Polycope - MDF Mecaflu PDF
Polycope - MDF Mecaflu PDF
Polycope - MDF Mecaflu PDF
Maître Assistant
Chargé de cours
MECANIQUE DES
FLUIDES APPROFONDIE
ECOULEMENTS VISQUEUX, TURBULENCE, COUCHE
LIMITE ET ECOULEMENTS TRANSITOIRES
EXERCICES RESOLUS
EXERCICES RESOLUS
METICHE MEHDI
Maître Assistant
Chargé de cours
Centre Universitaire de Béchar (Algérie)
SOMMAIRE
Avant propos---------------------------------------------------------------------------- 1
Ecoulements Visqueux---------------------------------------------------------------- 2
La Turbulence-------------------------------------------------------------------------- 19
La Couche Limite---------------------------------------------------------------------- 24
Ecoulements Transitoires------------------------------------------------------------ 47
Références bibliographiques--------------------------------------------------------- 72
Avant propos
AVANT PROPOS
Son utilité apparaît sur son contexte de présenter des exercices résolus pour des sujets
dont de tels sont un peu rares. En plus des ingénieurs hydrauliciens, il peut servir aussi à la
formation des ingénieurs mécaniciens, chimistes et physiciens, comme il forme un outil
intéressant pour les étudiants de poste graduation des différentes spécialités précitées, vu le
manque flagrant des ouvrages de ce genre.
1
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements visqueux
ECOULEMENTS VISQUEUX
Exercice 1 :
Solution :
⎛ ∂V 1 ⎞
ρ⎜ + rotV ∧ V + .grad p ⎟ = − grad p + ρ g + µ∆V
⎜ ∂t 2 ⎟
⎝ ⎠
∂V
Pour un écoulement permanent, nous avons : =0
∂t
1
⇒ ρ ( gradV 2 ) = − grad p + ρ gradU + µ∆V
2
1 1
⇒ ρ (− gradU + grad p + gradV 2 ) = µ .∆V
ρ 2
1 1
⇒ ρ .grad (−U + p + V 2 ) = µ .∆V
ρ 2
1 1
On a : U = -g.z ⇒ ρ .grad ( gz + p + V 2 ) = µ .∆V
ρ 2
2
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements visqueux
1 1
⇒ gz + p + V 2 = Cons tan te
ρ 2
Divisant les deux termes de l’équation par g ; nous aurons :
p 1 2
z+ + V = Cte
ϖ 2g
Exercice 2 :
Etablir l’équation de mouvement d’un écoulement permanent d’un fluide réel incompressible
se produit entre deux plaques planes lisses parallèles ?
(Ecoulement monodimensionnel suivant x)
y
b u
x
Solution :
⎪ ∂y ∂y 2 ∂z ∂z 2
⎪
⎨ ∂v ∂v ∂ 2 v ∂ 2 v
⎪ = = 2 = 2 =0
⎪ ∂x ∂z ∂x ∂z
⎪ ∂w ∂w ∂ w ∂ 2 w
2
⎪ ∂x = ∂y = ∂x 2 = ∂y 2 = 0
⎩
3
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements visqueux
⎧ ∂u ∂u ∂u ∂ 2 u ∂ 2 u
⎪⎪ = = = = =0
∂x ∂y ∂z ∂x 2 ∂z 2
⇒⎨
⎪ ∂u = ∂v = ∂w = 0
⎪⎩ ∂t ∂t ∂t
− ∂p ∂ 2u ∂p ∂p
⇒ Les trois équations d’Euler deviennent : + µ 2 = 0, = 0 , et =0
∂x ∂y ∂y ∂z
⇒
∂p ∂ 2u
=µ 2
∂x ∂y
∂p
=0
∂y
∂p
=0
∂z
Exercice 3 :
Un écoulement d’un liquide de viscosité dynamique µ = 2.10-2 N.s/m2, sur une plaque plane
fixe, est caractérisé par le profil donné par le schéma ci-dessous :
u = 2 m/s
Solution :
Nous avons :
du
τ =µ
dy
u max u u 2
Et d’après le profil, on a : tg α = = ⇒ u = max . y = . y = 40 y
e y e 0,05
4
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements visqueux
u = 2 m/s
e
α
du
= 40
dy
du
⇒τ = µ = µ .40 = 2.10-2.40 = 0,8 N/m2
dy
du
Puisque est constante, la valeur de la tension de cisaillement est constante à n’importe
dy
quel point de l’écoulement est égale à 0,8 N/m2.
Exercice 4 :
⎧ −x
⎪u = x 2 + y 2
⎪
⎨
⎪v = − y
⎪⎩ x2 + y2
Solution :
Et nous avons :
∂u −1 2x 2
= 2 +
∂x x + y 2 ( x 2 + y 2 ) 2
∂v −1 2y2
= 2 +
∂y x + y 2 ( x 2 + y 2 ) 2
5
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements visqueux
∂u ∂v −1 2x 2 −1 2y2 −2 2( x 2 + y 2 )
⇒divV = + = 2 + + + = +
∂x ∂y x + y 2 ( x 2 + y 2 ) 2 x 2 + y 2 ( x 2 + y 2 ) 2 x 2 + y 2 (x 2 + y 2 )2
−2 +2
divV = + 2 =0
x +y
2 2
x + y2
b- nous avons : V = u + v
∂φ ∂φ
u= et v =
∂x ∂y
∂φ ∂φ
⇒V = + = gradφ
∂x ∂y
Nous avons aussi : divV = 0 ⇒ div( gradφ )= 0 ⇒ ∆φ = 0
∂ 2φ ∂ 2φ
⇒ + = 0 ; cette dernière est bien évident, l’équation de Laplace
∂x 2 ∂y 2
Exercice 5 :
Le profil de vitesse pour un écoulement plan d’un liquide, est donné par :
Solution :
On a :
du
τ =µ
dy
Avec V = 3.y3 +2.y2.
dV
⇒ = 9.y2 + 4.y
dy
du
A la paroi : τ 0 = µ y =0 = 3,5.10-2.(9.0 + 4.0) = 0
dy
6
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements visqueux
du
A 30 cm de la paroi : τ 0,3 = µ y =0,3 = 3,5.10-2.(9.0,3 + 4.0,3) = 7,035.10-2 N/m2
dy
Exercice 6 :
Soit un écoulement plan d’un liquide de viscosité cinématique ν = 5.10-4 m2/s et de masse
volumique ρ = 103 kg/m3 sur une plaque plane.
Le profil de vitesse est donné par :
1 3
V(y) = y .
2
Déterminer la valeur de la tension de cisaillement :
- à la paroi ?
- à 7 cm de la paroi ?
Solution :
On a :
dV
τ =µ
dy
dV 3 2
= y
dy 2
dV
τ y =0 = µ y =0 =0
dy
dV
τ y =0, 7 = µ y =0,7 = 5.(3/2.0,072) = 3,67.10-2 N.m2
dy
Exercice 7 :
Solution :
7
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements visqueux
Avec :
∂φ
u= = 2.x
∂x
∂φ
v= = -2.y-2
∂y
∂φ
w= =0
∂z
Il est évidant, que la vitesse ne dépend pas de z : l’écoulement est donc bidimensionnel.
∂V ∂gradφ
- D’autre part, nous avons : = =0
∂t ∂t
Il est évident, que la vitesse ne dépend pas du temps : l’écoulement est donc permanent.
∂u ∂v ∂w
- on a aussi : divV = + + = 2 – 2 +0 = 0
∂x ∂y ∂z
Exercice 8 :
u = x2 + z2
v = x2 + y2
Déterminer les composantes du vecteur vitesse suivant la direction z, qui satisfont l’équation
de continuité ?
Solution :
∂u ∂v ∂w ∂w ∂u ∂v
⇒ + + =0⇒ =-[ + ]
∂x ∂y ∂z ∂z ∂x ∂y
Nous avons :
u = x2 + z2
v = x2 + y2
∂u ∂v
⇒ = 2.x et = 2.y
∂x ∂y
∂w
⇒ = - (x + y) ⇒ w = -2(x + y).z
∂z
8
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements visqueux
Exercice 9 :
Le profil de vitesses pour un écoulement plan sur une plaque plane fixe, d’un liquide de
viscosité dynamique μ = 10-2 N.S/m2, est donné par :
Solution :
On a :
dV
τ =µ
dy
Et nous avons : V(y) = y3 + 2.y2 + 5.y
dV
⇒ = 3. y 2 + 4. y + 5
dy
dV
⇒τ = µ = 2.10-2.[3.0,12 + 4.0,1 + 5] = 2.10-2.[0,03 + 0,4 + 5] = 10,86. 10-2 N/m2.
dy
Exercice 10 :
Sur une plaque plane lisse, faisant avec l’horizontal un angle α , en mouvement permanent
bidimensionnel établi et sous une épaisseur a, coule sous l’effet de la pesanteur, un liquide de
viscositéν .
Déterminer le débit par unité de largeur et la vitesse débitante (moyenne) ?
α
w
u x
Solution :
9
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements visqueux
∂u ∂u ∂u − ∂p g ∂ 2u ∂ 2u
Suivant x : ρ .( +u +w )= + µ .( 2 + 2 )
∂t ∂x ∂z ∂x ∂x ∂z
∂w ∂w ∂w − ∂p g ∂ w ∂2w
2
Suivant z : ρ .( +u +w )= + µ .( 2 + 2 )
∂t ∂x ∂z ∂z ∂x ∂z
∂u ∂w
+ =0
∂x ∂z
∂
L’écoulement est permanent : =0
∂t
∂ ∂w
L’écoulement est établi : =0 ⇒ =0
∂x ∂z
∂p g ∂ 2u
=µ 2
∂x ∂z
∂p g
= 0 avec Pg = p + ρ .g.h
∂z
∂p ∂h ∂p
⇒ + ρ .g . =0 soit : + ρ .g.Cosα =0
∂z ∂z ∂z
p = ρ .g.z.Cosα + f(x)
Puisque la pression est constante sur la surface libre : z = a ⇒ f(x) = 0.
