Srie dexercices

Bobine et diple RL
Exercice 1 :

On ralise un circuit lectrique comportant une bobine dinductance L et de rsistance r, un

conducteur ohmique de rsistance R, un gnrateur de tension de f ..m. E et interrupteur K.

On donne

L = 210 mH

r =10

R = 200

1)
a) Reprsenter sur le schma du circuit de la figure 1, les branchements effectuer pour
visualiser loscilloscope les tensions UAC et UBC ?
b) Quelles grandeurs visualisent les tensions UAC et UBC ?
2)
a) Quelle est la tension aux bornes de la bobine ?

1
 b) Etablir lquation diffrentielle en i(t) au cours de ltablissement du courant
lectrique dans la bobine.
3) Donner en fonction de L, R et r lexprience de la constante du temps. Calculer sa valeur
en seconde.
4) La courbe de la figure 2 donne les variations de lintensit i au cours du temps lors de
ltablissement du courant lectrique dans la bobine.

Figure 2

En expliquant brivement la rponse, dduire du graphe :

a) Lintensit maximale I0 du courant la fin du rgime transitoire.

b) La date t partir de laquelle le rgime permanent stablit.

Dduire la f..m. du gnrateur.

+
5) Soit lexpression : () = (1

)
a) En exploitant la courbe de la figure 2, donner lexpression de A.
b) Dduire lexpression de la tension UL(t) aux bornes de la bobine.
c) Reprsenter lallure de la tension UL(t) au cours de ltablissement du courant dans
la bobine.

Exercice 2 :

Un circuit lectrique comporte en srie :

2
 - Un gnrateur de tension de f..m. E
- Un rsistor de rsistance R
- Un interrupteur k.
- Une bobine dinductance L et de rsistance r.

Figure 1

A t = 0, on ferme linterrupteur k et laide dun oscilloscope branch, on obtient les

oscillogrammes de la figure 2.

Figure 2
1)
a) Quelles sont les tensions visualises sur les voies (1) et (2) de loscilloscope ?
b) A quelles tensions correspondent les courbes (1) et (2) ?
c) Quelle tension permet de suivre lvaluation de lintensit au cours du temps ?
2) Etablir lquation diffrentielle en i(t)

3
 3)

a) Vrifier que () = 0 (1 ) est une solution de lquation diffrentielle.
b) Quelle est lexpression de la constante du temps de ce circuit ?
c) Dterminer sa valeur graphiquement.

Exercice 3 :

On se propose dtudier ltablissement du courant dans un diple srie, comportant une

bobine dinductance L = 0,5 H et de rsistance r et un conducteur ohmique de rsistance
R = 20 , lorsque celui-ci est soumis un chelon de tension de valeur E = 6 V dlivre par
un gnrateur de tension idale.

Un oscilloscope mmoire est branch comme lindique la figure 1.

Figure 1

A linstant t = 0, on ferme linterrupteur K et on procde lenregistrement.

On obtient loscillogramme reprsent sur la figure 2.

4
 1) Quelle grandeur lectrique peut tre dtermine partie de la tension U R(t) ?
2)
a) Explique le retard de ltablissement du courant dans le circuit.
b) Quel est le phnomne qui est lorigine de ce retard ?
3) Le circuit tudi peut tre caractris par une constante de temps , qui permet dvaluer
la dure ncessaire ltablissement du rgime permanent dans ce circuit.
a) Etablir lquation diffrentielle en i(t) du diple RL.
b) Etablir lexpression de lintensit I0 du courant lorsque le rgime permanent est tabli.

c) Montrer que lexpression de la tension UR en rgime permanent est 0 = + .

d) Dduire la valeur de la rsistance interne r de la bobine.

4) Dterminer la valeur de la constante de temps .
5) Calculer la valeur de lnergie emmagasine par la bobine t = 28. 10-3 s.

Exercice 4 :

Pour tudier exprimentalement la rponse dun diple RL un chelon de tension, on ralise

un circuit lectrique en associant en srie :

- Une bobine dinductance L et de rsistance r ;

- Un rsistor de rsistance R ;
- Un gnrateur de force lectromotrice E = 6V.

5
Lvolution de la tension au cours du temps de la tension aux bornes de la bobine est donne

par la relation = . + .

On enregistre laide dun systme dacquisition informatis, lintensit i du courant qui

traverse la bobine lorsquon ferme linterrupteur K.

