1

ELECTROMAGNETISME Lyce F.BUISSON PTSI

LE CHAMP ELECTROSTATIQUE


I Llectromagntisme dans les sciences physiques et historique

On peut dfinir llectromagntisme comme ltude de lensemble des phnomnes lis aux
interactions entre particules charges.

1.1 Importance de llectromagntisme dans les sciences physiques et dans la socit
Linteraction lectromagntique est une des quatre interactions fondamentales de la physique
contemporaine avec linteraction gravitationnelle, linteraction forte et linteraction faible.
Si lon nglige linteraction gravitationnelle qui nous cloue au sol et si lon ne regarde pas ce qui
se passe lintrieur des noyaux (ce qui nest pas le cas dans les centrales nuclaires par exemple),
linteraction lectromagntique permet une trs grande partie des phnomnes naturels que lon
rencontre sur notre plante. Elle est responsable, par exemple, des phnomnes suivants :
De la cohsion des atomes.
Des liaisons chimiques qui assurent la cohsion des molcules (rle essentielle en biologie et
donc dans la vie).
La cohsion de la matire condense (liquide et solide).
Des proprits physiques dun corps dans un tat donn (viscosit, duret etc).
Des phnomnes lectriques et magntiques proprement dit.
De la lumire qui nest quun domaine particulier des ondes lectromagntiques (ondes radio
etc) (voir cours de PT).
Cette liste nest bien sur pas exhaustive.

Les applications industrielles et technologiques qui reposent sur les lois de llectromagntisme
sont considrables. Ces applications ont faonn la socit dans laquelle nous vivons. Voici une liste
de ces dernires qui l encore nest pas exhaustive :
La production et le transport de llectricit donc dnergie.
Llectronique qui est prsente dans tous les appareils qui nous entourent de la machine laver
en passant par les ordinateurs, votre lecteur MP3 etc
La communication distance : les ondes radios, les fibres optiques, les satellites, les tlphones
portables etc


2
2.2 Historique rapide
Vers 600 av J.C, les Grecs dcouvrent quun morceau dambre pralablement frott attire les
objets lgers. Les pierres de Magnsie (cit situe dans lactuelle Turquie) attirent la limaille de fer.
Au
me
XVIII sicle, Charles Augustin Coulomb (1736-1806) montre lexistence de deux types de
charge et met en vidence la dpendance en

1 r
2
de linteraction lectrostatique.
En 1800, Volta (1745-1827) ralise sa pile lectrique et produit des courants lectriques.
Durant le
me
XIX sicle, des expriences mettent en vidence que les courants lectriques sont
la source dun champ magntique.
En 1831, Faraday (1791-1867) met en vidence les phnomnes dinduction lectromagntique
En 1864 Maxwell publie ses fameuses quatre quations qui unissent les phnomnes lectrique et
magntique. On parle ds lors dlectromagntisme :


rot
! " !!
E
!"
= !
"B
!"
"t
div B
!"
= 0
div E
!"
=
#
$
0
rot
! " !!
B
!"
=
0
J
"
+
0
$
0
"E
!"
"t


En PTSI, nous tudierons les quations 2 et 3, le reste sera tudi en PT.
En 1905, la thorie de la relativit dEinstein ne modifie pas les quations de Maxwell, ces
dernires sont dj compatibles avec le principe de relativit dEinstein.
Aprs 1945 est dveloppe la version quantique de llectromagntisme par, notamment,
Feynman, Schwinger et Tomonaga (ils recevront tous trois le prix Nobel de physique), on parle
dlectrodynamique quantique. Il sagit lheure actuelle de la thorie physique la plus prcise, les
rsultats thoriques et exprimentaux sont identiques avec 8 chiffres aprs la virgule.

2.3 Le programme de PTSI et de PT
En PTSI, nous allons tudier de faon spare les phnomnes lectriques et magntiques. En
lectrostatique, nous tudierons le champ lectrique permanent (indpendant du temps)

E
!"
cr
par des charges fixes dans un rfrentiel donn. En magntostatique, on tudiera le champ

B
!"
cr
par des courants permanents dans un rfrentiel donn.
En PT, vous allez tudier les rgimes non permanents ce qui introduira le couplage entre les champs

B
!"
et

E
!"
. Ces deux champs sont deux aspects dun objet unique ; le champ lectromagntique.
Vous dcouvrirez ainsi les phnomnes dinduction, les ondes lectromagntiques qui expliquent
les phnomnes optiques etc

3
II Charge lectrique

2.1 Structure de la matire et charge
Vous savez dj que la matire est constitue datomes dont la structure est rappele sur la figure
ci-dessous. Un atome est lui-mme constitu dlectrons, de protons et de neutrons. Ces deux
dernires particules constituent le noyau de latome.

