Université Blida 1 1 ‫جامعة البليدة‬

Département d’Electronique Eléments de Métrologie ‫قسم اإللكترونيك‬

Génie Electrique ‫هندسة كهربائية‬
Master Instrumentation
TP 1

1.1- Chiffres significatifs et présentation des résultats

1. Chiffre significatif :
Dans un résultat de mesure, un chiffre est significatif s’il est nécessaire pour
définir la valeur de la mesure. C’est le nombre de chiffres nécessaires à l’écriture de sa
mantisse "a" lorsqu’il est sous forme de l’écriture scientifique x = a 10n .
Exemple :
Nombre de
Résultat de la mesure chiffres remarques
significatifs
0.335 = 335 10-3 3
3350 = 335 101 3 4 dans le cas d’un comptage
-3
3.350 = 3350 10 4
0.0335 = 335 10-4 3
-5
0.03305 = 3305 10 4

2. Présentation des résultats :

Tout résultat de mesure devant figurer sur une note technique comprend trois
composantes : - la valeur de la grandeur x
- l’incertitude associée Δx
- l’unité de mesure u
La connaissance de l’incertitude impose le nombre de chiffres significatifs de la grandeur
En pratique, quand on réalise un calcul sur la calculatrice, on obtient un nombre avec
beaucoup de chiffres et il convient de l’arrondir avec le bon nombre de chiffres significatifs,
car il ne convient pas de faire figurer, dans les chiffres significatifs du résultat, des chiffres
n’ayant aucun rapport avec la précision de la mesure. La détermination du nombre de
chiffres significatifs devra suivre les règles d’arrondis suivantes :

 Arrondissage de la grandeur :
Pour arrondir la valeur de la grandeur, il faut suivre les trois règles énoncées ci-après :

Si le premier chiffre à éliminer est

Inférieur à 5 Supérieur ou égal à Egal à
(5 suivi d’un chiffre ≠ 0) (5 suivi ou non de zéros)
Le dernier chiffre retenu Le dernier chiffre retenu On augmente d’une unité le
reste le même augmente d’une unité dernier chiffre s’il est impair
48.253  48.3 43.25  43.2
48.23  48.2 - 48.456  - 48.5 45.3500  45.4
42.38  42.4 - 48.55  - 48.6
46.4500  46.4

 Arrondissage de l’incertitude
Pour arrondir la valeur de l’incertitude il faut suivre les deux règles suivantes :

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Si le premier chiffre de l’incertitude est

compris entre 5 et 9 inférieur à 5
le résultat sera arrondi à cette décimale, le résultat sera arrondi à la décimale suivante,
l’incertitude comportera donc un chiffre l’incertitude comportera donc deux chiffres
significatif significatifs
résultat brut résultat final résultat brut résultat final
x = 5.6789123 u x = 5.679 u x = 5.6789123 u x = 5.6789 u
Δx = 0.006243 u Δx = 0.006 u Δx = 0.002341 u Δx = 0.0023 u

 Utilisation de données approchées

En sciences expérimentales, quand la valeur d'une grandeur est écrite sans écriture
explicite de l'incertitude absolue, l'écriture du nombre avec ses chiffres significatifs corrects
rend compte de façon implicite de l'incertitude absolue.

Exemples : x= 1,0 m signifie que ∆x = 0,05 m ou encore x = (1,00 ± 0,05) m

alors que x = 1,00 m signifie que x = 0,005 m ou encore x = (1,000 ± 0,005) m
Dans le premier exemple, x comporte deux chiffres significatifs et dans le deuxième 3
chiffres significatifs ; de façon générale, l’incertitude absolue porte au niveau du dernier
chiffre significatif.
Dans le cas des nombres transcendants π = 3,141 592 7... , e = 2,718 281 8..., ,
, etc…., leurs expressions peuvent être choisies selon la précision désirées, suivant les
précisions des données et les besoins des calculs à effectuer.
Exemple :
Nous démontrons que π = 3,14 introduit sur les calculs une erreur de 16/31416 = 0.5 ‰ , il
est conseillé donc que la moins précise des données de mesure utilisées avec cette valeur de
π = 3,14 soit précise à 0.5%

Remarque : Un moyen simple d'obtenir une valeur approchée à 10 − n ( ) près d'un

nombre réel x est la troncature de x à n décimales près.

