Fonctions Usuelles
Fonctions Usuelles
Fonctions Usuelles
Définition:
f 2: x 3 ; D f =ℝ
2
f 3: x cos x ; D f =ℝ 3
1
f 4:x 2 ; D f =ℝ \ { – 1 ; 1}
x –1 4
g2 : x 3 x ; D g =ℝ 2
g3 : x sin x ; D g =ℝ 3
1
g 4: x ; D g =ℝ \ { – 1 ; 1}
x x 2 – 1 4
Remarque:
Lorsque l'on étudie la parité d'une fonction, il ne faut surtout pas oublier d'étudier la
« symétrie » de son ensemble de définition!
Propriétés:
1
b) Dans le cas d'une f fonction impaire, les points M x ; f x et M ' – x ; f – x
sont symétriques par rapport à l'origine O du repère.
2
II) Fonctions affines et fonctions linéaires
Définitions:
Propriétés et définitions:
– La représentation graphique d'une fonction affine est une droite qui passe par le point
0 ; p . Le réel p s'appelle l'ordonnée à l'origine de la droite: on a en fait
p= f 0 . Le réel m s'appelle le coefficient directeur de la droite.
– La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite qui passe par
l'origine du repère.
Remarque:
Exemples:
Remarque:
Les fonctions affines (et donc aussi linéaires) sont les seules fonctions dont la
représentation graphique est une droite.
3
Exercice:
Propriété 1:
Démonstration:
4
f b – f a =mb – a
Or, ab donc b – a0 , donc sgn[ f b – f a ]=sgn m .
Par conséquent:
– Si m=0 , f b= f a et f est constante.
– Si m0 , f b – f a 0 donc f b f a et f est croissante..
– Si m0 , f b – f a 0 , donc f b f a et f est décroissante.
Propriété 2:
Remarque:
Une fonction linéaire étant un cas particulier de fonction affine, le résultat précédent est
bien sûr encore valable; dans ce cas particulier, puisque f x =mx , chaque image est
proportionnelle à son antécédent. Le coefficient de proportionnalité est m . Autrement
dit, pour obtenir l'image d'un nombre x par f , on miultiplie ce nombre par m .
Propriété:
5
p
f x 0 pour x–
m
– Si m0 :
p
f x 0 pour x–
m
p
f x =0 pour x=–
m
p
f x 0 pour x–
m
Exercice:
Définition:
6
La représentation graphique de la fonction carré s'appelle une parabole, de
sommet O.
Propriété 1:
Propriété 2:
Démonstration:
– Sur ℝ+ :
Soient a et b réels tels que 0ab ; on a:
f b – f a =b 2 – a 2
f b – f a =b – a ba
Or, b – a0 et ba0 car a et b sont positifs avec ba .
Par conséquent, f b – f a 0 , c'est à dire f b f a et f est croissante sur
[0 ;∞[ .
– Sur ℝ- :
Soient a et b réels tels que ab0 ; on a, de la même façon:
f b – f a =b – a ba
Or, ab0 et b – a0 car a et b sont négatifs avec ba .
Par conséquent f b – f a 0 , c'est à dire f b f a et f est décroissante sur
] – ∞ ;0 ] .
Définition (complément):
Exemple:
7
1 2 1
Représentation graphique de f x =– x x .
4 2
Remarques:
– La fonction carré est un cas particulier de polynôme du second degré, avec a=1 , et
b=c=0 .
– Attention: toute les fonctions polynômes du second degré ne sont pas paires (voir
l'exemple précédent pour s'en convaincre).
Rappel:
Définition:
Propriété 1:
Propriété 2:
Démonstration:
8
– Sur ] – ∞ ;0 ] , on a f x =∣x∣=– x qui est décroissante.
Définition:
On appelle fonction inverse la fonction définie sur ℝ \ {0 } (que l'on note aussi ℝ* )
1
par f : x .
x
Propriété 1:
Propriété 2:
V) La fonction cubique
Définition:
9
La représentation graphique de la fonction cubique s'appelle une cubique.
Propriété 1:
Propriété 2:
Définition:
10
Remarques:
Si l'on représente toutes les fonctions précédentes sur le même graphique, on obtient:
En bleu: y=∣x∣
En rouge: y=x 2
1
En orange: y=
x
3
En gris: y=x
En violet: y= x
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