Cours de Physique Quantique
Cours de Physique Quantique
Cours de Physique Quantique
Avant propos
Ce cours est une introduction la Physique atomique et la Physique nuclaire.
Il comprend quelques lments de Mcanique quantique avec la dualit onde
corpuscule et lquation de Schrdinger rsolue dans des cas simple et une application
latome dhydrogne.
Quelques lments de Physique atomique sont exposs avec notamment les rayons X
et leurs applications.
La dernire partie est consacre lintroduction la Physique Nuclaire et
lapplication de la radioactivit et lnergie nuclaire
Ce cours est inspir des excellents ouvrages de Messieurs J.Hadik, C.Ngo pour la
mcanique quantique, Max Born, L.Lopes, B.Cagnac et J.C.Pbay-Proula, Aria pour la
Physique atomique et H. .Enge, P.Fleury et J.P.Mathieu, D.Blanc et L. Valentin pour la
Physique Nuclaire.
Il est destin aux tudiants du premier cycle universitaire.
Lauteur
Pr A.Amokrane
Chapitre I
INTRODUCTION
Matire et rayonnement
I-Introduction : matire et rayonnement, nergie
Nous rencontrons dans la nature :
- la matire dont sont constitus les objets et les tres vivants,
- les rayonnements tels que la lumire et le son produits par la matire.
Ltude de la matire montre que celle-ci est constitue datomes formant
gnralement des molcules.
Selon la temprature la matire se prsente sous forme de liquide, de solide ou de gaz
dans lequel les molcules sont en perptuel mouvement (agitation thermique).
Dans la thorie corpusculaire de la matire, les corpuscules obissent aux lois de la
mcanique. Ils possdent une masse m. Quand
ils sont en mouvement ils ont une vitesse v ,
donc une quantit de mouvement p mv et une nergie totale W=mc2 (relation
dquivalence dEinstein o c est la vitesse de la lumire).
La masse du corpuscule varie avec la vitesse selon lexpression
m
mo
m o , avec =v/c.
1 - v 2 /c 2
1 - 2
W mc 2
2
mo c
,
2
2
1 - v /c
en
utilisant
le
dveloppement
en
srie,
W moc2 mo v 2
et
Nous voyons que lorsque v est faible devant c, les termes dordre lev peuvent tre
ngligs et nous avons alors E c mo v 2 qui est la valeur bien connue de lnergie
cintique en mcanique non relativiste.
Lnergie mcanique Em est la somme entre lnergie cintique Ec et lnergie
potentielle Ep
Em = Ec + Ep
Lnergie totale est alors WT = W + Ep = Em + moc2.
II-Les radiations lectromagntiques
Maxwell a montr en 1872 quon peut considrer tout rayonnement monochromatique
(visible ou non) comme li la propagation dun champ lectrique E et dun champ
magntique H perpendiculaires, ayant la frquence du rayonnement.
E
H
2 2 2
1 2
x 2
y 2
z 2
v 2 t 2
o o
x 2
y 2
z 2
t 2
, avec c
1
o o
Une onde qui se propage suivant une direction, Oz par exemple, est une onde plane,
le champ ne dpend que dune seule coordonne.
Dans ce cas, nous avons
et
2E
x
o o
2
z
2Ex
2Ex
0,
0
2
y 2
2E
x .
2
t
0,1
RX
100
0,4
UV
0,7
Visible
IR
0,8
+
200 1cm
Ondes hertziennes
100m
la permittivit du milieu.
On en dduit que u = H2 =
EH EH .
c
Le champ lectrique
et le champ magntique tant perpendiculaires, on peut introduire
le vecteur de Pointing P E
H , colinaire c.
.
On a alors u P P
c
Lnergie dans une rgion R est lintgrale de u dans cette rgion
W 1 (E 2 H 2)dxdydz .
2R
On peut mettre en vidence le fait que les ondes lectromagntiques transportent de
lnergie, par lchauffement dune plaque lorsquelle est frappe par un rayonnement
provenant dun corps (rayonnement thermique par exemple) ou la mise en mouvement dune
plaque par la pression de radiation.
Face
blanche
Face noire
Tube
La dtection des ondes se fait
E
dcharge
laide dun doublet de forme analogue.
E
Sous laction du champ
L
lectrique
variable
de
londe
O
lectromagntique, un phnomne
_
7
effectuer
des
oscillations forces, donnant lieu un
courant lectrique rapidement variable
pouvant produire lallumage dun tube
dcharge miniature.
V- Conclusion
Nous venons de voir ce que cest une onde lectromagntique.
Nous verrons dans les prochains chapitres comment une onde peut se comporter
comme un corpuscule et comment un corpuscule peut se comporter comme une onde. Cest ce
que lon dsigne par la dualit onde-corpuscule, qui sont deux aspects complmentaires.
Chapitre II
RAYONNEMENT DU CORPS NOIR
ET
QUANTIFICATION DE LENERGIE
I-Introduction
Les corps ports haute temprature mettent un rayonnement( clairage par
incandescence). Celui-ci provient des atomes qui mettent des ondes lectromagntiques . La
couleur du rayonnement volue du rouge au blanc lorsque la temprature du corps slve.
Elle est donc lindice de la temprature du corps. Le rayonnement mis par un corps ne
dpend que de la temprature et non de la nature du corps (thorme de Kirchhoff).
II- Corps noir
Ltude du rayonnement thermique seffectue laide dune enceinte close dont les
parois sont maintenues une temprature T bien dfinie. Les parois de la cavit changent
entre elles de la chaleur sous forme de rayonnement de sorte que rgne dans lenceinte un
champ lectromagntique. Ltude est mene en perant un petit trou dans lenceinte de sorte
que le rayonnement (ou lnergie) perdu soit ngligeable , ( un rayon lumineux qui entrerait
par ce trou a en effet trs peu de chance den ressortir, car il subit de multiples rflexion sur
les parois au cours desquelles il est absorb). Il en est de mme des rayons mis par les parois.
Cest pour cela quon appel ce phnomne rayonnement du corps noir. Cest un corps idal tel
que tout rayonnement qui frappe sa paroi est entirement absorb.
Le rayonnement du corps noir est caractris par son intensit I() qui ne dpend ni de
la nature du corps, ni des caractristiques gomtriques de la cavit, mais uniquement de la
temprature. La puissance dP rayonne par unit de surface dans la bande de frquence
et +d est dfinie par :
dP = I()d (annexe III)
Lnergie dE rayonne dans une direction
faisant un angle avec la normale la surface, dans
un angle solide d autour de cette direction et
pendant le temps dt est :
dE = I(,T)d dS cos dt d
Introduisons la densit dnergie u(,T) du
rayonnement par unit de volume dv et pour une
frquence comprise entre et +d. Par dfinition
u d = dE/dv
(densit dnergie ou nergie par unit de volume).
N
Le volume dv est celui du cylindre de base
dScos et de longueur cdt (distance parcourue par la
lumire pendant le temps dt). Lnergie mise dans
dS
langle solide d est donne par :
dE = u d dv d/4
(le facteur 4 est d lisotropie du rayonnement).
cdt
d
E dN
dN
i
1
ne nx d ( e nx d
dx
dx 1 -e- x
(2)
(3)
(4)
(5)
8 2
c3
h
eh/kT 1
ou
8h 3
c3
1
e h/kT 1
(8)
qui est la loi de Planck qui a introduit la quantification de lnergie, et donn le nom de
mcanique quantique au formalisme qui en a dcoul pour ltude des phnomnes
microscopiques lis latome et au noyau.
Cette loi concerne le spectre aux basses frquences . Lorsque est petite,
lexponentielle de la relation (8) tend vers 1+h/kT, de sorte que (8) peut scrire
u = (8h3/c3)/ h/kT =82 kT /c3 2
qui nest rien dautre que la loi de Rayleigh-Jeans.
b)-Loi du dplacement de Wien
En remplaant par c/, la formule de Planck peut encore scrire :
u
8h3
c3
8h(c3 / 3)
8h
1
eh/kT 1
c3ehc/kT 1
3ehc/kT 1
En remarquant que ud = - ud, (car quand augmente, d est positif, alors que
diminue et d est alors ngatif) on peut crire (avec d =-d/2) :
d
1
1
u d 8 hc
d 8 hc
5 ehc/kT 1
3
ehc/kT 1 2
1
u 8hc
5 ehc/kT 1 .
ou
-hc ehc/kT
4
2kT
du
1
8hc
- 1
d
10 ehc/kT 1 5 (ehc/kT - 1)2
-hc ehc/kT
kT
8hc - 5 - 1
hc/
kT
6
7
hc/
kT
e
- 1
e
-1
soit encore
Do
-hc ehc/mkT
mkT
hc/mkT
e
-1
5 mkT(e
hc/ mkT
- 1) hc e
hc/mkT
hc ehc/kT
5kT(ehc/kT - 1)
En remarquant que hc/kT 1, (au maximum est grand, est petit) nous obtenons
mT = hc/5k = Constante = 2,874 10-3m K = 0,29 cmK,
qui est la loi du dplacement de Wien.
a) - Loi de Stphan
Cette loi donne la puissance rayonne par unit de surface, ce qui correspond laire
sous de la courbe I(,T) que multiplie (car dP = I()d).
Elle est donne par lintgrale de dP(,T)d= (u c/4) d, soit
P c
4
8 h3
c3
3
1
d 2 h
d
h
/kT
2
h
/kT 1
c
e
1
e
Avec
2(kT) 4
x3
ex - 1
c 2h 3
dx
x3
4
15
ex - 1
dx
P = T4
, on obtient
2 5k 4
15c 2 h 3
5,68 MKS
Chapitre II
Effet photolectrique
I- Dfinition
Lorsquun rayonnement lectromagntique dune certaine longueur donde (rayons
ultraviolets), provenant dune source de lumire frappe une plaque de mtal alcalin, atome
lectron externe (lithium Li, sodium Na, rubidium Rb, caesium Cs, potassium K), des
lectrons peuvent tre arrachs. Ce phnomne fut dcouvert par Hertz en 1887 et tudi par
Lnard en 1902 et a reu le nom deffet photolectrique.
a)
Mise en vidence
Un lectroscope initialement charg
ngativement se dcharge lentement. En effet
lirradiation par les photons permet aux charges
lectriques ngatives en excs de schapper. Si lon
interpose entre la plaque et la source lumineuse une
lame de verre qui absorbe les rayons ultraviolets, le
phnomne disparat, ce qui montre quil ne se
produit que pour certaines frquences.
b)
Etude exprimentale
Lexprience est ralise avec le dispositif ci-dessous
V
E2
B
+
C
Cathode
E1
Electrode
A Anode
acclratrice
F
Fentre de
quartz
collectrice
G
Source
S
La source S met les photons qui traversent
lenceinte
travers une fentre de quartz
F. Ceux-ci arrivent sur la plaque C (cathode) laquelle ils arrachent des lectrons qui sont
acclrs par lanode acclratrice A porte au potentiel V. Les lectrodes E 1 et E2 recueillent
les lectrons ( Llectrode E2 permet de les identifier quand on leur applique une induction
lectromagntique B perpendiculaire leur trajectoire (plan de la figure).
Le flux de particules est dtermin par la mesure du courant lectrique laide dun
galvanomtre plac entre llectrode collectrice E1 et lanode acclratrice A.
10
Selon que la tension V est positive ou ngative , les lectrons mis sont acclrs ou
freins. V doit donc tre positive pour que les lectrons puissent atteindre llectrode
collectrice. On identifie les particules mises par la plaque comme tant des lectrons laide
des relations entre lnergie cintique et le rayon de courbure par le champ magntique.
En effet lnergie cintique est donne par Ec = mv2 = q V
Le rayon de courbure sobtient en crivant que mv2 = RqvB, ce qui donne
q/m =2 V/B2R2.
Connaissant B, R et V, on en dduit que le rapport q/m est identique celui de
llectron, donc les particules arraches par les photons la plaque sont des lectrons, do le
nom deffet photo lectrique donn ce phnomne.
Remarques
1- Leffet photolectrique ne se produit que pour de la lumire de longueur donde
infrieure une certaine valeur, ou suprieure frquence appel frquence seuil,
caractristique du matriau.
2- Le courant mesur dans le galvanomtre augmente avec la tension VA-Vc, et atteint
une valeur maximale appele courant de saturation.
3- Ce courant sannule pour une valeur ngative de la tension appele contre-tension
maximale.
II- Interprtation
a) Thorie classique
Les observations exprimentales mettent en vidence lexistence dune frquence
minimale (frquence seuil) au-dessous de laquelle aucune mission nest observe.
Alors que selon la thorie classique lnergie cde llectron par le champ
lectromagntique du photon est proportionnelle la densit dnergie lectromagntique
donc au flux de photons incidents. On doit donc avoir un seuil de flux.
Calculons le temps quil faut au champ lectromagntique pour arracher un lectron de
latome dune plaque de potassium, place 75 cm dune lampe de 100 watts qui rayonne 5%
de sa puissance. Chaque atome prsente au photon un disque de 1 angstrm de diamtre. Il
faut lui fournir une nergie de 2 lectron- volts pour arracher un lectron.
La puissance reue par un atome est gale la puissance rayonne dans langle solide
d sous lequel la source est vue :
dS d
puissance rayonne
P=
d
4
r
(10 10 ) 2
5.100
5,56.10 21 Watt.
Comme d = dS/r2, on a P 100.4
4(0.75) 2
Or la puissance est lnergie par unit de temps ( P = E/t) et t=E/P, soit
t
2.10 19 x1.6
5.56.10 21
57,6 sec
Ce temps est trs lev part rapport au temps observ exprimentalement qui est de
Lordre de 10-9sec. On voit que la thorie classique ne permet pas dexpliquer leffet
photolectrique.
11
a)
Interprtation quantique
12
Zn
3.4
Rb
2.2
IV Le photon.
Lnergie lumineuse est transporte par des grains de lumire appels photons
dnergie W=h. En utilisant la formule dEinstein pour lnergie totale W=mc 2, on peut
dfinir la masse relativiste du photon, en crivant que h = mc2, soit m= h / c2. Sa quantit
de mouvement est donne par p = mv =mc ( car v=c, vitesse de la lumire). On a donc
p = mc2/c = h/c=h/.
Par ailleurs la masse dun corpuscule varie avec la vitesse selon lexpression
m=
mo
1v 2 / c 2
En faisant v = c , dans cette expression, on voit que le photon aurait une masse infinie, ce
qui na pas de sens, (nous serions tous assomms par la lumire qui est constitue de
photons !). La seule faon solution dobtenir une valeur finie pour m est de faire m o = 0, donc
la masse au repos du photon ne peut tre que nulle.
Ce qui fait que le photon nest pas un corpuscule au sens habituel, car toutes les
particules ayant une masse au repos non nulle, on une vitesse infrieure celle de la lumire.
V-Application de leffet photolectrique
13
a)-Cellule photolectrique
La cellule photolectrique permet la conversion de la lumire en nergie lectrique.
Elle permet la mesure de lintensit de la lumire. Elle est couramment utilise dans les
appareils photographiques o elle reoit le nom de posemtre.
Elle est constitue par une mince couche de mtal sensible la lumire (alliage de
csium-antimoine, csium- oxygne).
Le schma de principe est reprsent
sur la figure ci-contre.
A
Le courant de saturation IM est
proportionnel la puissance P du faisceau
C
lumineux.
La sensibilit de la cellule est dfinie
comme le rapport IM/P.
Si on suppose que chaque photon
incident libre un lectron, le nombre dN
Schma de principe de
dlectrons librs est gal au nombre N de
la cellule photolectrique
photons incidents. On a donc IM = Ne.
Comme P=Nh, la sensibilit devient IM/P=Ne/Nh=e/h=(e/hc)/, inversement
proportionnelle la longueur donde.
La sensibilit relle est bien infrieure, car la majorit des photons incidents sont
transforms en nergie dagitation thermique dans la plaque ou renvoys vers lextrieur, une
faible partie produit leffet photolectrique. Soit n le nombre de ces lectrons, on dsigne
alors par rendement quantique de la cellule, le rapport du nombre n dlectrons (ou de photons
efficaces) au nombre N de photons incidents :
= n/N.
La sensibilit de la cellule devient alors :
IM/P=Ne/Nh=(e/hc)/.
Les valeurs des rendements quantiques varient entre 1/5 et 1/500.
b)-Energie solaire
Leffet photolectrique est galement utilis pour la production dnergie partir des
rayonnements solaires sur des panneaux constitus dun matriau (silicium) sensible la
lumire. Cest ce quon dsigne par nergie solaire qui est maintenant couramment utilise
pour lalimentation des satellites, des montres, des calculatrices, des feux de circulation ou
pour le pompage deau ou le chauffage domestique.
14
Chapitre IV
EFFET COMPTON
I- Introduction
Lorsquon envoie un faisceau de rayons X (photons), celui-ci interagit avec le
matriau et subit une diffusion, cest dire quil est dvi dun certain angle par rapport la
direction du faisceau incident.
Compton tudia ce phnomne et trouva en 1923, que le rayonnement diffus se
compose de deux radiations diffrentes (figure),
- la premire correspondant la diffusion de la radiation incidente sans changement
de longueur donde,
- la seconde une radiation de longueur donde plus leve = + .
Bloc diffuseur
Spectromtre
Radiation incidente
Radiation incidente
Electron
15
obtient :
x
h/c+0 =(h/c)cos + pe cos
(3)
(5)
De la relation (3) on tire:
h2
2
h2
'
cos
h2
2
h2
2
2cos
cos2 pe
2sin 2
sin 2 pe
2h
(6)
(7)
h2
'
(1-cos )2moch( 1 - 1 )
'
(1 co) 2m o ch('-)
soit
(8)
La relation (8) montre que est positif et crot avec . Le facteur h/moc qui a les
dimensions dune longueur donde sappelle longueur donde Compton et vaut :
hc
, soit =0,02426.
moc2 12400eV A 0,02426 A
511000eV
Cest la longueur donde pour laquelle lnergie des photons est gale lnergie au
repos de llectron. En effet on a h = hc/ = moc2 = 0,510 MeV.
du photon diffus
Lnergie cintique du photon diffus est donne par lexpression
Ec = h)
(9)
La relation (8) donne =-=h(1-cos)/moc
ou
(1cos )
( ' )
qui donne
m oc
16
1( h )(1cos)
moc
1 1 h (1cos )
'
m oc
h
1
(1cos) .
et
moc
Lnergie du photon diffuse est alors
h
h '
h
1
(1cos)
'
(10)
moc 2
E h'-h h (1-
(11)
h (1-cos )-cos
moc2 h (1cos )moc2cos moc2(1cos ) h (1cos )
1
m oc 2
tg
ou
moc2sin
(1cos )(moc2 h )
tg
sin
(1cos)(1 h/moc2)
2sin( / 2)cos( / 2)
(1(cos2( / 2)sin 2( / 2))(1 h / moc2)
tg
2sin( / 2)cos( / 2)
2
2
(cos ( / 2)sin ( / 2)(cos2( / 2)sin 2( / 2))(1 h / moc2)
17
2sin( /2)cos(/2)
cos( /2)
tg
ou
cot( /2)
tg
1 h
moc2
(12)
Cette relation montre que llectron est toujours diffus vers lavant. Lorsque crot
de 0 , dcrot de /2 0.
18
Chapitre V
SPECTRES ATOMIQUES
I-Spectre dmission dune substance
Une substance soumise des excitations convenables, telles quune temprature
leve, une dcharge lectrique, labsorption de rayonnement, un champ lectrique intense
(lectroluminescence), une raction chimique (chimiluminescence), un frottement
(triboluminescence), etc., met un rayonnement.
Ltude des spectres ou spectroscopie se fait laide dappareils appels
spectroscopes. On distingue divers domaines de la spectroscopie selon la longueur donde des
radiations tudies (fig.1) :
Spectroscopie des radiations visibles
Spectroscopie des radiations ultraviolettes et infrarouges
Spectroscopie des rayons X
Spectroscopie des ondes hertziennes .
rayons
cosmiques
0,001
0,1
UV
0,01
visible
0,4
Ondes
hertziennes
IR
0,75
300
+
0,3m
30 km
g
az
Arc lectrique
19
Lorsquon envoie un faisceau de lumire complexe mis par une source thermique sur
un prisme et quon recueille le faisceau mergeant dans le plan focal dune lunette, on observe
une succession de couleurs allant du rouge (le moins dvi) au violet. Chaque couleur
correspond une radiation monochromatique de longueur donde donne, qui est une
composante de la lumire incidente complexe. Lensemble de ces images constitue le spectre
(de la lumire) de llment considr.
