Systèmes linéaires : TD1

Antoine Drouin
Septembre 2011

1 Exercice
Soit le système représenté par le schéma bloc suivant :

1. Donner une représentation d’état de ce système.

Par lecture directe du schéma, il vient :

 
X1
X=
X2
   
−1 0 1
A= B=
1 −2 1
 
1 0

C= D= 0
0 1

2. La mettre sous forme modale.

On cacule le polynôme caractéristique de A pour chercher les valeurs propres de cette

dernière :
det(λI − A) = (1 + λ)(2 + λ)
Les racines du polynôme, donc les valeurs propres de A sont :

λ1 = −1 λ2 = −2

1
IENAC-S10 Systèmes linéaires 2

On calcule les vecteurs propres associés en résolvant le système (λi I − A)V = 0

   
1 0
V1 = V2 =
1 1

La matrice de passage dans la base modale est obtenue par concaténation des vecteurs
propres  
1 0
P =
1 1
Nous avons besoin de son inverse pour calculer B̃
 
−1 1 1 0
P = adj(P ) =
det(P ) −1 1

Il vient donc
   
−1 0 1
Λ = P −1 AP = B̃ = P −1 B =
0 −2 0
 
1 0
C̃ = CP = D̃ = D
1 1

3. Donner le schéma bloc de la forme modale.

Remarque : Dans cet exercice, l’équation de sortie n’est pas représentée.

2 Exercice
Soit le circuit électrique décrit par le schéma suivant dans lequel u représente l’entrée et v la
sortie :
IENAC-S10 Systèmes linéaires 3

1. Donner une représentation externe du système.

Les lois électriques régissant le circuit conduisent au système d’équations différentielles suiv-
ant : ( u = Li˙ + v
2
u = Li˙3 + Ri3 + v
i2 + i3 = C v̇
En éliminant i2 et i3 du système, il vient :

L (2) 2 (1) R (0) 2 (1) R (0)

v (3) + v + v + 2
v = u + u
R CL CL CL CL2

2. Donner une représentation d’état du système.

En utilisant comme vecteur d’état  

i2
X = i3 
v
il vient
−1
  1
0 0 L L
−R −1 
A = 0 C L
B =  L1 
1 1
C C 0 0



C= 0 0 1 D= 0

3. Déssinez le schéma bloc correspondant à cette dernière.

3 Exercice
Soit un système dynamique dont la sortie y ∈ < et l’entrée u ∈ < satisfont l’équation
différentielle

y (4) + a3 y (3) + a2 y (2) + a1 y (1) + a0 y (0) = u

où y (n) désigne la n-ième dérivée temporelle de y. On suppose que la seule sortie est y.
1. Donner une représentation d’état du système
IENAC-S10 Systèmes linéaires 4

En choisissant pour vecteur d’état

y (0)
 
y (1) 
X=
y (2) 


y (3)

il vient
   
0 1 0 0 0
 0 0 1 0  0
A=
 0
 B= 
0 0 1  0
−a0 −a1 −a2 −a3 1



C= 1 0 0 0 D= 0

2. En supposant y(0) = y (1) (0) = y (2) (0) = y (3) (0) = 0, calculez la fonction de transfert du
système, directement, puis en utilisant la représentation d’état.

Méthode directe

En effectuant la transformée de Laplace de l’équation différentielle, il vient :

L(y (4) (t) + a3 y (3) (t) + a2 y (2) (t) + a1 y (1) (t) + a0 y (0) (t)) = L(u(t))
(p4 + a3 p3 + a2 p2 + a1 p1 + a0 p0 )y(p) = u(p)

d’ou
1
F (p) =
(p4 + a3 p3 + a2 p2 + a1 p1 + a0 p0 )

En utilisant la représentation d’état

En réalisant la transformée de Laplace de l’équation d’évolution, il vient

Ẋ(t) = AX(t) + BU (t)

L(Ẋ(t)) = L(AX(t) + BU (t))
pX(p) = AX(p) + BU (p)
(pI − A)X(p) = BU (p)
X(p) = (pI − A)−1 BU (p)

En effectuant la transformée de Laplace de l’équation d’observation, il vient

L(Y (t)) = L(CX(t))

Y (p) = CX(p)

En combinant les deux résultats précédents, il vient :

Y (p) = C(pI − A)−1 BU (p)

