Thme 9A.

La notation Sigma Chapitre n

o
9. Calculs de sommes
I. LES NOTATIONS

ET

Soit I un ensemble ni non vide et (a

i
)
i I
une famille (nie) de scalaires
indxe par I.
Dnition 1 (Notations)

i I
a
i
dsigne la somme des a
i
, lorsque i parcourt I ;

i I
a
i
dsigne le produit des a
i
, lorsque i parcourt I.
Remarque 1 (Ordre des termes)
Dans les deux cas, lordre de parcourt de I par i ninuence pas le rsultat puisque I
est ni et les lois + et sont commutatives sur K.
Remarque 2 (Cas particulier)
Lorsque I [[m, n]], o m et n sont deux entiers tels que m<n, on note
aussi :

i m
a
i
a
m
+a
m+1
+ +a
n1
+a
n
;

i m
a
i
a
m
a
m+1
a
n1
a
n
.
Dans les 2 cas, il y a n m+1 termes.
Remarque 3 (Indice muet)
Dans les oprations prcdentes, lindice i na de sens que sous le sym-
bole

ou

(produit). On dit que i est un indice muet.
En particulier, la lettre i peut tre remplace lors des calculs par nim-
porte quelle autre lettre mais ne doit apparatre dans aucune expression
sans

ni

.
Exercice 1 (Manipulation des symboles)
1. crire les quantits suivantes sans

ni

:
a
5

k1
k
2
; b
2n

i n
i ; c
8

j 3
j
3
j
; d
1

m1
3(1)
m
m
m+1
; e
5

n1
(1)
n1
x
n
n
.
2. Exprimer chacune des sommes suivantes laide du symbole

(n Net a K) :

n
2
5
+3
5
+4
5
+ +n
5

n
(a) 1a +a
2
a
3
+ +(1)
n
a
n

n
(a)
a
2
2
+
a
4
4
+
a
6
6
+ +
a
2n
2n

n

1
2

2
3
+
3
4
+(1)
n+1
n
n +1

n
ln(123.. n)
1
1
+
2
2

2
2
3
+
2
3
4
+
2
2010
2011
.
Proprits du symbole

On considre deux familles nies de scalaires (a

i
)
i I
et (b
i
)
i I
(I ni non vide).
Proposition 2 (Linarit)
Sous les hypothses prcdentes :
Commutativit :

i I
(a
i
+b
i
)

i I
a
i
+

i I
b
i
Factorisation :

i I
(a
i
)

i I
a
i
.
Remarque 4 (Justiations)
Somme en lignes et en colonnes :
a
1
a
2
a
n
b
1
b
2
b
n
Factorisation : (a
1
) +(a
2
) + +(a
n
) (a
1
+a
2
+ +a
n
).
Proposition 3 (Changement de variable)
Si I [[m, n]], (o m, n Z tels que m<n), alors, pour tout p Z,
n

i m
a
i

n+p

i
t
m+p
a
i
t
p
_
on a pos i
t
i +p
i [[m, n]] i
t
[[m+p, n +p]]
_
.
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Thme 9A. La notation Sigma Chapitre n
o
9. Calculs de sommes
Exercice 2 (Applications directes)
crire les sommes suivantes en faisant en sorte que la premire valeur de lindice soit 0 :
20

i 10
i ;
180

k4
k
k +5
;
45

i 2
1 ;
n

i 1
i .
Changer dindice dans les sommes suivantes pour que leurs termes gnraux soit plus
simples :
n

i 0
(i +1)
2
+3
1+
_
i +1
;
n+2

k3
x
k3
(k 3)!
;
n+1

i 1
(i 1)2
i
+3
i 1
.
Proposition 4 (Thorme de Fubini)
Soient m
t
, n
t
Z tels que m
t
< n
t
et (A
i , j
) est une famille de scalaires
indxe par [[n, m]] [[n
t
, m
t
]], alors :
n

i m
n
t

j m
t
A
i , j

n
t

j m
t
n

i m
A
i , j
_
quon peut noter :

i , j
A
i , j
_
.
Exercice 3 (Illustration : somme des premiers entiers)
Pour n N