Au contraire lorsque le rayonnement provient dune source, autre que thermique
comme celle dcharge, arc ou tincelle, le spectre observ est un spectre de raies, cest
dire que lmission ne se produit que pour certaines radiations. Dans le cas de la vapeur de
mercure place dans un tube dcharge, le spectre est constitu de deux raies bleues, dune
verte et dun doublet jaune.
II- Spectre dabsorption
Beaucoup de substances absorbent la lumire quelles reoivent. Lorsquon les
interpose sur le trajet dun rayonnement spectre continu, on observe dans le spectre obtenu
avec un spectroscope, labsence de certaines radiations qui apparaissent sous forme de traces
sombres dites dabsorption, de longueurs donde bien dtermines. Selon la substance, on
observe de larges bandes sombres ( liquide ou substance en solution) mais aussi des spectres
de raies (gaz et vapeur). Ces spectres sont caractristiques des substances.
III- Spectre dmission de latome dhydrogne et des ions hydrognoides
Les spectres atomiques sont situs dans le visible et lultraviolet. Considrons latome
dhydrogne le plus simple de tous les atomes. Il a un seul lectron. Les ions ne possdant
quun seul lectrons sont appels ions hydrognoides.
Ltude du spectre dmission de
latome dhydrogne se fait en utilisant
un tube dit de Geissler dans lequel on
introduit le gaz sous faible pression.
Lorsquon
applique
une
diffrence de potentiel leve entre les
E
lectrodes E (plusieurs milliers de volts),
une dcharge autonome se produit. Le
4340
6563
4861
gaz devient luminescent, surtout dans la
4102
partie capillaire C, cest dire quil met
de la lumire.
C
Le spectre observ est form de
quatre raies visibles quon dsigne par
H
H, H H
les symboles H, H, H et H groupes
()
en srie.
Cette srie est suivie de raies ultaviolettes dcelables par photographie.
Si on abaisse
Spectre dmission
E
la tension aussi faiblement que possible on observe dautres
sries dederaies.
lhydrogne
Tube
Geissler
Lensemble des raies montre une rgularit
trsdemarque.
En 1885 Balmer trouva une expression permettant dexprimer le nombre donde
=1/ (inverse de la longueur donde) des raies selon la relation:
1 ( 1 - 1 )
22
n2 ,
Quand n tend vers linfini, tend vers / 4 , dite limite de la srie de raies, appele
srie de Balmer.
Lexprience rvle la prsence dautres sries de raies dont les nombres donde sont
donns par une formule analogue
1 ( 1 - 1 )
Pf Bk Paschen
+
+
H HH
HHHHHHH HH
20000 10000
+
5000
Srie de
Lyman
3646
1216
+
1000
, , des ions
, hydrognoides tels que le deutrium (isotope de lhydrogne),
Les spectres
+
++
lion He , lion Li , etc, sont semblables celui de latome dhydrogne mais avec des
constantes plusieurs fois plus grande que celle de lhydrogne. Les nombres donde de ces
ions sont donns par lexpression
1 Z 2( 1 - 1 )
T
T n .
n o,n
no
Pour latome dhydrogne, lidentification avec la formule de Balmer donne
T n /n 2 .
Les raies tant obseves exprimentalement on en dduit les termes spectraux.
Une consquence du principe de combinaison de Ritz est que la diffrence entre deux
nombres donde est gal la diffrence entre deux termes spectraux donc un autre nombre
donde.
Exemple 2,6 - 3,6 = (T6 T2) (T6 T3) = T3 T2 = 2,3.
V-Interprtation des spectres dmission et dabsorption: les niveaux dnergie de
latome
En 1913, Niels Bohr interprta les spectres de raies des atomes en utilisant la notion de
photon dnergie h = hc/=hc.
En remplaant dans lexpression de n o , n Tn o Tn , on obtient
hc n o,n hc(T n o T n )hcT n o hcT n .
21
m e4
hc
o
En comparant avec la formule de Bohr donnant lnergie E n 2 2 2 2 , on
n
8 o h n
2 h 3c
obtient moe 4 /8 o
. Avec mo=9,109.10-31kg, e=1,602.10-19Cb, 1/4o=9.109MKS, on
trouve 109816 cm-1
On reprsente sur la figure ci-dessous le schma des termes spectraux de latome
dhydrogne et les transitions correspondantes.
n
6
5
Pfund
Brackett
3
Paschen
2
Balmer
1
Lyman
22
de raies dont les nombres donde sont donns par une expression semblable celle de latome
dhydrogne
'
1
1
1
'
2
(n - p) 2
(1,64)
1
1
1
'
(3 - s) 2
(n - p) 2
'
(n o - a) 2
(n - a' ) 2
no et n sont des nombres entier pouvant prendre les valeurs 3,4,5 etc. a et a des nombres qui
varient dune srie lautre et dun lment lautre.
Le principe de combinaison de Ritz reste valable pour ces atomes, le terme spectral
tant maintenant donn par T n
'
(n a) 2
23
Chapitre VI
THORIE ONDULATOIRE DE LA MATIRE
HYPOTHSE DE DE BROGLIE
I- Introduction : ondes de matire
Nous avons vu comment Planck (1900), Einstein (1905) et Compton (1923) ont pu
expliquer respectivement les phnomnes de rayonnement du corps noir, leffet
photolectrique et leffet Compton, en introduisant la notion de photon ou grain de lumire,
selon laquelle la lumire se comporte comme un faisceau de particules. Cest ce quon a
dnomm par aspect corpusculaire du rayonnement.
Au photon de vitesse c, de longueur donde , ils associrent un corpuscule dnergie
h, de quantit de mouvement p=mc= h/ et de masse m= h/c2 ( mais nulle au repos).
En 1924, Louis de Broglie proposa de la mme faon quon a associ aux ondes
lumineuses un corpuscule, de faire correspondre toute particule matrielle, une onde de
matire de longueur donde = h/p = h/mv.
A toute particule dnergie E, de quantit de mouvement p, se dplaant dans la
direction xx, on associe ainsi une onde de la forme (x,t)= Asin2( x/-t)= Asin (kx -t),
ou en notation exponentielle
(x,t)= A e2i(x/ - t) = A e i(kx - t)
o = 2 et k=2/ dsigne le nombre donde de la particule.
II- Vrification exprimentale des ondes de matire
Si lhypothse de de Broglie est juste, elle doit entraner pour les particules
(auxquelles on a associ des ondes) les mmes phnomnes que ceux observs avec les ondes
lumineuses, tels que les interfrences ou la diffraction.
Effectivement ces phnomnes ont t observs en 1927 par Davisson et germer.
Selon leur exprience, un faisceau dlectrons de 50eV, issu dun canon lectrons est
envoy perpendiculairement sur une plaque de nickel constitue par un monocristal . Ceux-ci
sont dvis par le cristal dans une direction . En mesurant lintensit des lectrons diffuss,
laide dun compteur, on obtient une courbe qui a lallure ci-dessous, indiquant un pic signe
de la diffraction des lectrons par le cristal de nickel.
Canon
lectrons
compteur
Plaque de nickel
Fig.1: diffraction des lectrons
La courbe de la figure de droite reprsente le nombre dlectrons dtects un angle ,
indiquant un pic de diffraction prononc.
24
Interprtation
La surface du cristal est constitue dun rseau rgulier datomes. Ceux-ci se
comportent avec les lectrons comme le font les lentilles avec les rayons lumineux.. Les
lectrons sont ainsi diffracts dans une direction , selon la loi de Bragg 2d sin = n, o n
est lordre de diffraction, d la distance entre deux plans rticulaires du cristal, la longueur
donde associe llectron (figure 2).
Lorsquun lectron arrive sur un atome, il est diffus dans une direction . Deux
faisceaux diffracts par deux atomes diffrents dans la mme direction produisent des
interfrences constructives ou destructives. Les maxima de diffraction sont tels que leur
diffrence de chemin optique est un multiple de , conformment la loi de Bragg.
La diffrence de chemin est la distance BCH.
A
On voit bien que la valeur mesure de concide parfaitement avec la valeur calcule
partir de la loi de Broglie, ce qui vrifie lhypothse des ondes de matire.
Lexprience de diffraction de particule peut se refaire avec nimporte quelle particule.
Ainsi la diffraction des neutrons est utilise pour la dtermination des rayons nuclaires.
On peut galement raliser des expriences dinterfrences avec les lectrons, en
intercalant sur leur trajet un fil charg positivement. Selon quils passent au-dessus ou audessous du fil les lectrons sont dvis vers le bas ou le haut.. Tout se passe comme les
photons avec le bi-prisme de Fresnel. Les lectrons interfrent. La mesure de linterfrange
permet de dduire la longueur donde
Conclusion
La ralisation des expriences sur la diffraction et les interfrences permet de
confirmer lhypothse des ondes de matire.
Avec lassociation de corpuscules aux ondes lectromagntiques, on voit quil y a
complmentarit entre les deux aspects ondulatoire et corpusculaire.
y(x,t
III- Fonction donde : vitesse de phase
Une onde se propageant le long dun )
axe xx par exemple est reprsente par une
fonction y(x,t) = Asin(kx - t) , o k est le
nombre donde et la frquence.
Exemple champ lectrique E = Eo sin (t + ) , longation dun ressort, etc
25
Par analogie, on associe toute particule qui se dplace, une relation dite fonction
donde de la forme .
(x,t) = Asin(kx - t) ou en notation complexe (x,t) =A ei(kx - t).
La diffrence entre une particule et une onde est que la particule peut tre parfaitement
localise dans lespace alors que londe a une tendue infinie.
La fonction donde ne reprsente donc pas une particule avec une position bien
dfinie, mais elle est telle que la probabilit pour que cette particule se trouve lintrieur
dun petit volume dv autour de la position x est donne par dP (x,t) 2dv , o |(x,t)|2
reprsente la densit de probabilit. La particule pouvant se trouver en un point quelconque de
lespace , on doit avoir (x,t) 2 dv = 1.
En effet, on montre en lectromagntisme, que lintensit dune radiation lumineuse
due la propagation dun champ lectrique et dun champ magntique est gale au module du
o 2
o 2
H
E .
vecteur de Pointing P E H , tel que P E.H
o
o
Lintensit est donc proportionnelle au carr de lamplitude de la vibration E. Il en est
de mme pour les particules pour lesquelles le carr de lamplitude de la fonction donde
donne la probabilit de prsence.
On dit que la fonction donde est norme ou de carr sommable.
Cette onde se dplace avec la vitesse de phase v quon obtient en crivant que
(x,t)=A e2i, soit = (kx - 2t). La vitesse de phase se calcule en considrant les surfaces
planes (ondes planes) de phase constante.
Alors = (kx - 2t) = constante, donne x = (2t/k) + cste.
En drivant, il vient v = dx/dt =2/k = .
Comme lnergie E = h = mc2 et que p = mv, on a v = (mc2/h) = (mc2) /h = mc2/p,
ou v = mc2/mv = c2/v, qui montre que v est suprieur la vitesse de la lumire. Ceci ne doit
pas surprendre car ce nest pas la particule qui se dplace la vitesse v , mais londe. v nest
pas mesurable exprimentalement.
IV- Paquet dondes: vitesse de groupe
On montre que toute superposition linaire de
fonction dondes est encore une fonction donde.
La somme de toutes ces ondes forme une
onde rsultante crant une sorte de bosse qui se
dplace avec une vitesse appele vitesse de groupe.
(x,t) = A(ki)sin (kix - 2it),
o i=1,2, n.
Prenons lexemple de deux ondes
Acos(k1x-1t) et Acos(k2x-2t)
ou en notation exponentielle
e(i(k1x -21t) et e (i (k2x - 22t) .
Leur somme est Acos(k1x-1t)+Acos(k2x-2t),
quon peut crire Acos1+Acos2,
avec 1= k1x -21t et 2=k2x - 22t
Posons
M=(1+2)/2 et Mod=(1-2)/2.
26
qui varie lentement (battements) avec une frquence plus faible que celle de la vibration.
pc2
p 2c2 moc4
pc2
E
mvc2
mc2
Nous avons vu que la fonction donde dfinit la densit de probabilit, par consquent
lendroit o son amplitude est leve correspond la probabilit la plus grande de trouver la
particule.
Do la signification de la vitesse de groupe qui est la vitesse de la particule.
V-Principe dincertitude dHeisenberg
Nous allons montrer que la position dune particule dfinie par une fonction donde
(x,t), une position x et une quantit de mouvement p, ne peut pas tre connue avec une
prcision mais que la prcision de la position et celle de la quantit de mouvement sont lies
entre elles par une relation dite dincertitude dHeisenberg : xp= h
27
28
Chapitre VII
EQUATION DONDE DE SCHRODINGER
1- Etablissement de lquation
Nous avons vu qu toute particule, la thorie de de Broglie associe une onde de la
forme (x,t) = Asin (kx - t) ou A e2i(x/ - t) ou A ei(kx - t)
d (x,t)
kAcos(kxt)
Drivons par rapport x, on a
dx
d 2 (x,t)
et
dx 2
Do
(x,t)
k 2 (x,t)0
dx 2
Cest lquation donde qui caractrise (x,t). En ltendant toutes les coordonnes,
on obtient :
soit
ou
d 2 (r, t)
dx 2
d 2 (r, t)
dy 2
d 2 (r, t)
dz 2
k 2 (x, t)0
(r,t) + k2(r,t) = 0
(r,t) + (2/)2(r,t) = 0.
Le symbole
2
x 2
2
y 2
2
z 2
Par dfinition, un oprateur est un tre mathmatique qui agit sur une fonction, telle
que la drivation, la multiplication, laddition, etcLe rsultat de lopration est appel
valeur propre. Ici k2 est la valeur propre de laction du laplacien sur la fonction donde.
En remplaant par h/mv, k =2/ =2mv/h. On obtient alors
(x,t) + (2mv/h)2 (x,t) = 0,
Comme cette particule possde une nergie cintique E = mv 2 et une nergie
potentielle V, son nergie totale est E=Ec +V. Ce qui donne Ec= E-V. Lexpression donnant v
devient v=(2Ec/m)1/2 = (2(E-V)/m)1/2. On aboutit lquation :
2
2m
(1)
29
(r,t)
.
i
t
2
2m
(r, t) V (r, t) -
i
(r, t)
t
(2)
2 d 2
2m dx 2
(E V)0
2m (EV)0
2
(3)
2m(EV)/ 2
(4)
(5)
(6)
2
d 2m
E0 .
dx 2
2
d 2
2m (V E)0
2
2
dt
ou
d 2
dt
k'
d2 ,
0 dx 0
2mE/ 2
k'2 0
et
k'
2m(E-V)/ 2
31
1 = A1 exp(ikx) + A1 exp(-ikx)
et
2 = A2 exp(ikx) + A2 exp(-ikx)
ou
2 = A2 exp(ikx) en faisant A2= 0 (pas de rflexion linfini)
Les conditions de continuit donnent
A1/ A1 =( k k)/(k+k)
et
A2/ A1 =2k/(k+k).
En posant A1 = RA1 et A2 = TA1 , R et T tant les coefficients de rflexion et de
transmission , on trouve :
V
R = ( k k)/(k+k) et T = 2k/(k+k)
(8)
c)- Barrire de potentiel
I
III
II
Le potentiel ayant la forme reprsente
ci-contre est appel barrire de potentiel.
On distingue deux cas, selon que
a
lnergie E est suprieure ou infrieure la
hauteur de la barrire.
Si EV0, classiquement les particules ne peuvent pas franchir la barrire.
k
d1
d2
donne iA1 k iA1 k = A2 k- A2 k
dx 0 dx 0
d1
d2
Au point a, la condition
donne
dx a dx a
La condition
4ikk'eika
2
2 k'a
(k ik') ek'a (k ik') e
A1
(9)
La probabilit (A3 A3 *) pour que la particule traverse la barrire nest pas nulle, cest ce
quon appelle effet tunnel.
-a/2
a/2
II
-V0
1) E 0
32
III
On retrouve les cas tudis prcdemment dans le cas o lnergie est suprieure Vo.
2) -Vo E 0
Soient k 2mE/ 2 et k' 2m(Vo E)/ 2 .
Les solutions de lquation donde sont :
rgion I (x-a/2, V=0, E0, maisV)
1 = A1exp(kx) + A1 exp(-kx)
rgion II (-a/2xa/2, o V =Vo, EVo )
2 = A2exp(ikx) + A2 exp(-ikx).
rgion III (xa/2, V=0, E0, maisV)
3 = A3exp(kx) + A3 exp(-kx)
Pour simplifier, considrons le cas o A1 = 0, 1 = A1exp(kx).
Les conditions de continuit scrivent :
Pour x =-a/2,
1 (-a/2) = 2 (-a/2),
A1 exp(-ka/2) =A2 exp(-ika/2) + A2 exp(ika/2)
La condition de continuit d1
dx
d2
,
a/2 dx a/2
donne
d2
a/2 dx a/2
donne
Finalement on obtient :
(k ik')a/2
A2 k ik' e
A1
2ik'
et
A'2 k ik' e
ik'
A3
eka
(k ik')a/2
A1
(k ik')2eik'a (k ik')2eik'a A
1
2
2
4ikk'
A' 3
(10)
k'
sin k ' aA1
2kk '
La fonction devant tre borne dans la rgion III, on doit avoir A 3 = 0, soit
kkik'
2 e2ik'a . Comme k et k dpendent de lnergie, cette quation nest satisfaite que
ik'
pour certaines valeurs de lnergie, qui constituent les niveaux dnergie lis de la particule
dans un puits de potentiel.
On a deux cas :
k ik' eik'a
1) k ik'
,
(11)
33
2mE/
Comme
et k' 2m(V0 E)/ 2 ,
on a:
ko
2m(Vo )/ 2
(k 2 k'2
1 tg 2(ka/2)
k'2k 2
k'2
(k o /k) 2
/a
2/a
3/a
k ik'
2) k ik' eik'a , les relations prcdentes deviennent :
sin(ka/2) = k/ ko et tg(ka/2) 0.
Les tats
lis sont nouveau les intersections de la sinusode et de la droite de pente
1/ko.
e) -Particule dans un puits de potentiel bords infinis
Considrons une particule lintrieur dun
puits de potentiel bords infinis
Pour 0 x a, V =O et V = por x a et x0.
Lquation de Schrodinger lintrieur du
puits est
d 2
2m E0
dx 2
2
ou
d 2
dx 2
k 2 0
, avec
2mE/ 2
34
E3
E2
n=2
n=1
0
E1
a
o n = 1, 2, 3, etc.
En portant dans lexpression donnant k en
fonction de lnergie, on trouve
En
2 2
2
2ma 2
sappelle le hamiltonien.
pour
2
x 2
donner
2
y2
2
z 2
un
. La
pi
x .
H 2On
dfinit
V loprateur quantit de mouvement
2m
Or p= h/ . La longueur donde intervient dans lexpression de la fonction donde
= A e 2i(x/ - t) .
x
En drivant par rapport x, on a 2 i Ae2 i( t) 2 i .
x
2 ip
, soit avec h/2 ,
En remplaant par h/p, on obtient
x
h
ip .
x
i x
p i
x
p2
, par
2m
2m x 2 y 2 z 2
2m
35
Lorsque la grandeur est reprsente par un oprateur, comme lnergie cintique, cet
oprateur agit sur la foncti6n donde . Dans le cas de lnergie cintique, on a
Ec *Ec dv .En
2
Ec *(
) dv
2m
2
2m
on a
c)-Produit scalaire
On dfinit en mcanique quantique le produit scalaire de deux fonctions donde par
lexpression * dv .
Deux fonctions sont orthonormes si leur produit scalaire est nul
* dv0 .
36
Chapitre VI
APPLICATION
ATOME DHYDROGENE EN MECANIQUE QUANTIQUE
Le problme consiste trouver les tats de llectron sous laction du noyau .