∂ 2 u ∂p ∂h
⇒µ = + ρ .g. = 0 - ρ .g.Sinα
∂z 2
∂x ∂x
∂u
µ = ρ .g.z.Sinα + A
∂z
z2
⇒ µ .u = - ρ .g. .Sinα + A.z + B
2
Sur la paroi nous avons : z = 0, u = 0 ⇒ B = 0
∂u
A la surface libre, la contrainte est nulle : z = a : µ = 0 ⇒ A = ρ .g.a.Sinα
∂z
10
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements visqueux
Sinα z2
⇒ u = ρ .g . .(a.z − )
u 2
a3 a 3 .g
a
Le débit par unité de largeur : qv = ∫ u.dz = ρ .g . .Sinα = .Sinα
0
3µ 3ν
a 2 .g
Um = qv / a = .Sinα
3ν
Exercice 11 :
− 1 dP 2
Un écoulement de Poiseuille (régime laminaire, u = − . ( R − r 2 ) , d’une huile dans un
4µ dx
tube de 12 mm de diamètre, de longueur L, incliné d’un angle α dont Sin α = 0,0445.
Si la pression statique à l’intérieure est constante tout le long du tube, et le débit mesuré égal à
20 l/h, déterminer la viscosité cinématique de cette huile ?
P2
P1
r
R
α
Solution :
P2 = p2 , et : P1 = p1 + ρ .g .L.Sinα
∆ P = P1 - P2 = p1 + ρ .g .L.Sinα - p2
∆P
⇒ ∆ P = ρ .g .L.Sinα ⇒ = ρ .g.Sinα
L
11
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements visqueux
− 1 dp
R
−1
R
π
⇒ Qv = ∫ . .( R 2 − r 2 ).2π .r.dr = ∫ .ρ .g .Sinα .( R 2 − r 2 ).2π .rdr = .ρ .g .Sinα .D 4
0
4u dx 0
4µ 128µ
µ π
On a aussi : ν = avec µ = .ρ .g .Sinα .D 4
ρ 128.QV
π
⇒ν = .g.Sinα .D 4 = 4.10-5 m2/s .
128.QV
Exercice 12 :
Ø5cm
2,5 cm
5 cm
Solution :
∆ P = ρ .g.h
π g .h 4
⇒ qv = . d
128 L.ν
∂h π .d 2 ∂h π .5 2 ∂h π g .h 4
qv = − S =− . =− . = . d
∂t 4 ∂t 4 ∂t 128 L.ν
∂h π g 4 4 ∂h d 4 g
⇒ + . d . .h = 0 ⇔ = . .h = 0
∂t 128 L.ν π .5 2 ∂t 800 L.ν
∂h d4 g
Ou bien : = . .dt
h 800 L.ν
12
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements visqueux
⎡ h1 ⎤ d 4 g
ln ⎢ ⎥ = . .T
⎣ h2 ⎦ 800 L.ν
d4 g T (10 −3 ) 4 10 75.60
⇒ν = . . = . −2
. = 2.10-6 m2/s
800 L ⎡ h1 ⎤ 800 40.10 ⎡ 5 ⎤
ln ⎢ ⎥ ln ⎢ ⎥
⎣ h2 ⎦ ⎣ 2,5 ⎦
Exercice 13 :
u v
Solution :
du
1- τ = µ = µ .(10 – 20.y)
dy
2- pour y = 2 cm :
du
= 10 – 20.0,2 = 10 – 4 = 6 .
dy
13
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements visqueux
du
τ =µ = 0,4.6 = 2,4 dynes/cm2.
dy
S = π .D.L = 3. π .106
du
F = τ 0 .S = µ .π .D.L = 4.3 π .106 = 3,77. 107 dunes = 377 Newtons
dy y =0
Exercice 14 :
Un réfrigérant est composé d’un groupe de 100 tubes cylindriques parallèles, de diamètre D =
1 cm et de longueur L = 4 m. A la vitesse V = 2 m/s, on y fait circuler de l’huile ( ρ =900
Kg/cm3, µ1 = 3.10-2 Poiseuille à l’entrée et varie jusqu’à la sortie, à cause de refroidissement,
pour atteindre µ 2 = 10-1 Pl ).
1- montrer que l’écoulement est laminaire ?
2- donner -pour un tube- la relation µ ( x) : f ( µ1 , µ 2 , L, x) avec x la variable longueur entre
l’entrée et la sortie du tube ?
dP 32.V ( µ1 + µ 2 )
3- l’écoulement est de type Poiseuille dont = 2 . .L , calculer la variation de
dx D 2
pression entre l’entrée et la sortie d’un tube ?
4- en déduire la puissance nécessaire W, pour faire couler l’huile dans un tube, ensuite pour
l’ensemble du groupe ?
5- donner la fonction W de n tubes sans tenir compte du diamètre D ?
Solution :
1 2
μ1 μx μ2
L
ρ .V .D 9.10 .2.10
2 −2
1- on a ℜ Dmax = = = 600 < 2000
µ 3.10 − 2
⇒ le régime est laminaire.
14
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements visqueux
x
2- µ (x) = .( µ 1 - µ 2) + µ 1.
L
π 2
4- W = Qv. ∆P = .(10-2) .2.1,66.105 = 2610 Wat.
4
V ( µ1 + µ 2 ) πD 2
5- W= n. ∆ P. Qv = n.32. . .L. .V = 4π .L.V 2 .( µ1 + µ 2 ).n
D2 2 4
⇒ W= 4π .L.V 2 .( µ1 + µ 2 ).n
Exercice 15 :
Soit la figure ci-après, représentant un cylindre plein de rayon R1 à l’intérieur d’un cylindre
creux de rayon intérieur R2 et entre lesquels existe un écoulement laminaire.
1- l’écoulement est de type Couette dont la distribution de vitesse est donnée par
∆P 2
u=− .r + C1. ln(r ) + C 2
4 µ .L
⎧u = 0, pour : r = R1
⎪
Avec ⎨u = 0, pou : r = R2 ,
⎪et : ∆P = P − P
⎩ 1 2
R2 r
R1
Solution :
∆P P − P2
1- Nous posons : K = = 1
4µ.L 4µ .L
15
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements visqueux
2
⇒ C1.lnR1 + C2 – K.R1 = 0
2
Et C1.lnR2 + C2 – K.R2 = 0
2 2 2 2
R1 − R2 2 ( R1 − R2 ). ln R1
Ce qui donne : C1 = K . et C2 = K.R1 -
R R
ln 1 ln 1
R2 R2
P1 − P2 ⎡ 2 2 2 ln(r / R2 ) ⎤
⎢( R2 − r ) − ( R2 − R1 ).
2
⇒u= ⎥
4.µ .L ⎣ ln( R1 / R2 ) ⎦
du
Le rayon pour lequel, la vitesse est maximale : =0
dr
2 2 2 2
R − R2 R2 − R1
⇒ -2.Rmax - 1 / Rmax = 0 ⇒ Rmax =
R1 2. ln( R1 / R2 )
ln
R2
R2 R2
P1 − P2 ⎡ 2 ln(r / R2 ) ⎤
R2
∫ ⎥ .2π .rdr
2 2
⎢( R2 − r ) − ( R2 − R1 ).
2
⇒ Qv =
R1
4.µ .L ⎣ ln( R1 / R2 ) ⎦
π .( P1 − P2 ) ⎡ 2 2 2 2 ( R − R1 ) ⎤
2 2
Qv = .⎢( R2 − R1 ).[ R2 − R1 − 2 ]⎥
8.µ .L ⎣ ln( R2 / R1 ) ⎦
( P1 − P2 ) ⎡ 2 ( R2 − R1 ) ⎤
2 2
QV QV 2
V= = = .⎢ R2 − R1 − ⎥
A π .( R2 2 − R1 2 ) 8.µ .L ⎣ ln( R2 / R1 ) ⎦
Exercice 16 :
On donne :
16
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements visqueux
2 2
1 2 R1 .R2
V = 2 2
.[r.( f .R2 ) − .f ]
R2 − R1 r
R2
L r
R1
e
Solution :
∂r
Avec V = R2.f
2 2
R2 .R1
⇒ C1 = 4π .µ .L. f . 2 2
R2 − R1
∂V
⇒dC2 = r. τ . 2 π .rdr = r.µ . .2π .r.dr
∂r
∂V V r. f
avec τ = µ . = µ. = µ. car : V = r.f
∂r a a
r. f 2.π .µ . f 3
⇒ dC2 = r.µ . .2π .r.dr = .r dr
a a
17
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements visqueux
4
2.π .µ . f 3 2.π .µ . f R1
R1
⇒ C2 = ∫
0
a
.r dr =
a
.
4
C = C1 + C2
2 2 4
2.π .µ . f R1
2 2 4
R2 .R1 2.L.R2 .R1 R
⇒ C = 4π .µ .L. f . 2 2
+ . = 2π .µ . f .[ 2 2
+ 1 ]
R2 − R1 a 4 R2 − R1 4a
2 2 4
2.L.R2 .R1 R
⇒ µ = C / 2π . f .[ 2 2
+ 1 ] = 0,199 Poise.
R2 − R1 4a
18
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
La Turbulence
LA TURBULENCE
Exercice 1 :
a- U .V = U .V + U ' .V '
b- U (t ) = U
Solution :
a- U .V = (U + U ' ).(V + V ' ) = U .V + U .V '+U '.V + U '.V ' = U .V + U .V ' + U '.V + U '.V '
⇒ U .V = U .V + U ' .V '
Et puisque U ' = 0 ⇒ U (t ) = U
= U .V .W + U .V '.W + U '.V .W + U '.V '.W + U .V .W '+U .V '.W '+U '.V .W '+U '.V '.W '
= U .V .W + U .V '.W + U '.V .W + U '.V '.W + U .V .W ' + U .V '.W ' + U '.V .W ' + U '.V '.W '
19
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
La Turbulence
Exercice 2 :
Montrer pour un écoulement de l’eau à 15 °C dans une conduite circulaire de diamètre D, que
la condition de la turbulence du régime d’écoulement est conditionnée par :
0,0026
V> , tout en considérant que le nombre de Reynolds critique est de 2300 ?
D
Montrer que pour un diamètre de l’ordre de 1 cm, le régime turbulent est assuré pour des
vitesses V > 0,3 m/s ?
Solution :
0,0178
On a : ν =
1 + 0,0337.t + 0,000221.t 2
A 15 °C : ν = 1,14.10-6 m2/s
V .D
Et on a : ℜ = > 2300 : condition de la turbulence.
ν
0,0026
⇒V>
D
Exercice 3 :
Solution :
20
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
La Turbulence
∂u ∂ v ∂ w
Et puisque = = =0
∂x ∂y ∂z
Exercice 4 :
∂u
1- =0
∂t
v∂u ∂u ∂u ′
2- = v. + v ′.
