Chapitre 2 Ecoulements Uniformes PDF
Chapitre 2 Ecoulements Uniformes PDF
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2.1. Définitions
Un écoulement est considéré comme étant uniforme lorsque ses caractéristiques sont
invariables dans le temps et dans l’espace. Ces caractéristiques sont la profondeur h de
l’écoulement, l’aire de la section mouillée A, la vitesse V de l’écoulement et le débit
volume Q. Les lignes de courants sont rectilignes et parallèles et la pression verticale peut
donc être considérée comme hydrostatique.
L’écoulement est caractérisé par une vitesse constante en tout point de son domaine.
En d’autres termes, la distribution des vitesses dans chacune des sections transversales de
l’écoulement est uniforme, correspondant à une couche limite pleinement développée.
L’écoulement uniforme peut être soit en régime laminaire soit en régime turbulent, mais ne
peut se produire sous de grandes vitesses. A vitesse élevée, l’écoulement uniforme est instable
et il est le siège d’un fort entraînement d’air.
Dans les écoulements à surface libre, il est commode de considérer la charge par
rapport au fond du canal que l’on désigne par la charge spécifique.
Chapitre 2 : Ecoulement à surface libre – Ecoulements uniformes 1017-018
Dans un écoulement à surface libre, l’écoulement se fait avec un tirant d’eau ; tel que la
perte de charge linéaire est égale à la pente du radier et à la pente de la surface libre (I = j).
Puisque les lois de l’hydrostatique s’appliquent au cas considéré (écoulement uniforme et
rectiligne), Pi/ ρg d’un point i sera égale à sa profondeur hi. Par conséquent,
Z i + Pi/ ρg = Z i + hi (2.4)
indiquant que le niveau piézométrique est toujours situé sur la surface libre.
De plus :
M1M2 = M1’M2’ = V²/2g (2.5)
La ligne d’énergie est parallèle au fond, et sa pente j est donc bien égale à la pente
géométrique du canal.
Remarque : Dans un écoulement à surface libre, le tirant d’eau H prend une valeur
constante Hn dite hauteur d’eau normale.
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λ 𝑈²
j = I = 4𝑅ℎ 2𝑔 (2.6)
vec :
I = tg α = j : pente du radier qui est confondue avec la pente de la ligne de charge ou pente
hydraulique,
𝝺 : coefficient de perte de charge
1 λ
En posant : = 8𝑔
𝐶²
Dans cette formule 𝛾 est un coefficient de rugosité qui dépend de la nature de la paroi. Bazin
suggère six catégories de parois qui permettent de se faire une idée de la valeur à adopter.
Ce qui donne :
1
𝑈 = 𝑛 𝑅ℎ 2/3 𝐼1/2 (2.11)
d35: Diamètre (en m) auquel correspond 35% (en poids) de matériaux de diamètre supérieur
(abscisse de la courbe granulométrique correspondant à l’ordonnée 0,35).
U = kR2/3I1/2 (2.13)
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On utilise la formule :
Q = (C1Sm1√Rh1 + C2Sm2√Rh2 +…… CnSmn√Rhn ) √𝐼 (2.14)
𝑈² 𝑃
Ou : I= 𝑆 𝐶²
Si Pm1, Pm2, ....... Pmn sont les parties du périmètre mouillé d’une section hétérogène dont les
rugosités sont définies respectivement par les coefficients de Chezy C1, C2, ……Cn, on peut
écrire :
𝑈² 𝑃𝑚1 𝑃𝑚2 𝑃𝑚𝑛
I = 𝑆𝑚( + + ……… 𝐶²𝑛 ) (2.15)
𝐶²1 𝐶²2
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Ou :
87√𝑆𝑚𝐼
U= 𝛾1 𝛾𝑛
(2.16)
√𝑃𝑚1(1+ )²+ …………𝑃𝑚𝑛(1+ )²
√𝑅ℎ √𝑅ℎ
- Pour les sections évasées vers le haut, la courbe des profondeurs normales est
univoque (pour chaque valeur de Q correspond une valeur unique de ℎ𝑛 ).
