DevoirExpComplexes1c PDF
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Correction.
Exercice 1 ex − e−x
1) a) La fonction sinus hyperbolique : sh(x) =
2
ex − (−e−x ) ex + e−x
Pour tout x ∈ R, sh0 (x) = = .
2 2
Or la fonction exp est toujours strictement positive, donc sh0 (x) > 0. Ainsi
• Limite en +∞ : lim ex = +∞ et lim −e−x = 0 x −∞ +∞
x→+∞ x→+∞
donc, par somme de limites, lim sh(x) = +∞.
x→+∞ sh0 (x) +
• Limite en −∞ : lim ex = 0 et lim −e−x = −∞
x→−∞ x→−∞ +∞
donc, par somme de limites, lim sh(x) = −∞.
x→−∞ sh
−∞
Parité : pour tout x ∈ R, −x ∈ R et
e−x − e−(−x) e−x − ex −ex + e−x
sh(−x) = = = = −sh(x)
2 2 2
Donc sh est impaire.
ex + e−x
b) La fonction cosinus hyperbolique : ch(x) =
2
ex − e−x
Pour tout x ∈ R, ch0 (x) = = sh(x).
2
Or sh(0) = 0 et, d'après ci-dessus, sh est strictement croissante sur R, donc nous avons le
tableau de signe suivant :
De même que ci-dessus, par somme
de limites, nous obtenons : x −∞ 0 +∞
• lim ch(x) = +∞.
x→+∞ ch0 (x) = sh(x) − 0 +
• lim ch(x) = +∞.
x→−∞ +∞ +∞
ch
1
Parité : pour tout x ∈ R, −x ∈ R et
e−x + e−(−x) e−x + ex ex + e−x
ch(−x) = = = = ch(x)
2 2 2
Donc ch est paire.
2) Soit x ∈ R xé.
ex + e−x ex − e−x ex + e−x + ex − e−x 2ex
a) ch(x) + sh(x) = + = = = ex .
2 2 2 2
ex + e−x ex − e−x ex + e−x − (ex − e−x ) 2e−x
b) ch(x) − sh(x) = − = = = e−x .
2 2 2 2
c) ch2 (x) − sh2 (x) = (ch(x) − sh(x))(ch(x) + sh(x)) = ex e−x = 1
1
3) Soit a, b ∈ R xés. Le plus simple est de partir des propriétés de l'exponentielle, puis d'utiliser
la question précédente.
ea+b = ea eb et e−(a+b) = e−a e−b
x2 − y 2 − 2xy − 1 = 0
(1)
Donc (1 + i)z − 1 = 0 ⇐⇒
2
2xy + x2 − y 2 = 0 (2)
Pour résoudre ce type de système, il faut commencer par simplier au maximum en combinant
les lignes, comme dans les systèmes d'équations habituels. Ensuite, on continue là aussi comme
d'habitude en essayant d'exprimer une variable (par exemple y ) en fonction de l'autre (x).
x2 − y 2 − 2xy − 1 = 0
−4xy − 1 = 0 (1) − (2)
⇐⇒
2xy + x2 − y 2 = 0 2xy + x2 − y 2 = 0 (2)
2
La nouvelle équation (10 ) nous permet d'exprimer y en fonction de x. Si x = 0, alors l'équation (10 )
s'écrit −4 × 0 × y − 1 = 0, ce qui est absurde. Donc nous pouvons sans crainte armer que x 6= 0 et
diviser par 0 :
1
(10 ) ⇐⇒ y=−
4x
Remplaçons maintenant dans (2) :
2
1 2 1 1 1
(2) ⇐⇒ 2x − +x − − =0 ⇐⇒ − + x2 − =0
4x 4x 2 16x2
Les fractions, c'est compliqué : multiplions par 16x2 pour se ramener à un polynôme plus sympa-
thique :
(2) ⇐⇒ −8x2 + 16x4 − 1 = 0 ⇐⇒ 16x4 − 8x2 − 1 = 0
C'est une équation bicarrée : si on pose X =√x2 , l'équation 16X 2 −√8X − 1 = 0 est un trinôme qui a
8−8 2 8+8 2
pour solutions (∆ = 2 × 82 > 0) X1 = < 0 et X2 = .
32 √ 32 √
8+8 2 1+ 2
Or X = x > 0 (la partie réelle est un réel), donc x =
2 2
= et
32 4
p √ p √
1+ 2 1+ 2
x= ou x=−
2 2
1
Pour trouver y , il sut de remplacer x par son expression dans y = − . Après des calculs laissés
4x
en exercice au lecteur, on trouve :
(p √ p √ p √ p √ )
1+ 2 −1 + 2 1+ 2 −1 + 2
S= −i ;− +i
2 2 2 2