I- Equation donde
Lquation de Schrdinger est donne par
2
2m
Vi
dt
q2
4 o r
qq'
4 or
q2
4 or
o r est la distance entre llectron et le noyau supposs ponctuels, q et q sont les charges
respectives de llectron et du noyau dhydrogne. Comme q=q=q, on a V q 2/r (en
omettant 1/4o pour allger lcrire, nous le reprendrons pour les calculs prcis)
Lquation donde devient
2
2m
q2
r
dt
(1)
Latome dhydrogne est constitu dun lectron de masse me et dun noyau de masse
mp (proton), lquation de Schrdinger scrit nouveau
(
2
2me
2
2m p
q2
r
)i
(2)
e x (
me
m p me
)2 X
et
p x (
mp
m p me
(3)
)2 X
(4)
2
q2
1
( 1 1 ) x
X
2
2
r
m p me
me m p
Posons
et
me m p
m p me
2
2
(5)
M m p me
i
t
2
2M
2
2M
q2
r
q2
i t
i t
(6)
(7)
et
2
2
2
2M
q2
r
i t
(8a)
(8b)
X X i X
t
1 1 1
me m p
(10)
z
r
M
y
2
1
1 1 cot
r 2 r r r 2sin 2 2 r 2 2 r 2
(11)
2
(sin )
1
1
1 (r 2 )
r
2
2
r
r sin 2
r 2sin
ou
(12)
q2
2 dR 2m (E
)R 0
r dr
r
dr 2
2
(13)
Posons R = A e-r/a, lquation (13) devient (avec A0)
q2
1 1 2 2m (E
) 0
a r
r
a2
2
(14)
Les coefficients de r et 1/r doivent tre sparment nuls de sorte que
1 2m E 0
a2
2
(15a)
et
2
a
2mq 2
2
(15b)
38
(16)
qui est lnergie de ltat fondamental de latome dhydrogne.
III- Fonction donde
Ecrivons la condition de normalisation de la fonction donde R(r).
On doit avoir R 2dv 1
Comme dv = 4 r2dr ,
on a
4 A 2e2/a r 2dr 1
(17)
r
(18)
P(r)dr 4 r 2e2r/a dr
a3
(iEt/h
1
er/a e
(a 3)1/2
a 2 / mq2
avec
IV- Harmoniques sphriques
(19)
E mq 4 / 2 2
et
2 1 2
r r
r 2
r2
2
cot
1
2
sin 2
2m (E
2
q2
r
) 0
(20)
o
39
(21)
Posons
V(r)
q2
r
et
(r,,)R(r)Y(()
(22)
Lquation (10) devient
Y
d2
dr 2
2 d
r dr
R 2Y 2m (E V)RY 0
=0
r2
2
(23)
Cette quation peut tre rsolue en sparant les variables, partie dpendant de et ,
et partie dpendant de r, soit:
r 2 d2
(
R dr 2
2 d )R 2m (E V)R 1 2Y
r dr
Y
2
(24)
Lquation est vrifie si chaque membre est gal une constante
, soit
2Y 2Y
et
d2
dr 2
2 d
r dr
R 2 m
(E V)R
2
(25a)
-
2
r2
R 0
(25b)
sin 2 2
2Y
(sin Y )
1
1
2Y 0
sin
sin 2 2
ou
(26)
cot d
20
d
d 2
sin 2 2
ou en divisant par ,
(27)
d 2
2
1
cot d
2 0
d 2
d
sin 2 2
d 2
2
1
1
1 cot d 1
2 0
d 2
d
sin 2 2
ou encore
Cette quation na de solution que si chacune des parties dpendant de et de est
gale une constante 2,
d 2
soit
et
d 2
2
cot d ( 2
) 0
d
sin 2
2
2
(28a)
2 0
(28b)
m
T (1 t 2)
Posons
lquation (31) devient
2
Pm(t)
(31)
(1 2)
d 2P
d 2
2(m1) dP 2 m(m1)
d
(32)
(33)
P 0
O n montre que les fonctions Pm ne sont rien dautres que les polynmes de Legendre
(1)d
donns par lexpression
l
P (u)
2 !du
(1u 2)
(34)
o u= = cos
e im
(35)
r dr
r2
d2
dr 2
2 d
r dr
(1)
R 2m
(EV)R
R 0
2
2
r
(36)
Posons R(r)
=f ( r)/r, lquation2prcdente devient
2
d f
(1)
2m (E V(r)
)f 0
2m
dr 2
2
r2
41
(37)
2 2
r dr 1
,
* Ylmsin d d ' mm'
Ylm
Car
est gal soit 1
si l=l et m = m , soit 0 dans le cas contraire.
Quand r tend vers linfini, lquation (37) se rduit
d 2f
dr 2
2m E)f 0
2
(38)
(39)
En outre la fonction
f( r) doit tendre vers zro quand r tend vers zro, de sorte que
d 2f0
(1)
lquation (37) devient
f 0 0
dr 2
r2
(40)
Sa solution est de la forme A0r+1 + B0r-.
Comme f( r) doit tre finie r = 0, cela entrane B0= 0, et
f( r)= A0r+1
Les solutions (39) et (41)suggrent lexpression suivante pour f(r)
f( r) = r+1e-argl(r)
Les solutions (39) et (41)suggrent lexpression suivante pour f(r)
f( r) = r+1e-arg(r)
La fonctiond g(
2 gr) doit satisfaire lquation
dr 2
a
avec
(41)
(42)
dg
2(1)
2 ( 1 (1)g 0
r
dr
r
(43)
q 2
et
1 (2. E )1/2
(44)
En portant dans (43), on obtient la relation de rcurrence
(n+1)(n+2l+2)bn+1 =2a(n+l+1-1/2a) bn
Quand n est trs grand, la srie est divergente. On a
42
(45)
bn+1/ bn = 2a/n.
La srie nest convergente que si
1/a = +l+1 (coefficient de bn dans (45).
4
mq
Ce qui donne br+1 = 0 ;
E
2
2n 2
43
Chapitre VII
STRUCTURE LECTRONIQUE DES ATOMES
I- Introduction
Nous avons vu dans ltude de latome dhydrogne, quun lectron est caractris par
quatre nombres quantiques :
- le nombre quantique principal n,
- le nombre quantique de moment angulaire orbital ,
- les composantes ml du moment angulaire orbital sur un axe de quantification,
- le moment angulaire intrinsque dit de spin s avec ses deux composantes 1/2.
Les lectrons comme les nuclons tant des particules identiques, donc indiscernables,
Pauli a tabli un principe selon lequel deux particules identiques ne peuvent pas avoir le
mme ensemble des nombres quantiques n, , ml et ms. Elles doivent diffrer par lun dentre
eux.
Ainsi nous pourrons obtenir le nombre dlectrons ayant le mme nombre quantique
principal n. Ces lectrons constituent une couche.
Pour chaque valeur de n, on peut avoir toutes les valeurs de allant de zro n-1. Ces
lectrons constituent la sous couche .
II- Nombre dlectrons
Voyons maintenant comment on peut obtenir le nombre dlectrons constituant une
couche, cest dire ayant la mme nergie dfinie par le nombre quantique principal.
Pour une valeur donne de n, on obtient le nombre total des lectrons en faisant
prendre au nombre quantique orbital , les valeurs allant de zro n-1.
Pour chaque valeur de , les composantes sur laxe de quantification vont de m l= -
ml =+, soit 2 +1 valeurs diffrentes dfinissant (2+1) lectrons.
Chaque lectron pouvant avoir une valeur du spin gal plus ou moins 1/2, soit deux
valeurs, le nombre total des lectrons est alors 2(2+1).
Ainsi nous obtenons, le nombre dlectrons correspondant chaque valeur de :
m
ms
Nombre d lectrons
0
1
2
3
4
0
-1, 0, +1
-2, -1, 0, +1, +2
-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3
-4,-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4
-1/2, +1/2
-1/2, +1/2
-1/2, +1/2
-1/2, +1/2
-1/2, +1/2
2
6
10
14
18
0
0, 1
0, 1, 2
44
0, 1, 2, 3
2 + 6 + 10 + 14 =
32
42
Etat fondamental
Lorsque touts les lectrons ont t placs dans les couches, en faisant varier le nombre
quantique principal de 1 n et le nombre quantique de 0 n-1, on obtient ltat fondamental
de latome. La reprsentation de ltat sappelle nomenclature. Elle utilise les symboles
reprsentant les sous-couches, ns2(2+1) pour =0, np2(2+1) pour =1, nd2(2+1)) pour =2, etc,
n reprsentant le nombre quantique principal correspondant la couche laquelle appartent la
sous-couche, lexposant 2(2+1), reprsentant le nombre dlectrons dans la sous couche.
Par exemple, la couche s comportant deux lectrons (s=+1/2 et s=-1/2), on la
reprsente par le symbole s2, la couche p, par le symbole p6, etc
La nomenclature de latome doxygne comportant 8 lectrons ets 1s 22p6 le nombre 2
reprsentant la multiplicit
Etat excit
Les lectrons occupent dans ltat fondamental, les couches les plus basses de latome.
Lorsque tous les lectrons sont placs, les couches de n plus lev au-dessus de la dernire
sous couche qui peut comprendre un lectrons , les autres sous couches constituent les tats
excits de latome.
Si lon fournit de lnergie un lectron de latome, par exemple laide dun
rayonnement lectromagntique, llectron peut passer sur une couche plus lev, selon
lnergie fournie, qui doit correspondre la diffrence dnergie entre la couche o se trouvait
llectron et la couche o il aboutit. On dit que lon a excit latome. Cest le phnomne
dabsorption.
Inversement, ltat excit ayant une dure de vie courte, quelques 10 -14seconde,
latome revient spontanment ltat fondamental en rmettant lnergie absorbe. Cest le
phnomne dmission.
Rayons X
Lorsquon expulse un lectron dune couche interne dun atome (K,L,M , etc), on
dit quon a cr une lacune. Cette place ne reste pas longtemps inoccup (par exemple K), elle
est vite remplie par un lectron dune couche externe (par exemple L). La diffrence dnergie
EL-EK entre les deux couches mises en jeu est mise sous forme de rayonnement dnergie
h= EL- EK.
Srie K
e , Em
-
Srie
e-, En
e-arrach
R-X
noyau
noyau
K
L
M
45
Srie M
Les niveaux dnergie tant caractristiques des atomes, les rayons X le sont
galement. Ils pourront donc tre utiliss pour dterminer la composition des matriaux.
Les rayons X sont trs pntrants, ils peuvent traverser la matire, dans laquelle ils
sont attnus (une partie dentre eux peut tre absorbe (voir effet photolectrique, effet
Compton). Le nombre de photons I ayant travers une paisseur x du matriau donn par
lexpression I=Ioe-x, o Io est nombre de photons initiaux, est le coefficient linaire
dabsorption, caractristique du matriau.
Les rayons X ont de nombreuses applications dans diffrents domaines : en mdecine
ils servent la radiographie et le scanner pour limagerie mdicale, en radiothrapie pour le
traitement des tumeurs, en cristallographie pour la caractrisation des matriaux, dans
lindustrie pour lanalyse des matriaux, la mesure des paisseurs, etc
Lasers
Le Laser (de langlais Light Amplificator by Stimulated Radiation), consiste en
labsorption dune radiation de frquence = (E2- E1)/h, qui fait passer latome du niveau
fondamental 1 au niveau excit 2.
Nous avons vu qun atome excit revient spontanment ltat fondamental. Ce
phnomne sappelle lmission spontane.
Si n2 est le nombre datomes dans ltat excit dnergie E 2, le nombre dn2 datomes
qui se dsexcitent pendant lintervalle de temps dt est dn2 = -An2dt.
La quantit
dn 2
A 1
dt
n2
dn2/dt
1 dn1 B u
12
dt
n1
(1)
46
le nombre datomes dn2 qui passent de ltat E2 ltat E1 dans ce cas est proportionnel la
densit dnergie : u
1 dn'2 B u
21 .
dt
n2
(3)
B21 est la probabilit dmission induite, elle est gale la probabilit dabsorption B21 = B12.
Lquilibre entre mission et absorption scrit dn1 dn 2 dn '2 .
dt
soit
qui donne
dt
dt
A 21
1
.
B12 (n1 / n 2)- 1
Lorsquun atome est dans un tat excit, il peut revenir ltat normal, spontanment
ou par stimulation. Dans le premier cas on obtient un photon alors que dans le second
(stimulation), on obtient deux photons. Si chacun dentre eux peut nouveau stimuler un
atome, on aura aprs n oprations 2n photons.
On dit quon a amplifi le nombre de photons de photons initial.
Lamplification nest possible que sil existe un nombre suffisant datomes dans ltat
excit. Or nous avons dit que lmission stimule est faible devant lmission spontane.
A lquilibre thermique, la population du niveau E1 est suprieure celle du niveau E2
conformment la loi de rpartition de Boltzmann. Il faudrait alors rendre le nombre
datomes dans ltat excit E2 suprieur au nombre n1 dans ltat infrieur E1, ce qui revient
"inverser les populations" des niveaux. Lopration est comparable au pompage de leau qui
augmente son nergie potentielle en levant sa hauteur.
Ce phnomne imagin en 1949 par A.Kastler est appel pompage optique, par lequel
on fait monter des atomes dans ltat E1 vers ltat E2. Il consiste utiliser trois niveaux : Le
niveau E1, le niveau E2 et un niveau E3.
E3
Supposons que la transition entre E 3 et E1soit interdite par
les rgles de slection et que la dure de vie de E3 soit trs petite
E2
devant celle de E2. Faisons passer les atomes de E1 au niveau E 3
adquate par labsorption dune radiation adquate. Par mission
spontane, les atomes au niveau E3 vont passer dans le niveau E 2
E1
dont la population va devenir plus grande puisquil se peuple
plus vite quil ne se dsexcite, jusqu devenir plus grande que celle de E 1. On dit quon a
raliser une inversion de population. Lopration est appele pompage optique.
En enfermant le milieu metteur dans une cavit paroi rflchissante les photons
mis par stimulation vont tre rflchi et provoquer leur tour une stimulation, augmentation
ainsi le nombre de photons mis (do le terme amplification).
Les applications du laser sont nombreuses, on peut citer la soudure ou la dcoupe de
plaque mtallique en mtallurgie, la mdecine en ophtalmologie pour le traitement du
dcollement de la rtine, la tlmtrie, le guidage, la lecture de disque compacts, etc..
47
Chapitre VIII
NIVEAUX DENERGIE ET SPECTRES DES ATOMES
I- Les niveaux dnergie de latome
Nous avons vu comment dterminer les niveaux dnergie de latome dhydrogne
partir de la rsolution de lquation de Schrdinger. Il est possible mais plus compliqu den
faire autant pour tous les atomes plusieurs lectrons, car il est trs difficile de rsoudre
lquation de Schrdinger pour un problme n corps (particules) .
Il faut cet effet tenir compte des diffrentes interactions qui ont lieu dans latome.
Les deux principales sont :
- Les interactions lectrostatiques des lectrons avec le noyau ,
- Les interactions lectrostatiques des lectrons entre eux.
Le hamiltonien du systme lectrons- noyau, scrit
2
Ze 2
e2
1
1
H (i
)
2m
i
j 4 o r
4 o r
ij
i
Ze 2
Le terme
Le terme
j 4 o
4 o
ri
e2
rij
ne compter quune seule fois cette interaction, rij dsigne la distance entre les deux lectrons.
La rsolution exacte de lquation de Schrdinger ntant pas possible, cause de des
proprits mathmatiques des quations aux drives partielles, on a recours des
approximations successives. Ce problme sortant du cadre de ce cours nous donnerons
seulement les rsultats . De mme que pour latome dhydrogne, la mcanique quantique
donne lnergie des niveaux dun atome plusieurs lectrons. Ces niveaux sont caractriss
par les nombres quantiques principal (qui caractrise le niveau, le nombre quantique orbitale
, le nombre quantique m dfinissant la projection de sur laxe de quantification, la
composante ms du spin de llectron.
Les lectrons remplissent progressivement chacun des niveaux dnergie n en
commenant par le niveau de n=1 , dabord la couche =0, puis les couche successives
jusqu la couche =n-1.
Le remplissage se fait selon le principe dexclusion de Pauli, concernant les particules
identiques qui dit que deux particules identiques ne peuvent pas avoir dans le mme niveau
dnergie, couche ou sous couche le mme ensemble de nombres quantiques, ils doivent
diffrer par lun dentre eux.
Ainsi pour n=1, =0, seuls deux lectrons de ms=1/2 et ms=-1/2, peuvent occuper la couche.
Pour n=1, on peut avoir=0 et =1, correspondant deux sous couches, une pour chaque
valeur de . La couche =0, se remplit comme prcdemment. Pour la couche =1, m peut
prendre les valeurs 0, 1 et -1, pour chaque valeur de ms , soit 4 valeurs de m et ms
correspondant quatre lectrons diffrents.
Le nombre dlectrons pour chaque sous couche est 2(2+1). Celui correspondant la
valeur de n, sobtient, en sommant le nombre dlectrons de toutes les sous couches de l=0
l=n-1, soit
n - 1
n61
n61
n(n 1)
2n 2 .
2(2 1) 4 2 2n 4
2
0
0
0
La somme des nombres dlectrons sur toutes les valeurs de n donne le nombre total
dlectrons de latome. On obtient le tableau ci-dessous.
48
Nombre
quantique
principal n
n=1
n=2
=0
=0
=1
n=3
=0
=1
= 2
Nombre
dlectrons
m=0
ms =- et ms =
m=-1
ms =- et ms =
m=0
ms =- et ms =
m= 1 ms =- et ms =-
m=-2
ms =- et ms=
m=-1
ms =- et ms=
m= 0
ms =- et ms =
m= 1
ms =- et ms =
m= 2
ms =- et ms =
2
2
2
.
.....
...
2
2
2
2
2
Nombre
dlectrons
par
s/couche
2
2
Nombre
total
dlectrons
par couche
2
2
6
10
18
5s
4p
3d
4s
3p
3s
2p
2s
Couplage spin-orbite
n,l
Le placement des lectrons dans les couches atomiques en faisant varier
1s
de =0 =n-1, attribue aux lectrons dune mme couche la mme valeur de
5s lnergie. On
4p
dit que le niveau est dgnr. On lve cette dgnrescence en couplant le moment
angulaire
3d leur somme
orbital et le moment cintique de spin de llectron, cest dire en faisant
4s ajouter un
j s . Cest ce dsigne par lexpression de couplage et s. Cela revient
3p
3s
2p
49
2s
1s
terme . s dans lquation de Schrdinger, ce qui se traduit par des nergies diffrentes
deux lectrons de j diffrents.
Les sous-couches lectroniques de mme
nombre quantique n et de mme moment
-s
cristal,
en
enregistrant lintensit par pas de
E
autour de la longueur donde ,
collimateur
Source mettrice
Intensit
dune raie, on obtient la figure ci(vapeur de mercure)
contre appel spectre atomique, la
place de la raie quon obtient avec le
dtecteur
spectroscope prisme indiquant une
o o2 ( / 2) 2 .
On peut considrer lamortissement faible de
sorte quon peut ngliger le second terme et crire
x xoe
(cost ( /2 )sint)
T
50
x xoe
( /2)t
cos o t
it dt x e ( / 2)t cos te it dt
x(t )e
o
o
2 0
0
1
Lintgration donne
A( )
xo
2
1
i ( o ) / 2
1
i ( o ) / 2
).
xo
Intensit
2 i ( ) / 2
o
Cte
( o ) 2 ( / 2) 2
, dont la courbe
Imax
Imax/2
On apelle largeur mi-hauteur, lcart , tel que lintensit est gale la moiti du
maximum.
A2 est maximum pour o = . La largeur mi-hauteur est obtenue pour |A|2()=1/2|A|
2( ) , soit ()=1/2t. La largeur mi-hauteur est le double de cette valeur
o
MH (w)=1/t
o
' c - v
'
c
c
c-v
' c - vcos
c-v
' '
ou
'
c
c-v c
v
v
c
'
c
'
'
'
1 v (quand latome sloigne) et
ou
soit
c
c
v
'
' c - v
c c-v
v
'
c
ou encore
v
c
Comme la raie spectrale est la superposition des raies mises par de nombreux atomes, il
sensuit un largissement de la raie.
