TD n° 4 : Electrocinétique, décomposition d’un signal périodique en série de

Fourier et filtrage linéaire

A. Electrocinétique
Exercice 1

On se propose de déterminer la réponse indicielle du R

circuit suivant : e(t) C u(t)
1. Etablir l’équation différentielle reliant u(t) à
e(t).
2. La réponse indicielle est définie comme étant
la réponse u(t) du circuit en fonction du temps lorsque l’on soumet le circuit à un échelon
de tension de forme : - Pour t <0, e(t) = 0
- Pour t >0, e(t) = E
3. Quel est le temps de réponse à 5 % de ce circuit ? Définir celui-ci puis le calculer.
Exercice 2
Dans le circuit linéaire suivant, le courant d’entrée i L
e C R
ie fonction du temps t, est la grandeur d’entrée. us
La tension us est la grandeur de sortie.
1. Etablir l’équation différentielle reliant ie et
us.
2. Trouver deux solutions particulière en de cette équation correspondant aux deux cas :
- ie = I 0 continu
- ie = I1 sin(ω t )
3. Quelle est la solution en us si l’entrée en courant est ie = I 0 + I1 sin(ω t ) ?
Exercice 3
A. Un dipôle R-C constitué d’un condensateur de capacité C en série avec une résistance R est
disposé en série avec une source de tension de f.e.m. constante et de résistance r. Le
condensateur est initialement déchargé et on bascule l’interrupteur fermant le circuit à t= 0.
1. Schématiser la situation de l’énoncé
2. Déterminer i(t) l’intensité circulant dans le circuit.
3. En déduire la tension aux bornes du dipôle R-C.
B. En ajoute en supplément une résistance R’ en dérivation du dipôle R-C. Le condensateur
est initialement déchargé et on bascule l’interrupteur fermant le circuit à t= 0.
1. Montrer que l’on peut se ramener au même type de montage qu’à la 1ère question.
2. En déduire la nouvelle tension u(t) aux bornes du dipôle R-C.
Exercice 4
On se propose de déterminer la puissance P dissipée dans une
impédance Z quelconque. Pour cela, on considère le montage
de la figure (méthode dite des trois voltmètres) : r est une
résistance, les trois voltmètres mesurent les tensions efficaces
U1, U2 et U3. Exprimer la puissance P dissipée par l’impédance
Z en fonction de r, U1, U2 et U3.
Exercice 5
Un générateur de Thévenin a une force électromotrice e(t ) = E 2 cos(ω t ) et une impédance
Z = R + jX . Il est branché sur un dipôle d’utilisation Z' = R'+ jX' .
1. Schématiser la situation.
2. Quelle est la puissance moyenne P consommée dans le dipôle d’impédance Z’.
3. Pour Z fixée, quelle est la valeur de Z’ que l’on doit choisir pour que la puissance
dissipée dans le récepteur soit maximal.
4. Quel est l’intérêt d’un tel choix.
B. Décomposition d’un signal périodique en série de Fourier

Exercice 6 : Signal carré impair

Déterminer la série de Fourier d’un signal carré impair de valeur moyenne nulle et d’amplitude crête à crête
égale à 2E. L’origine des temps est choisie de telle sorte que le signal est impair. Calculer les coefficients du
développement de Fourier.

Exercice 7 : Signal triangulaire pair

Déterminer la série de Fourier d’un signal triangulaire pair de valeur moyenne nulle et d’amplitude crête à
crête égale à 2V. L’origine des temps est choisie de telle sorte que le signal est pair. Calculer les coefficients
du développement de Fourier en remarquant que la dérivée d’un signal triangulaire donne un signal carré de
même période.
Que remarque-t-on ?

Exercice 8 : Signal rectangulaire impulsionnel pair

Soit le signal périodique formé par la répétition périodique (période T) d’impulsion de durée τ (représenté
τ
sur la figure). On définie le rapport cyclique par α =
T

u(t)
τ
E

t
-τ /2 0 τ /2 T

1. Déterminer les coefficients an et bn de la décomposition en série de Fourier.

2. Pour un signal carré, montrer que les harmoniques paires s’annulent à l’exception de l’ordre
0.
Existe-t-il d’autres valeurs du rapport cyclique pour lesquelles cette propriété est vraie ?
3. Commenter l’évolution des coefficients du développement au fur et à mesure que la durée de
l’impulsion diminue.

