Thorie de Lyapunov sur la

stabilit
Rfrence: Notes de cours de D. Alazard de
SupAro.
Notes de Hannah Michalska, McGill
University

Systme non-linaire

Considrons un systme continu et

non-linaire reprsent par:

x f ( x)

Exemple:

x1 2 x1 x22 1

2
x2 x2 x1 1
2

Point dquilibre

Un vecteur xe est un point

dquilibre si:
n

f ( xe ) 0

Si xe est diffrent de 0, il peut tre

ramen 0 par un changement de
variable:

x x xe

Point dquilibre

Considrons donc partir de

maintenant que:

xe 0

Sans perte de gnralit

Stabilit locale simple et asymptotique

Ltat dquilibre xe 0 du systme

continu et non-linaire de lactate
#2 est:

Stable, si pour tout >0, il existe un

r=r(), tel que:

x(0) r x(t ) t 0

Instable si non-stable;

Stabilit locale simple et asymptotique

Ltat dquilibre xe 0 du systme

continu et non-linaire de lactate
#2 est:

Asymptotiquement stable, sil est

stable et si r peut tre choisi tel que:

x(0) r lim x(t ) 0

t

Marginalement stable, sil est stable

sans tre asymptotiquement stable.
6

Stabilit asymptotique globale

Si le systme est asymptotiquement

stable quelque soit la condition
initiale x(0), alors le point
dquilibre est globalement
asymptotiquement stable.

Comment vrifier la stabilit dun systme non-linaire ?

FONCTION DE LYAPUNOV

Ide de base (assumant xe = 0)

Supposez que lon puisse dfinir

une mesure de lnergie dans un
systme:

par exemple:

V ( x, t ) x

Tel que:

V ( xe , t ) 0, t t0
V ( x, t ) 0, x xe , t
9

Ide de base (assumant xe = 0)

Tel que (suite):

V ( x, ) augmente doucement tandis

que x augmente (pour un t donn).

Lnergie ne saccroit pas le long de
toute trajectoire, donc:

dV
x(t; x0 , t0 ), t 0, t t0 , x0
dt
10

Intuitivement

il est raisonnable de penser que

pour x0 prs de xe (= 0):
Lnergie initiale V ( x , t ) est petite.
0 0

Lnergie reste toujours petite.

puisque:

dV dt 0

x(t; x0 , t0 ) reste prs de xe pour

toujours.

xe est stable.
11

Hypothse de base sur V(x,t)

x, t t0 : toutes les drives

partielles de V existent et sont

continues dans (x,t).
Consquence:

dV
x(t; x0 , t0 ), t
dt

dV
x(t ), t V x(t ), t
dt
n
dxi V
V

x(t ), t x(t ), t
dt t
i 1 xi
12

Pour un ensemble

nous devons tre en mesure

dcrire quil existe des fonctions x
et x tel que:

x V ( x, t ) x , x G, t t0

x et x

de classe K.

sont des fonctions

13

Fonction de classe K

x est une fonction de classe K

si:

0 0 , et est continu;
x 0, x 0 ;
x est strictement croissant de

faon monotone avec x .

Exemple: 1 e
de classe K.

est une fonction

14

Fonction dfinie positive

Une fonction scalaire V(x)

continuellement diffrentiable (par
rapport x) est dfinie positive
dans une rgion autour de
lorigine si:

V(0) = 0;
V(x) > 0 pour tout

x / x 0 .

15

Fonction dfinie positive

Autrement dit:
Si V ( x) x , x
Fonction de classe K

16

Fonction dfinie semi-positive

Une fonction scalaire V(x)

continuellement diffrentiable (par
rapport x) est dfinie semipositive dans une rgion autour
de lorigine si:

V(0) = 0;
V(x) 0 pour tout

x / x 0 .

17

Fonction quadratique dfinie positive

La fonction quadratique V ( x) x Qx
o Q est une matrice (de taille n par
n) relle symtrique, est dfinie
positive si toutes les valeurs
propres de la matrice Q sont
strictement positives.
T

18

Exemples

#1:

2
2

Dfinie positive dans R2;

Dfinie semi-positive dans R3.

#2:

V ( x) x x
2
1

V ( x) x1 x2

Dfinie semi-positive dans R2.