51
1 2 et
v
2 .
1
2 2v
ou
Dans le cas dun gaz en agitation thermique, la loi de rpartition des vitesse est donne par la
loi de Maxwell-Boltzmann
mv 2
1
f(v x )
2m 3/2
)
e
kT
2kT
En remplaant vx par v c
, la loi de distribution des vitesses devient
m c ) 2 )
(
(
f(v x ) 1 (2m)3/2e 2kT
kT
( m (c ) 2 )
m c 2
1 e(2kT ( ) )
Intensit
Max
2kT
k=R/,k/m=
2
c
500K,
R/m=
2RT
ln 2 7,1156 .10 7
M
Max/2
R/M
2
c
2kT
ln 2
m
ou
2
c
2kT
ln 2
m
2kT
ln 2
m
. La
m=M
masse
molaire.
Alors
T
M
11,29 x 2537.10 7
=2,8668.10-3
Direction
dobservatio
n
52
Jet atomique
53
Chapitre IX
LES CONSTITUANTS DU NOYAU
I- Introduction
La notion d'atome remonte aux philosophes grecs au cinquime sicle avant l're
chrtienne (ANAXAGORAS,LEUCIPPE et DEMOCRITE) qui supposrent que la matire
est forme de particules invisibles, indivisibles , incompressibles et en perptuel mouvement
qu'ils nommrent atomes (du Grec atomus= indivisible). Ce n'est que bien plus tard , au 16
sicle, qu'une relle tude scientifique sur des considrations exprimentales commence. Les
concepts atomiques ont t introduits par les chimistes. Les tapes suivantes se succdrent.
Robert BOYLE (1629-1691) introduisit la notion d'lment chimique pour interprter
les ractions chimiques.
BERNOULLI employa, dans sa thorie cintique des gaz, des modles atomiques
pour expliquer la pression exerce par les gaz sur les parois des vases qui les contiennent
introduisant ainsi la notion d'atome.
LAVOISIER nona en 1774 la loi sur la conservation de la matire selon laquelle "
rien ne se perd, rien ne se cre, tout se transforme".
Ltude des corps purs a conduit les chimistes les classer en deux catgories: les
corps composs et les corps simples.
Les corps simples sont constitus de molcules, elles-mmes constitues de particules
identiques appeles atomes, en nombre variable selon llment chimique considr,
gnralement un ou deux. Exemple, les molcules dhydrogne, doxygne et dazote
comprennent deux atomes, celle du carbone, du fer et de luranium nen comportent quun, la
molcule dozone en comporte trois. On crit H2, O2, N2, C, Fe, U et O3.
Les atomes de plusieurs corps simples peuvent sunir pour constituer des molcules de
corps composs. Exemple la molcule deau est H2O et celle de lacide sulfurique est H2SO4.
Selon Proust (1801), les lments chimiques se combinent dans une raction chimique
suivant des proportions bien dfinies dans un rapport constant. Si AaBbCc est la formule d'un
corps compos constitu de a atomes de A , b atomes de B et c atomes de C, les masses m(i)
sont telles que:
m(AaBbCc ) = a m(A) + b m(B) + c m(C)
et a m(A)/(b m(B)) = 1 et a m(A)/(c m(C)) = 2,
m(i) dsigne la masse du corps i et i les nombres de Proust.
Ainsi 12 grammes de carbone se combinent 32 grammes d'oxygne pour former 44
grammes de gaz carbonique ; le nombre de Proust est:
a m(C)/(bm(O)) = 12/32=3/8.
DALTON (1808) approfondit cette ide, en nonant la loi des proportions multiples,
selon laquelle deux lments A et B peuvent se combiner dans une raction chimique pour
donner, non pas un seul compos, mais plusieurs, selon la rgle "les masses d'un corps A qui
se combinent la mme masse de B sont dans des rapports simples gaux des fractions
rationnelles". Ainsi la combinaison de l'hydrogne et du carbone peut donner naissance
diffrents composs :
C + H2 CH2
C + 2H2 CH4
2C + 3H2 C2 H6
Les masses d'hydrogne qui se combinent 12 grammes de carbone sont
respectivement 2g, 4g et 3g.
54
L'tude de certains composs ayant des lments communs permet de faire un choix
judicieux sur la composition de leur formule. Par exemple, dans les composs oxygns, la
masse d'oxygne est toujours un multiple de 16. Il est alors naturel de penser que tous les
composs oxygns qui ont un rapport de Proust tel que le nombre 16 reprsente la masse
d'oxygne, possdent un atome de celui-ci. Il en est de mme des composs carbons o la
masse de carbone est toujours un multiple de 12.
Pour les gaz, la loi dAvogadro dit que le nombre d'atomes ou de molcules contenus
dans un volume donn une pression et une temprature donnes est le mme pour tous les
gaz".
La loi de Gay-Lussac (1808) indique que les volumes de gaz qui interagissent sont
dans un rapport simple. Par exemple, 2 volumes d'oxygne se combinent un volume d'azote
pour donner un volume de NO2 ou une molcule d'azote se combine deux molcules
d'oxygne pour donner deux molcules de NO2 :
N2 + 2O2 2NO2 ,
o
V(N2)/V(O2) = n1
et
V(NO2)/V(O2)= n2
sont des rapports simples, la lettre V dsignant les volumes respectifs.
Comme on sait que 32 g d'oxygne se combinent 28 g d'azote pour donner 92 g de
NO2, on a t amen dfinir la masse molaire et la masse atomique d'oxygne et d'azote, et
de la mme manire celle celles d'un corps quelconque. Il faut donc choisir une unit de
masse, qui est celle d'un atome d'un gaz standard, dont la masse atomique serait par dfinition
gale 1. Ce gaz est lhydrogne.
Longtemps on avait choisi loxygne 16 dont la masse est gale 16. Depuis 1960, on
a prfr la masse de latome de Carbone 12 telle que M(12C)= 12.
La quantit d'un corps dont la masse en grammes est gale M s'appelle une mole (ou
molcule-gramme) ou atome-gramme reprsent par la lettre A quand il s'agit d'un corps
monoatomique.
Par exemple, un atome-gramme d'azote vaut 14 g et une mole 28g.
Le nombre de molcules ou d'atomes contenus dans une mole ou un atome-gramme ne
dpend pas de la nature du corps considr (loi d'Avogadro ). Si on considre deux corps A et
B, on a:
M(A)/m(A) = M(B)/m(B) = L
o M et m dsignent respectivement les masses d'une mole (ou atome-gramme) et celle d'une
molcule (ou atome ), L est appel nombre de Lodscmidt ou d'Avogadro N et vaut 6,02
1023 molcules ou atomes.
Selon la loi d'Avogadro, le volume molaire, la temprature T normale (T = 0
Celsius) et la pression P (P = 1 atmosphre), est de 22,4 litres. La masse d'une molcule ou
d'un atome est alors donne par m = M/L = M/N .
La nature atomique de llectricit a t introduite par Faraday partir des expriences
sur llectrolyse selon lesquelles 96500 coulombs librent la cathode dun voltamtre une
valence-gramme dun corps.
Llectron est introduit par C.J.Stoney (1874).
II - Classification priodique des lments
Mendliev eut l'ide en 1869 de classer les lments suivant l'ordre croissant de leurs
masses atomiques en mettant dans la mme colonne les lments ayant des proprits
chimiques semblables. Par exemple tous les mtaux alcalins (lithium, sodium, potassium, etc.)
ragissent sur l'eau en dgageant de l'hydrogne, les halognes (fluor, brome, iode, etc.)
forment avec l'hydrogne des acides et des sels avec les alcalins. A lpoque, la notion de
55
numro atomique ntait pas encore connue, et pourtant Mendeleev avait prvu des cases
vides.
1
2
3
4
1
H
3
Li
11
Na
19
K
37
Rb
55
Cs
4
Be
12
Mg
20
Ca
38
Sr
56
Ba
21
Sc
39
Y
57-71
Terres
rares
89103
Terres
rares
22
Ti
40
Zr
72
Hf
104 10
5
106 107 10
8
Terres rares
(Lantanides)
57
La
58
Ce
59
Pr
60
Nd
Terres rares
(Actinides)
89
Ac
90
Th
91
Pa
92
U
5
6
7
87 88
Fr Ra
23
V
41
Nb
73
Ta
24
Cr
42
Mo
74
W
25
Mn
43
Tc
75
Re
26
Fe
44
Ru
76
Os
27
Co
45
Rh
77
Ir
61 62 63
Pm S Eu
m
93 94 95
Np Pu A
m
8
O
16
S
34
Se
52
Te
84
Po
9
F
17
Cl
35
Br
53
I
85
At
64 65 66 67 68 69 70
Gd Tb Dy Ho Er T Yb
m
96 97 98 99 10 10 10
C Bk Cf E 0 1 2
m
F M No
m v
71
Lu
28
Ni
46
Pd
78
Pt
29
Cu
47
Ag
79
Au
30
Zn
48
Cd
80
Hg
5
B
13
Al
31
Ga
49
In
81
Tl
6
C
14
Si
32
Ge
50
Sn
82
Pb
7
N
15
P
33
As
51
Sb
83
Bi
2
He
10
Ne
18
Ar
36
Kr
54
Xe
86
Rn
10
3
L
w
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H H
H
H H
H
H H
H
H H
H H
HH
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H H
H H
HH
H H
H H
H
H
H H
HH
H
H
H
H H H
H
H
H
H
A
C
A: anode,
E: cran fluorescent
Thomson tudia (1897) ces rayons. Ils sont dvis de leur trajectoire par l'action d'un
champ magntique ou lectrique comme le sont les lectrons. Il identifia alors les rayons
cathodiques des lectrons. Faraday avait dj postul lexistence de la charge lectrique
lmentaire dans la loi sur llectrolyse, selon laquelle 96500 coulombs librent une valence
gramme dhydrogne dans un voltamtre eau acidule. (On voit bien quavec le nombre
dAvogadro N=6,02 1023 et la charge de llectron mesure par Millikan e=1,610-19 coulombs,
on a bien Q=6,02 1023 x1,610-19 =96 500cb.
Comme les lectrons proviennent des atomes, (on savait dj avec Becquerel que les
corps radioactifs mettent des lectrons: radioactivit bta), il conclut que les atomes isols,
lectriquement neutres, sont constitus par des lectrons distribus de faon homogne
l'intrieur de la matire charge positivement.
Selon ce modle atomique de Thomson, dit modle du
- plum-pudding (gteau de prunes), la masse et la charge
positive de latome, sont rpartie uniformment lintrieur
dune sphre de rayon r.
- - Les lectrons se dplacent lintrieur de charges
- - - positives en subissant des oscillations forces. Si Ze est la
- charge positive de la sphre, un lectron priphrique est
- - 2
2
soumis une force attractive gale Ze /4or . Si o est
- - la pulsation propre d'oscillation de llectron, l'intensit de
Modle de Thomson
la force est obtenue en crivant
2
2
2
(Plum- pudding)
f = mo r = Ze / 4or
- lectron
o m et e dsignent, respectivement, la masse et la charge de
matire charge
l'lectron, Ze la charge de la sphre positive, de rayon r. On
positivement
obtient r = (Ze2/4omo2)1/3.
57
Les radiations mises par les atomes tant situes dans le visible ou l'ultraviolet de
longueur donde = 3000, on a
o = 2=2c/=2x3,14x3.108/3.10-7=6,281015 sec-1 et r=108 cm.
Cette dernire valeur constitue une premire estimation du rayon atomique.
c)- Modle de Rutherford
D'autres dcouvertes ont permis d'approfondir l'tude de la structure des atomes.
En 1895 Rntgen dcouvre les rayons X, tandis qu'en 1896 Becquerel attribua le
noircissement des plaques photographiques places au voisinage de sels d'uranium, un
nouveau phnomne appel radioactivit.
Par la suite, Pierre et Marie Curie en 1898, remarqurent que la radioactivit mise par
un minerai d'uranium est plus importante que celle due l'lment uranium, pur. Ils
attriburent cet effet au fait que le minerai contient deux autres lments radioactifs radium et
polonium) provenant de la dsintgration de luranium, de sorte que la radioactivit observe
est la somme de celle de luranium seul et de ses descendants. Ils ont ainsi dcouvert la
famille radioactive. Rutherford et Soddy laborrent la thorie de la dcroissance radioactive
en 1903.
L'tude des rayonnements mis par les lments radioactifs permit de les classer en
trois types: la dsintgration alpha () correspondant l'mission de particule He++ deux fois
ionise, la dsintgration bta (-) et (+) correspondant l'mission d'un lectron ou dun
positon, une particule identique llectron mais portant une charge positive et enfin la
dsintgration gamma correspondant l'mission de photon de grande nergie.
La dcouverte de la radioactivit alpha, allait permettre Rutherford et ses
tudiants de prciser la structure de latome. En effet, Geiger et Marsden tudirent la
diffusion (figure 3) par des cibles d'or, des particules dnergie 5,5 MeV, mises par le
radon (corps radioactif),. Ils constatrent que la plupart des particules sont diffuses vers
l'avant (comme si elles ne rencontraient aucun atome, ce qui est la preuve du grand vide qui
existe entre les atomes), alors quune trs faible partie d'entre elles subit des chocs avec les
atomes et est dvie dans toutes les directions (do le nom de diffusion de Rutherford),
certaines particules ltant des angles suprieurs 90 (diffusion arrire ou rtrodiffusion de
Dtecteur
Rutherford appele RBS, de l'anglais Rutherford Back Scattering).
(ZnS)
Ce phnomne ne peut tre
D
D1
2
expliqu par le modle de Thomson qui
prvoit un trs faible angle de diffusion
S
C
C
de 0,025. Rutherford montra, alors, que
S
les particules alpha tant charges
positivement, seul un champ lectrique
intense d des charges positives
Figure 3: Schma de la diffusion de Rutherford
concentres dans une petite rgion de
S : source, C: cible, D1 et D2 : diaphragmes
l'espace pouvait les repousser (figure
4) . Cette charge positive tait dj
prvue par Lnard et constitue le noyau
de latome.
Comme
l'atome
est
+
lectriquement neutre et que les
lectrons sont chargs ngativement, la
charge positive du noyau est gale en
valeur absolue celle de l'ensemble des
- - -- - -- - --- - - - --- - - - - - - - -- - -
58
lectrons
qui
sont
distribus
uniformment autour du noyau.
_ +
En 1913 Bohr construit le modle
+
_ +
plantaire de latome dans lequel les
+ +
lectrons gravitent autour du noyau sur
_ + _
+
_
+
des orbites stationnaires comme le font
+
+
les plantes autour du Soleil.
_
+
_ +
En 1919, Rutherford utilisa les
_ +
+
particules alpha pour bombarder des
Figure 5: Modle du noyau : lectron-proton de
noyaux
de
deutrium
provocant Rutherford : cas du Carbone 14: A=14, Z=6, x=A-Z=8
l'mission de noyaux d'hydrogne.
+ proton,
_ lectron
Comme certains noyaux mettent
des lectrons dans le phnomne de la
radioactivit, il suggra que les noyaux
de tous les corps sont forms d'lectrons
et de noyaux d'hydrogne appels
protons (on voit bien ici que lide de
Prout ntait pas si mauvaise).
L'hypothse la plus naturelle est donc quun noyau de charge positive Ze est constitu
de A protons et (A-Z) lectrons, o A reprsente le nombre de masse introduit par Prout, les
A-Z lectrons tant requis pour annuler la charge excdentaire des protons. En effet l'atome
tant lectriquement neutre, si on dsigne par x le nombre des lectrons du noyau, on doit
avoir
(Ae++xe-+ Ze- =0 d'o x = A-Z .
Ce modle fut connu sous le nom de modle lectron-proton du noyau(figure 5) .
Cette ide sera maintenue jusquen 1932, lorsque Chadwick dcouvre le neutron. En
effet quand des noyaux de bryllium sont bombards par des particules alpha, des particules
neutres trs pntrantes sont mises. On pensa dabord que ce sont des rayons gamma (car ils
ne sont pas chargs).
Comme les particules mises ne sont pas dtectes directement par le processus
d'ionisation (comme le sont les gamma), on abandonna alors cette hypothse, dautant plus
que lapplication des lois de conservation de lnergie et de la quantit de mouvement dans les
ractions nuclaires, indiqua que ces particules ne pouvaient pas tre des rayons gamma.
Chadwick montra que ces particules neutres
n
ont des masses trs voisines de celle du proton;
+
n
comme elles ne sont pas charges, il les dnomma
n
+
n
neutrons.
+
n
Depuis la dcouverte du neutron, on admet
n
+
quun noyau de nombre de masse A est constitu de
n
Z protons et de N=(AZ) neutrons (figure 6).
+ n +
On considre le proton et le neutron comme
deux tats de charge dune mme particule appele
Figure 6: modle du noyau,
nuclon.
cas du 146C8: Z=6, N=8, A=N+Z=14
n
neutron, + proton
d)- Modle des quarks
En
59
d
u
proton : 2 quarks u
et un quark d
neutron: 2 quarks d
et un quark u
60
61
Chapitre X
CARACTRISTIQUES DU NOYAU
CHARGE, MASSE ET DIMENSION DU NOYAU
I- Charge
Rutherford a montr qu'un atome est constitu d'un noyau central de charge Z e- et
de Z lectrons priphriques, la charge totale de l'atome tant nulle. Le noyau atomique porte
donc une charge positive qui peut tre dtermine par diverses mthodes.
Dans la diffusion de Rutherford la section efficace diffrentielle (voir plus loin) est
donne par l'expression
d/d = b2/16 sin4(/2)
o b2 = 2Zze2/M0 v2 et M0 = M1M2 / (M1+ M2), la masse rduite du systme des deux particules
en interaction et v la vitesse d'approche (la cible tant au repos v est la vitesse de la particule
incidente).
La mesure de d/d permet de dterminer Z, lorsque l'on connat z.
Une autre mthode consiste utiliser la spectroscopie de rayons X. En effet la loi de
Moseley (1913) qui donne les longueurs d'onde des discontinuits d'absorption par
l'expression =(1/)=R(Z-C)2/n2 o R= 109677 cm-1 est la constante de Rydberg, C la
constante d'cran dpendant de la couche en jeu, Z le numro atomique de l'atome et n le
nombre quantique principal.
L'nergie de la raie mise est donne par
En = h=hc/= Rhc(Z-C)2/n2 = 0,0136 (Z-C)2/n2 KeV
h= 6,626 10-34 MKS, tant la constante de Planck, c= 3 108 m/s la vitesse de la lumire
Pour la couche K, n=1, C=1, la discontinuit d'absorption du cuivre se produit
l'nergie E=10,6 KeV et l'on a: Z-1= (10,6)1/2/(0,0136)1/2= (771,4)1/2 = 27,9
d'o Z (Cu)= 27,9 +1=28,9 29
De mme, pour le Molybdne, l'nergie tant 22,6 KeV, on trouve Z(Mo)= 42.
D'autres mthodes telles que la capture K, la conversion interne, permettent la
dtermination de la charge du noyau et aboutissent toutes la conclusion que le noyau
atomique porte une charge positive gale Z fois la valeur absolue de la charge de l'lectron.
Les noyaux ayant la mme charge donc le mme nombre d'lectrons priphriques sont
appels isotopes. Ils ont les mmes proprits chimiques. On Z=0 pour le neutron et Z=1 pour
le proton.
II-Masse du noyau et nergie de liaison
a)- Masse du noyau
La matire ayant une masse, des fractions de celle-ci en ont galement. Ainsi les
noyaux que sont les atomes dpourvus d'lectrons ont une masse. Celle-ci ou plus exactement
celle des atomes est dtermine l'aide d'appareils, appels spectromtres ou spectrographes
de masse. Ces derniers sont bass sur le principe de l'action combine des champs lectriques
et magntiques sur les particules charges, comme les ions des atomes.
La dtermination des masses des noyaux peut se faire galement l'aide des ractions
nuclaires.