Ce qui est remarquable cest que llectron et le proton possdent une charge lectrique oppose en
signe mais de mme valeur

e = 1,602!10
"19
C (charge positive pour le proton et ngative pour
llectron). Le neutron nest pas charg.
La charge lectrique est une proprit intrinsque des particules au mme titre que la masse.
Par contre, il existe des charges positives et des charges ngatives (une masse est une grandeur
toujours positive).
Dans les annes 1970, on sest rendu compte que le proton et le neutron ntaient pas des
particules lmentaires. Ils sont constitus chacun de trois particules plus fondamentales ; les
quarks (voir figure ci-dessus). Ces derniers ont des charges de

!
1
3
e ou

+
2
3
e . Mais nous navons
jamais observ exprimentalement de quarks ltat libre et il y a de bonnes raisons thoriques de
croire quils doivent rester confiner lintrieur du proton et du neutron. Ceci a pour consquences
la proprit notable suivante :



4

Les charges observes dans la nature sont toujours des multiples entiers de la charge lmentaire

e = 1,602!10
"19
C, la charge est une grandeur quantifie.

2.2 Conservation de la charge
La charge lectrique vrifie le principe suivant :

La charge lectrique dun systme ferm garde une valeur constante. Elle est identique dans tous les
rfrentiels dtude. La charge est une grandeur conservative.

Il peut se produire des crations de charges lintrieur du systme mais si une charge

+e est
produite, elle doit saccompagner de la cration dune charge

!e . Par exemple, un photon (charge
nulle) peut se matrialiser en une paire lectron (charge

!e )-positon (charge

+e ). Le positon est un
antilectron.

III Force entre particules charges : loi de Coulomb

3.1 Expression
Deux masses interagissent par lintermdiaire de la force de gravit. De faon analogue, deux
charges vont interagirent par lintermdiaire de la force lectrostatique ou force de Coulomb.










Lexpression de la force lectrostatique, connue sous le nom de loi de Coulomb, entre deux charges
a t formule par Charles Augustin de Coulomb en 1784. Elle est donne par (avec les notations du
schma ci-dessus):


F
!"
2!1 = "F
!"
1!2 =
1
4#$
0
q
1
q
2
r
2
u
r
!" !


+
q
2


q
1


u
r
!" !


F
!"
2!1
r
+

F
!"
1!2
+
q
2


q
1


F
!"
2!1
r
F
!"
1!2
!
!
5

Charles Augustin de Coulomb (1736-
1896).
Officier, ingnieur et physicien
franais

F
!"
2!1 est la force que la particule 2 exerce sur 1,
elle est loppos de la force que 1 exerce sur 2
daprs la troisime loi de Newton.

!
0
est une
constante appel permittivit du vide qui vaut

8,854!10
"12
C
2
.N
-1
.m
2
. Pour les exercices, il est
plus simple de retenir que :

1
4!"
0
= 8,988#10
9
N.m
2
.C
-2
$ 9,0#10
9
N.m
2
.C
-2
.

F
!"
2!1 est rpulsive si les charges sont de mme
signe et attractive si elles sont de signes opposs.
Si la charge

q
1
se trouve au point de coordonnes

x
1
,y
1
,z
1
( )
et la charge

q
2
en

x
2
,y
2
,z
2
( )
, dans un
systme de coordonnes cartsienne, la norme de
la force

F
!"
2!1 vaut

F
2!1
=
1
4"#
0
q
1
q
2
x
1
$ x
2
( )
2
+ y
1
$y
2
( )
2
+ z
1
$ z
2
( )
2
car

r
2
= x
1
! x
2
( )
2
+ y
1
!y
2
( )
2
+ z
1
! z
2
( )
2
.

3.2 Principe de superposition
On considre la rpartition de charges du schma suivant. Quelle est la force totale subite par la
particule de charge

q
3
?