(Pourquoi ?)
19

STABILIT DE LYAPUNOV, MTHODE

DIRECTE

20

Stabilit locale

Ltat dquilibre xe = 0 est stable si

il existe une fonction continuellement drivable V(x) telle que:

V(0) = 0;
V(x) > 0, x

0, x ;
V ( x) dV ( x) dt 0, x 0, x .

21

Stabilit locale et asymptotique

Si la dernire condition tait

plutt, V ( x) 0 alors ltat
dquilibre est asymptotiquement
stable.

22

Stabilit globale

Ltat dquilibre xe = 0 est

globalement asymptotiquement
stable si il existe une fonction
continuellement drivable V(x) telle
que:

V(0) = 0;
V(x) > 0, x

0;
V ( x) 0, x 0;
V ( x) quand
x .

23

Exemple

x x x x 0

Soit:

Passage en quation dtat avec:

Ainsi:

Dont on veut
connatre la stabilit.

x1 x, x2 x

x1 x2

2
x2 x1 x1 x2
24

Exemple

Ce systme possde un point

dquilibre (x1,x2)=(0,0).

Analysons la stabilit de ce systme

avec cette fonction de Lyapunov:

x x
V ( x1 , x2 )
2
2
1

2
2

25

Exemple

Drivant V(x), on trouve:

V ( x1 , x2 )

V
V
x1
x2 x1 x1 x2 x2
x1
x2

Ensuite:

V ( x1 , x2 ) x1 x2 x1 x2 x x x x
2 2
1 2

2 2
1 2

26

Exemple

Donc

V ( x1 , x2 ) x x

2 2
1 2

Ainsi, V(x) est une fonction dfinie

positive qui est strictement
dcroissante le long de toutes les
trajectoires possibles si <0.

27

Exemple

En vertu de la thorie de Lyapunov,

le systme est globalement stable si
=0.
Il est globalement
asymptotiquement stable si <0.
Sinon, il est globalement instable.

28

Exemple #2
2

2
x
x

1
1
2
Soit:

2
x2 x2 x1 1

Dont le point dquilibre est (0,0).

Vrifions la stabilit avec cette

fonction de Lyapunov:

x x
V ( x1 , x2 )
2
2
1

2
2

29

Exemple #2

En drivant:

V ( x1 , x2 ) x1 x1 x2 x2

2 x x 1 x x 1
2
1

2
2

2
2

2
1

x x 2x x
2 2
1 2

Donc

2
1

2
2

V ( x1 , x2 ) 0 x x 2 x x 0
2 2
1 2

2
1

2
2

30

Exemple #2
Cette condition peut tre rcrite
comme suit:
2
1

2x
V ( x1 , x2 ) 0 x 2
x1 1
2
2

4.5
4
3.5

Stable ou instable ?

2.5
2
1.5

Stable

1
0.5
0

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

31

Exemple #2

Essayons ce second candidat:

x 2x
V2 ( x1 , x2 )
2
2
1

Drivant:

2
2

V2 ( x1 , x2 ) 2 x x
2
1

2
2

Ce qui mne conclure que le systme

est globalement asymptotiquement
stable.
32

Exemple #3

x
Soit:
1

t
1
x

x
1

2
2
4

x1

Dont le point dquilibre est (0,0).

Vrifions la stabilit avec cette

fonction de Lyapunov suivante:
t

V ( x1 , x2 ) x 2 x (1 e )
2
1

2
2

33

Exemple #3

En drivant:
t

2 t
2

V ( x, t ) 2 x1 x1 4 x2 x2 (1 e ) 2 x e
t

2 t
2

2 x x (1 e )(1 e ) 2 x e
2
1

2
2

2 x x (1 e
2
1

2
2

2 t

2e )
t , x

Stable car:

V ( x, t ) 2 x x (1 e
2
1

2
2

2t

2e ) 0
34

Bilan

Le choix de la fonction de Lyapunov

a un effet sur lvaluation de la zone
de stabilit dun systme nonlinaire.

