Point Fixe
Point Fixe
Point Fixe
Faculté de Technologie.
1 But
Dans ce TP, nous nous intéressons à la résolution numérique des équations non linéaires de
type g(x) = x , où g est une fonction non linéaire. Pour résoudre ce type de problème, on utilise
la méthode du point xe (résolution d'équations du type g(x) = x). Cette méthode numérique
est une méthode itérative : à partir d'une donnée x0 , on construit x1 puis x2 , puis, pas à pas,
les premiers termes de la suite xk , k ∈ N.
Numériquement il faut pouvoir arrêter l'algorithme une fois que celui-ci a convergé, c'est-à-
dire une fois que xn est susamment proche de la solution exacte (notée x ). Nous allons pour
cela dénir des critères d'arrêt. Pour une tolérance donnée, il faudrait pouvoir vérier que le
module de la diérence entre la solution exacte et la solution approchée est inférieur à , c'est
à dire que :
|xn − x| <
Cependant, comme, en général, la solution exacte x n'est pas connue, ce critère n'est pas
exploitable numériquement. Il existe quand même deux types de critères d'arrêt utilisables en
pratique :
1. Contrôle du résidu : les itérations s'achèvent dès que :
|f (x)| < (ou |g(xn ) − x| < )
1
2.2 Nombre maximal d'itérations
En plus d'un de ces critères d'arrêt, il faut pouvoir arrêter l'algorithme lorsque celui-ci diverge
ou lorsque la convergence est trop lente. On va alors dénir le nombre d'itérations maximal
Nmax . L'algorithme s'arrêtera dès que n > Nmax .
Le calcul de l'erreur sert d'une part à vérier les estimations théoriques, et, d'autre part à
comparer la vitesse de convergence des diérentes méthodes pour approcher la solution exacte
x. Ainsi, en plus du calcul d'une approximation de x on a parfois besoin de calculer l'erreur à
chaque étape de l'algorithme en = |xn − x|.
De nouveau, en général, x n'est pas connue (même si x est connue sa valeur sera approchée
par l'ordinateur (par exemple si x = π )). En pratique, on calculera un vecteur e tel que en =
|xn − xa |.
1. xa vaut x si x est connue.
2. xa est une valeur approchée de x aussi précise que possible (calculée avec une tolérance
très petite) sinon.
3 Algorithmique
On souhaite calculer une valeur approchée d'un point xe d'une fonction g à partir de choix
d'un point x0 donné. Le point xe doit être calculé avec une précision de donnée.
Quels sont les paramètres d'entrée ?
- Quels sont les paramètres de sortie ?
Dénir un critère d'arrêt pour cet algorithme,
2
Figure 2 (Exemple 2) Méthode du Point-xe.
4 Travail à réaliser
g : la fonction étudiée,
zero : la racine trouvée par la méthode,
x0 : le point initial,
erreur : l'erreur estimée,
Nmax : le nombre maximal d'itérations,
niter : le nombre d'itérations eectuées,
: le critère d'arrêt (erreur tolérée).
4.2 Algorithme :
3
itérations et on s'arrête ;
5. Sinon, on passe à l'étape 2 pour une nouvelle itération n + 1 (n devient n + 1).
4.3 Application :
a). Considérons l'équation non linéaire : f (x) = x3 + 4x2 − 10 = 0, qui admet une racine x0
dans l'intervalle [1, 2].
Trouvez trois façons d'écrire f = 0 sous la forme d'un point-xe (g1 , g2 et g3 ) ?
1. on fait un plot des (g1 avec x) , (g2 avec x) et (g3 avec x).
2. Appliquez la fonction Matlab `pointxe.m' que vous avez créé sur g1 (x), g2 (x) et g3 (x), en
mettant : x0 = 1.5,=0.001, Nmax = 50.
3. Quelle est la fonction (g1 , g2 ou g3 ) qui donne la convergence la plus rapide.
5 Exercice
Sous Matlab, appliquer la méthode du point xe pour résoudre l'équation suivante :
f (x) = x − cos(x), avec [a, b]=[0, 1], =10−3 .