62
Une premire ide de la masse des noyaux peut tre obtenue partir de la somme des
masses de leurs constituants que sont les protons et les neutrons. On pourrait crire:
A
ZM= Z mp + Nmn ,
m pet mn reprsentant respectivement les masses du proton et du neutron.
La masse de l'atome s'obtient en ajoutant la masse des Z lectrons.
M= Z mp + Nmn+ Z me
Les mesures prcises effectues avec les spectromtres de masse indiquent une lgre
diffrence entre la masse des noyaux et la somme des masses des protons et des neutrons.
Cette diffrence est appele dfaut de masse m
A
.
ZM= Z mp + Nmn-m
La quantit mc2 correspond l'nergie libre lorsqu'on rassemble les nuclons pour
obtenir un noyau ou celle qu'il faut fournir pour l'clater en ses constituants.
De nombreux spectroscopistes prfrent utiliser le terme dexcs de masse pour la
quantit AZm c2=( AZM-A)c2 et rservent le nom d'nergie de liaison la quantit
mc2= Z mp + Nmn- AZM.
C'est lexcs de masse qui est gnralement donn dans les tables.
On a par exemple pour le proton 11= 0,007825 u et pour le neutron 10=0,008665 u.
b)-Unit de masse atomique
Le kilogramme est une unit trop grande pour le monde microscopique, de sorte qu'on
a t amen choisir une unit plus adapte. L'Union Internationale de Physique Pure et
Applique ( IUPAP en anglais International Union for Pure and Applied Physics ) a adopte
l'unit de masse atomique de symbole u comme tant la douzime partie de la masse de
l'atome de Carbone 12:
1u = (masse atomique de 12C )/12. Comme une mole de 12C a une masse de 12 g et que le
nombre dAvogadro vaut N = 6,02 1023 , on a :
1u = 12 103kg/ (12 6,02 1023 ) = 1,66043 10-27kg
ce qui montre bien que le kilogramme est une unit trop grande pour les masses atomiques et
nuclaires.
On a, par exemple, pour le proton 11H=1,007824u et pour le neutron 10H=1,008665u.
Remarquons que le neutron est lgrement plus lourd que le proton.
c)-Equivalence entre la masse et l'nergie
Einstein a montr en 1905 dans le cadre de la thorie de la relativit, quil y a
quivalence entre la masse m et l'nergie E totale dune particule selon la relation :
E = mc2 ,
o c est la vitesse de la lumire dans le vide.
Dans une raction exothermique (raction dgageant de l'nergie sous forme de
chaleur), la masse totale des produits de la raction doit tre moindre que celle des produits
ragissant, la diminution de la masse correspond au dgagement d'nergie.
Si on ajoute de la chaleur un corps (exprience du corps noir), sa masse devrait
augmenter.
Cependant ces changements ne peuvent pas tre facilement observs cause de la
faiblesse des variations de masse mises en jeu.
Du point de vue des units de lnergie, les units habituelles sont trop grandes et les
physiciens nuclaires ont dfini une unit plus adapte qui est l'lectron-volt (eV),
63
reprsentant la variation de lnergie cintique d'un lectron qui subit une diffrence de
potentiel de 1 Volt :
1 eV = 1,602.10-19 Joule = 1,602.10-12 erg
En utilisant l'quivalence de la masse avec lnergie, on peut exprimer les masses des
noyaux en units d'nergie divises par c2 , m = E/ c2.
La relation E=mc2 donne 1uc2 = 1,6604.10-27 x (3.108) = 14,923.10-11 Joule.
Avec la dfinition de llectron volt, on obtient :
1u = 14,923.10-11/1,602.10-19 = 9,315.108eV/ c2 931,5 MeV/ c2.
La valeur admise est :
1u = 931,441 MeV/ c2
La masse de l'lectron est telle que mec2 = 0,510 MeV,
celle du proton est mpc2 = 938,7295 MeV
et celle du neutron est mnc2 =939,5119 MeV
L'quivalence entre la masse et l'nergie se vrifie par les transformations de
matire dans la fission nuclaire qui est ralise dans les racteurs nuclaires qui produisent
de lnergie, la matrialisation de l'nergie dans les acclrateurs de particules, etc...
d)-Energie de liaison
En_liaison/A (MeV)
50
100
150
200
250
nombre de masse A
Les noyaux ayant une grande stabilit sont situs sur le haut de la courbe reprsentant la
valeur absolue E/A en fonction de A.
On voit sur la figure que E/A augmente pour A allant de 2 20, passe par un
maximum pour A50, puis dcrot lentement tout en restant suprieur 7,5MeV.
64
Cette courbe explique la possibilit de libration d'nergie soit par fusion de noyaux
lgers (cas de deux noyaux de deutrium pour former un noyau d'Hlium), soit par fission de
noyaux lourds (cas de l'Uranium).
Une tude dtaille montre que l'nergie de liaison dpend des caractristiques du
noyau (volume, surface, numro atomique, diffrence entre nombre de protons et neutrons et
du fait que A est pair ou impair). Les diffrents termes ont t obtenus par Bohr en assimilant le
noyau une goutte de liquide (dont les molcules reprsentent les nuclons) de forme
sphrique.
Selon ce modle
- le noyau a une forme sphrique,
- la matire nuclaire est incompressible (comme la goutte de liquide),
- la force nuclaire est la mme pour chaque paire de nuclons (p-p, p-n, n-n); on dit
qu'elle est indpendante de la charge. Elle est galement courte porte, chaque nuclon
n'interagissant qu'avec ses plus proches voisins.
Selon des considrations empiriques, lexpression de lnergie de liaison est donne
par:
El = a1A - a2A2/3- a3
Z( Z 1)
2
- a4 (A 2 Z) +a5A-3/4.
1
3
A
A
Z( Z 1)
A1 3
- a4 (A 2 Z)
A
+a5A-3/4).
Z2
A1 3
- a4 (A 2Z)
A
+a5A-3/4).
65
qui donne
Zo
ou
(mn - mp)c2 4a 4
2(a A 1/3 4a A 1)
3
4
Remarque:
Pour les noyaux lourds, on peut utiliser sans grande erreur la formule obtenue avec le
terme de surface en Z2.
Le noyau stable correspondant la masse minimale est celui ayant Z = Z o, Comme
celui-ci est gnralement un nombre dcimal, on prend le nombre entier le plus proche. Les
noyaux dont le nombre de masse est diffrent, sont instables et se dsintgrent par mission
bta. Ceux de Z infrieur Zo le font par mission bta moins, ceux de Z suprieur Z o le
font par mission bta plus ou capture lectronique.
On distingue deux cas, celui des noyaux de A impair et celui des noyaux de A pair.
(Z pair, N pair et Z impair et N impair)
Dans le premier cas = 0 et il n'y a qu'une seule parabole, il ne peut y avoir quun seul
noyau stable.
Exemple, lisobare le plus stable de la famille A=123 est obtenu pour Z o=51,997.Z
devant tre un nombre entier, lisobare le plus stable est donc le noyau de Z=52.
Data: Data1_I
Model: user5
Chi^2 = 0.4635
R^2
= 0.99747
-50
P1
P2
P3
0.78839
51.90115
-89.3147
0.01262
0.03019
0.27302
Y Axis Title
-60
A=123
-70
-80
-90
44
46
48
50
52
54
56
58
60
X Axis Title
Dans le second cas, est gal, soit -1 (noyaux impair-impair), soit +1 (noyaux
pair-pair), donnant lieu deux paraboles, il peut y avoir un deux noyaux stables (confirmant
lexcellente stabilit des noyaux pair-pair.
Exemple : Le calcul donne pour lisobare le plus stable de la famille A=124,
Zo=52,514. Le nombre entier le plus proche est 53, qui correspond un noyau impair-impair.
Celui-ci tant instable, on doit donc prendre Z le plus proche savoir Z=52 qui correspond au
124
124
noyau pair-pair le plus stable. Le noyau correspondant est le 124
52Te , mais 54Xe et le 50Sn
sont galement stables.
66
Data: Data1_A
Model: user5
-60
Excs de masseMeV
Chi^2 = 0.3673
R^2
= 0.99714
P1
P2
P3
0.79543
52.18835
-88.3874
0.0248
0.04591
0.37978
(a)
A=124
-80
48
(b)
46
Noyaux52stables54
50
56
58
numro atomique Z
f)-Energie de sparation
Les nuclons tant fortement lis dans le noyau, il faut dpenser une nergie pour en
arracher un dentre eux, cest lnergie de sparation, qui est loppose de lnergie de liaison
du dernier nuclon.
Daprs la loi de conservation on a:
S =M(A-x,Z-y) +m(x, y) M(A,Z)c2
= El(A,Z)- El(A-1,z)- El(x,y)
o M(A-1,Z), M(A,Z) ,m(x,y) reprsentent respectivement les masses des noyaux rsiduel,
initial et de la particule arrache.
Dans le cas o m(x, y) est un proton , on a
Sp= M(A-1,Z-1) +mp) M(A,Z)c2.
Dans le cas o m(x, y) est un neutron , on a
Sn= M(A-1,Z) +mn) M(A,Z
Exemple: lnergie de sparation du neutron dans 13C est :
Sn=M(12, 6) +mn) M(13,6)c2.
Comme 12C= 12u, 13C = 13.003354u, mn= 1.0086654u et Sn= 4.947 MeV
De mme on trouve pour 7Li, Sn(7Li)= 7.243 MeV
et pour 4He, Sp( 4He) = 21.795 Mev.
III-Forme et dimensions du noyau.
a)-Introduction
Nous avons dj dit que la premire notion sur la forme du noyau a t donne par la
thorie cintique des gaz dans laquelle les noyaux sont des sphres solides.
J.J. Thomson a suggr qu'un atome a une forme sphrique, il est charg positivement
et de dimensions de lordre de 10-8cm, dans lequel les lectrons sont rpartis de faon
homogne (plum pudding).
67
1
1 2Ze 2
mv 2
.
2
4 0 D
Pour des particules alpha de 25 MeV, diffuses par des noyaux d'or (Z =79) on trouve
une distance D de 10-12 cm, qui donne lordre de grandeur de la taille du noyau.
b)-Unit de longueur en physique nuclaire
L'unit de longueur du systme MKSA tant trop grande pour mesurer les dimensions
nuclaires, on introduit une nouvelle unit appele fermi (fm), 1 fm = 10-15m.
IV- Units en physique nuclaire
Lunit de la charge est celle de llectron e=4,803 uescgs=1,6.10-19cb.
L'unit de longueur du systme MKSA tant trop grande pour mesurer les dimensions
nuclaires, on introduit une nouvelle unit appele fermi (fm), 1 fm = 10-15m.
L'unit dnergie est llectron-volt (eV). 1 eV=1,6.10-19joule. Les multiples sont le
MeV (106 eV), le GeV (109 eV).
L'unit de masse est lunit de masse atomique u douzime de la masse de 12C, telle
que u=1,66.10-27kg. On exprime galement les masses en unit dnergie divise par c2
68
Chapitre V
Energie de liaison.
Modle de la goutte liquide et formule semi- empirique de masse
ou de Weizacker
(vrifier sil ny a pas un second noyau stable de A=124)
1- Dfinition de lnergie de liaison.
En_liaison/A (MeV)
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
50
100
150
200
250
nombre de masse A
El/A augmente pour A allant de 2 20, passe par un maximum pour A50, puis dcrot
lentement tout en restant suprieur 7,5MeV.
Cette courbe explique la possibilit de libration d'nergie soit par fusion de noyaux
lgers (cas de deux noyaux de deutrium pour former un noyau d'Hlium), soit par fission de
noyaux lourds (cas de l'Uranium)
L'nergie de liaison dpend des caractristiques du noyau, reprsentes par diffrents
termes. Ces termes ont t obtenus par Bohr en assimilant le noyau une goutte de liquide de
forme sphrique, (dont les molcules reprsentent les nuclons).
Selon ce modle
- le noyau a une forme sphrique.
- la matire nuclaire est incompressible (comme la goutte de liquide).
69
- la force nuclaire est la mme pour chaque paire de nuclons (p-p, p-n, n-n), on dit
qu'elle est indpendante de la charge. Elle est galement courte porte, chaque nuclon
n'interagissant qu'avec ses plus proches voisins.
I- Terme de volume
La courbe donnant la variation de l'nergie de liaison par nuclon montre que celle-ci
est presque constante, sauf pour les noyaux lgers. L'nergie de liaison qui est le travail des
forces nuclaires est donc proportionnelle au nombre de nuclon soit A. En effet EL/A= cte
donne :
EL= cte x A
Or nous avons vu que le rayon du noyau est donn par R=roA1/3, ou A (
R 3
) .
ro
4 R 3
4
( ) cte
A
3 ro
3
Quon crit
EL = a1A.
Comme le nombre de nuclons est proportionnel au volume du noyau, ce terme est
appel terme de volume.
II- Terme de surface
Les nuclons la surface
(quadrillage) du noyau ont moins de
voisins que ceux l'intrieur (lignes
horizontales), ils sont donc moins lis.
Leur nombre est proportionnel la surface
du noyau qui varie en R 2 donc en A2/3. On
tient compte de cet effet en en introduisant
un terme correctif
n
+
n
70
n
+
+
El(surf)= - a2A2/3
+
n
1 R q
Ec
dq
4 o 0 r
dq=4r2dr
dr
Or
q
Ze
4 3
r , dq= 4r2dr
V 4 3 et q=
r
3
3
Ec
Ec
a3 =
1 R 4 r 3r
4r 2dr
4 o 0 3
Z 2e 2
1 R
4
3
2 2 4
2R 5
16 r dr
4 o 0
R
15 o
20 o
r 3
3
20o
e2
ro
Ec a c
Z2
A1/3
= 0,72 MeV.
En fait comme un proton ne peut agir que sur les Z-1 autres protons du noyau, on
doit remplacer Z2 par Z(Z-1), de sorte que
Ec a c
Z(Z - 1)
A1/3
1
1
A+Z et Z =
A- Z ,
2
2
1
(N-Z).
2
Si l'on suppose (principe d'exclusion de Pauli) qu'il n'y a qu'un nuclon d'une espce
(proton ou neutron) par couche et que celles-ci sont quidistantes (E reprsentant l'nergie
67
entre deux niveaux), le travail ncessaire pour dplacer les Z protons pour les transformer
en neutrons est Z fois le dplacement de chaque nuclon, soit
Z(ZE)= (Z)2E =
1
( N Z) 2 E .
4
(N Z)2
A
Z(Z 1)
a sym
A1 3
(A 2Z) 2
A
aapp A 3/4
1
Z(Z 1)
(a v A a s A 2/3 ac
asym
c2
A1 3
(A 2Z) 2
A
a app A 3/4 )
68
qui donne
M
1
(2Z - A)
)
(m p -m n ) ( 2a c (2Z - 1)A -1/3 4asym
)0
2
Z A
A
c
ZO
(m n - M p )c2 4a 4 2a c A 1/3
2(a 3 A 1/3 4a 4 A 1 )
Remarque: Pour les noyaux lourds, on peut prendre utiliser sans grande erreur la formule
obtenue avec le terme de surface en Z2.
Le noyau stable correspondant la masse minimale est celui ayant Z = Z o, Comme
celui-ci est gnralement un nombre dcimal, on prend le nombre entier le plus proche. Les
noyaux dont le nombre de masse est diffrent, sont instables et se dsintgrent par mission
bta. Ceux de Z infrieur Zo le font par mission bta moins, ceux de Z suprieur Zo le
font par mission bta plus ou capture lectronique.
On distingue deux cas, celui des noyaux de A impair et celui des noyaux de A pair.
Dans le premier cas = 0 et il n'y a qu'une seule parabole, il ne peut y avoir quun
seul noyau stable.
Exemple, lisobare le plus stable de la famille A=123 est obtenu pour Z o=51,997.Z
devant tre un nombre entier, lisobare le plus stable est donc le noyau de Z=52.
Data: Data1_I
Model: user5
Chi^2 = 0.4635
R^2
= 0.99747
-50
P1
P2
P3
0.78839
51.90115
-89.3147
0.01262
0.03019
0.27302
Y Axis Title
-60
A=123
-70
-80
- - +
Noyau stable
-90
44
46
48
50
52
54
56
X Axis Title
69
58
60
Dans le second, est gal, soit -1 (noyaux impair-impair), soit +1 (noyaux pairpair), donnant lieu deux paraboles, il peut y avoir plusieurs noyaux stables (confirmant
lexcellente stabilit des noyaux pair-pair.
Exemple : Le calcul donne pour lisobare le plus stable de la famille A=124,
Zo=52,514. Le nombre entier le plus proche est 53, qui correspond un noyau impairimpair instable, on doit donc prendre Z=52 qui correspond au noyau pair-pair le plus
stable.
Sn (Z=50) et Xe (Z=54), sont galement stables.
Data: Data1_A
Model: user5
-60
Chi^2 = 0.3673
R^2
= 0.99714
P1
P2
P3
0.79543
52.18835
-88.3874
0.0248
0.04591
0.37978
+
a
A=124
-80
46
48
50
Noyau stable
52
54
56
58
numro atomique Z
soit
71
Q (a v A as A 2/3 a c
Z2
A1/3
- aas
(Z/2)2
((A/2) 2(Z/2))2
(A 2Z)2
2(a v A/2 as (A/2) 2/3 a c
aap
A
A/2
(A/2)1/2
(Z)2
(1 (1/2)1/3 )
1
3
(A/2)
( Z) 2
( Z) 2
2/3
=
3.40(A/2)
+
0.22
.
(A / 2)1 3
(A / 2)1 3
0.22
( Z) 2
. 0,
(A / 2)1 3
( Z) 2
3.40(A/2)2/3, soit Z2/A3.40/0.22.
(A / 2)1 3
Z( Z 1)
A1 3
( A Z) 2
M(A, A-Z)=(A-Z)mp+Zmn-1/c2(avA-asA2/3-ac
A1 3
- aas (A 2 Z)
A
+aapA-3/4)
-aas ( A 2( A Z))
A
+aapA-
3/4
)
M= (A-2Z)(mn- mp) - 1/c2(acA(A-2Z)/A1/3.
La diffrence entre les nergies de liaison correspondantes est:
El= El(A,Z) - El(A, A-Z) = (A-2Z)( mn- mp) -Mc2 = acA2/3(A-2Z).
La dtermination de El permet d'obtenir a3 et d'en dduire le paramtre de rayon
nuclaire ro , donn par . ro =
e2
20 o a3
3
3
e2
20o a 3
72
, on obtient:
ro
20
3
1
3669
(1.610 19 ) 2
1,39 10-15 m 1,39fm
6
19
0.623510 x1.610
73
Chapitre XII
MODLE EN COUCHES
I-Introduction
Les proprits chimiques des lments sont relies au remplissage rgulier des couches
lectroniques. Le tableau priodique est bas sur le remplissage progressif des couches en
faisant crotre le nombre quantique principal et le nombre quantique orbital
Des lectrons ayant la mme nergie ont le mme nombre quantique principal et
occupe la mme couche. A ce quantique correspond un nombre quantique orbital dont la
valeur varie de 0 n-1. A chacune de ses valeurs correspond une sous couche. Daprs le
principe dexclusion de Pauli selon lequel deux particules identiques ne peuvent pas avoir le
mme ensemble de s quatre nombre quantiques, n, , m et ms o m sont les projections de
sur laxe de quantification et ms=1/2 sont les composantes du spin, le nombre dlectrons par
sous couche est gal 2(2+1), le nombre dlectrons par couche tant 2n2.
De mme quil existe des rgularit dans les proprits chimiques des lments, des
rgularits dans les proprits nuclaires des noyaux (stabilits) ont t observes.
- En particulier, il a t constat que les noyaux dont le nombres de protons et de
neutrons est gal 2, 8, 20, 50, 82 et 126, appels nombre magiques, sont particulirement
stables.
- Le nombre disotopes (noyaux de mme Z est important (10) pour Z=50 (Sn), alors
quil ny a quun seul pour Z=49 (In)
- lnergie de sparation du dernier nuclon est particulirement faible pour N gal au
Nombre magique +1
On peut alors se poser la question de savoir comment sont placs les nuclons
lintrieur du noyau. Comme pour les lectrons, on imagina alors une structure en couches des
nuclons de faon reproduire les nombres magiques donnant une stabilit particulire aux
noyaux comme la structure en couches des lectrons expliquait les proprits chimiques des
lments.
