ControleAut19 PDF
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Directives: Vous avez deux heures pour compléter ce contrôle. Vous n’avez droit à
aucune documentation. Seules les calculatrices portant l’autocollant de l’AEP peuvent
être utilisées. Utilisez l’aide-mémoire et le cahier qui sont distribués avec le questionnaire.
Une réponse sans justification se verra attribuer la note 0.
1. Questions indépendantes
355
( 20
1
) (a) Est-ce que π ∗ = 113
est une bonne approximation de π ? Justifier votre
réponse.
( 20
1
) (b) Estimer l’erreur absolue commise dans l’évaluation de la fonction h(x) = ln (x)
en x ∗ = 2,01. Tous les chiffres de x ∗ sont significatifs.
( 20
2
) (c) Soit A, B et C trois matrices inversibles de dimensions n × n. On donne les
décompositions LU obtenues sans permutation de lignes
A = LA U A et C = LC U C .
~1
" #" # " #
A B x~1 b
= .
0 C x~2 ~2
b
( 20
3
) 2. (a) Utiliser le développement de Taylor de la fonction
1
= 1 − x + x 2 − x 3 + x 4 + · · · + (−x)n + · · ·
1+x
pour calculer le développement de Taylor d’ordre 7 de la fonction
Zx
−1 dt
f (x) = tan (x) = 2
0 1+t
Page 1
( 20
1
) (c) On peut aussi estimer la valeur de π à l’aide du développement de Taylor
obtenu à la question (a) en utilisant la formule suivante:
−1 1 1
−1
π = 16 tan − 4 tan .
5 239
Expliquer, pourquoi cette approximation de π est plus précise que celle obtenue
à la question (b). On ne demande pas de calculer cette approximation de π .
( 20
1
) (d) Soit T (x) le polynôme obtenu à la question (a). Sans calculer les valeurs de
T (0,5) et T (0,125), donner une estimation de la valeur de
|f (0,5) − T (0,5)|
.
|f (0,125) − T (0,125)|
( 0,5
20 ) (a) Calculer le déterminant de la matrice A.
( 1,5
20 ) (b) Calculer le conditionnement en norme l∞ (k k∞ ) de la matrice A.
( 20
1
) (c) Les matrices mal conditionnées ont souvent un déterminant voisin de 0.
Est-ce que les matrices dont le déterminant est près de 0 sont forcément mal
conditionnées? Si oui, expliquer pourquoi, sinon, donner un contre-exemple.
4. Questions indépendantes
( 20
2
) (a) Soit les données suivantes:
x 0,0 0,2 0,3
f (x) 0,1 0,3 0,5
Page 2
(c) Le polynôme p(x) = x 4 − x 3 + x 2 − x + 1 passe par tous les points du tableau
suivant:
x -2 -1 0 1 2 3
h(x) 31 5 1 1 11 61
On désire calculer q(x), le polynôme qui passe par par tous les points tableau
suivant:
x -2 -1 0 1 2 3
g(x) 31 5 1 1 11 30
( 20
1
) i. Montrer que q(x) peut s’écrire sous la forme
Donner toutes les propriétés d’une spline cubique qui ne sont pas satisfaites
par la fonction F (x).
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