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    Groupe 1 Juin 1970

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    Durée : 4 heures

    [ Baccalauréat C Groupe 1 1 juin 1970 \

    E XERCICE 1

    1. Étudier les variations de la fonction qui, à tout x réel, associe

    2cos x − cos 2x.


    2. Soit F la fonction définie par
    hπ i
    x∈ ;π ,
    F (x) = 2cos x − cos 2x.
    3
    Démontrer que F admet une fonction réciproque, G, dont on précisera le do-
    maine de définition et les propriétés.
    Étudier les variations de G et tracer sa représentation graphique.
    p 1
    3. Calculer les valeurs de G et de sa dérivée pour les valeurs − 2, − et +1 de la
    2
    variable.
    Calculer cos[G(t )] et sin[G(t )] en fonction de t .

    E XERCICE 2
    On donne deux nombres positifs, a et b, (0 < a < b), et deux nombres positifs, λ et
    µ. On définit deux suites par les relations suivantes :

    u1 = a v1 = b
    ... ... ... ...
    un + λv n un + µv n
    un+1 = v n+1 =
    1+λ 1+µ
    1. Comment doit-on choisir λ et µ pour que l’on ait

    u1 < u2 < v 2 < v 1 ?


    b) λ et µ étant ainsi choisis, démontrer que les suites (un ) et (v n ) ont une limite
    commune, que l’on déterminera.

    E XERCICE 3
    On donne, dans le plan, un repère orthonormé, d’axes Ox et Oy ; un cercle (ω) a pour
    centre ω(+2 ; 0) et pour rayon 1.

    1. Trouver l’équation du cercle (ω) et celle de la polaire (∆) de l’origine, O, par


    rapport à (ω).
    Comment doit-on choisir les réels u et v pour que la droite (D) (ux+v y −1 = 0)
    coupe (ω) en deux points distincts, P et Q ?
    La droite (D) coupant (ω) en deux points distincts, P et Q, démontrer que
    l’équation

    x 2 + y 2 − 4x + 3 + 2λ(ux + v y − 1) = 0,
    où λ est un réel quelconque, représente un cercle contenant P et Q.
    Trouver l’équation du cercle (Γ) passant par les points O, P et Q.
    1. Centres du Bassin méditerranéen et de l’Afrique Noire
    Baccalauréat C A. P. M. E. P.

    2. Les droites OP et OQ recoupent le cercle (ω) en des points P′ et Q′ respecti-


    vement. La droite (D′ ) joignant P′ et Q′ coupe en I la droite PQ ; démon- trer
    3
    géométriquement que I a pour abscisse .
    2
    Dans l’inversion de pôle O laissant globalement invariant le cercle (ω), quelle
    est la courbe transformée du cercle (Γ) ? En déduire que la droite (D′ ) a pour
    équation

    3(ux + v y + 1) − 4x = 0.

    3. Démontrer analytiquement ¡ et géométriquement que, si la droite (D) pivote


    autour du point fixe ; , la droite (D ) pivote autour d’un point fixe
    ¢ ′
    M 0 x 0 y 0
    Ml 1 x1 ; y 1 . Calculer x0 et y 0 en fonction de x1 et y 1 et inversement.
    ¡ ¢

    On considère la transformation ponctuelle plane T qui à tout point M0 associe


    le point M1 . Trouver les points qui sont invariants par T .
    Donner une définition géométrique de T .
    Démontrer géométriquement que le cercle (ω) est globalement invariant par
    T.
    Trouver géométriquement tous les cercles invariants par T ; donner l’équation
    générale de ces cercles.
    4. Une droite (Λ) menée par ω coupe le cercle (ω) en N et N′ ; les bissectrices des
    droites ON et ON′ coupent la droite NN′ en U et en V respectivement ; soit E le
    milieu de UV.
    Démontrer géométriquement que E est équidistant de l’axe Oy et de la droite
    (∆).
    Utiliser ce résultat pour obtenir l’équation du lieu géométrique, ( ), des points
    P

    U et V lorsque (Λ) pivote autour de ω.


    On mettra cette équation sous la forme

    y 2 = f (x),

    où f est une fraction rationnelle.


    On démontrera que la dérivée de la fonction positive y que définit la formule
    précédente s’annule pour une seule valeur de x.
    On construira enfin la courbe ( ).
    P

    Groupe 1 2 juin 1970

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