II- Suite des tats dun nuclon
A lintrieur du noyau, chaque nuclon les nuclons exercent les uns sur les autres
interaction due aux forces nuclaires. On peut reprsenter ces interaction par un potentiel
moyen V(r) dont la forme est semblable celle de la distribution de la densit du noyau (les
forces nuclaires tant courte porte, lnergie potentielle est alors approximativement
proportionnelle aux nombre de ses voisins donc la densit nuclaire). Les nergies des
niveaux que peut occuper chaque nuclon les solutions de lquation de Schrdinger
l(l 1) 2
2 d 2u
2m dr 2
2mr 2
V(r) u Eu .
80
V(r)
r
n yy
n x
n z ,
Asin x sin
sin z
L
L
L
nr
tat
O
1
2
1
1
1
2
2
1
0
1
2
0
1
3
1s
1p
1d
2s
2p
1f
Nombre de
Nuclons
(sous couche)
2
6
10
2
6
14
Energie
Nombre total
de Nuclons
1/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
2
8
18
20
26
40
81
angulaire propre dit spin s s, ils exercent les uns sur les autres, un autre type dinteraction
appele interaction spin- orbite.
En 1948, M.G. Mayer et D. Haxel proposrent lexplication des autres nombres
s
A cet effet calculons le produit . s .
Nous avons
j
La relation
mtrique
dans
le
triangle
quelconque
donne
s
j2
= l2+ s2 + 2 ls ( . s ) ou ( . s ) = (j2- l2+ s2)/2
Comme s = , il y a deux faon de composer l et s , soit :
j
j = l + (cas l et s parallles)
et j = l (cas l et s antiparallles).
l
2
2
2
Remplaons
j
,
l
et
s
par
j(j+1),
l(l+1)
et
s(s+1).
Nous obtenons ( . s ) = (j(j+1)l(l+1) - s(s+1))/2, qui donne
Pour j = l-1/2, on a . s= l,
2p
n,
C . s
n, -1/2
1f
2s
n,
1d
Le couplage spin-orbite +1/2
permet
de retrouver tous les nombres
1p
magiques.
Le nombre de nuclons de
1s
chaque espces est maintenant gal au
nombre de valeurs diffrentes de mj
0
comprises entre j et +j, soit 2j+1
nuclons identiques.
Nous obtenons le nouveau schma des niveaux ci-dessus.
Les couches se succdent dans lordre suivant :
(1s1/2)2(1p3/2)4(1p1/2)2(1d5/2)6(2s1/2)2(1f7/2)8(1f5/2)6(2p3/2)4(2p1/2)2.
II- Consquences du modle en couches
2p3/2
1f5/2
1f7/2
2s1/2
1d3/2
1d5/2
1p1/2
1p3/2
1s1/2
28
20
8
2
a)-Moment angulaire
Deux nuclons dont les composantes du moment angulaire sont antiparallles
auront un moment rsultant nul. Il en est ainsi pour chaque paire de nuclons.
De sorte quun noyau ayant un nombre pair de protons ou de neutrons aura pour ces
nuclons un moment angulaire rsultant nul.
Ainsi le moment angulaire des noyaux pair-pair est nul.
Le moment angulaire des noyaux de nombre de masse A impair (Z pair, N impair ou Z
impair et N pair) est gal celui du nuclon clibataire dans ltat j (situ dans la dernire
couche).
Exemple 27Al a 13 protons et 14 neutrons. Le moment angulaire des neutrons est nul.
Celui des protons est gal celui du treizime proton situ sur la couche 1d de j=5/2. Ainsi le
moment angulaire du noyau 27Al est j=5/2.
Par contre le moment angulaire de 16O est nul.
Ainsi le modle en couche permet de retrouver les caractristiques des noyaux lgers.
Lorsque le numro atomique du noyau augmente la valeur du moment angulaire total
des nuclons augmente, les forces de couplage entre paire de nuclons sont plus intenses, de
sorte que les nuclons ont tendance se grouper par paire dans un tel niveau (de j lev)
mme au pris dune dpense dnergie.
b) parit
De la mme faon que pour le moment angulaire, le modle en couche a des
consquences sur la parit. On montre en mcanique quantique que la parit que lon dsigne
par le symbole , est la proprit qua la fonction donde de changer ou non de signe, lorsque
la coordonne r changes en r.
La fonction est pair lorsque (-r) =(r) et impair lorsque (-r) = - (r).
Finalement la parit est donne en fonction du moment angulaire orbital par
= (-1) l.
Chaque couche complte contenant 2j+1 nuclons identiques donne une parit
j =-1l2j+1
Comme 2j+1 est un nombre pair puisque 2j est impair (j=k/2, k entier impair 1, 3, (,
etc., une couche complte donne donc une parit paire (+1),de sorte que :
- un noyau pair pair a une parit positive,
- un noyau de A impair a une parit (-1) l (l moment angulaire orbital du nuclon
clibataire),
- un noyau impair- impair a une parit
(-1)lp (-1)ln
c) Etats excits
Lorsque les couches sont remplies dans lordre croissant du nombre quantique
principal, les nuclons occupent les niveaux dnergie les plus bas du noyau. Lorsque toutes
les couches les plus basses, sont remplies, on obtient ltat fondamental.
Lorsque lon communique de lnergie un noyau, par labsorption dun rayonnement
gamma ou au moyen des ractions nuclaires, un ou plusieurs nuclons peuvent passer un
niveau dnergie plus haut. Par exemple un proton de loxygne 16 passe du niveau 1p1/2 au
niveau 1d5/2. On dit que le noyau est excit et que le niveau 1d5/2 est un tat excit de
loxygne 16.
Ltat excit est un tat temporaire, il a une dure de vie trs courte, de lordre de
83
84
Chapitre XIII
LOSCILLATEUR HARMONIQUE
I-Introduction
Nous avons vu en mcanique classique ce quest un oscillateur harmonique. Le cas
auquel on se rfre le plus souvent est celui des oscillations dune masse m porte par
lextrmit dun ressort.
Le mouvement de la masse est gouvern
par lquation mx kx 0 dont la solution est
de la forme x = A cos (t +)
m
o k/m
(1)
est la pulsation et k la raideur du ressort. Le
rssort
est
soumis une force de rappel
kx 2
(x) 0
2m E ,
2
dx 2
2
d 2
(3)
1
dans laquelle nous avons port le potentiel V 2 kx 2 .
Faisons le changement de variable
avec positif
Lquation de Schrdinger devient
(x) e x
- 4x dF ( 2mE - 2 x 2 4 2 - mk
dx
dx 2
2
2
d 2F
Posons
et
(4)
F(x)
(mk)1/2
2
2mE
- 2 b
2
(6)
(7)
(5)
F 0
d2F
dF
- 4x
bF 0 .
dx
dx 2
F(x) a p x p
p
80
(8)
(9)
(13)
(14)
Ses solutions sont les polynmes de lHermite, ce qui donne pour (x)
1/2
2
2 1/4 H p x 2 e - x
(x) 2 p p! 1/2
(15)
soit
2mE
-
2
2mE
1
4 (p )
2
2
)( k )1/2 E
qui donne En (n 1
2 m
ou en remplaant k par m 2 et par 2
E (n 1/2) (n 1/2) h
81
Chapitre IV
STABILIT NUCLAIRE ET NERGIE DE LIAISON
I - Introduction.
Nous avons vu que la masse d'un noyau n'est pas gale la somme des masses de ses
constituants. La diffrence est l'nergie qu'il faut fournir pour le dissocier , les nuclons tant
lis entre eux par des forces nuclaires. C'est donc galement l'nergie qui maintient la
cohsion du noyau et qui est appele nergie de liaison.
L'existence de beaucoup de noyaux stables qui ncessitent de grandes nergies pour les
casser est une consquence directe de l'intensit des forces nuclaires dont la mesure directe est
impossible mme entre une paire de nuclons. Les forces nuclaires sont tudies
principalement par l'observation des sections efficaces de diffusion de protons ou de neutrons
de hautes nergie par des ^protons. Une thorie satisfaisante de la force nuclaire n'est pas
encore labore. Dans tous les cas, il serait illusoire de pouvoir calculer l'interaction de tous les
nuclons dans un noyau. C'est le problme bien connu de l'interaction plusieurs corps.
Le problme de la stabilit nuclaire peut tre toutefois examin de faon semiempirique, en tudiant la courbe n=f(Z) donnant le nombre de neutrons en fonction de celui
des protons ou partir de l'nergie de liaison El.
II- Noyaux stables et les modes de dsintgration
Lorsqu'on trace la courbe N=f(Z), on constate que l'ensemble des noyaux stables
stabilit au-dessus de la droite N=Z.
180
160
nombre de neutron N
140
120
100
80
60
40
20
0
0
20
40
60
80
100
120
nombre atomique Z
82
84
114
140
152 Sm, 166 Er, 195 Pt , 209 Bi,
Exemple 56
etc
26 Fe, 38 Sr , 48 Cd , 58 Ce,
62
68
78
83
Les neutrons en excs sont requis pour compenser la rpulsion coulombienne entre les
protons, en impliquant des forces nuclaires supplmentaires qui elles sont indpendantes de
la charge.
c)- Dsintgration Beaucoup de noyaux lourds sont instables et se transforment en noyaux stables en
convertissant un neutron en un proton, mettant un lectron et un antineutrino selon la
raction: n p e .
Cest la dsintgration - qui se traduit pour le noyau par
A M A M ' e
.
z
z 1
A M et A M' reprsentant le noyau initial et le noyau rsiduel.
z
z1
On remarque que cette transformation est isobarique (conservation du nombre de
masse A). Exemple 146 C147 N e .
La loi de conservation de l'nergie permet de calculer l'nergie maximum Tmax, mise
sous forme dnergie cintique lors de cette dsintgration et qui s'appelle nergie maximum
de dsintgration.
A Mc 2 A M ' c 2 m c 2 Tm T
.
z
e
e
z 1
o T est l'nergie emporte par l'antineutrino. et Tm e l'nergie cintique de l'lectron. On
alors Tmax = Tme+ T = Az M z A1M'm e c 2 .
Gnralement ce sont les masses A
Z M a des atomes qui sont donnes. On a
A M A M - Zm
A
A
e et Z 1M n Z1M a -(Z1)me .
Z n Z a
En remplaant dans la relation ci-dessus, on trouve
2
2 (
A
2 m ec
(A
Z M a - Zme )c
Z 1M a -(Z 1)m e )c
(A
ZMa
soit
)c
( Z A1 M a
- (Z 1)m e )c
m e c Zm e c
A M c 2 A M' c 2 Tmax
z a
z 1 a
Tmax
Tmax
On obtient finalement
Tmax = Az M a z A1M 'a c 2 .
d)- Dsintgration alpha ( )
Une autre catgorie de noyaux instables est constitue par les noyaux lourds
metteurs alpha (). L'expulsion d'une particule alpha rduit en effet de deux units le nombre
de protons et par voie de consquence la rpulsion coulombienne. Tous les metteurs alpha
appartiennent l'une des trois familles radioactives dont les ttes de sries sont des lments
232 Th
de grande dure de vie et qui sont la famille de l'uranium 238
et la
92 U, la famille du
9
235 U
famille de l'actinium 92 . Ces noyaux et leurs descendants radioactifs se trouvent
aujourd'hui dans la nature car leur dure de vie est comparable l'ge de la terre.
144
Exemple 148
64 Gd 62 Sm + .
L'quation de la dsintgration alpha s'crit:
X Y + . Ce qui se traduit pour la conservation de l'nergie par:
A Mc 2 ( A 4 M 4 He )c 2 T T
M' T
Z
Z2
2
83
E
2m E = 2M'EM' qui donne EM' = E M'
M'
L'expression de l'nergie dsintgration alpha devient
M M'
M
Tmax = E + EM'' = E( 1+
) = E(
)
M'
M'
M
Tmax E
ou
Mo
o Mo est la masse rduite du systme constitu par la particule alpha et le noyau de recul
1
1
1
.
Mo M M'
et
T=Tmax
dsintgration +
e)
Une autre catgorie comprend les noyaux riches en protons qui peuvent tre
fabriqus artificiellement par les ractions nuclaires ralises l'aide de particules acclres
par les acclrateurs de particules. Dans ces ractions, un deuton incident est captur et un
neutron est mis ajoutant ainsi un proton au noyau cible. Le noyau rsiduel est instable et se
transforme en convertissant un proton en un neutron mettant un positon et un neutrino selon
la raction p n + e+ = , qui se traduit pour le noyau par
A M A M' c 2 e
.
z
z 1
+
Cest la dsintgration .
La conservation de lnergie totale scrit :
A Mc 2 A M' c 2 m
c 2 Tm T .
z
z 1
e
e
o T est l'nergie emporte par le neutrino et Tm e est l'nergie cintique du positon.
Lnergie maximum de dsintgration +- est alors
84
A
2
Tmax Tm T A
z M z 1 M' m e c .
e
A
utilisant les masses atomiques A
Z M n Z M a - Zme
En
comme pour la dsintgration -, on trouve
et
A
A
Z 1 M n Z 1 M a - (Z 1)m e
2
A
2
2
(A
Z M a - Zm e )c ( Z -1 M a - (Z 1)m e )c m e c Tmax
ou
2
A
2
2
2
(A
Z M a )c ( Z -1 M a - (Z - 1)m e )c m e c -Zm e c Tmax
On obtient finalement
A '
Tmax A
z M a z 1 M a
f)- fission
- 2m e c 2 .
Enfin une autre forme d'instabilit concerne les noyaux transuraniens trs lourds, de Z
suprieur celui de l'uranium produits artificiellement car trs instables et qui se brisent en
deux noyaux de masses trs voisines. Dans ce phnomne appel fission, le noyau lourd en se
coupant en deux a pour effet de rduire la rpulsion coulombienne des protons. Exemple
232 Th 128 Cs* 104 Ru*
, (l'astrisque indique que les deux noyaux sont radioactifs).
55
90
45
d)-Capture lectronique
Certains noyaux peuvent se transformer en captant un lectron dune couche
lectronique (K par exemple) selon la raction Az M e - z A1 M' c 2 . La conservation du
nombre de masse et de la charge, montre que cette transformation est analogue la
dsintgration bta moins (Z-1)=Z. Le calcul de lnergie maximum de dsintgration se
calcule
de
la
mme
faon :
Tmax=
A
2
A
A
2
A
A
2
(A
z M m e z 1 M' )c ( Z M a Zm e m e Z 1 M a ( Z 1)m e )c Tmax ( Z M a Z 1 M a ) c
III-Rgles de stabilit.
L'tude des noyaux stables a permis d'tablir les rgles de stabilit suivantes:
a)- Isobares.
- Lorsque le nombre de masse est pair, il y a toujours un, deux ou trois noyaux de Z
10 B, 14 N
diffrents stables, toujours pair, exception pour les noyaux lgers 21H , 6
5
7
3 Li,
pour lesquels bien que impair, Z satisfait la rgle de stabilit N=Z. Il n'y a pas de noyau
40
stable pour Z=8 correspondant au bryllium. Exemple pour A=40, 40
18 Ar et 20 Ca sont
stables.
- Pour A impair, il n'y a qu'un seul noyau stable, de Z pair ou impair.
b b)- Isotopes
c
Lorsque Z est pair, il y a toujours au moins deux isotopes stables. En gnral le
nombre de neutrons de ces isotopes est pair.
16
17
18
Exemple 126 C6 et 13
6 C7 , 8 O8 , 8 O9 et 8 O10 .
- Pour Z impair, il n'y a pas plus de 2 isotopes stables, tous de N pair. Il n'y a pas
10
14
d'isotope stable pour N impair, l'exception des noyaux 21H , 6
3 Li, 5 B, 7 N satisfaisant
la rgle N=Z.
85
c)- isotones
Lorsque N est pair, il y a toujours au moins deux isotones stables. En gnral
le nombre de protons de ces isotopes est pair.
20
Exemple 188 O10 , 19
9 F10 et 10 Ne10 .
Pour N impair, il n'y a pas plus de 2 isotones stables, tous de Z pair.
10 B, 14 N
Il n'y a pas d'isotone stable pour Z impair, l'exception des noyaux 21H , 6
7
5
3 Li,
satisfaisant la rgle N=Z.
d)- L'tude prcdent permet galement d'tablir les rsultats suivants:
- Lorsque le nombre de masse est impair, il existe un seul isobare stable. Quand il y a
plus d'un seul isobare, seul un est stable, les autres sont radioactif , de grande dure de vie.
Exemple 151
63 Eu est stable, ses isobares, 60Nd, 61Pm, 62Sm, 64Gd, 65Tb, 66Dy et 67Ho sont tous
radioactifs.
- Si des isotopes ou isotones de nombre de masse A+1 et A-1 sont stables, alors
l'isotope ou isotone de nombre de masse A est stable. Exemple 168 O10 et 188 O10 tant stables,
17 O
8 10 l'est aussi.
- Si un noyau de nombre de masse 2n+1, ayant un nombre de neutrons (ou de protons)
pair est stable, alors ses isotones (ou isotopes) de nombre de masse 2n et 2n+2 le sont aussi.
43 Ca
44
Exemple 20
est stable, 42
20 Ca et 20 Ca sont stables.
IV-Conclusion.
Il y a environ 1200 atomes. Seuls 280 sont stables et se rpartissent de la faon
suivante.
Z
Pair
Impair
N
Pair
Impair
Pair
Impair
A=N+Z
pair
impair
impair
pair
Nombre
166
57
53
4
Observations
Nombreux isotopes
Nombreux isotopes
Gnralement un seul isotope
10
4 noyaux stables: 21H , 6
3 Li, 5 B,
14 N
7
86
e st appele la constante radioactive du noyau, elle est indpendants du temps (constante sur
109 annes) de la temprature, de la pression et de l'tat chimique, elle ne dpend que du
matriau.
En intgrant la relation (1), on obtient le nombre datomes prsents linstant t.
N =No e- t,
(2)
Le nombre datomes dsintgrs est No-N= No(1 - e- t)
La loi fondamentale indique que la probabilit de dsintgration d'un atone est donne
pour un court intervalle de temps dt par le produit dt ( dt 1), qui est indpendant de l'ge
de l'atome.
b)- Activit dun lment radioactif
On caractrise limportance du rayonnement mis par un lment radioactif par son
activit qui est le produit du nombre datomes qui se dsintgrent par la constante radioactiv:
A= - dN/dt = N
(3)
-t
En portant (2) dans (3), on obtient A= - dN/dt = No e
ou
A=Ao e-t ,
(4)
Ce qui signifie que lactivit et le nombre radioactifs datomes voluent de la mme faon.
Lunit de lactivit est le curie qui correspond la dsintgration de un gramme de
radium 226Ra de priode 1620 ans, soit 3.7 1010 dsintgrations par seconde.
On a en effet
1 curie= 6,02 1023x 0,693/(226x1620x365x24x3600)=3,7 1010 .
Le curie tant une unit trs grande , on utilise souvent :
le millicurie, tel que 1 mc = 10-3c
et le microcurie tel que 1c = 10-6c.
On utilise maintenant le becquerel (Bq) qui correspond une dsintgration par
seconde. Curie=3,71010Bq.
c)- La priode T et la dure de vie moyenne
1)- Priode T
Par dfinition, la priode dun lment radioactif est le temps au bout duquel le
nombre de noyaux radioactifs a diminu de moiti.
Au temps t gal la priode T, la relation (2),
N=No/2 = No e-,
soit
T=Log2/ =0.693/ secondes
ou L n2 = 0.693
(5)
Exemple, la priode du 14C est T = 5570 ans, celle de 235U est T= 4.5 109 annes et
celle du 60Co est T=5.3 ans.
La valeur de T est indpendante du choix de l'origine t=0 des temps. Aprs m
priodes , l'activit est(1/2)m fois l'activit initiale . Par exemple , il faut attendre 50 ans pour
que l'activit de 6OCo (T= 5,2 annes) devienne 1000 fois sa valeur initiale. En effet
(1/2)m=1/1000 donne en prenant le logarithme base 10, mLog(1/2) = Log(1/1000),
soit m = 3/0.31 10, do t = 10 T= 10x5.2 = 52 ans
2)- Vie moyenne
Un paramtre trs important de la radioactivit est la vie moyenne .