3. Résultat d’un calcul :

Un calcul numérique s’effectue à partir de données qui peuvent être fournies avec des
précisions différentes. Pour certains calculs le résultat du calcul doit être aussi précis que la
moins précise de ces mesures, mais nous admettons comme principe de base "qu’un résultat
de calcul ne peut être plus précis que les données qui ont servi à le calculer".
Mais ce principe de base dépend des conditions dans lesquelles le calcul doit être fait :
 Soit on connaît les incertitudes sur toutes les grandeurs entrant dans la formule de
calcul et alors on peut déterminer l’incertitude sur la grandeur calculée ( voir II.3.2 )

 Soit on connaît uniquement les valeurs des grandeurs entrant dans la formule de
calcul, chacune avec un certain nombre de chiffres significatifs qui est généralement
différent pour chaque grandeur et il convient de déterminer le nombre de chiffres
significatifs avec lequel on va exprimer le résultat.

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Ce dernier cas correspond à la situation la plus courante rencontrée dans la résolution

d’un exercice ou d’un problème. Suivant le type d’opération faite, on adoptera les règles
empiriques suivantes :

a- Règle de la position
Pour savoir à quel point une mesure est précise, on regarde la « position » du dernier
chiffre. Ainsi 7,98 est plus précis que 9,1. Le centième est plus précis que le dixième.
On utilise cette règle dans le cas des opérations
 d’addition(s) et/ou soustraction(s) de mesures
 de multiplication (ou division) d’une mesure par un ou des nombres mathématiques.

Exemple (sur addition et soustraction) :

Soit un objet dont la masse est m = 1,26 kg (3 chiffres significatifs donc m est mesurée à 5 g
près). On place cet objet dans un carton de masse m’ = 82 g (2 chiffres significatifs donc m’
est mesurée à 0,5 g près). Quelle est la masse M du paquet ?
M = m + m’ = 1342 g mais combien garde-t-on de chiffres significatifs ?
les deux opérandes 1,26 : deux décimales 0,082 : trois décimales impose au résultat d’être
exprimé avec deux décimales : soit 1, 34 kg

Exemple ( sur multiplication et division) :

Par des mesures spectroscopiques, on mesure la longueur d’onde d’une radiation lumineuse
soit λ= 0,5345 μm. Quelle est la fréquence υ de cette radiation dans le vide ?
υ = C/λ = 5,607476636 x 1014 Hz
soit 5,607 x1014 Hz avec 4 chiffres significatifs comme λ car il est implicite que C, la célérité
de la lumière dans le vide, est connue avec une très grande précision.

b- Règle des logarithmes et exponentielles

On conserve dans le cas des logarithmes autant de chiffres à droite de la virgule qu’il y a
de chiffres significatifs dans le nombre de départ
Exemple : log(9,57×104) = 4,981

On conserve dans le cas des exponentielles autant de chiffres qu’il y a de chiffres à droite
de la virgule dans le nombre de départ
exemple : 1012,5 = 3×1012

c- Règle des fonctions :

Le résultat sera exprimé avec le même nombre de chiffres significatifs que l’argument

Exemple : L’étude expérimentale de la réfraction limite lors du passage d’un dioptre d’un
milieu d’indice relatif n à l’air donne un angle ilim = 72,0 ° Que vaut l’indice n du milieu
incident ? si l’indice n est défini par la relation n = 1/sin(ilim).

Le calcul donne n = 1,05146 , mais ilim = 72,0 ° impose trois chiffres significatifs donc
n = 1,05.

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d- Règle du nombre de chiffres significatifs

On utilise cette règle 95 % du temps, dans tous les problèmes où on doit faire des additions et
des multiplications pour arriver à la réponse finale, qui doit comporter le même nombre de
chiffres significatifs que la mesure qui en comporte le moins.

Enoncé de la règle :
On fait tous les calculs en n’arrondissant jamais au cours des calculs intermédiaires.
Lorsqu’on trouve la réponse finale, on traite les chiffres significatifs en regardant les
données du problème. Alors, on repère le nombre ayant le moins de chiffres significatifs et on
calcule son nombre de chiffres significatifs. Ce nombre de chiffres significatifs est celui
qu’on doit appliquer à la réponse.