, on note A
n

j 1
j .
1. laide des critures A
n
1+2+ +(n 1) +n et A
n
n +(n 1) + +2+1,
montrer que 2A
n
n(n +1).
2. En dduire une expression de A
n
sans le symbole

(ni ).
Exercice 4 (Applications : sommes des premiers carrs)
Pour tout entier naturel n, on pose : A
n

n

k0
1 ; B
n

n

k0
k ; C
n

n

k0
k
2
et
S
n

k0
_
(k +1)
2
k
2
_
; T
n

k0
_
(k +1)
3
k
3
_
.
1. Calculer A
n
.
2. (a) Justier, en utilisant le principe des dominos, que S
n
(n +1)
2
.
(b) En dveloppant le crochet, exprimer S
n
en fonction de B
n
et de n.
(c) En dduire lexpression de B
n
en fonction de n.
3. (a) Toujours avec les dominos, calculer T
n
.
(b) En dveloppant le crochet, exprimer T
n
en fonction de B
n
, C
n
et
de n.
(c) En dduire lexpression de C
n
en fonction de n.
II. DES SOMMES CLASSIQUES
On considre une famille nie de scalaires (a
i
) indxe sur [[m, n]],
(o m, n Z tels que m<n).
Proposition 5 (Suite arithmtique)
Somme des premiers entiers : : si n >0 alors

i 0
i 0+1+2+ +n
n(n +1)
2
.
Cas gnral : si (a
n
) est progression arithmtique de raison r ,
alors
n

i m
a
i
a
m
+a
m+1
+ +a
n

a
m
+a
n
2
(n m+1)
(Moyenne des termes extrmes) (Nombre de terme).
| Dmonstration de la premire formule (de Gauss)
Cas n 0 : la formule est une vidence.
Cas n >1 : posons : S
n
:
n

i 0
i 0+1+2+... +n.
On effectue les sommes dgalits suivantes, membre membre, en regroupant droite
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Thme 9A. La notation Sigma Chapitre n
o
9. Calculs de sommes
les termes qui se compensent :
S
n
1 + 2 + ... + (n 1) + n
+ S
n
n + (n 1) + ... + 2 + 1
2S
n
(n +1) + (n +1) + ... + (n +1) + (n +1) n (n +1) ,
puisquil y a n termes vallant (n +1) dans le membre de droite. On termine par limpli-
cation
2S
n
n (n +1) S
n

n(n +1)
2
.
| Dmonstration de la formule gnrale
Reprenons les hypothses de la proposition prcdente. En utilisant la formule donnant
le terme gnral dune suite arithmtique, on calcule la somme
n

i m
a
i

n

i m
[a
m
+r (i m)]

_
n

i m
a
m
_
+
_
n

i m
r (i m)
_
(n m+1) a
m
+r
_
n

i m
(i m)
_
,
puisque :
la somme

n
i m
a
m
admet (n m+1) termes de valeur constante a
m
on peut factoriser la seconde somme par r .
Or, daprs le lemme prcdent, cette seconde somme vaut :
n

i m
(i m) 0+1+... +(n m)
(n m)(n m+1)
2
On a donc :
n

i m
a
i
(n m+1) a
m
+r
(n m)(n m+1)
2
(n m+1)
_
a
m
+r
n m
2
_
.
Or la quantit entre crochets peut sexprimer selon :
a
m
+r
n m
2

2a
m
2
+
r (n m)
2

a
m
+[a
m
+r (n m)]
2

a
m
+a
n
2
,
en utilisant encore la formule donnant le terme gnral dune suite arihtmtique.
Conclusion : On obtient nalement :
n

i m
a
i
(n m+1)
_
a
m
+a
n
2
_
.
Exercice 5 (Application directe)
Soit (
n
) la suite arithmtique telle que
6
3 et
23
11. Calculer
11

k3

k
.
Proposition 6 (Suites gomtriques)
Soit q un scalaire diffrent de 1.
Si n >0 alors
n

i 0
q
i
1+q
1
+q
2
+ +q
n

1q
n+1
1q
.
Cas gnral : Soit une suite gomtrique (a
n
) de raison q.
Si q 1 alors
n

i m
a
i
(n m+1)a
m
Si q /1 alors
n

i m
a
i
a
m
1q
nm+1
1q
.
Notons que a
m
est le premier terme de la somme et n m+1 le nombre
de termes.
Exercice 6 (Application directe)
Soit (
n
) la suite gomtrique strictement positive telle que
3