Il nous faudrait maintenant calculer (pI − A)−1 , sans doute en calculant le déterminant et la
matrice adjointe de (pI − A), l’obtention de cette dernière constituant un calcul fastidieux.
Nous remarquons que les positions des zéros dans B et C sont telles que seul le terme
d’indices (1, 3) de la matrice adjointe nous interesse.
IENAC-S10 Systèmes linéaires 5

 
p −1 0 0
0 p −1 0 
(pI − A) =  
0 0 p −1 
a0 a1 a2 p + a3

   
p −1 0 −1 0 0
det(pI − A) = p.det( 0 p −1 ) − a0 .det( p −1 0 )
a1 a2 p + a3 0 p −1
det(pI − A) = p(p(p(p + a3 ) + a2 ) + a1 ) + a0
det(pI − A) = p4 + a3 p3 + a2 p2 + a1 p + a0

Le terme d’indice (1, 3) de la matrice adjointe est le coffacteur d’indice (3, 1) de (pI − A),
soit  
−1 0 0
det( p −1 0 ) = 1
0 p −1
Il vient donc

1
Y (p) = U (p)
(p4 + a3 p3 + a2 p2 + a1 p1 + a0
Ce qui est conforme au résultat obtenu par la transformation directe de l’équation
différentielle.

4 Exercice
 
−1 0 0
Ẋ =  0 −4 3 X
0 −1 0
1. Déterminez la matrice de transition du système de manière directe, puis en utilisant la
transformée de Laplace.

Méthode directe
D’aprés le cours ( et on démontre facilement )

Φ(t, t0 ) = P −1 eΛ(t−t0 ) P

ou Λ est la matrice modale (matrice diagonale, dont la diagonle est composée des valeures propres
de A ) et P est la matrice de passage dans la base modale, composées de vecteur prores associé
au termes diagonaux de Λ.
Les valeurs propres sont obtenues en cherchant les racines du polynome caractéristique.

det(λI − A) = (λ + 1)(λ + 1)(λ + 3)

λ1 = −1, λ2 = −1, λ3 = −3
IENAC-S10 Systèmes linéaires 6

 
−1 0 0
Λ= 0 −1 0
0 0 −3
Les vecteurs propres en résolvant le système (λi I − A)V = 0
     
0 1 0
V1 = 1 V2 = 0 V3 = 3
1 0 1
On obtient P par concaténation des vecteurs propres
 
0 1 0
P = 1 0 3
1 0 1
et P −1 en utilisant la formule P −1 = 1
det(P ) adj(P )
 
0 −1 3
1
P −1 = 2 0 0
2
0 1 −1
Λ étant diagonale, on démontre facilement
 λ (t−t ) 
e 1 0
0 0
Λ(t−t0 )
e =  0 eλ2 (t−t0 ) 0 
λ3 (t−t0 )
0 0 e
d’ou
 −(t−t ) 
e 0
0 0
Φ(t, t0 ) = P −1  0 e−(t−t0 ) 0 P
−3(t−t0 )
0 0 e
 −(t−t ) 
2e 0
0 0
1
Φ(t, t0 ) =  0 −e−(t−t0 ) + 3e−3(t−t0 ) 3e−(t−t0 ) − 3e−3(t−t0 ) 
2
0 −e−(t−t0 ) + e−3(t−t0 ) 3e−(t−t0 ) − 3e−3(t−t0 )

Transformée de Laplace

1
Φ(p) = (pI − A)−1 = adj(pI − A)
det(pI − A)
on sait

det(pI − A) = (p + 1)(p + 1)(p + 3)

d’ou

 
(p + 1)(p + 3) 0 0
1
Φ(p) =  0 p(p + 1) 3(p + 1) 
(p + 1)(p + 1)(p + 3)
0 −(p + 1)(p + 4) (p + 1)(p + 4)
 1 
p+1 0 0
p 3
Φ(p) =  0
 
(p+1)(p+3) (p+1)(p+3) 
−(p+4) p+4
0 (p+1)(p+3) (p+1)(p+3)
IENAC-S10 Systèmes linéaires 7

On décompose les termes de Φ(p) en éléments singuliers :

 2 
0 0
1  p+1 −1 3 3 −3 
Φ(p) =  0 (p+1) + (p+3) (p+1) + (p+3) 
2 −1 1 3 −3
0 (p+1) + (p+3) (p+1) + (p+3)