La loi de Coulomb dcrit uniquement linteraction entre deux charges. Mais lexprience montre
que lorsque deux charges exercent simultanment une force sur une troisime charge, la force
totale sur cette dernire est la somme vectorielle des forces que les deux charges exercent
individuellement. On a donc simplement

F
!"
tot!3 = F
!"
1!3 + F
!"
2!3 . Ce rsultat se gnralise une
distribution quelconque de plusieurs charges. Il sagit du principe de superposition qui joue un
rle trs important dans ltude de llectromagntisme, nous en reparlerons.
+
q
2


F
!"
1!3

+
+

q
3


q
1


F
!"
2!3


F
!"
tot!3

r
23


r
13

6
3.4 Comparaison entre lintensit de la force lectrostatique et lintensit de la force
de gravitation
On considre la situation du schma ci-dessous ou deux lectrons sont distants de

r .









La force de gravit entre les deux lectrons vaut

F
g
= G
m
e
2
r
2
.
La force lectrostatique entre les deux lectrons vaut

F
e
=
1
4!"
0
e
2
r
2

On notera lanalogie trs grande entre les expressions de ces deux forces. Par contre leur intensit
nest pas du tout du mme ordre de grandeur, en effet calculons le rapport de ces deux forces :

F
e
F
g
=
1
4!"
0
G
e
m
e
#
$
%
&
'
(
2
= 8,988)10
9
)
1
6,67)10
-11
)
1,6)10
*19
9,1)10
*31
#
$
%
&
'
(
2
= 4,2)10
42
!
On peut crire que

F
e
= 4200000000000000000000000........... ! F
g
. On voit donc qu lchelle
atomique et molculaire linteraction gravitationnelle ne joue aucun rle par rapport linteraction
lectrostatique. Le dessin des forces sur le schma ci-dessus nest videmment pas lchelle.

IV Le champ lectrostatique

4.1 Le concept de champ
Quand deux particules charges interagissent dans lespace, comment lune connat la prsence de
lautre ? Quest ce qui est prsent dans lespace pour transmettre laction dune particule sur une
autre ? On peut en partie rpondre ces questions par une reformulation de la loi de Coulomb dune
faon trs enrichissante qui introduit le concept de champ lectrostatique

E
!"
. Un champ est une
fonction mathmatique scalaire

f x,y,z
( )
ou vectorielle

f
!
x,y,z
( )
(cest le cas ici) qui prend une
valeur en chaque point de lespace

x,y,z
( )
. On connat dj des champs scalaires, le champ de
temprature dans une salle, le champ de pression de latmosphre par exemple.

+
!e,m
e
( )


!e,m
e
( )


u
r
!" !

r
+

F
!"
e

F
!"
g
7
Pour introduire le modle du champ lectrostatique, tudions le schma suivant :


! On considre une particule A dite particule source de
charge positive quelconque.
! On considre une particule B dite particule teste de
charge

q
0
.
! La particule source produit en un point

P quelconque
de lespace un champ lectrostatique

E
!"
, elle perturbe
lespace qui lentoure.
! La particule teste se trouvant au point

P va ressentir
cette perturbation par laction dune force

F
0
!" !
= q
0
E
!"
qui va
sexercer sur elle. Cette force nest rien dautre que
linteraction lectrostatique d la prsence de la particule
source.

On dfinie le champ lectrostatique

E
!"
qui rgne en un point

P de coordonnes

x,y,z
( )
comme la
force par unit de charge laquelle est soumise une particule test de charge

q
0
situe au point

P :

E
!"
x,y,z
( )
=
F
0
!" !
q
0


La norme de

E
!"
sexprime en

N.C
-1
mais nous verrons que cest quivalent des

V.m
-1
. La notion de
champ est beaucoup plus riche que celle de force. Elle vite de considrer des forces distances
sexerant de faon instantane entre particules (on sait quaucune interaction ne peut se propager
plus vite que la vitesse de la lumire) comme prcisment linteraction lectrostatique mais aussi
linteraction gravitationnelle. Dans la physique moderne, la notion de champ a supplant la notion
de force.

4.2 Le champ lectrostatique dune charge ponctuelle
Daprs lexpression de la loi de Coulomb, le champ lectrostatique produit en un point P par une
charge source en un point S scrit :

E
!"
(P) =
q
4!"
0
u
r
!" !
r
2
=
q
4!"
0
SP
! " !
SP
3

8











On constate que le champ lectrostatique est radial et dcrot en

1
r
2
. Pour une charge positive, le
champ lectrostatique part de la charge alors que pour une charge ngative, il se dirige vers
la charge (voir figure ci-dessous).