Le rsultat de lenregistrement est donn par la courbe ci-dessous :

1)
a) Que peut-on dire de leffet de la bobine sur ltablissement du courant ?
b) A partir de quelle date le courant induit sannule dans la bobine ?
c) Quelle est la loi qui permet de dterminer le sens du courant induit ?
d) Comparer le sens du courant principal et celui du courant induit avant de sannuler.

6
2)
a) Par application de la loi des mailles, tablir lexpression de lintensit I0 du courant en
rgime permanent en fonction des grandeurs E, R et r.
b) Montrer que la valeur de la rsistance totale du circuit est R + r = 100 .
3)
a) Que caractrise la constante de temps ?
b) Dterminer graphiquement la valeur de la constante de temps .
En dduire la valeur de L.
4)
a) Etablir lquation diffrentielle en i(t).


b) Vrifier que i(t) = + (1 ) est une solution de cette quation diffrentielle.

5) Lvolution de la tension Ub aux bornes de la bobine ainsi que celle de la tension U R

aux bornes du conducteur ohmique au cours du temps est donne par le graphe ci-
dessous.

a) Identifier les deux courbes.

b) Pourquoi la courbe 2 ne tend pas vers zro lorsque t tend vers linfini ?
c) Dterminer les valeurs des rsistances R et r.
d) Reprsenter lallure de la courbe donnant les variations de la f..m. dauto-induction
e en fonction du temps.

7
 Correction de la srie dexercices
Bobine et diple RL

Correction exercice 1 :
a)

b)
UAC correspond la tension E.
UBC correspond la tension UR.
2)

a) = +

b) Appliquons la loi des mailles

+ = 0

. + . + . =


+ ( + ) =

( + )
+ =

8
3)

=
+
210. 103
= = 103
200 + 10
= 103 s

4)
a) En rgime permanent, lintensit du courant est maximale et constante
0 = 60
b) En rgime permanent, lintensit du courant devient constante.
Le rgime permanent stablit lorsque t = 4 ms.
c)Daprs lquation diffrentielle :
( + )
+ =

Sachant quen rgime permanent, le courant est constant

=0

( + )
0 =

( + ) 0 =

= (200 + 10) 60. 103

= 12,6

5)
a)
+
() = (1 )

+
lim () = lim (1 )

=
+ +

Do A = 0
Daprs lquation diffrentielle

9
 ( + )
+ =

En rgime permanent, le courant est constant

=0

( + )
0 =


0 =
+
Do

=
+
b) Daprs la loi des mailles :
+ =
=
() = ()
Or
+
( ) = (1 )
+
+
() = (1 )
+
. . +
() = +
+ +
+ . . +
() = +
+ + +

. . +
() = +
+ +
c)

(0 ) = ( + ) = = 12.6
+
+ .
lim () = lim ( + ) =
+ + + +
. 12.6 10
= = 0.6
+ 210

10
Correction exercice 2 :
1)
a) La voie (1) permet de visualiser la tension aux bornes du rsistor.
La voie (2) permet de visualiser la tension aux bornes du gnrateur E.

b) La courbe (a) correspond la f..m. du gnrateur car E = constante.

La courbe (b) correspond la tension UR.
c) La tension qui suit lvolution de lintensit i(t) est UR car = R. i
2) Appliquons la loi des mailles.

+ E = 0
+ = E
di
. + r. i + L. =E
dt
di
( + r)i + L. =E
dt
di ( + ) E
+ i=
dt
3)
a) Lquation diffrentielle en i(t) est :

11
 di ( + ) E
+ i=
dt
Cette quation diffrentielle du premier ordre avec second membre est de solution

() = (1 )

lim () = lim (1 ) =
+ +

Or i()= constante car en rgime permanent, le courant stablit.