∂y ∂y ∂y
2
3- u 2 = u + u ′ 2
Solution :
'
∂u ∂u ∂u ' ∂u ∂u ' ∂u ∂u
1- = + = + = +
∂t ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t
'
∂u ∂u
Et puisque = 0 et =0
∂t ∂t
∂u
⇒ =0
∂t
∂u ∂u ∂u ' ∂u '
= v. + v'. + v. + v'.
∂y ∂y ∂y ∂y
∂u '
Et puisque v' = =0
∂y
v∂u ∂u ∂u '
⇒ = v. + v'.
∂y ∂y ∂y
2
3- u.v = (u + u ' ).(u + u ' ) = u + u ' 2 + 2.u.u '
21
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
La Turbulence
2
⇒ u 2 = u + u′2
Exercice 5 :
Solution :
σ xx τ xy τ xz
τ yx σ yy τ yz
τ zx τ zy σ zz
2 ∂u ∂u
σ xx = − p x − .µ .divV + 2µ . = − p x + 2µ
3 ∂x ∂x
2 ∂v ∂v
σ yy = − p y − .µ .divV + 2µ . = − p y + 2µ
3 ∂y ∂y
2 ∂w ∂w
σ zz = − p z − .µ .divV + 2µ . = − p z + 2µ
3 ∂z ∂z
∂u ∂v
τ xy = τ yx = µ .( + )
∂y ∂x
∂u ∂w
τ xz = τ zx = µ .( + )
∂z ∂x
∂v ∂w
τ yz = τ zy = µ .( + )
∂z ∂y
∂u
σ xx = − p x + 2µ . + − ρ .u ' 2
∂x
∂v
σ yy = − p y + 2µ . + − ρ .v' 2
∂y
∂w
σ zz = − p z + 2µ . + − ρ .w' 2
∂z
∂u ∂v
τ xy = τ yx = µ .( + ) + - ρ .u '.v'
∂y ∂x
22
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
La Turbulence
∂u ∂w
τ xz = τ zx = µ.( + ) + - ρ .u '.w'
∂z ∂x
∂v ∂w
τ yz = τ zy = µ .( + ) + - ρ .v'.w'
∂z ∂y
Le tenseur des tensions visqueuses d’un écoulement turbulent comme est présenté, est la
somme du tenseur d’un écoulement laminaire et le tenseur de Reynolds.
σ xx = − ρ .u ' 2
σ yy = − ρ .v' 2
σ zz = − ρ .w' 2
τ xy = τ yx = - ρ .u '.v'
τ xz = τ zx = - ρ .u '.w'
τ yz = τ zy = - ρ .v'.w'
23
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
La Couche limite
LA COUCHE LIMITE
Exercice 1 :
Solution :
6.30
U .L
Nous avons : ℜ L = = = 1,8.108
ν 10 −6
Pour ℜ > 10 7 on admet que pour une plaque plane lisse parallèle à U de longueur L :
0,455
⇒Cx = = 1,965.10 −3
231,8
Et nous avons l’air d’une face de la plaque : S = 3.30 = 90 m2.
U2
F = Cx. ρ .S . = 1,965.10-3.90.1000.36/2 = 3183 N.
2
Si le nombre critique de transition correspond à ℜ = 5.10 5
La position de la ligne de transition est située à la distance x du bord d’attaque :
U.x 6.x
5.10 5 = = ⇒ x = 0,083 m.
ν 10 6
En négligeant l’influence du frottement dans la couche limite laminaire (x = 0,083 m)
24
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
La Couche limite
S’ = 3.3 = 9 m2
U2
Fx = Cx. ρ .S . = 2,74.10-3.9.1000.36/2 = 444 N.
2
Exercice 2 :
Dans l’écoulement laminaire d’un fluide sur une plaque mince et plate, on admet que la
distribution des vitesses dans la couche limite répond à l’équation :
u π y
= Sin( . )
U 2 δ
Avec :
U : vitesse du fluide libre (écoulement)
u : vitesse à la distance y de la paroi
δ : épaisseur de la couche limite.
2- on donne :
U = 15 m/s
L = 4.10-2 m.
ν = 10-6 m2 /s
ρ = 1,2 kg/m3.
1
∫ Sin xdx = 2.( x − Sinx.Cosx)
2
Solution :
1-
du π π y π
a- τ = µ y =0 = µ .U . .Cos ( . ) y =0 = µ .U .
dy 2δ 2 δ 2π
δ δ
u ⎡ π y ⎤ 2δ π y δ
δ * = ∫ (1 − ).dy = ∫ ⎢⎣1 − Sin( 2 . δ )⎥⎦.dy = δ + .Cos( . )
0
U 0
π 2 δ 0
2δ π 2δ
⇒δ * = δ + .(Cos − Cos 0) = δ − = 0,363. δ
π 2 π
δ δ δ δ
u u π y π y π y 2 π y
b- θ = ∫0 U (1 − U ).dy = ∫0 Sin( 2 . δ ).[1 − Sin( 2 . δ )].dy = ∫0 Sin( 2 . δ ).dy - ∫0 Sin ( 2 . δ ).dy
1
On a aussi : ∫ Sin 2 xdx = .( x − Sinx.Cosx)
2
1
⇒ ∫ Sin 2 udu = .(u − Sinu.Cosu )
2
25
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
La Couche limite
2δ ⎡ π ⎤ 2δ ⎡1 π y π y π y ⎤δ
⇒θ = - .⎢Cos − Cos 0⎥ − .⎢ .( . − Sin . .Cos . )⎥ =
π ⎣ 2 ⎦ π ⎣2 2 δ 2 δ 2 δ ⎦0
2δ δ ⎡π ⎤ 2δ δ 2 1
= − .⎢( − 0) − (0 − 0)⎥ = − = δ .( − ) = 0,137.δ
π π ⎣ 2 ⎦ π 2 π 2
⇒ θ = 0,137.δ
dθ dδ π
c- τ local = ρ .U 2 . = ρ .U 2 .0,137. = µ .U.
dx dx 2.δ
dδ ν π d (δ 2 ) ν
⇒ τ local = 2δ . = . ⇒ = 22,931.
dx U 0,137 dx U
ν .x
⇒ δ 2 = 22,931. , multipliant le deuxième terme de cette équation par x/x, nous obtenons :
U
ν .x 2 22,931 2 x
⇒ δ 2 = 22,931. = .x ⇒ δ = .4,789
U .x ℜx ℜx
x x
⇒ θ = 0,137. .4,789 = 0,656.
ℜx ℜx
x
Et δ * devient : δ * = 1,738.
ℜx
δ*
d- H = = 2,649
θ
dθ 0,656
e- Cf = 2. =
dx ℜx
2.θ 1,312
f- CF = =
L ℜL
Et τ local devient :
π ρ .ν .U .π
τ local = µ .U . = = 0,328.ν .U . ℜ x / x
2.δ 2δ
2- application numérique :
ℜ L = 6.10 5 ; δ L = 0,247 mm ; δ L = 0,0897mm
*
26
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
La Couche limite
Exercice 3 :
Un filtre à nid d’abeilles, placé en avant du collecteur d’une soufflerie, est constitué de
mailles carrées dont le coté est de 3 m, la profondeur des lamelles dans le sens de la vitesse
est de 4 cm. On suppose que chaque lamelle se comporte comme une plaque plane à la vitesse
U = 15 m/s.
Les caractéristiques de l’air sont : ρ = 1,2 kg/m3 et ν = 15.10-2 St.
a- montrer que la couche limite n’est pas en régime totalement turbulent ( ℜ eL < 5.105) ?
b- calculer l’épaisseur δ de la couche limite ?
c- en déduire les valeurs de δ l , θ , Cf, CF, τ local ?
d- calculer la somme des forces de frottement sur les quatre faces d’une maille ?
e- quelle est la chute de pression, à la traversée du filtre, pour une maille ?
f- en déduire le coefficient de perte de charge singulière ξ pour ce filtre ?
Solution :
U .L 15.4.10 −2
a- ℜ eL = = = 4.10 4 > 5.10 5
ν 15.10 −6
4,646.L 4,646.4.10 −2
b- δ = = = 0,928mm
ℜ eL 2.10 2
c- δ 1 = 0,375.δ = 0,348mm
θ = 0,139.δ = 0,129mm
0,646 0,646
Cf = = = 3,23.10 −3
ℜ eL
2
2.10
1,292
CF = = 6,46.10 −3 = 2.C f
ℜ eL
1 1
Fv = τ p .S = .C F .ρ .U 2 .S = 6,46.10 −3.1,2.15 2.12.10 − 4 = 1,046.10 −3 N
2 2
⇒ 4. Fv = 4.1,046.10-3 = 4,186.10-3 N
27
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
La Couche limite
U 2 ∆P
f- hp = ξ . =
2 g ρg
2.∆P 2.4,65
⇒ξ= = = 0,034
ρ .U 2 1,2.15 2
Exercice 4 :
Dans un écoulement laminaire d’un fluide sur une plaque mince et plate, on admet que le
profil des vitesses dans la couche limite répond à l’équation :
3
u 3 y 1 ⎛ y⎞
= . − .⎜ ⎟
U 2 δ 2 ⎝δ ⎠
Avec :
U : vitesse d’écoulement libre.
u : vitesse à la distance y de la paroi.
δ : épaisseur de la couche limite.
a- pour un calcul latéral appliqué à une unité de largeur, montrer que l’épaisseur de la couche
limite à la sortie de la plaque est donnée par :
1/ 2
⎡ L ⎤
δ = 4,646.⎢ ⎥
⎣ ℜ eI ⎦
Sachant que :
du
τ P = τ local = µ . et où L : est la largeur de la plaque.
dy y =0
Solution :
3
du u 3 y 1 ⎛ y⎞
a- on a τ local = µ. avec : = . − .⎜ ⎟
dy y =0 U 2 δ 2 ⎝δ ⎠
3
3 U 3 U ⎛ y⎞ 3 U
⇒ τ local = .u ( ) − .u. .⎜ ⎟ = .µ .
