionla base (~x, ~yle, torseur
2 : Donner ~z0 ) par la forme
cinématique :
de chaque {ϑ (2/0)}
liaison =de paramètres.
en fonction ωy Vy

 ω V  
MPSI-PCSI Sciences3Industrielles
Question : Donner lespour l’Ingénieur le paramètre
caractéristiques, S. d’entrée
Génouëlet le paramètre dezsortiezdu système.
29/01/2012 A
1) Donner le graphe de Question
liaison de ce système.
4 : Déterminer la loi E/S du système par fermeture cinématique.
2) Donner le paramètre d’entrée et le paramètre de sortie du système.
Question 5 : Déterminer l’évolution du débit au cours du temps pour 1,2,3,4,5 pistons.
3) Déterminer les torseurs cinématiques des liaisons au point B et C.
Question 6 : Conclure vis-à-vis du critère du cahier des charges
4) Déterminer, à l’aide d’une fermeture cinématique, les expressions des composantes du torseur
PCSI Sciences Industrielles de l’Ingénieur 1/2
cinématique {ϑ (2/0)}A . En déduire la loi entrée-sortie en vitesse du système.
5) Le débit instantané Q correspond au volume de fluide poussé par le piston lorsqu’il avance. Il est
exprimé en fonction de la surface S de la section du piston et λ̇, (Q = λ̇.S). En déduire l’expression
de ce débit instantané en fonction de la vitesse de rotation de l’arbre d’entrée.
6) Indiquer la façon dont il faut faire évoluer l’inclinaison du plateau pour diminuer le débit de la
pompe.

IPEIS 4 A.U. 2021- 2022

Mécanique des Solides Indéformables MP1 - PC1

Exercice 5 : Etude cinématique d’une presse hydraulique

Une presse hydraulique est une machine qui fournit une grande force de compression. Elle transmet
un déplacement et un effort démultiplié afin d’écraser ou de déformer un objet.
La presse représentée sur le schéma ci dessous possède une chaı̂ne cinématique composée du vérin de
corps (1) et de tige (2), d’un levier (3), d’un maneton (4) et du piston (5). Ce dernier exerce l’effort de
compression désiré.

β
C
B 3
5
4
A
α
E 2
D

F
θ
O

Figure 6 – Schémas cinématique minimal d’une presse hydraulique

On propose les repères suivants :

— R0 (O, ~x0 , ~y0 , ~z0 ) est lié au bâti (0) ;
— R1 (O, ~x1 , ~y1 , ~z0 ) et R2 (A, ~x1 , ~y1 , ~z0 ) sont liés respectivement au corps (1) et la tige (2) du vérin,
avec θ = (~x0 , ~x1 ) = (~y0 , ~y1 ) ;
— R3 (A, ~x3 , ~y3 , ~z0 ) est lié au levier (3), avec β = (~x0 , ~x3 ) = (~y0 , ~y3 ) ;
— R4 (E, ~x4 , ~y4 , ~z0 ) est lié au maneton (4), avec α = (~x0 , ~x4 ) = (~y0 , ~y4 ) ;
— R5 (D, ~x0 , ~y0 , ~z0 ) est lié au piston (5).
On donne :
−→ −→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→
OA = λ~x1 , AC = L~y3 , BC = a~y3 , EB = b~y4 , F D = η~y0 , OE = −c~x0 + h~y0 , DE = d~x0

λ, η, α, β et θ sont des paramètres variables en fonction du temps ; L, a, b, c, d et h sont les constantes

positives.
Objectif
L’objectif du travail proposé est de déterminer la vitesse minimale de la tige de vérin qui permet de
vérifier le critère imposé par le cahier des charges ci dessous.

