Chapitre6 Analyse 1 PDF Fonctions Usuelles
Chapitre6 Analyse 1 PDF Fonctions Usuelles
Chapitre6 Analyse 1 PDF Fonctions Usuelles
H. Benhassine
Octobre 2021
Benhassine R 2020 2
Table des Matières
1 Fonctions usuelles 1
1.1 Fonctions trigonométriques inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 La fonction Arcsinus: arcsin y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 La fonction Arccosinus: arccos y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 La fonction Arctangente: arctan y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Les fonctions hyperboliques et leurs fonctions inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Fonctions hyperboliques inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3
TABLE DES MATIÈRES
Benhassine R 2020 4
Chapitre 1
Fonctions usuelles
est une fonction continue et strictement croissante sur l’intervalle [ =2; =2]. Donc, d’aprés le thèorème
des fonctions inverses vu au chapitre 4, sa fonction réciproque existe. On la notera par arcsin avec:
Et l’on a:
sin x = y , x = arcsin y:
La fonction arcsin est une fonction continue strictement croissante sur l’intervalle [ 1; 1] et l’on a:
p !
3
arcsin( 1) = ; arcsin (0) = 0; arcsin = ; arcsin(1) = :
2 2 3 2
0 1 1 1 1
8 jyj < 1 : (arcsin y) = 0 = =p =p :
sin x cos x 2
1 sin x 1 y2
1
CHAPITRE 1. FONCTIONS USUELLES
y
1.0
0.5
-1.0
cos : [0; ] ! [ 1; 1]
;
x 7 ! cos x
est une fonction continue et strictement décroissante sur l’intervalle [0; ]. Donc, d’aprés le thèorème des
fonctions inverses vu au chapitre 4, sa fonction réciproque existe. On la notera par arccos avec:
arccos : [ 1; 1] ! [0; ]
:
y 7 ! arccos y
Et l’on a:
cos x = y , x = arccos y:
La fonction arccos est une fonction continue strictement décroissante sur l’intervalle [ 1; 1] et l’on a:
1
arccos( 1) = ; arccos (0) = 1; arccos = ; arccos(1) = 0:
2 3
y
3
Benhassine R 2020 2
CHAPITRE 1. FONCTIONS USUELLES
est une fonction continue et strictement croissante sur l’intervalle [ =2; =2]. Donc, d’aprés le thèorème
des fonctions inverses vu au chapitre 4, sa fonction réciproque existe. On la notera par arcsin avec:
Et l’on a:
tan x = y , x = arctan y:
La fonction arctan est une fonction continue strictement croissante sur l’intervalle] 1; 1[ et l’on a:
lim arctan(x) = 1; arctan ( 1) = ; arctan (0) = 0; arctan (1) = ; lim arctan(x) = +1:
x! 2
4 4 x! +
2
y
1.5
1.0
0.5
-4 -2 2 4
-0.5 x
-1.0
-1.5
Remarque 1.1.1
1. On dé…nit de manière analogue aux précédentes la fonction arccot, la fonction réciproque de la fonction
trigonométrique cot:
arccot : ] 1; 1[ ! ]0; [
y 7 ! arccot y
qui est une fonction continue strictement décroissante (Exercice: Est-elle dérivable? Trouver l’expression
de sa drivée).
arctan y + arccot y = :
2
3 Benhassine R 2020
CHAPITRE 1. FONCTIONS USUELLES
ex e x
ex + e x
sinh x = ; cosh x = ;
2 2
sinh x cosh x
tanh x = ; coth x = ;
cosh x sinh x
respectivement: Cosinus hyperbolique, Sinus hyperbolique, Tangente hyperbolique et Cotangente hyper-
bolique.
y y
60
60
40
20 40
-4 -2 2 4 20
-20 x
-40
-60 -4 -2 0 2 4
x
sinh x cosh x
y 1.0 y
3
0.5 2
1
-4 -2 2 4 -4 -2 2 4
x -1 x
-0.5
-2
-1.0 -3
tanh x coth x
Remarque 1.2.1
1. La fonction Cotangente hyperbolique coth n’est pas dé…nie à l’origine contrairement aux autres fonctions
hyperboliques avec:
sinh(0) = 0; cosh(0) = 1; et tanh(0) = 0:
Benhassine R 2020 4
CHAPITRE 1. FONCTIONS USUELLES
1
cosh2 x sinh2 x = 1; 1 tanh2 x = ;
cosh2 x
cosh(a + b) = cosh a cosh b + sinh a sinh b;
sinh(a + b) = sinh a cosh b + cosh a sinh b:
4. Il est claire que les fonctions hyperboliques sont indé…niment dérivables sur leurs intervalles de dé…ni-
tions et l’on a:
0 0
sinh x = cosh x; cosh x = sinh x;
0 1
tanh x = = 1 tanh2 x:
cosh2 x
La fonction sinh étant continue et strictement croissante sur R, elle admet alors une fonction réciproque
que l’on nommera Argument sinus hyperbolique, notée arg sinh:
arg sinh : R ! R
y 7 ! arg sinh y
telle que:
sinh x = y () x = arg sinh y
La fonction arg sinh est une fonction continue, strictement croissante et dérivable avec:
0 1 1 1 1
(arg sinh y) = 0 = =p =p :
sinh x cosh x 2
1 + sinh x 1 + y2
Il est possible d’écrire l’expression de la fonction arg sinh et cela en usant de la fonction logarithmique.
En e¤et, comme l’on a:
cosh2 x = 1 + sinh2 x et cosh x > 0;
on peut écrire:
p
cosh x = 1 + sinh2 x
p
sinh x + cosh x = sinh x + 1 + sinh2 x
ex
e x ex + e x p
+ = sinh x + 1 + sinh2 x
2 2 p
ex = sinh x + 1 + sinh2 x
p
x = ln sinh x + 1 + sinh2 x
p
arg sinh y = ln y + 1 + y 2 :
5 Benhassine R 2020
CHAPITRE 1. FONCTIONS USUELLES
La fonction cosh étant continue et strictement croissante sur [0; +1[, elle admet alors une fonction ré-
ciproque que l’on nommera Argument cosinus hyperbolique, notée arg cosh:
telle que:
cosh x = y () x = arg cosh y
La fonction arg cosh est une fonction continue, strictement croissante et dérivable sur l’intervalle ]1; +1[
avec:
0 1 1 1 1
(arg cosh y) = 0 = =p =p :
cosh x sinh x cosh2 x 1 y2 1
Il est possible d’écrire l’expression de la fonction arg cosh et cela en usant de la fonction logarithmique.
On démontera en usant des mêmes arti…ces que précédements que l’on a:
p
arg cosh y = ln y + y2 1 :
La fonction cosh étant continue et strictement croissante sur R, elle admet alors une fonction réciproque
que l’on nommera Argument tangeante hyperbolique, notée arg tanh:
arg tanh : ] 1; 1[ ! R
y 7 ! arg tanh y
telle que:
tanh x = y () x = arg tanh y
La fonction arg tanh est une fonction continue, strictement croissante et dérivable sur l’intervalle ] 1; 1[
avec:
0 1 1 1
(arg tan y) = 0 = = :
tanh x 1 tanh2 x 1 y2
On laissera le soin au lecteur de montrer qu’il est possible d’écrire l’expression de la fonction arg tanh
en usant de la fonction logarithmique sous la forme:
1 1+y
arg tanh y = ln :
2 1 y
Benhassine R 2020 6