On effectue la transformée inverse de Laplace en utilisant le formulaire. Il vient :

Φ(t) = L−1 (Φ(p))

 −t 
2e 0 0
1
Φ(t) = 0 −e−t + 3e−3t 3e−t − 3e−3t 
2
0 −e−t + e−3t 3e−t − 3e−3t

5 Exercice
Soit le système à deux entrées et une sortie réprésenté par le diagramme suivant :

où a, b et c sont des nombres réels.

 
x1
1. Donnez une représentation d’état du système en utilisant X = x2  comme vecteur d’état.
x3

Par lecture directe du schéma, on obtient le système d’equations suivant dans le domaine
fréquentiel :

x2 (p)
x1 (p) =
p+a+1
x2 (p) + u1 (p)
x2 (p) =
p+a
u2 (p)
x3 (p) =
p+b
Y (p) = x1 (p) + cx3 (p)

qui conduit dans le domaine temporel au système d’équations différentielles suivant :

x˙1 = −(a + 1)x1 + x2

x˙2 = −(a + 1)x2 + u1
x˙3 = −bx3 + u2
Y = x1 + cx3
IENAC-S10 Systèmes linéaires 8

d’ou la représentation d’état suivante

   
−(a + 1) 1 0 0 0
Ẋ =  0 −(a + 1) 0  X + 1 0 U
0 0 −b 0 1


Y = 1 0 c X

6 Exercice
Soit un satellite en orbite géostationnaire autour de la terre. On assimile la terre et le satellite
à des points et on considère la trajectoire du satellite dans le plan équatorial.
r(t) et θ(t) représentent respectivement la distance satellite-terre et l’angle que fait le satellite
avec un axe de référence contenu dans le plan.
ur (t) et uθ (t) désignent les poussées radiales et tangentielles des moteurs du satellite. Les
équations d’euler suivantes régissent la dynamique du satellite, β étant une constante positive :
β
r̈(t) = r(t)θ̇2 (t) − r 2 (t) + ur (t)


θ̈(t) = − 2ṙ(t)θ̇(t)
r(t) + ur(t)
θ (t)

t
1. Donnez la représentation d’état du système associée au vecteur d’état X = θ r θ̇ ṙ

t
et à la commande U = ur uθ

 
θ̇
 ṙ 
Ẋ(t) = f (X, U ) = 
 − 2ṙθ̇ + uθ 
 (1)
r r
rθ̇2 − rβ2 + ur

2. Soit la trajectoire de référence définie par

 
0
Ur (t) = (2)
0
et  
θ0 + ω0 t
 r0 
Xr (t) = 
 ω0 
 (3)
0
Linéarisez la représentation d’état autour de cette trajectoire de référence.

On vérifie Xr et Ur constituent bien une trajectoire de référence. En dérivant (??), il vient

 
ω0
0
Ẋr (t) =  

0
0
En remplacant les arguments de (??) par les expressions de Xr et Ur , il vient
ω0
 
 0 
f (Xr , Ur ) = 
 0


r0 ω02 − rβ2
0
IENAC-S10 Systèmes linéaires 9

q
β
Ur , Xr vérifient identiquement l’équation de dynamique pour ω0 = r03
et constituent donc
bien une trajectoire de référence. En posant

δX = X − Xr (4)

et
δU = U − Ur (5)
puis en effectuant un développement au premier ordre en série de Taylor de (??), il vient

˙ = ∂f (Xr , Ur )δX + ∂f (Xr , Ur )δU

δX (6)
∂X ∂U
Le calcul des jacobiens de l’équation de dynamique conduit à

0 0 1 0
 
∂f 0 0 0 1 
(X, U ) =  2ṙ θ̇ uθ −2ṙ

−2θ̇  (7)
∂X  0 r2 − r2 r r
0 θ̇2 + 2β r3 2rθ̇ 0

et
 
0 0
∂f 0 0
(X, U ) = 
0 1
 (8)
∂U r
1 0

En prenant les valeurs des jacobiens en Xr , Ur et en remplacant dans (??), il vient finalement
   
0 0 1 0 0 0
˙ = 0 0 0 1 
 0 0 
δX −2ω0  δX + 
 δU (9)
0 r10 
 
0 0 0 r0
2 2
0 3ω0 2ω0 0 1 0
qui constitue la représentation d’état linéarisée des ecarts du système a la trajectoire de
référence.