Exigence technique Critère Niveau

FS1 : Réaliser une forme dans une pièces Vitesse de déplacement du piston ≥ 20 cm/s

IPEIS 5 A.U. 2021- 2022

 Mécanique des Solides Indéformables MP1 - PC1

→
−
1) Déterminer le vecteur vitesse de la tige de vérin : V (A ∈ 2/1).
2) Déterminer par composition du mouvement le vecteur vitesse du point A appartenant à (2) en
mouvement par rapport à (0).
3) En déduire le vecteur vitesse du point C appartenant à (3) en mouvement par rapport à (0).
4) Déterminer le torseur cinématique, au point F , du piston (5) dans son mouvement par rapport

S2I

2013
au bâti (0).
5) Écrire la condition cinématique au centre C de la liaison pivot entre le piston (5) et le levier (3).

MP
Déduire par projection sur la base B0 du repère R0 , le système d’équation qui en découle.
6) Exprimer dans la base B0 le vecteur vitesse du point B appartenant à (3) dans son mouvement
par rapport à (0). Les composantes4seront
heures Calculatrices
exprimées en fonction de η̇, autorisées
β̇ et β.
7) Déterminer le torseur cinématique, au point E, du maneton (4) dans son mouvement par rapport
à 0. En déduire le vecteur Étude
− du robot de traite
→
automatique LELY Astronaut A3
vitesse V (B ∈ 4/0).
8) Déduire deux relations scalaires entre η̇, β̇ et α̇.
I Présentation générale
On propose maintenant d’étudier le système au moment de la percussion avec la pièce.
I.A – Contexte de l’étude
Pour
On répondre
donne : à une demande soutenue des consomma-

S2I
teurs, les agriculteurs de
α = la; filière
β =laitière; doivent
θ = assurer
π 2π π 1 2 1
; λ= ; a= ; b= ; L=1
un volume de production 6 de lait constant tout2au long 2
2013
3 5 4
de l’année, tout en garantissant une hygiène parfaite et
9) un
Récrire
respectles
desrelations obtenues
réglementations sur dans les questions
l’environnement et 5 et 8. En déduire une relation entre λ̇ et η̇.
10) leDéterminer
bon traitement des animaux.
MP
la vitesse minimale de la tige de vérin qui permet de vérifier le critère imposé par le
Afin d’atteindre cet objectif tout en améliorant leurs
cahier des
propres charges.
conditions de vie (réduction des travaux pé-
nibles et répétitifs, développement de nouvelles activi-
eures Calculatrices autorisées
tés économiques, etc.), une grande partie des produc-
Exercice 6 : s’est
teurs laitiers Robotéquipéedede traite
robots de traite automa-
du robot de traite
tique tels que le modèle Astronaut A3 de l’entreprise
Lenéerlandaise
robot de traite
LELY,”Astronaut”
présenté figureest 1. un système de traite automatique assurant, d’une part, la traite
LELY Astronaut A3
Deux exemplaires
des vaches et, d’autredepart,
ce modèle sont implantés
l’alimentation et ledans le
contrôle de la qualité du lait. Le système de manoeuvre
GAEC laitier Caverre, situé à Yvignac-La-Tour (Côtes Figure 1 Le robot de traite LELY Astronaut A3
du robot (support de cette étude), est la partie principale du système de traite.Ce système (représenté
d’Armor), dont le cheptel comprend 120 vaches Prim’ (d’après plaquette LELY) ; le box présenté figure 2
par leHolstein,
schémarace
cinématique plan
bovine utilisée pourdesalaproduction
figure 3) de lait se
assure le trouve à l’arrière correct des gobelets pour leur
positionnement
importante,
branchement surrégulière et de qualité.
les trayons de la vache pour extraire du lait.
nsomma- I.B – Principe, avantages et inconvénients de la traite automatique
t assurer L’implantation d’un système de traite automatique per-
au long met de laisser à la vache la liberté de choisir le moment
arfaite et de la traite. Lorsqu’une vache se présente dans le box du
ement et robot (voir figure 2), elle est identifiée puis le processus
de traite débute et est géré de manière totalement auto-
matique (traite, alimentation de l’animal et contrôle en
ant leurs
continu de la qualité du lait).
vaux pé-
Le choix d’une traite par un robot présente des avantages
es activi-
très importants pour les producteurs :
produc-
− augmentation de 15 à 20% de la production laitière
automa- par vache, du fait de la multiplication des traites ;
ntreprise − amélioration de l’état général des vaches par réduc-
tion des infections au niveau des trayons (ou pis lac-
s dans le tifères) connectés au système de traite ;
r (Côtes Figure
− 1 Leplus
animaux robot de car
calmes traite LELY
la traite est Astronaut A3 Figure 2 Vache en phase de traite et d’alimenta-
gérée individuel-
tion dans le box du robot de traite LELY Astronaut
es Prim’ (d’après plaquette LELY) ; leFigure
box
entreprésenté figure
les7 vaches) ; de2 traite ”Astronaut”
lement (moins d’interactions – Robot
A3 (d’après plaquette LELY)
n de lait se trouve à l’arrière
− réduction globale du coût d’une traite (main d’œuvre,
entretien, tests du lait, etc.).
Il présente aussi quelques inconvénients d’influences moindres :
− nécessité d’avoir un cheptel adapté (vaches acceptant la traite automatique et avec des caractéristiques
ients de la traite automatique
morphologiques — taille, position des trayons, etc. — compatibles avec la connexion des gobelets) ;
atique per-
IPEIS problèmes inhérents à l’aspect technique du produit
− 6 (utilisation, maintenance, entretien, pannes,
A.U.etc.)
2021-; 2022
 La partie du robot de traite Astronaut A3 dévolue à l’interaction avec la vache comprend principalement :
Mécanique des Solides Indéformables MP1 - PC1
− un box où est installée la vache pendant la phase de traite (voir figure 2) ;
− et une structure de positionnement de la tête de traite (voir figure 5) particulièrement étudiée dans la suite.

