Arrondis NT04-13
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NATIONAL
DE MÉTROLOGIE
COMMISSARIAT À L'ÉNERGIE ATOMIQUE
LABORATOIRE NATIONAL
HENRI BECQUEREL
28 avril 2004
BUREAU
NATIONAL
DE MÉTROLOGIE
COMMISSARIAT À L'ÉNERGIE ATOMIQUE
LABORATOIRE NATIONAL
HENRI BECQUEREL
RESUME :
L’objet de ce document est de rappeler la façon de présenter les résultats devant figurer dans
un rapport scientifique ou technique et en particulier, de déterminer le nombre de chiffres significatifs
de la valeur de la grandeur et de l’incertitude associée.
La conclusion sera de prendre la règle : si le premier chiffre significatif de l’incertitude est
compris entre 5 et 9, le résultat sera arrondi à cette décimale (l’incertitude comportera donc 1 chiffre
significatif) ; si le premier chiffre significatif est < 5, le résultat sera arrondi à la décimale suivante
(incertitude à 2 chiffres).
Des fonctions d’application sont données en annexe.
A 28 avril 2004
Dates
Signatures
I- Introduction
L’objet de ce document est de rappeler la façon de présenter les résultats devant figurer dans
un rapport scientifique ou technique et en particulier, de déterminer le nombre de chiffres significatifs
de la valeur de la grandeur et de l’incertitude associée.
Combien de chiffres significatifs doit-on donner pour l'incertitude de mesure ? Car en tout état
de cause, si on indique l'incertitude absolue, le nombre de chiffres doit être cohérent avec celui de la
grandeur.
Exemple : A = (123,45 ± 0,08) Bq et non A = (123,45 ± 0,081) Bq.
II- Notation
La notation utilisée suivra les recommandations émises par le « Guide pour l’expression des
incertitudes de mesure », c'est-à-dire de préférence :
« A = 123,456 (11) Bq où le nombre entre parenthèses est la valeur numérique de
l’incertitude type composée qui porte sur les deux derniers chiffres correspondants du résultat
fourni. ». La troisième composante du résultat est l’unité dans laquelle est exprimée la valeur
numérique.
Exemples :
A = 123,0 (1) Bq signifie A = (123,0 ± 0,1) Bq
A = 123 (1) Bq signifie A = (123 ± 1) Bq
A = 123,0 (11) Bq signifie A = (123,0 ± 1,1) Bq
Le « bon sens » scientifique (?) amène à penser qu’un nombre assorti de nombreuses
décimales n’a pas de signification et qu’il « faut » l’arrondir.
Traditionnellement, on applique la règle empirique suivante : « si le nombre qui suit la
décimale où l’on souhaite arrondir est supérieur ou égal à 5, l’arrondi se fait vers le chiffre supérieur ;
sinon il se fait vers le chiffre inférieur ».
Exemple :
MMBé/PBl/ChD 1/6
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Mais le fait d’arrondir le nombre brut a introduit une erreur sur sa valeur. Cette erreur est
inférieure au 5/9 de la décimale d’arrondi.
Cependant, tout résultat de mesure devant figurer sur une note technique comprend trois
composants :
- la valeur de la grandeur ;
- l’incertitude associée ;
- l’unité.
Le nombre de chiffres significatifs d’un résultat dépend de la valeur de son incertitude. On peut, avant
tout calcul, faire les remarques suivantes :
On cherche un nombre x, tel que l’arrondissage d’un nombre m n’entraîne pas une erreur sur
sa valeur supérieure à u/x, u étant l’incertitude de mesure et x un facteur à déterminer (fixé à 5 dans
l’exemple ci-dessus).
On remarque :
• L’arrondissage simple d’un nombre obéit à r ≤ s/2, ce qui reste toujours vrai.