C. Filtrage linéaire

Exercice 9 : Filtre passif (I)

1. Exprimer la fonction de transfert H du filtre de la

figure en fonction de x = RC ω.
2. Tracer le diagramme de Bode du filtre.
3. Quel est son intérêt ?

Exercice 10 : Filtre passif (II)

1. Exprimer la fonction de transfert H du filtre

de la figure en fonction de x = RC ω.
2. Tracer le diagramme de Bode du filtre.
3. Quel est son intérêt ?
Exercice 11 : Filtre actif (I) C'

Le filtre actif ci-contre utilise un AOP idéal en

régime linéaire alimenté en entrée par une tension R'
sinusoïdale de pulsation ω. On donne : C
R = 10 kΩ , R’ = 100 kΩ , C = 50 nF et C’ = 10 nF R

1. Déterminer la fonction de transfert de ce

circuit et la mettre sous la forme : ve
a vs
H ( jω ) =
ω ω
1 + j( − 2 )
ω1 ω
Identifier les paramètres a, ω1 et ω2.
2. Montrer que pour une fréquence f0 donnée (que l’on calculera), le gain G passe par un maximum
G0 à préciser. Quel est alors le déphasage entre ue et us.
3. Tracer les diagrammes de Bode du filtre (asymptotique puis réel pour le gain en dB et la
phase)
4. Calculer la bande passante de ce filtre.
5. Définir et calculer littéralement puis numériquement son facteur de qualité Q.

Exercice 12 : Filtre actif (II)

R
Un AOP idéal fonctionne en régime linéaire C'
R
sinusoïdal avec le montage représenté ci-contre :

1. Etablir l’expression de la fonction de transfert H

en fonction des paramètres R, C et C’.
2. Déterminer les relations entre C et C’ pour que le ve C
1
G= vs
gain puisse s’écrire : ω4 . R
1+ 4 C
ω0
3. Donner l’expression de ω0 sachant que
C = 100 nF et R = 1 kΩ, calculer C’ainsi que f0 ,
la fréquence correspondant à ω0
4. Avec la valeur de C’ précédemment calculée donner les équation des asymptotes de la phase et du gain en
dB : GdB en fonction de log(ω) aux basses et hautes fréquences. Tracer rapidement les diagrammes de Bode.
5. Indiquer le rôle de ce filtre. Déterminer la pulsation ωC et la fréquence de coupure fC de ce filtre.

Exercice 13 : Filtre déphaseur

1. On envisage le circuit de la figure où l'amplificateur opérationnel est

idéal et en fonctionnement linéaire.
1 − jRCω
Montrer que la fonction de transfert vaut : H ( jω ) =
1 + jRCω
2. Déterminer son module H ( jω ) et son argument ϕ .
3. À quelle condition le circuit se comporte-t-il comme une ligne à retard c'est-à-dire retarde-t-il un signal
quelconque d'une durée τ c'est-à-dire engendre-t-il s(t) = e(t - τ ) ?
Exercice 14 : principe de la modulation d’amplitude

A partir d'un signal e(t ) = E cos( Ω t ) et d'une porteuse haute fréquence p (t ) = S sin ( ω 0t ) ( ω 0 > > Ω ), on
génère le signal modulé s(t ) = S (1 + ke(t ) ) sin ( ω 0t ) , porteur de l'information initiale et qui sera transmis.
1. On définit le taux de modulation par m = kE . Représenter le signal modulé en amplitude s(t) dans les
deux cas m<1 et m>l.
2. Représenter la décomposition spectrale du signal s(t) .
3. Reprendre la question précédente lorsque l'information
à transmettre e(t) possède un spectre continu, analogue à
celui de la figure ci –contre.
4. Un circuit multiplieur délivre à sa sortie la tension
u (t ) = ks(t )e0 (t ) où e0 (t ) = E0 sin ( ω 0t ) est de même
pulsation que la porteuse. Exprirner u(t) et préciser les
différentes cimposantes de son spectre
e) Comment recueillir le signal initial