Chariot (1)
Bras supérieur (2)

Bras intermédiaire (3)

Système de détection du Trayon de la vache

trayon (technologie à
triangulation laser 3D)
T PREPARATOIRE AUX ETUDES D’INGENIEURS DE SFAX Systèmes Techniques Automatisés - (MP1/PC1)

Examen de Fin du 1er semestre 2019-2020 Brosses: rotatives

Partie Mécanique des solides indéformables

Bras inférieur (4)

Répondez de façon claire et brève sur les pages 2 à 5 - Justifiez vos réponses - Soignez la présentation !!!
Gobelet
Les questions 4 à 11 sont indépendantes des précédentes Zoom sur la tête de traite
ROBOT DE TRAITE AUTOMATIQUE "ASTRONAUT"
Figure 5 Structure mécanique du système de positionnement de la tête de traite et zoom sur la tête de traite
ot de traite "Astronaut" est un système de traite automatique assurant, d’une part, la traite des vaches
avec les gobelets connectés aux trayons (d’après plaquette LELY)
Figure 8 – Système de positionnement de la tête de traite
tre part, l’alimentation et le contrôle de la qualité du lait. Le système de manœuvre du robot (support
La structure mécanique permettant le positionnement précis de la tête de traite par rapport à l’animal est un
e étude), estsystème à trois
la partie degrés du
principale de liberté
système comprenant
de traite.(voir figure 5) un chariot (1), un bras supérieur (2) et un ensemble
(34) en mouvements relatifs : l’ensemble (34) est composé du bras intermédiaire (3) et du bras inférieur (4) liés
stème (représenté
de manière complète.
le schéma
tique plan de la
2013-04-30 22:00:29 Page 2/12
ci-contre) assure le
nnement correct
obelets pour leur
ement sur les
de la vache pour
e du lait.
tème est composé
ments suivants :
ti-support S0 fixe par
au sol. Soit R0
𝑦⃗⃗⃗0 , ⃗⃗⃗
𝑧0 ) le repère
é.
Figure 9 – Schéma cinématique minimal du robot
as S1, en liaison pivot d’axe (𝐵, ⃗⃗⃗⃗
𝑥0 ) avec le bâti S0 et en liaison pivot d’axe (𝐷, ⃗⃗⃗⃗
𝑥0 ) avec le bras S4. Soit

