Expose de Mathematique
Expose de Mathematique
Expose de Mathematique
UES
1- Fonctionhyperbolique
a- Définition
b- Propriété
2- Paritédelafonction
3- Etudedelafonctionetreprésentationgraphique
II- FONCTIONSRECIPROQUEDUCOSINUSHYPERBOLI
QUE
1- Définition
2- Etudedelafonctionetreprésentationgraphique
I- FONCTIONHYPERBOLIQUESETLEURSRECIPROQU
ES
1- Fonctionshyperboliques
a- Définition
Lafonctioncosinushyperboliqueestunefonctionmathématiquedéfinieent
ermesdesfonctionsexponentielles.Onappellefonctioncosinushyperboliq
ue,lafonctionnotéecoshouch .ElleestdéfiniesurRpar :
x −x
e +e
ch(x)= 2
b- Propriétés
Pourtousnombresréelsaetb,ona :
.ch(a-b)=ch(a)ch(b)–sh(a)sh(b)
.ch(a+b)=ch(a)ch(b)+sh(a)sh(b)
.ch(2a)=ch2(a)+sh2(a)
1+ ch(2 a)
.ch2(a)= 2
a+b a−b
.ch(a)+ch(b)=2ch( 2
¿×ch(
2
¿
a+b a+b
.ch(a)-ch(b)=-2ch( 2
)×ch(
2
¿
.Limitesderéférence
lim ch ( x )=+∞
. x→ ±∞
chx
. x→+∞
lim
x
=+ ∞
chx
. x→−∞
lim
x
=−∞
2- Paritédelafonctionch
Lafonctioncosinushyperboliquenotéech(x)estunefonctionpairecequisig
nifiequech(-
x)=ch(x).Celasignifiequelacourbedelafonctionchestsymétriqueparrapp
ortàl’axedesordonnées.
3- Etudedelafonctionch
Lafonctioncosinushyperboliqueestunefonctiondéfiniesur R.
∀ x ϵ R , c h x=sh x.Elleestcontinueetstrictementdécroissantesur¿−∞ ; 0 ¿mais
'
continusetstrictementcroissantesur¿
.Tableaudevariation
X −∞ 0 +∞
(ch)’(x)
−¿ 0 +¿
+∞ +∞
Ch
.Représentation
graphique
II- Fonctionréciproqueducosinushyperbolique
1- Définition
Lafonctionchestcontinueetstrictementcroissantesur¿.Elleréaliseunebiject
ionde¿sur¿ ,etsabijectionréciproqueestappeléeargumentcosinushyper
bolique.ElleestnotéeArgchCettebijectionréciproqueestcontinueetstrict
ementcroissantesur¿etestdéfiniepar :
. Argch:¿
. x → Argch ( x )=ln ¿ )
2- Etudedelafonction
' 1
LafonctionArgchestdérivablesur¿ 1 ;+∞ ¿.Pourtout x ϵ R , Argc h ( x )= √ x2 +1
.Démonstration
Soit x ϵ ¿
. Si y=argch ( x ) alors chy=x
.∀ x ϵ ¿
.Puissequech 2 x−sh2 x=1alors shy=√ ch2 x−1 .
Parconséquent sh ( Argchx )=√ ch2 ( Argchx)−1
. sh( Argchx)=√ x 2−1
.Tableaudevariation
x 1 +∞
( Argch)'(x ) +¿
+∞
Argch
.Représentationgraphique