Exos T S Similitudes
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Exercice n° 1 : r r
Le plan est rapporté au repère orthonormal (O, u, v) .
Unité graphique : 4 cm.
Partie 1 :
1. Placer les points I, J, H, A, B, C, D d’affixes respectives :
3
zI = 1, zJ = i, zH = 1 + i, zA = 2, zB = + i, zC = 2i et zD = −1.
2
Partie 2 :
On considère la transformation f du plan, d’écriture complexe : z′ = −i z + 2i.
4. On pose s = f ◦ t−1.
Exercice n° 2 :
Partie A :
3.
a. Démontrer l’égalité u − s = i(t − r).
b. Que peut-on en déduire pour les longueurs des segments [RT] et [SU], d’une part, et pour
les droites (RT) et (SU), d’autre part ?
Partie B :
Cette partie sera traitée sans utilisation des nombres complexes.
1. Démontrer, en utilisant les résultats établis dans la partie A, qu’il existe une unique rotation
g qui transforme R en S et T en U.
2. Décrire comment construire géométriquement le point Ω , centre de la rotation g.
Réaliser cette construction sur la figure de l’annexe.
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Annexe :
Exercice n° 3 : r r
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O, u, v) .
On considère l’application f qui au point M d’affixe z fait correspondre le point M′ d’affixe z′
tel que :
3 + 4i 1 − 2i
z'= z+ .
5 5
2.
a. Déterminer l’ensemble des points invariants par f.
b. Quelle est la nature de l’application f ?
Exercice n° 4 :
r r
Le plan est muni d’un rep`ere orthonormal direct (O, u , v) .
On prendra sur la figure 1 cm pour unité graphique.
On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives −1 + i, 3 + 2i et i 2 .
1+ i
z'= z − 1 + i (1 + 2) .
2
2.
a. Donner l’écriture complexe de l’homothétie h de centre A et de rapport 2 .
b. Montrer que la composée g = f ◦ h a pour écriture complexe z′′ = (1 + i) z − 1 + 3i.
3.
a. Soit M0 le point d’affixe 2 − 4i.
uuur uuuuur
Determiner l’affixe du point M 0" = g (M0) puis vérifier que les vecteurs AB et AM 0"
sont orthogonaux.