2 δ 2 δ ⎝δ ⎠ 2 δ
dθ
D’autre part : τ local = ρ .U 2 .
dx
28
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
La Couche limite
δ δ
u u 3 y 1 y 3 y 1 y
Avec θ = ∫ (1 − ).dy ⇒ θ = ∫ [ . − ( ) 3 ].[1 − . + .( ) 3 ]dy
0
U U 0
2 δ 2 δ 2 δ 2 δ
3 δ δ
⇒θ = .δ − − = 0,139.δ
10 8 28
dδ 3 U
⇒ τ local = ρ .U 2 .0,139. = .µ.
dx 2 δ
dδ d (δ 2 ) γ
⇒ 2.δ . = = 21,583.
dx dx U
γ .x x2
On a : à x = 0 : δ = 0 ⇒ δ 2 = 21,583. = 21,583.
U ℜ ex
L2
Pour la longueur L : δ = 21,583.
ℜ el
b-
- l’épaisseur de quantité de mouvement sera :
L
θ = 0,139. δ = 0,646.
ℜ eL
- l’épaisseur de déplacement sera :
δ δ
u 3 y 1 y
δ = δ l = ∫ (1 − ).dy = ∫ [1 − . + ( ) 3 ].dy
*
0
U 0
2 δ 2 δ
3
δ * = .δ = 0,375.δ
8
L
Pour la longueur L : δ * = δ l = 1,742.
ℜ eL
⎡ ⎤
dθ dδ dδ ⎢
d (4,646.x) 1/ 2 ⎥
1 4,646
- Cf = 2. = 2.0,139. avec = ⎢ ⎥= .
dx dx ⎢ 2 ℜ ex
( )1 / 2 ⎥
dx dx U
⎢⎣ γ ⎥
⎦
1 4,646 0,646
et Cf = 2.0,139. . =
2 ℜ ex ℜ ex
29
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
La Couche limite
θ 0,646 1,292
- CF = 2. = 2. =
L ℜ eL ℜ eL
δ l 1,742
-H= = = 2,7
θ 0,646
Exercice 5 :
Si l’expression de la distribution de la vitesse d’un écoulement laminaire sur une plaque plane
est donnée par :
u u u
= = = 2η − 2η 3 + η 4
U∞ U E Ul
y
Avec η =
δ
Solution :
B U C
A D
30
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
La Couche limite
CD
ρ .∫ u.dy − ρ .L.∫ u 2 .dy
0 0
h h
BC ρ .∫ (U − u ).dy ρ .L.∫ U .(U − u ).dy
0 0
ΣS 0 h
ρ .L ∫ u.(u − U ).dy
0
δ
⇒ − ∫ τ p .dx = − ρ .∫ u.(U − u ).dy
0
δ
d (U 2 .θ ) u u
⇒ τ p ( x) = ρ . avec θ = ∫ (1 − ).dy
dx 0
U U
δ
u 3
- l’épaisseur de déplacement est : δ = ∫ (1 − *
).dy = .δ
0
U 10
δ
u u 37
- l’épaisseur de déplacement est : θ = ∫ U (1 − U ).dy =
0
315
.δ
d (U 2 .θ )
τ p ( x) = µ .
dx
du 2
et on a : τ p = µ . = µ . .U
dy y =0 δ
2 d (U 2 .θ )
⇒ µ . .U = ρ .
δ dx
ν δ2 ν ν .x 2
Et d’autre part, on a : δ .dδ = dx ⇒ = .x =
U 2 U U .x
U .x δ2
x2
Et comme ℜ x = ⇒ =
ν 2 ℜx
31
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
La Couche limite
2 .x
⇒δ =
ℜx
2
τp µ . .U
4.ν 4.ν
Cf = = δ = =
1
.ρ .U 2 1
.ρ .U 2 δ .U 2 .x
.U
2 2 ℜx
2. 2 .ν . ℜ x 2. 2 . ℜ x
⇒ Cf = =
x.U ℜx
2. 2
⇒ Cf =
ℜx
L
2. 2 .L
CF = ∫ C f .dx =
0 ℜL
Exercice 6 :
Un sous marin a une longueur L = 84 m et une surface totale de coque de 1800 m2.
Calculer la résistance due aux forces de frottement visqueux s’exerçant sur la coque, quand en
plongée, le sous marin a une vitesse V = 5 m/s ? Pour faire ce calcul, on admettra qu’à la
valeur Cx du coefficient moyen de frottement établi pour une plaque plane est applicable ici.
On a d’ailleurs :
-2,58 V .L
Cx = 0,455.(lg10 ℜ L ) pour ℜ L = > 107.
ν
Et on a :
Solution :
On a
V .L 5.84
ℜL = = = 3,5.10 8 > 10 7
ν 1,2.10 −6
⇒ Cx = 0,455.[log10 ℜ L ]
−2 , 58
= 1,79.10 −3
V2 52
Fx = Cx . ρ . .S = 1,79.10 −3.1025. .1800 ≈ 41280 N.
2 2
Exercice 7 :
∂u ∂u 1 dp ∂ 2u
u +v =− +ν 2
∂x ∂y ρ dx ∂y
∂u ∂v
+ =0
∂x ∂y
U2
Et p + ρ = Cte pour y = δ
2
⎧u
Avec U ⎨
⎩v
U d (θ 2 ) θ 2 dU δ* τ θ
. =− . .(2 + ) + 0 . (A)
2ν dx ν dx θ µ U
2
u y m ⎛ y⎞
= L. + .⎜ ⎟ : 0 ≤ y ≤ δ (B)
U θ 2 ⎝θ ⎠
u
=1:y> δ
U
a- calculer θ et montrer que L et m sont liés par une relation de type : L = ϕ (m) ?
δ* δ*
b- calculer et montrer qu’on peut avoir une relation de la forme : = ψ (m) ?
θ θ
c- en utilisant les équations de Prandtl et les conditions à la paroi, montrer que :
33
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
La Couche limite
θ 2 dU
m=- . ?
ν dx
B C u
A
D
dx
x
Solution :
1- nous avons :
δ δ δ δ
u u u
δ * = ∫ (1 − )dy = ∫ dy - ∫ dy = δ - ∫ dy
0
U 0 0
U 0
U
δ δ δ δ
u u u u2 u2
2- θ = ∫0 U U − ∫0 U ∫0 U 2 δ δ ∫0 U 2 .dy
*
(1 ).dy = .dy - .dy = - -
∫ ρ.u .dy = ρ .U 2 . ( δ - δ * - θ )
2
Par conséquent : le débit de quantité de mouvement : M =
0
34
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
La Couche limite
∂q
dx
∂x
B C
∂q
q q+ dx
∂x
A D
∂q
U. dx
∂x
B C
∂M
M M+ dx
∂x
A D
∂M ∂q ∂p ∂δ ∂δ
- M + (M + dx ) - U. dx = p. δ - (p+ dx ).( δ + .dx ) + p. dx − τ 0 .dx
∂x ∂x ∂x δx ∂x
∂M ∂q ∂p
Soit : - U. = − δ . − τ 0
∂x ∂x ∂x
∂θ ∂U ∂p
⇒ − ρ .U 2 . + ρ .U . .(δ − δ * − 2θ ) = − δ . − τ 0
∂x ∂x ∂x
U2 ∂p ∂U
Et puisque p + ρ . = Cte ⇒ = − ρ .U .
2 ∂x ∂x
35
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
La Couche limite
∂θ dU τ
⇒ U 2. + U. .(δ * + 2.θ ) = 0
dx dx ρ
θ
Multipliant les deux termes maintenant par ; on obtient :
ν .U
U ∂θ 2 θ 2 dU δ* τ θ
. =− . .(2 + ) + 0 .
2ν dx ν dx θ µ U
4-
a- nous avons :
δ δ /θ
u u u u y
θ = ∫ (1 − ).dy = θ . ∫ (1 − ).d ( )
0
U U 0
U U θ
δ /θ
⎡ y m y 2⎤ ⎡ y m y 2⎤ y
⇒ 1= ∫
0
⎢ L. θ + 2 .(θ ) ⎥.⎢1 − L. θ − 2 .(θ ) ⎥.d (θ )
⎣ ⎦⎣ ⎦
L δ 2 1 m δ 3 L.m δ 4 m 3 δ 5
⇒ 1= .( ) + .( − L ).( ) −
2
.( ) − .( ) (C)
2 θ 3 2 θ 4 θ 20 θ
δ m δ 2
1 = L. + .( ) (D)
θ 2 θ
δ m δ 2 L δ 1 m δ L.m δ 4 m 3 δ 5
⇒ 1 = L. + .( ) = 1= .( ) 2 + .( − L2 ).( ) 3 − .( ) − .( )
θ 2 θ 2 θ 3 2 θ 4 θ 20 θ
δ
Posant maintenant : = α
θ
1 1 m L.m 3 m 3 4
⇒ − L + .( L − m).α + ( − L2 ).α 2 − .α − .α = 0
2 3 2 4 20
b- on a :
δ δ /θ δ /θ
u u y y m y y
δ * = ∫ (1 − )dy = θ . ∫ (1 − )d ( ) = θ . ∫ (1 − L. − .[ ] 2 )d ( )
0
U 0
U θ 0
θ 2 θ θ
δ* δ L δ 2 m δ 3
⇒ = − .( ) − .( ) (E)
θ θ 2 θ 6 θ
36
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
La Couche limite
δ* δ*
Entre les équations (C), (D) et (E) ; on peut éliminer : ce qui implique que ne dépend
θ θ
δ*
que de m ⇒ = ψ (m)
θ
c- sur la paroi : y = 0, on a u = v = 0,
⎧ 1 dp ∂ 2u
⎪⎪ − . + ν . =0
ρ dx ∂y 2
⎨
⎪ dp = − ρ .U . dU
⎪⎩ dx dx
∂ 2 u m.U
L’équation (B) donnera : = 2
∂y 2 θ
dU U θ 2 dU
⇒ U. + ν .m. 2 = 0 ⇒m= − .
dx θ ν dx
d- nous avons :
du U.L τ .θ
τ 0 = µ. = µ. ⇒ 0 = L = ϕ ( m)
dy y =0 θ µ.U
U d (θ 2 )
. = − m.[2 + ψ (m)] + ϕ (m)
2ν dx
U d (θ 2 ) 0,45 + 6m U d (θ 2 ) θ 2 dU
. = ⇒ . = 0,45 + 6m = 0,45 - 6. .