- Dans le cas de sections fermées (aqueduc), à une valeur de Q peuvent correspondre
deux valeurs de ℎ𝑛 .
- Pour un canal descendant ℎ𝑛 = 𝑓(𝑄, 𝐼, 𝐶) et𝐼 > 0 (canal descendant)
- Dans le cas d’un canal horizontal (𝐼 = 0) la profondeur normale serait infinie.
- Lorsque le régime n’est plus uniforme, la profondeur dans une section déterminée
diffère de hn
2.6. Profil en travers
La forme générale de la section transversale diffère suivant qu’il s’agît de canaux
découverts ou de canaux fermés (aqueducs).
Les canaux artificiels ont le plus souvent une section trapézoïdale isocèle ou rectangulaire,
parfois demi-circulaire ou parabolique.
Dans le cas très fréquent d’une section trapézique, on définit les éléments suivants :
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Supposons que l'on cherche le débit maximum pour un canal de pente I et de rugosité n
données. Quelle est, de toutes les formes d’égale surface mouillée Sm, celle qui portera le
débit maximal. C’est ce qu’on appelle le profil de débit maximal ou la forme de section la
plus avantageuse.
L’expression précédente montre que Q sera maximal pour Rh maximal puisque I, n et Sm sont
supposés constants. Or :
𝑆𝑚
Rh = 𝑃𝑚
Pm = 𝜋r
𝑆𝑚 𝑟 ℎ
Rh = 𝑃𝑚 = 2 = 2 (2.19)
Fig.2.8 : forme demi-circulaire
Dans la pratique, cette forme n’est réalisable que pour des canaux artificiels et s’ y prête mal
à des canaux de grandes dimensions. On ne la rencontre guère que dans les anciens canaux
d'irrigation ou dans les gouttières de maisons.
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Pm = l + 2h√1 + 𝑚² (2.21)
Donc:
𝑆𝑚 h (l + mh)
Rh = 𝑃𝑚 = (2.22)
l + 2h√1+𝑚²
Ce qui implique :
2h√𝟏 + 𝒎² = l+2mh
Donc
l = 2h√𝟏 + 𝒎² - 2mh
oubien :
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𝒍
= h√𝟏 + 𝒎² - mh (2.27)
𝟐
ou:
𝑙 1 1
= 2 (𝑠𝑖𝑛𝛼 - 𝑡𝑔𝛼)
ℎ
On a donc : 𝑂𝐾 = 𝐶𝐹 = 𝑂𝐸 = ℎ.
En tenant compte de (2.27), les éléments géométriques, définis par les équations (2.20), (2.21)
et (2.22) deviennent :
𝑆 = ℎ2 (2√1 + 𝑚2 − 𝑚),
𝑃 = 2ℎ(2√1 + 𝑚2 − 𝑚)
𝑆 ℎ
Donc :𝑅ℎ = 𝑃 = 2 (indépendant de la pente des talus du canal).
Dans tous les cas, la nature des parois et du fond du canal est supposée connue. Ce qui permet
de choisir le coefficient convenable dans la formule de l’écoulement utilisée ainsi que la pente
des talus dans le cas d’une section trapézoïdale.
𝑄 = 𝐴. 𝐶√𝑅ℎ 𝐼 (2.28)
On pourra, par exemple, adopter pour (2.29) celle qui caractérise la forme de section la plus
avantageuse.
Pour résoudre ce système compliqué de deux équations, il est préférable de procéder par
approximation de la manière suivante :
- Soit 𝑈𝑚 la valeur maximale admissible de la vitesse moyenne eu égard à la nature des
𝑄
parois ; on en déduit l’aire minimale 𝐴𝑚 = 𝑈 de la section mouillée susceptible de porter
𝑀
le débit Q.