• Si x < 1 on a : u/x > u ; donc dans certains cas on pourra avoir : r > u/2 et le résultat
arrondi pourra se trouver en dehors de l’intervalle m ± u. Ce qui implique que x > 1.
MMBé/PBl/ChD 2/6
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2) Nos collègues du PTB utilisent x = 3, i.e. l’erreur d’arrondissage reste inférieure au 1/6.
Quelle est la valeur de x à retenir ? Peut-on estimer plus précisément cette valeur, compte tenu
des mesures communément réalisées dans le laboratoire ? Quelle erreur sur l’arrondissage peut,
raisonnablement, être acceptée ?
Soit une série de n mesures {Xi }, la valeur moyenne des résultats { Xi } est définie par :
1
m= ∑ Xi
n i
s m2 =
1
∑ ( Xi − m )2
n (n − 1) i
La grandeur sm étant déterminée à partir de données expérimentales, quelle est son incertitude ?
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( ) (
D s m2 = s m2 − s m2 )
2
( )
δ s m2 =
( )=
D s m2 2
s m2 n −1
U (U X ) 1
δ (U X ) = = δ (sm2 ) ≈
1
UX 2 2 (n − 1)
Ainsi il faut effectuer de l’ordre de cinquante mesures pour obtenir une incertitude relative de
l’écart type expérimental de 10 %.
a) Quel est le nombre de mesures communément effectuées pour déterminer l’activité d’un
échantillon par exemple ? Dans le cas d’une inter-comparaison ? D’un raccordement ?
La plupart des mesures d'activité massique sont réalisées avec 10 sources maximum ce qui entraîne
une incertitude de l'écart-type expérimental de 24 %. Avec 5 sources, cette incertitude vaut 36 %.
Tout cela en supposant une distribution gaussienne, bien difficile à démontrer.
De plus, compte tenu des inévitables approximations et interprétations lors de la détermination des
incertitudes au moyen de méthodes de type B (la loi de distribution est généralement inconnue sauf
quelques cas particuliers - loi de Poisson par exemple -) l'incertitude composée du résultat est
rarement connue à mieux que 50 %.
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Conclusions :
1) La règle du 1/10 : « Pour obtenir un résultat final comportant un nombre de chiffres compatibles
avec l’incertitude de mesure, on arrondit le résultat de façon que l’erreur due à l’arrondissage soit
inférieure au 1/10 de l’incertitude de mesure. » semble optimiste.
3) Par ailleurs, les résultats de mesure obtenus sont ensuite souvent utilisés dans des programmes de
calculs où de nouvelles sources d’erreur sont introduites. En particulier, on ne peut que rappeler la
recommandation : « Attendre la fin des calculs pour arrondir ». Dans cet esprit, il est préférable de
conserver la règle du 1/10 : si le premier chiffre significatif de l’incertitude est compris entre 5 et 9, le
résultat sera arrondi à cette décimale (l’incertitude comportera donc 1 chiffre significatif) ; si le
premier chiffre significatif est < 5, le résultat sera arrondi à la décimale suivante (incertitude à 2
chiffres).
4) Exemples :
MMBé/PBl/ChD 5/6
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Annexe
Fonctions Excel :
'
'Retourne la valeur arrondie d'un résultat (ou de son incertitude) en fonction de son incertitude
' pour x = 5
'
'Retourne la valeur arrondie d'un résultat (ou de son incertitude) en fonction de son incertitude
' la même pour x = 3
'
'Retourne SOUS FORMAT TEXTE la valeur arrondie d'un résultat
'et de son incertitude ( ex : 12,345(26) )
' pour x = 5
'
Function ResRondTxt(Resultat, Incertitude)
With Application
nb_chif = -1 - Int(.Log(Incertitude / 50))
ResRondTxt = .Fixed(ResRond(Resultat, Incertitude), nb_chif) + _
"(" + .Fixed(ResRond(Incertitude, Incertitude) * 10 ^ nb_chif, 0) + ")"
End With
End Function
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