2ν dx 2 ν dx ν dx
U d (θ 2 ) θ 2 dU
⇒ . + 6. . = 0,45.ν
ν dx ν dx
d
(U 6 .θ 2 ) = 0,45.ν .U 5
dx
37
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
La Couche limite
0,45.ν
x
⇒θ = 2
6
.∫ U 5 dx
U 0
Posons z = k.x
x 5 5
U 0 kx 5 U z
Si U = U0.Sin(kx) ⇒ ∫ U 0 .Sin 5 (kx)dx = . ∫ Sin (kx)d (kx) = - 0 .∫ Sin 4 z.d (Cosz )
5
0
k 0 k 0
5
U Cos 5 z 2
= − 0 .(Cosz + − .Cos 3 z )
k 5 3
θ 2 dU dU
De même, on a : m = − . avec = U 0 .k .Cos (kx)
ν dx dx
Exercice 8 :
Solution :
1 dU dθ τp
(δ * + 2θ ). . + =
U dx dx ρ .U 2
τp τp 1
Et puisque Cf = ⇒ = Cf
1
.ρ .U 2 ρ .U 2
2
2
⎡ 1 dU dθ ⎤
⇒ Cf = 2.⎢(δ * + 2.θ ). . +
⎣ U dx dx ⎥⎦
Exercice 9 :
Une couche limite se développant sur une plaque plane en écoulement uniforme de vitesse u
dont le profil de vitesse est :
38
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
La Couche limite
u ( x, y )
= F(η ) = 2η − 2η 3 + η 4
U
où η : constante.
δ* θ
1- montrer que les quantités , et τ p .δ sont des constantes dont on donnera les valeurs ?
δ δ
2- déduire de l’intégration de l’équation de Von Karman, la loi de variation de l’épaisseur de
la couche limite δ (x) ?
3- donner les expressions de δ (x)/x, δ * (x)/x et θ (x)/x ainsi que le coefficient de frottement
U.x
τ p (x)/ ρU 2 en fonction du seul nombre de Reynolds local ℜ x = ?
ν
Solution :
δ * ( x) 1 3 A
1- = ∫ [1 − f (η )]dη = −
δ ( x) 0 10 120
δ 2 ( x) dU
Avec : A = .
ν dx
δ* 3
⇒ =
δ 10
θ 1 37 A A2 37
= ∫ [1 − f (η )]. f (η ).dη = − − =
δ 0 315 945 9072 315
U ( x) A
τ p .δ = µ. .(2 + ).δ = 2µ .U
δ ( x) 6
dθ τp
2- l’équation de Von-Karman se réduit à : =
dx ρ .U 2
Après substitution des expressions précédentes, on trouve :
630 ν
δ .dδ = . .dx
37 U
1260 ν .x ν .x
δ ( x) = . ≈ 5,84.
37 U U
39
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
La Couche limite
δ ( x) 5,84
≈
x ℜx
δ * ( x) 1,75
⇒ ≈
x ℜx
θ ( x) 0,69
=
x ℜx
τp 2 ν U 0,34
Et = . . ≈
ρ .U 2
5,84 U ν .x ℜx
Exercice 10 :
u ( x, y )
= a.Cos (αη ) + b.Sin( βη )
U
y
où η = et a, b, α et β sont quatre paramètres à priori fonctions de la seule variable x.
δ (x)
u u u
= = = 2η − 2η 3 + η 4 ?
U∞ U E Ul
Solution :
1- on imposera :
∂u
u(x,0) = 0, V(x,0), u(x, δ ) = U, =0
∂y y =δ
40
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
La Couche limite
u ( x, y )
La première condition amène à a = 0 ⇒ = b.Sin( β .η )
U
π
β= et b = 1
2
le profil de vitesses de la forme prescrite compatible avec trois conditions aux limites, s’écrit :
u ( x, y ) π
= f (η ) = Sin( η )
U 2
θ 1⎡ π ⎤ π 4−π
Et = ∫ ⎢1 − Sin( .η )⎥.Sin( .η ).dη =
δ 0⎣ 2 ⎦ 2 2.π
du U π U
Et τ p = µ . = µ . . f ' (0) = .µ .
dy y =0 δ 2 δ
π2 ν
δ .dδ = . .dx
4 −π U
δ ( x) 2 1 4,8
= π. . ≈
x 4 − π ℜx ℜx
4- la comparaison des résultats obtenus avec les deux formulations est présentée dans le
tableau suivant, en référence aux valeurs de la solution exacte de Blasius :
41
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
La Couche limite
Paramètres δ ( x) δ * ( x) θ ( x) τ p ( x) H
. ℜx . ℜx . ℜx . ℜx
Profil x x x ρ .U 2
π 4,8 1,74 0,66 0,33 2,64
Sin( η )
2
2.η − 2.η 3 + η 4 5,84 1,75 0,69 0,33 2,54
δ ( L) = 5,7mm
δ * ( L) = 2,1mm
θ ( L) = 0,8mm
Exercice 11 :
δ * δ **
Calculer les valeurs des épaisseurs adimensionnelles , ainsi que le rapport de forme H
δ δ
pour le profil de vitesse linéaire :
u ( x, y ) y
= ?
U ( x, y ) δ
Solution :
On a :
u y
=
U δ
δ
y 1 y2
∫ (1 − δ ).dy
δ 1
(y − . δ− δ
δ*
2 δ 2 1
- = 0
= = =
δ δ δ δ 2
0
δ **
- :
δ
Nous avons :
δ δ δ
ρ .u u2 y y2 y y3
δ ** = ∫ .(1 − 2 ).dy = ∫ .(1 − 2 ).dy = ∫ ( − 3 ).dy
0
ρ .U U 0
δ δ 0
δ δ
δ
y2 1 y4 δ2 1 δ4 1
=( − . 3) = − . = δ
2δ 4 δ 0 2δ 4 δ 3 4
42
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
La Couche limite
δ ** 1 1
⇒ = δ /δ =
δ 4 4
δ*
-H=
θ
δ* 1
Avec δ * = .δ = .δ
δ 2
δ δ δ δ
ρ .u u y y y y2 1 y2 1 y3 1
Et θ = ∫0 ρ .U U
(1 − ).dy = ∫0 δ δ
.(1 − ).dy = ∫0 δ δ 2
( − ).dy = ( . − . )
2 δ 3 δ 0 6
2
= δ
1
δ
δ* 2
⇒H= = =3
θ 1
δ
6
Exercice 12 :
u ( x, y ) π
= Sin( .η )
U 2
y
Où η =
δ (x)
δ*
- exprimer les valeurs de , θ / δ et τ p . δ ? Vérifier qu’ils s’agit bien toujours de constantes
δ
pour cet écoulement ?
- calculer la loi d’épaisseur de la couche limite δ (x) ?
Solution :
a- on a :
u π y
= Sin( .η ) avec η =
U 2 δ
u π y
⇒ = Sin( . )
U 2 δ
δ δ δ
u ⎡ π y ⎤ ⎡ 2δ π y ⎤
- δ = ∫ (1 − )dy = ∫ ⎢1 − Sin( . )⎥.dy =
*
⎢ y + π .Cos ( 2 . δ )⎥ =
0
U 0 ⎣
2 δ ⎦ ⎣ ⎦0
2δ π 2.δ 2δ
δ + .Cos − =δ −
π 2 π π
43
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
La Couche limite
2
⇒ δ * /δ = 1− = 0,363 : constante.
π
δ δ δ δ
u u π y π y π y 2 π y
- θ = ∫ (1 − ).dy = ∫0 Sin( 2 . δ ).[1 − Sin( 2 . δ )].dy = ∫0 Sin( 2 . δ ).dy - ∫0 Sin ( 2 . δ ).dy
0
U U
1
Et on a : ∫ Sin 2 xdx = .( x − Sinx.Cosx)
2
1
⇒ ∫ Sin 2 udu = .(u − Sinu.Cosu )
2
2δ ⎡ π ⎤ 2δ ⎡1 π y π y π y ⎤δ
⇒θ = - .⎢Cos − Cos 0⎥ − .⎢ .( . − Sin . .Cos . )⎥ =
π ⎣ 2 ⎦ π ⎣2 2 δ 2 δ 2 δ ⎦0
2δ δ ⎡π ⎤ 2δ δ 2 1
= − .⎢( − 0) − (0 − 0)⎥ = − = δ .( − )
π π ⎣ 2 ⎦ π 2 π 2
2 1 2 1
⇒ θ / δ = δ .( − ) / δ = − ≈ 0,137 : constante
π 2 π 2
π y
∂ (U .Sin( . )
du 2 δ π π y π
- τ P = µ. = µ = µ .U . .Cos ( . ) y =0 = µ .U . .Cos 0
dy y =0 ∂y 2δ 2 δ 2δ
y=0
π
τ P = µ .U .
2.δ
π
⇒ τ P . δ = µ. .U : constante.
2
1 dU dθ τp
(δ * + 2θ ). . + =
U dx dx ρ .U 2
dU
Et puisque U : constante ⇒ =0
dx
dθ τp 2 1
⇒ = avec θ / δ = −
dx ρ .U 2 π 2
2 1 τp
⇒θ =( − ).δ ⇒ dθ = .dx
π 2 ρ .U 2
44
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
La Couche limite
π .U
µ.