4.3 Superposition du champ lectrostatique
On place au point

S
1
une charge

q
1
, en

S
2
une charge

q
2
etc Quel est le champ lectrostatique
total cr par lensemble de ces charges en un point

P quelconque de lespace ?
La rponse est simple : le champ lectrostatique total est la somme vectorielle des champ
lectrostatique cre par chaque charge :

E
!"
tot = E
!"
1 + E
!"
2 + ...
Point de lespace o lon calcule le
champ lectrostatique
+
q

S

P

u
r
!" !


E
!"
M
( )


q

S

P

u
r
!" !


E
!"
M
( )

Source du champ lectrostatique
!
r
r
9



Il sagit du principe de superposition du
champ lectrostatique qui dcoule du principe
de superposition de la force lectrostatique. En
effet, ce principe est encore valable pour le
champ lectrostatique car ce dernier est une
force lectrostatique par unit de charge. La
figure ci-dessous illustre le rsultat prcdent
dans le cas de deux charges.


La figure ci-dessus donne une reprsentation en 2D du champ lectrique produit par deux
charges de signe opposes. Lensemble de ces deux charges sappelle un diple lectrique
et joue un rle important en particulier en chimie. Il ne faut oublier que le champ lectrique
existe en tout point de lespace et pas seulement en quelques points de lespace comme
cela est reprsent sur la figure pour plus de lisibilit.

10
4.4 Le champ lectrostatique dune distribution continue de charge : application du
principe de superposition

a) Distribution volumique de charges

Nous allons gnraliser ce qui a t fait sur une distribution
discrte de charges une distribution continue de charges
lchelle macroscopique. En effet, notre chelle, le caractre
discontinue, granulaire, de la charge lectrique sestompe. Il y
a lissage et la charge lectrique semble rpartie de faon
continue.
Une distribution volumique de charges est dcrite par une
fonction scalaire, la densit volumique de charge ! qui est
fonction de la position,

! = ! x ',y ',z '
( )
, et qui a les dimensions
dune charge sur un volume

C.m
-3
.
Un volume lmentaire (infinitsimale)

dV aura donc une
charge lmentaire

dq = !dV .
On considre la figure ci-dessus. Le petit volume

dV (en coordonnes cartsiennes

dV = dx 'dy 'dz ' ) situ au point

S de coordonnes

x ',y ',z '
( )
de la distribution volumique de
charges va cr en un point quelconque

P de coordonnes

x,y,z
( )
un champ lectrostatique
lmentaire qui vaut daprs le paragraphe prcdent :

dE
!"
(x,y,z) =
dq
4!"
0
u
r
!" !
r
2
=
# x ',y ',z '
( )
4!"
0
u
r
!" !
r
2
dV
ou

u
r
!" !
est le vecteur unitaire suivant la direction

SP et

r la distance

SP . Dun point de vue
oprationnel, en coordonnes cartsiennes,

r = x ! x '
( )
2
+ y !y '
( )
2
+ z ! z '
( )
2
.
Maintenant pour obtenir le champ total au point

P , il faut sommer la contribution de chaque volume
lmentaire

dV daprs le principe de superposition du champ lectrostatique. La somme est
prsent infinie, il sagit donc dune intgrale. Cette intgrale donne le champ lectrostatique au
point

x,y,z
( )
produit par des charges places aux points

x ',y ',z '
( )
:


E
!"
(x,y,z) =
1
4!"
0
# x ',y ',z '
( )
u
r
!" !
r
2
dV
distribution
de charge
$$$



dV
S

P

u
r
!" !


r
11
Cest une intgrale de volume. En maintenant fixes x, y et z, nous laissons les variables
dintgration x, y et z explorer tout lespace contenant la charge, sommant ainsi les contributions
dues tout les lments de charge. Il ne faut pas tre effray, nous verrons dans le prochain
paragraphe, sur des exemples, comment calculer explicitement une telle intgrale triple. En fait, des
considrations de symtries vont grandement simplifier la tche.