Adoptons la forme la plus avantageuse de la section, soit :
𝑓(𝑙, ℎ) = 0 (2.29)
1 𝑄
Et exprimons 𝐴𝑚 en fonction de l, h et 𝑚 = 𝑡𝑔𝛼, soit 𝐴𝑚 = 𝑈 = ℎ(𝑙 + 𝑚ℎ),ou, plus
𝑀
généralement :
𝐴𝑚 = 𝜑(𝑙, ℎ) (2.30)
Du système des deux équations (2.29 et 2.30) on déduit facilement les solutions 𝑙 = 𝑙1 et ℎ =
ℎ1 . On calcul aisément la vitesse moyenne𝑈1 , (𝑈 = 𝐶√𝑅ℎ . 𝐼), et le débit 𝑄1 dans cette
section. Deux cas peuvent se présenter :
Remarque : Bien entendu, dans tous ces calculs, on tient compte des diverses conditions
auxquelles doivent éventuellement satisfaire les dimensions de la section du canal
(largeur minimale au plafond, équilibre des déblais et remblais dans un même profil …
etc).
2.9. Formules simplifiées de Porchet pour les petits canaux
Porchet a proposé une méthode approximative et simplifiée applicable aux fossés et aux
canaux en terre, de faibles dimensions, de section trapézique
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𝑄
h = 0.26836 ( )0.353 (2.31)
√𝐼
1 1
l = 2h (𝑠𝑖𝑛𝛼 - 𝑡𝑔𝛼) = 2h (√1 + 𝑚² - m) (section avantageuse) (2.32)
Applicable pour :
➢ 𝞬 =1,3 dans la formule de Bazin (canaux en terre dans les conditions ordinaires)
➢ m <1.5
➢ 0.5 m < h < 1.5m
➢ Erreur < 3,4% sur h et l
➢ Les unités sont le mètre et la seconde
Si la vitesse moyenne est excessive, il faut modifier la forme de la section pour réduire la
vitesse.
A cause de la forme de la section des aqueducs, qui n’est pas évasée vers le haut comme pour
les canaux ordinaires, la courbe des profondeurs normales n’est pas univoque et présente
l’allure indiquée sur la figure suivante :
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𝐴
𝑈 = 𝐶. √𝐼. √
𝑃
Lorsque A croît de 0 à 𝐴𝑀 correspondant à l’aqueduc plein mais non en charge, la vitesse
moyenne croît de 0 à sa valeur maximale 𝑈𝑀 , puis décroît pour atteindre une valeur 𝑈1 < 𝑈𝑀
lorsque 𝐴 = 𝐴𝑀 .
La condition de vitesse moyenne maximale s’obtiendra donc en écrivant :
𝑑𝑈
=0 (2.35)
𝑑𝐴
Supposons I et C constants :
𝑑𝑃
𝑑𝑈 1 𝑃 − 𝐴. 𝑑𝐴
= 𝐶. √𝐼. . =0
𝑑𝐴 𝐴 𝑃2
2√𝑃
La profondeur d’eau est égale à 95% du diamètre. Il est aisé de montrer que :
𝑄𝑀 = 1,05. 𝑄1 (2.35)
𝑃. 𝑑𝐴 − 𝐴. 𝑑𝑃 = 0 (2.34)
On obtient après simplification :
𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0 (2.36)
Equation vérifiée pour 𝜃 = 258°.
La flèche de la zone non mouillée est alors égale à :
𝑓 ′ = 𝑟. (1 + 𝑐𝑜𝑠129) = 0,371𝑟 = 0,19𝐷
La profondeur de l’eau est égale à 81% du diamètre.
Remarque : Pratiquement on conserve une revanche encore supérieure pour éviter que
l’aqueduc ne soit jamais en charge ; pour l’aqueduc circulaire considéré, on donne
𝐫 𝐃
généralement à la flèche de la zone non mouillée une valeur 𝐟 ′′ = 𝟐 = ; c’est-à-dire que
𝟒
la profondeur d’eau est égale à 75% du diamètre, ce qui correspond à 𝛉 = 𝟐𝟒𝟎°. Le
débit dans ces conditions est égal à 85% du débit maximal 𝐐𝐌 .