π ⎡ 2 1 ⎤ 2δ .dx
Avec τ P = µ .U . ⇒ d ⎢( − ).δ ⎥ =
2.δ ⎣π 2 ⎦ ρ .U 2
⎡ 2 1 ⎤ µ π dx π .ν
⇒ ⎢( − ).dδ ⎥ = . . = .dx
⎣π 2 ⎦ ρ 2 U .δ 2.U .δ
⎡ 2 1 ⎤ µ π dx π .ν
⇒ ⎢( − ).δ .dδ ⎥ = . . = .dx
⎣π 2 ⎦ ρ 2 U .δ 2.U
π ν π2 ν
⇒ ∫ δ .dδ = . .dx = ∫ . .dx
2 1 U 4 −π U
2.( − )
π 2
1 2 π2 ν 2.π 2 ν
⇒ .δ = . .x ⇒ δ 2 = . .x
2 4 −π U 4 −π U
2.π 2 ν ν
⇒ δ ( x) = . .x ⇒ δ ( x) = 4,79. .x
4 −π U U
1
Ou bien δ ( x) = 4,79. .x
ℜx
Exercice 13 :
δ * δ ** θ
Calculer les valeurs de , , H et pour un profil de vitesses linéaire :
δ δ δ
1/ 7
u ⎡ y⎤
=
U ⎢⎣ δ ⎥⎦
Solution :
1/ 7
u ⎡ y⎤
On a : =
U ⎢⎣ δ ⎥⎦
δ δ δ
u y ⎡ 1 7 ⎤ 7 1
a- δ * = ∫ (1 − )dy = ∫ (1 − ( )1 / 7 ).dy = ⎢ y − ( )1 / 7 . . y 8 / 7 ⎥ =δ − δ = δ
0
U 0
δ ⎣ δ 8 ⎦ 0 8 8
δ* 1
⇒ =
δ 8
45
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
La Couche limite
δ δ δ
u u2 u u y y
b- δ = ∫ .(1 − 2 ).dy = ∫ ( − ( ) 3 ).dy = ∫ [( )1 / 7 − ( ) 3 / 7 ].dy
**
0
U U 0
U U 0
δ δ
δ δ
⎡ 1 7 1 7 ⎤ ⎡ 1 7 1 7 ⎤
= ⎢( )1 / 7 . . y 8 / 7 − ( ) 3 / 7 . . y 10 / 7 ⎥ = ⎢( )1 / 7 . .δ 8 / 7 − ( ) 3 / 7 . .δ 10 / 7 ⎥
⎣δ 8 δ 10 ⎦0 ⎣δ 8 δ 10 ⎦ 0
7 7 7
= .δ − .δ = .δ
8 10 40
δ ** 7
⇒ =
δ 40
δ*
c- H =
θ
δ δ δ
u u u u 2 y 1/ 7 y 2/7
Avec θ = ∫0 U (1 − U ).dy = ∫0 [U − (U ) ].dy = ∫0 [(δ ) − ( δ ) ].dy
δ
⎡ 1 7 1 7 ⎤ ⎡7 δ 7 δ ⎤ ⎡7 7⎤
= ⎢( )1 / 7 . . y 8 / 7 − ( ) 2 / 7 . . y 9 / 7 ⎥ = δ . ⎢ .( )1 / 7 − .( ) 2 / 7 ⎥ = δ .⎢ − ⎥
⎣δ 8 δ 9 ⎦0 ⎣8 δ 9 δ ⎦ ⎣8 9⎦
63 − 56 7
= δ[ ]= δ
72 72
1
δ
δ* 72 36 9
⇒H = = 8 = = =
θ 7
δ 56 28 7
72
7
δ
θ 7
d- = 72 =
δ δ 72
Exercice 14 :
Une plaque plane de longueur L est placée parallèlement à un écoulement uniforme de vitesse
U à l’infini.
1- en utilisant les résultats de la solution de Blasius, établir l’expression de la traînée de la
plaque par unité d’envergure en fonction du nombre de Reynolds U.L/ν ?
2- en application du théorème d’Euler à un domaine de fluide que l’on précisera, établir
l’expression de cette même traînée en fonction de l’épaisseur de quantité de mouvement.
Retrouver alors le résultat de la première question ?
3- donner l’expression du champ de vitesse longitudinale dans la zone de sillage des couches
limites an aval de la plaque ?
46
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements transitoires
ECOULEMENTS TRANSITOIRES
Exercice 1 :
Donner la célérité de l’onde de pression provoquée par la fermeture rapide d’une vanne dans
une conduite, tout en supposant que la paroi de la conduite est rigide ?
Solution :
2 2
V1 1 S .L V1
M. = .ω. .
2 2 g 2
Où L : longueur de la conduite
M : masse de l’eau
V1 : vitesse initiale
ω = ρ .g
Le module d’élasticité cubique de l’eau est :
− ∆p − ∆p
ε= =
∆volume volume.initial ∆V / V0
1 1
.ρ .S .L.V1 = .ρ .g .h.S .L.ρ .g.h / ε
2
2 2
V1 .ε
2
2
⇒h = (1)
g 2 .ρ
47
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements transitoires
⇒ h = a.V1/g
V .ε
2 2
a 2 .V1
= 12
g 2
g .ρ
ε
⇒a=
ρ
Exercice 2 :
Calculer l’augmentation de pression produite par la fermeture instantanée d’une vanne sur une
conduite ?
Solution :
ω.Q
Fx = .(V2 − V1 ) avec ω = ρ .g
g
Si on néglige les frottements : la force qui produit la variation de la quantité de mouvement
est : P’.S
ω.Q
⇒ - P’.S = .(0 − V1 ) = ρ .S .a.(0 − V1 )
g
a.V1
⇒ P’ = ρ .g.h' = ρ .a.V1 ⇒ h’ =
g
Exercice 3 :
Comparer les vitesses des ondes de pression circulant le long d’un tuyau rigide contenant :
- de l’eau à 15 °C de module cubique ε B = 2,16.109 Pa. ?
- de l’huile de densité 0,8 et de module cubique 1,38.109 Pa ?
Solution :
ε 2,16.10 9
Pour l’eau : a = = = 1470 m/s
ρ 1000
48
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements transitoires
ε 1,38.10 9
Pour l’huile : a = = = 1310 m/s
ρ 0,8.1000
Exercice 4 :
Calculer la célérité de propagation de l’onde de pression, dans une conduite en acier normal
(E = 2,1.1011 N/m2), où s’écoule de l’eau à 20 °C. ( ρ = 998 kg/m3, ε = 21,39.108 N/m2) ?
Le diamètre de la conduite est de 0,5 m, et l’épaisseur de 6 mm.
Solution :
Nous avons :
ρ
a=
1 1 D
+ .
ε E e
1
⇒ a = 998. = 1077 m/s
1 1 500
8
+ 11
.
21,39.10 2,1.10 6
Exercice 5 :
Même exercice précédant pour une conduite rigide en PVC (E = 2,5.1010 Pa), de diamètre D =
40 cm, et d’épaisseur 2 mm ?
Exercice 6 :
Quelle est l’augmentation de pression produite par l’arrêt brutal de la circulation de l’huile, de
densité 0,85 et de module d’élasticité ε = 1,7.109 Pa, à raison de 0,57 m3/s dans un tuyau
d’acier de 60 cm de diamètre supposé rigide ?
Solution :
Nous avons :
∆ P = ρ .a. ∆ u = ρ .a.u0
ε 1,7.10 9
avec a = = = 1414,2 m/s
ρ 0,85.1000
49
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements transitoires
Exercice 7 :
Solution :
On a :
ε 1,38.10 9
a= = = 1310 m/s
ρ 0,8.1000
600.10 3
⇒ u0 = = 0,572 m/s.
0,8.1000.1310
Exercice 8 :
Si un tuyau d’acier de 60 cm de diamètre et de 2440 m de long, a été conçu pour résister à une
pression de 103 MPa sous une charge statique maximale de 330 m d’eau, de combien la
pression dur les parois du tuyau va-t-elle augmenter quand une vanne à fermeture rapide
arrête le débit de 0,85 m3/s ?
On donne le module d’élasticité de l’acier E = 2.109 Pa.
En supposant que le tuyau est rigide.
Solution :
Nous avons :
∆ P = ρ .a. ∆ u
ε 2.10 9
Avec a = = = 1,41.103 m/s
ρ 1000
Et P = P0 + ∆ P
50
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements transitoires
Exercice 9 :
Solution :
ε 2,16.10 9
a= = = 980 m/s
⎡ ε D⎤ ⎡ 2,16.10 9 1200 ⎤
ρ ⎢1 + . ⎥ 10 ⎢1 +
3
. ⎥
⎣ E e⎦ ⎣ 207.10
9
10 ⎦
Puisque T = 2,5 s < T0 = 6,1 s : il s’agit donc d’un coup de bélier direct
Exercice 10 :
Solution :
On a :
ε
ρ ε 2,07.10 8
a= avec a0 = = = 1425 m/s
ε .D ρ 102
1+
E.e
51
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements transitoires
1425
⇒a= = 1137 m/s
450
1+ .0,01
8
a a
Et nous avons : ∆ P = ρ .a. ∆ h = ρ .g. .u0 car ∆ h = .(u − u 0 )
g g
Exercice 11 :
Solution :
ε
Nous avons : a0 = = 1425 m/s
ρ
ε
ρ 1425
Et a = = = 1142,74 m/s
ε .D 500
1+ 1+ .0,01
E.e 9
Exercice 12 :
Solution :
Nous avons :
∆ P = ρ .a. ∆ u
Avec :
52
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements transitoires
ε 21.10 8
a= = = 935,41 m/s
⎡ ε D⎤ ⎡ 21.10 8 0,6 ⎤
ρ ⎢1 + . ⎥ 10 ⎢1 +
3
. ⎥
⎣ E e⎦ 10
⎣ 18.10 0,005 ⎦
∆u.a 0,196.935,41
Ou bien : ∆ P = = = 18,69 m.
g 9,81
Exercice 13 :
De l’huile circule dans un tuyau en acier de 2440 m de long à raison de 0,57 m3/s, combien
faut-il de temps pour fermer la vanne pour éviter la valeur de coup de bélier maximale ?
On donne :
La densité de l’huile est 0,85 et son module d’élasticité ε = 1,7.109 Pa.
Le tuyau est supposé rigide de 60 cm de diamètre.
Solution :
ε 1,7.10 9
Avec a = = = 1414,2 m/s
ρ 0,85.1000
Pour éviter le coup de bélier maximum, le temps de fermeture de la vanne T doit être
supérieure à 3,45 s
T > 3,45 s.
Exercice 14 :
La longueur d’une tuyauterie d’acier entre le réservoir et la vanne est L = 1800 m, le diamètre
D = 450 mm, l’épaisseur e = 6 mm. Le débit circulant est Q = 127 l/s.
Déterminer l’élévation maximale de la pression ∆ Pmax prés de la vanne à sa fermeture
progressive durant T = 3 s et à la loi linéaire de la variation de la vitesse ?
53
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements transitoires
Solution :
On a : T0 = 2L/a
ε
Avec a0 = = 1425 m/s
ρ
ε
ρ 1425
a= = = 1077,18 m/s
ε .D 450
1+ 1+ .0,01
E.e 6
⇒ ∆ Pmax = ρ .a. u0
Exercice 15 :
Une conduite de 460 m de long et de 1,2 m de diamètre, véhiculant de l’eau à une vitesse de
0,6 m/s, et la célérité de l’onde qui la traverse est de 1143 m/s.
Calculer la valeur maximale de coup de bélier sur la vanne et à 152 m et à 304 m de la vanne :
- si la vanne est brusquement et complètement fermée ?
