Corr. SP LGLSI1An2 2022 2023
Corr. SP LGLSI1An2 2022 2023
Corr. SP LGLSI1An2 2022 2023
: 2022-2023
UNIVERSITE DE GABES
DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES Section : LGLSI1
CORRECTION DE L’EXAMEN D’ANALYSE 2
2 − 1 = 1.
(2) On a : ()n
1
∀n ∈ N, wn = q w0 =n
≥ 0.
45
Donc pour tout n ∈ N, on vn − un ≥ 0 et par conséquent
∀n ∈ N, un ≤ vn .
(3) On a :
23un + 22vn 2
∀n ∈ N, un+1 − un = − un = wn ≥ 0.
45 45
Donc la suite (un ) est croissante. D’autre part, on a :
22un + 23vn 2
∀n ∈ N, vn+1 − vn = − vn = − wn ≤ 0.
45 45
Alors la suite (vn ) est décroissante. De plus, on a :
( )n
1
lim (vn − un ) = lim wn = lim = 0.
n−→+∞ n−→+∞ n−→+∞ 45
Ce qui prouve que les deux suites (un ) et (vn ) sont adjacentes.
(4) On pose :
∀n ∈ N, tn = un + vn .
On a :
23un + 22vn 22un + 23vn
∀n ∈ N, tn+1 = un+1 + vn+1 = + = un + vn = tn .
45 45
Donc la suite (tn ) est constante. Alors
∀n ∈ N, tn = t0 = u0 + v0 = 1 + 2 = 3.
1
2
1 n! 1 n!
(h) Soit un = + n = xn + yn avec xn = et yn = n .
n! n n! n
D’une part, on a :
xn+1 n! 1
lim = lim = lim = 0 < 1.
n→+∞ xn n→+∞ (n + 1)! n→+∞ n+1
∑
Donc à l’aide de la règle de D’Alembert xn converge.
n≥0
D’autre part, pour tout n ∈ N∗ , on a :
( )n
yn+1 (n + 1)! nn n 1
= × = =( )n .
yn (n + 1)n+1 n! n+1 1 + n1
D’où
yn+1 1 1
lim = lim ( )n = < 1.
n→+∞ yn n→+∞ 1 + 1 e
n
∑ ∑
Donc yn converge et par conséquent la série un est convergente.
n≥1 n≥1
∑
+∞
1 n2 + n + 1
(2) On admet que = e. Soit un = . On a :
n=0
n! n!
un+1 (n + 1)2 + n + 2 n! n2 + 3n + 3
lim = lim × 2 = lim = 0 < 1.
n→+∞ un n→+∞ (n + 1)! n + n + 1 n→+∞ (n + 1) (n2 + n + 1)
∑
Donc à l’aide de la règle de D’Alembert un converge.
n≥0
D’autre part, pour tout n ≥ 2, on a :
n2 + n + 1 n (n − 1) + 2n + 1 1 2 1
un = = = + + .
n! n! (n − 2)! (n − 1)! n!
4
D’où
∑
+∞ ∑
+∞ +∞ [
∑ ]
1 2 1
un = u1 + un = 3 + + +
n=1 n=2 n=2
(n − 2)! (n − 1)! n!
∑
+∞
1 ∑
+∞
1 ∑ 1 +∞
= 3+ +2 +
n=2
(n − 2)! n=2
(n − 1)! n=2 n!
∑
+∞
1 ∑
+∞
1
= 3+ +2 + (e − 2) = 3 + e + 2 (e − 1) + e − 2 = 4e − 1.
n=0
p! n=1
p!
On obtient :
1 ( )
x2 +x
= λe−x + ex
2
∀x ∈ R, y (x) = x 2 λ + e
e
où λ est une constante réelle.
b) Si de plus y (0) = 2 alors λ + 1 = 2 et par conséquent λ = 1 et on obtient :
∀x ∈ R, y (x) = e−x + ex .
2
On trouve :
yp′′ − 3yp′ + 2yp = 2ax + 2b − 3a + 6ce−x − dex = 44x − 20 + 6e−x − ex .
a = 22, b = 23, c = 1, d = 1 et yp (x) = 22x + 23 + e−x + xex .
Donc
∀x ∈ R, y (x) = yh (x) + yp (x) = λ1 ex + λ2 e2x + 22x + 23 + e−x + xex , λ1 , λ2 ∈ R.
b) On a :
∀x ∈ R, y (x) = λ1 ex + λ2 e2x + 22x + 23 + e−x + xex
et
∀x ∈ R, y ′ (x) = λ1 ex + 2λ2 e2x + 22 − e−x + (x + 1) ex .
Alors { { {
y (0) = 26 λ1 + λ2 + 24 = 26 λ1 + λ2 = 2
⇔ ⇔
y ′ (0) = 25 λ1 + 2λ2 + 22 = 25 λ1 + 2λ2 = 3
D’où λ1 = λ2 = 1 et on a :
∀x ∈ R, y (x) = ex + e2x + 22x + 23 + e−x + xex .