Do = = 0

Do () = 0 (1 )

b) =
+

c) est labscisse du point dintersection de la tangente la courbe avec lasymptote

Y = U0

Daprs la figure 2 = 3ms

Correction exercice 3 :
1) Nous savons que UR(t) = R. i(t)
Donc, lintensit du courant lectrique peut tre dtermine partir de la tension UR(t).
2)
a) La variation du courant principal dans le circuit dune valeur nulle une valeur non
nulle cre dans la bobine un courant induit, ce courant daprs la loi de Lenz,

12
 soppose la cause qui lui a donn naissance, cest--dire soppose ltablissement
du courant principal dans le circuit.
b) le phnomne qui est lorigine de ce retard est le phnomne dauto-induction
lectromagntique.
3)
a) Daprs lquation diffrentielle :
+ = 0

. + . + . =


. + ( + ). =

Divisons par L :
( + )
+ . =

a) La solution de cette quation diffrentielle est de type :

() = (1 )

() (. )
=

()
= 0 +

()
Remplaons i(t) et dans lquation diffrentielle :

+
+ (1 ) =

1 + +
+ . =

1 + +
( )+ . =

est une constante.


1 +
. ( ) est une fonction de temps.


1 +
.( )=0



est une fonction non nulle.

13
 1 +
=0 (1)

+
. = (2)

Daprs (2)
( + ). =

=
+

Daprs (1)
1 +
=0

1 +
=

= +

+

Do ( ) = + (1

)
En rgime permanent, I = constante = I0
+
lim () = lim (1 )
+ + +

lim () =
+ +

Do 0 = +
b) = .
En rgime permanent :
.
0 = . 0 =
+

c) Daprs la courbe :
= 5

14
 .
Or 0 = +

.
+ =
0
.
=
0
20 6
= 20 = 4
5

= 4

4) = +
0,5
=
20 + 4

= 0,02

1
5) = 2 . ()2
Daprs la figure 2,
(28. 103 ) = 4
(28. 103 ) 4
(28. 103 ) = = = 0,2
20
1
= 2 0,5 0,22 .
= 0,01
Correction exercice 4 :
1)
a) La bobine retarde ltablissement du courant principal dans le circuit. En effet, la
variation du courant principal dune valeur nulle une valeur non nulle cre lintrieur
de la bobine un courant lectrique induit qui, daprs la loi de Lenz, soppose la cause
qui lui a donn naissance, cest--dire soppose ltablissement du courant principal.
b) Le courant induit sannule en rgime permanent t = 8 ms.
c) La loi qui permet de dterminer le sens du courant induit est la loi de Lenz.
d) A la fermeture de linterrupteur, le courant principal augmente, le courant induit circule
dans le sens contraire celui du courant principal pour sopposer cette augmentation.

15
 2)

a) Application de la loi des mailles :

+ = 0

+ =

. + . + . =

En rgime permanent :

= 0 =

=0

( + ). 0 =

0 = +

c) 0 = 60
=6

0 =
+
6
+ = = = 100
0 60. 103
3)
a) La constante du temps caractrise la dure de ltablissement du courant.
b)

16
 = 3

=
+
= ( + ).
= 3. 103 100
= 300. 103
= 0,3
4)
a)
Daprs la loi des mailles :

. + . + . =


. + ( + ). =

Divisons par L :
( + )
+ . =

b) Cette quation diffrentielle du premier ordre avec second membre est de solution :

() = (1 )

()
=

()
Remplaons i(t) et dans lquation diffrentielle :

17
 +
+ . (1 ) =

1 + +
( )+ . =


est une constante.

1 +
. ( ) est une fonction de temps.

+
. =

( + ) =

=
+

( ) = (1 )
+
5)
a)

( ) = (1 )
+

lim () = lim (1 )
+ + +

18

lim () =
+ +

(0) = 0
- La courbe 1 correspond la tension aux bornes du rsistor : UR(t).

Daprs la loi des mailles :

+ =
=
= . ()

= . (1 )
+
(0) =

lim () = lim . (1 )
+ + +
.
lim () =
+ +
.
lim () =
+ +
Donc :
- La courbe 2 correspond la tension aux bornes de la bobine : Ub(t).

b) ( ) = . + .

En rgime permanent, = 0 = .

=0

= . 0

c)
Daprs la courbe, en rgime permanent :
= . 0 = 0,6
0,6
=
60. 103

19
 = 10

0 =
+

=
0
6
= 10
60. 103

= 90

d) =
La bobine est quivalente un gnrateur de f..m. e associ en srie avec un rsistor de
rsistance r.

= + .
Daprs la loi des mailles :
+ =
+ . + . =
+ ( + ). =
= ( + ).
Sachant que

( ) = (1 )
+

= ( + ). (1 )
+

= . (1 )

20

= . (1 1)

=
(0) =

lim () = 0
+

21