- si la vanne est brusquement et partiellement fermée réduisant la vitesse à 0,18 m/s ?
Exercice 16 :
Une conduite de 300 m de long, où l’eau s’écoule à 0,8 m/s dont la célérité de l’onde est de
1000 m/s.
Calculer la valeur maximale du coup de bélier sur la vanne, et à 100 m et à 200 m de la
vanne :
- si la vanne est fermée complètement et ?
- si la vanne est brusquement et partiellement fermée permettant la réduction de la vitesse à
0,2 m/s ?
Exercice 17 :
De l’eau s’écoule à une vitesse de 3,048 m/s dans une conduite de 122 m de long, de 0,2 m de
diamètre et de 6 mm d’épaisseur.
54
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements transitoires
Exercice 18 :
Nous supposons que la célérité de l’onde dans une conduite est de 975 m/s. si cette conduite
est de 610 m de long, et de 1,2 m de diamètre, calculer la valeur maximale du coup de bélier
sur la vanne, et à 910 m du réservoir pour :
- la vanne est partiellement fermée en 4 s permettant le débit de passer de 0,85 m3/s à 0,28
m3/s ?
- le débit initial est de 0,42 m3/s et la vanne est complètement fermée en 1 s ?
Exercice 19 :
Solution :
Nous avons :
ε 21.10 8
a= = = 1135,05 m/s
⎡ ε D⎤ ⎡ 21.10 8 0,3 ⎤
ρ ⎢1 + . ⎥ 10 ⎢1 +
3
. ⎥
⎣ E e⎦ ⎣ 2.1011 0,005 ⎦
55
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements transitoires
1
a. Q0 / S
∆u.a a.Q0 1135,05.0,2
Ou bien ∆ hmax = = 2 = = = 163,77 m
g g 2 g.S 0,3 2
2.9,81.π .
4
Exercice 20 :
Une conduite en acier de longueur L = 2 km, et de diamètre D = 300 mm, reliant un réservoir
et une vanne, et véhiculant un débit Q = 100 l/s.
Déterminer l’élévation maximale de la pression sur la vanne, si elle se ferme progressivement
pendant 4 s ?
Sachant que la loi de variation de la vitesse est linéaire.
On prend :
e = 5 mm.
ε = 21.108 N/m2.
E = 2.1011 N/m2.
Solution :
Nous avons :
ε 21.10 8
a= = = 1135,05 m/s
⎡ ε D⎤ ⎡ 21.10 8 0,3 ⎤
ρ ⎢1 + . ⎥ 10 ⎢1 +
3
. ⎥
⎣ E e⎦ ⎣ 2.1011 0,005 ⎦
T0 = 2.2000/1135,05 = 3,52 s
Donc T0 = 3,52 s < T = 4 s.
Il s’agit donc d’un coup de bélier indirect.
Ou bien :
2 L.u 0 2 L.Q0 / S 2.2.10 3.0,1
∆ hmax = = = = 144,28 m
g.T g.T 0,3 2
9,81.4.π .
4
Exercice 21 :
Calculer l’augmentation de pression produite par le fermeture partielle d’une vanne montée
sur une conduite en acier de module d’élasticité E = 205.109 Pa, d’épaisseur e = 2 mm, de
diamètre D = 70 cm et de longueur L = 2 km, véhiculant de l’eau à 20 °C de module
d’élasticité ε = 21,39.108 Pa à un débit Q0 = 0,8 m3/s, sachant que la fermeture partielle de la
vanne conduit à une réduction de 50% de la vitesse pendant 4 s ; et cela pour les deux cas :
56
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements transitoires
Solution :
a- conduite régide :
La célérité de l’onde est :
ε 21,39.10 8
a= = = 1,46.103 = 1462,5 m/s
ρ 1000
2 .L 2L 1 2 L 1 Q0 2.10 3.0,8
⇒ ∆ Pmax = .(u − u 0 ) = . .u 0 = . . = = 106 m
g .T g .T 2 g .T 2 S π .0,7 2
9,81.4.
4
∆ Pmax = 106 m ≈ 1,06 MPa ≈ 10,6 bars
b- conduite élastique :
La célérité de l’onde :
ε 21,39.10 8
a= = = 678,2 m/s
⎡ ε D⎤ ⎡ 21,39.10 8 700 ⎤
ρ ⎢1 + . ⎥ 10 ⎢1 +
3
. ⎥
⎣ E e⎦ ⎣ 205.10 9 2 ⎦
1 Q
a. . 0
a.Q0 678,2.0,8
∆ Pmax = a.(u - u0)/g = 2 S = 2
= = 71,89 m
g D 0,7 2
2 g.π . 2.9,81.π .
4 4
57
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements transitoires
Exercice 22 :
Exercice 23 :
D (S)
d (s)
⎧ L = 16km
⎪
On donne ⎨s = 16m 2
⎪ D = 16m
⎩
Solution :
dV S d 2 h
⇒ = . 2 (3)
dt s dt
58
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements transitoires
En remplaçant (1) dans (2), et faisant égalité des forces de pression aux forces d’inertie, on
trouve :
dV
⇒ − ρ .s.L. = S .ρ .g .h (4)
dt
L.S d 2 h
. +h=0
g .s dt 2
t
h = h0.Sin( 2.π )
T
L L.s
h0 = m Q0 . = m v0 .
s.g.S g.S
Exercice 24 :
Solution :
t
h = h0.Sin( 2.π )
T
L.S
Avec T = 2.π .
g.s
59
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements transitoires
dh s dh 2π t
On a : s.V0 = S. ⇒ .V0 = = .h0 .Cos (2π . )
dt S dt T T
2π s 2π
Pour t0 = 0 ⇒ Cos( .0 ) = 1 ⇒ V0 = h0
T S T
2- l’équation précédente (n°1) n’est valable que pour des niveaux ne dépassant pas la hauteur
de la cheminée (20 m), si non ; on considère que la force de pression reste constante :
dV L dV
ρ .S .L. + ρ .g.S .h1 = 0 ⇒ . + h1 = 0
dt g dt
Avec h1 = 20 m.
g .h1 .t
⇒ V = V1 - (2)
L
T1
s.g .h1 2
Le volume déversé U = ∫ s.V .dt = s.V .T
0
1 1 −
2L
.T1
V1 .L
D’après (2) : T1 =
g .h1
2 2 2
s.V1 .L s.g .h1 V1 .L s.V .L
⇒U= − . 2 2 = 1
g .h1 2 L g .h1 2 g .h1
S dh S 2π 2π .t 2π .t1
V= . = .h0 . Cos ( ) = V0 .Cos ( )
s dt s T T T
60
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements transitoires
t1
on a : Sin( 2.π ) = h1/h0 = 20/33,9 = 0,59
T
⇒ t1 = 98,48 s
U = 3740 m3.
T1 = 194 s.
⎧V = 3m / s
Avec bien sure : ⎨ 0
⎩T = 981s
Exercice 25 :
On désire fermer un orifice de section s0, situé à l’extrémité avale d’une conduite longue, de
section S, de telle sorte que le débit décroisse linéairement en fonction du temps.
1- déterminer la loi de pression devant l’orifice pendant la fermeture, en supposant que le
coefficient de débit m est constant ?
s
2- quelle doit être la loi de fermeture de l’orifice en fonction du temps : ?
s0
On admettra que la durée T de fermeture est inférieure au temps que mettent les ondes de
pression émises depuis l’orifice, pour y revenir après réflexion sur l’extrémité amont de la
conduite ?
Solution :
qv = m.s. 2 g.h
a a
dh = − du = − dq v
g g .S
h t
a a qv 0
⇒ dh =
g .S .T
.q v 0 .dt ⇒ ∫ dh = ∫
h0 0
. .dt
g.S T
61
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements transitoires
a.q v 0
⇒h= .t + h0
g .S .T
a.q v 0 a.u 0
En fin de fermeture : t = T ⇒ h1 = + h0 = + h0
g.S g
a.u 0 a.q v 0
∆h = h1 − h0 = =
g g.S
2- Nous avons :
qv = m.s. 2 g.h
2 2
qv qv 0 t
⇒h= 2 2
= 2 2
.(1 − ) 2
m .s .2 g 2 g.m .s T
a.q v 0 t
Avec h = h0 + .
g.S T
2
a.q v 0 t qv 0 t
⇒h0 + . = 2 2
.(1 − ) 2
g.S T 2 g.m .s T
2
qv0
A t = 0, nous avons : qv0 = m.s0. 2 g .h0 et h0 =
2 g.m 2 .s 2
⎡ t ⎤
(1 − ) 2
qv 0 ⎢ ⎥
2
a.q v 0 .t T − 1
⇒ = 2 ⎢
. 2 2 ⎥
g .S .T 2 g .m ⎢ s s0 ⎥
⎣⎢ ⎦⎥
t
1−
s T
La loi de fermeture est donnée par : =
s0 2
2.a.m 2 .s 0 t
1+ .
q v 0 .S T
On peut écrire aussi :
t t
1− 1−
s T T
= =
s0 a.u 0 t ∆h t
1+ . 1+ .
g.h0 T h0 T
62
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements transitoires
Exercice 26 :
Un manomètre est constitué par deux tubes verticaux de diamètre D, reliés par un tube plus
fin de longueur L et de diamètre d.
En admettant que les pertes de charge dans ce dernier tube sont à chaque instant, égales à
celles d’un écoulement laminaire permanent, calculer la condition pour laquelle, la viscosité
du liquide réalise l’amortissement critique ?
D D
Solution :
π .d 2
m = ρ .L.
4
dV d 2 dV
− m. = − ρ .L.π . .
dt 4 dt
π .d 2
⇒ ∆P. = 8π .ρ .L.ν .V
4
63
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements transitoires
π .d 2 dV π .d 2
⇒ ρ .L. . + ρ .g . .h + 8π .ρ .L.ν .V = 0 (1)
4 dt 4
π .d 2 1 D 2 dh D 2 dh
V. = .π . . ⇒V = .
4 2 4 dt 2.d 2 dt
dV D2 d 2h
⇒ = . (2)
dt 2d 2 dt 2
1 D2 d 2h L.ν .D 2 dh
. 2 . 2 + 16. . +h=0
2 g d dt g.d 4 dt
Cette dernière, est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants,
de type :
d 2h dh
A. 2
+ B. + C.h = 0
dt dt
2
Où l’amortissement critique est obtenu avec : B = 4.A.C
L.ν 2 .D 2
⇒ 128. =1
g.d 6
L.ν 2 .D 2
Et le système sera oscillatoire si 128. <1
g.d 6
Exercice 27 :
On opte pour une cheminée d’équilibre pour protéger une conduite en fonte de 800 m de long,
et de 1,5 m de diamètre, contre le coup de bélier. La cheminée est placée sur la conduite à 35
m au dessous de la surface libre du château d’eau.