_
3 et
5

_
6.
Calculer
11

k0

k
et
18

k7

k
.
| Dmonstration de la premire formule de la proposition. On dveloppe puis sim-
plie le produit suivant :
(1q)(1+q +... +q
k
) (1q) +(q q
2
) +... +(q
k
q
k+1
) 1q
k+1
.
On en dduit la formule recherche en divisant par (1q), ce qui est possible puisque
q /1.
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Thme 9A. La notation Sigma Chapitre n
o
9. Calculs de sommes
| Dmonstration de la formule gnrale
Cas q 1. Cest immdiat :
m

i n
u
i

m

i n
u
n0
(mn +1)u
n0
.
Cas q /1. On utilise la formule dmontre prcdemment :
n

i m
a
i

n

i m
(a
m
q
i m
) a
m
n

i m
q
i m
a
m
nm

j 0
q
j
a
m
1q
nm+1
1q
.
Exercice 7 (Application : identits remarquables)
Factoriser lexpression x
n
1 par x 1 (x K).
En dduire la factorisation de a
n
b
n
par a b (a, b K).
Indication : Considrer
__
a
b
_
n
1
_
, lorsque b /0.
Exercice 8
Calculer les sommes suivantes (n N

) :
a 1+2+3+ +100 ; b 2+4+6+ +100 ;
c 1+3+5+ +99 ; d 5+10+15+ +100 ;
A
t
n
1+2
2
+2
4
+2
6
+ +2
2n
;
B
t
n
13+3
2
3
3
+ +(1)
n
3
n
;
C
t
n
2 3
2
+2 3
3
+2 3
4
+ +2 3
n
;
D
t
n
7
2
+7
3
7
4
+ +7
2008
7
2009
+7
2010
.
Proposition 7 (Sommes des premiers carrs et des premiers cubes)
Pour tout n N,
n

i 0
i
2

n(n +1)(2n +1)

6
et
n

i 0
i
3

_
n(n +1)
2
_
2

_
n

i 0
i
_
2
.
Exercice 9 (Oprations sur les sommes de rfrences)
Calculer les sommes suivantes (n N

) : A
n

k1
(k
2
+3k 1) ;
B
n

k1
_
k
2
+2
k
_
; C
n

k0
k(k 1)(k 2) ; D
n

k1
(2k 1)(k +3).
Travaux dirigs
Exercice 1 (Manipulations du symbole

)
1. Ecrire sans le symbole

les expressions ci-dessous :
n

i 1
ln(i ) , n >2 ;
n1

i 0
ln(i +1) ;
n+1

i 2
ln(i 1) ;
n

i 1
1 ;
2009

i 1
(1)
i
.
2. Ecrire les sommes suivantes laide le symbole

:
ln(2) +ln(3) +ln(4) + +ln(42) ; 1+
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+ +
1
n
;
1
1+1!
+
4
1+2!
+
9
1+3!
+ +
100
2
1+100!
; 12+34+ +103 ;
1+23+4+ 103 ; 2+4+6+ +248 ;
1+3+5+ +249 ; 1000+1010+1020+ +1540 ;
1+2+4+8+16+ +1024 ; 36+912+ +303.
Exercice 2 (Autour de la somme gomtrique)
1. Soit x un scalaire diffrent de 1 et n un entier naturel.
(a) Calculer les sommes
n

i 0
x
i
et 1x +x
2
x
3
+ (1)
n
x
n
(b) Utilisation de la drivation.
Calculer
n

i 0
i x
i 1
et
n

i 0
i x
i
.
Calculer
n

i 0
i (i 1)x
i 2
;
n

i 0
i (i 1)x
i
;
n

i 0
i
2
x
2
.
Hypokhgne B/L 2010/2011 4/8 Lyce Flix bou, le 04/02/11
Thme 9A. La notation Sigma Chapitre n
o
9. Calculs de sommes
2. Applications. Soit n N.
(a) Calculer les sommes suivantes :

i 1
(5 2
i
+2 3
i
) 87
2
+87
3
87
4
+87
1000

n+1

i 3
52
i
3
i +2

2n

k3
2
3k+1

3
k+1
4
k
1+a
2
+a
4
+ +a
2n

n+1

i 0
3
2i +1
.
(b) Soient x, y R. Calculer :

k0
e
i kx
;
n

k0
coskx ;
n

k0
sinkx ;

k0
coskx +y ;
n

k0
sinkx +y ;

k0
ncosnx et
n

k0
n
2
sinnx.
Exercice 3 (Utilisation des sommes de rfrences)
Calculer les sommes suivantes (n N