0 , ⃗⃗⃗⃗
𝑦1 , 𝑧⃗⃗⃗1 ) Ce système
un repère lié au est
brascomposé
S1 tel que ⃗⃗⃗⃗̂
des: (𝑦
éléments
0 , ⃗⃗⃗⃗
̂
suivants
𝑦1 ) = (𝑧⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗1) = 𝜃:1 . L’extrémité du bras S4 (point G) porte
0, 𝑧
— Un bâti-support
ème de branchement S0 fixele par
aux trayons, rapport
système au sol. Soit
pulsateur, le repèreR
le système de0 (O, ~x0 , ~y0 , ~zdes
nettoyage 0 ) associé.
trayons
—deUn
es) et la tête brasSoit
traite. S1 ,Ren liaison
4 (𝐷, ⃗⃗⃗⃗ 𝑦4 ,pivot
𝑥0 , ⃗⃗⃗ 𝑧4 ) und’axe(B,
⃗⃗⃗ repère lié~
x0au
) avec
bras le
S4bâti ⃗⃗⃗⃗̂
S0 :et(𝑦
tel que en )=(𝑧⃗⃗⃗̂
𝑦4liaison
0 , ⃗⃗⃗ 𝑧pivot
0 , ⃗⃗⃗
d’axe (D, ~x0 ) avec le
4 )= 𝜃4 .
bras S . Soit R (B, ~x , ~y , ~z ) un repère lié au bras S tel que : (~y , ~y ) = (~z , ~z ) = θ . L’extrémité
4
rin (S2, S3) dont le corps S2 est
1
en liaison
0 1 1
pivot d’axe (𝐴, ⃗⃗⃗⃗
𝑥0 ) avec le1 bâti S0 alors0 que
1 0 1
sa tige S3 est, 1
du bras S4 (point G) porte le système de branchement aux trayons, le système pulsateur, le
art, en liaison glissière d’axe (𝐴, ⃗⃗⃗⃗
𝑦2 ) avec S2 et d'autre part, en liaison pivot d’axe (𝐶, ⃗⃗⃗⃗ 𝑥 ) avec le bras
système de nettoyage des trayons (brosses) et la tête de traite. Soit R0 4 (B, ~x0 , ~y4 , ~z4 ) un repère lié
R2 (𝐴, ⃗⃗⃗⃗
𝑥0 , ⃗⃗⃗⃗
𝑦2 , ⃗⃗⃗
𝑧au
2 ) un repère
bras liéque
S4 tel au corps
: (~y0 , du
~y4 )vérin
= (~z0S, 2~z4tel
)= que ⃗⃗⃗⃗̂
θ4 .: (𝑦 𝑦2 ) = (𝑧⃗⃗⃗̂
0 , ⃗⃗⃗⃗ 0 , ⃗⃗⃗
𝑧2 ) = 𝜃2
rin (S5, S6—) dont
Unlevérin est) en
corps(SS5, S liaison pivot d’axe (𝑂, ⃗⃗⃗⃗
𝑥0 ) avecpivot
le bâtid’axe
S0 alors
(A, que sa tige le Sbâti
6 est,
2 3 dont le corps S2 est en liaison ~x0 ) avec S0 alors que sa
part, en liaisontige
glissière d’axe
S3 est, d’une 𝑦5 ) avec
⃗⃗⃗⃗
(𝑂, part, S5 et d'autre
en liaison part,
glissière et en
d’axe (A,liaison pivotS2d’axe
~y2 ) avec (𝐸, ⃗⃗⃗⃗
et d’autre𝑥0 ) part,
avec le en liaison pivot
. Soit R5 (𝑂, ⃗⃗⃗⃗
𝑥0 , ⃗⃗⃗⃗
𝑦5 , ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗̂
𝑧5 ) un repère lié au corps du vérin S5 tel que : (𝑦 𝑦5 ) = (𝑧⃗⃗⃗̂
0 , ⃗⃗⃗⃗ 0 , ⃗⃗⃗
𝑧5 ) = 𝜃5 .
IPEIS 7 A.U. 2021- 2022
Mécanique des Solides Indéformables MP1 - PC1