Exercice 15 : Action d’un filtre sur les harmoniques d’un signal

−1
H ( jω ) = 2
Un filtre a pour fonction de transfert :  ω  ω
1 −   + j 5
ω0 ω0

1. Quelle est la nature du filtre ? Quelle est la fréquence de coupure ? On donne ω 0 = 1,2 105
rad. s-1.
2. Trouver la tension de sortie vs en régime forcé et commenter éventuellement le résultat sachant
que le signal d’entrée ve est (v0 et v1 sont des constantes):
a) ve (t ) = v0 cos( ω 0t )
b) ve (t ) = v0 cos( ω t )
c) ve (t ) = v0 cos( ω t ) + v1
d) ve (t ) = v0 cos( ω 0t ) + v1 cos( 2ω 0t )
e) ve(t) est le créneau représenté ci contre, de période T = 10-3 s . Sa
décomposition en série de Fourier est :
E +∞ 2E  2π 
ve (t ) = + ∑ sin  ( 2 p + 1) t
2 p= 0 π ( 2 p + 1)  T 
f) ve(t) est toujours le même créneau, mais de période T = 10-5 s .

Exercice 16 : Filtre pseudo-intégrateur

Soit le circuit présenté ci-dessous. L'amplificateur opérationnel est idéal et fonctionne en régime linéaire.

1. Calculer sa fonction de transfert.

2. Montrer qu'il s'agit d'un intégrateur. On donnera la relation entrée-sortie en régime quelconque.
3.Si ve (t ) = v0 + v1 cos( ω t ) , que vaut le signal de sortie ? Commenter.
4. On rajoute une résistance R' >> R en parallèle sur la capacité. Montrer que le circuit est alors un pseudo-
intégrateur dans un domaine de pulsations qu'on précisera. On donne : R = 10 k Ω , R' = 100 k Ω et C = 0,1 p F.
5. Que vaut le signal de sortie pour le signal ve (t ) = v0 + v1 cos( ω t ) vérifiant la condition avec R'Cw >> 1 ?
6. Et pour le créneau représenté ci - dessus Préciser notamment l'amplitude de variation du signal de sortie. On
supposera T<< R'C.
Exercice 17 : Filtre Sallen-Kay
On considère le filtre suivant :

R1
_
A B
C C
e(t) R2 +
s(t)

Données : R1 = 1 kΩ ; R2 = 1 kΩ et C = 47 nF
1. Etudier qualitativement le comportement à basse et haute fréquence de ce filtre de ce filtre.
Quelle est la nature de ce filtre ?
2. Calculer la fonction de transfert H ( jω ) du filtre en fonction de R1, R2, C et ω .
1
3. On pose ω 0 = .Calculer numériquement ω 0 . En déduire la fréquence f0 correspondante.
R1 R2 C
ω
4. Exprimer H en fonction de la variable sans dimension x = , σ et H 0 en mettant la fonction
ω0
p( x)
de transfert sous une forme canonique: H ( jx) = H 0
1 − x 2 + 2 jσ x
Mettre en évidence un polynôme p (x) de degré 2.
Déterminer le facteur d’amortissement σ (réel) et le paramètre H 0 (réel) en fonction de R1 et R2 et
pour mettre cette fonction de transfert sous forme canonique
5. Identifier la ou les pulsation(s) de coupure à -3dB de ce filtre en fonction de ω 0 .
6. Tracer les diagrammes de Bode asymptotiques.
7. Superposer sur les courbes précédentes l’allure des diagrammes de Bode réels de ce filtre.
8. Quel est son intérêt ?
9. On modifie les valeurs des résistances R1 et R2.
a) Le gain peut-il dépasser la valeur H 0 ?
b) Si oui, quel phénomène nouveau apparaît ? Est ce désirable pour un tel filtre ?
c) On cherche ω M tel que le gain du filtre soit maximal.
Exprimer ω M en fonction de R1, R2 et de C
d) Comment doit-on choisir le facteur d’amortissement σ du filtre précédent ?
10. a) On suppose que l’on soumet en entrée de ce filtre un signal sinusoïdal de fréquence f = 100 Hz.
Quelle est l’allure du signal de sortie ? Justifier
b) On suppose que l’on soumet en entrée de ce filtre un signal triangulaire de fréquence f = 100 Hz.
Quelle est l’allure du signal de sortie ? Justifier.
11. a) On suppose que l’on soumet en entrée de ce filtre un signal sinusoïdal de fréquence f = 500 kHz.
Quelle est l’allure du signal de sortie ? Justifier
b) On suppose que l’on soumet en entrée de ce filtre un signal carré de fréquence f = 500 kHz.
Quelle est l’allure du signal de sortie ? Justifier.
c) On suppose que l’on soumet en entrée de ce filtre un signal triangulaire de fréquence f = 500 kHz.
Quelle est l’allure du signal de sortie ? Justifier.