35

Stabilit de Lyapunov des systmes

linaires

Le systme linaire x Ax est

asymptotiquement stable si et
seulement si, pour toute matrice
symtrique dfinie positive Q, il
existe une matrice P dfinie positive
et symtrique satisfaisant lquation
de Lyapunov:

A P PA Q 0
T

36

Dmonstration (condition suffisante)

Considrons ce candidat:

Drivant:

V x Px
T

V x Px x Px
T

x PAx x A Px
T

PA A P x
T

37

Dmonstration (condition suffisante)

Soit Q une matrice dfinie positive,

si P est une solution positive de
lquation de Lyapunov.

Alors

et

V ( x) 0, x 0

V ( x) x Qx V ( x) 0, x 0.
T

Donc systme asymptotiquement

stable.
38

Dmonstration (condition ncessaire)

Pour un couple quelconque (A,Q)

lquation de Lyapunov peut
admettre plus dune solution pour P.
Mais, si A est stable, la solution P
est unique:

P e Qe dt
AT t

At

39

Dmonstration (condition ncessaire)

Avec cette solution:

A P PA A e Qe dt e Qe Adt
T

AT t

At

AT t

At

d AT t At
e Qe dt
dt

e Qe
T

A t

At

Q
40

Exemple

Instable

41

Exemple

Q = I.

=0

42

Exemple

Posons Q = I.

p2=-1/2

p5=-1/2

p4=- p3

43

Exemple

Posons Q = I.

p3=1/2-3p6

p1=-3+6p6

44

Exemple

6p6+6=0 p6=-1
Finalement P est:

Pas dfinit positif, car:

Instable
45

Design dun contrleur non linaire

pour un systme linaire

Soit le systme:

x(t ) Ax(t ) bu(t )

A globalement asymptotiquement
stable (g.a.s.);

b
x(0) x0
et
u (t ) 1, t
n

46

Design dun contrleur non linaire

pour un systme linaire

Problme:

Concevoir un contrleur avec

rtroaction possiblement non-linaire
qui fait en sorte que x retourne
rapidement 0.

47

tape #1

Choix de la fonction de Lyapunov

pour le systme en boucle ouverte:

x(t ) Ax(t )

Choisissons Q symtrique et dfinie

positive. Exemple: Q = I.

48

tape #1

Ensuite, dfinir

V ( x, t ) x Px
T

Avec P symtrique et dfinie

positive, solution de lquation de
Lyapunov.

Comme A est g.a.s. P>0.

49

tape #1

Consquence, la fonction de
Lyapunov V(x,t) est positive dfinie
et dcroissante et radialement
illimite pour le systme.

50

tape #2

Choisir lentre u(t) qui fait en sorte

que dV/dt soit ngatif le long des
trajectoires du systme.
Drivant, on obtient:

V ( x, t ) x Px x Px x Qx 2ub Px
T

51

tape #2

Solution u(t):

Avec:

u(t ) sign b Px(t )

T

1 si z 0

sign z 1 si z 0
0 si z 0

Un relais

52

tape #3

Vrification que le systme en

boucle ferme est g.a.s.

La driv de V est:

V ( x, t ) x Qx 2ub Px
T

x Qx 2sign b Px b Px
T

x Qx 2 b Px x Qx
T

53

Exemple

Systme:

x x u

Choix de Q: Q = 1.
Donc:

A P PA Q 0 P P 1 0 P 1
T

54

Exemple

x x u

Systme:

Ce qui mne ce contrleur:

u sign b Px sign 1 x sign x

2
T

Donc en boucle ferme:

x x sign[ x]
55

56

La commande LQ - principe

Soit le systme linaire suivant:

x(t ) Ax(t ) Bu (t )

y(t ) Cx(t )

x ; u
n

Hypothse:

La paire (A,B) est stabilisable, i.e., quil

ny a pas de modes instables et
ingouvernable dans ce systme.
57

La commande LQ - principe

Rsultat:

Soit le critre LQ suivant:

y (t )Qy(t ) u (t ) Ru(t ) dt
x (t )Q x(t ) u (t ) Ru (t ) dt

Avec R>0, Q0 et

Qx C QC
T

58

La commande LQ - principe

Alors:

La commande par retour dtat qui

stabilise le systme et minimise ce
critre LQ est:

u(t ) Kc x(t )

Avec

Kc R B Pc
T

59

quation de Riccati

Dans lquation prcdente, Pc est

solution unique (matrice symtrique
et dfinie positive) de lquation de
Riccati:
1

Pc A A Pc Pc BR B Pc Qx 0
T

Kc R B Pc
T

60

Ainsi

La fonction de cot minimale

correspondante est alors:

J min x Pc x0 , ( x0 : tat initial t 0)

T
o

61

Dmonstration

La dynamique du systme en boucle

ferme avec la commande par
retour dtat est:

x A BK x Abf x

La rponse autonome de ce
systme est:

x(t ) e

Abf t

x0
62

Dmonstration

Le critre J devient:

(t )Qx x(t ) u (t ) Ru (t ) dt
T

x (t ) Qx K RK x(t )dt

T
o

AbfT t

K RK e
T

Abf t

dt x0

x Px0
T
o

63

Dmonstration

Avec:

P e
0

T
Abf
t

K RK e
T

Abf t

dt

La contrainte Abf stable entraine que

P vrifie lquation de Lyapunov:

A P PAf Qx K RK 0
T
f

Notez que P0, car J0.

64

Dmonstration

Posant Kc la valeur optimale de K

qui minimise J et la solution Pc
correspondante, alors

A BKc

Pc Pc A BKc Qx K RKc 0
T
c

65

Dmonstration

Considrons une variation du gain

K autour de Kc. Il en rsulte une
variation de P autour de Pc, qui
vrifie:

A B K P
P A B K
T

Qx K c K R K c K 0
T

66

Dmonstration

Kc est la valeur optimale au sens de

J si et seulement si le critre
augmente pour toute variation K
autour de Kc, soit:

P 0 K / A B Kc K stable

67

Dmonstration

En soustrayant les deux quations

des actates 66 et 65, on obtient:

A B K B
A B K P B
T

T
K

Pc

R K RK c K R K 0
T
K

T
K

T
c

68

Dmonstration

Que lon peut rcrire:

A BK

T
K

RK

P P A BK
B Pc RK c B Pc K
T

R K 0
T
K

Cest une quation de Lyapunov

69

Dmonstration

A-BK tant stable P est positif si et

seulement si (Thorme de
Lyapunov):

T
K

RK

B Pc RK c B Pc K
T

R K 0
T
K

K
70

Dmonstration

Or, R K 0, K car par

dfinition R>0. Il faut donc que:
T
K

RKc B Pc 0
T

Que lon peut rcrire:

1

Kc R B Pc
T

71

Dmonstration

En reportant cette valeur de gain

dans lquation de lactate 65, on
obtient lquation de Riccati:
1

Pc A A Pc Pc BR B Pc Qx 0
T

FIN

72

Exemple

Soit le systme suivant:

1
s2
G ( s)
0

s2

1
s 2

73

Exemple

Qui donne la reprsentation dans

lespace dtat suivant:

x 0
0
1
y
0

0
0 0

0 0 x 1 0 u
0 1
0 2
0 1
x

0 1

74

Exemple

Si on a Qx = I et R = I, lquation
de Riccati est:

Pc A A Pc Pc BB Pc I 0
T

Avec

p1

Pc p2
p3

p2
p4
p5

p3

p5
p6
75

Exemple

Donc:

p1 p2p4 p3p5

p2 p5
p3 p6
2 p3

p22

p32

p1

p2 p4

2 p2 1

p42

p3 2 p5

p4 p5

p p
p p
p3 2 p5 4 5 5 6 0

p52
p62
1 4 p6

2 p3

p3 p5
p52

p5 p6

p2 p5

p3 p6

76

Exemple

Posant p3 et p5 gaux 0:
1

p1 p2p4

p22

p1

p2 p4

2 p2 1

0
0

p62
1 4 p6

p42

32
p

Donc: 1

p2
p4 2 3 2
p6 2 4 2

77

Exemple

Donc le gain optimal est:

1 2

Kc
0

2
0

12

12

2 2

12

12

78

Exemple

Localisation des ples (3):

1

2 3 2

2 3 2 2 2 5 2

4 2

79

Exemple

Ples pour diverses valeurs de :

(0.1) 1.06, 2.97, 3.74
(0.2) 1.18, 1.90, 3.00
(0.3) 1.32 j 0.28, 2.71
(0.8) 0.93 j 0.50, 2.29

80

Exemple

Exemple de rponses:
0.1

0.5

0.8

81

Sur MATLAB

Fonction lqr

82

83

Chariot sur un rail

Un chariot est libre de se dplacer

sur un rail.