d’axe (C, ~x0 ) avec le bras S1 . Soit R2 (A, ~x0 , ~y2 , ~z2 ) un repère lié au corps du vérin S2 tel que :
(~y0 , ~y2 ) = (~z0 , ~z2 ) = θ2 .
— Un vérin (S5 , S6 ) dont le corps S5 est en liaison pivot d’axe (O, ~x0 ) avec le bâti S0 alors que sa
tige S6 est, d’une part, en liaison glissière d’axe (O, ~y5 ) avec S5 et d’autre part, et en liaison pivot
d’axe (E, ~x0 ) avec le bras S4 . Soit R5 (O, ~x0 , ~y5 , ~z5 ) un repère lié au corps du vérin S5 tel que :
(~y0 , ~y5 ) = (~z0 , ~z5 ) = θ5 .
On donne :
−−→ −−→ −→ −→
OB = b~z0 ; BD = k~y1 ; OA = a~z0 ; AC = λ(t)~y2 ;
−−→ −→ −→ −−→ −−→
CD = l~y1 ; GF = c~y4 ; F E = d~z4 ; OE = µ(t)~y5 ; ED = h~z4 ;

(b, k a, l, c, d et h : constantes)

L’objectif du travail est de vérifier si le critère suivant concernant la vitesse du point G de la tête
de traite peut être respecté.

Fonction Critère Niveau

FS1 : Assure le positionnement correct des gobelets Vitesse de la tête de traite VG ≤ 10cm/s

1) Dresser le graphe de liaisons du système de manoeuvre du robot et donner la nature de la chaı̂ne.

2) Déterminer les vecteurs suivants ω
~ i/j étant la vitesse instantanée de rotation du mouvement du
solide Si para rapport au solide Sj : ω~ 1/0 , ω
~ 2/0 , ω
~ 3/2 , ω
~ 4/0 , ω
~ 5/0 et ω
~ 6/5 .
−−−→ −−−→
3) Déterminer, par cinématique des solides, V (C)1/0 et V (D)1/0 .
4) Déterminer la nature du torseur cinématique du mouvement de S1 /S0 ainsi que son axe central
(s’il existe).
5) Déterminer par composition du mouvement le torseur cinématique du mouvement deS3 par rap-
port à S0 au point C en fonction de λ, λ̇ et θ̇2 .
6) Ecrire la condition cinématique au point C. Déduire par projection sur la base du repère R0 , le
système d’équations qui en découle et vérifier que λ̇ = (k − 1)θ̇1 sin(θ2 − θ1 ).
7) Par cinématique, déterminer le torseur cinématique du mouvement du solide S4 par rapport au
solide S0 au point E. Donner la nature de ce torseur et déterminer si son axe central (s’il existe)
passe par le point E.
→
−
8) Par composition des vitesses, déterminer en fonction de µ, µ̇ et θ5 , la vitesse V (E ∈ S6 /S0 )
9) Ecrire la condition cinématique au point E. Déduire par projection sur la base du repère R0 , le
système d’équations qui en découle et vérifier que µ̇ = hθ̇4 cos(θ4 − θ5 ) + k θ̇1 sin(θ5 − θ1 ).
10) Par cinématique, déterminer la vitesse V~ (G ∈ S4 /S0 ) en fonction de θ̇1 et θ̇4 .
11) Afin de simplifier l’étude du pilotage du robot à l’aide des 2 vérins, nous supposons que vers
l’approche de la position finale, le vérin (S2 , S3 ) est bloqué (λ = cte; θ1 = cte; θ2 = cte) et que
seulement le vérin (S5 , S6 ) influence la valeur de θ4 .
a) Exprimer θ̇4 en fonction de µ̇, θ4 et θ5 .
→
−
b) Déterminer V (G ∈ 4/0) en fonction de θ̇4 .

c) Quelle est la condition sur µ̇ pour que le critère relatif à la fonction FS1 soit respecté ?

IPEIS 8 A.U. 2021- 2022