87
La vie d'un atome particulier est comprise entre t=0 et linfini. Mais la vie moyenne
d'un certains nombre d'atomes dun mme lment est bien dfinie.
En effet s'il y no atomes prsents l'origine , il en reste n =n o e-t au bout du temps t
dont la vie est suprieure t (puisquils ne sont pas dsintgrs au bout du temps t. Ceux qui
se dsintgrent entre t et t + dt ont une vie gale t. La probabilit de se dsintgrer tant
dt, le nombre de ces noyaux est n dt = no e-t dt. Leur vie totale est t no e-t dt
La dure de vie totale L de tous les atomes est donc :
L tndt t no
0
0
e t dt
no
equations de dsintgration
88
Ao
(15) .
2 1
1 A o
2 1
(e
1 t
2t
(16)
(17)
La mme mthode permet de trouver C.
C A o 1 2
1 t
( 2 1 )( 3 1 )
2t
( 3 2 )( 1 2 )
3t
( 1 3 )( 2 3 )
(18)
1 t
( 2 1 )( 3 1 )...( s 1 )
2t
( 3 2 )(1 2 )...( s 2 )
3t
(1 3 )( 2 3 )...( s 1 s )
18bis)
Les activits des lments A, B, C, etc, sont gales tout instant 1A, 2B et 3C.
Exemple : Srie de 238 92U RaA(21884Po) (T= 3,05 mn)RaB(2l482Pb) (T=26,8
mn)RaC (2l483Bi) (T=19,7mn)
RaD ( 214 82Pb) (T= 19, 4 annes).
B
100
Y Axis Title
80
60
40
20
0
0
20
40
60
80
100
X Axis Title
89
2B
1 A
2
2 1
(e
1 t
2t
90
trouve
Ndx
1 e t
Lisotope est administr au malade par irradiation directe sous forme daiguille pour le
traitement des tumeurs externes, dans les cancers de la peau, de la cavit buccale, ou par
linjection dans les cancers internes par le biais de molcule marque laide de lisotope
radioactif. Cette molcule est choisie en fonction de son action spcifique mtabolique ou
physiologique.
Ainsi on utilise le cobalt 60 pour la destruction des cellules cancreuses, le phosphore
32 pour le traitement des leucmies, liode 131 pour le cancer de la thyrode, etc...
c.2)-Radiodiagnostic
Les radio-isotopes sont galement utiliss pour le diagnostic. Par exemple, l iode 131
renseigne sur l activit de la thyrode et les mtastases du cancer de la thyrode, loxygne 15
sur lirrigation sanguine du cerveau.
c.3)-Scintigraphie.
Les radiolments sont utiliss en mdecine nuclaire pour limagerie mdicale. Un
radio-isotope metteur gamma est inject dans un organe o il est fix par un tissu. Celui-ci
met la radiation correspondante. Les rayonnements sont dtects par un compteur
scintillations constitu dun cristal diodure de sodium (NaI), do lappellation de
scintigraphie. Lintensit du rayonnement mesur dpend de la concentration dont on mesure
les variations. On utilise le codage en couleur pour amliorer limage.
d)-Utilisation en biologie et dans lagriculture .
d 1)-Conservation des aliments.
Les aliments sont soumis un rayonnement gamma issu du cobalt 60, ou un faisceau
dlectrons acclrs jusqu une nergie infrieure 10 lectronvolts. Il est ainsi possible
dinhiber la germination, dempcher les insectes de se reproduire, de les tuer, de supprimer
partiellement ou totalement la charge microbienne, de dtruire les germes pathogne comme
le fait la pasteurisation ou de les striliser.
Ces produits ne prsentent aucune toxicit pour le consommateur.
d 2 ) Biologie.
Lutilisation du phosphore 32 a permis de montrer que les engrais phosphats sont
mieux assimils par pandage sur les feuilles que par enfouissement dans le sol.
e)-Applications industrielles.
On utilise les lments radioactifs dans lindustrie diffrentes fins.
e 1) Mesure des paisseurs.
Lorsquun rayonnement traverse une paisseur de matire, une partie du faisceau est
attnu selon lexpression I=Ioexp(- x) o x est lpaisseur du matriau. La mesure de I
permet de dduire lpaisseur. On utilise le cobalt 60, le csium 137, le thulium 170 metteurs
gamma trs pntrant permettant la mesure dpaisseurs pouvant atteindre 6 centimtres,
comme lpaisseur de zinc sur lacier galvanis, lpaisseur des parois des cuves ou la coque
des navires, etc...
Les metteurs bta sont utiliss pour le contrle de lpaisseur
dans lindustrie du papier, des plastiques , des mtaux minces
e 2)- Jauge de niveau.
Le radiolment est plac au fond du rcipient contenant le liquide dont on veut
dterminer le niveau.
92
e 3)- Gammagraphie.
Cest la radiographie par transparence utilisant une source de rayons gamma provenant
de sources radioactive ( cobalt, csium, iridium), lpaisseur varie de 5 12 centimtres en
fonction de la source.
ec 4)- Traceurs
Les radio-isotopes, carbone 14, soufre 35, chlore 36 et fer 56 sont utiliss en qualit de
traceurs.
Dans lindustrie du ptrole pour reprer la nature et la qualit des produits
transports dans les pipelines .
La recherche de sources deau utilise le tritium, isotope de lhydrogne un des
constituants de leau.
Les dplacements de sable des ports peuvent tre reprs par lemploi du Chrome 51,
le zinc 65 ou le scandium 46.
93
Chapitre VIII
SECTION EFFICACE
ET DIFFUSION ELASTIQUE
I-Dfinition de la section efficace
Lorsqu'un faisceau de particules incidentes arrive sur une cible, une faible partie
d'entre elles subit une interaction. Ce qui est l'une des preuves de lexistence de grand vide
dans le noyau, la matire occupant un faible volume.
Soit un faisceau de particules d'intensit I, par exemple un faisceau de protons)
traversant par seconde une rgion contenant A noyaux cibles par cm3. Une paisseur dx de la
cible contient Adx noyaux par cm2 et le faisceau qui la traverse est attnu par des collisions
des particules incidentes avec les noyaux. Si dI est le changement d'intensit (nombre de
particules par unit de temps) du faisceau, dI est proportionnel I et Adx, ce qui donne.
dI = - I Adx
(1)
Le signe (-) correspond une diminution du nombre de particules incidentes aprs
collision.
Le facteur de proportionnalits est appel section efficace nuclaire de la cible pour
les particules du faisceau. Elle donne la probabilit de raction par noyau cible.
=
dI
IAdx
(2)
On voit que a les dimensions. d'une surface. La raison de cette appellation est que si
on associe une surface chaque noyau cible, la raction se produit chaque fois qu'une
particule incidente pntre l'intrieur de .
Adx tant le nombre de noyaux cible, on voit bien que le nombre de particules dvies donc
heurtant la cible est IAdx.
L'unit de section efficace est le cm2. On exprime souvent les sections efficaces en
barn (b), lb = 10 -24 cm2
Le nombre N de particules lgres produit par la raction par unit de
temps, est gal -dI, c'est dire que chaque particule incidente diffuse produit
une particule mergente. On a donc
=
N
IAdx
(3)
I( x )
= e - Ax est souvent appel attnuation.
I( o )
En gnral, les particules du faisceau incident peuvent produire plusieurs ractions avec les
noyaux cibles, exemple diffusion lastique et diffusion inlastique.
Chaque raction produit une attnuation dIi du faisceau, laquelle correspond une
section efficace i, le nombre total de particules diffuses est la somme des particules
diffuses dans chaque processus
94
d
(, ) IAdxd
d
(6)
dS
r2
o
dS=r2dd
avec = rsin, d=r2d d sin/r2= sin d d
et
dS
d
(, ) = - dI/ IAdx d = (dN/ d)/Iadx.
d
(7)
C'est le cas de la diffusion d'un proton, d'un deuton , d'une particule alpha ou de tout
autre noyau sur un noyau plus lourd.
Trajectoire
On montre en mcanique, que la trajectoire dun corps soumis une force en 1/r 2 (force
centrale) comme dans le cas du potentiel coulombien qui sexerce entre deux particules
charges est une hyperbole (cas rpulsif), dont le foyer est le noyau cible.
Paramtre d'impact et diamtre de collision
Soit vo la vitesse initiale de la particule incidente (par exemple une particule alpha) de
masse M1 et de charge ze, la distance X du noyau diffuseur de charge Ze la trajectoire initiale
est appele paramtre d'impact. La trajectoire tant une hyperbole dont le noyau diffuseur est
l'un des foyers (figure).
Les trajectoires initiale et finale de la particule incidente sont les asymptotes cette
parabole. Aprs collision donc, la particule incidente est dvi de l'angle que font ces deux
asymptotes. A chaque paramtre d'impact correspond un angle de diffusion . Supposons que
pendant tout le temps que se produit la diffusion, le noyau lourd ne bouge pas (il est en effet
95
plus lourd et on peut le supposer immobile) et que seules les forces de rpulsion coulombienne
interviennent.
Calculons l'nergie des deux particules dans le c.m. avant la collision,
1
v2 1
v2 1
v2
2 M1 1 + 2 M2 2 = 2 Mo o
2
vo
v2
1
Zze2/r
Dans le cas d'un choc frontal r et v tendent simultanment vers zro. On obtient ainsi
la distance de plus petit approche en faisant v 1= 0 dans la relation (3). Soit r min=Zze2/( 1 2 Mo
2
vo
2 Mo
2 Mo
Position
de la particule
En coordonnes polaires avec origine au centre de masse o r et sont celles de la
particules incidente au temps t, les composantes de sa vitesse sont vr et v
vr=
dr
dt
et
v=r
d
d
r = M o r2
r
dt
dt
Mo v f = Mo v i + Fdt
( car d'aprs la loi de Newton f = dp/dt
En prenant toutes les composantes le
p
long de la bissectrice le diagramme des
trajectoires initiale et finale (figure), on obtient
- 2Movosin
2 = F cos dt
p
(dans le cas de la diffusion lastique on montre que vi = vf i= vo).
pf
1
2
La force coulombienne est Zze2/r2. varie de - 1
2 (-) + 2 (-) et dt = r dv x .
So
La relation prcdente devient
96
1 ( )
2
cosd
2
2Movosin
2 = Zze /vox 1 ( )
= Zze2/vox sin
soit
1 ( )
2
1 ( )
2
tg = 2x , avec b=(1/4o)Zze2/( 2 Mo v o )
La section efficace diffrentielle est l'aire de l'anneau dfini par le rayon x et la
largeur dx (figure):
d = 2 x dx = 2 cotg/2
2 sin 2
2
Or d = 2 sin d ,
ce qui donne
d
2
d
b2
1
d
16 sin 4
2
97
b 2 cos 2
d .
= 4
sin 3
2
Chapitre XI
LOIS DE CONSERVATION
DANS LES RACTIONS NUCLAIRES
I Dfinitions
a) - Raction nuclaire
Une raction nuclaire est le phnomne qui se produit lorsqu qu'une particule
nuclaire provenant dun acclrateur, d'une source radioactive ou du rayonnement cosmique,
rencontre la matire.
On reprsente une raction par le schma suivant :
a + X b +Y, que lon note X(a,b)Y
Selon le type de particules incidentes ou mises, diffrents types de ractions peuvent
se produire:
- si a est un photon, la raction s'appelle une photo raction nuclaire
- si b est un photon, cest une capture radiative.
- si b=a et Y= X, on a affaire la diffusion lastique,
- si b=a et Y= X*, on a affaire la diffusion inlastique, cela signifie que X
est dans un tat excit, gnralement le noyau X se dsexcite en mettant un photon
- si b diffrent de a et Y diffrent de X, on a une raction nuclaire
proprement dite.
La premire raction nuclaire fut ralise par Rutherford en 1919 en bombardant
des noyaux dazote 14 (147N) par des particules alpha (42He) provenant dune source
radioactive :
14
4
17
1
7N + 2He
8O + 1H.
La premire raction utilisant un acclrateur de particules fut ralise en 1930 par
Cockroft et Walton.
7
4
4
3Li + p
2He + 2He
En 1939 fut dcouverte la fission des noyaux de A suprieur 200 par les neutrons :
235
2n + 14055C + 9437Rb.
92U + n
Ltude des ractions nuclaires renseigne sur la structure des noyaux.
Voie de raction
Lensemble a+X constitu par le projectile a (particule incidente) et le noyau
bombard X (cible) reprsente la voie dentre. Lensemble b+Y des produits (particules
mises) constituent la voie de raction.
II- Lois de conservation
Soit la raction a + X b +Y, A1, A2, A3 et A4 les nombres de masse respectifs, Z1,
Z2, Z3 et Z4 les numros atomiques correspondants.
Pour quune raction nuclaire puisse avoir lieu, elle doit remplir un certain nombre de
conditions appeles lois de conservation concernant les proprits conserves au cours de la
raction.
a)- Conservation du nombre de masse
98
m1
m2
n.c
m4
La particule incidente en rencontrant le noyau cible forme avec lui un noyau compos
de dure de vie trs courte. Par la suite, celui-ci se dcompose en deux noyaux b et Y en
respectant les lois de conservation du nombre de masse, de la charge, de lnergie totale et de
la quantit de mouvement.
On parle bien de lnergie totale, car selon lquivalence entre masse et nergie on
doit considrer en plus des nergies cintiques les masses des noyaux.
1)- Conservation de lnergie totale, dfinition du Q de raction
La conservation de lnergie totale scrit:
m1c2 + E1+ m2 c2 + E2 = m3c2 + E3 + m4c2+ E4
(1)
Cette relation peut encore scrire
m1c2 + m2c2 - m3c2- m4c2 = E3 +E4- E1 -E2=Q
Q est appel Q de raction ou chaleur de la raction Il est la diffrence entre les
nergies cintiques de la voie de raction et celles de la voie dentre, soit
99
Q = E3 + E4 - E1- E2
(2)
Q = m1c2 + m2c2- m3c2 - m4 c2.
(3)
Si le noyau cible est au repos, v2=0, E2=0 et Q= E3 + E4 - E1
(4)
Exemple pour la raction 147N(d,p)157N, les excs de masse tant (14N)=2863,417 keV,
(d)=13135,72 keV, (15N)=101,438 keV, (p)=7288,96 keV, nous obtenons
Q= m1c2 + m2 c2 - m3 c2 - m4 c2
= (A1+m1)+ (A1+m2)- ((A3+m3 +(A4+m4))
= m1+m2-m3-m4
=2863,417+13135,72-7288,96-101,438= 8608,732 keV=8,608 MeV
Pour la raction 126C(,d)147N les excs de masse sont (12C)=0 (expliquer pourquoi),
()=2424,911keV, le Q de raction est:
Q=2424,911-2863,417-13135,72=-13504,226 KeV=-13,504 MeV
Dans le cas de la diffusion lastique m1 = m3 et m3 = m4 , Q = 0.
Si Q est positif , la raction libre de lnergie, cest une raction exonergtique.
Lorsque Q est ngatif, m1 + m3 - m3 - m4 0. Les masses des produits de la rction sont
suprieures celles de la voie dentre, ce qui signifie que lapport de masse doit provenir
dailleurs, cest dire de la transformation dnergie en masse (principe dquivalence), la
raction ncessite de lnergie, cest une raction endonergtique. Cette nergie. Dans ce cas
la raction ncessite un apport dnergie, la particule incidente doit avoir une certaine nergie
appele nergie seuil ou minimale pour produire la raction.
Une raction nuclaire a lieu si les particules b et Y sont mises, cest dire si
E3 + E40.
Le Q de raction peut tre dtermin partir des masses mesures laide de
spectromtres de masse, ou partir de la dtermination des masses des particules mises
laide danalyseur magntique ou lectrique.
2)- Conservation de la quantit de mouvement
Le schma de la raction est reprsent sur la
figure ci-contre.
Les quantits de mouvement sont respectivement
y
p1
Avant le choc :
p1 m1 v1
p2 m2v2
p3
m3
m4
x
p4
p1
0 p3
p4
100
ou
(5)
et
ou
0 = m3v3sin -m4v4sin
m3v3sin = m4v4sin
m1v1= m3v3 cos +m4v4 cos
m1v1- m3v3 cos = m4v4 cos
En levant au carr les deux quations (5) et (6) prcdentes, on obtient :
(6)
2
m12v1 m32v32 cos2 2m1 v1 m3 v3 cos m42v42 cos 2
2v 2 sin 2 m 2v 2 sin 2
m3
3
4 4
et
m3
m
) E1 (1 1 ) 2
m4
m4
m4
4m1 E1 m3 E3 cos
(9)
Lquation (9) qui est indpendante du mcanisme de la raction donne le Q de
raction quon appelle galement bilan de la raction. . On peut remplacer sans
erreur
importante les masses mi par les nombres de masse Ai.
= 90, Q = E3 (1 + m 3/m4) - El(1-ml/m4).
p3
p4
Remarque: On peut trouver directement le rsultat
m3
2m4 E4
p4
4m1m3 E1
m3
m4
cos
(11)
m 4 Q E1 ( m 4 m1 )
m3 m 4
(12)
Les ractions nergtiquement possibles sont celles pour lesquelles E3 est relle et
positive. Les relations prcdentes montrent que les solutions peuvent ne pas exister lorsque :
- Q a une valeur ngative
- la particule incidente est lourde telle que m4 m1 est ngatif
- l angle d'observation est tel que cos est ngatif
Le comportement de l'quation (9) pour diffrentes valeurs de E1 permet de prvoir les
types de raction nuclaires qui peuvent se produire
101
)- Ractions exoenergtiques
Lorsque Q est positif, la relation (2), Q = E3 + E4- E1- E20 , montre que l'nergie
cintique des produits de raction E 3 + E4 est suprieure l'nergie cintique E 1+ E2 des
particules dans la voie d'entre.
Exemple: pour la raction 147N(d,p)157N, Q = 8,806 MeV est positif.
1)- Le projectile a l'nergie 0 (E1 =O)
Quand E1 tend vers zro, les quations (10) et (11) montrent que v tend vers zro et w tend vers
m Q
m4 Q
w 4
. Alors E3 tend vers E 3
.
(13)
m3 m 4
m3 m 4
La relation (13) montre que E3 est indpendante de langle . Elle est donc la mme
peur tous les angles .
On a galement Q = E3 + E4 (car E1 et E2 sont nulles)
m1m3 E 3 cos m1m3 E 3 cos
Do relations tg = -tg
Qui donne + =180
(14)
v2 w
E3 dpend de cos ; la plus petite valeur de E3 correspond une mission vers larrire dans la
direction = 180 . Pour =90, E3 = w.
)- Ractions endoenergtiques
Si pour une raction Q est > 0, la raction inverse a une valeur de Q
ngative.
Exemple: la raction 147N(d,)126C, 147=2863,74, 21=13135,9 et 422424,92.
Q=13574,72, son inverse, la raction 126C(,d)147N a Q = - 13574,72.
1)-Le projectile a lnergie zro
Q tant ngatif lorsque E1 tend vers zro, v tend vers zro et la relation (10) montre que
m Q
w 4
est ngatif, de sorte que v2+ w est ngatif et E 3 est imaginaire, donc la
m3 m 4
raction nuclaire na pas lieu., lnergie E1 est insuffisante pour compenser laccroissement de
la masse au repos (diffrence entre m3+m4 et m1+ m2 : dfinition du Q de raction).
En effet, la relation Q= m1c2 + m2c2 - m3c2 - m4c2 0,
entrane m3 + m4m1 + m2
102
m3 m 4
m3 m 4
m4Q
Q
mm
mm
(16)
m 4 m1 1 3 cos 2
( m3 m 4 m1 1 3 sin 2
m3 m 4
m4
Cette valeur est minimum pour = 0 et est appele nergie seuil
m3 m 4
( E1 ) Q
,
(17)
( m3 m 4 m1
avec
Q = m1c2 + m2 c2 - m3 c2 - m4 c2 et Qm2,
(18)
on peut remplacer m3 + m4 par m1 +m2 et m4 m1 + m3 par m2 et on a
m m2
( E1 ) Q 1
(19)
m2
Dans le cas de la raction126C(,d)147N de Q=-13574 MeV, on trouve Esl=18098 MeV.