Une force constante f est applique

pour le dplacer.
Il faut dplacer le chariot de 100 m
en 10 s.
84

Chariot sur un rail

Mais, on dsire la force f la plus

petite que possible.
Condition initiale:

Chariot en x = 0 et sa vitesse initiale

est nulle.

Vitesse finale peut tre quelconque.

Masse du chariot est m.

85

Chariot sur un rail

Modle: x v

f
v
m

Variables dtat:
x x1

v x2
u f m
86

Chariot sur un rail

Ainsi:

x1 x2
x2 u k

Force damplitude constante

Condition initiales et valeur finales

dsires t=10s:

x10 0

x1D 100 m

x20 0

x2D libre
87

Chariot sur un rail

On intgre les deux quations

dtat:
t

x2 u (t )dt kt
0
t

x1 x2 (t )dt kt 2 2
0

Et on obtient k = 2. Mais, la plus

petite force possible est k = 0.
88

Chariot sur un rail

Les objectifs sont contradictoires.

Considrons tout de mme la
fonction objectif suivante:

J q x1 f 100 r u dt
2

tf

Pondrations:
q pour pnaliser lerreur de position
r pout pnaliser lamplitude de la
commande.

89

Chariot sur un rail

Ici: J q 50k 100 10rk 2

2

Pour obtenir le k optimal:

J
5000qk 10000q 20rk
k
puis

500q
k
250q r
90

Chariot sur un rail

500 q r
Ou encore: k
250 q r 1

Si (q/r), k=2;
Si (q/r)0, k=0.

91

Chariot sur un rail

Supposons maintenant que la force

est:
u k1 k2t
On cherche les valeurs de k1 et k2
qui minimisent la fonction objectif J.

92

Chariot sur un rail

Dans ce cas: x1 x2

x2 k1 k2t

Donc:
t

x2 u (t )dt k1t k2t 2

2

0
t

x1 x2 (t )dt k1t 2 2 k2t 3 6

0

93

Chariot sur un rail

t = 10 secondes:
100 50k1 166.67k2

Solution: une infinit de valeurs de

k1 et k2.
Cette quation est une contrainte:
100 166.67k2
k1
50
94

Chariot sur un rail

La fonction objectif est

J q 50k1 166.67k2 100

r 10k12 100k1k2 333.33k22

Et

J
k1 5000q 20r k2 16666.67q 100r 10000q
k1
J
k1 16666.67q 100r k2 55555.56q 666.67r 33333.33q
k2
95

Chariot sur un rail

Exemples:

q = 100, r = 1

q = 1, r = 1

K1 = 3 et K2 = -0.3;

Proche de la
contrainte

K1 = 2.991 et K2 = -0.299;

q = 1, r = 100

K1 = 2.308 et K2 = -0.231.

96

Chariot sur un rail

Si on force la contrainte entre k1 et

k2, on obtient:

J 4.44r 9 15k2 25k22

Et

J
4.44r 15 50k2
k2

97

Chariot sur un rail

Ce qui mne k2 = -0.3 et k1 = 3.

98

Chariot sur un rail

Supposons maintenant que lon

dsire que la vitesse soit nulle
t=10. Cela implique que:

x2 (10) 0 10k1 50k2

Que lon peut rcrire:

k1 5k2

Seconde contrainte.
99

Chariot sur un rail

Nouvelle fonction objectif:

J q1 x1 f 100 q2 x2 f r u dt
2

tf

Donc:
2
2
J q1 50k1 166.67k2 100 q2 10k1 50k2

r 10k12 100k1k2 333.33k22

100

Chariot sur un rail

Avec les deux contraintes:

100 166.67k2
k1
5k2
50
Donc:
k2 1.2

k1 6

101

Chariot sur un rail

Exemples:

q1 = 100, q2 = 1, r = 1

q1 = 1, q2 = 100, r = 1

K1 = 5.1424 et K2 = -0.9428;
K1 = 5.917 et K2 = -1.182;

Proche de la 1re
contrainte
Proche de la 2e
contrainte

q1 = 1, q2 = 1, r = 100

K1 = 2.325 et K2 = -0.2435.

102