4- Manipulation:
(Utiliser le fichier pdf joint)

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1.2 Représentation graphique des mesures

La représentation graphique concerne la façon dont on représente des données sur un
graphe. Elle permet de faciliter l'analyse et l'interprétation de ces données ou de les mettre en
rapport pour faciliter les calculs ou l’étalonnage. Il existe plusieurs types de représentations
graphiques adaptées dans chaque situation de problèmes. Nous rappelons dans les lignes qui
suivent les principales notions qui caractérisent les graphiques les plus utilisés dans les
domaines des sciences et techniques.

1- Utilisation du papier millimétré

1.1- Titre du graphique
Quelque soit le graphique à faire, il faut toujours en indiquer le titre en caractères
d’imprimerie.
Exemples : LOI DE HOOKE, LOI D’OHM,

1.2- Identification des axes

Sur chacun des axes vertical des ordonnées et horizontal des abscisses, on doit
inscrire le non des paramètres (en caractères d’imprimerie) et en indiquer les unités
Exemples : MASSE (g), DEFORMATION (cm), TENSION(V), INTENSITE (A)

1.3- Détermination des échelles sur les axes

Les échelles sur les axes sont tout à fait indépendantes les unes des autres.
Cependant la façon de les déterminer reste toujours la même :

On compte le nombre de carreaux (cm) disponibles sur l’axe, on évalue

l’étendue des mesures effectuées en référence à cet axe et on calcule la valeur qu’il
faut attribuer à chaque carreau à l’aide d’une règle de trois.

Les valeurs possibles couramment acceptées sont 1, 2 et 5 par carreau ou tout produit
décimal de ces valeurs ( 0.1, 0.2, 0.5 10, 20, 50, etc…). La courbe doit couvrir la plus
grande surface du papier graphique, cependant il faut éviter :
- Une précision illusoire conduisant à une dilatation de la mesure par une échelle dont
la précision dépasse la précision des données de la mesure.
- Une négligence de la précision conduisant à une contraction de la mesure par une
échelle moins précise que la précision des données de la mesure.

1.4- La translation d’axe ou coupure d’axe

La translation d’axe consiste à commencer la représentation graphique à partir d’un
point différent de l’origine, afin d’augmenter la dispersion des points sur le graphique et
d’améliorer le calcul de la pente au détriment de la valeur de l’ordonnée à l’origine.
La coupure d’axe consiste à éliminer la représentation d’une partie du graphique afin
d’augmenter la précision dans l’analyse de certaines parties qui doivent être représentées.

1.5- Analyse des résultats d’une expérience

L’analyse des résultats d’une expérience sur le papier millimétré peut être obtenue en
utilisant un certain nombre d’opération que nous présentons dans ce qui suit.

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1.5.1- Interpolation et extrapolation

- L’interpolation est l’opération qui consiste à introduire ou à déterminer des valeurs de
points d’un graphe situés entre les points expérimentaux en reliant entre eux.

- L’extrapolation est l’opération qui consiste à introduire ou à déterminer des valeurs de

points d’un graphe situés à l’extérieur des points expérimentaux en prolongeant le
graphe.

1.5.2- Calcul de la pente d’une droite

Toute droite dans un graphique est de la forme : y = mx + b. Où m est la pente de la
droite et b , son ordonnée à l’origine.
On obtient b, en interpolant ou en extrapolant de façon à connaître b lorsque x = 0.
La pente se calcule de la façon suivante :
Remarques importantes:
- Quand on calcule une pente, il faut toujours conserver les unités utilisées sur les axes,
dans les calculs.
- On n’utilise généralement pas les coordonnées des points expérimentaux comme
coordonnées de base pour le calcul de la pente.

1.5.3- Incertitude graphique

La représentation d’un point de coordonnées (x,y), d’abscisse x ± ∆x et d’ordonnée
y ± ∆y nous amène à remplacer les points expérimentaux par des rectangles d’incertitudes de
côtés 2∆x et 2∆y et de centres (x,y).
Toute droite passant par les surfaces correspondant à chaque mesure est théoriquement
acceptable. Les étapes à suivre pour déterminer l’incertitude sur m et b de ces droites est la
suivante :
a) Portez les rectangles d’incertitudes correspondant à chaque mesure sur le graphique
b) Tracez la droite qui tout en passant par tous les rectangles possède la plus grande
pente m+ .
c) Tracez la droite qui tout en passant par tous les rectangles possède la plus petite pente
m- .
d) Calculez l’écart entre m+ et m- .
e) Localisez b+ et b- puis calculez l’écart entre eux.