( E1 )
1
2, 3, 4
103
2
5, 4, 3, 2, 1
A
A
( ZA M M n )c 2 ( X M Y M kM n )c 2 Q
ZX
ZY
.
En remplaant les masses par leurs expressions en fonction des nergies de liaison et
des masses des nuclons, on aboutit :
Q El (Z, A) El (Z x , Ax ) El (ZY , AY ).
235
92
Q = 212 MeV.
b)- raction de fusion
Les mmes considrations que pour la fission , montre quon peut obtenir de lnergie
lorsquon provoque la fusion (assemblage de deux noyaux lgers), le noyau rsiduel ayant une
nergie de liaison plus leve.
La raction de fusion scrit
X + Y C,
1
1
2
Exemple
1H +
1H
1H
2
2
3
1
1H +
1H
1H + 1H
2
3
4
1H +
1H
2He +n.
Ecrivons la conservation de lnergie totale:
A M M )c 2 A X Mc 2 Q
(Z
n
ZX
104
En remplaant les masses par leurs expressions en fonction des nergies de liaison et
des masses des nuclons, on about it :
Q
Exemple prcdent H + H
He +n, lnergie de liaison par nuclon de 21H
est 1,112 MeV par nuclon, celles de H est 2 MeV et celle de He est de 7 MeV, de sorte que
lnergie produite par la raction de fusion est Q = 4x7 2x1,112 3x 2 = 19,76 MeV.
105
Chapitre XII
Applications de la Physique Nuclaire
Outre les applications de la radioactivit et la production dnergie, la physique
nuclaire a des applications dans le domaine de lanalyse des matriaux, notamment dans la
recherche de traces, pour lanalyse des impurets dans les couches minces semi-conducteur,
lanalyse de lhydrogne dans les mtaux, lanalyse de la pollution, les produits
pharmaceutiques, les oligo-lments dans le sang, les mtaux lourds dans leau, les tudes de
stchiomtrie en chimie, le dosage du carbone et de loxygne dans les aciers en mtallurgie,
etcCest le domaine de la microanalyse.
I- Qu'est ce que la microanalyse?
C'est l'analyse des lments en faible quantit dans les matriaux. Ces
quantits se chiffrent gnralement en partie par million (ppm) voire en partie par
billion (ppb) . Compare aux concentrations des lments majeurs, ces lments
constituent des traces.
Gnralement la microanalyse consiste en le dosage des lments sous
forme de traces dans les matriaux.
II- L'utilisation des faisceaux d'ions des fins d'analyse lmentaire
Ces techniques couramment utilises remontent aux annes 1960, en
physique du solide pour 1'etude des couches minces, notamment dans la
technologie des semi-conducteurs et l'implantation ionique, pour la dtermination
des traces en mtallurgie, en archologie, en biologie et mdecine, en gologie,
pour la mesure de la pollution atmosphrique, pour ne citer que ces domaines
d'application.
Le principe de ces mthodes est trs simple, il est bas sur l'interaction des
particules avec la matire. Cela consiste observer les effets rsultant du
bombardement des chantillons analyser par des particules charges issues des
acclrateurs de particules et en dduire la composition partir des lois
gouvernant l'interaction des particules incidentes avec la cible.
L'interaction des particules incidentes avec les atomes de la cible fait appel
la notion de section efficace. On observe gnralement ce qui se passe dans un
angle solide d donn autour dune direction donne . On utilise alors la section
efficace diffrentielle.
On reprsente linteraction par l'quation
a+Xb+Y
o a est la particule incidente, X le noyau cible, b la particule lgre mise, Y le
noyau rsiduel.
La section efficace diffrentielle s'crit d Nd
d IAdx
Adx Nd / d .
Id
106
Dans ce cas la dtermination de Adx est simple, car on connat la valeur de la section
efficace diffrentielle. Ce phnomne est utilis pour la dtermination des concentrations
dans les cibles minces ou paisses. On observe les particules diffuses vers larrire, et la
mthode est alors appele RBS (Rutherford Backscattering, ou rtrodiffusion de Rutherford.
La raction scrit a+Xb+X.
Pour certaines nergies des particules incidentes, la section efficace de la raction
passe par un maximum appel rsonance. Les ractions nuclaires sont utilises pour doser
un lment particulier dans un chantillon comme par exemple le bore dans un chantillon de
silicium. 11B (p,) Lnergie dexcitation est de 163 keV.
III.2-Analyse par activation
La raction scrit a+Xb+X*
Elle aboutit un niveau excit du noyau de recul, et produit ainsi des gamma de
dsexcitation. La mesure du nombre de gamma mis permet de remonter au nombre de
noyaux cibles.
III.4-L'mission X induite
La raction scrit a+Xa+Y+X*
o X* reprsente les rayons X mis.
Dans cette raction les particules incidentes charges interagissent avec les lectrons
des couches internes des atomes.
Dans ce processus, un lectron dune couche interne est expuls pour tre remplac
par un lectron dune couche externe. Ce rarrangement saccompagne de lmission dun
rayonnement X (correspondant la diffrence des nergies de liaison de llectron expuls et
de celui qui le remplace).
Les X mis par un atome qui se dsexcite sont caractristiques de celui-ci.
L'excitation atomique par des particules charges a t observe pour la premire fois
en 1912 par J.Chadwick(2) en utilisant les particules alpha provenant des sources
radioactives. Mais le dveloppement de cette technique est plus rcent. Elle fut introduite
l'Institut de Technologie de Lund en 1970 par J.B. Johanson et collaborateurs Cette mthode
a pris de I'ampleur avec la libration des acclrateurs de particules de basse nergies par les
physiciens nuclaires dans leur course vers les hautes nergies et par le dveloppement des
107
108
Annexe I
THORIE STATISTIQUE DU RAYONNEMENT THERMIQUE DU CORPS NOIR
DCOMPTE DU NOMBRE DE MODES DONDES STATIONNAIRES PRSENTS
DANS UNE ENCEINTE FERME DE VOLUME V
Soit lenceinte paralllpipdique de cts a, b et c, lquation
dune onde progressive se propageant dans lespace libre est de la
c
b
forme :
x y z
cos2(t .r )cos2( t
)
(1)
T
an1
2
, b n
22
et c n
32
(2)
et z =
et n3
z 2c
(3)
Tirons de (2) les cosinus directeurs, lis par la formule 2+2+2 = 1, on obtient
4/2=(n12/a2)+(n22/b2)+(n32/c2)
soit 2=(n12/(2a)2+(n22/(2b)2+(n32/(2c)2. Comme (1/)=c/, on obtient
2= c22 = c2 n12/4a2+
(4)
Les vibrations susceptibles dengendrer dans la cavit des ondes stationnaires stables
forment donc dans lchelle des frquences une suite discontinue dtermine par tous les
triplets possibles de nombre entiers n1, n2, n3. A chacun de ces triples correspond un vecteur
donde dtermin .
Nous admettrons que le nombre de vecteur donde qui correspondent un intervalle
de frquence d au voisinage dune frquence est indpendant de la forme de la
cavit et ne dpend que de son volume V
Pour valuer ce nombre de modes, il est commode de considrer un espace figuratif
trois dimensions en considrant un rseau spatial dont mes mailles ont les grandeurs dartes,
x
109
y
110
et
la partie de ce volume
(5)
Chaque systme dondes stationnaires est form par la superposition des 8 ondes
progressives qui rsultent de la rflexion de sur les plans de coordonnes. Le nombre de
modes dondes stationnaires de la cavit dans lintervalle de frquence entre =c est
d=(+d)c (car =c), vaut (daprs (5))
4 2
dg=
d V
3
C
(6)
8 3
d V
3
C
8 3
d
3
C
Annexe II
DISTRIBUTION DE BOLTZMANN
Soit un atome ou une molcule dans les tats dnergie E1, E2, E3, etc.
Cherchons la probabilit de trouver le systme dans ltat dnergie E i. A cet effet
imaginons un grand nombre N dobjets identiques se trouvant dans diffrents tats quantiques
en quilibre thermique.
Soit Ni le nombre dobjets dans ltat Ei
,N2 le nombre dobjets dans ltat E2,
etc
Le nombre dobjets N1 est donn par la mthode des probabilits, cest dire le
nombre de C1 combinaisons de N objets N1 N1, soit
C1
N!
N1!(N N1)!
Dans les N-N1 objets restants, il faut trouver les N2 objets da,ns ltat dnergie E2,
soit
C2
(N N1 )!
N 2!(N N1 N 2)!
(N N1 )!
N!
.......
N1!(N N1 )! N 2!(N N1 N 2)!
De plus le nombre total dobjet et leurs nergies sont relis par les relations
W
N!
N1!N 2!N3!.....
N = Ni + N2 + N3 + .
(2)
E = N1E1+ N2 E2 + N3E3 + ....
(3)
La distribution la plus probable sobtient en cherchant le maximum de W .
Prenons le logarithme de W.
lnW = lnN ! -lnNi !
(4)
Appliquons la formule de Stirling
x ! = (2x)1/2xxe-x, de sorte que
Ln(x !) = xlnx x +(1/2)ln2x.
Pour les grandes valeurs de x, on peut se limiter aux deux premiers termes,
savoir Ln(x !) = xlnx x.
Appliquons ce rsultat la formule (4),
lnW = NlnN N -NilnNi +Ni
lnW = NlnN NilnNi
(5)
Le maximum est obtenu en appliquant la mthode des coefficients indtermins, en
multipliant la relation (2) par - et la relation (3) par - et additionnant avec (5), soit :
- N = - (Ni + N2 + N3 + . )
-E = -(N1E1+N2 E2+N3E3 + ....)
lnW = NlnN NilnNi
Il faut maintenant chercher le maximum de lexpression
NlnN -NilnN - Ni -E
(6)
Pour cela galons zro les drives partielles de (6) par rapport N 1, N2, N3,
.Ni. Cela donne
-lnNi 1 - -Ei = 0
En posant C = e-1 - , on obtient
Ni = C e- Ei
La constante est gale 1/kT o k est la constante de Boltzmann et T la temprature
absolu, ce qui donne
Ni = C e- Ei/kT
(7)
La constante C se dtermine en crivant que N =Ni = C e- Ei/kT.
do
C = N/ e- Ei/kT
Le nombre datomes No ltat fondamental dans l tat dnergie Eo est donn par
112
No = C e- Eo/kT
(8)
En faisant le rapport de lexpression (7) par (8) on obtient la clbre formule de
rpartition des niveaux dnergie de latome :
Ni = No e- (Ei Eo)/kT
Autre mthode: formule du baromtre
La loi fondamentale de lhydrostatique donnant la pression en fonction de laltitude
scrit:
dp = -gdz
(1)
(3)
-gdz =kTdn
(4)
(5)
En intgrant on obtient
-mg(z -z )
o
n noexp
kT
dnergie potentielle de pesanteur que possde une molcule situe laltitude z par rapport
une molcule place laltitude zo. Posons E = mg(z-zo), lexpression prcdente devient
- E)
n noexp
kT
kT
114
Annexe IV
MODLE DE BOHR POUR LATOME DHYDROGNE
ET LES IONS HYDROGNOIDES
Introduction
On sait depuis trs longtemps (Thomson et Rutherford) que les atomes sont constitus
dun noyau et dun nuage dlectrons.
Balmer interprta en 1885 le spectre dmission de latome dhydrogne selon la
formule
1
1
1
2 - 2
n o n
, o
1
reprsente le nombre donde de la raie, no et n deux
fc
e
(3)
Ze N
115
Fc
Lors de son mouvement sur son orbite autour du noyau, llectron est en quilibre sous
laction de la force coulombienne et de la force centrifuge f c qui tend len loigner:
fc
mv2
rn
. Ce qui donne
2
mv2
1 Ze
4 o rn2
rn
(4)
n 2 2
(5)
4 o mZe2
4 o mZe2
Avec h = 6,625 10-27 erg s, m = 9,109 10-28 g, e = 4,803 10- 10 uescgs+ 1,6 10-19coulomb,
on trouve
ro = 0,528 10-8 cm
On peut crire
rn
n2
ro .
(6)
2 2 n 2
me 2 Z
2
2
1 h
c n
n
(4 o 2 )
4 mc
Z
2 Z
e
2
1 e
o =h/mc est la longueur donde Compton et
=1/137,04 la constante de
4 o c
structure fine.
Energie des niveaux
Lnergie du niveau (nergie totale correspondant la valeur de n) est la somme de
lnergie cintique et de lnergie potentielle de llectron correspondant lorbite
stationnaire de rayon rn.
En = Ecn +V
(7)
Lnergie potentielle V est celle de llectron dans le champ du noyau
2
1 Ze
Vn .
4 o rn
1
mv 2 . La relation (4) donne
2
2
2
Ze
1
1
1
1 Ze
1
2
E
mv
- Vn
, cn
n
2
2
2 4o rn
4o rn
2
soit E cn Vn -
2
2
2
1 Ze
1 1 Ze
1 1 Ze
4 o rn
2 4 o rn
2 4 o rn
En -
2
1 1 Ze
2 4 o rn
116
En -
mZ2e 4
(8)
2n 2 2
Pour
mZ2e 4
(9)
2 2 ( 4 o) 2
=1,
nous
avons
me
E1 -
latome
dhydrogne,
cette
nergie
vaut
2 ( 4 o) 2
2
- 13,6 eV
E1
n2
(10)
excitation
dsexcitation
n mZe2
mn 2 2
Ze2
1
1
4 o 4 o n
vn
Ze2
1
.
4 o n
(11)
c
n
4 o n c 4 o c n
La constante de structure fine = 1/137,04 peut tre considre comme petite devant lunit.
De ce fait, on voit que la vitesse de llectron est petite devant celle de la lumire, ce qui
justifie lutilisation de la mcanique non relativiste.
Interprtation des spectres dmission de rayonnement par les atomes
117
1
1
1
2 - 2 , peut sexpliquer partir du deuxime postulat de Bohr
n o n
concernant les transitions de llectron. En effet nous avons dit que lnergie du rayonnement
mis est gale la diffrence entre les nergies des niveaux entre lesquels se fait la transition:
h=Ef-Ef.
En remplaant les nergies par leur valeurs donnes par lexpression (8), on obtient
mZ2e 4
1
h E f - E i -
2 2 12 - 12 .
4 o
2 n i n f
En identifiant avec la formule de Balmer, on obtient pour la constante de Rydberg
4
1 me
4c 3
1
g,h=6,625 10-35erg sec, c=3 1010cm/sec, 109737cm
109737 cm -1
10
- 27
4 x3,14 x310
6,625 10
(
)3
2x3,14
1
1
4c 4 o
en units MKS
Les sries
de
raies
sobtiennent
naturellement en
considrant
les
transitions entre
les
diffrents
niveaux.
me 4
2 3
e2
4 o c
2
h
109737 cm -1 . (12)
2mc 2
n
6
5
Pfund
4
Bracket
t
3
Paschen
2
Balmer
1
Lyman
118
M(e)
G Fc
N
(Ze)
Prenons le cas de latome dhydrogne. Le centre de masse G est donn par la relation
mp GN + meGM = 0
Soient r1= GN et r2 = GM, et r = r2 - r1
la relation prcdente scrit
r1mp + r2 me = 0.
(13)
En exprimant r1 et remplaant r2 en fonction de r, on obtient
r1 r2 -
me
r
me mp
mp
me mp
r.
(14a)
(14b)
r1mp + r2 me = 0
r1mp = - r2 me
ou
m p r1 m p
m e r2 m e
et
m p me
me
r
r
mp me
mp me
mp
mp me
mp me
r ,
mp me
m m
p
e
o m m est la masse rduite du systme electon-proton (noyau dhydrogne).
p
e
On vrifie bien que la masse rduite est peu diffrente de celle du noyau.
Calculons le moment cintique .
Nous avons =p +e = mpr1v1 + mer2v2 = rv (voir cours de mcanique).
La condition de quantification de Bohr doit tre remplace par la relation rv =n. On
voit quil faut remplacer la masse de llectron par celle de la particule fictive. Les
expression obtenues en considrant seulement la masse de llectron deviennent
2 4
4
2
n 2 2
v 2
1
1
1
1 Ze
2 Z e
2 e
r
, n
, n
et
.
4 o Ze2
4 o
2n 2 2
4o
2 3
4 o rn2
rn
En comparant les relations donnant la constante de Rydberg, et en dsignant par R
celle obtenue en considrant seulement le mouvement de llectron et R celle tenant compte
de lentranement du noyau, on obtient
R R
mp
m
1 e
mp
, avec
me e 4
4 3c
. Cest ce qui
explique la diffrence entre les constantes mesures pour latome dhydrogne et le deutrium
(isotope de lhydrogne). Linfluence de la masse du noyau sur les raies spectrales a permis la
dcouverte des isotopes par lanalyse spectroscopique.
Principe de correspondance
En thorie classique, llectron en mouvement met un rayonnement de mme
frquence que celle de son mouvement.
La relation (4) donne
Ze 2
4 o mr
n 2 2
mZe 2
f v
2 r
et E n -
Ze 2
16 3 o mr 3
1
4 o
mZ2e 4
2n 2 2
mZ 2 e 4 1
1
f (E f E i ) / h
.
8 2 h 3 n o2 n 2
2mZ 2 e 4
8 2 h 3 n 3
lorsquun atome passe dun niveau de nombre quantique n dnergie E in un niveau nombre
mZ 2 e 4
8 2 h 3
mZ 2 e 4
1
1
- 2
2
n
8 2 h 3
(n - 1)
2n 1
2
2
(n 1) n
mZ 2 e 4 2n mZ 2 e 4 2
8 2 h 3 n 4
8 2 h 3 n 3
. Cette expression
montre que les rsultats de la thorie (mcanique) quantique tendent vers ceux de la thorie
(mcanique) classique pour les nombres quantiques levs. Pour n trs grand le rayon de
latome atteindrait des dimensions trs grandes ( r=5,3 mm pour n=10 000) de sorte quil
pourrait tre dcrit par la mcanique classique.
Annexe III
LOI DE STEPHAN
Grandeurs photomtriques
On caractrise le rayonnement lumineux par diffrentes grandeurs.
a) Flux nergtique : Cest lnergie dE rayonne par unit de temps. On dfinit galement le
flux monochromatique, cest dire celui correspondant un intervalle de longueur donde
d : E = dE/ d .
b) Intensit : Cest le rapport I = dE/d, flux dnergie sur langle solide d.
c) Eclairement :Le quotient =dE/dS,
reu par llment de surface dS divis par
N
2
O
d
O
dS
N
projection de la demie sphre de rayon d sur le plan de la source. Elle est egale d2, ce qui
H
Ldd 2
d2
/d L
2k 4
c 2h 3
x 6,4945,685 10-8MKS
.
Cest cette quantit qui est donne par la loi de Stephan H=T4.
dS
d
d
Annexe V
MESURE DES RAYONS NUCLAIRES
PAR LA DIFFUSION DES NEUTRONS
La nature ondulatoire des particules permet d'utiliser la diffraction des neutrons par les
cristaux pour la dtermination des rayons nuclaires Le noyau constitue pour le neutron une
pupille qui le diffracte. En effet il est bien connu en optique (thorme de Babinet sur les
pupilles complmentaires) que la figure de diffraction associe une pupille perce dans un
cran est identique elle associe un objet opaque ayant les dimensions de la pupille. On
obtient l'ordre de grandeur du rayon en utilisant le fait que les maxima et minima successifs
de diffraction sont spars par des angles obissant la relation (qr) = , q tant le moment
transfr q p' p o p et p' sont les quantits de mouvement du neutron dans le centre
de masse avant et aprs la diffraction et r le rayon de lobjet.
La diffraction correspond la diffusion lastique ; les moments p et p' du neutron
sont gaux en valeur absolue. Dans le triangle OAB de la figure ci-dessus (b), on voit que q
= 2psin(/2) .
I()
(a)
O p
(b)
q/
p
B
(c)