b) Distribution surfacique de charges, modlisation
Lorsquune des dimensions spatiales de la distribution de charges est faible devant les deux autres,
on peut considrer que la distribution de charge est surfacique (voir schma ci-dessous). Il sagit
bien sur dun modle, en ralit les distributions de charges sont toujours volumique. On peut ainsi
dfinir la densit surfacique de charge ! qui est fonction de la position,

! = ! x ',y '
( )
, et qui a les
dimensions dune charge sur une surface

C.m
-2
. Une surface lmentaire (infinitsimale)

dS aura
donc une charge lmentaire

dq = ! dS .
Comme pour la distribution volumique, en sommant les contributions dues tous les lments de
surface

dS , on obtient le champ lectrostatique cr en un point quelconque

P de coordonnes

x,y,z
( )
:

E
!"
(x,y,z) =
1
4!"
0
# x ',y '
( )
u
r
!" !
r
2
dS
distribution
de charge
$$


c) Distribution linique de charges, modlisation
Lorsque deux dimensions spatiales de la distribution de charges sont faibles devant la troisime, on
peut considrer que la distribution de charge est linique (voir schma ci-dessous). Il sagit encore
dun modle commode. On peut ainsi dfinir la densit linique de charge ! qui est fonction de la
position,

! = ! x '
( )
, et qui a les dimensions dune charge sur une longueur

C.m
-1
. Une longueur
lmentaire (infinitsimale)

d! aura donc une charge lmentaire

dq = !d! .
Comme pour la distribution volumique, en sommant les contributions dues tous les lments de
longueur

d! , on obtient le champ lectrostatique cr en un point quelconque

P de coordonnes

x,y,z
( )
:

E
!"
(x,y,z) =
1
4!"
0
# x '
( )
u
r
!" !
r
2
d#
distribution
de charge
$






12













4.5 Lignes de champ lectrostatique

Il est difficile de se reprsenter le champ
lectrostatique

E
!"
dans lespace, il nest
pas directement visible . Cest
pourquoi nous allons introduire des
lignes imaginaires dites lignes du
champ lectrostatique pour nous aider
visualiser

E
!"
. Attention, ces lignes
restent un outil commode pour visualiser

E
!"
, il ne faudra pas les assimiler
compltement

E
!"
qui est un champ de
vecteur.


Les lignes de champ lectrostatique sont des lignes tangentes, dans une rgion de lespace, au
vecteur champ lectrique et diriges suivant ce vecteur. La figure ci-dessus illustre le concept de
lignes de champ. Je vous renvoie au TD dinformatique o nous aurons trac des lignes de champ
avec Maple pour diffrentes distributions de charges.
Les lignes de champ lectrostatiques vrifient les proprits suivantes :
Elles vont toujours des charges positives vers les charges ngatives : les charges positives
mettent des lignes de champ et les charges ngatives absorbent des lignes de champ.
Le nombre de lignes qui partent dune charge ou qui se dirigent vers elles est proportionnel la
valeur de la charge.

P x,y,z
( )


! x ',y '
( )


dS

u
r
!" !


r
Distribution surfacique de charges

! x '
( )


! x '
( )


d!

u
r
!" !


P x,y,z
( )


r
Distribution linique de charges

dq = !d!
dq = ! dS
13
Lintensit du champ est proportionnelle la densit des lignes de champ, cest--dire au nombre
de lignes traversant une surface unitaire normale au champ.
Les lignes de champ ne se coupent jamais : sinon, lendroit o elles se couperaient, le champ
aurait deux directions diffrentes !
Les lignes de champ ne sont quune reprsentation en deux dimensions du champ lectrostatique
qui est prsent dans un espace trois dimensions.
La figure ci-dessous montre des exemples de lignes de champ :


V Exemples de calculs de champs lectrostatiques
Deux cas sont explicitement tudier dans le cadre du programme. Nous en verrons dautres en TD.
5.1 Champ lectrostatique dans le plan mdiateur dun segment uniformment charg












P x
( )


x

O

a

a

E
!"
P
( )
= ?
Distribution de charges
Densit linique de charge constante
!
14
Mthodes et calculs prsents au tableau.

5.2 Champ lectrostatique sur laxe dun disque uniformment charg











Mthodes et calculs prsents au tableau.
!
Distribution de charges
Densit surfacique de charge constante

z

P z
( )


R

O

E
!"
P
( )
= ?