2- Utilisation du papier logarithmique

La droite d’équation y = mx + b est la courbe que nous pouvons facilement interpréter
de façon mathématique. Il faut donc, dans la mesure du possible obtenir une droite sur le

graphique en utilisant une relation linéaire entre y et f(x) ou g(y) et x ou un papier dont une
échelle est une fonction de x ou y comme le papier semi-logarithmique, par exemple.

Le papier semi-logarithmique est un papier de représentation à deux axes dont l’un est
à échelle millimétrique et l’autre à échelle en logarithme décimal caractérisé par l’égalité des
distance entre (1-10), (10-100), (100-1000), etc…, ainsi qu’entre (0.1-1), (0.01-0.1), etc …..
On déduit qu’un tel axe ne possède pas de point nul ( log0 = -∞ ).

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Dans certains cas, il sera impossible de linéariser une courbe en utilisant la relation
d’une des grandeurs en fonction du logarithme de l’autre, comme dans le cas précédent. On
procédera alors à un essai sur un papier à deux échelles fonctions comme le papier
logarithmique (log - log).

3- Autres formes de papiers

3.1- Papier polaire
Ce type de papier est surtout utilisé quand un des paramètres est un angle et que l’on
recherche une visualisation du phénomène.

3.2- Abaques graphiques

Les abaques sont des graphiques qui revêtent des formes diverses. Par exemple, on
retrouve : des graphiques linéaires, des graphiques à barres, des graphiques à points.
Le rôle des abaques consiste à mettre plusieurs données en relation les unes avec les autres
(exemple : abaque de fraisage ci-dessous). La précision des abaques est liée à la fois à leur
qualité graphique, à la graduation des échelles qu'ils contiennent et à l'interprétation qu'en fait
la personne qui les consulte.
Abaque de fraisage
Papier polaire

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2- Manipulation:
Experience1 :
Représentez le graphe des résultats de mesure d’une expérience portant sur la loi de Hooke,
contenus dans le tableau1 :
a) Sans translation ni coupure d’axes
b) En utilisant une translation de l’axe des abscisses M
c) En utilisant une translation de l’axe des abscisses M et une coupure de celui des ordonnées L
d) Déterminer dans le cas des graphiques a) et c), la valeur de la déformation ΔL correspondant aux
masses : 240g, 265g, 282g, 298g et, 307g .
e) Que vaut l’ordonnée à l’origine dans ce cas ?
f) Reprendre les tracés avec Excel et comparer les deux résultats obtenus .

Expérience 2 :
Supposons qu'une expérience ait donnée les résultats contenus dans le tableau2
représentant la loi de Hooke. (déformation d’un ressort en fonction de la force exercée sur
l’une de ses extrémités).
a) Représentez les résultats de cette expérience en choisissant l’échelle adéquate et en
respectant toutes les règles de la représentation graphique.
b) Sachant que la loi de Hooke est de la forme F=k.x et que la constante de gravité g = 980
cm/s2, quelle est la valeur de la constante de raideur du ressort k.
c) Déterminez la valeur de la déformation du ressort correspondante aux masses : 0g, 5g,
45g, 100g.
d) Reprendre les tracés avec Excel et comparer les deux résultats obtenus.

M(g) 250 260 270 280 290 300 M(g) 10 20 30 40 50 60 70 80

L(cm) 70.0 72.1 73.9 76.0 77.9 80.1 ΔL(cm) 2.9 6.0 9.0 12.0 15.4 18.2 21.1 24.2

Tableau1 Tableau2
Experience 3 :
Les données du tableau3 représentent la d.d.p V en fonction de la variation de
l’intensité du courant I dans une résistance.
a) Tracez les résultats des mesures en incluant les incertitudes avec une autre couleur
b) Tracez les deux droites (de pente minimale m- et maximale m+) qui passent par les
régions de mesure.
c) Quelles sont les ordonnées à l’origine des deux droites b+ et b-.
d) En déduire Δm, Δb, m et b.
e) Comparer les résultats obtenus avec les résultats graphiques manuels
V(V ) 0.5±0.1 1.3±0.1 1.9±0.1 2.7±0.2 3.0±0.2
Tableau3
I(A) 0.10±0.02 0.32±0.02 0.53±0.02 0.65±0.02 0.77±0.02

N.B : - Les TP doivent être préparés à l’avance.

- Les rapports devront être rendus sous forme numérique (fichier ‘.exel’ + fichier ‘.doc’ qui
comporte toutes les figures) à la fin de la séance.