) :
A
2010

k2
(3k +2) B
1000

k4
(8k 3) C
50

j 3
(3j
2
+1)
A
n

k0
(2k +1) B
n

n+1

k0
(6k
2
+4k +1) C
n

2010

p945
3
E
r

3r

k0
2
2k
3
4k
F
k

s0
2
3s1
3
2s+2
G
s

3s

m0
2
5
3m+2
L
n

0
3
10

M
n

2n

i 0
34
i +1
N
n

j 0
52
j
3
j +1
P
n

p2
_
1
3
_
p
Q
n

n+1

k3
2
k
3
k+2
R
N

N

n1
_
52
n
+23
2n
_
S
k

2k

n3
2
3n+1

3
n+1
4
n
O
N

N+1

i 0
3
2i +1
K
l

2l +1

p0
x(1x
2
)
p+1
D
n

2n

k1
k(2k 1)(k +1)
12

p2
_
1
3
_
p

2009

n1
2
n
+3
2n
D
101

i 3
i (i 1)(i 2)
Exercice 4 (Calculs par rcurrence)
Montrer par rcurrence les galits suivantes :
1) n >1,
n1

k0
(2k +1) n
2
2) n >3,
n

k3
4k(k 1)(k 2) n(n +1)(n 1)(n 2)
3) n >1,
n

k1
k
2
k
2
n +2
2
n
4) n >3,
n1

k2
k(k 1)
2

n(n 1)(n 2)
6
.
Corrig des sommes n
o
3 &4
Somme n
o
3. On pose (P
n
) :
n

k0
k
2
k
2
n +2
2
n
.
Hypokhgne B/L 2010/2011 5/8 Lyce Flix bou, le 04/02/11
Thme 9A. La notation Sigma Chapitre n
o
9. Calculs de sommes
Initialisation n 0 :
0

k0
k
2
k

0
2
0
0 et 2
0+2
2
0
22 0.
_

0

k0
k
2
k
2
0+2
2
0
donc (P
0
) est vraie.
Hrdit : Supposons (P
n
) vraie et montrons (P
n+1
), cest--dire
supposons que
n

k0
k
2
k
2
n +2
2
n
;
montrons que
n+1

k0
k
2
k
2
n +1+2
2
n+1
2
n +3
2
n+1
.
n+1

k0
k
2
k

_
n

k0
k
2
k
_
+
n+1

kn+1
k
2
k

_
n

k0
k
2
k
_
+
n +1
2
n+1

Pn
2
n +2
2
n
+
n +1
2
n+1
2
2n +4
2
n+1
+
n +1
2
n+1
2+
2n 4+n +1
2
n+1
2+
n 3
2
n+1
2
n +3
2
n+1
,
ce qui dmontre (P
n+1
) et achve la rcurrence.
Somme n
o
4. On pose (P
n
) :
n1

k2
k(k 1)
2

n(n 1)(n 2)
6
.
Initialisation n 3 :
31

k2
k(k 1)
2

2

k2
k(k 1)
2

2(21)
2
1
3(31)(32)
6
1
_

31

k2
k(k 1)
2

3(31)(32)
6
donc (P
3
) est vraie.
Hrdit : Supposons (P
n
) vraie et montrons (P
n+1
), cest--dire :
supposons que
n1

k2
k(k 1)
2

n(n 1)(n 2)
6
;
montrons que
n

k2
k(k 1)
2

(n +1)n(n 1)
6
.
n

k2
k(k 1)
2

_
n1

k2
k(k 1)
2
_
+
n

kn
k(k 1)
2

_
n1

k2
k(k 1)
2
_
+
n(n 1)
2

Pn
n(n 1)(n 2)
6
+
n(n 1)
2

n(n 1)
2
_
n 2
3
+1
_

n(n 1)
2
_
n 2+3
3
_

n(n 1)(n +1)