Pour un débit de 12 m3/s dans la conduite, quel est le diamètre minimal à donner au cheminée
pour éviter de dépasser 18,5 m au dessus de la surface libre du château d’eau ?
On donne le coefficient de perte de charge dans la conduite C = 11,1 ; et on néglige les effets
de l’inertie et les pertes dans la cheminée.
64
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements transitoires
zmax
D (A)
z=0
z0
d (S)
Solution :
Normalement le niveau dans la cheminée se stabilise à z = 0 (même niveau que celui dans le
château d’eau) mais à cause des pertes de charge dans la conduite, le niveau se stabilise à z0
(inférieur à z).
Nous avons :
2
V
-z0 = C. 0 avec C : coefficient de perte de charge.
2g
dV
⇒ − m. = S .ρ .g.z + S .ρ .g.∆z
dt
2 2
V V
Et puisque m = ρ .S .L et ∆z = z − z 0 = 0 − −C. 0 = C. 0
2g 2g
dV V2
⇒ − ρ .S .L. = S .ρ .g .z + S .ρ .g.C.
dt 2g
2
V0 L dV
⇒ z + C. =− .
2g g dt
Si on donne
S : section de la conduite
A : section de la cheminée
65
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements transitoires
dz A dz
S.V = A. ⇒V= .
dt S dt
2
V L S dV
⇒ -z = C. 0 + . .V .
2g g A dz
2
V0 L A d 2z
⇒ z + C. =- . . 2
2g g S dt
2 2
L A d 2z V0 C A 2 ⎡ dz ⎤
⇒ . . 2 + z = - C. =- . .
g S dt 2g 2 g S 2 ⎢⎣ dt ⎥⎦
2
V L S dV
Ou bien –z = C. 0 + . .V .
2g g A dz
−C . A
2 2 g ⎡ L.S ⎤ .z
V = .⎢ − z ⎥ − C1 .e L. S
(1)
C ⎣ C. A ⎦
2 g ⎡ L.S V0 ⎤
−C . A 2 C.A V
2 g ⎡ L.S
2 ⎤ . z0 .C . 0
⇒V = .⎢ − z 0 ⎥ − C1 .e L.S
= .⎢ + C. ⎥ − C1 .e L. S 2g
C ⎣ C. A ⎦ C ⎢⎣ C. A 2 g ⎥⎦
C2.A 2
2 g.L.S .V0
⇒ 2 = C1 .e 2 g .L.S (2)
C .A
−C . A
2 g ⎡ L.S ⎤ . z max
⇒0= .⎢ − z max ⎥ − C1 .e L. S
C ⎣ C. A ⎦
−C . A
2 g ⎡ L.S ⎤ . z max
⇒ .⎢ − z max ⎥ = C1 .e L.S
C ⎣ C. A ⎦
−C . A
2 g L.S 2 g . z max
⇒ . − .z max = C1 .e L.S
(3)
C2 A C
66
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements transitoires
C2.A
2 g L.S − 2 g .L.S .V0
2
C1 = . .e
C2 A
Nous remplaçons maintenant dans (3) :
C2.A C. A
2 g L.S − 2 g .L.S .V0 −
2
2 g L.S 2 g . z max
⇒ 2. − .z max = 2 . .e L.S
C A C C A
C. A V0 2
C. A − .( C . + z max )
⇒ 1- .z max = e L.S 2 g (4)
L.S
C. A
⇒ .z max < 1
L.S
Application numérique :
12
V0 = Q0/S = = 6,79 m/s
π .1,5 2 / 4
V2 6,79 2
z0 = -C. = -11,1. = -26,09 m : − 26,09 < 35
2g 2.9,81
zmax = 18,5 m
A C. A C.A V 2
− .( C . 0 + z max )
1- .z max e L.S 2g
L.S
6,88 0,00064 0,08994
6,80 0,01226 0,09249
6,00 0,12847 0,12239
6,06 0,11975 0,11985
⇒ A ≈ 6,06 m2 ⇒ d = 2,78 m.
Exercice 28 :
67
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements transitoires
Trouver le diamètre minimal à donner au cheminée pour éviter que l’eau ne dépasse pas les
20 m au dessus de la surface libre du réservoir ?
On donne le coefficient des pertes de charge dans la conduite C = 10,2 ; et en négligeant les
effets de l’inertie, et les pertes de charge dans la cheminée.
Le débit véhiculé par la conduite est Q = 15 m3/s.
zmax = 20 m
z=0
z0
30 m D=2 m
L=2m
Solution :
Nous avons :
−C . A v 2
C. A .( C . 0 + z max )
1− .z max = e L.S 2g
L.S
C. A
⇒1> .z max
L.s
15
Avec v0 = Q0/s = 2
= 4,78 m/s
π .2 4
Où − 11,88 < 20 m
22
2000.π .
C. A L.S 4 = 30,78 m2.
Et 1 > .z max ⇒ A < 1 > =
L.s C.z max 10,2.20
⇒ 1-0,0325.A = e-0,0518.A
C’est une équation transcendante, pour la résoudre, on utilise les itérations successives :
68
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements transitoires
A 1-0,0325.A e-0,0518.A
30,78 -0,00035 0,203
30 0,025 0,2114
20 0,35 0,3548
19,8 0,3565 0,3585
19,7 0,35975 0,3604
19,6 0,363 0,3623
19,65 0,36137 0,36136
Donc A = 19,65 m2 = π .d 2 / 4
4.19,65
⇒d= = 5,0032 ≈ 5 m.
π
Exercice 29 :
D
Réservoir
Cheminée
Solution :
Il s’agit d’une oscillation en masse de la masse d’eau existante dans la conduite, entre le
réservoir et la cheminée.
- La masse d’eau dans la conduite est : m = ρ .s.L
- les forces d’inertie aux quelles est soumise cette masse :
dV dV
− m. = − ρ .s.L.
dt dt
69
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements transitoires
s. ρ .g.h
dV
⇒ s. ρ .g.h = − ρ .s.L. (1)
dt
D’après l’équation de continuité :
dh dV S d 2 h
s.V = S. ⇒ = . 2
dt dt s dt
L.S d 2 h
⇒ . +h=0
g .s dt 2
S d 2h
s. ρ .g.h = − ρ .s.L. . 2
s dt
Pour que la masse oscille entre la cheminée et le réservoir, la solution de la dernière équation
est de type :
2πt
h = h0.Sin( )
T
L S
Où la période des oscillations est T = 2π . .
g s
L L
Et leur amplitude est h0 = m Q0 . = m Q0 .
s.g.S π 2
2
.g.d 2 .D 2
4
12.10 3
⇒ h0 = m 1. = 5,94 m
π2 2 2
.9,81.1,5 .5
42
⇒ ∆ h = 5,94 m.
Exercice 30 :
70
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Ecoulements transitoires
Si on ferme rapidement la vanne qui se trouve juste après la cheminée, en négligeant les
pertes de charge :
- calculer la période des petites oscillations de l’ensemble ?
- calculer l’élévation maximale de l’eau dans la cheminée ?
Hmax
Solution :
Nous avons :
L 20.10 3
H0 = m Q0 = m3 = m 172,56 m
s.g .S 22 0,5 2
π . .9,81.π .
4 4
L.s
Ou bien h0 = m v0. = m 172,56 m
g.S
71
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus
Références bibliographiques
Références bibliographiques
1 P.Chassaing, Mécanique des fluides : éléments d’un premier parcours, Edition Cépadués,
Toulouse 1997.
2 J.Coirier, Mécanique des milieux continus : concepts de base, Edition Dunod, Paris 1997.
3 S.Candel, Problèmes résolus de mécanique des fluides, Edition Dunod, Paris 1995.
4 J.Bouttes, Mécanique des fluides, Edition Marketing, Paris 1988.
5 L.Landau et E.Lifchitz, Physique théorique : mécanique des fluides, Edition Mir, Moscou,
1994.
6 M.Damou, Mécanique des fluides, Edition OPU, Alger 1994.
7 C.Grossetete, Mécanique des fluides, Edition Ellipses, Paris 1991.
8 M.A.Morel et J.P.Laborde, Exercices de mécanique des fluides : tome 1 et 2, Edition
Eyrolles, Paris 1994.
9 R.Comolet, Mécanique expérimentale des fluides: tome 1,2,et 3, Edition Masson, Paris
1994.
10 Researche & education association, Problem solvers: fluid mecanics, USA 1996.
11 I.L.Ryhming, Dynamique des fluides, Presses polytechniques modernes, Lausanne 1985.
12 J.Padet, Fluides en écoulement, Edition Masson, Paris 1991.
13 R.K.Zeytounian, Modélisation asymptotique en mécanique des fluides Newtoniens, Edition
Springer-Verlag, Villeneuve d’Ascq (France) 1994.
14 L.Debnath et D.N.Riahi, Nonlinear instability, chaos and turbulence, Edition WIT press,
Canada 1998.
15 L.Loukarfi, Exercices resoles de mécanique des fluides, Edition El-Oumma, Alger 1999.
16 N.Midoux, Mécanique et rhéologie des fluides, Edition Lavoisier, Paris 1985.
17 J.B.Franzini et E.J.Finnemore, Fluid mecanics, Edition McGraw-Hill companies, USA
1997.
18 B.N.Chetverushkin and al., Experimentation, modelling and computation in flow,
turbulence and combustion: tome 2, Edition John wiley & sons Lrd. Chichester (England)
1996.
19 A.Pemenov et Kh.Tagui-zade, Hydraulique générale, Edition OPU, Alger 1993.
20 L.W.Mays, Hydraulic design handbook, Edition McGraw-Hill companies, USA 1999.
21 H.Lumbroso, Mécanique des fluides, Edition Dunod, Paris 1996.
22 Edmond A.Brun, André Martinot-Lagarde et Jean Mathieu, Mécanique des fluides, Edition
Dunod, Paris 1970.
72
Mécanique des fluides approfondie : Exercices résolus