Seriesexercies TL2019
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Exercice 1.
Un gagnant au loto a décidé de confier 4 millions d’euros à un établissement financier pour
les investir pour une durée de 5 ans dans diverses SICAV. Après discussion, le gagnant et son
conseiller financier se sont mis d’accord pour faire un portefeuille composé au maximum des
3 SICAV suivantes :
– ANT : c’est une SICAV en actions dans les nouvelles technologies. Une part coûte 10 k
euros, et le gain espéré au bout de 5 ans est de 7 k euros. Le risque d’une part de cette SICAV
est de 10 points.
– ONT : c’est une SICAV en obligations dans les nouvelles technologies. Une part coûte 10 k
euros, et le gain espéré au bout de 5 ans est de 3 k euros. Le risque d’une part de cette SICAV
est de 5 points.
– OMN : c’est une SICAV en obligations monétaires. Une part coûte 10 k euros, et le gain
espéré au bout de 5 ans est de 1 k euros. Le risque d’une part de cette SICAV est de 2 points.
Le risque d’un portefeuille est la somme des risques de chaque part dans ce portefeuille. Par
exemple un portefeuille composé de 3 ANT et de 8 OMN a un risque de 3*10+8*2 = 46
points.
Le gagnant a émis certaines conditions pour son placement : Il ne veut pas plus de 2 millions
d’euros en action. Il ne veut pas placer plus de 3,5 millions d’euros dans les nouvelles
technologies. Le risque de son portefeuille ne doit pas dépasser les 2 500 points.
Modéliser le problème sous forme d’un programme linéaire ?
Exercice 2.
La compagnie AMERCO fabrique et vend des robes et des blouses. Les profits sont de 8 Dh
pour une robe et de 6 Dh sur une blouse. La conception d’une robe requiert en moyenne 4
heures d’une dessinatrice tandis qu’une blouse, environ 2 heures. Un tailleur prend 2 heures à
faire une robe et 4 heures à faire une blouse. AMERCO dispose à chaque jour de 60 heures de
temps pour dessiner les vêtements et de 48 heures de temps pour coudre ces vêtements.
Exercice 3.
Une usine fabrique 2 produits P1 et P2 en utilisant un certain nombre de ressources :
équipement, main d’œuvre, matières premières. Ces besoins sont indiqués dans le tableau ci-
dessous. Par ailleurs, chaque ressource est disponible en quantité limitée (cf. tableau).
Exercice 4.
On se propose de réaliser une alimentation économique pour des bestiaux, qui contient
obligatoirement 4 sortes de composants nutritifs, A, B, C et D. L’industrie alimentaire produit
précisément deux aliments M et N qui contiennent ces composants :
1 Kg d’aliment M contient 100 g de A, 100 g de C, 200 g de D;
1 Kg d’aliment N contient 100 g de B, 200 g de C, 100 g de D.
Un animal doit consommer par jour au moins 0.4 Kg de A, 0.6 Kg de B, 2 Kg de C et 1.7 Kg
de D. L’aliment M coûte 10 Dh le Kg et N coûte 4 Dh le Kg.
Exercice 5.
Considérons un agriculteur qui possède des terres, de superficie égale à 100 hectares (ha),
dans lesquelles il peut planter du blé , du maïs et des fèves. L’agriculteur possède une quantité
200 kilos d’engrais et 300 litres d’insecticide. Le blé nécessite une quantité 4 d’engrais par
hectare.
Le maïs nécessite une quantité 2 d’engrais par hectare et 6 d’insecticide par hectare. Enfin, les
fèves nécessitent une quantité 10 d’insecticide par hectare. Le blé rapporte un gain de 8k
euros à l’hectare, le maïs rapporte un gain de 4k euros à l’hectare et les fèves rapportent un
gain de 5k euros à l’hectare.
On note par x1, x2 et x3 le nombre d’hectares à planter en blé, en maïs et fèves.
Exercice 6.
1. Donner une base de départ et la solution de base réalisable associée. Justifier ce choix.
– Le pivot encadré.
Exercice 7.
La compagnie Wyndor Glass Co. produit des produits verriers de haute qualité, incluant des
fenêtres et des portes vitrées. Elle dispose à cette fin de trois usines (usine 1, usine 2, usine 3),
qui ont chacune une capacité de production limitée. Les châssis en aluminium et les matériaux
sont produits dans l’usine 1, les châssis en bois sont fabriqués dans l’usine 2, et l’usine 3
produit le verre et assemble les produits. La compagnie a décidé de mettre en place de ligne
de production :
Nous souhaitons déterminer le taux de production pour chaque produit (nombre de lots par
semaine) de façon à maximiser le profit total.
2. Supposons qu’une compagnie partenaire de Wyndor Glass, appelée DGlass, aimerait louer
du temps aux usines afin de fabriquer des lots de produits. Quel prix horaire pour chaque
usine devrait-elle demander de telle sorte que le résultat soit équitable, soit aucun profit ni
perte pour aucun des deux partenaires ?
3. La solution optimale du primal est donnée par (x1; x2) = (2; 6). Utiliser le théorème des
écarts complémentaires pour trouver la solution optimale du dual.
5. Vérifier que les valeurs de la solution optimale du dual n’est autre que l’opposé des
coefficients des variables d’écart hors base.