6

(n +1)n(n 1)
6
.
ce qui dmontre (P
n+1
) et achve la rcurrence.
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o
9. Calculs de sommes
Exercice 5 (Sommes de suites arithmtico-gomtriques)
Soit (a
n
) la suite dnie par :
_
a
0
3
n N, a
n+1
5a
n
2.
.
Calculer :
n

i 0
a
i
.
Mme question avec une suite (b
n
) vriant : n >0, 3b
n+1
2b
n
1.
Exercice 6
1. Soit a la suite dnie par :
a
0
2, a
1
3 et n N, 3a
n+2
5a
n+1
+2a
n
0.
Calculer
2010

n2
a
n
.
2. Soit (b
n
)
nN
la suite dnie par :
_
b
0
0 ; b
1
1
n N, b
n+2
3b
n+1
2b
n
.
Calculer :
n1

i 0
b
i
.
3. Soit (c
n
)
nN
la suite dnie par :
_
c
0
0 ; c
1
1
n N, c
n+2
10c
n+1
25c
n
.
Calculer :
n1

i 0
c
i
.
Exercice 7 (Somme double)
Soit n N

. Calculer les sommes suivantes :

n

i 1
n

j 1
(i + j ) ;
n

i 1
n

j 1
(i + j )
2
;
n

i 1
n

j 1
(i + j )
3
.
Exercice 8
Soit u une suite vriant : n N, u
n+1
u
n
+
1
n +1
.
Exprimer u
1
en fonction de u
0
puis montrer que
n N

, (1)
n
u
n
u
0

k1
(1)
k
k
.
Un corrig. Il est immdiat que u
1
u
0
+
1
0+1
u
0
+1
(en particulier : 1 u
1
u
0
)
On procde par rcurrence en posant (P
n
) : (1)
n
u
n
u
0

k1
(1)
k
k
.
Initialisation n 1 :
(1)
1
u
1
u
0
u
1
u
0
1
1

k1
(1)
k
k

(1)
1
1
1
_

_
(1)
1
u
1
u
0

k1
(1)
k
k
,
donc (P
1
) est vraie.
Hrdit : Supposons (P
n
) vraie et montrons (P
n+1
), cest--dire :
supposons que (1)
n
u
n
u
0

k1
(1)
k
k
;
montrons que (1)
n+1
u
n+1
u
0

n+1

k1
(1)
k
k
.
(1)
n+1
u
n+1
u
0
(1)
n+1
_
u
n
+
1
n +1
_
u
0
(1)
n+2
u
n
+
(1)
n+1
n +1
u
0

(1)
2
1
(1)
n
u
n
u
0
+
(1)
n+1
n +1

Pn
_
n

k1
(1)
k
k
_
+
(1)
n+1
n +1

n+1

k1
(1)
k
k
ce qui dmontre (P
n+1
) et achve la rcurrence.
Hypokhgne B/L 2010/2011 7/8 Lyce Flix bou, le 04/02/11
Thme 9A. La notation Sigma Chapitre n
o
9. Calculs de sommes
Exercice 9 (Transformation dAbel)
Soit (a
n
)
nN
une suite. Montrer que :
n N

,
n1

k0
k(a
k
a
k+1
)
_
n

k1
a
k
_
na
n
.
Exercice 10 (Sommes tlscopique)
1. (a) Dmontrer que : x R\{0, 1},
1
x(x +1)

1
x

1
x +1
.
(b) En dduire
n

i 1
1
i (i +1)
.
2. Pour tout n N

, on pose : t
n

k1
1
k(k +1)(k +2)
.
(a) Montrer quil existe trois rels a, b, c tels que :
k N

,
1
k(k +1)(k +2)

a
k
+
b
k +1
+
c
k +2
.
(b) En dduire le calcul de t
n
.
3. (a) Dterminer trois rels a, b et c tels que :
k N

,
4k +1
k(k +1)(k +2)

a
k
+
b
k +1
+
c
k +2
.
(b) En dduire la valeur de
n

k1
4k +1
k(k +1)(k +2)
(n N

).
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